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统计物理学是在统计力学的基础上发展起来的一个物理学分支，它在解决物理问题时使用了概率论和统计学的方法，特别是处理大群体和近似的数学工具。
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物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|Flux-Over Population Method
Finding the MPFT being often problematic in some cases, much easier and more direct way is to find crossing rate via the flux over population method. As shown by Reimann et al. (1999), the rate calculated this way is equal to the inverse of the Kramers time. In this method, we visualize a steady state where particles are constantly injected into the region at the reflecting boundary with a uniform current $J$ and are annihilated at the absorbing boundary. The rate of crossing the barrier is obtained by
$$
R=\frac{J}{\wp_s}
$$
where $\wp_s$ is the probability of the particle residing within the region:
$$
\wp_s=\int_{\Omega} d q P(q) .
$$
We revisit the simplest problem of one-dimensional free diffusion between a reflecting wall at $x=0$, and an absorbing wall at $x=L$. Although the real situation may be unsteady, to use the flux-over-population method, we imagine as if that particles are constantly injected at $x=0$ to induce a steady current $J$. The solution of $D \partial^2 P / \partial x^2=0$, is $P=a x+b$ yielding $J=-D \partial P / \partial x=-D a$. The solution subject to the absorbing $\mathrm{BC}$ at $x=L$ is $P(x)=-J(x-L) / D$. Because pre-transitional probability is $\wp_s=\int_0^L d x P(x)=\left(J L^2\right) / 2 D$, the rate is $J / \wp_s=$ $2 D / L^2$, which is the inverse of the MFPT, $\tau_0=L^2 / 2 D$.
For the case with a potential, we start with the equation for a constant flux, $(15.44)$
$$
J=-\mathcal{D}(q) e^{-\Phi} \frac{\partial}{\partial q}\left(e^{\Phi} P\right)
$$
which is integrated to:
$$
J \int_{q_A}^q d q^{\prime} e^{\Phi\left(q^{\prime}\right)} / \mathcal{D}\left(q^{\prime}\right)=-\left[e^{\Phi(q)} P(q)-e^{\Phi\left(q_A\right)} P\left(q_A\right)\right]
$$
物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|The Kramers Problem for Polymer
The dynamics of polymer crossing barriers is a basic problem in soft matter; it is also important in various biological applications such as polymer transport across membranes and within channels, DNA gel electrophoresis, etc. We consider that each segment of the polymer is subject to a piece-wise harmonic potential $U(x)$ (Fig. 16.3) such that the distance between well bottom and barrier top is larger than the polymer’s radius of gyration. How can the Kramers rate (16.35) for a Brownian particle be extended to the linear chain of $N$ beads each with the same friction coefficient $\gamma$ ?
First suppose that a flexible polymer crosses the barrier in globular conformation. For the globule, we can adopt the single particle rate (16.35) with rescaling $U(x) \rightarrow N U(x)$ and thus $\omega_m \rightarrow N^{1 / 2} \omega_m, \omega_M \rightarrow N^{1 / 2} \omega_M$, as well as $\gamma \rightarrow N \gamma$ neglecting the hydrodynamic interactions between the beads, and find the crossing rate:
$$
R_0=\frac{\omega_m \omega_M}{2 \pi \gamma} e^{-\beta N \Delta U}
$$
Compared with the single bead case, the prefactor $\left(\omega_m \omega_M\right) / 2 \pi \gamma$ remains unchanged whereas the activation energy is multiplied by $N$ times: the crossing rate of the polymer in globular state is vanishingly small.
Now consider that the polymer in crossing the barrier is unfolded into a flexible chain. With the reaction coordinate chosen to be the center of mass $(\mathrm{CM})$ of the chain, $X$, we then expect the rate to be modified to
$$
R=\frac{\omega_m \omega_M}{2 \pi \gamma} e^{-\beta \Delta \mathcal{F}}=\frac{\omega_m \omega_M}{2 \pi \gamma} e^{-\beta\left(N \Delta U+\Delta \mathcal{F}^{\prime}\right)}
$$
Here $\Delta \mathcal{F}=N \Delta U+\Delta \mathcal{F}^{\prime}$ is the free energy barrier for the chain to surmount, $\Delta \mathcal{F}^{\prime}=\mathcal{F}_M-\mathcal{F}_m$, where $\mathcal{F}_M, \mathcal{F}_m$ are the polymer conformational free energies with its CM fixed at the barrier top and well bottom, respectively. The free energy barrier $\Delta \mathcal{F}$ is much less than $N \Delta U$, due to the polymer flexibility, as will be shown below. Equation (16.37) was derived on the basis of multidimensional barrier crossing theory applied to $N$ beads interconnected by harmonic springs (Park and Sung 1999). The detailed derivation and expressions for $\mathcal{F}_M$ and $\mathcal{F}_m$ are quite involved, so here we present simple scaling theory arguments for long chains.
