### 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MPCS50103

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• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Random vectors

We will now more closely study random variables taking values in $\mathbb{R}^d$, with $d \geq 2$. This concept has already been defined in Definition 1.9. We will now look at the relations between the random vector and its coordinates. When $d=2$, we then speak of a random couple. Proposition 1.9.-Let $X$ be a real random vector on the probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, taking values in $\mathbb{R}^d$. Then.
$$X(w)=\left(\begin{array}{c} X_1(w) \ \vdots \ X_n(w) \end{array}\right)$$
is such that for any $i \in{1, \ldots, d}, X_i$ is a real random variable.
DEFINITION 1.15.- A random vector is said to be discrete if each of its components, $X_i$, is a discrete random variable.
DEFINITION 1.16.- Let $X=\left(\begin{array}{l}X_1 \ X_2\end{array}\right)$ be a discrete random couple such that
$$X_1(\Omega)=\left{x_{1 j}, j \in I_1\right} \text { et } X_2(\Omega)=\left{x_{2 k}, k \in I_2\right} .$$
The conjoint distribution (or joint distribution or, simply, the distribution) of $X$ is given by the family
$$\left{\mathbb{P}\left(X_1=x_{1 j}, X_2=x_{2 k}\right) ;(j, k) \in I_1 \times I_2\right} .$$
The marginal distributions of $X$ are the distributions of $X_1$ and $X_2$. These distrihutions may be derived from the conjoint distribution of $X$ thmugh:
$$\forall j \in I_1, \quad \mathbb{P}\left(X_1=x_{1 j}\right)=\sum_{k \in I_2} \mathbb{P}\left(X_1=x_{1 j}, X_2=x_{2 k}\right)$$
and
$$\forall k \in I_2, \quad \mathbb{P}\left(X_2=x_{2 k}\right)=\sum_{j \in I_1} \mathbb{P}\left(X_1=x_{1 j}, X_2=x_{2 k}\right)$$

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Convergence of sequences of random variables

To conclude this section on random variables, we will review some classic results of convergence for sequences of random variables. Throughout the rest of this book, the abbreviation $r v$. signifies random variable.
DEFINITION 1.17.- Let $\left(X_n\right){n \geq 1}$ and $X$ be rv.s defined on $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. 1) It is assumed that there exists $p>0$ such that, for any $n \geq 0, \mathbb{E}\left[\left|X_n\right|^p\right]<\infty$, and $\mathbb{E}\left[|X|^p\right]<\infty$. It is said that the sequence of random variables $\left(X_n\right){n \geq 1}$ converges on the average of the order $p$ or converges in $L^p$ towards $X$, if
$$\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left[\left|X_n-X\right|^p\right]=0 .$$
We then write $X_n \stackrel{L^p}{\rightarrow} X$. In the specific case where $p=2$, we say there is a convergence in quadratic mean.

2) The sequence of r.v. $\left(X_n\right){n \geq 1}$ is called almost surely (a.s.) convergent towards $X$, if $$\lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(w \in \Omega ; \lim {n \rightarrow \infty} X_n(w)=X(w)\right)=1 .$$ We then write $X_n \stackrel{\text { a.s. }}{\longrightarrow} X$. THEOREM $1.1$ (Monotone convergence theorem).-Let $\left(X_n\right){n \geq 1}$ be a sequence of positive and non-decreasing random variables and let $X$ be an integrable random variable, all of these defined on the same probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. If $\left(X_n\right)$ converges almost surely to $X$, then
$$\lim {n \rightarrow+\infty} \mathbb{E}\left[X_n\right]=\mathbb{E}[X] .$$ THEOREM $1.2$ (Dominated convergence theorem).- Let $\left(X_n\right){n \geq 1}$ be a sequence of random variables and let $X$ be another random variable, all defined on the same probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. If the sequence $\left(X_n\right)$ converges to $X$ a.s., and for any $n \geq 1,\left|X_n\right| \leq Z$, where $Z$ is an integrable random variable, then $X_n \stackrel{L^1}{\rightarrow} X$ and, in particular
$$\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{E}\left[X_n\right]=\mathbb{E}[X]$$

# 离散数学代写

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Random vectors

$$X(w)=\left(X_1(w) \vdots X_n(w)\right)$$

$X_{-} 1(1 O$ mega $)=$ lleft $\left{X_{-}{1}\right}, j$ lin I_11right $}$ Itext ${$ et $} X_{-} 2(1 O$ mega $)=$ lleft $\left{X_{-}{2\right.$ k $}, k$ lin I_2Iright $}$ 。

$$\forall j \in I_1, \quad \mathbb{P}\left(X_1=x_{1 j}\right)=\sum_{k \in I_2} \mathbb{P}\left(X_1=x_{1 j}, X_2=x_{2 k}\right)$$

$$\forall k \in I_2, \quad \mathbb{P}\left(X_2=x_{2 k}\right)=\sum_{j \in I_1} \mathbb{P}\left(X_1=x_{1 j}, X_2=x_{2 k}\right)$$

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Convergence of sequences of random variables

$$\lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left[\left|X_n-X\right|^p\right]=0 .$$ 然后我们写 $X_n \stackrel{L^p}{\rightarrow} X$. 在特定情况下 $p=2$ ，我们说二次均值收敛。 2) $\mathrm{rv}$ 的序列 $\left(X_n\right) n \geq 1$ 被称为几伞肯定 (as) 收敛于 $X$ ，如果 $$\lim n \rightarrow \infty \mathbb{P}\left(w \in \Omega ; \lim n \rightarrow \infty X_n(w)=X(w)\right)=1 .$$ 然后我们写 $X_n \stackrel{\text { a.s. }}{\longrightarrow} X$. 定理 1.1(单调收敛定理).-让 $\left(X_n\right) n \geq 1$ 是一系列正的和非递减的随 机变量并让 $X$ 是一个可积的随机变量，所有这些都定义在相同的概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. 如果 $\left(X_n\right)$ 几手肯定收敛于 $X$ ，然后 $$\lim n \rightarrow+\infty \mathbb{E}\left[X_n\right]=\mathbb{E}[X] .$$ 定理 $1.2$ (支配收敛定理)。-让 $\left(X_n\right) n \geq 1$ 是一个随机变量序列，让 $X$ 是另一个随机变量， 都定义在相同的概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. 如果序列 $\left(X_n\right)$ 收玫于 $X$ 作为，并且对于任何 $n \geq 1,\left|X_n\right| \leq Z$ ，在哪里 $Z$ 是可积随机变量，则 $X_n \stackrel{L^1}{\rightarrow} X$ 并且，特别是 $$\lim {n \rightarrow+\infty} \mathbb{E}\left[X_n\right]=\mathbb{E}[X]$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。