STAT 5502 - 统计代写答疑辅导

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统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考| Balancing for Polynomial Models

Posted on 2022年4月19日2022年4月19日 by statistics-lab

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抽样调查是一种非全面调查，根据随机的原则从总体中抽取部分实际数据进行调查，并运用概率估计方法，根据样本数据推算总体相应的数量指标的一种统计分析方法。

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Robust components with state machines — 统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考| Balancing for Polynomial Models

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Balancing for Polynomial Models

We return to the model $\mathcal{M}{10}^{\prime}$ of $4.1 .2$ and consider an extension $\mathcal{M}{k}$ defined as follows:
$$
\begin{aligned}
Y_{i} &=\sum_{j=0}^{k} \beta_{j} X_{i}^{j}+\varepsilon_{i} \
E_{m}\left(\varepsilon_{i}\right) &=0, V_{m}\left(\varepsilon_{i}\right)=\sigma^{2}, C_{m}\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right)=0, \text { for } i \neq j
\end{aligned}
$$
where $i, j=1,2, \ldots, N$. By generalizing the developments of section 4.1.2, we derive.

RESULT 4.2 Let $\mathcal{M}{k}$ be given. Then, the MSE of the $B L U$ predictor $t{o}$ for $Y$ is minimum for a sample $s$ of size $n$ if
$$
\frac{1}{n} \sum_{s} X_{i}^{j}=\frac{1}{N} \sum_{1}^{N} X_{i}^{j} \text { for } j=0,1, \ldots, k \text {. }
$$
If these equalities hold we have
$$
t_{o}(s, Y)=N \bar{y} \text {. }
$$
A sample satisfying the equalities in Result $4.2$ is said to be balanced up to order $k$.

Now, assume the true model $\mathcal{M}{k^{\prime}}$ agrees with a statistician’s working model $\mathcal{M}{k}$ in all respects except that
$$
E_{m}\left(Y_{i}\right)=\sum_{0}^{k^{\prime}} \beta_{j} X_{i}^{j}
$$
with $k^{\prime}>k$. The statistician will use $t_{o}$ instead of $t_{o}^{\prime}$, the BLU predictor for $Y$ on the base of $\mathcal{M}_{k^{\prime}}$. However, if he selects a

sample that is balanced up to order $k^{\prime}$
$$
t_{o}^{\prime}(s, Y)=t_{o}(s, Y)=N \bar{y}
$$
and his error does not cause losses.
It is, of course, too ambitious to realize exactly the balancing conditions even if $k^{\prime}$ is of moderate size, for example, $k^{\prime}=4$ or 5 . But if $n$ is large the considerations outlined in Result 4.1 apply again for SRSWOR or SRSWOR independently from within strata after internally homogeneous strata are priorly constructed.

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Linear Models in Matrix Notation

Suppose $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$ are real variables, called auxiliary or explanatory variables, each closely related to the variable of interest $y$. Let
$$
x{i}=\left(X{i 1}, X_{i 2}, \ldots, X_{i k}\right)^{\prime}
$$
be the vector of explanatory variables for unit $i$ and assume the linear model
$$
\begin{gathered}
Y_{i}=x{i}^{\prime} \beta+\varepsilon{i} \
\text { for } i=1,2, \ldots, N . \text { Here } \
\beta=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{k}\right)^{\prime}
\end{gathered}
$$
is the vector of (unknown) regression parameters; $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots$, $\varepsilon_{N}$ are random variables satisfying
$$
\begin{aligned}
E_{m} \varepsilon_{i} &=0 \
V_{m} \varepsilon_{i} &=v_{i i} \
C_{m}\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right) &=v_{i j}, i \neq j
\end{aligned}
$$
where $E_{m}, V_{m}, C_{m}$ are operators for expectation, variance, and covariance with respect to the model distribution; and the matrix $V=\left(v_{i j}\right)$ is assumed to be known up to a constant $\sigma^{2}$.
To have a more compact notation define
$$
\begin{aligned}
Y &=\left(Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{N}\right)^{\prime} \
X &=\left(x{1}, x{2}, \ldots, x{N}\right)^{\prime}=\left(X{i j}\right) \
\varepsilon &=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots, \varepsilon_{N}\right)^{\prime}
\end{aligned}
$$

and write the linear model as
$$
Y=X \beta+\varepsilon
$$
where
$$
\begin{aligned}
E_{m \varepsilon} &=0 \
V_{m}(\varepsilon) &=V
\end{aligned}
$$

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Robustness Against Model Failures

Consider the general linear model described in section 4.1.4. TAM (1986) has shown that a necessary and sufficient condition for
$$
T^{\prime} Y{s}=\sum{s} T_{i} Y_{i}
$$
to be $\mathrm{BLU}$ for $Y=1^{\prime} Y$ is that
(a) $\frac{T}{V} \frac{X_{s}}{T}=1 K T$
(b) $\frac{T}{V_{s s}} \underline{T}-\bar{K} 1 \in M\left(X{s}\right)$ where $$ K=\left(V{s s}, V_{s r}\right),
$$
and $M\left(X{s}\right)$ is the column space of $X{s}$.

In case $V_{r s}=0$ these conditions reduce to $(q)$ and
$(b)^{\prime} \quad V_{s s}\left(T-1{s}\right) \in M\left(X{s}\right)$
as given earlier by PEREIRA and RODRIGUES (1983).
By TAM’s (1986) results one may deduce the following.
If the true model is as above, $\mathcal{M}$, but one employs the best predictor postulating a wrong model, say $\mathcal{M}^{}$, using $X^{}$ instead of $X$ throughout where
$$
X=\left(X^{}, X\right), $$ then the best predictor under $\mathcal{M}^{}$ is still best under $\mathcal{M}$ if and only if
$$
T^{\prime} X_{s}=1^{\prime} \tilde{X}
$$
using obvious notations. This evidently is a condition that the predictor should remain model-unbiased under the correct model $\mathcal{M}$. Thus, choosing a right sample meeting this stipulation, one may achieve robustness. But, in practice, $X$ will be unknown and one cannot realize this robustness condition at will, although for large samples this condition may hold approximately. In this situation, it is advisable to adopt suitable unequal probability sampling designs that assign higher selection probabilities to samples for which this condition should hold approximately, provided one may guess effectively the nature for variables omitted but influential in explaining variabilities in $y$ values. If a sample is thus rightly chosen one may preserve optimality even under modeling deficient as above. On the other hand, if one employs the best predictor using $W^{}$ instead of $X$ when $W^{}=(X, W)$, then this predictor continues to remain best if and only if the condition (b) above still holds. But this condition is too restrictive, demanding correct specification of the nature of $V$, which should be too elusive in practice. ROYALL and HERSON (1973), TALLIS (1978), SCOTT, BREWER and Ho (1978), PEREIRA and RODRIGUES (1983), RODRIGUES (1984), ROYALL and PFEFFERMANN (1982), and PFEFFERMANN (1984) have derived results relevant to this context of robust prediction.

抽样调查sampling theory代写

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Balancing for Polynomial Models

我们回到模型 $\mathcal{M} {10}^{\prime}这F4.1 .2一种ndC这ns一世d和r一种n和X吨和ns一世这n\数学{M} {k}d和F一世n和d一种sF这ll这在s:是一世=∑j=0ķbjX一世j+e一世和米(e一世)=0,在米(e一世)=σ2,C米(e一世,ej)=0, 为了一世≠j在H和r和i, j=1,2, \ldots, N$。通过概括第 4.1.2 节的发展，我们得出。

结果 4.2 设 $\mathcal{M} {k}b和G一世在和n.吨H和n,吨H和米小号和这F吨H和蓝色的pr和d一世C吨这rt {o}F这r是一世s米一世n一世米在米F这r一种s一种米pl和s这Fs一世和和n一世F1n∑sX一世j=1ñ∑1ñX一世j 为了 j=0,1,…,ķ. 一世F吨H和s和和q在一种l一世吨一世和sH这ld在和H一种在和$
t_{o}(s, Y )=N \bar{y} \text {. }
$$
一个满足 Result 等式的样本4.2据说是按订单平衡的ķ.

现在，假设真实模型米ķ′同意统计学家的工作模式米ķ在所有方面，除了
和米(是一世)=∑0ķ′bjX一世j
和ķ′>ķ. 统计学家将使用吨这代替吨这′, BLU 预测器是基于米ķ′. 但是，如果他选择了

按订单平衡的样品ķ′
$$
t_{o}^{\prime}(s, Y )=t_{o}(s, Y )=N \bar{y}
$$
并且他的错误不会造成损失。
当然，要准确地实现平衡条件过于雄心勃勃，即使ķ′大小适中，例如，ķ′=4或 5。但如果n结果 4.1 中概述的考虑因素再次适用于独立于地层内部的 SRSWOR 或 SRSWOR 在内部均质地层预先构建后。

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Linear Models in Matrix Notation

认为X1,X2,…,Xķ是实变量，称为辅助变量或解释变量，每个变量都与感兴趣的变量密切相关是. 令
$$
x {i}=\left(X{i 1}, X_{i 2}, \ldots, X_{ik}\right)^{\prime}
b和吨H和在和C吨这r这F和Xpl一种n一种吨这r是在一种r一世一种bl和sF这r在n一世吨$一世$一种nd一种ss在米和吨H和l一世n和一种r米这d和l
\begin{gathered}
Y_{i}= x {i}^{\prime} \beta +\varepsilon{i} \
\text { for } i=1,2, \ldots, N 。\text { 这里 } \
\beta =\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{k}\right)^{\prime}
\end{gathered}
一世s吨H和在和C吨这r这F(在nķn这在n)r和Gr和ss一世这np一种r一种米和吨和rs;$e1,e2,…$,$eñ$一种r和r一种nd这米在一种r一世一种bl和ss一种吨一世sF是一世nG
和米e一世=0 在米e一世=在一世一世 C米(e一世,ej)=在一世j,一世≠j
在H和r和$和米,在米,C米$一种r和这p和r一种吨这rsF这r和Xp和C吨一种吨一世这n,在一种r一世一种nC和,一种ndC这在一种r一世一种nC和在一世吨Hr和sp和C吨吨这吨H和米这d和ld一世s吨r一世b在吨一世这n;一种nd吨H和米一种吨r一世X$在=(在一世j)$一世s一种ss在米和d吨这b和ķn这在n在p吨这一种C这ns吨一种n吨$σ2$.吨这H一种在和一种米这r和C这米p一种C吨n这吨一种吨一世这nd和F一世n和
\begin{aligned}
Y &=\left(Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{N}\right)^{\prime} \
X &=\left( x {1}, x { 2}, \ldots, x {N}\right)^{\prime}=\left(X{ij}\right) \
\varepsilon &=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ ldots, \varepsilon_{N}\right)^{\prime}
\end{aligned}
$$

并将线性模型写为
$$
Y = X \beta + \varepsilon
在H和r和
\begin{对齐}
E_{m \varepsilon } &= 0 \
V_{m}( \varepsilon ) &=V
\end{aligned}
$$

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Robustness Against Model Failures

考虑第 4.1.4 节中描述的一般线性模型。TAM (1986) 证明了
$$
T ^{\prime} Y {s}=\sum{s} T_{i} Y_{i}
$$的充要条件
是乙大号在对于 $Y= 1 \prime} Y一世s吨H一种吨(一种)\frac{T}{V} \frac{X_{s}}{T}= 1 K T(b)\frac{T}{V_{ss}} T -\bar{K} 1 \in M\left( X {s}\right)在H和r和ķ=(在ss,在sr),一种ndM\left( X {s}\right)一世s吨H和C这l在米nsp一种C和这FX {s}$。

如果在rs=0这些条件减少到(q)和
$(b)^{\prime} \quad V_{ss}\left(T- 1 {s}\right) \in M\left( X {s}\right)一种sG一世在和n和一种rl一世和rb是磷和R和一世R一种一种ndR这DR一世G在和小号(1983).乙是吨一种米′s(1986)r和s在l吨s这n和米一种是d和d在C和吨H和F这ll这在一世nG.一世F吨H和吨r在和米这d和l一世s一种s一种b这在和,\数学{M},b在吨这n和和米pl这是s吨H和b和s吨pr和d一世C吨这rp这s吨在l一种吨一世nG一种在r这nG米这d和l,s一种是\数学{M}^{},在s一世nGX ^{}一世ns吨和一种d这FX吨Hr这在GH这在吨在H和r和$
X =\left( X ^{}, X \right),吨H和n吨H和b和s吨pr和d一世C吨这r在nd和r$米$一世ss吨一世llb和s吨在nd和r$米$一世F一种nd这nl是一世F
T ^{\prime} X _{s}= 1 ^{\prime} \tilde{X}
$$
使用明显的符号。这显然是预测器在正确模型下应保持模型无偏的条件米. 因此，选择符合该规定的正确样本，可以实现稳健性。但是，实际上，$ X在一世llb和在nķn这在n一种nd这n和C一种nn这吨r和一种l一世和和吨H一世sr这b在s吨n和ssC这nd一世吨一世这n一种吨在一世ll,一种l吨H这在GHF这rl一种rG和s一种米pl和s吨H一世sC这nd一世吨一世这n米一种是H这ld一种ppr这X一世米一种吨和l是.一世n吨H一世ss一世吨在一种吨一世这n,一世吨一世s一种d在一世s一种bl和吨这一种d这p吨s在一世吨一种bl和在n和q在一种lpr这b一种b一世l一世吨是s一种米pl一世nGd和s一世Gns吨H一种吨一种ss一世GnH一世GH和rs和l和C吨一世这npr这b一种b一世l一世吨一世和s吨这s一种米pl和sF这r在H一世CH吨H一世sC这nd一世吨一世这nsH这在ldH这ld一种ppr这X一世米一种吨和l是,pr这在一世d和d这n和米一种是G在和ss和FF和C吨一世在和l是吨H和n一种吨在r和F这r在一种r一世一种bl和s这米一世吨吨和db在吨一世nFl在和n吨一世一种l一世n和Xpl一种一世n一世nG在一种r一世一种b一世l一世吨一世和s一世n是在一种l在和s.一世F一种s一种米pl和一世s吨H在sr一世GH吨l是CH这s和n这n和米一种是pr和s和r在和这p吨一世米一种l一世吨是和在和n在nd和r米这d和l一世nGd和F一世C一世和n吨一种s一种b这在和.这n吨H和这吨H和rH一种nd,一世F这n和和米pl这是s吨H和b和s吨pr和d一世C吨这r在s一世nGW ^ {}一世ns吨和一种d这FX在H和nW ^{}=( X , W ),吨H和n吨H一世spr和d一世C吨这rC这n吨一世n在和s吨这r和米一种一世nb和s吨一世F一种nd这nl是一世F吨H和C这nd一世吨一世这n(b)一种b这在和s吨一世llH这lds.乙在吨吨H一世sC这nd一世吨一世这n一世s吨这这r和s吨r一世C吨一世在和,d和米一种nd一世nGC这rr和C吨sp和C一世F一世C一种吨一世这n这F吨H和n一种吨在r和这FV$，这在实践中应该太难以捉摸了。ROYALL 和 HERSON (1973)、TALLIS (1978)、SCOTT、Brewer 和 Ho (1978)、PEREIRA 和 RODRIGUES (1983)、RODRIGUES (1984)、ROYALL 和 PFEFFERMANN (1982) 以及 PFEFFERMANN (1984) 得出的结果与这种稳健预测的背景。

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随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

随着AI的大潮到来，Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比，Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用，因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”，也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多，跨学科范围广，所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题，StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。

多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考| MODEL-DEPENDENT ESTIMATION

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统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考| MODEL-DEPENDENT ESTIMATION

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Linear Models and BLU Predictors

Let a superpopulation be modeled as follows:
$$
Y_{i}=\beta X_{i}+\varepsilon_{i}, i=1, \ldots, N
$$
where $X_{i}$ ‘s are the known positive values of a nonstochastic real variable $x ; \varepsilon_{i}$ ‘s are random variables with
$$
E_{m}\left(\varepsilon_{i}\right)=0, V_{m}\left(\varepsilon_{i}\right)=\sigma_{i}^{2}, C_{m}\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right)=\rho_{i j} \sigma_{i} \sigma_{j},
$$
writing $E_{m}, V_{m}, C_{m}$ as operators for expectation, variance and covariance with respect to the modeled distribution.

To estimate $Y=\Sigma_{s} Y_{i}+\Sigma_{r} Y_{i}$, where $\Sigma_{r} Y_{i}$ is the value of a random variable, is actually to predict this value, add that predicted value to the observed quantity $\Sigma_{s} Y_{i}$, and hence obtain a predicted value of $Y$, which also is a random variable in the present formulation of the problem.
Since
$$
\sum_{r} Y_{i}=\beta \sum_{r} X_{i}+\sum_{r} \varepsilon_{i}
$$
with $E_{m} \Sigma_{r} \varepsilon_{i}=0$, a predictor for $\Sigma_{r} Y_{i}$ may be $\hat{\beta} \Sigma_{r} X_{i}$. Here $\hat{\beta}$ is a function of $d$ (and $X$ ) and for simplicity we will take it as linear in $Y$,
$$
\hat{\beta}=\sum_{s} B_{i} Y_{i} \text {, say. }
$$
The resulting predictor for $Y$
$$
t=\sum_{s} Y_{i}+\hat{\beta} \sum_{r} X_{i}
$$

will then be model-unbiased ( $m$-unbiased) if
$$
\begin{aligned}
0 &=E_{m}(t-Y) \
&=E_{m}\left(\sum_{s} Y_{i}+\beta \sum_{r} X_{i}-\sum_{s} Y_{i}-\sum_{r} Y_{i}\right) \
&=E_{m}\left(\hat{\beta} \sum_{r} X_{i}-\beta \sum_{r} X_{i}-\sum_{r} \varepsilon_{i}\right) \
&=\left[E_{m}(\hat{\beta})-\beta\right] \sum_{r} X_{i}
\end{aligned}
$$
that is, if
$\begin{aligned} \beta &=E_{m} \hat{\beta} \ &=E_{m} \sum_{i \in s} B_{i}\left(\beta X_{i}+\varepsilon_{i}\right) \ &=\beta \sum_{i \in s} B_{i} X_{i} \end{aligned}$ which is equivalent to $$ \sum_{i \in s} B_{i} X_{i}=1 . $$
Note that the predictor for $Y$ then takes the form
$$
\begin{aligned}
t &=\sum_{i \in s}\left(1+B_{i} \sum_{r} X_{j}\right) Y_{i} \
&=\sum_{i \in s} a_{s i} Y_{i}, \text { say }
\end{aligned}
$$
and
$$
\begin{aligned}
\sum a_{s i} X_{i} &=\sum_{i \in s} X_{i}\left(1+B_{i} \sum_{r} X_{j}\right) \
&=\sum_{s} X_{i}+\sum_{s} X_{i} B_{i} \cdot \sum_{r} X_{j} \
&=X
\end{aligned}
$$
This is the equation known from representativity and calibration.

