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随机过程是一个由一些数学集合索引的随机变量的集合。每个概率和随机过程都与该集合中的一个元素唯一相关。索引集是用于索引随机变量的集合。

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• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等楖率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Introduction

Let $X_{n}, n=1,2, \ldots$, be the nonnegative i.i.d r.v.s with $S_{n}=X_{1}+\ldots+X_{n}, n \geq 1$, $S_{0}=0 . F$ is the common d.f. of $X$ and assume $P\left(X_{n}=0\right)<1$. Define $N(t)=$ $\sup \left{n \mid S_{n} \leq t\right}$. The process ${N(t), t \geq 0}$ is called the Renewal Process.

To fix our ideas $X_{i}$ can be taken to represent the life time of the machines being replaced. The first machine is installed at time $t=0$ and is replaced instantaneously at time $t=X_{1}$. The replaced machine is again replaced at time $t=X_{1}+X_{2}$, and so on. If we write $S_{n}=X_{1}+\ldots+X_{n}$, the partial sum $S_{n}$ can be interpreted to be the time at which the nth replacement is made. $N(t)$ is the largest value of $n$ for which $S_{n} \leq t$. In other words $N(t)$ is the number of renewals that would have occurred at time $t$. The Renewal Theory, in a sense, is a special case of a Random Walk with absorbing barrier. We are sampling the $X_{i}$ until $S_{n}$ shoots the barrier at time $t$ and $N(t)+1$ is the sample size when we stop. Hence the Renewal Theory is also linked with Sequential Analysis in statistics.
${N(t), t \in(0, \infty)}$ is called the Renewal Counting Process. We can also write $N(t)=\max \left{n \mid S_{n} \leq t\right} .$

We want to find $P[N(t)=n]$ given $F$. To compute this we proceed as follows:
$$
\begin{aligned}
P\left[S_{2} \leq t\right] &=\int_{0}^{\infty} F(t-u) d F(u) \
&=\int_{0}^{t} F(t-u) d F(u) \
&=F^{*} F(t)=F^{(2)}(t), \ldots \
P\left[S_{n} \leq t\right] &=F^{(n)}(t)=\int_{0}^{t} F^{(n-1)}(t-u) d F(u), n \geq 1
\end{aligned}
$$
Define $\quad F^{(0)}(t)=\left{\begin{array}{l}0 \text { if } t<0 \\ 1 \text { if } t \geq 0 .\end{array}\right.$ Now $P[N(t)=n]=P\left[S_{1} \leq t, S_{2} \leq t, \ldots, S_{n} \leq t, S_{n+1}>t\right]$ $=P\left[S_{n} \leq t, S_{n+1}>t\right]$ (by nonnegativeness of $X_{1}$ )

$=P\left[S_{n} \leq t, S_{n}+X_{n+1}>t\right]$
$=P\left[t-X_{n+1}<S_{n} \leq t\right]$
$=\int_{0}^{\infty} P\left[t-X_{n+1}<S_{n} \leq t \mid u<X_{n+1} \leq u+d u\right] d F(u)$
$=\int_{0}^{\infty} P\left[t-u<S_{n} \leq t \mid u<X_{n+1} \leq u+d u\right] d F(u)$
$=\int_{0}^{\infty} P\left[t-u<S_{n} \leq t\right] d F(u)\left(\right.$ since $S_{n}$ is independent of $\left.X_{n+1}\right)$
$=\int_{0}^{\infty}\left{F^{(n)}(t)-F^{(n)}(t-u)\right} d F(u)$
$=\int_{0}^{\infty} F^{(n)}(t) d F(u)-\int_{0}^{\infty} F^{(n)}(t-u) d F(u)$
$=F^{(n)}(t)-\int_{0}^{t} F^{(n)}(t-u) d F(u)$

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Renewal Equation

Theorem 4.1
(a) $P[N(t)=n]=F^{(n)}(t)-F^{(n+1)}(t)$
(b) $H(t)=\sum_{n=1}^{\infty} F^{(n)}(t)$
(c) $H(t)=F(t)+\int_{0}^{t} H(t-u) d F(u)$, the so-called integral equation of Renewal Theory (Renewal equation).
(d) ${N(t), t \in[0, \infty)}$ is completely determined by $H(t)$.
$\operatorname{Proof}(\mathrm{b})$
$$
\begin{aligned}
H(t) &=\sum_{n=0}^{\infty} n P[N(t)=n] \
&=P[N(t)=1]+2 P[N(t)=2]+\ldots \
&=F^{(1)}(t)-F^{(2)}(t)+2 F^{(2)}(t)-2 F^{(3)}(t)+\ldots \
&=F^{(1)}(t)+F^{(2)}(t)+F^{(3)}(t)+\ldots
\end{aligned}
$$
$=\sum_{n=1}^{\infty} F^{(n)}(t)$ provided the series is convergent.
(convergence of the series will be proved in Exercise 4.5)
(c) $H(t)=\sum_{n=1}^{\infty} F^{(n)}(t)=F^{(1)}(t)+\sum_{n=2}^{\infty} F^{(n)}(t)$

$$
\begin{aligned}
&=F(t)+\sum_{n=1}^{\infty} F^{(n+1)}(t)=F(t)+\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{t} F^{(n)}(t-u) d F(u) \
&=F(t)+\int_{0}^{t} \sum_{n=1}^{\infty} F^{(n)}(t-u) d F(u) \text { (by Fubini Theorem) } \
&=F(t)+\int_{0}^{t} H(t-u) d F(u)
\end{aligned}
$$
(d) $H(t)=F(t)+\int_{0}^{t} H(t-u) d F(u)=F(t)+H^{} F(u)$ where $$ is the convolution operator.
Taking Laplace transform on both sides
$$
\mathscr{L}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} d H(t)=\mathscr{F}(s)+\mathscr{2}(s) \mathscr{F}(s)
$$
or $\mathscr{F}(s)=\frac{\mathscr{L}(s)}{1+\mathscr{L}(s)}$, where $\mathscr{F}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} d F(t)$ and $\mathscr{L}^{\prime}(s)=\frac{\mathscr{F}(s)}{1-G^{\top}(s)}(\operatorname{Re}(s)>0)$. This shows that $H(t)$ and $F(x)$ can be determined uniquely one from the other, since Laplace transform determines a non-decreasing (specially a d.f.) function uniquely. Hence $N(t)$ is completely determined by $H(t)$.
Now $N(t)=\max \left{n \mid S_{n} \leq t\right}$ and $E N(t)=\sum_{n=1}^{\infty} F^{(n)}(t)$ if $E N(t)<\infty$.
The next theorem will prove that all moments of $N(t)$ is finite.

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Renewal Theorems

1. Elementary Renewal Theorem (Feller 1941)
   $$
   \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{H(t)}{t}= \begin{cases}1 / \mu & \text { if } 0<\mu=E(x)<\infty \ 0 & \text { if } \mu=\infty\end{cases}
   $$
2. Blackwell’s Renewal Theorem (1948)
   $\lim {t \rightarrow \infty} \frac{H(t+h)-H(t)}{h}=1 / \mu$ for fixed $h>0$ and $X{1}$ is a continuous random variable.
   $\lim {t \rightarrow \infty} P$ [renewal at $\left.n d\right] \rightarrow \frac{d}{\mu}$ where $X{i}$ is a lattice type discrete r.v. and $d$ is the period of the lattice.

Definition $4.2$ A random variable $X$ is said to have lattice distribution if $P[X=c+n d]>0$ where $c$ and $d(>0)$ are real constants and $n=\pm 1, \pm 2, \ldots$ 3. Key Renewal Theorem (W.L. Smith, 1953)

If $Q(t) \geq 0$ and non increasing and $\int_{0}^{\infty} Q(t) d t<\infty$ then $\lim {t \rightarrow \infty} \int{0}^{t} Q(t-x) d H(x)=\frac{1}{\mu} \int_{0}^{\infty} Q(t) d t$ whenever $X$ is not arithmatic. A weaker version of the Elementary Renewal Theorem is the following due to J.L. Doob (1948) and is known as Doob’s Renewal Theorem $$ \lim {t \rightarrow \infty} \frac{N(t)}{t}=\frac{1}{\mu} \text { a.s. } $$ Proof Assume that $X{1}, X_{2}, \ldots$ and i.i.d. with $0<\mu<\infty$. and for all $0<\varepsilon<\mu$, $(\mu-\varepsilon) n \leq S_{n} \leq(\mu+\varepsilon) n$ for all large $n$. $$ n t1$. Replace $t$ by $n t$ to get
$$
n t \geq S_{N(t n)} \geq(\mu-\varepsilon) N(t n) \text { for all large } n \text {. }
$$
From (4.6) and (4.7) $\frac{t}{\mu+\varepsilon}<\frac{N(t n)+1}{n} \leq \frac{t}{\mu-\varepsilon}+\frac{1}{n}$ for $t>0$ and large $n$. Hence $\frac{N(t n)}{n} \rightarrow \frac{t}{\mu}$ a.s. as $n \rightarrow \infty$ and $t>0$,
i.e. $\frac{N(t n)}{t n} \rightarrow \frac{t}{\mu}$ as $t \rightarrow \infty$. Putting $n t=t^{*}$ we get the result.
Proof of Elementary Renewal Theorem
Assume $0<\mu<\infty$. Hence, there exists $\lambda>0$ such that $P\left(X_{n} \geq \lambda\right)>0$ for all $n=1,2, \ldots$
Define
$$
X_{n}^{\prime}=\left{\begin{array}{l}
\lambda \text { if } x_{n} \geq \lambda \
0 \text { otherwise }
\end{array}\right.
$$
(truncated r.v.)
Then $X_{n}^{\prime}$ are i.i.d. r.v.s and $X_{n}^{\prime} \leq X_{n}$ a.s. for all $n=1,2, \ldots$.
Define $S_{n}^{\prime}=\sum_{k=1}^{n} X_{k}^{\prime}$ and $N^{\prime}(t)=\max \left{K: S_{k}^{\prime} \leq t\right}$.

