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统计物理学是在统计力学的基础上发展起来的一个物理学分支，它在解决物理问题时使用了概率论和统计学的方法，特别是处理大群体和近似的数学工具。
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物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|Macroscopic Consideration
In Chap. 9, we studied the static linear response theory, in which the change of a systems’ variable $\Delta X_i$ caused by a small static force or field $f_i$ conjugate to the variable is given by its fluctuation $\left\langle\left(\Delta \mathcal{X}_i\right)^2\right\rangle_0$. For example, the change in average extension of an elastic rod $\Delta X$ in response to a small applied tension $f$ is given by $\Delta X=\chi_s f$, where a constant $\chi_s$ is the static response function given by the fluctuation of the microscopic extension $\mathcal{X}$ at equilibrium in the absence of the force, $\chi_s=\beta\left\langle(\Delta \mathcal{X})^2\right\rangle_0$. The response function here is called stretch modulus.
Here we generalize the theory for the time-dependent situations questioning: how will the elastic rod extend dynamically in response to a small force acting on the system $f(t)$, which has an arbitrary time dependence? A naïve generalization may suggest $\Delta X(t)=\chi f(t)$, or $\Delta X(t)=\chi(t) f(t)$, either of which is wrong! Considering the linearity with respect to $f(t)$, we can deduce that the true relation is
$$
\Delta X(t)=\int_{-\infty}^t \chi\left(t, t^{\prime}\right) f\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}
$$
$\chi\left(t, t^{\prime}\right)$ is a time-dependent dynamic response function which is an intrinsic property of the system at the unperturbed state. Because the property is invariant with respect to time-translation, $\chi$ only depends on the difference $t-t^{\prime}$ connecting the response $\Delta X(t)$ and the cause $f\left(t^{\prime}\right): \chi\left(t, t^{\prime}\right)=\chi\left(t-t^{\prime}\right)$. Equation (17.1) signifies that system’s response to the force in general is delayed. Only in the limit $\chi\left(t-t^{\prime}\right) \rightarrow \chi_s \delta\left(t-t^{\prime}\right)$, the response is instantaneous, $\Delta X(t)=\chi_s f(t)$. Second,$\chi\left(t-t^{\prime}\right)$ is non-vanishing only when $t>t^{\prime}$, dictated by the principle of causality that the effect follows the cause. Thus (17.1) can be replaced by
$$
\Delta X(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \chi\left(t-t^{\prime}\right) f\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}
$$
The linear response $\Delta X(t)$ to an oscillatory force $f\left(t^{\prime}\right)=a \cos \Omega t^{\prime}=\operatorname{Re}\left[a e^{-i \Omega t^{\prime}}\right]$ reads
$$
\begin{aligned}
\Delta X(t) & =\int_{-\infty}^t d t^{\prime} \chi\left(t-t^{\prime}\right) \operatorname{Re}\left[a e^{-i \Omega t^{\prime}}\right] \
& =\operatorname{Re}\left[\int_{-\infty}^t d t^{\prime} \chi\left(t-t^{\prime}\right) a e^{i \Omega\left(t-t^{\prime}\right)} e^{-i \Omega t}\right] \
& =\operatorname{Re}\left[\int_0^{\infty} d s \chi(s) a e^{i \Omega s} e^{-i \Omega t}\right]=\operatorname{Re}\left[\chi(\Omega) e^{-i \Omega t}\right],
\end{aligned}
$$
where
$$
\chi(\Omega)=\int_0^{\infty} d t e^{i \Omega t} \chi(t)=\int_{-\infty}^{\infty} d t e^{i \Omega t} \chi(t),
$$
is a time-Fourier transform of $\chi(t)$, which vanishes for $t<0$.
物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|Statistical Mechanics of Dynamic Response Function
Now let us obtain $\chi(t)$ using statistical mechanics based on the microscopic view, for a stepwise unloading of $f_i$, which is not limited to the tension but can include a variety of forces and fields. Conjugate to $f_i$ is the system variable $\mathcal{X}_i$, whose average can not only be the macroscopic displacement $X_i$ introduced in (Table 2.1) but also be mesoscopic variables, e.g., the displacement of a Brownian particle.
