物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The QED Hamiltonian
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电动力学是物理学的一个分支,处理快速变化的电场和磁场。
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物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The QED Hamiltonian
Canonical quantisation of the classical Hamiltonian scheme (3.254)-(3.257) leads to the usual form of non-relativistic quantum electrodynamics. The Hamiltonian operator for a closed system of charged particles and electromagnetic radiation, with the vector potential in an arbitrary gauge, is
$$
\mathbf{H}=\frac{1}{2} \sum_n^N \frac{1}{m_n}\left(\mathbf{p}n-e_n \mathbf{a}\left(\mathbf{x}_n\right)\right)^2+\frac{1}{2} \varepsilon_0 \int\left(\varepsilon_0^{-2} \pi \cdot \pi+c^2 \mathbf{B} \cdot \mathbf{B}\right) \mathrm{d}^3 \mathbf{x} $$ The equal time commutation relations for the particle and field variables are $$ \begin{aligned} {\left[\mathrm{x}_n^r, \mathrm{p}_m^s\right] } & =i \hbar \delta{n m} \delta_{r s}, \
{\left[\mathrm{a}(\mathbf{x})^r, \pi\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)^s\right] } & =i \hbar\left(\delta_{r s} \delta^3\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right)-\nabla_{\mathbf{x}}^r g\left(\mathbf{x}^{\prime}, \mathbf{x}\right)^s\right) \
{\left[\pi(\mathbf{x})^r, \mathrm{p}_n^s\right] } & =i \hbar e_n \nabla_n^s g\left(\mathbf{x}, \mathbf{x}_n\right)^r,
\end{aligned}
$$
where $\mathbf{g}\left(\mathbf{x}, \mathbf{x}^{\prime}\right)$ is a Green’s function for the divergence operator, (2.64).
As in the classical theory the constraint $(9.41)$ becomes an ordinary equation, but now between operators,
$$
\boldsymbol{\nabla} \cdot \pi+\rho=0
$$
which is Gauss’s law. In a Schrödinger representation, the operators are time independent, and the time evolution is carried by the quantum states according to the Schrödinger equation
$$
i \hbar \frac{\partial \Psi_S}{\partial t}=\mathrm{H} \Psi_S
$$
In order to cast the Hamiltonian (9.86) into a form appropriate for quantum mechanical perturbation theory through the partition
$$
\mathrm{H}=\mathrm{H}_0+\mathrm{V}
$$
the first term in $(9.86)$, which overall is gauge invariant, must be multiplied out as
$$
\sum_n\left(\frac{\left|\mathbf{p}_n\right|^2}{2 m_n}-\frac{e_n}{2 m_n} \mathbf{p}_n \cdot \mathbf{a}\left(\mathbf{x}_n\right)-\frac{e_n}{2 m_n} \mathbf{a}\left(\mathbf{x}_n\right) \cdot \mathbf{p}_n+\frac{e_n^2}{2 m_n} \mathbf{a}\left(\mathbf{x}_n\right) \cdot \mathbf{a}\left(\mathbf{x}_n\right)\right) .
$$
The first term contributes to $\mathrm{H}_0$, while the remainder belongs to $\mathrm{V}$. The division of the Hamiltonian into parts (‘system’ + ‘perturbation’) in (9.92) is conventional and must not affect the final results of any calculation. We choose to locate the dependence on the arbitrary Green’s function $g$ in the ‘perturbation’ part as a step towards the customary methods of quantum theory. It will be convenient in the following, however, to regard the complete Hamiltonian (9.86) as a functional of g, and we denote it by $\mathrm{H}=\mathrm{H}[\mathbf{g}]$. Since $\mathbf{g}^{\perp}$ can be chosen at will, V[g] has an arbitrary character which can be identified with the occurrence of gauge transformations in electrodynamics.
