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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Rotations of the Sphere as Möbius Transformations

This subsection is optional because its main result is only needed in Chapter 6 . Furthermore, in that chapter we shall treat the same result in a much better and simpler way; the only purpose of this subsection is to further illustrate the connections that exist between Möbius transformations and linear algebra.

Let us investigate what it might mean to say that two vectors $\mathfrak{p}$ and $\mathbf{q}$ in $\mathbb{C}^2$ are “orthogonal”. Two vectors $\mathbf{p}$ and $\mathbf{q}$ in $\mathbb{R}^2$ are orthogonal if and only if their dot product vanishes:
$$
\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}=\left(\begin{array}{l}
p_1 \
p_2
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}
q_1 \
q_2
\end{array}\right)=p_1 q_1+p_2 q_2=0
$$
Thus it would seem natural to say that $\mathfrak{p}$ and $\mathfrak{q}$ are “orthogonal” if $\mathfrak{p} \cdot \mathbf{q}=0$. This will not do. In particular, whereas we would like the dot product of any nonzero vector with itself to be a positive real number, we find that $\left[\begin{array}{l}1 \ i\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}1 \ i\end{array}\right]=0$, for example. As it stands, the dot product is not suitable for use in $\mathbb{C}^2$.

The standard solution to this difficulty is to generalize the dot product $\mathfrak{p} \cdot \mathbf{q}$ to the so-called inner product,$\langle\mathbf{p}, \mathbf{q}\rangle \equiv \overline{\mathbf{p}} \cdot \mathbf{q}$ :
$$
\langle\mathbf{p}, \mathfrak{q}\rangle=\left\langle\left[\begin{array}{l}
\mathfrak{p}_1 \
\mathfrak{p}_2
\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}
\mathfrak{q}_1 \
\mathfrak{q}_2
\end{array}\right]\right\rangle=\overline{\mathfrak{p}_1} \mathfrak{q}_1+\overline{\mathfrak{p}_2} \mathfrak{q}_2
$$
We cannot go into all the reasons why this is the “right” generalization, but observe that it shares the following desirable properties of the dot product:
$$
\begin{aligned}
& \langle\mathfrak{p}, \mathfrak{p}\rangle \geqslant 0 \quad \text { and } \quad\langle\mathfrak{p}, \mathfrak{p}\rangle=0 \text { if and only if } \mathfrak{p}_1=0=\mathfrak{p}_2 ; \
& \langle\mathfrak{p}+\mathbf{q}, \mathbf{r}\rangle=\langle\mathfrak{p}, \mathbf{r}\rangle+\langle\mathbf{q}, \mathbf{r}\rangle \quad \text { and } \quad\langle\mathbf{r}, \mathfrak{p}+\mathbf{q}\rangle=\langle\mathbf{r}, \mathfrak{p}\rangle+\langle\mathbf{r}, \mathfrak{q}\rangle .
\end{aligned}
$$
Note, however, that it is not commutative: $\langle\mathbf{q}, \mathbf{p}\rangle=\overline{\langle\mathbf{p}, \mathbf{q}\rangle}$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Main Idea

Although the decomposition (3.3) of a general Möbius transformation $M(z)$ has proved valuable in obtaining results, it makes $\mathrm{M}(z)$ appear much more complicated than it is. In this section we will reveal this hidden simplicity by examining the fixed points in greater detail; this will enable us to visualize Möbius transformations in a particularly vivid way. In the process we will clarify our earlier remark that Möbius transformations can be classified into four types, each $M(z)$ being “equivalent” to one (and only one) of the four types of transformation illustrated in [3.26]. The lovely idea behind this classification scheme is due to Felix Klein.

To begin with, suppose that $M(z)$ has two distinct fixed points, $\xi_{+}$and $\xi_{-}$. Now look at the LHS of [3.29], and in particular at the family $\mathcal{C}_1$ of circles [shown dashed] passing through the fixed points. If we think of $M(z)$ as a mapping $z \mapsto w=$ $\mathrm{M}(z)$ of this figure to itself, then each member of $\mathrm{C}_1$ is mapped to another member of $\mathcal{C}_1$. Why?

Still with reference to the LHS of [3.29], suppose that $p$ [not shown] is an arbitrary point on the line through $\xi_{+}$and $\xi_{-}$, but lying outside the segment connecting the fixed points. If $\mathrm{K}$ is the circle of radius $\sqrt{\left[p \xi_{+}\right]\left[p \xi_{-}\right]}$centred at $\mathrm{p}$, then $\xi_{+}$and $\xi_{-}$ are symmetric with respect to $\mathrm{K}$. Thus $\mathrm{K}$ cuts each member of $\mathcal{C}1$ at right angles (cf. [3.9]). By varying the position of $p$ we thus obtain a family $\mathcal{C}_2$ of circles [shown solid] such that $\xi{+}$and $\xi_{-}$are symmetric with respect to each member of $\mathcal{C}_2$, and each member of $\mathrm{C}_2$ is orthogonal to each member of $\mathrm{C}_1$.

Now we come to the main idea: to the LHS of [3.29] we apply a Möbius transformation $F(z)$ that sends one fixed point (say $\xi_{+}$) to 0 , and the other fixed point $\left(\xi_{-}\right)$to $\infty$. The RHS of [3.29] shows the image of the LHS under such a Möbius transformation, the simplest example of which is
$$
F(z)=\frac{z-\xi_{+}}{z-\xi_{-}}
$$
[Note that we have not bothered to write this in normalized form.] Since $F$ is a Möbius transformation, it must map the members of $\mathcal{C}1$ to the circles passing through 0 and $\infty$, i.e., to lines through the origin [shown dashed]. Furthermore, since $F$ is conformal, two such lines must contain the same angle at 0 as the corresponding $C_1$ circles do at $\xi{+}$. We have tried to make this easy to see in our picture by drawing $\mathcal{C}1$ circles passing through $\xi{+}$in evenly spaced directions, each one making an angle of $(\pi / 6)$ with the next.

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Rotations of the Sphere as Möbius Transformations

本小节是可选的，因为它的主要结果仅在第 6 章中需要。此外，在那一章中，我们将以更好、更简单的方 式处理相同的结果；本小节的唯一目的是进一步说明莫比乌斯变换与线性代数之间存在的联系。
让我们研究一下说两个向量可能意味着什么 $p$ 和 $\mathbf{q}$ 在 $\mathbb{C}^2$ 是“正交的”。两个向量 $\mathbf{p}$ 和 $\mathbf{q}$ 在 $\mathbb{R}^2$ 是正交的当且仅 当它们的点积消失:
$$
\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}=\left(p_1 p_2\right) \cdot\left(q_1 q_2\right)=p_1 q_1+p_2 q_2=0
$$
因此，这样说似乎很自然 $\mathrm{p}$ 和 $q$ 是“正交的“如果 $p \cdot q=0$. 这不行。特别是，虽然我们布望任何非零向量与 自身的点积为正实数，但我们发现 $[1 i] \cdot[1 i]=0$ ，例如。就目前而言，点积不适合用于 $\mathbb{C}^2$.
这个困难的标准解决方案是推广点积p $\cdot \mathbf{q}$ 到所谓的内积， $\langle\mathbf{p}, \mathbf{q}\rangle \equiv \overline{\mathbf{p}} \cdot \mathbf{q}$ :
$$
\langle\mathbf{p}, \mathfrak{q}\rangle=\left\langle\left[\mathfrak{p}_1 \mathfrak{p}_2\right],\left[\mathfrak{q}_1 \mathfrak{q}_2\right]\right\rangle=\overline{\mathfrak{p}_1} \mathfrak{q}_1+\overline{\mathfrak{p}_2} \mathfrak{q}_2
$$
我们无法深入探讨为什么这是“正确”概括的所有原因，但观察到它具有以下点积的理想属性:
$$
\langle\mathfrak{p}, \mathfrak{p}\rangle \geqslant 0 \quad \text { and } \quad\langle\mathfrak{p}, \mathfrak{p}\rangle=0 \text { if and only if } \mathfrak{p}_1=0=\mathfrak{p}_2 ; \quad\langle\mathfrak{p}+\mathbf{q}, \mathbf{r}\rangle=\langle\mathfrak{p}, \mathbf{r}\rangle+\langle\mathbf{q}, \mathbf{r}\rangle
$$
但是请注意，它不是可交换的: $\langle\mathbf{q}, \mathbf{p}\rangle=\overline{\langle\mathbf{p}, \mathbf{q}\rangle}$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Main Idea