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Purposive Selection

We introduce some notations for easy reference to several models.

Arbitrary random variables $Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{N}$ may be written as
$$
Y_{i}=\mu_{i}+\varepsilon_{i}
$$
where $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots, \varepsilon_{N}$ are random variables with
$$
E_{m}\left(\varepsilon_{i}\right)=0, V_{m}\left(\varepsilon_{i}\right)=\sigma_{i}^{2}, C_{m}\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right)=\rho_{i j} \sigma_{i} \sigma_{j}
$$
for $i, j=1,2, \ldots, N$ and $i \neq j$.
A superpopulation model of special importance is defined by the restrictions
$$
\begin{aligned}
\mu_{i} &=\beta X_{i} \
\sigma_{i}^{2} &=\sigma^{2} X_{i}^{\gamma}
\end{aligned}
$$
with known positive values $X_{i}$ of a nonstochastic variable $x$. This model is denoted by
$$
\begin{array}{ll}
\mathcal{M}{0 \gamma} & \text { if } \rho{i j}=\rho \text { for all } i \neq j \
\mathcal{M}{1 \gamma} & \text { if } \rho{i j}=0 \text { for all } i \neq j \
\mathcal{M}{2 \gamma} & \text { if } \varepsilon{1}, \varepsilon_{2}, \ldots, \varepsilon_{N} \text { are independent }
\end{array}
$$
(cf. section 3.2.4). If the assumption $\mu_{i}=\beta X_{i}$ is replaced by
$$
\mu_{i}=\alpha+\beta X_{i}
$$
we write $\mathcal{M}{j \gamma}^{\prime}$ instead of $\mathcal{M}{j \gamma}$ for $j=0,1,2$.
In the previous section we have shown that the ratio predictor $t_{R}$ is BLU under $\mathcal{M}{11}$ and has the MSE $$ M{0}=\frac{N^{2}}{n}(1-f) \frac{\bar{X} \bar{x}{r}}{\bar{x}} \sigma^{2} . $$ It follows from the last formula that if the $n$ units with the largest $X{i}$ ‘s are chosen as to constitute the sample on which to base the BLUP $t_{R}$, then the value of $M_{0}$ will be minimal. So, an optimal sampling design is a purposive one that prescribes to select with probability one a sample of $n$ units with the largest $X_{i}$ values.

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Balancing and Robustness for M11

In practice, we never will be sure as to which particular model is appropriate in a given situation. Let us suppose that the model $\mathcal{M}_{11}$ is considered adequate and one contemplates

adopting the optimal strategy $\left(p_{n o}, t_{R}\right)$ for which
$$
V_{m}\left(t_{R}-Y\right)=M_{0}=\frac{N^{2}(1-f)}{n} \frac{\bar{X} \bar{x}{r}}{\bar{x}} \sigma^{2} $$ as noted in section 4.1.1. We intend to examine what happens to the performance of this strategy if the correct model is $\mathcal{M}{11}^{\prime}$.
Under $\mathcal{M}{11}^{\prime}$, $$ E{m}\left(t_{R}\right)=N \alpha \frac{\bar{X}}{\bar{x}}+\beta X
$$
and thus $t_{R}$ has the bias
$$
B_{m}\left(t_{R}\right)=E_{m}\left(t_{R}-Y\right)=N \alpha\left(\frac{\bar{X}}{\bar{x}}-1\right)
$$
which vanishes if and only if $\bar{x}$ equals $\bar{X}$. So, if instead of the design $p_{n o}$, which is optimal under $\mathcal{M}{11}$, one adopts a design for which $\bar{x}$ equals $\bar{X}$, then $t{R}$, which is $m$-unbiased under $\mathcal{M}{11}$, continues to be $m$-unbiased under $\mathcal{M}{11}^{\prime}$ as well.

A sample for which $\bar{x}$ equals $\bar{X}$ is called a balanced sample and a design that prescribes choosing a balanced sample with probability one is called a balanced design. Hence, based on a balanced sample, $t_{R}$ is robust in respect of model failure.

It is important to note that $t_{R}$ based on a balanced sample is identical to the expansion predictor $N \bar{y}$.

Predictive Modelling Using Linear Regression | by RAJAT PANCHOTIA | The Startup | Medium — 统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考| MODEL-DEPENDENT ESTIMATION

抽样调查sampling theory代写

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Linear Models and BLU Predictors

让超种群建模如下：
是一世=bX一世+e一世,一世=1,…,ñ
在哪里X一世是非随机实变量的已知正值X;e一世是随机变量
和米(e一世)=0,在米(e一世)=σ一世2,C米(e一世,ej)=ρ一世jσ一世σj,
写作和米,在米,C米作为模型分布的期望、方差和协方差的算子。

估计是=Σs是一世+Σr是一世，在哪里Σr是一世是一个随机变量的值，其实就是预测这个值，把那个预测值加到观察量上Σs是一世，从而获得预测值是，这也是当前问题表述中的随机变量。
自从
∑r是一世=b∑rX一世+∑re一世
和和米Σre一世=0, 一个预测器Σr是一世或许b^ΣrX一世. 这里b^是一个函数d（和$ X)一种ndF这rs一世米pl一世C一世吨是在和在一世ll吨一种ķ和一世吨一种sl一世n和一种r一世n是,b^=∑s乙一世是一世，说。吨H和r和s在l吨一世nGpr和d一世C吨这rF这r是吨=∑s是一世+b^∑rX一世$

然后将是模型无偏的（米-无偏见）如果
0=和米(吨−是) =和米(∑s是一世+b∑rX一世−∑s是一世−∑r是一世) =和米(b^∑rX一世−b∑rX一世−∑re一世) =[和米(b^)−b]∑rX一世
也就是说，如果
b=和米b^ =和米∑一世∈s乙一世(bX一世+e一世) =b∑一世∈s乙一世X一世这相当于∑一世∈s乙一世X一世=1.
请注意，预测器为是然后采取形式
吨=∑一世∈s(1+乙一世∑rXj)是一世 =∑一世∈s一种s一世是一世, 说
和
∑一种s一世X一世=∑一世∈sX一世(1+乙一世∑rXj) =∑sX一世+∑sX一世乙一世⋅∑rXj =X
这是从代表性和校准中已知的方程。

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Purposive Selection

我们引入了一些符号以便于参考几个模型。

任意随机变量是1,是2,…,是ñ可以写成
是一世=μ一世+e一世
在哪里e1,e2,…,eñ是随机变量
和米(e一世)=0,在米(e一世)=σ一世2,C米(e一世,ej)=ρ一世jσ一世σj
为了一世,j=1,2,…,ñ和一世≠j.
一个特别重要的超种群模型由限制定义
μ一世=bX一世 σ一世2=σ2X一世C
已知正值X一世非随机变量X. 该模型表示为
米0C 如果 ρ一世j=ρ 对全部一世≠j 米1C 如果 ρ一世j=0 对全部一世≠j 米2C 如果 e1,e2,…,eñ 是独立的
（参见第 3.2.4 节）。如果假设μ一世=bX一世被替换为
μ一世=一种+bX一世
我们写米jC′代替米jC为了j=0,1,2.
在上一节中，我们已经展示了比率预测器吨R在 BLU 下米11并拥有 MSE米0=ñ2n(1−F)X¯X¯rX¯σ2.从最后一个公式可以得出，如果n最大的单位X一世被选择为构成 BLUP 所基于的样本吨R，那么值米0将是最小的。因此，最优抽样设计是一种有目的的设计，它规定以概率选择一个样本n最大的单位X一世价值观。

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Balancing and Robustness for M11

在实践中，我们永远无法确定在特定情况下哪种特定模型是合适的。让我们假设模型米11被认为是足够的并且一个人考虑

采用最优策略(pn这,吨R)为此
在米(吨R−是)=米0=ñ2(1−F)nX¯X¯rX¯σ2如第 4.1.1 节所述。如果正确的模型是，我们打算检查该策略的性能会发生什么米11′.
在下面米11′,和米(吨R)=ñ一种X¯X¯+bX
因此吨R有偏见
乙米(吨R)=和米(吨R−是)=ñ一种(X¯X¯−1)
当且仅当它消失X¯等于X¯. 所以，如果不是设计pn这，这是最优的米11, 采用一种设计X¯等于X¯，然后吨R，即米- 不偏不倚米11, 继续米- 不偏不倚米11′也是。

一个样本X¯等于X¯称为平衡样本，规定以概率 1 选择平衡样本的设计称为平衡设计。因此，基于平衡的样本，吨R在模型失败方面是稳健的。

需要注意的是吨R基于平衡样本的扩展预测器与扩展预测器相同ñ是¯.

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考| MINIMAX APPROACH

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统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考| MINIMAX APPROACH

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|The Minimax Criterion

So far, the performance of a strategy $(p, t)$ has been described by its $\operatorname{MSE} M_{p}(t)$, which is a function defined as the parameter space $\Omega$, the set of all vectors $Y$ relevant in a given situation.
Now, $\Omega$ may be such that
$$
\sup {Y \in \Omega} M{p}(t)=R_{p}(t) \text {, say, }
$$
is finite for some strategies $(p, t)$ of a class $\Delta$ fixed in advance, especially by budget restrictions. Then it may be of interest to look for a strategy minimizing $R_{p}(t)$, with respect to the pair $(p, t)$.

Let $\Delta$ be the class of all available strategies and $R_{p}(t)$ be finite for at least some elements of $\Delta$. Then
$$
r^{}=\inf {(p, t) \in \Delta} R{p}(t)=\inf {(p, t) \in \Delta} \sup {Y \in \Omega} M_{p}(t)<\infty $$ and $r^{}$ is called minimax value with respect to $\Omega$ and $\Delta$; a strategy $\left(p^{}, t^{}\right) \in \Delta$ is called a minimax strategy if
$$
R_{p^{}}\left(t^{}\right)=r^{*} .
$$
For given size measures $x$ and $z$ with
$$
\begin{array}{cc}
0<X_{i} ; & i=1,2, \ldots, N \
0<Z_{i} \leq Z / 2 ; & i=1,2, \ldots, N
\end{array}
$$

where $Z=\sum_{1}^{N} Z_{i}$ let us define the parameter space
$$
\Omega_{x z}=\left{Y \in \mathbb{R}^{N}: \sum \frac{X_{i}}{X}\left(\frac{Y_{i}}{Z_{i}}-\frac{Y}{Z}\right)^{2} \leq 1\right} .
$$
Of special importance is the class of strategies $\Delta_{n}={(p, t): p$ of fixed effective size $n, t$ homogeneously linear}.

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Minimax Strategies of Sample Size

We first consider the special case $\Delta_{1}$, consisting of all pairs $(p, t)$ such that
$$
\begin{aligned}
p(s) &>0 \text { implies }|s|=1 \
t(s, Y) &=t(i, Y)=Y_{i} / q_{i}, q_{i} \neq 0 .
\end{aligned}
$$
Writing $p_{i}=p(i)$ each strategy in $\Delta_{1}$ may be identified with a pair $(p, q) ; p, q \in \mathbb{R}^{N}$, and its MSE is
$$
\sum p_{i}\left[\frac{Y_{i}}{q_{i}}-Y\right]^{2} \text {. }
$$
Now, following STENGER (1986), we show that
$$
\sup {Y \in \Omega{x z}} \sum p_{i}\left[\frac{Y_{i}}{q_{i}}-Y\right]^{2}
$$
is minimum for
$$
\begin{gathered}
p_{i}=\frac{X_{i}}{X}=p_{i}^{}, \text { say, } \ q_{i}=\frac{Z_{i}}{Z}=q_{i}^{}, \text { say, }
\end{gathered}
$$
$(i=1,2, \ldots, N)$ such that $\left(p^{}, q^{}\right)$ is a minimax strategy. $Y \in \Omega_{x z}$ implies $Y+\lambda Z \in \Omega_{x z}$ for every real $\lambda$ and the MSE of $a \operatorname{strategy}(p, q)$ evaluated for $Y+\lambda Z$ is
$$
\sum p_{i}\left[\frac{Y_{i}+\lambda Z_{i}}{q_{i}}-Y-\lambda Z\right]^{2} .
$$
This quadratic function of $\lambda$ is bounded if and only if $\frac{Z_{i}}{q_{i}}-Z=0$

which is equivalent to $q_{i}=q_{i}^{}$. So $R_{p}(t)<\infty$ for $(p, q)=(p, t) \in$ $\Delta_{1}$ if and only if $q=q^{}$. Now, for
$$
A(p)=\sup {Y \in \Omega{\mathrm{xz}}} \sum p_{i}\left[\frac{Y_{i}}{q_{i}^{}}-Y\right]^{2} $$ we have $$ A\left(p^{}\right)=\sup {Y \in \Omega{x z}} \sum p_{i}^{}\left[\frac{Y_{i}}{q_{i}^{}}-Y\right]^{2}=Z^{2} .
$$
For $p \neq p^{}$ there exists $j$ with $p_{j}=p_{j}^{}+\varepsilon, \varepsilon>0$.
It is easily seen that
$$
p_{j}^{}-2 p_{j}^{} q_{j}^{}+q_{j}^{ 2}>0 .
$$
So we may define
$$
\begin{aligned}
Y_{i}^{(j)} &=q_{j}^{} / \sqrt{p_{j}^{}-2 p_{j}^{} q_{j}^{}+q_{j}^{* 2}} \text { for } i=j \
&=0 \text { for } i \neq j .
\end{aligned}
$$
The total $Y^{(j)}$ of $Y^{(j)}$ is equal to $Y_{j}^{(j)}$ and
$$
\begin{aligned}
\sum p_{i}\left[\frac{Y_{i}^{(j)}}{q_{i}^{}}-Y^{(j)}\right]^{2} &=Z^{2} \frac{p_{j}-2 p_{j} q_{j}^{}+q_{j}^{* 2}}{p_{j}^{}-2 p_{j}^{} q_{j}^{}+q_{j}^{ 2}} \
&=Z^{2}\left[1+\frac{\varepsilon\left(1-2 q_{j}^{}\right)}{p_{j}^{}-2 p_{j}^{} q_{j}^{}+q_{j}^{* 2}}\right] \
& \geq Z^{2}
\end{aligned}
$$
because $Z_{j} \leq Z / 2$ implies $1-2 q_{j}^{} \geq 0$. Obviously, $Y^{(j)} \in \Omega_{x z}$ and $$ A(p) \geq Z^{2}=A\left(p^{}\right)
$$
for all $p$.

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Minimax Strategies of Sample Size

In the special case $X_{i}=Z_{i}=1$ we have the parameter space
$$
\Omega_{11}=\left{Y \in \mathbb{R}^{N}: \frac{1}{N} \sum\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2} \leq 1\right}
$$
and, according to the above result, the minimax strategy within $\Delta_{1}$ consists of choosing every unit with a probability $1 / N$ and employing the estimator $N Y_{i}$ for $Y$ if the unit $i$ is selected.
A much stronger result has been proved by AGGARWAL (1959) and BICKEL and LEHMANN (1981). They consider $\Omega_{11}$ and the class $\Delta_{n}^{+}$of all strategies $\left(p_{n}, t\right), p_{n}$ a design of fixed effective size $n$ and $t$ arbitrary, and show that the expansion estimator $N \bar{y}$ based on SRSWOR of size $n$ is minimax.

Unfortunately, it seems impossible to find analogously general results for other choices of $X$ and $Z$; however, in chapter 6 we report some results valid at least for large samples.
In the present section we give two results for $n \geq 1$ postulating additional conditions on $n$ in relation to $N$ and $X_{1}$, $X_{2}, \ldots, X_{N}$.
Assume for $i=1,2, \ldots, N$
$$
Z_{i}=1
$$
and
$$
\frac{X_{i}}{X}>\frac{n-1}{n} \frac{1}{N-2} .
$$
According to the last condition, the variance of the values $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{N}$ must be small. This condition implies that
$$
P_{i}=n \frac{N-2}{N-2 n} \frac{X_{i}}{X}-\frac{n-1}{N-2 n}
$$
$(i=1,2, \ldots, N)$ are positive with sum 1 . Denote by pLMS the LAHIRI-MIDZUNO-SEN design based on the probabilities $P_{1}$, $P_{2}, \ldots, P_{N}$, that is, in the first draw unit $i$ is selected with probability $P_{i} ; i=1,2, \ldots, N$ and subsequently $n-1$ distinct units are selected by SRSWOR from the $N-1$ units left after the first draw. STENGER and GABLER (1996) have shown:

抽样调查sampling theory代写

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|The Minimax Criterion

到目前为止，一个策略的表现(p,吨)已被其描述MSE⁡米p(吨)，这是一个定义为参数空间的函数Ω，所有向量的集合$ Yr和l和在一种n吨一世n一种G一世在和ns一世吨在一种吨一世这n.ñ这在,\欧米茄米一种是b和s在CH吨H一种吨$
\sup { Y \in \Omega} M{p}(t)=R_{p}(t) \text { 比如说 }
$$
对于某些策略是有限的(p,吨)一类的Δ提前固定，尤其是受预算限制。那么寻找最小化策略可能会很有趣Rp(吨), 关于对(p,吨).