With the center of mass positioned at the well bottom, the flexible chain experiences confinement within the harmonic well, costing the conformational free energy, which is the sum of harmonic energy and the confinement-induced entropic contribution $(10.122)$ :
$$
\mathcal{F}_m \sim \frac{1}{2} N \omega_m^2 \xi^2+\left(\frac{R_G}{\xi}\right)^2 k_B T
$$
统计物理代考
物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|Flux-Over Population Method
发现 MPFT 在某些情况下经常出现问题，更简单和更直接的方法是通过人口通量法找到交叉率。正如 Reimann 等人所示。(1999)，以这种方式计算的速率等于 Kramers 时间的倒数。在这种方法中，我们将 粒子以均匀电流不断注入反射边界区域的稳态可视化 $J$ 并在吸收边界处湮灭。穿过障碍的速率由下式获得
$$
R=\frac{J}{\wp_s}
$$
在哪里 $\wp_s$ 是粒子驻留在该区域内的概率:
$$
\wp_s=\int_{\Omega} d q P(q)
$$
我们重新审视反射墙之间的一维自由扩散的最简单问题 $x=0$ ，吸收壁位于 $x=L$. 虽然实际情况可能不 稳定，但使用通量超过布居方法，我们可以想象好像粒子不断注入 $x=0$ 感应稳定电流 $J$. 的解决方案 $D \partial^2 P / \partial x^2=0$ ， 是 $P=a x+b$ 屈服 $J=-D \partial P / \partial x=-D a$. 溶液受吸收 $\mathrm{BC}$ 在 $x=L$ 是 $P(x)=-J(x-L) / D$. 因为过渡前概率是 $\wp_s=\int_0^L d x P(x)=\left(J L^2\right) / 2 D$, 比率是 $J / \wp_s=$ $2 D / L^2$ ，这是 MFPT 的倒数， $\tau_0=L^2 / 2 D$.
对于有势的情况，我们从恒定通量的方程开始，(15.44)
$$
J=-\mathcal{D}(q) e^{-\Phi} \frac{\partial}{\partial q}\left(e^{\Phi} P\right)
$$
集成到:
$$
J \int_{q_A}^q d q^{\prime} e^{\Phi\left(q^{\prime}\right)} / \mathcal{D}\left(q^{\prime}\right)=-\left[e^{\Phi(q)} P(q)-e^{\Phi\left(q_A\right)} P\left(q_A\right)\right]
$$
物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|The Kramers Problem for Polymer
聚合物穿越势垒的动力学是软物质的一个基本问题；它在各种生物应用中也很重要，例如跨膜和通道内的 聚合物传输、DNA 凝胶电泳等。我们认为聚合物的每个部分都受到分段皆波势的影响 $U(x)$ (图 16.3) 使得井底和屏障顶部之间的距离大于聚合物的回转半径。布朗粒子的 Kramers 率 (16.35) 如何扩展到线性 链 $N$ 每个珠子具有相同的摩擦系数 $\gamma$ ?
首先假设柔性聚合物以球状构象穿过屏障。对于小球，我们可以采用重新缩放的单粒子率 (16.35) $U(x) \rightarrow N U(x)$ 因此 $\omega_m \rightarrow N^{1 / 2} \omega_m, \omega_M \rightarrow N^{1 / 2} \omega_M$ ，也 $\gamma \rightarrow N \gamma$ 忽略珠子之间的流体动力学 相互作用，并找到交叉率:
$$
R_0=\frac{\omega_m \omega_M}{2 \pi \gamma} e^{-\beta N \Delta U}
$$
与单珠案相比，前因 $\left(\omega_m \omega_M\right) / 2 \pi \gamma$ 保持不变，而活化能乘以 $N$ 次：球状聚合物的交叉率小得几乎可以 忽略不计。
现在考虑穿过屏障的聚合物展开成一条柔性链。选择反应坐标作为质心 $(\mathrm{CM})$ 的链条， $X$ ，然后我们期望 利率被修改为
$$
R=\frac{\omega_m \omega_M}{2 \pi \gamma} e^{-\beta \Delta \mathcal{F}}=\frac{\omega_m \omega_M}{2 \pi \gamma} e^{-\beta\left(N \Delta U+\Delta \mathcal{F}^{\prime}\right)}
$$
这里 $\Delta \mathcal{F}=N \Delta U+\Delta \mathcal{F}^{\prime}$ 是链条要克服的自由能壁垒， $\Delta \mathcal{F}^{\prime}=\mathcal{F}_M-\mathcal{F}_m$ ， 在哪里 $\mathcal{F}_M, \mathcal{F}_m$ 是聚 合物的构象自由能，其 CM 分别固定在势垒顶部和井底。自由能垒 $\Delta \mathcal{F}$ 远小于 $N \Delta U$ ，由于聚合物的柔 㓞性，如下所示。等式 (16.37) 是基于多维障碍穿越理论推导出来的 $N$ 由谐波弹簧相互连接的珠子 (Park 和 Sung 1999) 。的详细推导和表达式 $\mathcal{F}_M$ 和 $\mathcal{F}_m$ 非常复杂，所以在这里我们为长链提出简单的缩放理论 论证。
由于质心位于井底，柔性链在谐波井内受到限制，消耗了构象自由能，它是皆波能量和限制引起的熵贡献 的总和 $(10.122)$ :
$$
\mathcal{F}_m \sim \frac{1}{2} N \omega_m^2 \xi^2+\left(\frac{R_G}{\xi}\right)^2 k_B T
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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