本小节是可选的，因为它的主要结果仅在第 6 章中需要。此外，在那一章中，我们将以更好、更简单的方 式处理相同的结果；本小节的唯一目的是进一步说明莫比乌斯变换与线性代数之间存在的联系。
让我们研究一下说两个向量可能意味着什么 $p$ 和 $\mathbf{q}$ 在 $\mathbb{C}^2$ 是“正交的”。两个向量 $\mathbf{p}$ 和 $\mathbf{q}$ 在 $\mathbb{R}^2$ 是正交的当且仅 当它们的点积消失:
$$
\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}=\left(p_1 p_2\right) \cdot\left(q_1 q_2\right)=p_1 q_1+p_2 q_2=0
$$
因此，这样说似乎很自然 $\mathrm{p}$ 和 $q$ 是“正交的“如果 $p \cdot q=0$. 这不行。特别是，虽然我们布望任何非零向量与 自身的点积为正实数，但我们发现 $[1 i] \cdot[1 i]=0$ ，例如。就目前而言，点积不适合用于 $\mathbb{C}^2$.
这个困难的标准解决方案是推广点积p $\cdot \mathbf{q}$ 到所谓的内积， $\langle\mathbf{p}, \mathbf{q}\rangle \equiv \overline{\mathbf{p}} \cdot \mathbf{q}$ :
$$
\langle\mathbf{p}, \mathfrak{q}\rangle=\left\langle\left[\mathfrak{p}_1 \mathfrak{p}_2\right],\left[\mathfrak{q}_1 \mathfrak{q}_2\right]\right\rangle=\overline{\mathfrak{p}_1} \mathfrak{q}_1+\overline{\mathfrak{p}_2} \mathfrak{q}_2
$$
我们无法深入探讨为什么这是“正确”概括的所有原因，但观察到它具有以下点积的理想属性:
$$
\langle\mathfrak{p}, \mathfrak{p}\rangle \geqslant 0 \quad \text { and } \quad\langle\mathfrak{p}, \mathfrak{p}\rangle=0 \text { if and only if } \mathfrak{p}_1=0=\mathfrak{p}_2 ; \quad\langle\mathfrak{p}+\mathbf{q}, \mathbf{r}\rangle=\langle\mathfrak{p}, \mathbf{r}\rangle+\langle\mathbf{q}, \mathbf{r}\rangle
$$
但是请注意，它不是可交换的: $\langle\mathbf{q}, \mathbf{p}\rangle=\overline{\langle\mathbf{p}, \mathbf{q}\rangle}$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Explanation: Homogeneous Coordinates

Clearly this cannot all be coincidence, but what is really going on here?! The answer is simple, yet subtle. To see it we must first describe the complex plane with a completely new kind of coordinate system. Instead of expressing $z=x+i y$ in terms of two real numbers, we write it as the ratio of two complex numbers, $z_1$ and $\mathfrak{z}2$ : $$ z=\frac{z_1}{z_2} $$ The ordered pair of complex numbers $\left[z_1, z_2\right]$ are called homogeneous coordinates of $z$. In order that this ratio be well defined we demand that $\left[z_1, z_2\right] \neq[0,0]$. To each ordered pair $\left[\mathfrak{z}_1\right.$ arbitrary, $\left.\mathfrak{z}_2 \neq 0\right]$ there corresponds precisely one point $z=\left(\mathfrak{z}_1 / \mathfrak{z}_2\right)$, but to each point $z$ there corresponds an infinite set of homogeneous coordinates, $\left[\mathrm{k}{z_1}, \mathrm{k}_{z_2}\right]=\mathrm{k}\left[z_1, \mathfrak{z}_2\right]$, where $\mathrm{k}$ is an arbitrary non-zero complex number.

What about a pair of the form $\left[z_1, 0\right]$ ? By holding $z_1$ fixed as $z_2$ tends to 0 , it is clear that $\left[z_1, 0\right]$ must be identified with the point at infinity. Thus the totality of pairs $\left[z_1, z_2\right]$ provide coordinates for the extended complex plane. The introduction of homogeneous coordinates thereby accomplishes for algebra what the Riemann sphere accomplishes for geometry-it does away with the exceptional role of $\infty$.
Just as we use the symbol $\mathbb{R}^2$ to denote the set of pairs $(x, y)$ of real numbers, so we use the symbol $\mathbb{C}^2$ to denote the set of pairs $\left[\mathfrak{z}_1, \mathfrak{z}_2\right]$ of complex numbers. To highlight the distinction between $\mathbb{R}^2$ and $\mathbb{C}^2$, we use conventional round brackets when writing down an element $(x, y)$ of $\mathbb{R}^2$, but we use square brackets for an element $\left[z_1, z_2\right]$ of $\mathbb{C}^2$.

Just as a linear transformation of $\mathbb{R}^2$ is represented by a real $2 \times 2$ matrix, so a linear transformation of $\mathbb{C}^2$ is represented by a complex $2 \times 2$ matrix:
$$
\left[\begin{array}{l}
z_1 \
\mathfrak{z}2 \end{array}\right] \longmapsto\left[\begin{array}{l} \mathfrak{w}_1 \ \mathfrak{w}_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} a & b \ c & d \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} z_1 \ \mathfrak{z}_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} a \mathfrak{z}_1+b{z_2} \
\mathrm{c} \mathfrak{z}1+d{z_2}
\end{array}\right] .
$$
But if $\left[\mathfrak{z}1, \mathfrak{z}_2\right]$ and $\left[\mathfrak{w}_1, \mathfrak{w}_2\right]$ are thought of as the homogeneous coordinates in $\mathbb{C}^2$ of the point $z=\left(\mathfrak{z}_1 / \mathfrak{z}_2\right)$ in $\mathbb{C}$ and its image point $w=\left(\mathfrak{w}_1 / \mathfrak{w}_2\right)$, then the above linear transformation of $\mathbb{C}^2$ induces the following (non-linear) transformation of $\mathbb{C}$ : $$ z=\frac{\mathfrak{z}_1}{\mathfrak{z}_2} \longmapsto w=\frac{\mathfrak{w}_1}{\mathfrak{w}_2}=\frac{a \mathfrak{z}_1+b{\mathfrak{z}2}}{\mathrm{c} \mathfrak{z}_1+\mathrm{d}{\mathfrak{z}_2}}=\frac{\mathrm{a}\left(\mathfrak{z}_1 / \mathfrak{z}_2\right)+b}{\mathrm{c}\left(\mathfrak{z}_1 / \mathfrak{z}_2\right)+d}=\frac{a z+b}{c z+d} .
$$

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Eigenvectors and Eigenvalues

The above representation of Möbius transformations as matrices provides an elegant and practical method of doing concrete calculations. More significantly, however, it also means that in developing the theory of Möbius transformations we suddenly have access to a whole range of new ideas and techniques taken from linear algebra.