We consider that from the distant past our system, viewed as a classical many-body system, is brought to an equilibrium state under a constant force $f_i$ until $t=0$, after which the force is turned off. At $t=0$ (initially), the system’s Hamiltonian is
$$
\mathcal{H}(\Gamma(0))=\mathcal{H}0(\Gamma(0))-f_i \mathcal{X}_i(\Gamma(0)) $$ where $\Gamma(0)$ is the systems’ many-particle phase space point descriptive of the initial state and evolves to $\Gamma(t)$ at a later time $t$ (Fig. 17.2b). The macroscopic displacement $X_j(t)$ at $t$ is the average of the corresponding microscopic variable of the system $\mathcal{X}_j(t)=\mathcal{X}_j(\Gamma(t))$ over all microstates initially prepared with the distribution $e^{-\beta \mathcal{H}(\Gamma(0))} / \sum{\mathcal{M}} e^{-\beta \mathcal{H}(\Gamma(0))}$
$$
X_j(t)=\left\langle\mathcal{X}j(t)\right\rangle=\frac{\int d \Gamma(0)\left{\mathcal{X}_j(\Gamma(t)) e^{-\beta \mathcal{H}(\Gamma(0))}\right}}{\int d \Gamma(0) e^{-\beta \mathcal{H}(\Gamma(0))}} $$ Because $\mathcal{H}^{\prime}=-f_i \mathcal{X}_i$ is a perturbation, $e^{-\beta \mathcal{H}(\Gamma(0))} \approx e^{-\beta \mathcal{H}_0}\left(1+\beta f_i \mathcal{X}_i(0)\right)$, and $$ \begin{aligned} \left\langle\mathcal{X}_j(t)\right\rangle & \approx \frac{\int d \Gamma(0)\left{\mathcal{X}_j(\Gamma(t)) e^{-\beta \mathcal{H}_0}\left(1+\beta f_i \mathcal{X}_i(0)\right)\right}}{\int d \Gamma(0) e^{-\beta \mathcal{H}_0}\left(1+\beta f_i \mathcal{X}_i(0)\right)} \ & =\frac{\left\langle\mathcal{X}_j(t)\right\rangle_0+\beta f_i\left\langle\mathcal{X}_j(t) \mathcal{X}_i(0)\right\rangle_0}{1+\beta f_i\left\langle\mathcal{X}_i(0)\right\rangle_0} \end{aligned} $$ where $\langle\cdots\rangle_0$ is the average over the equilibrium ensemble in the absence of the force with the distribution $e^{-\beta \mathcal{H}_0} / \int d \Gamma(0) e^{-\beta \mathcal{H}_0(\Gamma(0))}$. Because, for time $t>0$, the perturbation is turned off and the time evolution is generated by $\mathcal{H}_0,\left\langle\mathcal{X}_j(t)\right\rangle_0 \equiv$ $\left\langle\mathcal{X}_j(\Gamma(t))\right\rangle_0$ is equal to $\left\langle\mathcal{X}_j(0)\right\rangle_0 \equiv\left\langle\mathcal{X}_j\right\rangle_0$, which is time-independent. If we retain in (17.17) the term linear in $f_i$, which is small, we arrive at an important result: $$ \begin{aligned} \Delta X_j(t) & \equiv\left\langle\mathcal{X}_j(t)\right\rangle-\left\langle\mathcal{X}_j\right\rangle_0 \ & =\beta f_i\left\langle\Delta \mathcal{X}_j(t) \Delta \mathcal{X}_i(0)\right\rangle_0=\beta f_i C{j i}(t)
\end{aligned}
$$
统计物理代考
物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|Macroscopic Consideration
在第一章 9 ，我们研究了静态线性响应理论，其中系统变量的变化 $\Delta X_i$ 由小的静力或场引起 $f_i$ 与变量共 轭由其波动给出 $\left\langle\left(\Delta \mathcal{X}i\right)^2\right\rangle_0$. 例如，弹性杆平均伸长的变化 $\Delta X$ 响应小的施加张力 $f$ 是 (谁) 给的 $\Delta X=\chi_s f$, 其中一个常数 $\chi_s$ 是由微观扩展的波动给出的静态响应函数 $\mathcal{X}$ 在没有力的情况下处于平衡状 态， $\chi_s=\beta\left\langle(\Delta \mathcal{X})^2\right\rangle_0$. 这里的响应函数称为拉伸模量。 在这里，我们概括了时间相关情况问题的理论：弹性杆将如何动态延伸以响应作用在系统上的小力 $f(t)$ ， 它具有任意时间依赖性? 天真的概括可能表明 $\Delta X(t)=\chi f(t)$ ，或者 $\Delta X(t)=\chi(t) f(t)$ ，两者都是 错误的！考虑到线性度 $f(t)$ ，我们可以推断出真正的关系是 $$ \Delta X(t)=\int{-\infty}^t \chi\left(t, t^{\prime}\right) f\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}
