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宏观经济学，对国家或地区经济整体行为的研究。它关注的是了解整个经济的事件，如商品和服务的生产总量、失业水平和价格的一般行为。
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经济代写|宏观经济学代写Macroeconomics代考|The importance of labour supply
As we’ve pointed out, one of the RBC literature’s main departures from the standard NGM is the presence of a labour supply choice. This is crucial to generate fluctuations in employment, which are a pervasive feature of actual business cycles. Let us consider this choice within the context of the basic model. With log utility, the consumer’s objective function can be thought of as:
$$
E\left[\sum_t\left(\frac{1}{1+\rho}\right)^t\left[(1-\phi) \log \left(c_t\right)+\phi \log \left(h_t\right)\right] .\right.
$$
Notice that the household has two control variables, consumption and leisure. We have seen before the solution to the problem of optimal intertemporal allocation of consumption; it is the familiar Euler equation:
$$
u^{\prime}\left(c_t\right)=\frac{1+r_{t+1}}{1+\rho} E\left[u^{\prime}\left(c_{t+1}\right)\right] .
$$
Leaving aside uncertainty, for the moment, and using the log assumption, we can rewrite this as:
$$
c_{t+1}=\frac{1+r_{t+1}}{1+\rho} c_t .
$$
The labour-leisure choice, in contrast, is static; it takes place in each period with no implication for the next period. The FOC equates the marginal benefit of additional consumption to the marginal cost of lost leisure:
$$
w_t(1-\phi) u^{\prime}\left(c_t\right)=\phi v^{\prime}\left(h_t\right) .
$$
Again using the log utility assumption, we get
$$
w_t(1-\phi) h_t=\phi c_t .
$$
To simplify things further, assume for the moment that $r$ is exogenous – think of a small open economy. In this setup, we can use (14.9) into (14.7) to obtain
$$
\frac{h_{t+1}}{h_t}=\frac{1+r}{1+\rho} \frac{w_t}{w_{t+1}} \Rightarrow \frac{1-l_{t+1}}{1-l_t}=\frac{1+r}{1+\rho} \frac{w_t}{w_{t+1}} .
$$
This means that leisure will be relatively high in those periods when the wage is relatively low; in other words, a higher wage increases the supply of labour. We can also see the impact of the interest rate: a high interest rate will lead to a higher supply of labour. The intuition is that it is worth working more in the present the higher the interest rate, as it provides a higher return in terms of future leisure. These responses of the labour supply, driven by intertemporal substitution in labour and leisure, are at the very heart of the fluctuations in employment in RBC models.
经济代写|宏观经济学代写Macroeconomics代考|The long-run labour supply
Let’s pause for a minute to explore a bit deeper the shape of this labour supply curve. Consider the case when wages and income are constant, a case that would be akin to analysing the effect of permanent shocks to these variables. Let’s see the form of the labour supply in this case.
Since consumption is constant at income level
$$
c_t=w\left(1-h_t\right)
$$
substituting this into (14.8) we obtain
$$
(1-\phi) u^{\prime}\left(w\left(1-h_t\right)\right)=\frac{\phi v^{\prime}\left(h_t\right)}{w}
$$
Using the log specification for consumption and allowing for $\phi=\frac{2}{3}$ allows us to simplify
$$
\left(\frac{1}{3}\right) \frac{1}{w\left(1-h_t\right)}=\frac{2}{3} \frac{1}{w h_t}
$$
This is a strong result that says that leisure is independent of the wage level. You may think this is too strong but, surprisingly, it fits the data very well, at least when thinking about labour supply in the very, very long run. ${ }^2$ It does seem that for humans income and substitution effects just cancel out (or maybe you prefer a more Leontieff setup in which people just can’t work more than eight hours per day, or where the disutility of labour beyond eight hours a day becomes unbearable if repeated every day).
Does this mean that labour supply does not move at all? Not really. The above was derived under the assumption of the constancy of the wage. This is akin to assuming that any change in wages is permanent, which induces a very large response in the shadow value of consumption that works to offset the labour supply effect of the change in wages (totally cancelling it in the log case). But if the wage moves for a very short period of time we can assume the shadow value of consumption to remain constant, and then changes in the wage will elicit a labour supply response. Thus, while the long-run elasticity of labour supply may be zero, it is positive in the short run.