We begin with something very simple. We previously remarked that while it is geometrically obvious that the composition of two non-singular Möbius transformations is again non-singular, it is far from obvious algebraically. Our new point of view rectifies this, for recall the following elementary property of determinants:
$$
\operatorname{det}\left{\left[M_2\right]\left[M_1\right]\right}=\operatorname{det}\left[M_2\right] \operatorname{det}\left[M_1\right]
$$
Thus if $\operatorname{det}\left[M_2\right] \neq 0$ and $\operatorname{det}\left[M_1\right] \neq 0$, then $\operatorname{det}\left[\left[M_2\right]\left[M_1\right]\right} \neq 0$, as was to be shown. This also sheds further light on the virtue of working with normalized Möbius transformations. For if $\operatorname{det}\left[M_2\right]=1$ and $\operatorname{det}\left[M_1\right]=1$, then $\operatorname{det}\left{\left[M_2\right]\left[M_1\right]\right}=1$. Thus the set of normalized $2 \times 2$ matrices form a group-a “subgroup” of the full group of non-singular matrices.

For our second example, consider the eigenvectors of a linear transformation $[M]=\left[\begin{array}{ll}a & b \ c & d\end{array}\right]$ of $\mathbb{C}^2$. By definition, an eigenvector is a vector $\mathfrak{z}=\left[\begin{array}{l}\mathfrak{z}1 \ \mathfrak{z}_2\end{array}\right]$ whose “direction” is unaltered by the transformation, in the sense that its image is simply a multiple $\lambda_z$ of the original; this multiple $\lambda$ is called the eigenvalue of the eigenvector. In other words, an eigenvector satisfies the equation $$ \left[\begin{array}{ll} a & b \ c & d \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} z_1 \ z_2 \end{array}\right]=\lambda\left[\begin{array}{l} z_1 \ \mathfrak{z}_2 \end{array}\right] $$ In terms of the corresponding Möbius transformation in $\mathbb{C}$, this means that $z=$ $\left(z_1 / z_2\right)$ is mapped to $M(z)=\left(\lambda{z_1} / \lambda_{z_2}\right)=z$, and so
$z=\left(z_1 / z_2\right)$ is a fixed point of $\mathrm{M}(z)$ if and only if $z=\left[\begin{array}{l}z_1 \ z_2\end{array}\right]$ is an eigenvector of $[\mathrm{M}]$.
Note that one immediate benefit of this approach is that there is no longer any real distinction between a finite fixed point and a fixed point at $\infty$, for the latter merely corresponds to an eigenvector of the form $\left[\begin{array}{c}z_1 \ 0\end{array}\right]$.

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Explanation: Homogeneous Coordinates

显然这不可能都是巧合，但这到底是怎么回事? ！答案很简单，但很微妙。要看到它，我们必须首先用一 种全新的坐标系来描述复平面。而不是表达 $z=x+i y$ 就两个实数而言，我们将其写为两个复数之比， $z_1$ 和 $z 2$ :
$$
z=\frac{z_1}{z_2}
$$
有序复数对 $\left[z_1, z_2\right]$ 称为齐次坐标 $z$. 为了明确定义这个比率，我们要求 $\left[z_1, z_2\right] \neq[0,0]$. 对于每个有序对 $\left[\mathfrak{z}1\right.$ 随意的， $\left.z_2 \neq 0\right]$ 正好对应一点 $z=\left(z_1 / z_2\right)$ ，但对每个点 $z$ 对应于无限组齐次坐标， $\left[\mathrm{k} z_1, \mathrm{k}{z_2}\right]=\mathrm{k}\left[z_1, z_2\right]$ ， 在哪里 $\mathrm{k}$ 是任意非零复数。
一对表格怎么样 $\left[z_1, 0\right]$ ? 通过持有 $z_1$ 固定为 $z_2$ 趋于 0 ，显然 $\left[z_1, 0\right]$ 必须等同于无穷远点。因此对的总数 $\left[z_1, z_2\right]$ 为扩展复平面提供坐标。引入齐次坐标从而为代数完成了黎曼球为几何所完成的工作一一它消除 了特殊的作用 .
正如我们使用符号 $\mathbb{R}^2$ 表示对的集合 $(x, y)$ 的实数，所以我们使用符号 $\mathbb{C}^2$ 表示对的集合 $\left[\mathfrak{z}1, \mathfrak{z}_2\right]$ 的复数。为 了突出两者之间的区别 $\mathbb{R}^2$ 和 $\mathbb{C}^2$ ，我们在写下一个元素时使用传统的圆括号 $(x, y)$ 的 $\mathbb{R}^2$ ，但我们对元素使 用方括号 $\left[z_1, z_2\right]$ 的 $\mathbb{C}^2$. 正如线性变换 $\mathbb{R}^2$ 由一个真实的代表 $2 \times 2$ 矩阵，所以线性变换 $\mathbb{C}^2$ 由一个复杂的表示 $2 \times 2$ 矩阵: $$ \left[\begin{array}{ll} z_1 & \mathfrak{z}^2 \end{array}\right] \longmapsto\left[\mathfrak{w}_1 \mathfrak{w}_2\right]=\left[\begin{array}{lll} a & b c & d \end{array}\right]\left[z_1 \mathfrak{z}_2\right]=\left[a{\mathfrak{z}1}+b z_2 \mathfrak{c}{\mathfrak{z}} 1+d z_2\right] .
$$
但是如果 $\left[\mathfrak{z}^1, \mathfrak{z}2\right]$ 和 $\left[\mathfrak{w}_1, \mathfrak{w}_2\right]$ 被认为是齐次坐标 $\mathbb{C}^2$ 重点 $z=\left(\mathfrak{z}_1 / \mathfrak{z}_2\right)$ 在 $\mathbb{C}$ 及其像点 $w=\left(\mathfrak{w}_1 / \mathfrak{w}_2\right)$ ，那么 上面的线性变换 $\mathbb{C}^2$ 引起以下 (非线性) 变换 $\mathbb{C}$ : $$ z=\frac{\mathfrak{z}_1}{\mathfrak{z}_2} \longmapsto w=\frac{\mathfrak{w}_1}{\mathfrak{w}_2}=\frac{a{\mathfrak{z}1}+b{\mathfrak{z}} 2}{\mathrm{c}{\mathfrak{z}_1}+\mathrm{d}{\mathfrak{z}_2}}=\frac{\mathrm{a}\left(\mathfrak{z}_1 / \mathfrak{z}_2\right)+b}{\mathrm{c}\left(\mathfrak{z}_1 / \mathfrak{z}_2\right)+d}=\frac{a z+b}{c z+d}
$$

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Eigenvectors and Eigenvalues