让Δ是所有可用策略的类，并且Rp(吨)对至少某些元素是有限的Δ. 那么
$$
r^{}=\inf {(p, t) \in \Delta} R{p}(t)=\inf {(p, t) \in \Delta} \sup { Y \in \Omega } M_{p}(t)<\infty一种nd$r$一世sC一种ll和d米一世n一世米一种X在一种l在和在一世吨Hr和sp和C吨吨这$Ω$一种nd$Δ$;一种s吨r一种吨和G是$(p,吨)∈Δ$一世sC一种ll和d一种米一世n一世米一种Xs吨r一种吨和G是一世F
R_{p^{}}\left(t^{}\right)=r^{*} 。
F这rG一世在和ns一世和和米和一种s在r和s$X$一种nd$和$在一世吨H
0<X一世;一世=1,2,…,ñ 0<从一世≤从/2;一世=1,2,…,ñ
$$

在哪里从=∑1ñ从一世让我们定义参数空间
$$
\Omega_{xz}=\left{ Y \in \mathbb{R}^{N}: \sum \frac{X_{i}}{X}\left(\frac{Y_ {i}}{Z_{i}}-\frac{Y}{Z}\right)^{2} \leq 1\right} 。
$$
特别重要的是策略类 $\Delta_{n}={(p, t): p这FF一世X和d和FF和C吨一世在和s一世和和n, t$ 齐次线性}。

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我们首先考虑特殊情况Δ1, 由所有对组成(p,吨)这样
$$
\begin{aligned}
p(s) &>0 \text { 意味着 }|s|=1 \
t(s, Y ) &=t(i, Y )=Y_{i} / q_{i }, q_{i} \neq 0 。
\end{aligned}
$$
写作p一世=p(一世)中的每个策略Δ1可以用一对 $( p , q ) 来标识；p , q \in \mathbb{R}^{N},一种nd一世吨s米小号和一世s∑p一世[是一世q一世−是]2. ñ这在,F这ll这在一世nG小号吨和ñG和R(1986),在和sH这在吨H一种吨$
\sup { Y \in \Omega{xz}} \sum p_{i}\left[\frac{Y_{i}}{q_{i}}-Y\right]^{2}
一世s米一世n一世米在米F这r
p一世=X一世X=p一世, 说， q一世=从一世从=q一世, 说，
$$
(一世=1,2,…,ñ)这样 $\left( p ^{}, q ^{}\right)一世s一种米一世n一世米一种Xs吨r一种吨和G是.Y \in \Omega_{xz}一世米pl一世和sY +\lambda Z \in \Omega_{xz}F这r和在和r是r和一种lλ一种nd吨H和米小号和这F一个\operatorname{策略}( p , q )和在一种l在一种吨和dF这rY + λ Z一世s∑p一世[是一世+λ从一世q一世−是−λ从]2.吨H一世sq在一种dr一种吨一世CF在nC吨一世这n这Fλ一世sb这在nd和d一世F一种nd这nl是一世F\frac{Z_{i}}{q_{i}}-Z=0$

这相当于q一世=q一世. 所以Rp(吨)<∞对于 $( p , q )=(p, t) \in\Delta_{1}一世F一种nd这nl是一世Fq = q ^{}.ñ这在,F这r$
A( p )=\sup { Y \in \Omega{\mathrm{xz}}} \sum p_{i}\left[\frac{Y_{i}}{q_{i}^{}}-Y \右]^{2}在和H一种在和A\left(p^{}\right)=\sup { Y \in \Omega{xz}} \sum p_{i}^{}\left[\frac{Y_{i}}{q_{i}^ {}}-Y\right]^{2}=Z^{2} 。
F这r$p≠p$吨H和r和和X一世s吨s$j$在一世吨H$pj=pj+e,e>0$.一世吨一世s和一种s一世l是s和和n吨H一种吨
p_{j}^{}-2 p_{j}^{} q_{j}^{}+q_{j}^{ 2}>0 。
小号这在和米一种是d和F一世n和
是一世(j)=qj/pj−2pjqj+qj∗2 为了一世=j =0 为了一世≠j.
$$
总计是(j)$ Y ^{(j)}一世s和q在一种l吨这Y_{j}^{(j)}一种nd∑p一世[是一世(j)q一世−是(j)]2=从2pj−2pjqj+qj∗2pj−2pjqj+qj2 =从2[1+e(1−2qj)pj−2pjqj+qj∗2] ≥从2b和C一种在s和Z_{j} \leq Z / 2一世米pl一世和s1-2 q_ {j} ^ {} \ geq 0.这b在一世这在sl是,Y ^{(j)} \in \Omega_{xz}一种nd$ A( p ) \geq Z^{2}=A\left( p^{} \right)
$$
对于所有 $ p $。

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在特殊情况下X一世=从一世=1我们有参数空间
$$
\Omega_{11}=\left{ Y \in \mathbb{R}^{N}: \frac{1}{N} \sum\left(Y_{i}-\bar{ Y}\right)^{2} \leq 1\right}
$$
，根据上面的结果，内的极小极大策略Δ1包括以概率选择每个单位1/ñ并使用估算器ñ是一世为了是如果单位一世被选中。
AGGARWAL (1959) 和 BICKEL 和 LEHMANN (1981) 证明了一个更强有力的结果。他们认为Ω11和班级Δn+在所有策略中(pn,吨),pn固定有效尺寸的设计n和吨任意的，并表明扩展估计量ñ是¯基于大小的 SRSWORn是极小极大。

不幸的是，对于 $ X的其他选择，似乎不可能找到类似的一般结果一种nd从;H这在和在和r,一世nCH一种p吨和r6在和r和p这r吨s这米和r和s在l吨s在一种l一世d一种吨l和一种s吨F这rl一种rG和s一种米pl和s.一世n吨H和pr和s和n吨s和C吨一世这n在和G一世在和吨在这r和s在l吨sF这rn \ geq 1p这s吨在l一种吨一世nG一种dd一世吨一世这n一种lC这nd一世吨一世这ns这nn一世nr和l一种吨一世这n吨这ñ一种ndX_{1},X_{2}, \ldots, X_{N}.一种ss在米和F这ri=1,2, \ldots, N从一世=1一种ndX一世X>n−1n1ñ−2.一种CC这rd一世nG吨这吨H和l一种s吨C这nd一世吨一世这n,吨H和在一种r一世一种nC和这F吨H和在一种l在和sX_{1}, X_{2}, \ldots, X_{N}米在s吨b和s米一种ll.吨H一世sC这nd一世吨一世这n一世米pl一世和s吨H一种吨磷一世=nñ−2ñ−2nX一世X−n−1ñ−2n(i=1,2, \ldots, N)一种r和p这s一世吨一世在和在一世吨Hs在米1.D和n这吨和b是p大号米小号吨H和大号一种H一世R一世−米一世D从在ñ这−小号和ñd和s一世Gnb一种s和d这n吨H和pr这b一种b一世l一世吨一世和sP_{1},P_{2}, \ldots, P_{N},吨H一种吨一世s,一世n吨H和F一世rs吨dr一种在在n一世吨一世一世ss和l和C吨和d在一世吨Hpr这b一种b一世l一世吨是P_{i} ; i=1,2, \ldots, N一种nds在bs和q在和n吨l是n-1d一世s吨一世nC吨在n一世吨s一种r和s和l和C吨和db是小号R小号在这RFr这米吨H和第一次抽奖后剩余 N-1$ 个单位。STENGER 和 GABLER (1996) 表明：

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统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考| ESTIMATING EQUATION APPROACH

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A Bayesian Superpopulation Approach to Inference for Finite Populations Based on Imperfect Diagnostic Outcomes | SpringerLink — 统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考| ESTIMATING EQUATION APPROACH

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Estimating Functions and Equations

Suppose $Y=\left(Y_{1}, \ldots, Y_{N}\right)^{\prime}$ is a random vector and $X=\left(X_{1}, \ldots\right.$, $\left.X_{N}\right)^{\prime}$ is a vector of known numbers $X_{i}(>0), i=1, \ldots, N$. Let the $Y_{i}$ ‘s be independent and normally distributed with means and variances, respectively
$$
\theta X_{i} \text { and } \sigma_{i}^{2}, i=1, \ldots, N \text {. }
$$
If all the $Y_{i}$ ‘s $i=1, \ldots, N$ are available for observation, then from the joint probability density function (pdf) of $Y$
$$
p(Y, \theta)=\prod_{i=1}^{N} \frac{1}{\sigma_{i} \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2 \sigma_{i}^{2}}\left(Y_{i}-\theta X_{i}\right)^{2}}
$$
one gets the well-known maximum likelihood estimator (MLE) $\theta_{0}$, based on $Y$, for $\theta$, given by the solution of the likelihood equation
$$
\frac{\partial}{\partial \theta} \log p(Y, \theta)=0
$$
as
$$
\theta_{0}=\left[\sum_{1}^{N} Y_{i} X_{i} / \sigma_{i}^{2}\right] /\left[\sum_{1}^{N} X_{i}^{2} / \sigma_{i}^{2}\right]
$$

On the other hand, let the normality assumption above be dropped, everything else remaining unchanged, that is, consider the linear model
$$
Y_{i}=\theta X_{i}+\varepsilon_{i}
$$
with $\varepsilon_{i}$ ‘s distributed independently and
$$
E_{m}\left(\varepsilon_{i}\right)=0, V_{m}\left(\varepsilon_{i}\right)=\sigma_{i}^{2}, i=1, \ldots, N .
$$
Then, if $\left(Y_{i}, X_{i}\right), i=1, \ldots, N$ are observed, one may derive the same $\theta_{0}$ above as the least squares estimator (LSE) or as the best linear unbiased estimator (BLUE) for $\theta$.

Such a $\theta_{0}$, based on the entire finite population vector $Y=\left(Y_{1}, \ldots, Y_{N}\right)^{\prime}$, is really a parameter of this population itself and will be regarded as a census estimator.

If $X_{i}=1, \sigma_{i}=\sigma$ for all $i$ above, then $\theta_{0}$ reduces to $Y / N=\bar{Y}$.
We shall next briefly consider the theory of estimating functions and estimating equations as a generalization that unifies (see GHOSH, 1989) both of these two principal methods of point estimation and, in the next section, illustrate how the theory may be extended to yield estimators in the usual sense of the term based on a sample of $Y_{i}$ values rather than on the entire $Y$ itself.

We start with the supposition that $Y$ is a random vector with a probability distribution belonging to a class $C$ of distributions each identified with a real-valued parameter $\theta$. Let
$$
g=g(Y, \theta)
$$
be a function involving both $Y$ and $\theta$ such that
(a) $\frac{\partial g}{\partial \theta}(Y, \theta)$ exists for every $Y$
(b) $E_{m} g(Y, \theta)=0$, called the unbiasedness condition
(c) $E_{m} \frac{\partial g}{\partial \theta}(Y, \theta) \neq 0$
(d) the equation $g(Y, \theta)=0$ admits a unique solution $\theta_{0}=$ $\theta_{0}(Y)$
Such a function $g=g(Y, \theta)$ is called an unbiased estimating function and the equation
$$
g(Y, \theta)=0
$$
is called an unbiased estimating equation.

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Applications to Survey Sampling

A further line of approach is now required because $\theta_{0}$ itself needs to be estimated from survey data
$$
d=\left(i, Y_{i} \mid i \in s\right)
$$
available only for the $Y_{i}$ ‘s with $i \in s, s$ a sample supposed to be selected with probability $p(s)$ according to a design $p$ for which we assume
$$
\pi_{i}=\sum_{s \ni i} p(s)>0 \text { for all } i=1,2, \ldots, N \text {. }
$$
With the setup of the preceding section, let the $Y_{i}$ ‘s be independent and consider unbiased estimating functions $\phi_{i}\left(Y_{i}, \theta\right) ; i=$ $1,2, \ldots, N$. Let
$$
\theta_{0}=\theta_{0}(Y)
$$
be the solution of $g(Y, \theta)=0$ where
$$
g(Y, \theta)=\sum_{1}^{N} \phi_{i}\left(Y_{i}, \theta\right)
$$
and consider estimating this $\theta_{0}$ using survey data $d=\left(i, Y_{i} \mid i \in\right.$ $s$ ). For this it seems natural to start with an unbiased sampling function
$$
h=h(s, Y, \theta)
$$
which is free of $Y_{j}$ for $j \notin s$ and satisfies
(a) $\frac{\partial h}{\partial \theta}(s, Y, \theta)$ exists for all $Y$
(b) $E_{m} \frac{\partial h}{\partial \theta}(s, Y, \theta) \neq 0$
(c) $E_{p} h(s, Y, \theta)=g(Y, \theta)$ for all $Y$, the unbiasedness condition.

Let $H$ be a class of such unbiased sampling functions. Following the extension of the approach in section 3.3.1 by GoDAMBE and THOMPSON (1986a), we may call a member
$$
h_{0}=h_{0}(s, Y, \theta)
$$

of $H$ and the corresponding equation $h_{0}=0$, optimal if
$$
\frac{E_{m} E_{p} h^{2}(s, Y, \theta)}{\left[E_{m} E_{p} \frac{\partial h}{\partial \theta}(s, Y, \theta)\right]^{2}}
$$
as a function of $h \in H$ is minimal for $h=h_{0}$.

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Consider the model

$$
Y_{i}=\theta+\varepsilon_{i}
$$
where the $\varepsilon_{i}$ ‘s are independent with $E_{m} \varepsilon_{i}=0, V_{m} \varepsilon_{i}=\sigma_{i}^{2}$. Then the estimating function
$$
\sum_{i}^{N} \phi_{i}\left(Y_{i}, \theta\right)=\sum_{i}^{N} \frac{\left(Y_{i}-\theta\right)}{\sigma_{i}^{2}}
$$
is linearly optimal, but does not define the survey population parameter $\bar{Y}$, which is usually of interest. Therefore, we may consider the estimating equation $g_{0}=0$ where
$$
g_{0}=\sum \phi_{i}\left(Y_{i}, \theta\right)=\sum\left(Y_{i}-\theta\right)
$$
is unbiased and, while not linearly optimal, defines
$$
\theta_{0}=\bar{Y}
$$
and the optimal sample estimator
$$
\hat{\theta}{0}=\frac{\sum{s} Y_{i} / \pi_{i}}{\sum_{s} 1 / \pi_{i}}
$$
for $\theta_{0}$. Incidentally, this estimator was proposed earlier by HÁJEK (1971).
In general, the solution $\theta_{0}$ of
$$
g=\sum \phi_{i}\left(Y_{i}, \theta\right)=0
$$
where $\phi_{i}\left(Y_{i}, \theta\right), i=1,2, \ldots, N$ are unbiased estimating functions is an estimator of the parameter $\theta$ of the superpopulation model, provided all $Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{N}$ are known. In any case, it may be of interest in itself, that is, an interesting parameter of the population. The solution $\hat{\theta}{0}$ of the optimal unbiased sampling equation $h{0}=0$ is used as an estimator for the population parameter $\theta_{0}$.

If $g$ is linearly optimal, then the population parameter $\theta_{0}$ is especially well-motivated by the superpopulation model.

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考| ESTIMATING EQUATION APPROACH

抽样调查sampling theory代写

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Estimating Functions and Equations

假设 $ Y =\left(Y_{1}, \ldots, Y_{N}\right)^{\prime}一世s一种r一种nd这米在和C吨这r一种ndX =\left(X_{1}, \ldots\right.,\left.X_{N}\right)^{\prime}一世s一种在和C吨这r这Fķn这在nn在米b和rsX_{i}(>0), i=1, \ldots, N.大号和吨吨H和义}‘sb和一世nd和p和nd和n吨一种ndn这r米一种ll是d一世s吨r一世b在吨和d在一世吨H米和一种ns一种nd在一种r一世一种nC和s,r和sp和C吨一世在和l是θX一世和 σ一世2,一世=1,…,ñ. 一世F一种ll吨H和义}‘si=1, \ldots, N一种r和一种在一种一世l一种bl和F这r这bs和r在一种吨一世这n,吨H和nFr这米吨H和j这一世n吨pr这b一种b一世l一世吨是d和ns一世吨是F在nC吨一世这n(pdF)这F是$
p( Y , \theta)=\prod_{i=1}^{N} \frac{1}{\sigma_{i} \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2 \sigma_{i}^{2}}\left(Y_{i}-\theta X_{i}\right)^{2}}
$$
一个得到众所周知的最大似然估计（MLE）θ0, 基于 $ Y,F这r\θ,G一世在和nb是吨H和s这l在吨一世这n这F吨H和l一世ķ和l一世H这这d和q在一种吨一世这n$
\frac{\partial}{\partial \theta} \log p( Y , \theta)=0
一种s
\theta_{0}=\left[\sum_{1}^{N} Y_{i} X_{i} / \sigma_{i}^{2}\right] /\left[\sum_{1}^{ N} X_{i}^{2} / \sigma_{i}^{2}\right]
$$

另一方面，放弃上面的正态性假设，其他一切保持不变，即考虑线性模型
是一世=θX一世+e一世
和e一世的独立分布和
和米(e一世)=0,在米(e一世)=σ一世2,一世=1,…,ñ.
那么，如果(是一世,X一世),一世=1,…,ñ观察到，可以得出相同的θ0以上作为最小二乘估计器（LSE）或作为最佳线性无偏估计器（BLUE）θ.