贝叶斯网络代写

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Introduction

让Xn,n=1,2,…, 是非负独立同分布 rvs小号n=X1+…+Xn,n≥1, 小号0=0.F是的共同 dfX并假设磷(Xn=0)<1. 定义ñ(吨)= \sup \left{n \mid S_{n} \leq t\right}\sup \left{n \mid S_{n} \leq t\right}. 过程ñ(吨),吨≥0被称为更新过程。

修正我们的想法X一世可以用来表示被更换机器的使用寿命。第一台机器安装时间吨=0并在时间瞬间被替换吨=X1. 被更换的机器在时间再次被更换吨=X1+X2， 等等。如果我们写小号n=X1+…+Xn, 部分和小号n可以解释为进行第 n 次替换的时间。ñ(吨)是最大值n为此小号n≤吨. 换句话说ñ(吨)是当时可能发生的续订次数吨. 从某种意义上说，更新理论是具有吸收障碍的随机游走的特例。我们正在抽样X一世直到小号n及时射门吨和ñ(吨)+1是我们停止时的样本量。因此，更新理论也与统计学中的顺序分析联系在一起。
ñ(吨),吨∈(0,∞)称为更新计数过程。我们也可以写N(t)=\max \left{n \mid S_{n} \leq t\right} 。N(t)=\max \left{n \mid S_{n} \leq t\right} 。

我们想找到磷[ñ(吨)=n]给定F. 为了计算这个，我们进行如下：
磷[小号2≤吨]=∫0∞F(吨−在)dF(在) =∫0吨F(吨−在)dF(在) =F∗F(吨)=F(2)(吨),… 磷[小号n≤吨]=F(n)(吨)=∫0吨F(n−1)(吨−在)dF(在),n≥1
定义 $\quad F^{(0)}(t)=\left{0 如果 吨<01 如果 吨≥0.\对。ñ这在P[N(t)=n]=P\left[S_{1} \leq t, S_{2} \leq t, \ldots, S_{n} \leq t, S_{n+1}>t\对]=P\left[S_{n} \leq t, S_{n+1}>t\right](b是n这nn和G一种吨一世在和n和ss这FX_{1}$)

=磷[小号n≤吨,小号n+Xn+1>吨]
=磷[吨−Xn+1<小号n≤吨]
=∫0∞磷[吨−Xn+1<小号n≤吨∣在<Xn+1≤在+d在]dF(在)
=∫0∞磷[吨−在<小号n≤吨∣在<Xn+1≤在+d在]dF(在)
=∫0∞磷[吨−在<小号n≤吨]dF(在)(自从小号n独立于Xn+1)
=\int_{0}^{\infty}\left{F^{(n)}(t)-F^{(n)}(tu)\right} d F(u)=\int_{0}^{\infty}\left{F^{(n)}(t)-F^{(n)}(tu)\right} d F(u)
=∫0∞F(n)(吨)dF(在)−∫0∞F(n)(吨−在)dF(在)
=F(n)(吨)−∫0吨F(n)(吨−在)dF(在)

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Renewal Equation

定理 4.1
(a)磷[ñ(吨)=n]=F(n)(吨)−F(n+1)(吨)
(二)H(吨)=∑n=1∞F(n)(吨)
（C）H(吨)=F(吨)+∫0吨H(吨−在)dF(在)，即更新论的所谓积分方程（Renewal equation）。
(d)ñ(吨),吨∈[0,∞)完全由H(吨).
证明⁡(b)
H(吨)=∑n=0∞n磷[ñ(吨)=n] =磷[ñ(吨)=1]+2磷[ñ(吨)=2]+… =F(1)(吨)−F(2)(吨)+2F(2)(吨)−2F(3)(吨)+… =F(1)(吨)+F(2)(吨)+F(3)(吨)+…
=∑n=1∞F(n)(吨)假设级数是收敛的。
（级数的收敛性将在练习 4.5 中证明）
(c)H(吨)=∑n=1∞F(n)(吨)=F(1)(吨)+∑n=2∞F(n)(吨)=F(吨)+∑n=1∞F(n+1)(吨)=F(吨)+∑n=1∞∫0吨F(n)(吨−在)dF(在) =F(吨)+∫0吨∑n=1∞F(n)(吨−在)dF(在) （由富比尼定理）  =F(吨)+∫0吨H(吨−在)dF(在)
(d)H(吨)=F(吨)+∫0吨H(吨−在)dF(在)=F(吨)+HF(在)在哪里一世s吨H和C这n在这l在吨一世这n这p和r一种吨这r.吨一种ķ一世nG大号一种pl一种C和吨r一种nsF这r米这nb这吨Hs一世d和s
\mathscr{L}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} d H(t)=\mathscr{F}(s)+\mathscr{2}(s) \mathscr {F}(s)
$$
或F(s)=大号(s)1+大号(s)， 在哪里F(s)=∫0∞和−s吨dF(吨)和大号′(s)=F(s)1−G⊤(s)(关于⁡(s)>0). 这表明H(吨)和F(X)可以彼此唯一确定，因为拉普拉斯变换唯一确定非递减（特别是 df）函数。因此ñ(吨)完全由H(吨).
现在N(t)=\max \left{n \mid S_{n} \leq t\right}N(t)=\max \left{n \mid S_{n} \leq t\right}和和ñ(吨)=∑n=1∞F(n)(吨)如果和ñ(吨)<∞.
下一个定理将证明所有矩ñ(吨)是有限的。

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Renewal Theorems

1. 基本更新定理 (Feller 1941)
   林吨→∞H(吨)吨={1/μ 如果 0<μ=和(X)<∞ 0 如果 μ=∞
2. 布莱克威尔的更新定理 (1948)
   林吨→∞H(吨+H)−H(吨)H=1/μ对于固定H>0和X1是一个连续随机变量。
   林吨→∞磷[更新时间nd]→dμ在哪里X一世是格型离散 rv 和d是格子的周期。

定义4.2随机变量X据说有格子分布，如果磷[X=C+nd]>0在哪里C和d(>0)是实常数和n=±1,±2,…3. 关键更新定理 (WL Smith, 1953)

如果问(吨)≥0和不增加和∫0∞问(吨)d吨<∞然后林吨→∞∫0吨问(吨−X)dH(X)=1μ∫0∞问(吨)d吨每当X不是算术的。由于 JL Doob (1948)，基本更新定理的较弱版本如下，被称为 Doob 更新定理林吨→∞ñ(吨)吨=1μ 作为 证明假设X1,X2,…和 iid0<μ<∞. 并为所有人0<e<μ, (μ−e)n≤小号n≤(μ+e)n对于所有大n.n吨1$.R和pl一种C和$吨$b是$n吨$吨这G和吨
nt \geq S_{N(tn)} \geq(\mu-\varepsilon) N(tn) \text { 对于所有大 } n \text {。}
Fr这米(4.6)一种nd(4.7)$吨μ+e<ñ(吨n)+1n≤吨μ−e+1n$F这r$吨>0$一种ndl一种rG和$n$.H和nC和$ñ(吨n)n→吨μ$一种.s.一种s$n→∞$一种nd$吨>0$,一世.和.$ñ(吨n)吨n→吨μ$一种s$吨→∞$.磷在吨吨一世nG$n吨=吨∗$在和G和吨吨H和r和s在l吨.磷r这这F这F和l和米和n吨一种r是R和n和在一种l吨H和这r和米一种ss在米和$0<μ<∞$.H和nC和,吨H和r和和X一世s吨s$λ>0$s在CH吨H一种吨$磷(Xn≥λ)>0$F这r一种ll$n=1,2,…$D和F一世n和
X_{n}^{\素数}=\左{λ 如果 Xn≥λ 0 除此以外 \对。
$$
（截断的 rv）
然后Xn′是 iidrvs 和Xn′≤Xn至于所有n=1,2,….
定义小号n′=∑ķ=1nXķ′和N^{\prime}(t)=\max \left{K: S_{k}^{\prime} \leq t\right}N^{\prime}(t)=\max \left{K: S_{k}^{\prime} \leq t\right}.

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随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

随着AI的大潮到来，Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比，Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用，因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”，也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多，跨学科范围广，所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题，StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。

多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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随机过程是一个由一些数学集合索引的随机变量的集合。每个概率和随机过程都与该集合中的一个元素唯一相关。索引集是用于索引随机变量的集合。

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统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Wald’s fundamental identity

Let $X_{1}, X_{2}, \ldots$ are i.i.d. r.v.s with $S_{n}=X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}$ and $N$ is a stopping rule.

Let $F_{n}(x)=P\left[S_{n} \leq x\right], F_{1}(x)=F(x)=P\left[X_{1} \leq x\right]$ and m.g.f. of $X_{1}$ is given by $\phi(\theta)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{\theta x} d F(x)<\infty$ if $\phi(\sigma)<\infty$, where $\sigma=\operatorname{Re}(\theta)$ We also assume that $$ \phi(\sigma)<\infty \text { for all } \sigma,-\beta<\sigma<\alpha<\infty, \alpha, \beta>0
$$
Under these conditions, $P\left[e^{X}<1-\delta\right]>0$ and $P\left[e^{X}>1+\delta\right]>0, \delta>0$. $\phi(\theta)$ has a minimum at $\theta=\theta_{0} \neq 0$, where $\theta_{0}$ is the root of the equation $\phi(\theta)=1 .$
Wald’s Sequential Analysis presented the so-called Wald’s identify
$$
E\left(e^{\theta S_{N}} /[\phi(\theta)]^{N}\right)=1 \text { for } \phi(\theta)<\infty \text { and }|\phi(\theta)| \geq 1 \text {. }
$$
Actually we shall give the proof of a more general theorem in Random walk due to Miller and Kemperman (1961).

Define $F_{n}(x)=P\left[S_{n} \leq x ; N \geq n\right], N=\min \left{n \mid S_{n} \notin(-b, a), 0<a, b<\infty\right}$ and the series $F(z, \theta)=\sum_{n=0}^{\infty} z^{n} \int_{-b}^{a} e^{\theta x} d F_{n}(x)$.
Then
$$
E\left(e^{\theta S_{N}} z^{N}\right)=1+[z \phi(\theta)-1] F(z, \theta) \text { for all } \theta
$$
which is known as Miller and Kemperman’s Identity.

If $\phi(q)=1 / z$ we get Wald’s Identify.
Proof Let $F_{0}(x)=\left{\begin{array}{lll}0 & \text { if } & x \leq 0 \ 1 & \text { if } & x \geq 0\end{array}\right.$
and $\quad F_{n}(x)=P\left[S_{n} \leq x ; N \geq n\right], n \geq 1$
$$
=P\left[-ba \text { ) }
$$
is the joint probability that the time $N$ for absorption is $n$ and that the position reached when absorption occurs between $x$ and $x+d x$. Hence if we take Laplace transform with respect to $n$ and with respect to $x$ over absorbing states we have
$$
\begin{aligned}
E\left(e^{\theta S_{N}} z^{N}\right) &=\sum_{n=1}^{\infty} z^{n}\left(\int_{-\infty}^{-b} e^{\theta x} d F_{n}(x)+\int_{a}^{\infty} e^{\theta x} d F_{n}(x)\right) \
&=\sum_{n=1}^{\infty} z^{n}\left(\int_{-\infty}^{\infty}-\int_{-b}^{a}\right) e^{\theta x} d F_{n}(x) \
&=\sum_{n=1}^{\infty} z^{n} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\theta x} d F_{n}(x)-F(z, \theta)+1
\end{aligned}
$$
where $F(z, \theta)=\sum_{n=0}^{\infty} z^{n} \int_{-h}^{a} e^{\theta x} d F_{n}(x)$.

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Fluctuation Theory

In this section $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}, \ldots$ are i.i.d. r.v.s.
Theorem $3.3$ If $E\left|X_{i}\right|<\infty$, then $$ \begin{aligned} P[N(b)&<\infty]=1 \text { if } E X_{i} \leq 0 \ &<1 \text { if } E X_{i}>0
\end{aligned}
$$
For Proof see Chung and Fuchs (1951) and Chung and Ornstein (1962), Memoirs of American Math. Society.

Definition $3.2$ If $S$ is uncountable, and $S_{n}=X_{1}+\ldots+X_{n}$ are Markov, $X_{i}$ ‘s being independent, then $x$ is called a possible value of the state space $S$ of the Markoy chain if there exits an $n$ such that
$P\left[\left|S_{n}-x\right|<\delta\right]>0$ for all $\delta>0$. A state $x$ is called recurrent if $P\left[\left|S_{n}-X\right|<\delta\right.$ i.o. $]=1$ i.e. $S_{n} \varepsilon(x-\delta, x+\delta)$ i.o. with probability one.
We shall conclude this section by stating two very important and famous theorems whose proofs are beyond the scope of this book.
Theorem 3.4 (Chung and Fuchs)
Either every state is recurrent or no state is recurrent. (ref. Spitzer-Random Walk (1962)).
Theorem $3.5$ (Chung and Ornstein)
If $E\left|X_{i}\right|<\infty$, then recurrent values exist iff $E\left(X_{i}\right)=0$.