上面将莫比乌斯变换表示为矩阵，提供了一种优雅实用的具体计算方法。然而，更重要的是，这也意味着 在发展莫比乌斯变换理论的过程中，我们突然可以接触到从线性代数中提取的一系列新思想和新技术。
我们从非常简单的事情开始。我们之前说过，虽然两个非奇异莫比乌斯变换的组合在几何上也是非奇异 的，但在代数上远非如此。我们的新观点纠正了这一点，回想一下行列式的以下基本性质:
因此，如果 $\operatorname{det}\left[M_2\right] \neq 0$ 和 $\operatorname{det}\left[M_1\right] \neq 0 ＼mathrm{~ ， 然 后 ~}$ 了使用标准化莫比乌斯变换的优点。对于如果 $\operatorname{det}\left[M_2\right]=1$ 和det $\left[M_1\right]=1 ＼mathrm{~ ， 然 后 ~}$ 群一一非奇异矩阵全群的一个”子群”。
对于我们的第二个例子，考虑线性变换的特征向量 $[M]=\left[\begin{array}{lll}a & b c & d\end{array}\right]$ 的 $\mathbb{C}^2$. 根据定义，特征向量是一 个向量 $\mathfrak{z}=\left[{ }^z 1 \mathfrak{z}2\right]$ 其“方向”末因变换而改变，从某种意义上说，它的图像只是一个倍数 $\lambda_z$ 原件；这个倍 数 $\lambda$ 称为特征向量的特征值。换句话说，特征向量满足方程 $$ \left[\begin{array}{lll} a & b c & d \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} z_1 & z_2 \end{array}\right]=\lambda\left[\begin{array}{ll} z_1 & z_2 \end{array}\right] $$ 根据相应的莫比乌斯变换 $\mathbb{C}$ ，这意味着 $z=\left(z_1 / z_2\right)$ 映射到 $M(z)=\left(\lambda z_1 / \lambda{z_2}\right)=z$ ，所以 $z=\left(z_1 / z_2\right)$ 是一个不动点 $\mathrm{M}(z)$ 当且仅当 $z=\left[\begin{array}{ll}z_1 & z_2\end{array}\right]$ 是的特征向量 $[\mathrm{M}]$.
请注意，这种方法的一个直接好处是，有限不动点和处的不动点之间不再有任何真正的区别。 $\infty ，$ 因为 后者仅对应于以下形式的特征向量 $\left[\begin{array}{ll}z_1 & 0\end{array}\right]$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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我们提供的复分析Complex function及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Preservation of Symmetry

Consider [3.11a], which shows two points $\mathrm{a}$ and $\mathrm{b}$ that are symmetric with respect to a line L. If reflection in a line $M$ maps a to $\tilde{a}, b$ to $\tilde{b}$, and $L$ to $\tilde{L}$, then clearly the image points $\tilde{a}$ and $\tilde{b}$ are again symmetric with respect to the image line $\tilde{L}$. In brief, reflection in lines “preserves symmetry” with respect to lines.

We now show that reflection in circles also preserves symmetry with respect to circles:
If $\mathrm{a}$ and $\mathrm{b}$ are symmetric with respect to $a$ circle $\mathrm{K}$, then their images $\tilde{\mathrm{a}}$ and $\widetilde{\mathrm{b}}$ under inversion in any circle $\mathrm{J}$ are again symmetric with respect to the image $\widetilde{\mathrm{K}}$ of $\mathrm{K}$.
To understand this, first note that, since inversion is anticonformal, (3.10) is just a special case of the following more general result:
Inversion maps any pair of orthogonal circles to another pair of orthogonal circles.
Of course if one of the circles passes through the centre of inversion then its image will be a line. However, if we think of lines as merely being circles of infinite radius then the result is true without qualification.

The preservation of symmetry result is now easily understood. See [3.11b]. Since the two dashed circles through $\mathrm{a}$ and $\mathrm{b}$ are orthogonal to $\mathrm{K}$, their images under inversion in J are likewise orthogonal to $\widetilde{K}$, and they therefore intersect in a pair of points that are symmetric with respect to $\widetilde{K}$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Inversion in a Sphere

Inversion $J_S$ of three-dimensional space in a sphere $\mathrm{S}$ (radius $\mathrm{R}$ and centre $\mathrm{q}$ ) is defined in the obvious way: if $p$ is a point in space at distance $\rho$ from $q$, then $\mathcal{J}_S(p)$ is the point in the same direction from $q$ as $p$, and at distance $\left(R^2 / \rho\right)$ from $q$. We should explain that this is not generalization for its own sake; soon we will see how this three-dimensional inversion sheds new light on two-dimensional inversion in $\mathbb{C}$.

Without any additional work, we may immediately generalize most of the above results on inversion in circles to results on inversion in spheres. For example, reconsider [3.3]. If we rotate this figure (in space) about the line through $q$ and $a$, then we obtain [3.12], in which the circle of inversion $\mathrm{K}$ has swept out a sphere of inversion $S$, and the line has swept out a plane $\Pi$. Thus we have the following result:
Under inversion in a sphere centred at q, a plane $\Pi$ that does not contain $\mathrm{q}$ is mapped to a sphere that contains $\mathrm{q}$ and whose tangent plane there is parallel to $\Pi$. Conversely, a sphere containing $\mathrm{q}$ is mapped to a plane that is parallel to the tangent plane of that sphere at $\mathrm{q}$.

By the same token, if we rotate figure [3.4] about the line through $q$ and $a$, then we find that
Under inversion in a sphere, the image of a sphere that does not contain the centre of inversion is another sphere that does not contain the centre of inversion.
This result immediately tells us what will happen to a circle in space under inversion in a sphere, for such a circle may be thought of as the intersection of two spheres. Thus we easily deduce [exercise] the following result:
Under inversion in a sphere, the image of a circle $\mathrm{C}$ that does not pass through the centre $\mathrm{q}$ of inversion is another circle that does not pass through q. If $\mathrm{C}$ does pass through $\mathrm{q}$ then the image is a line parallel to the tangent of $\mathrm{C}$ at $\mathrm{q}$.
The close connection between inversion in a circle and reflection in a line also persists: reflection in a plane is a limiting case of inversion in a sphere. For this reason, inversion in a sphere is also called “reflection in a sphere”.

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Preservation of Symmetry

考虑 [3.11a]，它显示了两点 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$ 相对于线 $\mathrm{L}$ 对称。如果线中的反射 $M$ 映射到 $\tilde{a}, b$ 到 $\tilde{b}$ ，和 $L$ 到 $\tilde{L}$ ，然后清 晰的图像点 $\tilde{a}$ 和 $\tilde{b}$ 再次关于图像线对称 $\tilde{L}$. 简而言之，线中的反射相对于线“保持对称性”。
我们现在表明，圆中的反射也保持关于圆的对称性:
如果 $\mathrm{a}$ 和b对称于 $a$ 圆圈K，然后他们的图像 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$ 在任意圈内反转 $\mathrm{J}$ 再次关于图像对称 $\widetilde{\mathrm{K}}$ 的K.
要理解这一点，首先要注意，由于反演是反共形的，(3.10) 只是以下更一般结果的特例:
反演将任何一对正交圆映射到另一对正交圆。
当然，如果其中一个圆圈穿过反转中心，那么它的图像将是一条线。然而，如果我们将线仅仅看作是无限 半径的圆，那么结果是没有条件的。
对称性保持结果现在很容易理解。见 [3.11b]。由于两个虚线圆圈通过a和b正交于 $K$ ，它们在 」 中反转的 图像同样正交于 $\widetilde{K}$ ，因此它们相交于一对对称于 $\widetilde{K}$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Inversion in a Sphere