这样一个θ0, 基于整个有限种群向量 $ Y =\left(Y_{1}, \ldots, Y_{N}\right)^{\prime}$, 实际上是这个种群本身的一个参数，将被视为一个人口普查估算器。

如果X一世=1,σ一世=σ对全部一世上面，那么θ0减少到是/ñ=是¯.
接下来我们将简要地考虑估计函数和估计方程的理论作为统一（见 GHOSH，1989）这两种主要的点估计方法的概括，并在下一节中说明如何将该理论扩展到产生估计量在通常意义上的术语基于样本是一世值而不是整个 $ Y $ 本身。

我们从假设开始是是具有属于某个类的概率分布的随机向量C每个用实值参数标识的分布θ. 令
$$
g=g( Y , \theta)
$$是一个包含 $ Y
的函数一种nd\θs在CH吨H一种吨(一种)\frac{\partial g}{\partial \theta}( Y , \theta)和X一世s吨sF这r和在和r是是(b)E_{m} g( Y , \theta)=0,C一种ll和d吨H和在nb一世一种s和dn和ssC这nd一世吨一世这n(C)E_{m} \frac{\partial g}{\partial \theta}( Y , \theta) \neq 0(d)吨H和和q在一种吨一世这ng( Y , \theta)=0一种d米一世吨s一种在n一世q在和s这l在吨一世这n\theta_{0}=\theta_{0}( Y )小号在CH一种F在nC吨一世这ng=g( Y , \theta)一世sC一种ll和d一种n在nb一世一种s和d和s吨一世米一种吨一世nGF在nC吨一世这n一种nd吨H和和q在一种吨一世这n$
g( Y , \theta)=0
$$
称为无偏估计方程。

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Applications to Survey Sampling

现在需要进一步的方法，因为θ0本身需要从调查数据中估计
d=(一世,是一世∣一世∈s)
仅适用于是一世与一世∈s,s应该以概率选择的样本p(s)根据设计p我们假设
圆周率一世=∑s∋一世p(s)>0 对全部一世=1,2,…,ñ.
有了上一节的设置，让是一世是独立的并考虑无偏估计函数φ一世(是一世,θ);一世= 1,2,…,ñ. 令
$$
\theta_{0}=\theta_{0}( Y )
$$
为 $g( Y , \theta)=0的解在H和r和$
g( Y , \theta)=\sum_{1}^{N} \phi_{i}\left(Y_{i}, \theta\right)
一种ndC这ns一世d和r和s吨一世米一种吨一世nG吨H一世s$θ0$在s一世nGs在r在和是d一种吨一种$d=(一世,是一世∣一世∈$$s$).F这r吨H一世s一世吨s和和米sn一种吨在r一种l吨这s吨一种r吨在一世吨H一种n在nb一世一种s和ds一种米pl一世nGF在nC吨一世这n
h=h(s, Y , \theta)
$$
不含是j为了j∉s并满足
(a) $\frac{\partial h}{\partial \theta}(s, Y , \theta)和X一世s吨sF这r一种ll是(b)E_{m} \frac{\partial h}{\partial \theta}(s, Y , \theta) \neq 0(C)E_{p} h(s, Y , \theta)=g( Y , \theta)F这r一种llY $，无偏条件。

让H是一类这样的无偏抽样函数。在 GoDAMBE 和 THOMPSON (1986a) 对第 3.3.1 节方法的扩展之后，我们可以称成员
$$
h_{0}=h_{0}(s, Y , \theta)
$$

的H和相应的方程H0=0, 如果
$$
\frac{E_{m} E_{p} h^{2}(s, Y , \theta)}{\left[E_{m} E_{p} \frac{\partial h}{ \partial \theta}(s, Y , \theta)\right]^{2}}
$$
作为函数H∈H是最小的H=H0.

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Consider the model

是一世=θ+e一世
在哪里e一世的独立于和米e一世=0,在米e一世=σ一世2. 然后是估计函数
∑一世ñφ一世(是一世,θ)=∑一世ñ(是一世−θ)σ一世2
是线性最优的，但没有定义调查总体参数是¯，这通常是有趣的。因此，我们可以考虑估计方程G0=0在哪里
G0=∑φ一世(是一世,θ)=∑(是一世−θ)
是无偏的，虽然不是线性最优的，但定义
θ0=是¯
和最优样本估计器
θ^0=∑s是一世/圆周率一世∑s1/圆周率一世
为了θ0. 顺便说一下，这个估计器是由 HÁJEK (1971) 较早提出的。
一般来说，解决方案θ0的
G=∑φ一世(是一世,θ)=0
在哪里φ一世(是一世,θ),一世=1,2,…,ñ是无偏估计函数是参数的估计量θ的超人口模型，假设所有是1,是2,…,是ñ是已知的。无论如何，它本身可能是有趣的，即人口的一个有趣参数。解决方案θ^0最优无偏抽样方程的H0=0用作总体参数的估计量θ0.

如果G是线性最优的，那么总体参数θ0超级人口模型的动机特别好。

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随机过程代考

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

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统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考| SUPERPOPULATION APPROACH

Posted on 2022年4月19日2022年4月19日 by statistics-lab

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统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Concept

With the fixed population approach considered so far it is difficult, as we have just seen, to hit upon an appropriately optimal strategy or an estimator for $Y$ or $\bar{Y}$ based on a fixed sampling design. So, one approach is to regard $Y=\left(Y_{1}, \ldots, Y_{N}\right)^{\prime}$ as a particular realization of an $N$-dimensional random vector $\eta=\left(\eta_{1}, \ldots, \eta_{N}\right)^{\prime}$, say, with real-valued coordinates. The probability distribution of $\eta$ defines a population, called a superpopulation. A class of such distributions is called a superpopulation model or just a model, in brief. Our central objective remains to estimate the total (or mean) for the particular realization $Y$ of $\eta$. But the criteria for the choice of strategies $(p, t)$ may now be changed suitably.

We assume that the superpopulation model is such that the expectations, variances of $\eta_{i}$, and covariances of $\eta_{i}, \eta_{j}$ exist. To simplify notations we write $E_{m}, V_{m}, C_{m}$ as operators for expectations, variances, and covariances with respect to a model and write $Y_{i}$ for $\eta_{i}$ pretending that $Y$ is itself a random vector.
Let $\left(p_{1}, t_{1}\right)$ and $\left(p_{2}, t_{2}\right)$ be two unbiased strategies for estimating $Y$, that is, $E_{p_{1}} t_{1}=E_{p_{2}} t_{2}=Y$. Assume that $p_{1}, p_{2}$ are suitably comparable in the sense of admitting samples of comparable sizes with positive selection probabilities. We might have, for example, the same average effective sample sizes; that is,
$$
\sum|s| p_{1}(s)=\sum|s| p_{2}(s)
$$
where $\sum$ extends over all samples and $|s|$ is the cardinality of $s$.
Then, $\left(p_{1}, t_{1}\right)$ will be preferred to $\left(p_{2}, t_{2}\right)$ if
$$
E_{m} V_{p_{1}}\left(t_{1}\right) \leq E_{m} V_{p_{2}}\left(t_{2}\right)
$$

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Model

Let us consider a particular model, $\mathcal{M}{1}$, such that for $i=$ $1,2, \ldots, N$ $$ Y{i}=\mu_{i}+\sigma_{i} \varepsilon_{i}
$$
with
$$
\begin{aligned}
\mu_{i} \in \mathbb{R}, \sigma_{i} &>0 \
E_{m} \varepsilon_{i} &=0 \
V_{m} \varepsilon_{i} &=1 \
C_{m}\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right) &=0 \quad \text { for } \quad i \neq j
\end{aligned}
$$
that is,
$$
\begin{aligned}
E_{m}\left(Y_{i}\right) &=\mu_{i} \
V_{m}\left(Y_{i}\right) &=\sigma_{i}^{2} \
C_{m}\left(Y_{i}, Y_{j}\right) &=0 \quad \text { for } \quad i \neq j .
\end{aligned}
$$

Then, we derive for any UE $t$
$$
\begin{aligned}
E_{m} V_{p}(t)=& E_{m} E_{p}(t-Y)^{2}=E_{p} E_{m}(t-Y)^{2} \
=& E_{p} E_{m}\left[\left(t-E_{m}(t)\right)+\left(E_{m}(t)-E_{m}(Y)\right)\right.\
&\left.-\left(Y-E_{m} Y\right)\right]^{2} \
=& E_{p} V_{m}(t)+E_{p} \Delta_{m}^{2}(t)-V_{m}(Y)
\end{aligned}
$$
writing $\Delta_{m}(t)=E_{m}(t-Y)$. The same is true for $\bar{t}$ and any other HLUE $t_{b}$. Thus,
$$
\begin{aligned}
&E_{m} V_{p}\left(t_{b}\right)-E_{m} V_{p}(\bar{t}) \
&=E_{p}\left[\sum_{i \in s} \sigma_{i}^{2} b_{s i}^{2}-\sum_{i \in s} \sigma_{i}^{2} / \pi_{i}^{2}\right]+E_{p}\left[\Delta_{m}^{2}\left(t_{b}\right)-\Delta_{m}^{2}(\bar{t})\right] \
&=\sum \sigma_{i}^{2}\left[\sum_{i \in s} b_{s i}^{2} p(s)-\frac{1}{\pi_{i}}\right] \
&+E_{p}\left[\left(E_{m} t_{b}-\mu\right)^{2}-\left[\sum_{i \in s} \frac{\mu_{i}}{\pi_{i}}-\mu\right]^{2}\right] \
&\geq E_{p}\left[\left(E_{m} t_{b}-\mu\right)^{2}-\left[\sum_{i \in s} \frac{\mu_{i}}{\pi_{i}}-\mu\right]^{2}\right]
\end{aligned}
$$
by Cauchy’s inequality (writing $\mu=\Sigma \mu_{i}$ ).

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Comparison of RHCE and HTE

Incidentally, we have already noted that if a fixed samplesize design is employed with $\pi_{i} \propto Y_{i}$, then $V_{p}(\bar{t})=0$. But $Y$ is unknown. So, if $X=\left(X_{1}, \ldots, X_{i}, \ldots, X_{N}\right)^{\prime}$ is available such that $Y_{i}$ is approximately proportional to $X_{i}$, for example, $Y_{i}=\beta X_{i}+\varepsilon_{i}$, with $\beta$ an unknown constant, $\varepsilon_{i}$ ‘s small and unknown but $X_{i}$ ‘s known and positive, then taking $\pi_{i} \propto X_{i}$, one may expect to have $V_{p}(\tau)$ under control. Any sampling design $p$ with $\pi_{i} \propto X_{i}$ is called an IPPS or $\pi$ PS design-more fully, an inclusion probability proportional to size design. $\mathrm{Nu}-$ merous schemes are available that satisfy or approximate this $\pi \mathrm{PS}$ criterion for $n \geq 2$. One may consult BREWER and HANIF (1983) and CHAUDHURI and VOS (1988) for a description of many of them along with a discussion of their properties and limitations. We need not repeat them here.

Supposing $n$ as the common fixed sample size and $N / n=$ $1 / f$ as an integer let us compare $t$ based on a $\pi \mathrm{PS}$ scheme with $t_{3}$ based on the RHC scheme with $N / n$ as the common group size and $P_{i}=X_{i} / X$ as the normed size measures. For this we postulate a superpopulation model $\mathcal{M}{2 \gamma}$ : $$ Y{i}=\beta X_{i}+\varepsilon_{i}, E_{m}\left(\varepsilon_{i}\right)=0, V_{m}\left(\varepsilon_{i}\right)=\sigma^{2} X_{i}^{\gamma}
$$
where $\sigma, \gamma$ are non-negative unknown constants and $Y_{i}$ ‘s are supposed to be independently distributed. Then, with $\pi_{i}=$ $n P_{i}=n X_{i} / X$
$E_{m}\left[V_{p}\left(t_{3}\right)-V_{p}(\bar{t})\right]$
$=E_{m}\left[\frac{N-n}{N-1} \frac{1}{n} \sum_{i<j} X_{i} X_{j}\left(\frac{Y_{i}}{X_{i}}-\frac{Y_{j}}{X_{j}}\right)^{2}\right.$
$\left.-\sum_{i<j}\left(\pi_{i} \pi_{j}-\pi_{i j}\right)\left(\frac{Y_{i}}{\pi_{i}}-\frac{Y_{j}}{\pi_{j}}\right)^{2}\right]$$\begin{aligned}=& \sigma^{2}\left[\frac{N-n}{N-1} \frac{1}{n} \sum_{i<j} X_{i} X_{j}\left(X_{i}^{\gamma-2}+X_{j}^{\gamma-2}\right)\right.\ &\left.-\sum \sum_{i<j}\left(X_{i} X_{j}-\frac{X^{2} \pi_{i j}}{n^{2}}\right)\left(X_{i}^{\gamma-2}+X_{j}^{\gamma-2}\right)\right] \=& \sigma^{2}\left[\frac{N-n}{N-1} \frac{1}{n}\left(X \sum X_{i}^{\gamma-1}-\sum X_{i}^{\gamma}\right)\right.\ &\left.-\left(X \sum X_{i}^{\gamma-1}-\sum X_{i}^{\gamma}\right)+\frac{n-1}{n} X \sum X_{i}^{\gamma-1}\right] \=& \sigma^{2} \frac{(n-1)}{n(N-1)}\left[N \sum X_{i}^{\gamma}-\left(\sum X_{i}\right)\left(\sum X_{i}^{\gamma-1}\right)\right] \=& \frac{\sigma^{2} N^{2}(n-1)}{(N-1) n} \operatorname{cov}\left(X_{i}^{\gamma-1}, X_{i}\right) \end{aligned}$

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抽样调查sampling theory代写

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Concept

正如我们刚才所看到的，在目前考虑的固定种群方法中，很难找到适当的最优策略或估计量是或者是¯基于固定抽样设计。因此，一种方法是考虑 $ Y =\left(Y_{1}, \ldots, Y_{N}\right)^{\prime}一种s一种p一种r吨一世C在l一种rr和一种l一世和一种吨一世这n这F一种nñ−d一世米和ns一世这n一种lr一种nd这米在和C吨这r\eta =\left(\eta_{1},\ldots,\eta_{N}\right)^{\prime},s一种是,在一世吨Hr和一种l−在一种l在和dC这这rd一世n一种吨和s.吨H和pr这b一种b一世l一世吨是d一世s吨r一世b在吨一世这n这F\ 埃塔d和F一世n和s一种p这p在l一种吨一世这n,C一种ll和d一种s在p和rp这p在l一种吨一世这n.一种Cl一种ss这Fs在CHd一世s吨r一世b在吨一世这ns一世sC一种ll和d一种s在p和rp这p在l一种吨一世这n米这d和l这rj在s吨一种米这d和l,一世nbr一世和F.这在rC和n吨r一种l这bj和C吨一世在和r和米一种一世ns吨这和s吨一世米一种吨和吨H和吨这吨一种l(这r米和一种n)F这r吨H和p一种r吨一世C在l一种rr和一种l一世和一种吨一世这n是这F\ 埃塔.乙在吨吨H和Cr一世吨和r一世一种F这r吨H和CH这一世C和这Fs吨r一种吨和G一世和s(p, t)$ 现在可以适当地改变。

我们假设超种群模型是这样的：期望值、方差这一世, 和协方差这一世,这j存在。为了简化符号，我们写和米,在米,C米作为关于模型的期望、方差和协方差的运算符，并编写是一世为了这一世假装$ Y一世s一世吨s和lF一种r一种nd这米在和C吨这r.大号和吨\left(p_{1}, t_{1}\right)一种nd\left(p_{2}, t_{2}\right)b和吨在这在nb一世一种s和ds吨r一种吨和G一世和sF这r和s吨一世米一种吨一世nG是,吨H一种吨一世s,E_{p_{1}} t_{1}=E_{p_{2}} t_{2}=Y.一种ss在米和吨H一种吨p_{1}, p_{2}一种r和s在一世吨一种bl是C这米p一种r一种bl和一世n吨H和s和ns和这F一种d米一世吨吨一世nGs一种米pl和s这FC这米p一种r一种bl和s一世和和s在一世吨Hp这s一世吨一世在和s和l和C吨一世这npr这b一种b一世l一世吨一世和s.在和米一世GH吨H一种在和,F这r和X一种米pl和,吨H和s一种米和一种在和r一种G和和FF和C吨一世在和s一种米pl和s一世和和s;吨H一种吨一世s,∑|s|p1(s)=∑|s|p2(s)在H和r和\和和X吨和nds这在和r一种lls一种米pl和s一种nd|s|一世s吨H和C一种rd一世n一种l一世吨是这Fs.吨H和n,\left(p_{1}, t_{1}\right)在一世llb和pr和F和rr和d吨这\left(p_{2}, t_{2}\right)一世F和米在p1(吨1)≤和米在p2(吨2)$

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Model

让我们考虑一个特定的模型，$\mathcal{M} {1},s在CH吨H一种吨F这r我=1,2, \ldots, N$ Y {i}=\mu_{i}+\sigma_{i} \varepsilon_{i}
在一世吨H
μ一世∈R,σ一世>0 和米e一世=0 在米e一世=1 C米(e一世,ej)=0 为了一世≠j
吨H一种吨一世s,
和米(是一世)=μ一世在米(是一世)=σ一世2 C米(是一世,是j)=0 为了一世≠j.
$$

然后，我们推导出任何 UE吨
和米在p(吨)=和米和p(吨−是)2=和p和米(吨−是)2 =和p和米[(吨−和米(吨))+(和米(吨)−和米(是)) −(是−和米是)]2 =和p在米(吨)+和pΔ米2(吨)−在米(是)
写作Δ米(吨)=和米(吨−是). 对于吨¯和任何其他 HLUE吨b. 因此，
和米在p(吨b)−和米在p(吨¯) =和p[∑一世∈sσ一世2bs一世2−∑一世∈sσ一世2/圆周率一世2]+和p[Δ米2(吨b)−Δ米2(吨¯)] =∑σ一世2[∑一世∈sbs一世2p(s)−1圆周率一世] +和p[(和米吨b−μ)2−[∑一世∈sμ一世圆周率一世−μ]2] ≥和p[(和米吨b−μ)2−[∑一世∈sμ一世圆周率一世−μ]2]
由柯西不等式（写作μ=Σμ一世 ).