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Exercises and Complements

Exercise 3.1 In a simple random walk with two absorbing barriers at 0 and a let the position $X_{n}$ at the $n$th step be given by $X_{n}=X_{n-1}+Z_{n}$ where $Z_{n}$ ‘s are i.i.d. r.vs. taking values 1 and $-1$ with corresponding probabilities $p$ and $q=1-p$. Let $\pi_{k}(n)$. be the probability of absorption at 0 of the random walk in $n$-steps starting from position $k$.
Show that the generating function $G_{k}(s)=\sum_{n=0}^{\infty} \pi_{k}(n) s^{n},|s|>1$ is given by
$$
(q / p)^{k} \frac{\lambda_{1}^{u-k}(s)-\lambda_{2}^{a-k}(s)}{\lambda_{1}^{a}(s)-\lambda_{2}^{a}(s)}
$$

$$
\lambda_{1}(s)=\frac{1+\left(1-4 p q s^{2}\right)^{1 / 2}}{2 p s}, \lambda_{2}(s)=\frac{1-\left(1-4 p q s^{2}\right)^{1 / 2}}{2 p s} .
$$
Also show that
$$
\pi_{k}(n)=2^{n} p^{(n-k) / 2} q^{(n+k) / 2} \int_{0}^{1} \cos ^{n-1}(\pi x) \sin (\pi x) \sin (k \pi x) d x .
$$
What will be the value of $\pi_{k}(n)$ in case of simple absorbing barrier at 0 when playing against an infinitely rich opponent?

Exercise 3.2 In a random walk with two absorbing barriers at $-n$ and $a$, let the position $X_{n}$ at the $n$th step be given by $X_{n}=X_{n-1}+Z_{n}$. where $Z_{n}$ ‘s are i.i.d. r.v.s taking values 1 ,. $-1,0$ with corresponding probabilities $p, q, 1-p-q$.
If $f_{j a}^{(n)}=P\left(-b<X_{1}, X_{2}, \ldots . X_{n-1}<a, X_{n}=a \mid X_{0}=j\right)$,
Show that the generating function of $\left{f_{j a}^{(n)}\right}$ is given by
$$
F_{j a}(s)=\frac{\left[\lambda_{1}(s)\right]^{j+b}-\left[\lambda_{2}(s)\right]^{j+b}}{\left[\lambda_{1}(s)\right]^{a+b}-\left[\lambda_{2}(s)\right]^{a+b}}
$$
where $\lambda_{1}(s)$ and $\lambda_{2}(s)$ are the roots of the equation
$$
p s \lambda^{2}-\lambda[1-s(1-p q)]+q s=0 .
$$
If the random walk starts from the origin, what will be the expression of the generating function.

贝叶斯网络代写

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Wald’s fundamental identity

让X1,X2,…是 iidrvs小号n=X1+X2+…+Xn和ñ是停止规则。

让Fn(X)=磷[小号n≤X],F1(X)=F(X)=磷[X1≤X]和mgfX1是（谁）给的φ(θ)=∫−∞∞和θXdF(X)<∞如果φ(σ)<∞， 在哪里σ=关于⁡(θ)我们还假设φ(σ)<∞ 对全部 σ,−b<σ<一种<∞,一种,b>0
在这些条件下，磷[和X<1−d]>0和磷[和X>1+d]>0,d>0. φ(θ)有一个最小值θ=θ0≠0， 在哪里θ0是方程的根φ(θ)=1.
Wald’s Sequential Analysis 提出了所谓的 Wald 标识
和(和θ小号ñ/[φ(θ)]ñ)=1 为了 φ(θ)<∞ 和 |φ(θ)|≥1. 
实际上，由于 Miller 和 Kemperman (1961)，我们将证明随机游走中更一般的定理。

定义F_{n}(x)=P\left[S_{n} \leq x ; N \geq n\right], N=\min \left{n \mid S_{n} \notin(-b, a), 0<a, b<\infty\right}F_{n}(x)=P\left[S_{n} \leq x ; N \geq n\right], N=\min \left{n \mid S_{n} \notin(-b, a), 0<a, b<\infty\right}和系列F(和,θ)=∑n=0∞和n∫−b一种和θXdFn(X).
然后
和(和θ小号ñ和ñ)=1+[和φ(θ)−1]F(和,θ) 对全部 θ
这被称为米勒和肯珀曼的身份。

如果φ(q)=1/和我们得到沃尔德的身份证明。
证明让 $F_{0}(x)=\left{0 如果 X≤0 1 如果 X≥0\对。一种nd\quad F_{n}(x)=P\left[S_{n} \leq x ; N \geq n\right], n \geq 1=P\left[-ba \text { ) }=P\left[-ba \text { ) }一世s吨H和j这一世n吨pr这b一种b一世l一世吨是吨H一种吨吨H和吨一世米和ñF这r一种bs这rp吨一世这n一世sn一种nd吨H一种吨吨H和p这s一世吨一世这nr和一种CH和d在H和n一种bs这rp吨一世这n这CC在rsb和吨在和和nX一种ndx+dx.H和nC和一世F在和吨一种ķ和大号一种pl一种C和吨r一种nsF这r米在一世吨Hr和sp和C吨吨这n一种nd在一世吨Hr和sp和C吨吨这X这在和r一种bs这rb一世nGs吨一种吨和s在和H一种在和和(和θ小号ñ和ñ)=∑n=1∞和n(∫−∞−b和θXdFn(X)+∫一种∞和θXdFn(X)) =∑n=1∞和n(∫−∞∞−∫−b一种)和θXdFn(X) =∑n=1∞和n∫−∞∞和θXdFn(X)−F(和,θ)+1在H和r和F(z, \theta)=\sum_{n=0}^{\infty} z^{n} \int_{-h}^{a} e^{\theta x} d F_{n}(x)美元。

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Fluctuation Theory

在这个部分X1,X2,…,Xn,…是 iidrvs
定理3.3如果和|X一世|<∞， 然后磷[ñ(b)<∞]=1 如果 和X一世≤0 <1 如果 和X一世>0
证明见 Chung and Fuchs (1951) 和 Chung and Ornstein (1962), Memoirs of American Math。社会。

定义3.2如果小号是不可数的，并且小号n=X1+…+Xn是马尔可夫，X一世是独立的，那么X称为状态空间的可能值小号Markoy 链的如果存在n这样
磷[|小号n−X|<d]>0对全部d>0. 一个状态X称为循环如果磷[|小号n−X|<dio]=1IE小号ne(X−d,X+d)io 概率为 1。
我们将通过陈述两个非常重要且著名的定理来结束本节，它们的证明超出了本书的范围。
定理 3.4（Chung 和 Fuchs）
要么每个状态都是循环的，要么没有状态是循环的。（参考斯皮策随机游走（1962））。
定理3.5（钟和奥恩斯坦）
如果和|X一世|<∞，则当且存在重复值和(X一世)=0.

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Exercises and Complements

练习 3.1 在一个简单的随机游走中，在 0 处有两个吸收障碍，让位置Xn在n第一步由下式给出Xn=Xn−1+从n在哪里从n是 iidrvs。取值 1 和−1有相应的概率p和q=1−p. 让圆周率ķ(n). 是随机游走在 0 处的吸收概率n- 从位置开始的步骤ķ.
证明生成函数Gķ(s)=∑n=0∞圆周率ķ(n)sn,|s|>1是（谁）给的
(q/p)ķλ1在−ķ(s)−λ2一种−ķ(s)λ1一种(s)−λ2一种(s)λ1(s)=1+(1−4pqs2)1/22ps,λ2(s)=1−(1−4pqs2)1/22ps.
也表明
圆周率ķ(n)=2np(n−ķ)/2q(n+ķ)/2∫01因n−1⁡(圆周率X)罪⁡(圆周率X)罪⁡(ķ圆周率X)dX.
会有什么价值圆周率ķ(n)在与无限富有的对手比赛时，如果简单的吸收障碍为0？

练习 3.2 在有两个吸收障碍的随机游走中−n和一种, 让位置Xn在n第一步由下式给出Xn=Xn−1+从n. 在哪里从n是 iidrvs 取值 1 ,.−1,0有相应的概率p,q,1−p−q.
如果Fj一种(n)=磷(−b<X1,X2,….Xn−1<一种,Xn=一种∣X0=j),
证明生成函数\left{f_{j a}^{(n)}\right}\left{f_{j a}^{(n)}\right}是（谁）给的
Fj一种(s)=[λ1(s)]j+b−[λ2(s)]j+b[λ1(s)]一种+b−[λ2(s)]一种+b
在哪里λ1(s)和λ2(s)是方程的根
psλ2−λ[1−s(1−pq)]+qs=0.
如果随机游走从原点开始，生成函数的表达式是什么。

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随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

随着AI的大潮到来，Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比，Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用，因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”，也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多，跨学科范围广，所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题，StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。

多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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随机过程是一个由一些数学集合索引的随机变量的集合。每个概率和随机过程都与该集合中的一个元素唯一相关。索引集是用于索引随机变量的集合。

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• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Returns to equilibrium

Let $A_{k}$ be the event of equalization of the accumulated number of successes and failures occurs at the $k$ th trial if $S_{k}=0$. Let $u_{k}=P\left(S_{k}=0\right)$. The number of trials is necessarily even and the probability of a return to the origin at the $2 n$th trial is given by
$$
U_{2 n}=\left(\begin{array}{c}
2 n \
n
\end{array}\right) p^{n} q^{n}=(-1)^{n}\left(\begin{array}{c}
-\frac{1}{2} \
n
\end{array}\right)(4 p q)^{n}
$$
The G.F. of $\left{U_{2 n}\right}$ is $U(s)=\sum_{n=0}^{\infty} U_{2 n} s^{2 n}$
$$
=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\begin{array}{c}
-\frac{1}{2} \
n
\end{array}\right)\left(4 p q s^{2}\right)^{n}=\left(1-4 p q s^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}
$$
The first return to (origin) equilibrium,
$$
B_{2 n}=\left[S_{k} \neq 0, \text { for } k=1, \ldots, 2 n-1, S_{2 n}=0\right] .
$$
Let $P\left(B_{2 n}\right)=f_{2 n}$.
Consider two sub-events with $X_{1}=1, X_{1}=-1$ and denote their probabilities by $f_{2 n}^{+}$and $f_{2 n}^{-}$, i.e.
$$
f_{2 n}^{+}=P\left(B_{n} \cap\left(X_{1}=1\right)\right) \text { and } f_{2 n}^{-}=P\left(B_{n} \cap\left(X_{1}=-1\right)\right) .
$$
Now $f_{2 n}^{-}=q \phi_{2 n-1}$ (because first $2 n-2$ partial sums $X_{2}+X_{3}+\ldots+X_{n} \leq 0$, but the next one is positive)
As before let $\phi_{n}=P\left[S_{1} \leq 0, S_{2} \leq 0, \ldots, S_{n}=1\right]$
Then the G.F. of $\left{f_{2 n}^{-}\right}$is
$$
\begin{aligned}
F^{-}(s) &=\sum_{n=1}^{\infty} f_{2 n}^{-} s^{2 n}=s q \sum_{n=1}^{\infty} \phi_{2 n-1} s^{2 n-1} \
&=q s \Phi(s)=q s \frac{1-\left(1-4 p q s^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{2 q s}
\end{aligned}
$$
By symmetry, $F^{+}(s)=F^{-}(s)$ and hence
$$
\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{\infty} f_{2 n} s^{2 n} &=F(s)=F^{+}(s)=F^{-}(s)=1-\left(1-4 p q s^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \
(&\left.=1-\frac{1}{U(S)} \text { in general }\right)
\end{aligned}
$$