反转 $J_S$ 球体中的三维空间 $\mathrm{S}$ (半径R和中心q) 以显而易见的方式定义：如果 $p$ 是远处空间中的一个点 $\rho 从 q$ ，然后 $\mathcal{J}_S(p)$ 是同一个方向的点 $q$ 作为 $p$ ，在远处 $\left(R^2 / \rho\right)$ 从 $q$. 我们应该解释这并不是为了泛化而泛化；很 快我们就会看到这个三维反演如何为二维反演提供新的思路 $\mathbb{C}$.
无需任何额外工作，我们可以立即将上述大部分关于圆圈反演的结果推广到球体反演的结果。例如，重新 考虑 [3.3]。如果我们围绕直线旋转这个图形 (在空间中) $q$ 和 $a$ ，然后我们得到 [3.12], 其中反转圆K扫过 一个反转球体 $S$ ，直线扫过一个平面 $\Pi$. 行于该球体切平面的平面q.
出于同样的原因，如果我们围绕穿过的直线旋转图 [3.4] $[$ 和 $a$ ，那么我们发现
在球体反演下，一个不包含反演中心的球体的图像是另一个不包含反演中心的球体。
这个结果立即告诉我们在球面反转下空间中的圆会发生什么，因为这样的圆可以被认为是两个球的交点。
因此我们很容易推导出[练习]以下结果：C不通过中心 $q$ 的反转是另一个不通过 $q$ 的圆。如果C确实通过 $q$ 那么图像是一条平行于切线的线C在q.
圆中的反演与直线中的反射之间的密切联系也依然存在: 平面中的反射是球体中反演的一种极限情况。因 此，球面反转也称为“球面反射”。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Preservation of Circles

Let us examine the effect of $\mathfrak{I}_K$ on lines and then on circles. If a line $L$ passes through the centre $q$ of $K$, then clearly $J_K$ maps $L$ to itself, which we may write as $\mathcal{I}_K(L)=L$. Of course we don’t mean that each point of $L$ remains fixed, for $I_K$ interchanges the portions of $L$ interior and exterior to $K$; the only points of $L$ that remain fixed are the two places where it intersects $\mathrm{K}$.

Matters become much more interesting when we consider a general line $\mathrm{L}$ that does not pass through q. Figure [3.3] provides the surprising answer:
If a line $\mathrm{L}$ does not pass through the centre $\mathrm{q}$ of $\mathrm{K}$, then inversion in $\mathrm{K}$ maps $\mathrm{L}$ to a circle that passes through $\mathrm{q}$.
Here $b$ is an arbitrary point on $L$, while $a$ is the intersection of $L$ with the perpendicular line through q. By virtue of (3.5), $\angle \mathbf{q} \widetilde{\mathbf{a}} \widetilde{\mathrm{a}}=\angle \mathrm{qab}=(\pi / 2)$, so $\widetilde{\mathrm{b}}$ lies on the circle having the line-segment $q \tilde{a}$ as diameter. Done. Notice, incidentally, that the tangent at $q$ of the image circle is parallel to $L$.

Note that (3.7) makes no mention of the radius R of K. You may therefore be concerned that in [3.3] we have chosen $\mathrm{R}$ so that $\mathrm{K}$ does not intersect $\mathrm{L}$; what happens if $\mathrm{K}$ does intersect $\mathrm{L}$ ? Check for yourself that, while the picture looks somewhat different in this case, the geometric argument above continues to apply without any modification.

We now give a less direct, but more instructive way of understanding why (3.7) does not depend on the size of $\mathrm{K}$. We will show that if the result holds for one circle $K_1$ (radius $R_1$ ) centred at $q$, then it will hold for any other circle $K_2$ (radius $R_2$ ) centred at $q$.

Let $z$ be an arbitrary point, and let $\widetilde{z}1=\mathcal{J}{K_1}(z)$ and $\widetilde{z}2=\mathcal{J}{K_2}(z)$. Obviously $\widetilde{z}1$ and $\tilde{z}_2$ are both in the same direction from $q$ as $z$, and you can easily check that the ratio of their distances from $\mathrm{q}$ is independent of the location of $\mathrm{z}$ : $$ \left[q \tilde{z}_2\right] /\left[q \tilde{z}_1\right]=\left(R_2 / R_1\right)^2 \equiv \mathrm{k} \text {, say. } $$ Thus $$ \mathcal{J}{K_2}=\mathcal{D}{\mathrm{q}}^k \circ \mathcal{J}{\mathrm{K}1}, $$ where the “central dilation” $\mathcal{D}{\mathrm{q}}^k$ [see p. 45] is an expansion (centred at q) of the plane by a factor of $k$. It follows [exercise] that if (3.7) holds for $K_1$ then it also holds for $K_2$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Preservation of Angles

Let us begin by discussing what is meant by “preservation of angles”. In the centre of [3.8] are two curves $S_1$ and $S_2$ intersecting at a point $p$. Provided these curves are sufficiently smooth at $p$, then, as illustrated, we may draw their tangent lines $\mathrm{T}_1$ and $T_2$ at $p$. We now define the “angle between $S_1$ and $S_2$ ” at $p$ to be the acute angle $\theta$ from $T_1$ to $T_2$. Thus this angle $\theta$ has a sign attached to it: the angle between $S_2$ and $S_1$ is minus the illustrated angle between $\mathrm{S}_1$ and $\mathrm{S}_2$. If we now apply a sufficiently smooth transformation to the curves, then the image curves will again possess tangents at the image of $p$, and so there will be a well-defined angle between these image curves.

If the angle between the image curves is the same as the angle between the original curves through $\mathrm{p}$, then we say that the transformation has “preserved” the angle at $p$. It is perfectly possible that the transformation preserves the angle between one pair of curves through $p$, but not every pair through $p$. However, if the transformation does preserve the angle between every pair of curves through $\mathrm{p}$, then we say that it is conformal at $p$. We stress that this means that both the magnitude and the sign of the angles are preserved; see the right of [3.8]. If every angle at $p$ is instead mapped to an angle of equal magnitude but opposite sign, then we say that the mapping is anticonformal at p; see the left of [3.8]. If the mapping is conformal at every point in the region where it is defined, then we call it a conformal mapping; if it is instead anticonformal at every point, then we call it an anticonformal mapping. Finally, if a mapping is known to preserve the magnitude of angles, but we are unable to say whether or not it preserves their sense, then we call it an isogonal mapping.