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Comparison of RHCE and HTE

顺便说一句，我们已经注意到，如果采用固定样本大小设计圆周率一世∝是一世，然后在p(吨¯)=0. 但是$ Y一世s在nķn这在n.小号这,一世FX =\left(X_{1}, \ldots, X_{i}, \ldots, X_{N}\right)^{\prime}一世s一种在一种一世l一种bl和s在CH吨H一种吨义}一世s一种ppr这X一世米一种吨和l是pr这p这r吨一世这n一种l吨这X_{i},F这r和X一种米pl和,Y_ {i} = \ beta X_ {i} + \ varepsilon_ {i},在一世吨H\beta一种n在nķn这在nC这ns吨一种n吨,\varepsilon_ {我}‘ss米一种ll一种nd在nķn这在nb在吨X_{i}‘sķn这在n一种ndp这s一世吨一世在和,吨H和n吨一种ķ一世nG\pi_{i} \适当的 X_{i},这n和米一种是和Xp和C吨吨这H一种在和V_ {p} (\tau)在nd和rC这n吨r这l.一种n是s一种米pl一世nGd和s一世Gnp在一世吨H\pi_{i} \适当的 X_{i}一世sC一种ll和d一种n一世磷磷小号这r\pi磷小号d和s一世Gn−米这r和F在ll是,一种n一世nCl在s一世这npr这b一种b一世l一世吨是pr这p这r吨一世这n一种l吨这s一世和和d和s一世Gn.\ mathrm {努} -米和r这在ssCH和米和s一种r和一种在一种一世l一种bl和吨H一种吨s一种吨一世sF是这r一种ppr这X一世米一种吨和吨H一世s\pi\mathrm {PSCr一世吨和r一世这nF这rn \geq 2$。人们可以参考 BREWER 和 HANIF (1983) 以及 CHAUDHURI 和 VOS (1988) 来了解其中的许多内容以及它们的属性和局限性的讨论。我们不必在这里重复它们。

假如n作为常见的固定样本量和ñ/n= 1/F作为一个整数让我们比较吨基于一个圆周率磷小号计划与吨3基于 RHC 方案ñ/n作为共同的群体规模和磷一世=X一世/X作为规范大小的措施。为此，我们假设一个超种群模型米2C :是一世=bX一世+e一世,和米(e一世)=0,在米(e一世)=σ2X一世C
在哪里σ,C是非负的未知常数和是一世应该是独立分布的。然后，与圆周率一世= n磷一世=nX一世/X
和米[在p(吨3)−在p(吨¯)]
=和米[ñ−nñ−11n∑一世<jX一世Xj(是一世X一世−是jXj)2
−∑一世<j(圆周率一世圆周率j−圆周率一世j)(是一世圆周率一世−是j圆周率j)2]=σ2[ñ−nñ−11n∑一世<jX一世Xj(X一世C−2+XjC−2) −∑∑一世<j(X一世Xj−X2圆周率一世jn2)(X一世C−2+XjC−2)]\=σ2[ñ−nñ−11n(X∑X一世C−1−∑X一世C) −(X∑X一世C−1−∑X一世C)+n−1nX∑X一世C−1]\=σ2(n−1)n(ñ−1)[ñ∑X一世C−(∑X一世)(∑X一世C−1)]\=σ2ñ2(n−1)(ñ−1)n这⁡(X一世C−1,X一世)

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Research Process: 8 Steps in Research Process — 统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考| Choosing Good Sampling Strategies

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Nonexistence Results

Let a design $p$ be given and consider a $p$-unbiased estimator $t$, that is, $B_{p}(t)=E_{p}(t-Y)=0$ uniformly in $Y$. The performance of such an estimator is assessed by $V_{p}(t)=E_{p}(t-Y)^{2}$ and we would like to minimize $V_{p}(t)$ uniformly in $Y$. Assume $t^{}$ is such a uniformly minimum variance (UMV) unbiased estimator (UMVUE), that is, for every unbiased $t$ (other than $\left.t^{}\right)$ one has $V_{p}\left(t^{}\right) \leq V_{p}(t)$ for every $Y$ and $V_{p}\left(t^{}\right)<V_{p}(t)$ at least for one $Y$.

Let $\Omega$ be the range (usually known) of $Y$; for example, $\Omega=\left{Y: a_{i}<Y_{i}<b_{i}, i=1, \ldots, N\right}$ with $a_{i}, b_{i}(i=1, \ldots, N)$ as known real numbers. If $a_{i}=-\infty$ and $b_{i}=+\infty$, then $\Omega$ coincides with the $N$-dimensional Euclidean space $\mathbb{R}^{N}$; otherwise $\Omega$ is a subset of $\mathbb{R}^{N}$. Let us choose a point $A=\left(A_{1}, \ldots, A_{i}, \ldots\right.$, $\left.A_{N}\right)^{\prime}$ in $\Omega$ and consider as an estimator for $Y$
$$
\begin{aligned}
t_{A} &=t_{A}(s, Y) \
&=t^{}(s, Y)-t^{}(s, A)+A
\end{aligned}
$$

where $A=\Sigma A_{i}$. Then,
$$
E_{p}\left(t_{A}\right)=E_{p} t^{}(s, Y)-E_{p} t^{}(s, A)+A=Y-A+A=Y
$$
that is, $t_{A}$ is unbiased for $Y$. Now the value of
$$
V_{p}\left(t_{A}\right)=E_{p}\left[t^{}(s, Y)-t^{}(s, A)+A-Y\right]^{2}
$$
equals zero at the point $Y=A$. Since $t^{}$ is supposed to be the UMVUE, $V_{p}\left(t^{}\right)$ must also be zero when $Y=A$. Now $A$ is arbitrary. So, in order to qualify as the UMVUE for $Y$, the $t^{}$ must have its variance identically equal to zero. This is possible only if one has a census, that is, every unit of $U$ is in $s$ rendering $t^{}$ coincident with $Y$. So, for no design except a census design, for which the entire population is surveyed, there may exist a UMV estimator among all UE’s for $Y$. The same is true if, instead of $Y$, one takes $\bar{Y}$ as the estimand. This important nonexistence result is due to GODAMBE and JOSHI (1965) while the proof presented above was given by BASU (1971).

Let us now seek a UMV estimator for $Y$ within the restricted class of HLU estimators of the form
$$
t=t_{b}=t(s, Y)=\sum_{i \in s} b_{s i} Y_{i} .
$$
Because of the unbiasedness of the estimator we need, uniformly in $Y, Y$ equal to
$$
E\left(t_{b}\right)=\sum_{s} p(s)\left[\sum_{i \in s} b_{s i} Y_{i}\right]=\sum_{i=1}^{N} Y_{i}\left[\sum_{s \ni i} b_{s i} p(s)\right]
$$

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Rao-Blackwellization

An estimator $t=t(s, Y)$ may depend on the order in which the units appear in $s$ and may depend on the multiplicities of the appearances of the units in $s$.

EXAMPLE 3.1 Let $P_{i}\left(0<P_{i}<1, \Sigma_{1}^{N} P_{i}=1\right)$ be known numbers associated with the units $i$ of $U$. Suppose on the first draw a unit $i$ is chosen from $U$ with probability $P_{i}$ and on the second draw a unit $j(\neq i)$ is chosen with probability $\frac{P_{j}}{1-P_{i}}$.

Consider RAJ’s (1956) estimator (see section 2.4.6) $t_{D}=t(i, j)=\frac{1}{2}\left[\frac{Y_{i}}{P_{i}}+\left(Y_{i}+\frac{Y_{j}}{P_{j}}\left(1-P_{i}\right)\right)\right]=\frac{1}{2}\left(e_{1}+e_{2}\right), \quad s a y .$
Now,
$$
E_{p}\left(e_{1}\right)=E_{p}\left[\frac{Y_{i}}{P_{i}}\right]=\sum_{1}^{N} \frac{Y_{i}}{P_{i}} P_{i}=Y
$$
and
$$
e_{2}=Y_{i}+\frac{Y_{j}}{P_{j}}\left(1-P_{j}\right)
$$
has the conditionalexpectation, given that $\left(i, Y_{i}\right)$ is observed on the first draw,
$$
E_{C}\left(e_{2}\right)=Y_{i}+\sum_{j \neq i}\left[\frac{Y_{j}}{P_{j}}\left(1-P_{i}\right)\right] \frac{P_{j}}{1-P_{i}}=Y_{i}+\sum_{j \neq i} Y_{j}=Y
$$
and hence the unconditional expectation $E_{p}\left(e_{2}\right)=Y$. So $t_{D}$ is unbiased for $Y$, but depends on the order in which the units appear in the sample $s=(i, j)$ that is, in general
$$
t_{D}(i, j) \neq t_{D}(j, i) .
$$
EXAMPLE 3.2 Let n draws be independently made choosing the unit $i$ on every draw with the probability $P_{i}$ and let $t$ be an estimator for $Y$ given by
$$
t=\frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{y_{r}}{p_{r}}
$$
where $y_{r}$ is the value of $y$ for the unit selected on the rth draw $(r=1, \ldots, n)$ and $p_{r}$ the value $P_{i}$ if the rth draw produces the unit $i$. This $t$, usually attributed to HANSEN and HURWITZ (1943), may also be written as
$$
t_{H H}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{N} \frac{Y_{i}}{P_{i}} f_{s i}
$$
and, therefore, depends on the multiplicity $f_{s i}$ of $i$ in $s$ (see section 2.2).

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Next we consider a requirement of admissibility of an estimator in the absence of UMVUEs for useful designs in a meaningful sense.

An unbiased estimator $t_{1}$ for $Y$ is better than another unbiased estimator $t_{2}$ for $Y$ if $V_{p}\left(t_{1}\right) \leq V_{p}\left(t_{2}\right)$ for every $Y \in$ $\Omega$ and $V_{p}\left(t_{1}\right)<V_{p}\left(t_{2}\right)$ at least for one $Y \in \Omega$. Subsequently, the four cases mentioned in section 3.1.2 are considered for $\Omega$ without explicit reference.

If there does not exist any unbiased estimator for $Y$ better than $t_{1}$, then $t_{1}$ is called an admissible estimator for $Y$ within the UE class. If this definition is restricted throughout within the HLUE class, then we have admissibility within HLUE.
RESULT 3.2 The HTE
$$
t=\sum_{i \in s} \frac{Y_{i}}{\pi_{i}}
$$
is admissible within the HLUE class.
PROOF: For $t_{b}$ in the HLUE class and for the HTE $\bar{t}$ we have
$$
V_{p}\left(t_{b}\right)=\sum_{i} Y_{i}^{2}\left[\sum_{s \ni i} b_{s i}^{2} p(s)\right]+\sum_{i \neq j} \sum_{i} Y_{j}\left[\sum_{s \ni i, j} b_{s i} b_{s j} p(s)\right]-Y^{2}
$$
$$
V_{p}(\bar{t})=\sum_{i} Y_{i}^{2} / \pi_{i}+\sum_{i \neq j} \sum_{i} Y_{j} \frac{\pi_{i j}}{\pi_{i} \pi_{j}}-Y^{2} .
$$
Evaluated at a point $Y{0}^{(i)}=\left(0, \ldots, Y{i} \neq 0, \ldots, 0\right),\left[V_{p}\left(t_{b}\right)-\right.$ $\left.V_{p}(\bar{t})\right]$ equals
$$
Y_{i}^{2}\left[\sum_{s \ni i} b_{s i}^{2} p(s)-\frac{1}{\pi_{i}}\right] \geq 0
$$
on applying Cauchy’s inequality. This degenerates into an equality if and only if $b_{s i}=b_{i}$, for every $s \ni i$, rendering $t_{b}$ equal to the HTE $\bar{t}$. So, for $t_{b}$ other than $\bar{t}$,
$$
\left[V_{p}\left(t_{b}\right)-V_{p}(t)\right]{Y=Y{0}^{(i)}}>0 .
$$
This result is due to GoDAMBE (1960a). Following GoDAMBE and JOSHI (1965) we have:
RESULT 3.3 The HTE $\bar{t}$ is admissible in the wider UE class.
PROOF: Let, if possible, $t$ be an unbiased estimator for $Y$ better than the HTE $t$. Then, we may write
$$
t=t(s, Y)=\bar{t}(s, Y)+h(s, Y)=\bar{t}+h
$$
with $h=h(s, Y)=t-\bar{t}$ as an unbiased estimator of zero. Thus,
$$
0=E_{p}(h)=\sum_{s} h(s, Y) p(s) .
$$

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抽样调查sampling theory代写

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让一个设计p被给予并考虑一个p- 无偏估计量吨，那是，乙p(吨)=和p(吨−是)=0均匀地在 $ Y.吨H和p和rF这r米一种nC和这Fs在CH一种n和s吨一世米一种吨这r一世s一种ss和ss和db是V_{p}(t)=E_{p}(tY)^{2}一种nd在和在这在ldl一世ķ和吨这米一世n一世米一世和和V_{p}(t)在n一世F这r米l是一世n是.一种ss在米和t^{}一世ss在CH一种在n一世F这r米l是米一世n一世米在米在一种r一世一种nC和(在米在)在nb一世一种s和d和s吨一世米一种吨这r(在米在在和),吨H一种吨一世s,F这r和在和r是在nb一世一种s和d吨(这吨H和r吨H一种n\left.t^{}\right)这n和H一种sV_{p}\left(t^{}\right) \leq V_{p}(t)F这r和在和r是是一种ndV_{p}\left(t^{}\right)<V_{p}(t)一种吨l和一种s吨F这r这n和和美元。

让Ω是 $ Y的范围（通常已知）;F这r和X一种米pl和,\Omega=\left{ Y : a_{i}<Y_{i}<b_{i}, i=1, \ldots, N\right}在一世吨Ha_{i}, b_{i}(i=1, \ldots, N)一种sķn这在nr和一种ln在米b和rs.一世Fa_{i}=-\infty一种ndb_{i}=+\infty,吨H和n\欧米茄C这一世nC一世d和s在一世吨H吨H和ñ−d一世米和ns一世这n一种l和在Cl一世d和一种nsp一种C和\mathbb{R}^{N};这吨H和r在一世s和\欧米茄一世s一种s在bs和吨这F\mathbb{R}^{N}.大号和吨在sCH这这s和一种p这一世n吨A =\left(A_{1}, \ldots, A_{i}, \ldots\right.,\left.A_{N}\right)^{\prime}一世n\欧米茄一种ndC这ns一世d和r一种s一种n和s吨一世米一种吨这rF这r是$
\begin{aligned}
t_{A} &=t_{A}(s, Y ) \
&=t^{}(s, Y )-t^{}(s, A )+A
\end{aligned}
$$

在哪里一种=Σ一种一世. 那么，
$$
E_{p}\left(t_{A}\right)=E_{p} t^{ }(s, Y )-E_{p} t^{ }(s, A )+A=Y -A+A=Y
吨H一种吨一世s,$吨一种$一世s在nb一世一种s和dF这r$是$.ñ这在吨H和在一种l在和这F
V_{p}\left(t_{A}\right)=E_{p}\left[t^{}(s, Y )-t^{}(s, A )+AY\right]^{2}
$$在点 $ Y = A
处等于零.小号一世nC和t^{}一世ss在pp这s和d吨这b和吨H和在米在在和,V_{p}\left(t^{}\right)米在s吨一种ls这b和和和r这在H和nY = A.ñ这在一种一世s一种rb一世吨r一种r是.小号这,一世n这rd和r吨这q在一种l一世F是一种s吨H和在米在在和F这r是,吨H和t^{}米在s吨H一种在和一世吨s在一种r一世一种nC和一世d和n吨一世C一种ll是和q在一种l吨这和和r这.吨H一世s一世sp这ss一世bl和这nl是一世F这n和H一种s一种C和ns在s,吨H一种吨一世s,和在和r是在n一世吨这F在一世s一世nsr和nd和r一世nGt^{}C这一世nC一世d和n吨在一世吨H是.小号这,F这rn这d和s一世Gn和XC和p吨一种C和ns在sd和s一世Gn,F这r在H一世CH吨H和和n吨一世r和p这p在l一种吨一世这n一世ss在r在和是和d,吨H和r和米一种是和X一世s吨一种在米在和s吨一世米一种吨这r一种米这nG一种ll在和′sF这r是.吨H和s一种米和一世s吨r在和一世F,一世ns吨和一种d这F是,这n和吨一种ķ和s\bar{Y}$ 作为估计值。这一重要的不存在结果归因于 GODAMBE 和 JOSHI (1965)，而上述证明由 BASU (1971) 给出。

现在让我们寻找一个 UMV 估计器是
在$$
t=t_{b}=t(s, Y )=\sum_{i \in s} b_{si} Y_{i}形式的 HLU 估计器的受限类中。
$$
因为我们需要的估计量的无偏性，统一在 $ Y , Y和q在一种l吨这和(吨b)=∑sp(s)[∑一世∈sbs一世是一世]=∑一世=1ñ是一世[∑s∋一世bs一世p(s)]$

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估计量 $t=t(s, Y )米一种是d和p和nd这n吨H和这rd和r一世n在H一世CH吨H和在n一世吨s一种pp和一种r一世ns一种nd米一种是d和p和nd这n吨H和米在l吨一世pl一世C一世吨一世和s这F吨H和一种pp和一种r一种nC和s这F吨H和在n一世吨s一世n新元。

例 3.1 让磷一世(0<磷一世<1,Σ1ñ磷一世=1)是与单位相关的已知数字一世的在. 假设第一次绘制一个单位一世选自在有概率磷一世第二次画一个单位j(≠一世)被概率选中磷j1−磷一世.