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Sequential Analysis

An important problem arising in Wald’s sequential analysis is concerned with the random variable $N=N(a, b)$, where $N=\min \left{n \mid S_{n} \leq-b\right.$ or $\left.S_{n} \geq a\right}$ is the first exist time from the interval $(-b, a)$.
We ignore the trivial case $P\left(X_{i}=0\right)=1$.
Let $X_{i}$ are i.i.d. r.v.s and $S_{n}=X_{1}+\ldots+X_{n}$.
Theorem $3.1$ (C. Stein 1947)
$N$ is a proper random variable with finite moments of all order, i.e.
(i) $P(N<\infty)=1$ and (ii) $E(N)^{k}<\infty$ for all $k=1,2, \ldots$ Proof (i) We shall show, more specifically that there exists $A>0$ and
$$
0<\delta<1 \text { independent of } n \text { and } P[N \geq n] \leq A \delta^{n}
$$
Let $C=a+b$ and $r$ be a positive integer.
Let $S_{1}^{}=X_{1}+\ldots+X_{r}, S_{2}^{}=X_{r+1}+X_{r+2}+\ldots+X_{2 r}, \ldots$,
$$
S_{k}^{*}=X_{(k-1) r+1}+\ldots+X_{k r}
$$

We have, $P[N \geq k r] \leq P\left[\left|S_{1}^{}\right|}\right|}\right|}\right|0$.
If $p=1$, then $E\left(S_{k}^{}\right)^{2}=r E X_{i}^{2}+r(r-1)\left(E X_{i}\right)^{2}$ (since $X_{i}$ ‘s are i.i.d.) Since $E\left(X_{i}^{2}\right)>0, E\left(S_{k}^{}\right)^{2}>C^{2}$ by choosing $r$ large enough. But $p=1 \Rightarrow$ $E\left(S_{k}^{*}\right)^{2} \leq C^{2}$, which is a contradiction. Therefore $p \neq 1$ and $P(N<\infty)=1$. (ii) For $t>0$ and positive integer $k, n^{k}<e^{t n}$ for large $n$,
$$
\sum_{n=m}^{\infty} n^{k} P[N=n] \leq \sum_{n=m}^{\infty} e^{t n} P[N \geq n] \leq A \sum_{n=m}^{\infty}\left(\delta e^{t}\right)^{n}<\infty \text { if } \delta e^{t}<1 .
$$
Hence
$$
\begin{aligned}
E\left(N^{k}\right) &=\sum_{n=1}^{\infty} n^{k} P[N=n] \
&=\sum_{n=1}^{m-1} n^{k} P[N=n]+\sum_{n=m}^{m} n^{k} P[N=n]
\end{aligned}
$$
Definition $3.1 \quad N$ is called a stopping rule if $N$ is a non-negative integer-valued random variable and the event $[N \geq n]$ depends on $X_{1}, X_{2}, \ldots X_{n-1}$ only, i.e. $\lfloor N=n]$ is measurable with respect to $5\left(X_{1}, \ldots, X_{n-1}\right)\left(X_{1}, \ldots, X_{n-1}\right.$, need not be i.i.d. r.v.s).

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Wald’s Equation and Wald’s Identity

Theorem $3.2$ (Wald’s equation) Let $\left{X_{i}\right}$ be a sequence of i.i.d. r.v.s with $E(N)<\infty$. If $E\left|X_{1}\right|<\infty$ then $E\left(S_{N}\right)=\left(E X_{1}\right) E N$.
If moreover, $\sigma^{2}=\operatorname{var}\left(X_{1}\right)<\infty$, then $E\left(S_{N}-N \mu\right)^{2}=\sigma^{2} E(N)$, where $\mu=E\left(X_{1}\right)$.
Proof $E\left(S_{N}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} E\left(S_{N} \mid N=n\right) P[N=n]$
$$
=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{n} P[N=n] E\left(X_{i} \mid N=n\right)
$$
$$
=\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{n=i}^{\infty} P[N=n] E\left(X_{i} \mid N=n\right)
$$
(interchanging the order of summation)
$$
\left|\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{n=i}^{\infty} E\left(X_{i} \mid N=n\right) P(N=n)\right| \leq \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{n=i}^{\infty} E\left(\left|X_{i}\right| \mid N=n\right) P(N=n)
$$
$$
=E\left|X_{t}\right| E(N)<\infty
$$
(Fubini condition is satisfied)
Therefore
$$
\begin{aligned}
E\left(S_{N}\right) &=\sum_{i=1}^{\infty} P[N \geq i] E\left(X_{i} \mid N \geq i\right)\left(\text { since } N \geq i \text { depends on } X_{1}, \ldots, X_{i=1}\right. \text { only) }\
&=\sum_{i=1}^{\infty} P[N \geq i] E\left(X_{i}\right)=E\left(X_{i}\right) E(N)
\end{aligned}
$$

Let $N_{n}=\min (N, n)$. Now let $N_{n} \rightarrow N$ monotonically, it follows from the Monotone convergence theorem that
$$
E N_{n} \rightarrow E(N) \text { as } n \rightarrow \infty
$$
Since $\left.\left{\left(S_{n}-n \mu\right)^{2}-n \sigma^{2}, g_{n}\right), n \geq 1\right}$ is a martingale (prove it).
We can apply optional sampling theorem to obtain (see Appendix iv)
$$
E\left(S_{N_{n}}-n \mu\right)^{2}=\sigma^{2} E N_{n}
$$
Now let $m \geq n$. Since martingales have orthogonal increments we have, by (3.7) and (3.8),
$$
\begin{aligned}
E\left(S_{N_{m}}-\mu N_{m}-\right.&\left.\left(S_{N_{n}}-\mu N_{n}\right)\right)^{2}=E\left(S_{N_{m}}-\mu N_{m}\right)^{2}-E\left(S_{N_{n}}-\mu N_{n}\right)^{2} \
=& \sigma^{2}\left(E N_{m}-E N_{n}\right) \rightarrow 0 \text { as } n, m \rightarrow \infty
\end{aligned}
$$
that is $S_{N_{n}}-\mu N_{n}$ converges in $L_{2}$ as $n \rightarrow \infty$.
However, since we already know that $S_{N_{n}}-\mu N_{n} \rightarrow S_{N}-\mu N$ as $n \rightarrow \infty$, it follows that
$$
E\left(S_{N_{n}}-\mu N_{n}\right)^{2} \rightarrow E\left(S_{N}-\mu N\right)^{2} \text { as } n \rightarrow \infty,
$$
which together with (3.7) and (3.8), completes the proof.

贝叶斯网络代写

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Returns to equilibrium

让一种ķ是累积成功和失败次数均等的事件发生在ķ审判如果小号ķ=0. 让在ķ=磷(小号ķ=0). 试验次数必然是偶数，返回原点的概率2n审判由
在2n=(2n n)pnqn=(−1)n(−12 n)(4pq)n
女朋友\left{U_{2 n}\right}\left{U_{2 n}\right}是在(s)=∑n=0∞在2ns2n
=∑n=0∞(−1)n(−12 n)(4pqs2)n=(1−4pqs2)−12
第一次回到（原点）均衡，
乙2n=[小号ķ≠0, 为了 ķ=1,…,2n−1,小号2n=0].
让磷(乙2n)=F2n.
考虑两个子事件X1=1,X1=−1并将它们的概率表示为F2n+和F2n−， IE
F2n+=磷(乙n∩(X1=1)) 和 F2n−=磷(乙n∩(X1=−1)).
现在F2n−=qφ2n−1（因为首先2n−2部分金额X2+X3+…+Xn≤0，但下一个是正数）
和以前一样让φn=磷[小号1≤0,小号2≤0,…,小号n=1]
然后的GF\left{f_{2 n}^{-}\right}\left{f_{2 n}^{-}\right}是
F−(s)=∑n=1∞F2n−s2n=sq∑n=1∞φ2n−1s2n−1 =qs披(s)=qs1−(1−4pqs2)122qs
通过对称，F+(s)=F−(s)因此
∑n=1∞F2ns2n=F(s)=F+(s)=F−(s)=1−(1−4pqs2)12 (=1−1在(小号) 一般来说 )

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Sequential Analysis

Wald 序列分析中出现的一个重要问题与随机变量有关ñ=ñ(一种,b)， 在哪里N=\min \left{n \mid S_{n} \leq-b\right.$ 或 $\left.S_{n} \geq a\right}N=\min \left{n \mid S_{n} \leq-b\right.$ 或 $\left.S_{n} \geq a\right}是间隔中的第一个存在时间(−b,一种).
我们忽略微不足道的情况磷(X一世=0)=1.
让X一世是 iidrvs 和小号n=X1+…+Xn.
定理3.1（C.斯坦 1947）
ñ是具有所有阶的有限矩的适当随机变量，即
(i)磷(ñ<∞)=1(ii)和(ñ)ķ<∞对全部ķ=1,2,…证明 (i) 我们将证明，更具体地说，存在一种>0和
0<d<1 独立于 n 和 磷[ñ≥n]≤一种dn
让C=一种+b和r为正整数。
让小号1=X1+…+Xr,小号2=Xr+1+Xr+2+…+X2r,…,
小号ķ∗=X(ķ−1)r+1+…+Xķr

我们有，P[N \geq k r] \leq P\left[\left|S_{1}^{}\right|}\right|}\right|}\right|0P[N \geq k r] \leq P\left[\left|S_{1}^{}\right|}\right|}\right|}\right|0.
如果p=1， 然后和(小号ķ)2=r和X一世2+r(r−1)(和X一世)2（自从X一世是 iid) 因为和(X一世2)>0,和(小号ķ)2>C2通过选择r足够大。但p=1⇒ 和(小号ķ∗)2≤C2，这是一个矛盾。所以p≠1和磷(ñ<∞)=1. (ii) 为吨>0和正整数ķ,nķ<和吨n对于大n,
∑n=米∞nķ磷[ñ=n]≤∑n=米∞和吨n磷[ñ≥n]≤一种∑n=米∞(d和吨)n<∞ 如果 d和吨<1.
因此
和(ñķ)=∑n=1∞nķ磷[ñ=n] =∑n=1米−1nķ磷[ñ=n]+∑n=米米nķ磷[ñ=n]
定义3.1ñ称为停止规则，如果ñ是一个非负整数值随机变量，事件[ñ≥n]取决于X1,X2,…Xn−1只有，即⌊ñ=n]是可测量的5(X1,…,Xn−1)(X1,…,Xn−1, 不必是 iidrvs)。

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Wald’s Equation and Wald’s Identity

定理3.2(Wald 方程) 让\left{X_{i}\right}\left{X_{i}\right}是一个 iidrvs 序列和(ñ)<∞. 如果和|X1|<∞然后和(小号ñ)=(和X1)和ñ.
此外，如果σ2=曾是⁡(X1)<∞， 然后和(小号ñ−ñμ)2=σ2和(ñ)， 在哪里μ=和(X1).
证明和(小号ñ)=∑n=1∞和(小号ñ∣ñ=n)磷[ñ=n]
=∑n=1∞∑一世=1n磷[ñ=n]和(X一世∣ñ=n)
=∑一世=1∞∑n=一世∞磷[ñ=n]和(X一世∣ñ=n)
（交换求和顺序）
|∑一世=1∞∑n=一世∞和(X一世∣ñ=n)磷(ñ=n)|≤∑一世=1∞∑n=一世∞和(|X一世|∣ñ=n)磷(ñ=n)
=和|X吨|和(ñ)<∞
（满足 Fubini 条件）
因此
和(小号ñ)=∑一世=1∞磷[ñ≥一世]和(X一世∣ñ≥一世)( 自从 ñ≥一世 取决于 X1,…,X一世=1 只要）  =∑一世=1∞磷[ñ≥一世]和(X一世)=和(X一世)和(ñ)