$$
$\chi\left(t, t^{\prime}\right)$ 是时间相关的动态响应函数，它是系统在末受扰动状态下的固有属性。因为该属性对于时间平移 是不变的， $\chi$ 只取决于差异 $t-t^{\prime}$ 连接响应 $\Delta X(t)$ 和原因 $f\left(t^{\prime}\right): \chi\left(t, t^{\prime}\right)=\chi\left(t-t^{\prime}\right)$. 等式 (17.1) 表 示系统对一般力的响应是延迟的。只在极限 $\chi\left(t-t^{\prime}\right) \rightarrow \chi_s \delta\left(t-t^{\prime}\right)$ ，响应是瞬时的，
$\Delta X(t)=\chi_s f(t)$. 第二， $\chi\left(t-t^{\prime}\right)$ 仅当 $t>t^{\prime}$ ，遵循因果关系原则，即因果关系。因此 (17.1) 可以替 换为
$$
\Delta X(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \chi\left(t-t^{\prime}\right) f\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}
$$
线性响应 $\Delta X(t)$ 到一个振荡力 $f\left(t^{\prime}\right)=a \cos \Omega t^{\prime}=\operatorname{Re}\left[a e^{-i \Omega t^{\prime}}\right]$ 读
$$
\Delta X(t)=\int_{-\infty}^t d t^{\prime} \chi\left(t-t^{\prime}\right) \operatorname{Re}\left[a e^{-i \Omega t^{\prime}}\right] \quad=\operatorname{Re}\left[\int_{-\infty}^t d t^{\prime} \chi\left(t-t^{\prime}\right) a e^{i \Omega\left(t-t^{\prime}\right)} e^{-i \Omega t}\right]=\operatorname{Re}
$$
在哪里
$$
\chi(\Omega)=\int_0^{\infty} d t e^{i \Omega t} \chi(t)=\int_{-\infty}^{\infty} d t e^{i \Omega t} \chi(t)
$$
是时间傅立叶变换 $\chi(t)$ ，它消失了 $t<0$.
物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|Statistical Mechanics of Dynamic Response Function
现在让我们得到 $\chi(t)$ 使用基于微观视图的统计力学，逐步卸载 $f_i$ ，这不仅限于张力，还可以包括各种力 和场。结合到 $f_i$ 是系统变量 $\mathcal{X}i$ ，其平均值不仅可以是宏观位移 $X_i$ 在（表 2.1）中引入，但也可以是介观变 量，例如，布朗粒子的位移。 我们认为，从遥远的过去开始，我们的系统被视为经典的多体系统，在恒定力的作用下达到平衡状态 $f_i$ 直 到 $t=0$ ，之后力被关闭。在 $t=0$ (最初)，系统的哈密顿量是 $$ \mathcal{H}(\Gamma(0))=\mathcal{H} 0(\Gamma(0))-f_i \mathcal{X}_i(\Gamma(0)) $$ 在哪里 $\Gamma(0)$ 是系统的多粒子相空间点，描述了初始状态并演化为 $\Gamma(t)$ 晩些时候 $t$ (图 17.2b) 。宏观位移 $X_j(t)$ 在 $t$ 是系统相应微观变量的平均值 $\mathcal{X}_j(t)=\mathcal{X}_j(\Gamma(t))$ 在最初使用分布准备的所有微观状态 $e^{-\beta \mathcal{H}(\Gamma(0))} / \sum \mathcal{M} e^{-\beta \mathcal{H}(\Gamma(0))}$ $X{-j}(t)=\backslash$ left \langle $\backslash$ mathcal ${X} j(t) \backslash r i g h t \backslash r a n g l e=\backslash f r a c\left{\backslash\right.$ int $d \backslash G a m m a(0) \backslash$ fft $\left{\backslash m a t h c a \mid{X} __(\backslash G a m m a(t)) e^{\wedge}{-\backslash b e t a \backslash m\right.$.
因为 $\mathcal{H}^{\prime}=-f_i \mathcal{X}_i$ 是一个扰动， $e^{-\beta \mathcal{H}(\Gamma(0))} \approx e^{-\beta \mathcal{H}_0}\left(1+\beta f_i \mathcal{X}_i(0)\right)$ ，和
在哪里 $\langle\cdots\rangle_0$ 是在没有分布力的情况下平衡整体的平均值 $e^{-\beta \mathcal{H}_0} / \int d \Gamma(0) e^{-\beta \mathcal{H}_0(\Gamma(0))}$. 因为，为了时间 $t>0$ ，扰动被关闭，时间演化由 $\mathcal{H}_0,\left\langle\mathcal{X}_j(t)\right\rangle_0 \equiv\left\langle\mathcal{X}_j(\Gamma(t))\right\rangle_0$ 等于 $\left\langle\mathcal{X}_j(0)\right\rangle_0 \equiv\left\langle\mathcal{X}_j\right\rangle_0$ ，这是时间无 关的。如果我们在 (17.17) 中保留线性项 $f_i$ ，很小，我们得出一个重要的结果:
$$
\Delta X_j(t) \equiv\left\langle\mathcal{X}_j(t)\right\rangle-\left\langle\mathcal{X}_j\right\rangle_0 \quad=\beta f_i\left\langle\Delta \mathcal{X}_j(t) \Delta \mathcal{X}_i(0)\right\rangle_0=\beta f_i C j i(t)
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。