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The Power–Zienau–Woolley Transformation
The functional scalar product of the electric polarisation field, $\mathbf{P}(\mathbf{x})$, and the classical vector potential, $\mathbf{a}(\mathbf{x})$, is defined as the integral over all space of their scalar product:
$$
F=\int \mathbf{P}(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{a}(\mathbf{x}) \mathrm{d}^3 \mathbf{x}
$$
We first met it in Chapter 3 , where it appeared in the discussion of the gauge invariance of the Lagrangian for classical electrodynamics; as noted there, it has the same dimensions as Planck’s constant, $h$, that is, dimensions of action. In the classical Hamiltonian scheme for electrodynamics it is the generator of a canonical transformation that displays the relationship between the Coulomb gauge Hamiltonian $\left(\mathbf{g}^{\perp}=0\right)$ and the Hamiltonian in an arbitrary gauge parameterised by some non-zero $\mathbf{g}^{\perp}$. In quantum theory $F$ becomes a formally self-adjoint operator after quantisation of either the particle variables ( $\mathrm{F}_{\mathrm{sc}}$ in the semiclassical radiation model, 89.5 ) or both the particle and field variables ( $\mathrm{F}$ in $\mathrm{QED}, \S 9.3 .2$ ) and, as we have just seen, it acts, in close analogy with the classical theory, as the generator of an important unitary transformation that plays the same role as the classical canonical transformation.
In the original formulations of the unitary transformation $(9.108),(9.109)$, definite choices were made for the polarisation field; Power and Zienau expressed it using the leading terms of the multipole series development obtained from the atomic charge density operator (cf. the discussion in $\$ 2.4 .3$ ),
$$
\begin{aligned}
& \mathbf{P}(\mathbf{x}) \approx(\mathbf{d}+\mathbf{Q} \cdot \boldsymbol{\nabla}+\ldots) \delta^3(\mathbf{x}), \
& \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{P}=-\rho
\end{aligned}
$$
clearly reflecting a prior conception of an atom as a bound collection of charges centred on the origin [14], [41]. The semiclassical form of the generator of the transformation had been given much earlier in a simplified form by Goeppert-Mayer [42]; only the electric dipole operator in the multipole series was retained, and the classical vector potential had no spatial variation:
$$
\mathrm{F}{\mathrm{sc}} \approx \mathbf{d} \cdot \mathbf{A}(t) $$ Later, and independently of Power and Zienau, Fiutak showed that the complete multipole series representation of the action $\mathrm{F}{\mathrm{sc}}$ could be summed up into an integral; if we choose a fixed vector $\mathbf{O}$ as the atomic origin about which the multipole expansion is made and set
$$
\mathbf{x}n=\mathbf{q}_n+\mathbf{O} $$ for the particle coordinates, the integral representation for the semiclassical case is $$ \mathrm{F}{\mathrm{sc}}=\sum_n e_n \mathbf{q}_n \cdot \int_0^1 \mathbf{A}\left(\sigma \mathbf{q}_n, t\right) \mathrm{d} \sigma
$$
电动力学代考
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The QED Hamiltonian
经典哈密顿方案 (3.254)-(3.257) 的规范量化导致非相对论量子电动力学的通常形式。带电粒子和电磁辐射 的封闭系统的哈密顿算符,矢量势在任意规范中,是
$$
