统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考| Classification of States
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随机过程是一个由一些数学集合索引的随机变量的集合。每个概率和随机过程都与该集合中的一个元素唯一相关。索引集是用于索引随机变量的集合。
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- Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Decomposition of state space
It may be possible that $p_{i j}=0, p_{i j}^{(2)}=0$ but $p_{i j}^{(3)}>0$. We say that the state $j$ is accessible from state $i$ if $p_{i j}^{(n)}>0$ for some $n>0$. In notation $i \rightarrow j$, i.e. $i$ leads to $j$. If $i \rightarrow j$ and $j \rightarrow i$, then $i$ and $j$ communicate and we denote this by $i \leftrightarrow j$.
Definition $2.4$ The state $i$ is essential if $i \rightarrow j$ implies $i \leftarrow j$, i.e. if any state $j$ is accessible from $i$, then $i$ is accessible from that state. We shall let $\mathfrak{}$ set of all essential states. States that are not essential are called inessential.
Lemma $2.1 \quad i \leftrightarrow j$ defines an equivalence relation on $\mathfrak{S}$, the class of essential states.
Proof $i \leftrightarrow i$ (reflexivity)
(i) Since for each $i, \sum_{j E s} p_{i j}=1$ there exists at least one $j$ for which $p_{i j}>0$. But if $i$ is essential then there exists $m \geq 1$ such that $p_{j i}^{(m)}>0$. So by ChapmenKolmogrov equation $p_{i i}^{(m+1)} \geq p_{i j} p_{j i}^{(m)}>0$.
(ii) $i \leftrightarrow j \Leftrightarrow j \leftrightarrow i$ (symmetry)
(iii) $i \leftrightarrow j$ and $j \leftrightarrow k \Rightarrow i \leftrightarrow k$ (transitivity)
Proof of (iii)
To prove $i \rightarrow k$, since $i \rightarrow j p_{j i}^{(n)}>0$ for some $n \geq 1$ and $j \rightarrow k, p_{j k}^{(m)}>0$ for some $m \geq 1$.
Claim: $p_{i k}^{(l)}>0$ for some $l \geq 1$
$0<p_{i j}^{(n)} p_{j k}^{(m)} \leq \sum_{j \in s} p_{i j}^{(n)} p_{j k}^{(m)}=p_{i k}^{(n+m)}$ (Chapman-Kolmogorov)
Taking $l=m+n$,
$i \rightarrow k$ and similarly $k \rightarrow i \Rightarrow i \leftrightarrow k .$
By Lemma $2.1$, i.e. $\mathfrak{S}=\cup{C(i)$, where $C(i)={j \in \mathfrak{S} \mid i \leftrightarrow j}$ is called a communicating class, i.e. the class of essential states is partitioned into disjoint equivalent classes (communicating classes).
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Classification of states
Let $f_{i j}^{(n)}=P\left[X_{n}=j, X_{n-1} \neq j, X_{n-2} \neq j, \ldots, X_{1} \neq j \mid X_{0}=i\right]$, i.e. probability of arriving at $j$ at time $n$ for the first time, given that the process starts at $i$.
Define $f_{i j}^{(0)}=0$. Note that $f_{i j}^{(n)}=P\left[T_{i j}=n\right]$, where
$$
T_{i j}=\min \left{n: X_{n}=j \mid X_{0}=i\right}
$$
$f_{i j}^{(n)}$ are called the first entrance probability at $n$th step if $i \neq j$ and recurrence probability at the $n$th step.
Note $f_{i j}^{(1)}=p_{j j}$ gives the diagonal of the transition matrix.
Theorem $2.4 p_{i j}^{(n)}=\sum_{m=1}^{n} f_{i j}^{(m)} p_{j j}^{(n-m)}$ for all $m=1,2, \ldots n$.
Proof $p_{i j}^{(n)}=P\left[X_{n}=j \mid X_{0}=i\right]$
$$
\begin{aligned}
&\left.=\sum_{m=1}^{n} \frac{P\left[X_{n}=j\right.}{A}, \frac{X_{m}=j, X_{m-1} \neq j, \ldots, X_{1} \neq j}{B_{m}} \mid X_{0}=i\right] \
&C \
&=\sum_{m=1}^{n} P\left[A B_{m} \mid C\right]
\end{aligned}
$$
where $B_{m}$ are disjoint (mutually exclusive) and $\stackrel{n}{U}{m-1}^{n} B{m} \supset A$.