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Preservation of Circles

让我们检查一下效果 $J_K$ 在线上，然后在圆圈上。如果一条线 $L$ 穿过中心 $q$ 的 $K$ ，那么很明显 $J_K$ 地图 $L$ 对它 自己，我们可以写成 $\mathcal{I}_K(L)=L$. 当然我们并不是说每一点 $L$ 保持不变，因为 $I_K$ 互换的部分 $L$ 内部和外 部 $K ;$ 唯一的要点 $L$ 保持固定的是它相交的两个地方 $K$.
当我们考虑一条总路线时，事情就变得有趣多了L不通过 q。图 [3.3] 提供了令人惊讶的答案: 如果一条线L不通过中心q的K， 然后反演K地图L到一个穿过的圆q.
这里 $b$ 是一个任意点 $L$ ，尽管 $a$ 是交集 $L$ 与通过 $q$ 的垂直线。凭借 (3.5)， $\angle \mathbf{q a ̃} \tilde{a}=\angle \mathrm{qab}=(\pi / 2)$ ，所 以 $\tilde{b}$ 位于具有线段的圆上 $q \tilde{a}$ 作为直径。完毕。顺便注意，切线位于 $q$ 像圈的平行于 $L$.
注意 (3.7) 没有提到 $K$ 的半径 $R$ 。因此你可能会担心在 [3.3] 中我们选择了 $\mathrm{R}$ 以便 $K$ 不相交 $L$; 如果会发生 什么K相交L? 自己检查一下，虽然在这种情况下图片看起来有些不同，但上面的几何论证继续适用而无 需任何修改。
我们现在给出一种不太直接但更有启发性的方式来理解为什么 (3.7) 不依赖于 $\mathrm{K}$. 我们将证明，如果结果适
让 $z$ 是一个任意点，让 $\tilde{z} 1=\mathcal{J} K_1(z)$ 和 $\tilde{z} 2=\mathcal{J} K_2(z)$. 明显地 $\tilde{z} 1$ 和 $\tilde{z}_2$ 都在同一个方向 $q$ 作为 $z$ ，你可 以很容易地检查它们与 $q$ 与位置无关z :
$$
\left[q \tilde{z}_2\right] /\left[q \tilde{z}_1\right]=\left(R_2 / R_1\right)^2 \equiv \mathrm{k}, \text { say }
$$
因此
$$
\mathcal{J} K_2=\mathcal{D} \mathrm{q}^k \circ \mathcal{J} K 1
$$
“中心扩张”在哪里 $\mathcal{D} \mathrm{q}^k$ [见第 45] 是平面的扩展 (以 q 为中心) $k$. 它遵循 [练习] 如果 (3.7) 成立 $K_1$ 那么它 也适用于 $K_2$.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Preservation of Angles

让我们首先讨论“角度保持”的含义。[3.8] 的中心是两条曲线小号1和小号2相交于一点p. 只要这些曲线在p，然后，如图所示，我们可以画出它们的切线吨1和吨2在p. 我们现在定义“之间的角度小号1和小号2“ 在p是锐角我从吨1到吨2. 因此这个角度我附有一个标志：之间的角度小号2和小号1减去图示的夹角小号1和小号2. 如果我们现在对曲线应用足够平滑的变换，那么图像曲线将再次在图像处具有切线p, 因此这些图像曲线之间将有一个明确定义的角度。

如果图像曲线之间的角度与原始曲线之间的角度相同p，然后我们说变换“保留”了角度p. 完全有可能变换保留一对曲线之间的角度p，但不是每一对通过p. 但是，如果变换确实保留了每对曲线之间的角度p, 那么我们说它是共形的p. 我们强调这意味着角度的大小和符号都被保留；见[3.8]右边。如果每个角度都在p相反映射到大小相等但符号相反的角度，那么我们说映射在 p 处是反共形的；见[3.8]的左边。如果映射在它定义的区域中的每个点都是共形的，那么我们称它为共形映射；如果它在每一点都是反共形的，那么我们称它为反共形映射。最后，如果已知映射可以保持角度的大小，但我们无法说它是否保持角度的意义，那么我们称它为等角映射。

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广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
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如果你也在 怎样代写复分析Complex function这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写复分析Complex function方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写复分析Complex function代写方面经验极为丰富，各种代写复分析Complex function相关的作业也就用不着说。

我们提供的复分析Complex function及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Approximating a Power Series with a Polynomial

Implicit in the definition of convergence is a simple but very important fact: if $P(a)$ converges, then its value can be approximated by the partial sum $\mathrm{P}{\mathrm{m}}(\mathrm{a})$, and by choosing a sufficiently large value of $m$ we can make the approximation as accurate as we wish. Combining this observation with (2.11), At each point $\mathrm{z}$ in the disc of convergence, $\mathrm{P}(\mathrm{z})$ can be approximated with arbitrarily high precision by a polynomial $\mathrm{P}{\mathrm{m}}(\mathrm{z})$ of sufficiently high degree.
For simplicity’s sake, let us investigate this further in the case that $P(z)$ is centred at the origin. The error $E_m(z)$ at $z$ associated with the approximation $P_m(z)$ can be defined as the distance $E_m(z)=\left|P(z)-P_m(z)\right|$ between the exact answer and the approximation. For a fixed value of $m$, the error $E_m(z)$ will vary as $z$ moves around in the disc of convergence. Clearly, since $E_m(0)=0$, the error will be extremely small if $z$ is close to the origin, but what if $z$ approaches the circle of convergence? The answer depends on the particular power series, but it can happen that the error becomes enormous! [See Ex. 12.] This does not contradict the above result: for any fixed $z$, no matter how close to the circle of convergence, the error $\mathrm{E}_m(z)$ will become arbitrarily small as $m$ tends to infinity.

This problem is avoided if we restrict $z$ to the disc $|z| \leqslant r$, where $r<R$, because this prevents $z$ from getting arbitrarily close to the circle of convergence, $|z|=R$. In attempting to approximate $P(z)$ within this disc, it turns out that we can do the following. We first decide on the maximum error (say $\epsilon$ ) that we are willing to put up with, then choose (once and for all) an approximating polynomial $\mathrm{P}_{\mathrm{m}}(z)$ of sufficiently high degree that the error is smaller than $\epsilon$ throughout the disc. That is, throughout the disc, the approximating point $P_m(z)$ lies less than $\epsilon$ away from the true point, $\mathrm{P}(z)$. One describes this by saying that $\mathrm{P}(z)$ is uniformly convergent on this disc:
If $\mathrm{P}(z)$ has disc of convergence $|z|<\mathrm{R}$, then $\mathrm{P}(z)$ is uniformly convergent on the closed disc $|z| \leqslant r$, where $r<R$.
Although we may not have uniform convergence on the whole disc of convergence, the above result shows that this is really a technicality: we do have uniform convergence on a disc that almost fills the complete disc of convergence, say $\mathrm{r}=(0.999999999) \mathrm{R}$.
To verify (2.12), first do Ex. 12, then have a good look at (2.9).

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Uniqueness

If a complex function can be expressed as a power series, then it can only be done so in one way-the power series is unique. This is an immediate consequence of the Identity Theorem:
If
$$
\mathrm{c}0+\mathrm{c}_1 z+\mathrm{c}_2 z^2+\mathrm{c}_3 z^3+\cdots=\mathrm{d}_0+\mathrm{d}_1 z+\mathrm{d}_2 z^2+\mathrm{d}_3 z^3+\cdots $$ for all $z$ in a neighbourhood (no matter how small) of 0 , then the power series are identical: $\mathrm{c}{\mathrm{j}}=\mathrm{d}_{\mathbf{j}}$.
Putting $z=0$ yields $c_0=\mathrm{d}_0$, so they may be cancelled from both sides. Dividing by $z$ and again putting $z=0$ then yields $c_1=d_1$, and so on. [Although this was easy, Ex. 13 shows that it is actually rather remarkable.] The result can be strengthened considerably: If the power series merely agree along a segment of curve (no matter how small) through 0, or if they agree at every point of an infinite sequence of points that converges to 0, then the series are identical. The verification is essentially the same, only instead of putting $z=0$, we now take the limit as $z$ approaches 0 , either along the segment of curve or through the sequence of points.

We can perhaps make greater intuitive sense of these results if we first recall that a power series can be approximated with arbitrarily high precision by a polynomial of sufficiently high degree. Given two points in the plane (no matter how close together) there is a unique line passing through them. Thinking in terms of a graph $y=f(x)$, this says that a polynomial of degree 1 , say $f(x)=c_0+c_1 x$, is uniquely determined by the images of any two points, no matter how close together. Likewise, in the case of degree 2, if we are given three points (no matter how close together), there is only one parabolic graph $y=f(x)=c_0+c_1 x+c_2 x^2$ that can be threaded through them. This idea easily extends to complex functions: there is one, and only one, complex polynomial of degree $n$ that maps a given set of $(n+1)$ points to a given set of $(n+1)$ image points. The above result may therefore be thought of as the limiting case in which the number of known points (together with their known image points) tends to infinity.