宏观经济学代考
经济代写|宏观经济学代写Macroeconomics代考|The importance of labour supply
正如我们所指出的，RBC 文献与标准 NGM 的主要区别之一是存在劳动力供应选择。这对于产生就业波动至关重 要，这是实际商业周期的普遍特征。让我们在基本模型的背景下考虑这个选择。使用 log 实用程序，消费者的目 标函数可以被认为是:
$$
E\left[\sum_t\left(\frac{1}{1+\rho}\right)^t\left[(1-\phi) \log \left(c_t\right)+\phi \log \left(h_t\right)\right] .\right.
$$
请注意，家庭有两个控制变量，消费和休闲。我们之前已经看到了消费跨期最优分配问题的解决方案；这是熟悉 的欧拉方程:
$$
u^{\prime}\left(c_t\right)=\frac{1+r_{t+1}}{1+\rho} E\left[u^{\prime}\left(c_{t+1}\right)\right] .
$$
暂时不考虑不确定性，并使用对数假设，我们可以将其重写为:
$$
c_{t+1}=\frac{1+r_{t+1}}{1+\rho} c_t .
$$
相比之下，劳动休闲选择是静态的。它发生在每个时期，对下一个时期没有影响。FOC 将额外消费的边际收益 等同于失去休闲的边际成本:
$$
w_t(1-\phi) u^{\prime}\left(c_t\right)=\phi v^{\prime}\left(h_t\right) .
$$
再次使用 $\log$ 效用假设，我们得到
$$
w_t(1-\phi) h_t=\phi c_t .
$$
为了进一步简化事情，暂时假设 $r$ 是外生的一一想想一个小型的开放经济。在这个设置中，我们可以使用 (14.9) 到 (14.7) 来获得
$$
\frac{h_{t+1}}{h_t}=\frac{1+r}{1+\rho} \frac{w_t}{w_{t+1}} \Rightarrow \frac{1-l_{t+1}}{1-l_t}=\frac{1+r}{1+\rho} \frac{w_t}{w_{t+1}} .
$$
这意味着在工资相对较低的时期，闲暇时间会相对较高；换句话说，更高的工资会增加劳动力的供应。我们还可 以看到利率的影响: 高利率会导致更高的劳动力供应。直觉是，利率越高，现在越值得工作，因为它在末来的休 闲方面提供了更高的回报。这些由劳动力和休闲的跨期替代驱动的劳动力供应反应是 RBC 模型中就业波动的核 心。
经济代写|宏观经济学代写Macroeconomics代考|The long-run labour supply
让我们暂停一分钟，更深入地探讨一下这条劳动力供给曲线的形状。考虑工资和收入不变的情况，这种情况类似 于分析永久性冲击对这些变量的影响。让我们看看这种情况下的劳动力供给形式。
由于消费在收入水平上是恒定的
$$
c_t=w\left(1-h_t\right)
$$
将其代入 (14.8) 我们得到
$$
(1-\phi) u^{\prime}\left(w\left(1-h_t\right)\right)=\frac{\phi v^{\prime}\left(h_t\right)}{w}
$$
使用日志规范进行消费并允许 $\phi=\frac{2}{3}$ 允许我们简化
$$
\left(\frac{1}{3}\right) \frac{1}{w\left(1-h_t\right)}=\frac{2}{3} \frac{1}{w h_t}
$$
这是一个强有力的结果，表明休闲与工资水平无关。你可能认为这太强了，但令人惊讶的是，它非常符合数据， 至少在考虑非常非常长期的劳动力供应时。 ${ }^2$ 对于人类而言，收入和替代效应似乎确实抵消了 (或者您可能更喜 欢 Leontieff 设置，在这种设置中，人们每天工作不能超过八小时，或者一天超过八小时的劳动无用性变得难以 忍受如果每天重复)。
这是否意味着劳动力供给根本不动? 并不真地。以上是在工资不变的假设下得出的。这类似于假设工资的任何变 化都是永久性的，这会引起诮费影子价值的非常大的反应，从而抵消工资变化的劳动力供给效应（在对数情况下 完全抵峭)。但如果工资在很短的时间内变动，我们可以假设消费的影子价值保持不变，然后工资的变化将引发 劳动力供给反应。因此，虽然劳动力供给的长期弹性可能为零，但在短期内是正的。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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