Hence
$$
\begin{aligned}
P_{i j}^{(n)} &=\sum_{m=1}^{n} \frac{P\left(A B_{m} C\right) P\left(B_{m} C\right)}{P(C) P\left(B_{m} C\right)} \
&=\sum_{m=1}^{n} P\left(A \mid B_{m} C\right) P\left(B_{m} \mid C\right) \
&=\sum_{m=1}^{n} P\left[X_{n}=j \mid X_{m}=j, X_{m-1} \neq j, \ldots, X_{1} \neq j, X_{0}=i\right] \
P\left[X_{m}\right.&\left.=j, X_{m-1} \neq j, \ldots, X_{1} \neq j \mid X_{0}=i\right] \
&=\sum_{m=1}^{n} P\left(X_{n}=j \mid X_{m}=j\right) f_{i j}^{(m)} \
&=\sum_{m=1}^{n} P_{j i}^{(n-m)} f_{i j}^{(m)}
\end{aligned}
$$
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|A few important theorem
Let $\left{a_{n}\right}$ be a sequence of real numbers such that $0 \leq a_{n} \leq 1, n=0,1,2, \ldots$
Let $A(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} z^{n}$ be the generating function of $\left{a_{n}\right}$
- Pringsheim : $A(z)$ converges in a circle $|z|<r$, where $r \leq 1 . Z=r$ is a singularity of $A(z)$.
- Abel: If $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}=a<\infty$, then $\lim _{: \rightarrow 1-} A(Z)=a$.
- Tauber: If $\lim {z \rightarrow 1-} A(Z)=a \leq \infty$, then $\sum{n=0}^{\infty} a_{n}=a$.
- Cesaro-Abel: If $\lim {n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum{k=1}^{\infty} a_{k}=L<\infty$, then
$$
\lim _{z \rightarrow 1-}(1-z) A(z)=L \text {. }
$$ - Cesaro-Tauber: If $\lim _{z \rightarrow 1-}(1-z) A(z)=L<\infty$, then
$$
\lim {z \rightarrow 1-} \frac{1}{n} \sum{k=0}^{n} a_{k}=L .
$$
For proofs of 2 and 3 see the book of Karlin (page 46, Introduction of Stochastic process) and proofs of 1,4 and 5 see the book of Tichmarsh-Theory of Functions.
Let $n=0,1,2, \ldots$.
- (Lebesgue) Dominated Convergence Theorem
If (i) $\lim {n \rightarrow \infty} a{n, m}$ exists for every $m$
(ii) $\left|a_{n m}\right| \leq b_{m}$ (independent of $n$ ) for all $m \geq 0$
(iii) $\sum_{m=0}^{\infty} b_{m}<\infty$
then $\lim {n \rightarrow \infty} \sum{m=0}^{\infty} a_{n m}=\sum_{m=0}^{\infty} \lim {n \rightarrow \infty} b{n m}$. - Fatou’s Lemma
If (i) $a_{n m} \geq 0$ for all $m, n$,
(ii) $\lim {n \rightarrow \infty} a{n m}$ exists for all $m$,
then $\quad \lim {n \rightarrow \infty}\left[\sum{m=0}^{\infty} a_{n m}\right] \geq \sum_{m=0}^{\infty}\left[\lim {n \rightarrow \infty} a{n m}\right]$. - Fubini’s Theorem
In order that
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} a_{n m}=\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n m}
$$
it is sufficient that at least one of the following conditions is satisfied:
(i) $a_{n m} \geq 0$ for all $n$. $m$
(ii) $\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty}\left|a_{n m}\right|<\infty$
(iii) $\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty}\left|a_{n m}\right|<\infty$
Proof of Theorem $2.5$
贝叶斯网络代写
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Decomposition of state space
有可能是p一世j=0,p一世j(2)=0但p一世j(3)>0. 我们说国家j可从状态访问一世如果p一世j(n)>0对于一些n>0. 在符号一世→j， IE一世导致j. 如果一世→j和j→一世， 然后一世和j沟通，我们用一世↔j.
定义2.4国家一世是必不可少的，如果一世→j暗示一世←j，即如果有任何状态j可从一世， 然后一世可以从该状态访问。我们要让所有基本状态的集合。非必要状态称为非必要状态。
引理2.1一世↔j定义一个等价关系小号，基本状态类。
证明一世↔一世（自反性）
(i) 因为对于每个一世,∑j和sp一世j=1至少存在一个j为此p一世j>0. 但如果一世是必不可少的，那么存在米≥1这样pj一世(米)>0. 所以由 ChapmenKolmogrov 方程p一世一世(米+1)≥p一世jpj一世(米)>0.
(二)一世↔j⇔j↔一世（对称）
（iii）一世↔j和j↔ķ⇒一世↔ķ（及物性）
证明（iii）
证明一世→ķ， 自从一世→jpj一世(n)>0对于一些n≥1和j→ķ,pjķ(米)>0对于一些米≥1.