让ñn=分钟(ñ,n). 现在让ñn→ñ单调地，从单调收敛定理得出
和ñn→和(ñ) 作为 n→∞
自从\left.\left{\left(S_{n}-n \mu\right)^{2}-n \sigma^{2}, g_{n}\right), n \geq 1\right}\left.\left{\left(S_{n}-n \mu\right)^{2}-n \sigma^{2}, g_{n}\right), n \geq 1\right}是鞅（证明它）。
我们可以应用可选抽样定理来获得（见附录四）
和(小号ñn−nμ)2=σ2和ñn
现在让米≥n. 由于鞅有正交增量，我们有（3.7）和（3.8），
和(小号ñ米−μñ米−(小号ñn−μñn))2=和(小号ñ米−μñ米)2−和(小号ñn−μñn)2 =σ2(和ñ米−和ñn)→0 作为 n,米→∞
那是小号ñn−μñn收敛于大号2作为n→∞.
然而，既然我们已经知道小号ñn−μñn→小号ñ−μñ作为n→∞， 它遵循
和(小号ñn−μñn)2→和(小号ñ−μñ)2 作为 n→∞,
它与（3.7）和（3.8）一起完成了证明。

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。统计代写|python代写代考

随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

statistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

机器学习代写

随着AI的大潮到来，Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比，Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用，因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”，也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多，跨学科范围广，所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题，StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。

多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写随机过程stochastic process这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

随机过程是一个由一些数学集合索引的随机变量的集合。每个概率和随机过程都与该集合中的一个元素唯一相关。索引集是用于索引随机变量的集合。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写 随机过程stochastic process方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写随机过程stochastic process方面经验极为丰富，各种代写 随机过程stochastic process相关的作业也就用不着说。

我们提供的随机过程stochastic process及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等楖率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Different Types of Random Walks

In this the elements of transition matrix is given by $p_{i, i+1}=p, p_{i, i-1}=q$, for all integer $i(\ldots,-1,0,1,2, \ldots)$.
If $0<p<1$, the chain is irreducible. Then we have
$p_{i j}^{(n)}=P\left(S_{n}=j-i\right)=\left(\begin{array}{c}n \ (n-j+i) / 2\end{array}\right) p^{\frac{n+j-i}{2}} q^{\frac{n-j+i}{2}}$ if $n$ is even $=0$ if $n$ is odd.
and
$$
p_{00}^{(n)}=\left(\begin{array}{c}
n \
\frac{n}{2}
\end{array}\right)(p q)^{n / 2}
$$
The period of the chain is 2 .
It is transient if $p \neq \frac{1}{2}$ and null recurrent if $p=\frac{1}{2}$.

In this walk the elements of transition matrix are given by $p_{i, i+1}=p, p_{i, i-1}=q$, $(p+q=1), p_{00}=1$ for all $i \geq 1$.
‘ 0 ‘ is an absorbing state and the remaining states are all transient. $0,-1,-2$, $-3, \ldots$ are condensed into a single absorbing state ‘ 0 ‘.
Let $f_{i 0}^{(n)}=$ Probability of visiting ‘ 0 ‘ from $i$, first time in $n$ steps
$$
=\left(\begin{array}{l}
i \
n
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
n \
(n-1) / 2
\end{array}\right) p^{(n-i) / 2} q^{(n+i) / 2}
$$
Probability of visiting ‘ 0 ‘ from $i$ ever,
$$
\begin{gathered}
f_{i 0}=\sum_{n} f_{i 0}^{(n)} \text { satisfies difference equations } \
f_{i 0}=p f_{i+1,0}+q f_{i-1,0} \text { for } i>1, f_{10}=p f_{20}+q .
\end{gathered}
$$
Hence solving we get
$$
f_{i 0}=\left{\begin{array}{l}
1 \text { if } p \leq q \
(q / p)^{i} \text { if } p \geq q
\end{array}\right.
$$

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Random Walks with Absorbing Barriers

Solution Let $p(x)$ be the probability of the particular player losing all his money if he now has $x$ units. Then we have the difference equation
$$
p(x)=p \cdot p(x+1)+q \cdot p(x-1) \text { if } 1p \
(q / p)^{x} \text { if } q<p
\end{array}\right.
$$
Let us investigate the effect of changing stakes,
If the amount of money held by two players are doubled, then
$$
p_{2}(x)=\frac{(q / p)^{2 s}-(q / p)^{2 x}}{(q / p)^{2 s}-1}=p(x) \cdot \frac{(q / p)^{s}+(q / p)^{x}}{(q / p)^{s}+1}
$$
depends only on the ratio $(q / p)$.
Let $p(s)$ be the Gambler’s ultimate winning probability.

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Random Walk with a Reflecting Barrier

$$
P_{i, i+1}=p, P_{i, i-1}=q \text { for } i \geq 1, p_{00}=q, p_{01}=p
$$
Here we imagine a barrier placed at $-1 / 2$ such that every time the particle moves to the left from 0 , it is reflected at the barrier and returns to ‘ 0 ‘. The chain is irreducible if $0<p<1$. To classify its states, consider the system of equations $y_{i}=\sum_{j=1}^{\infty} P_{i j} y_{j}$. Then we get
$$
y_{i}=p y_{i+1}+q y_{i-1} \quad(i \geq 1)
$$
i.e. $\quad p\left(y_{i+1}-y_{i}\right)=q\left(y_{i}-y_{i-1}\right)(i \geq 2), y_{1}=p y_{2}$.
Therefore by iteration we obtain
and
$$
\begin{aligned}
y_{i+1}-y_{i} &=y_{1}(q / p)^{i}, i \geq 1 \
y_{i}-y_{1} &=y_{1}\left{(q / p)+(q / p)^{2}+\ldots+(q / p)^{i-1}\right}
\end{aligned}
$$

Hence $y_{i}=\frac{1-(q / p)^{i}}{1-(q / p)} y_{1}, i \geq 1$, so that $y_{i}$ is bounded if $p>q$. Thus by Theorem $2.13$ (Foster-type theorem) The states are all transient if $p>q$ and recurrent if $p \leq q$, then the stationary distribution is given by
$$
\begin{aligned}
&\pi_{j}=\sum_{i=0}^{\infty} \pi_{i} p_{i j}=p \pi_{j-1}+q \pi_{j+1} \quad(j \geq 1) \
&\pi_{0}=q \pi_{0}+q \pi_{1} \Rightarrow \pi_{1}=\pi_{0} \frac{(1-q)}{q}=\pi_{0} \frac{p}{q}
\end{aligned}
$$
Proceeding successively $\pi_{j}=(p / q)^{j} \pi_{0}(j \geq 0)$,
where
$$
\pi_{0}\left{1+(p / q)+(p / q)^{2}+\ldots\right}=1 .
$$
If $p=q$, the series diverges and consequently $\pi_{0}=0$ and $\pi_{j}=0(j \geq 0)$ so that stationary distribution does not exist. Thus, if $p=q$, the states are null recurrent. If $p0$, and is the stationary distribution (the states are positive recurrent).

贝叶斯网络代写

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Different Types of Random Walks

在此，转移矩阵的元素由下式给出p一世,一世+1=p,p一世,一世−1=q, 对于所有整数一世(…,−1,0,1,2,…).
如果0<p<1，链是不可约的。然后我们有
p一世j(n)=磷(小号n=j−一世)=(n (n−j+一世)/2)pn+j−一世2qn−j+一世2如果n甚至=0如果n很奇怪。
和
p00(n)=(n n2)(pq)n/2
链的周期为 2 。
如果是短暂的p≠12和 null 经常性 ifp=12.

在本步中，转移矩阵的元素由下式给出p一世,一世+1=p,p一世,一世−1=q, (p+q=1),p00=1对全部一世≥1.
“0”是吸收状态，其余状态都是瞬态的。0,−1,−2, −3,…凝聚成单一的吸收态‘0’。
让F一世0(n)=访问“0”的概率来自一世, 第一次在n脚步
=(一世 n)(n (n−1)/2)p(n−一世)/2q(n+一世)/2
访问“0”的概率来自一世曾经，
F一世0=∑nF一世0(n) 满足差分方程  F一世0=pF一世+1,0+qF一世−1,0 为了 一世>1,F10=pF20+q.
因此求解我们得到
$$
f_{i 0}=\left{1 如果 p≤q (q/p)一世 如果 p≥q\对。
$$

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Random Walks with Absorbing Barriers

解决方案让p(X)是特定玩家输掉所有钱的概率，如果他现在有X单位。然后我们有差分方程
p(x)=p \cdot p(x+1)+q \cdot p(x-1) \text { if } 1p \ (q / p)^{x} \text { if } q<p \end {数组}\对。p(x)=p \cdot p(x+1)+q \cdot p(x-1) \text { if } 1p \ (q / p)^{x} \text { if } q<p \end {数组}\对。
让我们研究一下改变赌注的效果，
如果两个玩家持有的钱加倍，那么
p2(X)=(q/p)2s−(q/p)2X(q/p)2s−1=p(X)⋅(q/p)s+(q/p)X(q/p)s+1
只取决于比例(q/p).
让p(s)成为赌徒的最终获胜概率。

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Random Walk with a Reflecting Barrier

磷一世,一世+1=p,磷一世,一世−1=q 为了 一世≥1,p00=q,p01=p
在这里，我们想象一个放置在−1/2这样每次粒子从 0 向左移动时，都会在屏障处反射并返回到 ‘0’。链是不可约的，如果0<p<1. 要对其状态进行分类，请考虑方程组是一世=∑j=1∞磷一世j是j. 然后我们得到
是一世=p是一世+1+q是一世−1(一世≥1)
IEp(是一世+1−是一世)=q(是一世−是一世−1)(一世≥2),是1=p是2.
因此，通过迭代，我们获得
和
\begin{对齐} y_{i+1}-y_{i} &=y_{1}(q / p)^{i}, i \geq 1 \ y_{i}-y_{1} &=y_{ 1}\left{(q / p)+(q / p)^{2}+\ldots+(q / p)^{i-1}\right} \end{对齐}\begin{对齐} y_{i+1}-y_{i} &=y_{1}(q / p)^{i}, i \geq 1 \ y_{i}-y_{1} &=y_{ 1}\left{(q / p)+(q / p)^{2}+\ldots+(q / p)^{i-1}\right} \end{对齐}

因此是一世=1−(q/p)一世1−(q/p)是1,一世≥1， 以便是一世有界如果p>q. 因此由定理2.13(Foster-type theorem) 状态都是瞬态的，如果p>q并且经常出现如果p≤q，则平稳分布由下式给出
圆周率j=∑一世=0∞圆周率一世p一世j=p圆周率j−1+q圆周率j+1(j≥1) 圆周率0=q圆周率0+q圆周率1⇒圆周率1=圆周率0(1−q)q=圆周率0pq
依次进行圆周率j=(p/q)j圆周率0(j≥0),
其中
\pi_{0}\left{1+(p / q)+(p / q)^{2}+\ldots\right}=1 。\pi_{0}\left{1+(p / q)+(p / q)^{2}+\ldots\right}=1 。
如果p=q，级数发散，因此圆周率0=0和圆周率j=0(j≥0)所以不存在平稳分布。因此，如果p=q，状态是零循环的。如果p0，并且是平稳分布（状态是正循环的）。

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随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

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广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
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时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB代写

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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Method of Spectral Decomposition

Let $P$ be a NXN matrix with latent roots $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{N}$ all distinct and simple. Then $\left(P-\lambda_{i} I\right) U_{i}=0$ for the column latent vector $U_{i}$ and $V_{i}^{\prime}\left(P-\lambda_{i} I\right)=0$ for the row latent vector $V_{i}$.
$A_{i}=U_{i} V_{i}^{\prime}$ are called latent or spectral matrix associated with $\lambda_{i}, i=1, \ldots, N$. The following properties of $A_{i}$ ‘s are well known:

(i) $A_{i}$ ‘s are idempotent, i.e. $A_{i}^{2}=A_{i}$,
(ii) they are orthogonal, i.e. $A_{i} A_{j}=0(i \neq j)$,
(iii) they give spectral decomposition $P=\sum_{i=1}^{N} \lambda_{i} A_{i}$. It follows from (i) to (iii), that
$$
P^{k}=\left(\sum_{i=1}^{N} \lambda_{i} A_{i}\right)^{k}=\sum_{i=1}^{N} \lambda_{i}^{k} A_{i}=\sum_{i=1}^{N} \lambda_{i}^{k} U_{i} V_{i}^{\prime}
$$
Also we know that $P^{k}=U D^{k} U^{-1}$ (by Diagonalisation Theorem) where
$$
\begin{aligned}
&U=\left(U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{N}\right) \
&D=\left[\begin{array}{ccc}
\lambda_{1} & 0 . . & 0 \
0 & \lambda_{2} & \vdots \
0 & \ldots & \lambda_{N}
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$
Since the latent vectors are determined uniquely only upto a multiplicative constant, we have chosen them such that $U_{i}^{\prime} V_{i}=1$. From $(2.21)$ one can get any power of $P$ knowing $\lambda_{i}$ ‘s and $A_{i}{ }^{\prime}$ s.

