### 数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH1001

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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Greatest Common Divisors

1.17. Find $\operatorname{gcd}(44,111)$ using factorization into powers of prime numbers.
1.18. For a positive integer $a$, what are the possibilities for the quantity $\operatorname{gcd}(a+3, a)$ ? Find specific examples to demonstrate each possibility. Now prove your conjecture. (Hint: Suppose $d$ divides both $a$ and $a+3$, then by Lemma $1.1$ Part (ii) $\cdots$.)
1.19. The sequence of numbers $1,1,2,3,5,8,13,21, \ldots$ is known as the sequence of Fibonacci number. After the first two values, a given number is obtained as the sum of the previous two numbers. We denote this sequence of positive integers by $F_{1}, F_{2}, F_{3}, \ldots$, in honor of Fibonacci who first wrote about these numbers in his book “Liber Abaci,” which was published in $1202 .$
(a) Above we have written $F_{1}$ through $F_{8}$. Write down $F_{y}$ through $F_{12}$.
(b) Prove that for any positive integer $k \geq 1, \operatorname{gcd}\left(F_{k}, F_{k+1}\right)=1$, i.e., prove that any two consecutive Fibonacci numbers are relatively prime. (Hint: Suppose $d$ divides both $F_{k+1}$ and $F_{k}$; then by Lemma 1.1 Part (ii) (or (iii)) it divides their difference, which is what by the definition of these numbers? Hence $d$ must divide $F_{k}$ and $F_{k-1}$. Continue this process, concluding finally that we must have $d=1$.
1.20. (a) What is $\operatorname{lcm}(21,28)$ ?
(b) What is $\operatorname{lcm}(21,25)$ ? (See Solved Problem 1.8.)
1.21. Prove that $\operatorname{lcm}(a, b)=\frac{a \cdot b}{\operatorname{gcd}(a, b)}$.

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Euclidean Algorithm

1.22. Find $\operatorname{gcd}(44,111)$ using the Euclidean Algorithm.
1.23. The numbers 23 and 71 are relatively prime since both are themselves prime. Find integers $(x, y)$ such that $23 x+71 y=1$.
1.24. (a) Find $\operatorname{gcd}(381,3837)$ using the Euclidean Algorithm.
(b) Find integers $(x, y)$ such that $\operatorname{gcd}(381,3837)=381 x+3837 y$.
1.25. How many steps must the Euclidean Algorithm take to find the gcd of two positive integers $a$ and $b$ ? We have seen through examples and problems that it can vary, but what is the “worst case?” It can be shown that if $a$ is the first divisor, then the total number of steps can be no more than 7 times the number of decimal digits of $a$.
(a) Suppose the first divisor $a$ is between a billion and 9 billion (and the dividend $b$ is larger). What is the maximum number of steps to discover $\operatorname{gcd}(a, b)$ by the Euclidean Algorithm?
(b) Returning to the Fibonacci numbers (Supplementary Problem 1.19), we saw that $F_{11}=89$ and $F_{12}=144$. According to the above information, what is the maximum number of steps needed to compute $\operatorname{gcd}\left(F_{11}, F_{12}\right)$ using the Euclidean Algorithm? Now do the actual computation and check the number of steps. (Note: This part illustrates that computing the gcd of two adjacent Fibonacci numbers using the Euclidean Algorithm goes about as slowly as possible.)

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Greatest Common Divisors

1.17。寻找 $\operatorname{acd}(44,111)$ 使用因式分解为素数的幂。
1.18。对于一个正整数 $a$, 数量的可能性是什么 $\operatorname{gcd}(a+3, a)$ ? 找到具体的例子来展示每一种可能性。现在证明你的 猜想。（提示：假设 $d$ 将两者分开 $a$ 和 $a+3$ ，然后由引理 $1.1$ 第 (ii) 部分 $\cdots$ )
1.19。数字序列 $1,1,2,3,5,8,13,21, \ldots$ 被称为斐波那契数列。在前两个值之后，得到一个给定的数字作为前两 个数字的总和。我们将这个正整数序列表示为 $F_{1}, F_{2}, F_{3}, \ldots$, 以纪念斐波那契，他在他的书“Liber Abaci”中首次 写到这些数字，该书发表于 1202 .
(a) 上面我们写了 $F_{1}$ 通过 $F_{8}$. 写下 $F_{y}$ 通过 $F_{12}$.
(b) 证明对于任何正整数 $k \geq 1, \operatorname{gcd}\left(F_{k}, F_{k+1}\right)=1$ ，即证明任何两个连续的斐波那契数都是互质的。（提示: 假 设 $d$ 将两者分开 $F_{k+1}$ 和 $F_{k}$; 然后通过引理 $1.1$ 第 (ii) 部分 (或 (iii)) 它划分它们的差异，这些数字的定义是什么? 因此 $d$ 必须分开 $F_{k}$ 和 $F_{k-1}$. 继续这个过程，最后得出结论，我们必须有 $d=1$.
1.20。(一) 什么是 $\operatorname{lcm}(21,28)$ ?
(b) 什么是 $\operatorname{lcm}(21,25)$ ? (见已解决的问题 1.8。)
1.21。证明 $\operatorname{lcm}(a, b)=\frac{a \cdot b}{\operatorname{gcd}(a, b)}$.

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Euclidean Algorithm

1.22。寻找gcd $(44,111)$ 使用欧几里得算法。
1.23。数字 23 和 71 是相对质数，因为它们本身都是质数。查找整数 $(x, y)$ 这样 $23 x+71 y=1$.
1.24。(a) 查找 $\operatorname{gcd}(381,3837)$ 使用欧几里得算法。
(b) 求整数 $(x, y)$ 这样 $\operatorname{gcd}(381,3837)=381 x+3837 y$.
1.25。欧几里得算法需要多少步才能找到两个正整数的 $g c d a$ 和 $b$ ? 我们已经通过例子和问题看到了它可能会有所不 同，但“最坏的情况”是什么? 可以证明，如果 $a$ 是第一个除数，那么总步数不能超过小数位数的7倍 $a$.
(a) 假设第一个除数 $a$ 介于 10 亿和 90 亿之间（以及股息 $b$ 更大）。发现的最大步数是多少 $\operatorname{gcd}(a, b)$ 欧几里得算法?
(b) 回到斐波那契数列（补充问题 1.19），我们看到 $F_{11}=89$ 和 $F_{12}=144$. 根据以上信息，计算需要的最大步数 是多少 $\operatorname{gcd}\left(F_{11}, F_{12}\right)$ 使用欧几里得算法? 现在进行实际计算并检查步数。（注意：这部分说明了使用欧几里得算 法计算两个相邻斐波那契数的 gcd 尽可能慢。)

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。