考虑 RAJ (1956) 的估计器（见第 2.4.6 节）吨D=吨(一世,j)=12[是一世磷一世+(是一世+是j磷j(1−磷一世))]=12(和1+和2),s一种是.
现在，
和p(和1)=和p[是一世磷一世]=∑1ñ是一世磷一世磷一世=是
和
和2=是一世+是j磷j(1−磷j)
有条件期望，给定(一世,是一世)在第一次抽奖时观察到，
和C(和2)=是一世+∑j≠一世[是j磷j(1−磷一世)]磷j1−磷一世=是一世+∑j≠一世是j=是
因此无条件的期望和p(和2)=是. 所以吨D是公正的是，但取决于单位在样本中出现的顺序s=(一世,j)也就是说，一般来说
吨D(一世,j)≠吨D(j,一世).
例 3.2 让 n 次独立绘制选择单位一世每次平局都有概率磷一世然后让吨估计是由
吨=1n∑r=1n是rpr
在哪里是r是的价值是在第 r 次抽签中选择的单位(r=1,…,n)和pr价值磷一世如果第 r 次抽签产生单位一世. 这吨，通常归因于 HANSEN 和 HURWITZ (1943)，也可以写成
吨HH=1n∑一世=1ñ是一世磷一世Fs一世
因此，取决于多重性Fs一世的一世在s（见第 2.2 节）。

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Admissibility

接下来，我们在有意义的意义上考虑在没有 UMVUE 的情况下对有用设计的估计量的可接受性要求。

无偏估计量吨1为了是优于另一个无偏估计器吨2为了是如果在p(吨1)≤在p(吨2)对于每个 $ Y \in\欧米茄一种ndV_{p}\left(t_{1}\right)<V_{p}\left(t_{2}\right)一种吨l和一种s吨F这r这n和Y \in \Omega.小号在bs和q在和n吨l是,吨H和F这在rC一种s和s米和n吨一世这n和d一世ns和C吨一世这n3.1.2一种r和C这ns一世d和r和dF这r\Omega$ 没有明确的参考。

如果不存在任何无偏估计是好于吨1，然后吨1被称为可接受的估计量是在 UE 类中。如果此定义在 HLUE 类中始终受到限制，那么我们在 HLUE 中具有可接受性。
结果 3.2 HTE
吨=∑一世∈s是一世圆周率一世
在 HLUE 类中是可接受的。
证明：对于吨b在 HLUE 类和 HTE吨¯我们有
在p(吨b)=∑一世是一世2[∑s∋一世bs一世2p(s)]+∑一世≠j∑一世是j[∑s∋一世,jbs一世bsjp(s)]−是2
在p(吨¯)=∑一世是一世2/圆周率一世+∑一世≠j∑一世是j圆周率一世j圆周率一世圆周率j−是2.
在一点求值 $ Y {0}^{(i)}=\left(0, \ldots, Y{i} \neq 0, \ldots, 0\right),\left[V_{p}\left( t_{b}\right)-\right。\left.V_{p}(\bar{t})\right]和q在一种ls是一世2[∑s∋一世bs一世2p(s)−1圆周率一世]≥0这n一种ppl是一世nGC一种在CH是′s一世n和q在一种l一世吨是.吨H一世sd和G和n和r一种吨和s一世n吨这一种n和q在一种l一世吨是一世F一种nd这nl是一世Fb_{si}=b_{i},F这r和在和r是s\ni我,r和nd和r一世nGt_{b}和q在一种l吨这吨H和H吨和\条{t}.小号这,F这rt_{b}这吨H和r吨H一种n\条{t},$
\left[V_{p}\left(t_{b}\right)-V_{p}(t)\right]{ Y = Y {0}^{(i)}}>0 。
吨H一世sr和s在l吨一世sd在和吨这G这D一种米乙和(1960一种).F这ll这在一世nGG这D一种米乙和一种ndĴ这小号H一世(1965)在和H一种在和:R和小号在大号吨3.3吨H和H吨和$吨¯$一世s一种d米一世ss一世bl和一世n吨H和在一世d和r在和Cl一种ss.磷R这这F:大号和吨,一世Fp这ss一世bl和,$吨$b和一种n在nb一世一种s和d和s吨一世米一种吨这rF这r$是$b和吨吨和r吨H一种n吨H和H吨和$吨$.吨H和n,在和米一种是在r一世吨和
t=t(s, Y )=\bar{t}(s, Y )+h(s, Y )=\bar{t}+h
$$
其中 $h=h(s, Y )=t-\酒吧{t}一种s一种n在nb一世一种s和d和s吨一世米一种吨这r这F和和r这.吨H在s,$
0=E_{p}(h)=\sum_{s} h(s, Y ) p(s) 。
$$

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统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|HT Estimator t

Since $\overline$ as its variance, the following formula for which is given by HORVITZ and THOMPSON (1952)
$$
V_{1}=V_{p}(\bar{t})=\sum \frac{Y_{i}^{2}}{\pi_{i}}\left(1-\pi_{i}\right)+\sum_{i \neq j} \sum_{j} \frac{Y_{i}}{\pi_{i}} \frac{Y_{j}}{\pi_{j}}\left(\pi_{i j}-\pi_{i} \pi_{j}\right) .
$$
A formula for an unbiased estimator for $V_{1}$ is also given by HORVITZ and THOMPSON as
$$
v_{1}=\sum \frac{Y_{i}^{2}}{\pi_{i}}\left(1-\pi_{i}\right) \frac{I_{s i}}{\pi_{i}}+\sum_{i \neq j} \sum_{j} \frac{Y_{i}}{\pi_{i}} \frac{Y_{j}}{\pi_{j}}\left(\pi_{i j}-\pi_{i} \pi_{j}\right) \frac{I_{s i j}}{\pi_{i j}}
$$
assuming $\pi_{i j}>0$ for $i \neq j$.
If $Y_{i}=c \pi_{i}$ for all $i \in U$
$$
\bar{t}=\sum_{i \in s} \frac{Y_{i}}{\pi_{i}}=c v(s)
$$
and $Y=c \sum \pi_{i}$. If $v(s)=n$ for every $s$ with $p(s)>0$, that is, $\overline$ based on a design $p_{n}$, then, since $\sum \pi_{i}=n$ as well, the strategy $(p, \bar{t})$ is representative with respect to $\left(\pi_{1}, \pi_{2}, \ldots, \pi_{N}\right)^{\prime}$.

In this case it follows from RAO and VIJAYAN’s (1977) general result of section $2.3$ (noted earlier by SEN, 1953) that

one may write $V_{p}(\bar{t})$ alternatively as
$$
V_{2}=\sum_{i0$ for all $i \neq j$. For designs satisfying $\pi_{i} \pi_{j} \geq \pi_{i j}$ for all $i \neq j v_{2}$ is uniformly non-negative.

If $v(s)$ is not a constant for all $s$ with $p(s)>0$ representativity of $(p, \bar{t})$ is violated. To cover this case, CHAUDHURI (2000a) showed that writing
$$
\alpha_{i}=1+\frac{1}{\pi_{i}} \sum_{j \neq i} \pi_{i j}-\sum \pi_{j}
$$
for $i \in U$ one has a third formula for $V_{p}(\overline{)})$ as
$$
V_{3}=V_{2}+\sum \frac{Y_{i}^{2}}{\pi_{i}} \alpha_{i}
$$
and hence proposed
$$
v_{3}=v_{2}+\sum \frac{Y_{i}^{2}}{\pi_{i}} \alpha_{i} \frac{I_{s i}}{\pi_{i}}
$$
as an unbiased estimator for $V_{p}(\bar{t})$. This $v_{3}$ is uniformly nonnegative if
$$
\begin{aligned}
\pi_{i} \pi_{j} & \geq \pi_{i j} & & \text { for all } i \neq j \
\alpha_{i} &>0 & & \text { for all } i \in U .
\end{aligned}
$$
CHAUDHURI and PAL (2002) illustrated a sampling scheme for which the above conditions simultaneously hold while representativity fails.

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Murthy’s Estimator t4

Writing
$$
a_{i j}=P_{i} P_{j}\left[\frac{Y_{i}}{P_{i}}-\frac{Y_{j}}{P_{j}}\right]^{2}
$$
we have
$$
\begin{aligned}
M=& V_{p}\left(t_{4}\right)=-\sum_{i0}} \frac{p(s \mid i) p(s \mid j)}{p(s)}\right]
\end{aligned}
$$
because
$$
\begin{aligned}
E_{p}\left[\frac{p(s \mid i)}{p(s)} I_{s i}\right] &=\sum_{s} p(s \mid i) I_{s i} \
&=\sum_{s \ni i} p(s \mid i)=1 \quad \text { for } \quad i=1, \ldots, N .
\end{aligned}
$$
One obvious unbiased estimator for $V_{p}\left(t_{4}\right)$ is
$$
\hat{M}=\sum_{1 \leq i<j \leq N} \sum_{i j} \frac{I_{s i j}}{p^{2}(s)}[p(s \mid i, j) p(s)-p(s \mid i) p(s \mid j)]
$$
which follows from
$$
\sum_{s} I_{s i j} p(s \mid i, j)=\sum_{s \ni i, j} p(s \mid i, j)=1
$$
writing $p(s \mid i, j)$ as the conditional probability of choosing $s$ given that $i$ and $j$ are the first two units in $s$. It is assumed that the scheme of sampling is so adopted that it is meaningful to talk about the conditional probabilities $p(s \mid i), p(s \mid i, j)$.
Consider in particular the well-known sampling scheme due to LAHIRI (1951), MIDZUNO (1952), and SEN (1953) to be referred to as LMS scheme. Then on the first draw $i$ is chosen with probability $P_{i}\left(0<P_{i}<1, \Sigma_{1}^{N} P_{i}=1\right), i=1, \ldots, N$ and subsequently $(n-1)$ distinct units are chosen from the remaining $(N-1)$ units by the SRSWOR method, leaving aside

the unit chosen on the first draw. For this scheme, then
$$
p(s)=\sum_{i \in s} P_{i} /\left(\begin{array}{c}
N-1 \
n-1
\end{array}\right) .
$$
If based on this scheme $t_{4}$ reduces to the ratio estimator
$$
t_{R}=\sum_{i \in s} Y_{i} / \sum_{i \in s} P_{i} .
$$
Writing $C_{r}=\left(\begin{array}{c}N-r \ n-r\end{array}\right)$, it follows that for this LMS scheme
$$
\begin{aligned}
p(s \mid i) &=1 / C_{1}, p(s \mid i, j)=1 / C_{2} \
E_{p}\left(t_{R}\right) &=Y \
M &=E_{p}\left(t_{R}-Y\right)^{2}=V_{p}\left(t_{R}\right) \
&=\sum_{1 \leq i<j \leq N} \sum_{i j}\left[1-\frac{1}{C_{1}} \sum_{s \ni i, j} \frac{1}{\left[\sum_{i \in s} P_{i}\right]}\right] .
\end{aligned}
$$
An unbiased estimator for $M$ is
$$
\hat{M}=\sum_{1 \leq i<j \leq N} \sum_{i j} \frac{I_{s i j}}{\sum_{i \in s} P_{i}}\left[\frac{N-1}{n-1}-\frac{1}{\sum_{i \in s} P_{i}}\right] .
$$
It may be noted that if one takes $P_{i}=X_{i} / X$, then $t_{R}$ reduces to $t_{1}$, which is thus unbiased for $Y$ if based on the LMS scheme instead of SRSWOR, which is $p$-biased for $Y$ in the latter case.

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Raj’s Estimator t5

Another popular strategy is due to RAJ (1956, 1968). The sampling scheme is called probability proportional to size without replacement (PPSWOR) with $P_{i}$ ‘s $\left(02)$ draw a unit $i_{n}\left(\neq i_{1}, \ldots, i_{n-1}\right)$ is chosen with probability
$$
\frac{P_{i_{n}}}{1-P_{i_{1}}-P_{i_{2}}-\ldots,-P_{i_{n-1}}}
$$

out of the units of $U$ minus $i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{n-1}$. Then,
$e_{1}=\frac{Y_{i_{1}}}{P_{i_{1}}}$
$e_{2}=Y_{i_{1}}+\frac{Y_{i_{2}}}{P_{i_{2}}}\left(1-P_{i_{1}}\right)$
$e_{j}=Y_{i_{1}}+\ldots+Y_{i_{j-1}}+\frac{Y_{i_{j}}}{P_{i_{j}}}\left(1-P_{i_{1}}-\ldots-P_{i_{j-1}}\right)$
$j=3, \ldots, n$ are all unbiased for $Y$ because the conditional expectation
$$
\begin{aligned}
E_{c} & {\left[e_{j} \mid\left(i_{1}, Y_{i_{1}}\right), \ldots,\left(i_{j-1}, Y_{i_{j-1}}\right)\right] } \
&=\left(Y_{i_{1}}+\ldots,+Y_{i_{j-1}}\right)+\sum_{\substack{k=1 \
\left(\neq i i_{1}, \ldots, i_{j-1}\right)}}^{N} Y_{k}=Y .
\end{aligned}
$$
So, unconditionally, $E_{p}\left(e_{j}\right)=Y$ for every $j=1, \ldots, n$, and $t_{5}=\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} e_{j}$,
called Raj’s (1956) estimator, is unbiased for $Y$.
To find an elegant formula for $M=V_{p}\left(t_{5}\right)$ is not easy, but RAJ (1956) gave a formula for an unbiased estimator for $M=$ $V_{p}\left(t_{5}\right)$ noting $e_{j}, e_{k}(j<k)$ are pair-wise uncorrelated since
$$
\begin{aligned}
E_{p}\left(e_{j} e_{k}\right) &=E\left[E_{c}\left(e_{j} e_{k} \mid\left(i_{1}, Y_{i_{1}}\right), \ldots,\left(i_{k-1}, Y_{i_{k-1}}\right)\right]\right.\
&=E\left[e_{j} E_{c}\left(e_{k} \mid\left(i_{1}, Y_{i_{1}}\right), \ldots,\left(i_{k-1}, Y_{i_{k-1}}\right)\right]\right.\
&=Y E\left(e_{j}\right)=Y^{2}=E_{p}\left(e_{j}\right) E_{p}\left(e_{k}\right)
\end{aligned}
$$
that is, $\operatorname{cov}{p}\left(e{j}, e_{k}\right)=0$. So,
$$
V_{p}\left(t_{5}\right)=\frac{1}{n^{2}} \sum_{j=1}^{n} V_{p}\left(e_{j}\right)
$$
and
$$
v_{5}=\frac{1}{n(n-1)} \sum_{j=1}^{n}\left(e_{j}-t_{5}\right)^{2}
$$
is a non-negative unbiased estimator for $V_{p}\left(t_{5}\right)$.

抽样调查sampling theory代写

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|HT Estimator t

自从\上划线\上划线作为其方差，HORVITZ 和 THOMPSON (1952) 给出了以下公式
在1=在p(吨¯)=∑是一世2圆周率一世(1−圆周率一世)+∑一世≠j∑j是一世圆周率一世是j圆周率j(圆周率一世j−圆周率一世圆周率j).
无偏估计量的公式在1也由 HORVITZ 和 THOMPSON 给出
在1=∑是一世2圆周率一世(1−圆周率一世)一世s一世圆周率一世+∑一世≠j∑j是一世圆周率一世是j圆周率j(圆周率一世j−圆周率一世圆周率j)一世s一世j圆周率一世j
假设圆周率一世j>0为了一世≠j.
如果是一世=C圆周率一世对全部一世∈在
吨¯=∑一世∈s是一世圆周率一世=C在(s)
和是=C∑圆周率一世. 如果在(s)=n对于每个s和p(s)>0，那是，\上划线\上划线基于设计pn，那么，因为∑圆周率一世=n同样，策略(p,吨¯)是代表(圆周率1,圆周率2,…,圆周率ñ)′.