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Method of Caley-Hamilton

Caley-Hamilton Theorem Every square matrix satisfies its own characteristic equation.

The characteristic equation of $P$ is given by $|P-\lambda I|=0$. In the last example
$$
\left|\begin{array}{cc}
0.9-\lambda & 0.10 \
0.01 & 0.99
\end{array}\right|=0 \Rightarrow \lambda^{2}-1.89 \lambda+0.89=0 \text {. }
$$
By Caley-Hamilton Theorem,
$$
\begin{aligned}
P^{2}-1.89 P+0.89 I &=0 \Rightarrow P^{2}=1.89 P-0.89 I \
\Rightarrow \quad P^{3} &=1.89 P^{2}-0.89 P=1.89(1.89 P-0.89 I)-0.89 P \
&=2.6821 P-1.6821 I .
\end{aligned}
$$
Similarly, any power of $P$ can be calculated in this manner.

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Exercises and Complements

Exercise 2.2 A service agency assigns its jobs to a particular worker in the following way. The maximum number of jobs assigned to him, in addition to one he is working on at any time is $N(\geq 1)$. If he can not finish the assigned jobs on a given day, he starts with the remaining ones the following day. However, if any time of the day he finishes all the jobs assigned to him, he returns to his own work and becomes unavailable for any more agency jobs for that day. Let $p_{j}$ be the probability that $j(\geq 0)$ new jobs arrive during a service period. Let $X_{n}$ be the number of jobs assigned to him at the end of the nth service. Under what conditions is $\left{X_{n}\right}$ a Markov chain? Determine its transition probability martix and classify its states.

Exercise 2.3 (Bartky’s sampling inspection scheme). In a sampling inspection procedure successive sampling of size $N$ is taken. If in the initial sample the number of defective is zero. the lot is accepted. If the number of defective exceeds a predetermined number a, the lot is rejected. From the second sample onward one defective per sample is allowed. Thus after $n$ such samples, the lot will be accepted if the total number of defectives is $\leq n$ and rejected if the number of defectives is $>a+n$. Let $X_{k}=$ number of defectives out of $N$-One at the $k$ th sample. Let $S_{n}=$ Total excess number of defectives in the lot. Find the distribution of $X_{k}$. Show that $\left{S_{n}\right}$ is a Markov chain. Find the transition matrix for $\left{S_{n}\right}$ in terms of distribution of $X_{k}$. Also classify the states of $\left{S_{n}\right}$.
44 Introduction to Stochastic Process
Exercise 2.4 A Simple Waiting Model (Queueing). In a simple queueing model a server serves one customer (if any) at time instant $0,1,2, \ldots$ Let $\xi_{n}$ be the number of customers arrive in the time interval $(n, n+1)$ and we assume $\left{\xi_{n}, n \geq 0\right}$ is a sequence of i.i.d. nonnegative integer valued r.v.’s with $P\left(\xi_{0}=k\right)=p_{k}, \sum_{k=0}^{\infty} p_{k}=1$ and there is a waiting room for at most $m$ customers (including the customer being served). Let $X_{n}$ be the number of customers present at time $n$, including the one being served. Show that $X_{n}$ is a Markov chain with states $0,1, \ldots, m$. Find its transition matrix in terms of $\left{p_{k}\right}_{0}^{-}$.

贝叶斯网络代写

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Method of Spectral Decomposition

让磷是一个具有潜在根的 NXN 矩阵λ1,…,λñ一切都清晰而简单。然后(磷−λ一世一世)在一世=0对于列潜在向量在一世和在一世′(磷−λ一世一世)=0对于行潜在向量在一世.
一种一世=在一世在一世′被称为潜在矩阵或谱矩阵λ一世,一世=1,…,ñ. 以下属性一种一世是众所周知的：

（一世）一种一世是幂等的，即一种一世2=一种一世,
(ii) 它们是正交的，即一种一世一种j=0(一世≠j),
(iii) 他们给出谱分解磷=∑一世=1ñλ一世一种一世. 从 (i) 到 (iii) 得出，
磷ķ=(∑一世=1ñλ一世一种一世)ķ=∑一世=1ñλ一世ķ一种一世=∑一世=1ñλ一世ķ在一世在一世′
我们也知道磷ķ=在Dķ在−1（通过对角化定理）其中
在=(在1,在2,…,在ñ) D=[λ10..0 0λ2⋮ 0…λñ]
由于潜在向量仅由乘法常数唯一确定，因此我们选择它们使得在一世′在一世=1. 从(2.21)可以得到任何力量磷会心λ一世’沙一种一世′s。

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Method of Caley-Hamilton

Caley-Hamilton 定理 每个方阵都满足自己的特征方程。

的特征方程磷是（谁）给的|磷−λ一世|=0. 在最后一个例子中
|0.9−λ0.10 0.010.99|=0⇒λ2−1.89λ+0.89=0. 
根据 Caley-Hamilton 定理，
磷2−1.89磷+0.89一世=0⇒磷2=1.89磷−0.89一世 ⇒磷3=1.89磷2−0.89磷=1.89(1.89磷−0.89一世)−0.89磷 =2.6821磷−1.6821一世.
同样，任何权力磷可以这样计算。

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Exercises and Complements

练习 2.2 服务机构通过以下方式将其工作分配给特定的工人。分配给他的工作的最大数量，除了他在任何时候正在工作的一个工作是ñ(≥1). 如果他不能在给定的一天完成分配的工作，他会在第二天开始处理剩余的工作。但是，如果他在一天中的任何时间完成了分配给他的所有工作，他就会回到自己的工作中，并且当天无法再从事任何代理工作。让pj是概率j(≥0)新工作在服务期间到达。让Xn是在第 n 次服务结束时分配给他的工作数量。在什么条件下\left{X_{n}\right}\left{X_{n}\right}马尔可夫链？确定其转移概率矩阵并对其状态进行分类。

练习 2.3（Bartky 的抽样检验方案）。在一次抽样检验程序中连续抽样的大小ñ被采取。如果在初始样本中的缺陷数为零。该批次被接受。如果缺陷数量超过预定数量a，则该批次被拒绝。从第二个样品开始，每个样品允许有一个缺陷。因此之后n此类样品，如果次品总数为≤n如果次品数量为>一种+n. 让Xķ=次品数ñ- 一个在ķ第一个样本。让小号n=批次中不合格品的总数。找出分布Xķ. 显示\left{S_{n}\right}\left{S_{n}\right}是马尔可夫链。找到转移矩阵\left{S_{n}\right}\left{S_{n}\right}在分布方面Xķ. 还对状态进行分类\left{S_{n}\right}\left{S_{n}\right}.
44 随机过程简介
练习2.4 一个简单的等待模型（排队）。在一个简单的排队模型中，服务器在某一时刻为一个客户（如果有的话）服务0,1,2,…让Xn是时间间隔内到达的顾客数量(n,n+1)我们假设\left{\xi_{n}, n \geq 0\right}\left{\xi_{n}, n \geq 0\right}是一个 iid 非负整数值 rv 的序列磷(X0=ķ)=pķ,∑ķ=0∞pķ=1最多有一个等候室米客户（包括被服务的客户）。让Xn是当时在场的顾客数量n，包括被送达的那个。显示Xn是带有状态的马尔可夫链0,1,…,米. 找到它的转移矩阵\left{p_{k}\right}_{0}^{-}\left{p_{k}\right}_{0}^{-}.

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。统计代写|python代写代考

随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

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多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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随机过程是一个由一些数学集合索引的随机变量的集合。每个概率和随机过程都与该集合中的一个元素唯一相关。索引集是用于索引随机变量的集合。

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• Statistical Inference 统计推断
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• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Special chains

If the Markov Chain is infinite, the number of equations given by $\pi(P-I)=0$ will be infinite involving an infinite number of unknowns. In some particular cases we can solve these equations. The following examples will illustrate this point.
Example $2.5 \quad$ Birth and-Death Chain (Non-Homogeneous Random Walk) Consider a birth and death chain on ${0,1,2, \ldots, d}$ or a set of non-negative integers i.e. where $d=\infty$. Assume that the chain is irreducible i.e. $p_{j}>0$ and $q_{j}>0$ in case $0 \leq j \leq d$ (i.e. when $d$ is finite) $p_{j}>0$ for $0 \leq j<\infty$ and $q_{j}>0$ for $0<j<\infty$ if $d$ is infinite. Consider the transition matrix

$$
X=\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots\right)=\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots\right)\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & 0 & \cdots \
q_{1} & 0 & p_{1} & 0 & \cdots \
0 & q_{2} & 0 & p_{2} & \ldots \
& \cdots & \cdots & &
\end{array}\right)
$$
or $X=X P$. Let $x_{0} \neq 0$. Then
$$
\begin{aligned}
&x_{0}=x_{1} q_{1}, \
&x_{1}=x_{0}+x_{2} q_{2}, \
&x_{3}=x_{2} p_{2}+x_{4} q_{4}, \
&x_{4}=\ldots \
&\ldots \
&y_{i}=\frac{x_{i}}{x_{0}}, y_{0}=1, i=1,2,3, \ldots
\end{aligned}
$$
Define
Then
$$
\begin{aligned}
&y_{1}=1 / q_{1}, y_{1}=1+y_{2} q_{2} \text { or } y_{2}=\frac{y_{1}-1}{q_{2}}=\frac{1-q_{1}}{q_{1} q_{2}}=\frac{p_{1}}{q_{1} q_{2}} \
&y_{3}=\frac{p_{1} p_{2}}{q_{1} q_{2} q_{3}}, \ldots, y_{n}=\frac{p_{1} p_{2} \ldots p_{n-1}}{q_{1} q_{2} \ldots q_{n}}>0 \quad \text { for all } n=1,2, \ldots
\end{aligned}
$$
(by assumption that all $p, q$ ‘s are $>0$ ).
By Theorems $2.9$ and $2.11$, the non-homogeneous random walk is positive recurrent if $0<\sum_{0}^{\infty} x_{i}<\infty$ i.e. $\sum_{1}^{\infty} y_{i}<\infty$ i.e. iff $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{p_{1} p_{2} \cdots p_{n-1}}{q_{1} q_{2} \cdots q_{n}}<\infty $$ Note that $\sum_{0}^{\infty} y_{i}=\sum_{0}^{\infty} x_{i} / x_{0}=1 / x_{0}$, since $\sum_{0}^{\infty} y_{i}=1$. Therefore $x_{n}=y_{r} x_{0}=y_{n} / \sum_{0}^{\infty} y_{i}$ gives the stationary distribution provided $\sum_{0}^{\infty} y_{\mathrm{i}}<\infty \cdot x_{0}$ still has to be determined. Now $$ 1=x_{0}+\sum_{i=1}^{\infty} x_{i}=x_{0}+\sum_{i=1}^{\infty} x_{0} y_{i} \Rightarrow x_{0}=\frac{1}{1+\sum_{i=1}^{\infty} y_{i}} $$ and so $x_{0}>0$, iff $\sum_{i=1}^{\infty} y_{i}<\infty$ i.e. iff $\sum_{i=1}^{\infty} y_{i}<\infty\left(\right.$ since $\left.y_{0}=1\right)$.
In fact if $\sum_{i} y_{i}=\infty$, the solution to $(2.18)$ is either identically zero or has infinite sum $\left(\sum_{i} x_{i}=\infty\right)$ and hence has no stationary distribution.