Earlier we alluded to a sense in which $h(z)=1 /\left(1+z^2\right)$ is the only complex function that agrees with the real function $H(x)=1 /\left(1+x^2\right)$ on the real line. Yet clearly we can easily write down infinitely many complex functions that agree with $\mathrm{H}(x)$ in this way. For example,
$$
g(z)=g(x+i y)=\frac{\cos \left[x^2 y\right]+i \sin \left[y^2\right]}{e^y+x^2 \ln \left(e+y^4\right)}
$$
Then in what sense can $h(z)$ be considered the unique generalization of $\mathrm{H}(\mathrm{x})$ ?
We already know that $h(z)$ can be expressed as the power series $\sum_{j=0}^{\infty}(-1)^j z^{2 j}$, and this fact yields [exercise] a provisional answer: $h(z)$ is the only complex function that (i) agrees with $\mathrm{H}(\mathrm{x})$ on the real axis, and (ii) can be expressed as a power series in $z$. This still does not completely capture the sense in which $h(z)$ is unique, but it’s a start.

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Approximating a Power Series with a Polynomial

收敛定义中隐含了一个简单但非常重要的事实: 如果 $P(a)$ 收敛，那么它的值可以用部分和来近似 $\operatorname{Pm}(\mathrm{a})$ ，并通过选择足够大的值 $m$ 我们可以使近似值尽可能准确。将此观察结果与 (2.11) 相结合，在 每个点 $z$ 在会聚圆盘中， $\mathrm{P}(\mathrm{z})$ 可以通过多项式以任意高精度近似 $\operatorname{Pm}(\mathrm{z})$ 足够高的程度。
为了简单起见，让我们在以下情况下进一步调查 $P(z)$ 以原点为中心。错误 $E_m(z)$ 在 $z$ 与近似相关 $P_m(z)$ 可以定义为距离 $E_m(z)=\left|P(z)-P_m(z)\right|$ 在准确答案和近似值之间。对于固定值 $m$ ，错误 $E_m(z)$ 会有所不同 $z$ 在会聚圆盘中四处移动。显然，因为 $E_m(0)=0$, 如果 $z$ 接近原点，但如果 $z$ 接近收 敛圆? 答案取决于特定的帋级数，但误差可能会变得很大! [见例。12.] 这与上述结果并不矛盾：对于任 何固定的 $z$ ，无论收敛圆有多接近，误差 $\mathrm{E}m(z)$ 将变得任意小 $m$ 趋于无穷大。 如果我们限制这个问题就可以避免 $z$ 到光盘 $|z| \leqslant r$ ，在哪里 $r{\mathrm{m}}(z)$ 程度足够高，误差小于 $\epsilon$ 整个 光盘。即，在整个圆盘中，逼近点 $P_m(z)$ 小于 $\epsilon$ 远离真实点， $\mathrm{P}(z)$.一个人这样描述这个 $\mathrm{P}(z)$ 在这个圆 盘上一致收敛:
如果 $\mathrm{P}(z)$ 有收敛圆盘 $|z|<\mathrm{R}$ ，然后 $\mathrm{P}(z)$ 一致收敛于闭盘 $|z| \leqslant r$ ，在哪里 $r<R$.
虽然我们可能没有在整个收敛圆盘上一致收敛，但上面的结果表明这确实是一个技术问题: 我们在几乎 填满整个收敛圆盘的圆盘上确实有一致收敛，比如说 $r=(0.999999999) R$. 要验证 (2.12)，首先做 Ex. 12，然后好好看看（2.9）。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Uniqueness

如果一个复杂的函数可以表示为幂级数，那么只能用一种方式来表示一一幂级数是唯一的。这是恒等定 理的直接结果： 如果
$$
\mathrm{c} 0+\mathrm{c}1 z+\mathrm{c}_2 z^2+\mathrm{c}_3 z^3+\cdots=\mathrm{d}_0+\mathrm{d}_1 z+\mathrm{d}_2 z^2+\mathrm{d}_3 z^3+\cdots $$ 对全部 $z$ 在 0 的邻域 (无论多小) 中，幂级数相同： $c j=\mathrm{d}{\mathbf{j}}$.
推杆 $z=0$ 产量 $c_0=\mathrm{d}0$ ，所以他们可能会从双方取消。除以 $z$ 再次投入 $z=0$ 然后产量 $c_1=d_1$ ，等 等。[虽然这很容易，Ex。13 表明它实际上相当显着。] 结果可以大大加强：如果幂级数仅沿着通过 0 的 曲线段 (无论多小) 一致，或者如果它们在无限点序列的每个点都一致收敛于0，则级数相同。验证本质 上是一样的，只是代替了put $z=0$ ，我们现在将极限作为 $z$ 沿着曲线段或通过点序列接近 0 。 如果我们首先回忆起可以通过足够高次数的多项式以任意高精度逼近幂级数，我们或许可以更直观地理 解这些结果。给定平面上的两个点（无论距离多近），有一条唯一的线穿过它们。用图表思考 $y=f(x)$ 同样，在 2 次的情况下，如果给我们三个点（无论多近），则只有一个抛物线图 $y=f(x)=c_0+c_1 x+c_2 x^2$ 可以穿过它们。这个想法很容易扩展到复杂的功能：有一个，而且只有 一个，复杂的次数多项式 $n$ 映射一组给定的 $(n+1)$ 指向一组给定的 $(n+1)$ 图像点。因此，上述结果可 以被认为是已知点 (连同它们的已知图像点) 的数量趋于无穷大的极限情况。 早些时候我们提到了一种感觉 $h(z)=1 /\left(1+z^2\right)$ 是唯一符合实函数的复函数 $H(x)=1 /\left(1+x^2\right)$ 在实线上。然而很明显，我们可以很容易地写出无限多的复杂函数，这些函数符合 $\mathrm{H}(x)$ 这样。例如， $$ g(z)=g(x+i y)=\frac{\cos \left[x^2 y\right]+i \sin \left[y^2\right]}{e^y+x^2 \ln \left(e+y^4\right)} $$ 那么在什么意义上可以 $h(z)$ 被认为是 $\mathrm{H}(\mathrm{x}) ?$ 我们已经知道 $h(z)$ 可以表示为幂级数 $\sum{j=0}^{\infty}(-1)^j z^{2 j}$ ，这个事实产生了[练习]一个临时的答案: $h(z)$ 是 (i) 同意的唯一复杂函数 $\mathrm{H}(\mathrm{x}$ ) 在实轴上，并且 (ii) 可以表示为幂级数 $z$. 这仍然没有完全捕捉到 $h(z)$ 是独一无二的，但这是一个开始。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Cassinian Curves

Consider [2.8a]. The ends of a piece of string of length $l$ are attached to two fixed points $a_1$ and $a_2$ in $\mathbb{C}$, and, with its tip at $z$, a pencil holds the string taut. The figure illustrates the well known fact that if we move the pencil (continuing to keep the string taut) it traces out an ellipse, with foci $a_1$ and $a_2$. Writing $r_{1,2}=\left|z-a_{1,2}\right|$, the equation of the ellipse is thus
$$
r_1+r_2=l
$$
By choosing different values of $l$ we obtain the illustrated family of confocal ellipses.