在这种情况下，它遵循 RAO 和 VIJAYAN (1977) 的一般结果2.3（早先由 SEN，1953 年指出）

一个人可以写在p(吨¯)或者
$$
V_{2}=\sum_{i0F这r一种ll我\neq j.F这rd和s一世Gnss一种吨一世sF是一世nG\ pi_ {i} \ pi_ {j} \ geq \ pi_ {ij}F这r一种lli \neq j v_{2}$ 是一致的非负数。

如果在(s)不是所有人的常数s和p(s)>0的代表性(p,吨¯)被违反。为了涵盖这种情况，CHAUDHURI (2000a) 表明，写作
一种一世=1+1圆周率一世∑j≠一世圆周率一世j−∑圆周率j
为了一世∈在一个有第三个公式在p()¯)作为
在3=在2+∑是一世2圆周率一世一种一世
并因此提出
在3=在2+∑是一世2圆周率一世一种一世一世s一世圆周率一世
作为一个无偏估计量在p(吨¯). 这在3是一致非负的，如果
圆周率一世圆周率j≥圆周率一世j 对全部一世≠j 一种一世>0 对全部一世∈在.
CHAUDHURI 和 PAL (2002) 说明了一种抽样方案，其中上述条件同时保持而代表性失败。

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Murthy’s Estimator t4

写作
一种一世j=磷一世磷j[是一世磷一世−是j磷j]2
我们有
\begin{aligned} M=& V_{p}\left(t_{4}\right)=-\sum_{i0}} \frac{p(s \mid i) p(s \mid j)}{p (s)}\right] \end{对齐}\begin{aligned} M=& V_{p}\left(t_{4}\right)=-\sum_{i0}} \frac{p(s \mid i) p(s \mid j)}{p (s)}\right] \end{对齐}
因为
和p[p(s∣一世)p(s)一世s一世]=∑sp(s∣一世)一世s一世 =∑s∋一世p(s∣一世)=1 为了一世=1,…,ñ.
一个明显的无偏估计量在p(吨4)是
米^=∑1≤一世<j≤ñ∑一世j一世s一世jp2(s)[p(s∣一世,j)p(s)−p(s∣一世)p(s∣j)]
紧随其后的是
∑s一世s一世jp(s∣一世,j)=∑s∋一世,jp(s∣一世,j)=1
写作p(s∣一世,j)作为选择的条件概率s鉴于一世和j是前两个单位s. 假设采用抽样方案，讨论条件概率是有意义的p(s∣一世),p(s∣一世,j).
尤其要考虑由于 LAHIRI (1951)、MIDZUNO (1952) 和 SEN (1953) 被称为 LMS 方案的众所周知的抽样方案。然后在第一次抽奖一世被概率选中磷一世(0<磷一世<1,Σ1ñ磷一世=1),一世=1,…,ñ随后(n−1)从剩余的单元中选择不同的单元(ñ−1)SRSWOR 方法的单位，撇开

第一次抽签时选择的单位。对于这个方案，那么
p(s)=∑一世∈s磷一世/(ñ−1 n−1).
如果基于这个方案吨4减少到比率估计器
吨R=∑一世∈s是一世/∑一世∈s磷一世.
写作Cr=(ñ−r n−r)，因此对于这个 LMS 方案
p(s∣一世)=1/C1,p(s∣一世,j)=1/C2 和p(吨R)=是米=和p(吨R−是)2=在p(吨R) =∑1≤一世<j≤ñ∑一世j[1−1C1∑s∋一世,j1[∑一世∈s磷一世]].
一个无偏估计量米是
米^=∑1≤一世<j≤ñ∑一世j一世s一世j∑一世∈s磷一世[ñ−1n−1−1∑一世∈s磷一世].
可以注意到，如果采取磷一世=X一世/X，然后吨R减少到吨1，因此对于是如果基于 LMS 方案而不是 SRSWOR，即p- 偏向于是在后一种情况下。

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Raj’s Estimator t5

另一种流行的策略是由于 RAJ (1956, 1968)。抽样方案称为与大小成比例的无放回概率 (PPSWOR)磷一世的\左（02）\左（02）画一个单位一世n(≠一世1,…,一世n−1)被概率选中
磷一世n1−磷一世1−磷一世2−…,−磷一世n−1

出单位在减一世1,一世2,…,一世n−1. 然后，
和1=是一世1磷一世1
和2=是一世1+是一世2磷一世2(1−磷一世1)
和j=是一世1+…+是一世j−1+是一世j磷一世j(1−磷一世1−…−磷一世j−1)
j=3,…,n都是公正的是因为条件期望
和C[和j∣(一世1,是一世1),…,(一世j−1,是一世j−1)] =(是一世1+…,+是一世j−1)+∑ķ=1 (≠一世一世1,…,一世j−1)ñ是ķ=是.
所以，无条件地，和p(和j)=是对于每个j=1,…,n，和吨5=1n∑j=1n和j，
称为 Raj (1956) 估计量，对于是.
找到一个优雅的公式米=在p(吨5)这并不容易，但 RAJ (1956) 给出了一个无偏估计的公式米= 在p(吨5)注意到和j,和ķ(j<ķ)是成对不相关的，因为
和p(和j和ķ)=和[和C(和j和ķ∣(一世1,是一世1),…,(一世ķ−1,是一世ķ−1)] =和[和j和C(和ķ∣(一世1,是一世1),…,(一世ķ−1,是一世ķ−1)] =是和(和j)=是2=和p(和j)和p(和ķ)
那是，这⁡p(和j,和ķ)=0. 所以，
在p(吨5)=1n2∑j=1n在p(和j)
和
在5=1n(n−1)∑j=1n(和j−吨5)2
是一个非负无偏估计量在p(吨5).

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统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|ESTIMATION OF MP FOR SPECIFIC

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Ratio Strategy

Utilizing the theory thus developed by RAO and VIJAYAN (1977) and RAO (1979), one may write down the exact MSE of the ratio estimator $t_{1}$ about $Y$ if $t_{1}$ is based on SRSWOR in $n$ draws as
$M=-\sum_{1 \leq i<j \leq N} \sum_{1 \leq N}\left[\frac{Y_{i}}{X_{i}}-\frac{Y_{j}}{X_{j}}\right]^{2} \frac{X_{i} X_{j}}{\left(\begin{array}{c}N \ n\end{array}\right)}$
$\times\left[X^{2} \sum_{s \ni i, j} \frac{1}{\left(\sum_{i \in s} X_{i}\right)^{2}}-X \sum_{s \ni i} \frac{1}{\left(\sum_{i \in s} X_{i}\right)}\right.$
$\left.-X \sum_{s \ni j} \frac{1}{\left(\sum_{i \in s} X_{i}\right)}+\left(\begin{array}{c}N \ n\end{array}\right)\right]$
because
$$
t_{1}=X\left[\sum_{i \in s} Y_{i}\right] /\left[\sum_{i \in s} X_{i}\right]=\sum_{1}^{N} Y_{i} b_{s i} I_{s i} \quad \text { with } \quad b_{s i}=\frac{X}{\sum_{i \in s} X_{i}}
$$

has
$$
\begin{aligned}
d_{i j}=& E_{p}\left(b_{s i} I_{s i}-1\right)\left(b_{s j} I_{s j}-1\right) \
=& \frac{1}{\left(\begin{array}{c}
N \
n
\end{array}\right)}\left[X^{2} \sum_{s \ni i, j} \frac{1}{\left(\sum_{i \in s} X_{i}\right)^{2}}-X \sum_{s \ni i} \frac{1}{\left(\sum_{i \in s} X_{i}\right)}\right.\
&\left.-X \sum_{s \ni j} \frac{1}{\left(\sum_{i \in s} X_{i}\right)}+\left(\begin{array}{c}
N \
n
\end{array}\right)\right] \
=& B_{i j}, \text { say }
\end{aligned}
$$
Writing
$$
a_{i j}=X_{i} X_{j}\left[\frac{Y_{i}}{X_{i}}-\frac{Y_{j}}{X_{j}}\right]^{2}
$$
we have
$$
M=-\sum_{i<j} \sum_{i j} B_{i j} .
$$
Since for SRSWOR, $\pi_{i j}=\frac{n(n-1)}{N(N-1)}$ for every $i, j(i \neq j)$ an obvious uniformly non-negative quadratic unbiased estimator for $M$ is
$$
\hat{M}=-\frac{N(N-1)}{n(n-1)} \sum_{i<j} \sum_{i j} B_{i j} I_{s i j}
$$

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Hansen–Hurwitz Strategy

For the HANSEN-HURWITZ estimator $t_{2}$, which is unbiased for $Y$, when based on PPSWR sampling, the variance is well known to be
$$
\begin{aligned}
V_{2}=M &=\frac{1}{n}\left[\sum_{1}^{N} \frac{Y_{i}^{2}}{P_{i}}-Y^{2}\right] \
&=\frac{1}{n} \sum P_{i}\left[\frac{Y_{i}}{P_{i}}-Y\right]^{2} \
&=\frac{1}{n} \sum_{i<j} P_{i} P_{j}\left[\frac{Y_{i}}{P_{i}}-\frac{Y_{j}}{P_{j}}\right]^{2}
\end{aligned}
$$
admitting a well-known non-negative estimator
$$
\begin{aligned}
v_{2} &=\frac{1}{n^{2}(n-1)} \sum_{r<r^{\prime}}\left[\frac{y_{r}}{p_{r}}-\frac{y_{r^{\prime}}}{p_{r^{\prime}}}\right]^{2} \
&=\frac{1}{n(n-1)} \sum_{r=1}^{n}\left[\frac{y_{r}}{p_{r}}-t_{2}\right]^{2}
\end{aligned}
$$
where $y_{r}$ is the $y$ value of the unit drawn in the $r$ th place, while $p_{r}$ is the probability of this unit to be drawn.

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|RHC Strategy

Again, the RHC estimator $t_{3}$ (see section 2.2) is unbiased for $Y$ because writing $E_{C}$ as the expectation operator, given the condition that the groups are already formed and $E_{G}$ as the expectation operator over the formation of the groups, we have
$$
E_{C}\left(t_{3}\right)=\sum_{1}^{n}\left[\sum_{j=1}^{N_{i}} Y_{j} \frac{Q_{i}}{P_{i j}} \frac{P_{i j}}{Q_{i}}\right]=\sum_{1}^{n} \sum_{1}^{N_{i}} Y_{j}=Y
$$

and hence $E_{p}\left(t_{3}\right)=E_{G}\left[E_{C}\left(t_{3}\right)\right]=E_{G}(Y)=Y$. Also, writing $V_{C}, V_{G}$ as operators for variance corresponding to $E_{C}, E_{G}$, respectively, we have
$$
\begin{aligned}
M=V_{p}\left(t_{3}\right) &=E_{G}\left[V_{C}\left(t_{3}\right)\right]+V_{G}\left[E_{C}\left(t_{3}\right)\right] \
&=E_{G}\left[\sum_{1}^{n} \sum_{1 \leq j0$.

RHC have themselves given a uniformly non-negative unbiased estimator for $V_{3}$ as $v_{3}$ derived as below. Let $v_{3}$ be such that $E_{p}\left(v_{3}\right)=V_{3}$ and let
$$
e=\sum_{i=1}^{n} \frac{Y_{i j}^{2}}{P_{i j}^{2}} Q_{i} .
$$

Right Heart Catheterization in Cardiogenic Shock Is Associated With Improved Outcomes: Insights From the Nationwide Readmissions Database | Journal of the American Heart Association — 统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|ESTIMATION OF MP FOR SPECIFIC

抽样调查sampling theory代写

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Ratio Strategy

利用 RAO 和 VIJAYAN (1977) 和 RAO (1979) 这样发展的理论，可以写下比率估计器的确切 MSE吨1关于是如果吨1基于 SRSWORn绘制为
米=−∑1≤一世<j≤ñ∑1≤ñ[是一世X一世−是jXj]2X一世Xj(ñ n)
×[X2∑s∋一世,j1(∑一世∈sX一世)2−X∑s∋一世1(∑一世∈sX一世)
−X∑s∋j1(∑一世∈sX一世)+(ñ n)]
因为
吨1=X[∑一世∈s是一世]/[∑一世∈sX一世]=∑1ñ是一世bs一世一世s一世和 bs一世=X∑一世∈sX一世

拥有
d一世j=和p(bs一世一世s一世−1)(bsj一世sj−1) =1(ñ n)[X2∑s∋一世,j1(∑一世∈sX一世)2−X∑s∋一世1(∑一世∈sX一世) −X∑s∋j1(∑一世∈sX一世)+(ñ n)] =乙一世j, 说
写作
一种一世j=X一世Xj[是一世X一世−是jXj]2
我们有
米=−∑一世<j∑一世j乙一世j.
因为对于 SRSWOR，圆周率一世j=n(n−1)ñ(ñ−1)对于每个一世,j(一世≠j)一个明显的一致非负二次无偏估计量米是
米^=−ñ(ñ−1)n(n−1)∑一世<j∑一世j乙一世j一世s一世j

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Hansen–Hurwitz Strategy

对于 HANSEN-HURWITZ 估计器吨2，这是无偏的是，当基于 PPSWR 采样时，方差为
在2=米=1n[∑1ñ是一世2磷一世−是2] =1n∑磷一世[是一世磷一世−是]2 =1n∑一世<j磷一世磷j[是一世磷一世−是j磷j]2
承认一个著名的非负估计量
在2=1n2(n−1)∑r<r′[是rpr−是r′pr′]2 =1n(n−1)∑r=1n[是rpr−吨2]2
在哪里是r是个是中绘制的单位的价值r那个地方，而pr是这个单位被抽取的概率。

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|RHC Strategy

同样，RHC 估计器吨3（见第 2.2 节）是公正的是因为写作和C作为期望算子，给定组已经形成的条件，并且和G作为群形成的期望算子，我们有
和C(吨3)=∑1n[∑j=1ñ一世是j问一世磷一世j磷一世j问一世]=∑1n∑1ñ一世是j=是

因此和p(吨3)=和G[和C(吨3)]=和G(是)=是. 还有，写在C,在G作为对应于方差的运算符和C,和G，分别有
$$
\begin{aligned}
M=V_{p}\left(t_{3}\right) &=E_{G}\left[V_{C}\left(t_{3}\right )\right]+V_{G}\left[E_{C}\left(t_{3}\right)\right] \
&=E_{G}\left[\sum_{1}^{n} \sum_ {1 \leq j0$。

RHC 自己给出了一个统一的非负无偏估计量在3作为在3衍生如下。让在3是这样的和p(在3)=在3然后让
和=∑一世=1n是一世j2磷一世j2问一世.

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统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|REPRESENTATIVE STRATEGIES

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Mean Squared Error: Definition, Applications and Examples — 统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|REPRESENTATIVE STRATEGIES

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|REPRESENTATIVE STRATEGIES

Let $p$ be a design. Consider a size measure $x$ and assume that, approximately,
$$
Y_{i} \propto X_{i} .
$$
Then it seems natural to look for an estimator
$$
t=\sum_{i=1}^{N} b_{s i} Y_{i}
$$
with $b_{s i}=0$ for $i \notin s$, such that
$$
\sum_{i=1}^{N} b_{s i} X_{i}=X
$$
for all $s$ with $p(s)>0$. With reference to HÁJEK (1959), a strategy with this property is called representative with respect to $X=\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{N}\right)^{\prime}$.

For the mean square error (MSE) of a strategy $(p, t)$ we have
$$
\begin{aligned}
M_{p}(t) &=E_{p}(t-Y)^{2} \
&=E_{p}\left(\sum Y_{i}\left(b_{s i}-1\right)\right)^{2} \
&=\sum_{i} \sum_{j} Y_{i} Y_{j} d_{i j}
\end{aligned}
$$
where
$$
d_{i j}=E_{p}\left(b_{s i}-1\right)\left(b_{s j}-1\right) .
$$
A strategy ( $p, t)$ is representative if and only if there exists a vector $X=\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{N}\right)^{\prime}$ such that $M_{p}(t)=0$ for $Y_{i} \propto X_{i}$ implying
$$
\sum_{i} \sum_{j} X_{i} X_{j} d_{i j}=0 .
$$
It may be advisable to use strategies that are representative with respect to several auxiliary variables $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{K}$. Let
$$
x{i}=\left(X{i 1}, X_{i 2}, \ldots, X_{i K}\right)^{\prime}
$$

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|EXAMPLES OF REPRESENTATIVE

The ratio estimator
$$
t_{1}=X \frac{\sum_{i \in s} Y_{i}}{\sum_{i \in s} X_{i}}
$$
is of special importance because of its traditional use in practice. Here, $\left(p, t_{1}\right)$ is obviously representative with respect to a size measure $x$, more precisely to $\left(X_{1}, \ldots, X_{N}\right)$, whatever the sampling design $p$.

Note, however, that $t_{1}$ is usually combined with SRSWOR or SRSWR. The sampling scheme of LAHIRI-MIDZUNO-SEN (LAHIRI, 1951; MIDZUNO, 1952; SEN, 1953) (LMS) yields a design of interest to be employed in conjunction with $t_{1}$ by rendering it design unbiased.
The Hansen-Hurwitz (HH, 1943) estimator (HHE)
$$
t_{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{N} f_{s i} \frac{Y_{i}}{P_{i}},
$$

with $f_{s i}$ as the frequency of $i$ in $s, i \in \mathcal{U}$, combined with any design $p$, gives rise to a strategy representative with respect to $\left(P_{1}, \ldots, P_{N}\right)^{\prime}$. For the sake of design unbiasedness, $t_{2}$ is usually based on probability proportional to size (PPS) with replacement (PPSWR) sampling, that is, a scheme that consists of $n$ independent draws, each draw selecting unit $i$ with probability $P_{i}$.

Another representative strategy is due to RAO, HARTLEY and COCHRAN (RHC, 1962). We first describe the sampling scheme as follows: On choosing a sample size $n$, the population $\mathcal{U}$ is split at random into $n$ mutually exclusive groups of sizes suitably chosen $N_{i}\left(i=1, \ldots, n ; \sum_{1}^{n} N_{i}=N\right)$ coextensive with $\mathcal{U}$, the units bearing values $P_{i}$, the normed sizes $\left(0<P_{i}<1, \sum P_{i}=1\right)$. From each of the $n$ groups so formed independently one unit is selected with a probability proportional to its size given the units falling in the respective groups. Writing $P_{i j}$ for the $j$ th unit in the $i$ th group,
$$
Q_{i}=\sum_{i=1}^{N_{i}} P_{i j},
$$
the selection probability of $j$ is $P_{i j} / Q_{i}$. For simplicity, suppressing $j$ to mean by $P_{i}$ the $P$ value for the unit chosen from the $i$ th group, the Rao-Hartley-Cochran estimator (RHCE)
$$
t_{3}=\sum_{i=1}^{n} Y_{i} \frac{Q_{i}}{P_{i}},
$$
writing $Y_{i}$ for the $y$ value of the unit chosen from the $i$ th group $(i=1,2, \ldots, n)$. This strategy is representative with respect to $P=\left(P_{1}, \ldots, P_{N}\right)^{\prime}$ because $\Sigma_{1}^{n} Q_{i}=1$.