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Foster type theorems

The following theorems, associated with Foster, give criteria for transient and recurrent chains in terms of solution of certain equations. Assume that the M.C. is irreducible.

Theorem 2.11 (Foster, 1953) Let the Markov chain be irreducible. Assume that there exists $x_{k}, k \in S$ such that $x_{k}=\sum_{k \in S} x_{i} p_{i k}$ and $0<\sum_{k \in S}\left|x_{k}\right|<\infty$. Then the Markov Chain is positive recurrent (this is a sort of converse of Theorem $2.9$ ). Proof Since $y_{k}=\frac{1}{\sum_{k \in S}\left|x_{k}\right|}>0, \sum_{k \in S} y_{k}=1$.

Without loss of generality $\left{x_{k}, k \in S\right}$ is a stationary distribution of a M.C. Then

$$
x_{k}=\sum_{k \in S} x_{i} p_{i k}^{(n)} \text { for all } n=1,2, \ldots
$$
Suppose that there is no positive state.
Since the M.C. is irreducible, then all the states are either transient or null. In that case $p_{i k}^{(n)} \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$ for all $i, k \in S$. By Lebesgue Dominated Convergence Theorem, taking $n \rightarrow \infty$ in (2.19)
$$
x_{k}=\sum_{i \in S}\left(x_{i}\right) .0=0 \text { for all } k \in S
$$
But $0<\sum_{k \in S} x_{k}<\infty$ is a contradiction to $(2.20)$.
Hence, there is at least one positive recurrent state. Since M.C. is irreducible, by Solidarity Theorem the M.C. must be positive recurrent. Conclusion An ireducible aperiodic M.C. has a stationary distribution iff all states are positive recurrent.

Theorem 2.11(a) If the M.C. is positive recurrent the system of equations $x_{i}=\sum_{j=0}^{\infty} x_{j} p_{j i}$ has a solution such that $0<\sum_{j=0}^{\infty} x_{j}<\infty$.
(Proof may be found in Karlin and Taylor’s book.)
Theorem 2.12 The M.C. is transient iff $x_{i}=\sum_{j=0}^{\infty} p_{i j} x_{j}$ has a solution for $i \neq 0$, which is bounded and non-constant i.e. all $x_{i}$ ‘s are not equal.

Theorem $2.13$ The M.C. is positive recurrent if $x_{i} \geq \sum_{j=0}^{\infty} p_{i j} x_{j}$ has a solution such that $x_{i} \rightarrow \infty$ as $i \rightarrow \infty$ (see Chung’s book on Markov Chains with Stationary Transition Probabilities).

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Theorems Regarding Finite Markov Chain

Theorem 2(a). In a M.C. with a finite number of states, there is no null state and not all states can be transient.

Proof Suppose the chain has $N<\infty$ states. If all states are transient, then letting $n \rightarrow \infty$ in the relation $\sum_{j=0}^{N} p_{i j}^{(n)}=1$ we get $0=1$ (since by Theorem $2.8$, $\lim {n \rightarrow \infty} p{i j}^{(n)}=0$ for each $j$, which is absured and hence not all states in a finite M.C. are transient. Consider the subchain $C_{1}$ formed by a closed set of null recurrent states. Then $\sum_{j \in C_{1}} p_{i j}^{(n)}=\alpha$ (say) $>0$. Letting $n \rightarrow \infty, 0=\alpha>0$ which is also absurd. So there cannot be any null recurrent state in a finite M.C.
Theorem 2(b). An irreducible M.C. having a finite number of states is positive recurrent.

Proof By previous theorem, there is no null recurrent state and not all states are

transient. Suppose there is one transient state. Then all states are transient by Solidarity Theorem. Hence, all states are positive recurrent.

Exercise $2.6$ If a finite M.C. is irreducible, aperiodic and has doubly stochastic transition matrix, then show that $\lim {n \rightarrow \infty} p{i j}^{(n)}=1 / k$, where $k$ is the number of states in the chain.

Solution If $j$ is a positive recurrent state in an aperiodic irreducible chain then $p_{i j}^{(n)} \rightarrow \pi_{j}>0($ by Theorem $2.9)$
Hence $1=\sum_{i=1}^{k} p_{i j}^{(n)}$ for all $j$ and $n \geq 1$,
Therefore $k \pi_{j}=1 \Rightarrow \pi_{j}=\frac{1}{k}$.

贝叶斯网络代写

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Special chains

如果马尔可夫链是无限的，则方程数由下式给出圆周率(磷−一世)=0将是无限的，涉及无限数量的未知数。在某些特定情况下，我们可以求解这些方程。下面的例子将说明这一点。
例子2.5生死链（非同质随机游走） 考虑一个生死链0,1,2,…,d或一组非负整数，即其中d=∞. 假设链是不可约的，即pj>0和qj>0如果0≤j≤d（即当d是有限的）pj>0为了0≤j<∞和qj>0为了0<j<∞如果d是无限的。考虑转移矩阵X=(X0,X1,X2,…)=(X0,X1,X2,…)(0100⋯ q10p10⋯ 0q20p2… ⋯⋯)
或者X=X磷. 让X0≠0. 然后
X0=X1q1, X1=X0+X2q2, X3=X2p2+X4q4, X4=… … 是一世=X一世X0,是0=1,一世=1,2,3,…

然后定义
是1=1/q1,是1=1+是2q2 或者 是2=是1−1q2=1−q1q1q2=p1q1q2 是3=p1p2q1q2q3,…,是n=p1p2…pn−1q1q2…qn>0 对全部 n=1,2,…
（假设所有p,q是>0）。
按定理2.9和2.11，非齐次随机游走是正循环的，如果0<∑0∞X一世<∞IE∑1∞是一世<∞即当且∑n=1∞p1p2⋯pn−1q1q2⋯qn<∞注意∑0∞是一世=∑0∞X一世/X0=1/X0， 自从∑0∞是一世=1. 所以Xn=是rX0=是n/∑0∞是一世给出所提供的平稳分布∑0∞是一世<∞⋅X0仍需确定。现在1=X0+∑一世=1∞X一世=X0+∑一世=1∞X0是一世⇒X0=11+∑一世=1∞是一世所以X0>0, 当且∑一世=1∞是一世<∞即当且∑一世=1∞是一世<∞(自从是0=1).
事实上如果∑一世是一世=∞, 的解决方案(2.18)要么完全为零，要么具有无限和(∑一世X一世=∞)因此没有平稳分布。

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Foster type theorems

以下与 Foster 相关的定理根据某些方程的解给出了瞬态链和循环链的标准。假设 MC 是不可约的。

定理 2.11 (Foster, 1953) 设马尔可夫链不可约。假设存在Xķ,ķ∈小号这样Xķ=∑ķ∈小号X一世p一世ķ和0<∑ķ∈小号|Xķ|<∞. 那么马尔可夫链是正循环的（这是定理的一种逆2.9）。证明自是ķ=1∑ķ∈小号|Xķ|>0,∑ķ∈小号是ķ=1.

不失一般性\left{x_{k}, k \in S\right}\left{x_{k}, k \in S\right}是一个 MC 的平稳分布Xķ=∑ķ∈小号X一世p一世ķ(n) 对全部 n=1,2,…
假设没有积极的状态。
由于 MC 是不可约的，那么所有状态要么是瞬态的，要么是空的。在这种情况下p一世ķ(n)→0作为n→∞对全部一世,ķ∈小号. 由勒贝格支配收敛定理，取n→∞在 (2.19)
Xķ=∑一世∈小号(X一世).0=0 对全部 ķ∈小号
但0<∑ķ∈小号Xķ<∞是矛盾的(2.20).
因此，至少存在一种积极的复发状态。由于 MC 是不可约的，根据团结定理，MC 必须是正循环的。结论当所有状态都为正循环时，一个不可约非周期MC具有平稳分布。

定理 2.11(a) 如果 MC 是正循环方程组X一世=∑j=0∞Xjpj一世有这样的解决方案0<∑j=0∞Xj<∞.
（证明可以在 Karlin 和 Taylor 的书中找到。）
定理 2.12 MC 是瞬态 iffX一世=∑j=0∞p一世jXj有一个解决方案一世≠0，它是有界且非常量的，即所有X一世的不相等。

定理2.13如果 MC 是正复发的X一世≥∑j=0∞p一世jXj有这样的解决方案X一世→∞作为一世→∞（参见 Chung 关于具有平稳转移概率的马尔可夫链的书）。

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Theorems Regarding Finite Markov Chain

定理 2(a)。在具有有限数量状态的 MC 中，没有零状态，并且并非所有状态都可以是瞬态的。

证明假设链有ñ<∞状态。如果所有状态都是瞬态的，那么让n→∞在关系中∑j=0ñp一世j(n)=1我们得到0=1（由于定理2.8, 林n→∞p一世j(n)=0对于每个j，这是不可靠的，因此并非有限 MC 中的所有状态都是瞬态的。考虑子链C1由一组封闭的零循环状态组成。然后∑j∈C1p一世j(n)=一种（说）>0. 让n→∞,0=一种>0这也是荒谬的。
所以在有限 MC定理 2(b)中不可能有任何零循环状态。具有有限个状态的不可约 MC 是正循环的。

证明 根据前面的定理，不存在零循环状态并且并非所有状态都是

短暂的。假设存在一种瞬态。然后根据团结定理，所有状态都是瞬态的。因此，所有状态都是正循环的。

锻炼2.6如果有限 MC 是不可约的、非周期性的并且具有双重随机转移矩阵，则证明林n→∞p一世j(n)=1/ķ， 在哪里ķ是链中的状态数。

解决方案 如果j是非周期不可约链中的正循环状态，则p一世j(n)→圆周率j>0(由定理2.9)
因此1=∑一世=1ķp一世j(n)对全部j和n≥1,
因此ķ圆周率j=1⇒圆周率j=1ķ.

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数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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随机过程是一个由一些数学集合索引的随机变量的集合。每个概率和随机过程都与该集合中的一个元素唯一相关。索引集是用于索引随机变量的集合。

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等楖率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Homogeneous Random Walk

Here state space is given by
$$
\begin{aligned}
&S={\ldots,-2,-1,0,1,2 \ldots} \
&p_{i}=p, q_{i}=q \text { for all } i \geq 1 .
\end{aligned}
$$
This is an irreducible M.C. Hence by solidarity theorem it is enough to consider the state ${0}$ only. The $n$-step recurrence probability is

${0}$ is transient iff $\sum_{n=0}^{\infty} P_{00}^{(n)}<\infty$ and recurrent iff $\sum_{n=0}^{\infty} P_{00}^{(n)}=\infty$ (by Theorem 2.5) $$ \begin{aligned} \sum_{m=1}^{\infty}\left(\begin{array}{c} 2 m \ m \end{array}\right) p^{m} q^{m} & \cong \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(4 p q)^{m}}{(\pi m)^{1 / 2}}<\infty \text { if } 4 p q<1 \\ &=\infty \text { if } 4 p q \geq 1 . \end{aligned} $$ (using Stirling’s approximation for $\left.m ! \cong \sqrt{2 \pi} e^{-m} m^{m+1 / 2}\right) 4 p q>1$ is impossible for if $4 p q>(p+q)^{2}$ then $0>(p-q)^{2}$.
Hence
$4 p q<1$ if $p \neq q$
$$
=1 \text { if } p=q=\frac{1}{2} \text {. }
$$
Therefore $\sum_{m=0}^{\infty} p_{00}^{(2 m)}$ converges faster than the geometric series $\sum_{m}(4 p q)^{m}$ if $p \neq 1 / 2$.
Hence Random walk is recurrent iff $p=\frac{1}{2}$ and transient iff $p \neq \frac{1}{2}$.
We have shown in Exercise $2.1$ that a symmetric Random walk in one dimension is recurrent. Similarly it can be proved that in 2 -dimensions a symmetric Random walk is recurrent. But Polya proved that in $k \geq 3$ dimensions a symmetric Random walk is transient.