In 1687 Newton published his great Principia, in which he demonstrated that the planets orbit in such ellipses, with the sun at one of the foci. Seven years earlier, however, Giovanni Cassini had instead proposed that the orbits were curves for which the product of the distances is constant:
$$
r_1 \cdot r_2=\text { const. }=k^2
$$

These curves are illustrated in $[2.8 \mathrm{~b}]$; they are called Cassinian curves, and the points $a_1$ and $a_2$ are again called foci.

The following facts will become clearer in a moment, but you might like to think about them for yourself. If $k$ is small then the curve consists of two separate pieces, resembling small circles centred at $a_1$ and $a_2$. As $k$ increases, these two components of the curve become more egg shaped. When $k$ reaches a value equal to half the distance between the foci then the pointed ends of the egg shapes meet at the midpoint of the foci, producing a figure eight [shown solid]. Increasing the value of $k$ still further, the curve first resembles an hourglass, then an ellipse, and finally a circle.

Although Cassinian curves turned out to be useless as a description of planetary motion, the figure eight curve proved extremely valuable in quite another context. In 1694 it was rediscovered by James Bernoulli and christened the lemniscate-it then became the catalyst in unravelling the behaviour of the so-called elliptic integrals and elliptic functions. See Stillwell (2010) and Siegel (1969) for more on this fascinating story.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Mystery of Real Power Series

Many real functions $F(x)$ can be expressed (e.g., via Taylor’s Theorem) as power series:
$$
F(x)=\sum_{j=0}^{\infty} c_j x^j=c_0+c_1 x+c_2 x^2+c_3 x^3+\cdots,
$$
where the $c_j$ ‘s are real constants. Of course, this infinite series will normally only converge to $F(x)$ in some origin-centred interval of convergence $-R<x<R$. But how is $R$ (the radius of convergence) determined by $F(x)$ ?

It turns out that this question has a beautifully simple answer, but only if we investigate it in the complex plane. If we instead restrict ourselves to the real line-as mathematicians were forced to in the era in which such series were first employed – then the relationship between $R$ and $F(x)$ is utterly mysterious. Historically, it was precisely this mystery ${ }^1$ that led Cauchy to several of his breakthroughs in complex analysis.

To see that there is a mystery, consider the power series representations of the functions
$$
\mathrm{G}(\mathrm{x})=\frac{1}{1-x^2} \quad \text { and } \quad \mathrm{H}(x)=\frac{1}{1+x^2}
$$
The familiar infinite geometric series,
$$
\frac{1}{1-x}=\sum_{j=0}^{\infty} x^j=1+x+x^2+x^3+\cdots \quad \text { if and only if }-1<x<1
$$
immediately yields
$$
G(x)=\sum_{j=0}^{\infty} \chi^{2 j} \quad \text { and } \quad H(x)=\sum_{j=0}^{\infty}(-1)^j \chi^{2 j}
$$
where both series have the same interval of convergence, $-1<x<1$.
It is easy to understand the interval of convergence of the series for $G(x)$ if we look at the graph [2.12a]. The series becomes divergent at $x= \pm 1$ because these points are singularities of the function itself, i.e., they are places where $|\mathrm{G}(\mathrm{x})|$ becomes infinite. But if we look at $y=|\mathrm{H}(\mathrm{x})|$ in $[2.12 \mathrm{~b}]$, there seems to be no reason for the series to break down at $x= \pm 1$. Yet break down it does.

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Cassinian Curves

拉紧了绳子。该图说明了一个众所周知的事实，即如果我们移动铅笔（继续保持绳子绷坚)，它会描绘 出一个椭圆，焦点为 $a_1$ 和 $a_2$. 写作 $r_{1,2}=\left|z-a_{1,2}\right|$ ，椭圆的方程因此是
$$
r_1+r_2=l
$$
通过选择不同的值我们得到了图示的共焦椭圆族。
1687 年，牛顿出版了他伟大的《原理》，其中他证明了行星以这样的椭圆轨道运行，其中一个焦点是太 阳。然而，七年前，乔瓦尼卡西尼 (Giovanni Cassini) 提出轨道是距离乘积恒定的曲线：
$$
r_1 \cdot r_2=\text { const. }=k^2
$$
这些曲线示于 $[2.8 \mathrm{~b}]$; 它们被称为卡西尼曲线，点 $a_1$ 和 $a_2$ 再次被称为焦点。
以下事实稍后会变得更加清晰，但您可能㹷望自己考虑一下。如果 $k$ 很小，那么曲线由两个独立的部分 组成，类似于以为中心的小圆圈 $a_1$ 和 $a_2$. 作为 $k$ 增加，曲线的这两个分量变得更蛋形。什么时候 $k$ 达到等 于焦点之间距离的一半的值，然后蛋形的尖端在焦点的中点相遇，产生数字 8 [显示为实线]。增加的价 值 $k$ 更进一步，曲线先像沙漏，然后像椭圆，最后像圆。
尽管事实证明卡西尼曲线在描述行星运动时毫无用处，但在完全不同的情况下，8 字形曲线被证明是极 其有价值的。1694 年，詹姆斯·伯努利 (James Bernoulli) 重新发现了它，并将其命名为双纽线一一它随 后成为揭示所谓椭圆积分和椭圆函数行为的催化剂。有关这个引人入胜的故事的更多信息，请参阅 Stillwell (2010) 和 Siegel (1969)。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Mystery of Real Power Series

许多真实的功能 $F(x)$ 可以表示 (例如，通过泰勒定理) 为幂级数:
$$
F(x)=\sum_{j=0}^{\infty} c_j x^j=c_0+c_1 x+c_2 x^2+c_3 x^3+\cdots
$$
在哪里 $c_j$ 是实常数。当然，这个无穷级数通常只会收敛到 $F(x)$ 在一些以原点为中心的收敛区间 $-R<x<R$. 但是怎么样 $R$ (收敛半径) 由 $F(x)$ ?
事实证明，这个问题有一个非常简单的答案，但前提是我们在复平面上进行调查。如果我们改为将自己 限制在实线一一就像数学家在首次使用此类级数的时代被迫这样做的那样一一那么两者之间的关系 $R$ 和 $F(x)$ 是完全神秘的。历史上，正是这个谜团 ${ }^1$ 这导致柯西在复数分析中取得了多项突破。
要看出其中的血秘，请考虑函数的幂级数表示
$$
\mathrm{G}(\mathrm{x})=\frac{1}{1-x^2} \quad \text { and } \quad \mathrm{H}(x)=\frac{1}{1+x^2}
$$
熟手的无限几何级数，
$$
\frac{1}{1-x}=\sum_{j=0}^{\infty} x^j=1+x+x^2+x^3+\cdots \quad \text { if and only if }-1<x<1
$$
立即产生
$$
G(x)=\sum_{j=0}^{\infty} \chi^{2 j} \quad \text { and } \quad H(x)=\sum_{j=0}^{\infty}(-1)^j \chi^{2 j}
$$
其中两个系列具有相同的收敛区间， $-1<x<1$.
很容易理解级数的收敛区间为 $G(x)$ 如果我们看一下图 [2.12a]。该系列在 $x= \pm 1$ 因为这些点是函数本 身的奇点，即它们是 $|\mathrm{G}(\mathrm{x})|$ 变得无穷大。但是如果我们看 $y=|\mathrm{H}(\mathrm{x})|$ 在 $[2.12 \mathrm{~b}]$, 该系列似乎没有理由 在 $x= \pm 1$. 然而分解它确实如此。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
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