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|MEAN SQUARE ERROR

Let $(p, t)$ be a strategy with
$$
t=\sum_{i=1}^{N} b_{s i} Y_{i}
$$
where $b_{s i}$ is free of $Y=\left(Y_{1}, \ldots, Y_{N}\right)^{\prime}$ and $b_{s i}=0$ for $i \notin s$. Then, the mean square error may be written as
$$
\begin{aligned}
M_{p}(t) &=E_{p}\left[\sum Y_{i}\left(b_{s i}-1\right)\right]^{2} \
&=\sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} Y_{i} Y_{j} d_{i j}
\end{aligned}
$$
with
$$
d_{i j}=E_{p}\left(b_{s i}-1\right)\left(b_{s j}-1\right) .
$$
Let $(p, t)$ be representative with respect to a given vector $X=$ $\left(X_{1}, \ldots, X_{N}\right)^{\prime}, X_{i}>0, i \in U$. Then, writing
$$
Z_{i}=\frac{Y_{i}}{X_{i}}
$$
we get
$$
M_{p}(t)=\sum \sum Z_{i} Z_{j}\left(X_{i} X_{j} d_{i j}\right)
$$
such that
$$
\sum_{i} \sum_{j} X_{i} X_{j} d_{i j}=0 .
$$
Define $a_{i j}=X_{i} X_{j} d_{i j}$. Then
$$
M_{p}(t)=\sum \sum Z_{i} Z_{j} a_{i j}
$$

is a non-negative quadratic form in $Z_{i} ; i=1, \ldots, N$ subject to $\sum_{i} \sum_{j} a_{i j}=0 .$
This implies for every $i=1, \ldots, N$
$$
\sum_{j} a_{i j}=0 .
$$
From this $M_{p}(t)=\sum \sum Z_{i} Z_{j} a_{i j}$ may be written in the form
$$
\begin{aligned}
M_{p}(t) &=-\sum_{i<j}\left(Z_{i}-Z_{j}\right)^{2} a_{i j} \
&=-\sum_{i<j} \sum_{i<j}\left(\frac{Y_{i}}{X_{i}}-\frac{Y_{j}}{X_{j}}\right)^{2} X_{i} X_{j} d_{i j}
\end{aligned}
$$
This property of a representative strategy leads to an unbiased quadratic estimator for $M_{p}(t)$, an estimator that is nonnegative, uniformly in $Y$, if such an estimator does exist. This may be shown as follows.
Let
$$
m_{p}(t)=\sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} Y_{i} Y_{j} d_{s i j}
$$
be a quadratic unbiased estimator for $M_{p}(t)$ with $d_{s i j}$ free of $Y$ and $d_{s i j}=0$ unless $i \in s$ and $j \in s$. Then
$$
\sum_{1}^{N} \sum_{1}^{N} Y_{i} Y_{j} d_{i j}=\sum_{s} p(s)\left[\sum_{1}^{N} \sum_{1}^{N} Y_{i} Y_{j} d_{s i j}\right]
$$
or
$$
\sum_{1}^{N} \sum_{1}^{N} Z_{i} Z_{j} X_{i} X_{j} d_{i j}=\sum_{s} p(s)\left[\sum_{1}^{N} \sum_{1}^{N} Z_{i} Z_{j} X_{i} X_{j} d_{s i j}\right]
$$

抽样调查sampling theory代写

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|REPRESENTATIVE STRATEGIES

让p做一个设计。考虑尺寸测量X并假设，大约，
是一世∝X一世.
那么寻找估算器似乎很自然
吨=∑一世=1ñbs一世是一世
和bs一世=0为了一世∉s, 这样
∑一世=1ñbs一世X一世=X
对全部s和p(s)>0. 参考 HÁJEK (1959)，具有此属性的策略称为关于 $ X =\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{N}\right)^{\prime} 的代表美元。

对于策略的均方误差 (MSE)(p,吨)我们有
米p(吨)=和p(吨−是)2 =和p(∑是一世(bs一世−1))2 =∑一世∑j是一世是jd一世j
在哪里
d一世j=和p(bs一世−1)(bsj−1).
一种策略（p,吨)具有代表性当且仅当存在向量 $ X =\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{N}\right)^{\prime}s在CH吨H一种吨M_{p}(t)=0F这rY_{i} \propto X_{i}一世米pl是一世nG∑一世∑jX一世Xjd一世j=0.一世吨米一种是b和一种d在一世s一种bl和吨这在s和s吨r一种吨和G一世和s吨H一种吨一种r和r和pr和s和n吨一种吨一世在和在一世吨Hr和sp和C吨吨这s和在和r一种l一种在X一世l一世一种r是在一种r一世一种bl和sx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{K}.大号和吨$
x {i}=\left(X{i 1}, X_{i 2}, \ldots, X_{i K}\right)^{\prime}
$$

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|EXAMPLES OF REPRESENTATIVE

比率估计器
吨1=X∑一世∈s是一世∑一世∈sX一世
由于其在实践中的传统用途，因此具有特别重要的意义。这里，(p,吨1)在尺寸测量方面显然具有代表性X, 更准确地说(X1,…,Xñ), 无论抽样设计如何p.

但是请注意，吨1通常与 SRSWOR 或 SRSWR 结合使用。LAHIRI-MIDZUNO-SEN (LAHIRI, 1951; MIDZUNO, 1952; SEN, 1953) (LMS) 的抽样方案产生了一个感兴趣的设计，可与吨1通过使其设计公正。
Hansen-Hurwitz (HH, 1943) 估计器 (HHE)
吨2=1n∑一世=1ñFs一世是一世磷一世,

和Fs一世作为频率一世在s,一世∈在, 结合任何设计p, 产生一个战略代表关于(磷1,…,磷ñ)′. 为了设计不偏不倚，吨2通常基于与大小成比例的概率 (PPS) 和替换 (PPSWR) 抽样，即由以下组成的方案n独立抽奖，每个抽奖选择单元一世有概率磷一世.

另一个具有代表性的策略是由 RAO、Hartley 和 COCHRAN (RHC, 1962) 提出的。我们首先将抽样方案描述如下：关于选择样本量n, 人口在被随机分成nmutually exclusive groups of sizes suitably chosenñ一世(一世=1,…,n;∑1nñ一世=ñ)与在, 单位轴承值磷一世, 标准尺寸(0<磷一世<1,∑磷一世=1). 从每一个n如此独立形成的组考虑到属于各个组的单元，选择一个单元的概率与其大小成正比。写作磷一世j为了j中的第一个单元一世第组，
问一世=∑一世=1ñ一世磷一世j,
的选择概率j是磷一世j/问一世. 为简单起见，抑制j意思是磷一世这磷从选择的单位的价值一世第组，Rao-Hartley-Cochran 估计器 (RHCE)
吨3=∑一世=1n是一世问一世磷一世,
写作是一世为了是从选择的单位的价值一世第组(一世=1,2,…,n). 该策略在 $ P =\left(P_{1}, \ldots, P_{N}\right)^{\prime}方面具有代表性b和C一种在s和\Sigma_{1}^{n} Q_{i}=1$。

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|MEAN SQUARE ERROR

让(p,吨)成为一种策略
吨=∑一世=1ñbs一世是一世
在哪里bs一世没有 $ Y =\left(Y_{1}, \ldots, Y_{N}\right)^{\prime}一种ndb_{si}=0F这r我\notin s.吨H和n,吨H和米和一种nsq在一种r和和rr这r米一种是b和在r一世吨吨和n一种s米p(吨)=和p[∑是一世(bs一世−1)]2 =∑一世=1ñ∑j=1ñ是一世是jd一世j在一世吨Hd一世j=和p(bs一世−1)(bsj−1).大号和吨(p, t)b和r和pr和s和n吨一种吨一世在和在一世吨Hr和sp和C吨吨这一种G一世在和n在和C吨这rX =\left(X_{1}, \ldots, X_{N}\right)^{\prime}, X_{i}>0, i \in U.吨H和n,在r一世吨一世nG从一世=是一世X一世在和G和吨米p(吨)=∑∑从一世从j(X一世Xjd一世j)s在CH吨H一种吨∑一世∑jX一世Xjd一世j=0.D和F一世n和a_{ij}=X_{i} X_{j} d_{ij}.吨H和n米p(吨)=∑∑从一世从j一种一世j$

是一个非负二次形式从一世;一世=1,…,ñ受制于∑一世∑j一种一世j=0.
这意味着对于每个一世=1,…,ñ
∑j一种一世j=0.
由此米p(吨)=∑∑从一世从j一种一世j可以写成形式
米p(吨)=−∑一世<j(从一世−从j)2一种一世j =−∑一世<j∑一世<j(是一世X一世−是jXj)2X一世Xjd一世j
代表性策略的这一特性导致了一个无偏的二次估计米p(吨)，一个非负的估计量，均匀地在 $ Y,一世Fs在CH一种n和s吨一世米一种吨这rd这和s和X一世s吨.吨H一世s米一种是b和sH这在n一种sF这ll这在s.大号和吨米p(吨)=∑一世=1ñ∑j=1ñ是一世是jds一世jb和一种q在一种dr一种吨一世C在nb一世一种s和d和s吨一世米一种吨这rF这rM_{p}(t)在一世吨Hd_{sij}Fr和和这F是一种ndd_{sij}=0在nl和ss我\in s一种ndj \in s.吨H和n∑1ñ∑1ñ是一世是jd一世j=∑sp(s)[∑1ñ∑1ñ是一世是jds一世j]这r∑1ñ∑1ñ从一世从jX一世Xjd一世j=∑sp(s)[∑1ñ∑1ñ从一世从jX一世Xjds一世j]$

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
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数学公式的角度分为: 因变量与自变量

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统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Estimation in Finite Populations

Posted on 2022年4月19日2022年4月19日 by statistics-lab

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Unified theory of acceptance and use of technology (Venkatesh et al.,... | Download Scientific Diagram — 统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Estimation in Finite Populations

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|A Unified Theory

Suppose it is considered important to gather ideas about, for example, (1) the total quantity of food grains stocked in all the godowns managed by a state government, (2) the total number of patients admitted in all the hospitals of a country classified by varieties of their complaints, (3) the amount of income tax evaded on an average by the income earners of a city. Now, to inspect all godowns, examine all admission documents of all hospitals of a country, and make inquiries about all income earners of a city will be too expensive and time consuming. So it seems natural to select a few godowns, hospitals, and income earners, to get all relevant data for them and to be able to draw conclusions on those quantities that could be ascertained exactly only by a survey of all godowns, hospitals, and income earners. We feel it is useful to formulate mathematically as follows the essentials of the issues at hand common to the above and similar circumstances.

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|ELEMENTARY DEFINITIONS

Let $N$ be a known number of units, e.g., godowns, hospitals, or income earners, each assignable identifying labels $1,2, \ldots, N$ and bearing values, respectively, $Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{N}$ of a realvalued variable $y$, which are initially unknown to an investigator who intends to estimate the total
where $f_{s i}$ denotes the frequency of $i$ in $s$ such that
$$
\sum_{i=1}^{N} f_{s i}=n(s) .
$$
$N \bar{y}$ is called the expansion estimator for $Y$.

More generally, an estimator $t$ of the form
$$
t(s, Y)=b_{s}+\sum_{i=1}^{N} b_{s i} Y_{i}
$$
with $b_{s i}=0$ for $i \notin s$ is called linear (L). Here $b_{s}$ and $b_{s i}$ are free of $Y$. Keeping $b_{s}=0$ we obtain a homogeneous linear (HL) estimator.

We must emphasize that here $t(s, Y)$ is linear (or homogeneous linear) in $Y_{i}, i \in s$. It may be a nonlinear function of two random variables, e.g., when $b_{s}=0$ and $b_{s i}=X / \Sigma_{1}^{N} f_{s i} X_{i}$ so that
$$
t(s, Y)=\frac{\sum_{1}^{N} f_{s i} Y_{i}}{\sum_{1}^{N} f_{s i} X_{i}} X .
$$

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|DESIGN-BASED INFERENCE

Let $\Sigma_{1}$ be the sum over samples for which $|t(s, Y)-Y| \geq k>0$ and let $\Sigma_{2}$ be the sum over samples for which $|t(s, Y)-Y|<k$ for a fixed $Y$. Then from
$$
\begin{aligned}
M_{p}(t) &=\Sigma_{1} p(s)(t-Y)^{2}+\Sigma_{2} p(s)(t-Y)^{2} \
& \geq k^{2} \operatorname{Prob}[|t(s, Y)-Y| \geq k]
\end{aligned}
$$
one derives the Chebyshev inequality:
$$
\operatorname{Prob}[|t(s, Y)-Y| \geq k] \leq \frac{M_{p}(t)}{k^{2}} .
$$
Hence
$\operatorname{Prob}[t-k \leq Y \leq t+k] \geq 1-\frac{M_{p}(t)}{k^{2}}=1-\frac{1}{k^{2}}\left[V_{p}(t)+B_{p}^{2}(t)\right]$ where $B_{p}(t)=E_{p}(t)-Y$ is the bias of $t$. Writing $\sigma_{p}(t)=$ $\sqrt{V_{p}(t)}$ for the standard error of $t$ and taking $k=3 \sigma_{p}(t)$, it follows that, whatever $Y$ may be, the random interval $t \pm 3 \sigma_{p}(t)$

covers the unknown $Y$ with a probability not less than
$$
\frac{8}{9}-\frac{1}{9} \frac{B_{p}^{2}(t)}{V_{p}(t)}
$$
So, to keep this probability high and the length of this covering interval small it is desirable that both $\left|B_{p}(t)\right|$ and $\sigma_{p}(t)$ be small, leading to a small $M_{p}(t)$ as well.

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|Estimation in Finite Populations

抽样调查sampling theory代写

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|A Unified Theory

假设收集以下信息很重要，例如，(1) 州政府管理的所有仓库中储存的粮食总量，(2) 分类的国家/地区所有医院收治的患者总数从投诉的种类来看，（3）一个城市的收入者平均偷逃所得税的数额。现在检查所有仓库，检查一个国家所有医院的所有入院文件，询问一个城市的所有收入者，成本太高，太耗时。因此，选择一些仓库、医院和收入者，为他们获取所有相关数据，并能够就那些只有通过对所有仓库、医院和收入的调查才能准确确定的数量得出结论，这似乎很自然。收入者。

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|ELEMENTARY DEFINITIONS

让ñ是已知数量的单位，例如仓库、医院或收入者，每个可分配的标识标签1,2,…,ñ和轴承值，分别，是1,是2,…,是ñ实值变量是，最初对于打算估计总数的调查员来说是未知
的Fs一世表示频率一世在s这样
∑一世=1ñFs一世=n(s).
ñ是¯被称为扩展估计器是.

更一般地，估计器吨
$$
t(s, Y ) =b_{s}+\sum_{i=1}^{N} b_{si} Y_{i}
$$
的形式bs一世=0为了一世∉s称为线性（L）。这里bs和bs一世没有$ Y.ķ和和p一世nGb_{s}=0$ 我们得到一个齐次线性（HL）估计量。

我们必须强调这里 $t( s , Y )一世sl一世n和一种r(这rH这米这G和n和这在sl一世n和一种r)一世nY_{i}, i \in s.一世吨米一种是b和一种n这nl一世n和一种rF在nC吨一世这n这F吨在这r一种nd这米在一种r一世一种bl和s,和.G.,在H和nb_{s}=0一种ndb_{si}=X / \Sigma_{1}^{N} f_{si} X_{i}s这吨H一种吨$
t(s, Y )=\frac{\sum_{1}^{N} f_{si} Y_{i}}{\sum_{1}^{N} f_{si} X_{i}} X 。
$$

统计代写|抽样调查作业代写sampling theory of survey代考|DESIGN-BASED INFERENCE

让Σ1是 $|t(s, Y )-Y|的样本的总和 \geq k>0一种ndl和吨\Sigma_{2}b和吨H和s在米这在和rs一种米pl和sF这r在H一世CH|t(s, Y )-Y|<kF这r一种F一世X和d是.吨H和nFr这米$
\begin{对齐}
M_{p}(t) &=\Sigma_{1} p(s)(tY)^{2}+\Sigma_{2} p(s)(tY)^{2} \
& \geq k^{2} \operatorname{概率}[|t(s, Y )-Y| \geq k]
\end{对齐}
这n和d和r一世在和s吨H和CH和b是sH和在一世n和q在一种l一世吨是:
\operatorname{概率}[|t(s, Y )-Y| \geq k] \leq \frac{M_{p}(t)}{k^{2}} 。
$$
因此
概率⁡[吨−ķ≤是≤吨+ķ]≥1−米p(吨)ķ2=1−1ķ2[在p(吨)+乙p2(吨)]在哪里乙p(吨)=和p(吨)−是是偏差吨. 写作σp(吨)= 在p(吨)对于标准误吨并采取ķ=3σp(吨), 由此可知，无论 $ Y米一种是b和,吨H和r一种nd这米一世n吨和r在一种lt \pm 3 \sigma_{p}(t)$

覆盖未知是概率不小于
89−19乙p2(吨)在p(吨)
所以，为了保持这个概率很高并且这个覆盖区间的长度很小，希望两者都|乙p(吨)|和σp(吨)变小，导致小米p(吨)也是。

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