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Limit Theorems for Markov Chain

Definition 2.10 Let $d$ (i) be the greatest common divisor of those $n \geq 1$ for which $p_{i i}^{(n)}>0$. Then $d(i)$ is called the period of the state $i$. If $d(i)=1$, then the state $i$ is called aperiodic.
Note $i \leftrightarrow j$, then $d(i)=d(j)$.
There exists $n_{1}$ and $n_{2}$ such that $p_{i j}^{\left(n_{1}\right)}>0$ and $p_{j i}^{\left(n_{2}\right)}>0$.
Now $p_{i i}^{\left(n_{1}+n_{2}\right)} \geq p_{i j}^{\left(n_{1}\right)} p_{j i}^{\left(n_{2}\right)}>0$ and hence $d(i)$ is a divisor of $n_{1}+n_{2}$.
If $p_{j j}^{(n)}>0$, then $p_{i i}^{\left(n_{1}+n+n_{2}\right)} \geq p_{i j}^{\left(n_{1}\right)} p_{j j}^{(n)} p_{j i}^{\left(n_{2}\right)}>0$ (by Chapman Kolmogorov equation).

Hence, $d(i)$ is a divisor of $n_{1}+n+n_{2}$. So $d(i)$ must be a divisor of $n$ if $p_{j i}^{(n)}>0$.

Thus $d(i)$ is a divisor of $\left{n \geq 1: p_{j j}^{(n)}>0\right}$. Since $d(j)$ is the largest of such divisors, $d(i) \leq d(j)$. Hence, by symmetry $d(j) \leq d(i)$.
Hence $d(i)=d(j)$. Therefore having a period $d$ is a class property.
Note If $p_{i i}>0$, then $d(i)=1$ and this implies that a sufficient condition for an irreducible M.C. to be aperiodic is that $p_{i i}>0$ for some $i \in S$. Hence a queueing chain is aperiodic.
Theorem $2.7$ Limit Theorem (for diagonal elements)
Let $j$ be any state in a M.C. As $n \rightarrow \infty$.
(i) if $j$ is transient, then $p_{j j}^{(n)} \rightarrow 0$
(ii) if $j$ is null recurrent, then $p_{j j}^{(n)} \rightarrow 0$
(iii) if $j$ is positive (recurrent) and
(a) aperiodic, then $p_{j j}^{(n)} \rightarrow \frac{1}{\sum_{n=1}^{\infty} n f_{j j}^{(n)}}=\frac{1}{\mu_{j}}$ (mean recurrence time of $j$ )(b) periodic with period $d(j)$ then $p_{j j}^{(n d(j))} \rightarrow \frac{d(j)}{\mu_{j}}$. Write $d(j) / \mu_{j}=\pi_{j}$.

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Stationary Distribution

Definition $2.10$ A probability distribution is $\left{v_{j}\right}$ (i.e. $v_{j} \geq 0, \sum_{j} v_{j}=1$ ) is called a stationary distribution for a Markov chain with transition matrix $\left(p_{i j}\right)$ if
$v_{j}=\sum_{i} v_{i} p_{i j}$ for all $j=1,2, \ldots$
$=\sum_{i}\left(\sum_{k} v_{k} p_{k i}\right) p_{i j}$
$=\sum_{k} v_{k} \sum_{i} p_{k i} p_{i j} \quad$ (by Fubini’s Theorem)
$=\sum_{k} v_{k} p_{k j}^{(2)} \quad$ (by Chapman-Kolmogorov)
$\ldots=\sum_{k} v_{k} p_{k j}^{(n)} \quad$ (by induction)

Suppose a stationary distribution $\pi=\left(\pi_{1}, \pi_{2}, \ldots\right)$ exists. Also suppose
$$
\lim {n \rightarrow \infty} p{i j}^{(n)}=\pi_{j} \geq 0 \text { for all } i \geq 1
$$
Then $\pi$ is called the steady state distribution of the M.C. with transition matrix $\left(p_{i j}\right)$.

If the initial distribution $\left{a_{j}^{(0)}\right}\left(a_{j}^{(0)}=P\left(X_{0}=j\right)\right)$ is stationary, we have the marginal distribution of $X_{n}$ given by $a_{j}^{(n)}$ (i.e. $\left.a_{j}^{(n)}=P\left(X_{n}=j\right)\right)=\sum_{i} a_{j}^{(0)} a_{i j}^{(n)}=a_{j}^{(0)}$ (using (2.10)).

Thus, the unconditional (or marginal) distribution of $X_{n}$ is independent of $n$ and we may therefore say that the system (or the process) is in statistical equilibrium. Suppose conversely, that the distribution of $X_{n}$ is independent of $n$. Then the initial distribution $a_{0}=\left(a_{1}^{(0)}, a_{2}^{(0)}, \ldots\right)$ i.e. $a_{j}^{(0)}=P\left(X_{0}=j\right)=P\left(X_{1}=j\right)$ $=\sum_{i} a_{i}^{(0)} p_{i j}=a_{j}^{(1)}=\ldots$ and consequently, $a_{0}$ is a stationary distribution. Therefore the distribution of $X_{n}$ is independent of $n$ iff the initial distribution is a stationary distribution. Suppose (2.11) holds. Since $a_{j}^{(n)}=\sum_{i} a_{i}^{(0)} p_{i j}^{(n)} \rightarrow \pi_{j}$, we see that the limiting distribution of $X_{n}$ is given by $\pi$.

In other words, we can say that if (2.11) holds and a stationary distribution $\pi$ as $n \rightarrow \infty$. Denote $\frac{1}{\mu_{j}}=\pi_{j}$.

贝叶斯网络代写

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Homogeneous Random Walk

这里状态空间由下式给出
小号=…,−2,−1,0,1,2… p一世=p,q一世=q 对全部 一世≥1.
这是一个不可约的 MC 因此，根据团结定理，考虑状态就足够了0只要。这n- 步复发概率是

0是瞬态的∑n=0∞磷00(n)<∞和复发当先∑n=0∞磷00(n)=∞（由定理 2.5）∑米=1∞(2米 米)p米q米≅∑米=1∞(4pq)米(圆周率米)1/2<∞ 如果 4pq<1=∞ 如果 4pq≥1.（使用斯特林的近似为米!≅2圆周率和−米米米+1/2)4pq>1如果是不可能的4pq>(p+q)2然后0>(p−q)2.
因此
4pq<1如果p≠q
=1 如果 p=q=12. 
所以∑米=0∞p00(2米)收敛速度比几何级数快∑米(4pq)米如果p≠1/2.
因此随机游走是递归的p=12和瞬态当先p≠12.
我们在练习中展示了2.1一维的对称随机游走是循环的。类似地，可以证明在二维中对称随机游走是循环的。但是波利亚证明了ķ≥3尺寸对称随机游走是瞬态的。

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Limit Theorems for Markov Chain

定义 2.10 让d(i) 是那些的最大公约数n≥1为此p一世一世(n)>0. 然后d(一世)称为状态周期一世. 如果d(一世)=1，那么状态一世称为非周期性。
笔记一世↔j， 然后d(一世)=d(j).
那里存在n1和n2这样p一世j(n1)>0和pj一世(n2)>0.
现在p一世一世(n1+n2)≥p一世j(n1)pj一世(n2)>0因此d(一世)是一个除数n1+n2.
如果pjj(n)>0， 然后p一世一世(n1+n+n2)≥p一世j(n1)pjj(n)pj一世(n2)>0（通过查普曼科尔莫哥洛夫方程）。

因此，d(一世)是一个除数n1+n+n2. 所以d(一世)必须是的除数n如果pj一世(n)>0.

因此d(一世)是一个除数\left{n \geq 1: p_{j j}^{(n)}>0\right}\left{n \geq 1: p_{j j}^{(n)}>0\right}. 自从d(j)是此类除数中最大的，d(一世)≤d(j). 因此，通过对称d(j)≤d(一世).
因此d(一世)=d(j). 因此有一个时期d是类属性。
注意如果p一世一世>0， 然后d(一世)=1这意味着不可约 MC 是非周期性的充分条件是p一世一世>0对于一些一世∈小号. 因此，排队链是非周期性的。
定理2.7极限定理（对角元素）
让j成为 MC As 中的任何状态n→∞.
(i) 如果j是瞬态的，那么pjj(n)→0
(ii) 如果j是零循环的，那么pjj(n)→0
(iii) 如果j是正的（经常性的）和
(a) 非周期性的，那么pjj(n)→1∑n=1∞nFjj(n)=1μj（平均复发时间j)(b) 有周期的周期性d(j)然后pjj(nd(j))→d(j)μj. 写d(j)/μj=圆周率j.

统计代写|随机过程作业代写stochastic process代考|Stationary Distribution

定义2.10概率分布是\左{v_{j}\右}\左{v_{j}\右}（IE在j≥0,∑j在j=1) 称为具有转移矩阵的马尔可夫链的平稳分布(p一世j)如果
在j=∑一世在一世p一世j对全部j=1,2,…
=∑一世(∑ķ在ķpķ一世)p一世j
=∑ķ在ķ∑一世pķ一世p一世j（由富比尼定理）
=∑ķ在ķpķj(2)（查普曼-科尔莫哥洛夫）
…=∑ķ在ķpķj(n)（通过感应）

假设一个平稳分布圆周率=(圆周率1,圆周率2,…)存在。还假设
林n→∞p一世j(n)=圆周率j≥0 对全部 一世≥1
然后圆周率称为具有转移矩阵的 MC 的稳态分布(p一世j).

如果初始分布\left{a_{j}^{(0)}\right}\left(a_{j}^{(0)}=P\left(X_{0}=j\right)\right)\left{a_{j}^{(0)}\right}\left(a_{j}^{(0)}=P\left(X_{0}=j\right)\right)是平稳的，我们有边际分布Xn由一种j(n)（IE一种j(n)=磷(Xn=j))=∑一世一种j(0)一种一世j(n)=一种j(0)（使用（2.10））。

因此，无条件（或边际）分布Xn独立于n因此我们可以说系统（或过程）处于统计平衡状态。假设相反，分布Xn独立于n. 然后是初始分布一种0=(一种1(0),一种2(0),…)IE一种j(0)=磷(X0=j)=磷(X1=j) =∑一世一种一世(0)p一世j=一种j(1)=…因此，一种0是平稳分布。因此分布Xn独立于n当且仅当初始分布是平稳分布。假设 (2.11) 成立。自从一种j(n)=∑一世一种一世(0)p一世j(n)→圆周率j，我们看到极限分布Xn是（谁）给的圆周率.

换句话说，我们可以说，如果 (2.11) 成立并且平稳分布圆周率作为n→∞. 表示1μj=圆周率j.

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。统计代写|python代写代考

随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

statistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

机器学习代写

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多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。