\mathbf{H}=\frac{1}{2} \sum_n^N \frac{1}{m_n}\left(\mathbf{p} n-e_n \mathbf{a}\left(\mathbf{x}n\right)\right)^2+\frac{1}{2} \varepsilon_0 \int\left(\varepsilon_0^{-2} \pi \cdot \pi+c^2 \mathbf{B} \cdot \mathbf{B}\right) \mathrm{d}^3 \mathbf{x} $$ 粒子和场变量的等时交换关系为 $$ \left[\mathrm{x}_n^r, \mathrm{p}_m^s\right]=i \hbar \delta n m \delta{r s},\left[\mathrm{a}(\mathbf{x})^r, \pi\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)^s\right]=i \hbar\left(\delta_{r s} \delta^3\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right)-\nabla_{\mathbf{x}}^r g\left(\mathbf{x}^{\prime}, \mathbf{x}\right)^s\right)\left[\pi(\mathbf{x})^r, \mathrm{p}_n^s\right]
$$
在哪里 $\mathbf{g}\left(\mathbf{x}, \mathbf{x}^{\prime}\right)$ 是散度算子 (2.64) 的格林函数。
正如经典理论中的约束 $(9.41)$ 变成一个普通的方程,但现在在运算符之间,
$$
\nabla \cdot \pi+\rho=0
$$
这就是高斯定律。在薛定谔表示中,算子与时间无关,时间演化由量子态根据薛定谔方程进行
$$
i \hbar \frac{\partial \Psi_S}{\partial t}=\mathrm{H} \Psi_S
$$
为了通过划分将哈密顿量 (9.86) 转化为适合量子力学微扰理论的形式
$$
\mathrm{H}=\mathrm{H}_0+\mathrm{V}
$$
第一个学期 $(9.86)$ ,总体上是规范不变的,必须乘以
$$
\sum_n\left(\frac{\left|\mathbf{p}_n\right|^2}{2 m_n}-\frac{e_n}{2 m_n} \mathbf{p}_n \cdot \mathbf{a}\left(\mathbf{x}_n\right)-\frac{e_n}{2 m_n} \mathbf{a}\left(\mathbf{x}_n\right) \cdot \mathbf{p}_n+\frac{e_n^2}{2 m_n} \mathbf{a}\left(\mathbf{x}_n\right) \cdot \mathbf{a}\left(\mathbf{x}_n\right)\right)
$$
第一个术语有助于 $\mathrm{H}_0$ ,而其余部分属于V. 在 (9.92) 中将哈密顿量划分为多个部分 (‘系统’ + ‘扰动’) 是约 定俗成的,不得影响任何计算的最终结果。我们选择定位对任意格林函数的依赖 $g$ 在“扰动”部分作为迈向 量子理论惯用方法的一步。然而,在下文中,将完整的哈密顿量 (9.86) 视为 $g$ 的泛函会很方便,我们将其 表示为 $\mathrm{H}=\mathrm{H}[\mathbf{g}]$. 自从 $\mathbf{g}^{\perp}$ 可以随意选择, $V[g]$ 具有任意性,可以用电动力学中规范变换的发生来识别。
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|The Power–Zienau–Woolley Transformation
电极化场的函数标量积, $\mathbf{P}(\mathbf{x})$ 和经典矢量势, $\mathbf{a}(\mathbf{x})$ ,被定义为其标量积在所有空间上的积分:
$$
F=\int \mathbf{P}(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{a}(\mathbf{x}) \mathrm{d}^3 \mathbf{x}
$$
我们第一次见到它是在第 3 章,它出现在对经典电动力学拉格朗日量的规范不变性的讨论中;如那里所 述,它与普朗克常数具有相同的尺寸, $h$ ,即行动的维度。在电动力学的经典哈密顿方案中,它是规范变 换的生成器,显示了库仑规范哈密顿量之间的关系 $\left(\mathrm{g}^{\perp}=0\right)$ 和由一些非零参数化的任意规范中的哈密顿 量 $\mathbf{g}^{\perp}$. 在量子理论中 $F$ 在量化粒子变量 $\left(\mathrm{F}_{\mathrm{sc}}\right.$ 在半经典辐射模型中,89.5) 或粒子和场变量 $(\mathrm{F}$ 在 $\mathrm{QED}, \S 9.3 .2)$ 并且,正如我们刚刚看到的,它与经典理论非常相似,作为一个重要的么正变换的生成 器,该变换与经典正则变换起着相同的作用。
在西变换的原始公式中 (9.108), (9.109),对极化场进行了明确的选择; Power 和 Zienau 使用从原子电荷 密度算子获得的多极级数展开的主要项来表达它(参见讨论 $\$ 2.4 .3$ ),
$$
\mathbf{P}(\mathbf{x}) \approx(\mathbf{d}+\mathbf{Q} \cdot \boldsymbol{\nabla}+\ldots) \delta^3(\mathbf{x}), \quad \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{P}=-\rho
$$
清楚地反映了原子作为以原点为中心的电荷束缚集合的先验概念 [14],[41]。Goeppert-Mayer [42] 很早 就以简化形式给出了变换生成器的半经典形式;只保留了多极级数中的电偶极子算子,经典矢量势没有空 间变化:
$$
\operatorname{Fsc} \approx \mathbf{d} \cdot \mathbf{A}(t)
$$
后来,独立于 Power 和 Zienau,Fiutak 证明了作用的完整多极级数表示Fsc可以归纳为一个积分;如果 我们选择一个固定向量 $\mathbf{O}$ 作为进行多极展开并设置的原子原点
$$
\mathbf{x} n=\mathbf{q}_n+\mathbf{O}
$$
对于粒子坐标,半经典情况的积分表示是
$$
\mathrm{Fsc}=\sum_n e_n \mathbf{q}_n \cdot \int_0^1 \mathbf{A}\left(\sigma \mathbf{q}_n, t\right) \mathrm{d} \sigma
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。
有限元方法代写
有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。
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