宣称：p一世ķ(l)>0对于一些l≥1
0<p一世j(n)pjķ(米)≤∑j∈sp一世j(n)pjķ(米)=p一世ķ(n+米)(Chapman-Kolmogorov)
服用l=米+n,
一世→ķ同样地ķ→一世⇒一世↔ķ.
引理2.1, 即 $\mathfrak{S}=\cup{C(i),在H和r和C(i)={j \in \mathfrak{S} \mid i \leftrightarrow j}$ 称为通信类，即基本状态类被划分为不相交的等价类（通信类）。
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Classification of states
让F一世j(n)=磷[Xn=j,Xn−1≠j,Xn−2≠j,…,X1≠j∣X0=一世]，即到达的概率j有时n第一次，鉴于该过程开始于一世.
定义F一世j(0)=0. 注意F一世j(n)=磷[吨一世j=n]， 在哪里
T_{i j}=\min \left{n: X_{n}=j \mid X_{0}=i\right}T_{i j}=\min \left{n: X_{n}=j \mid X_{0}=i\right}
F一世j(n)被称为第一次进入概率n如果一世≠j和复发概率n第一步。
笔记F一世j(1)=pjj给出转移矩阵的对角线.
定理2.4p一世j(n)=∑米=1nF一世j(米)pjj(n−米)对全部米=1,2,…n.
证明p一世j(n)=磷[Xn=j∣X0=一世]
=∑米=1n磷[Xn=j一种,X米=j,X米−1≠j,…,X1≠j乙米∣X0=一世] C =∑米=1n磷[一种乙米∣C]
在哪里乙米不相交（互斥）且 $\stackrel{n}{U} {m-1}^{n} B {m} \supset A.H和nC和磷一世j(n)=∑米=1n磷(一种乙米C)磷(乙米C)磷(C)磷(乙米C) =∑米=1n磷(一种∣乙米C)磷(乙米∣C) =∑米=1n磷[Xn=j∣X米=j,X米−1≠j,…,X1≠j,X0=一世] 磷[X米=j,X米−1≠j,…,X1≠j∣X0=一世] =∑米=1n磷(Xn=j∣X米=j)F一世j(米) =∑米=1n磷j一世(n−米)F一世j(米)$
统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|A few important theorem
让\left{a_{n}\right}\left{a_{n}\right}是一个实数序列，使得0≤一种n≤1,n=0,1,2,…
让一种(和)=∑n=0∞一种n和n是的生成函数\left{a_{n}\right}\left{a_{n}\right}
- 普林斯海姆：一种(和)汇聚成一个圆圈|和|<r， 在哪里r≤1.从=r是一个奇点一种(和).
- 阿贝尔：如果∑n=0∞一种n=一种<∞， 然后林:→1−一种(从)=一种.
- 陶伯：如果林和→1−一种(从)=一种≤∞， 然后∑n=0∞一种n=一种.
- 塞萨罗-阿贝尔：如果林n→∞1n∑ķ=1∞一种ķ=大号<∞， 然后
林和→1−(1−和)一种(和)=大号. - 塞萨罗-陶伯：如果林和→1−(1−和)一种(和)=大号<∞， 然后
$$
\lim {z \rightarrow 1-} \frac{1}{n} \sum {k=0}^{n} a_{k}=L 。
$$
2 和 3 的证明参见 Karlin 的书（第 46 页，随机过程介绍），1,4 和 5 的证明参见 Tichmarsh-Theory of Functions 的书。
让n=0,1,2,….
- (Lebesgue) 支配收敛定理
If (i)林n→∞一种n,米存在于每个米
(二)|一种n米|≤b米（独立于n） 对全部米≥0
㈢∑米=0∞b米<∞
然后林n→∞∑米=0∞一种n米=∑米=0∞林n→∞bn米. - Fatou 引理
If (i)一种n米≥0对全部米,n,
(ii)林n→∞一种n米为所有人而存在米,
那么林n→∞[∑米=0∞一种n米]≥∑米=0∞[林n→∞一种n米].
Fubini定理
∑n=0∞∑米=0∞一种n米=∑米=0∞∑n=0∞一种n米
至少满足以下条件之一即可：
(i)一种n米≥0对全部n. 米
(二)∑n=0∞∑米=0∞|一种n米|<∞
㈢∑米=0∞∑n=0∞|一种n米|<∞
定理证明2.5
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随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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机器学习代写
随着AI的大潮到来，Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比，Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用，因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”，也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多，跨学科范围广，所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题，StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。
多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
