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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Math417

Posted on 2023年3月6日2023年3月6日 by statistics-lab

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现代代数是数学的一个分支，涉及各种集合（如实数、复数、矩阵和矢量空间）的一般代数结构，而不是操作其个别元素的规则和程序。

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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Integers of a Quadratic Field

In this section, a theory of factorization of integers is developed that is analogous to that which we know to hold for the rational integers. This “natural” approach is then demonstrated to lead to undesirable consequences. In the previous chapter units were defined for $\mathbb{Z}$ and $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$; they are now extended to quadratic domains in general.

A unit of $\mathbb{Z}[\sqrt{-d}]$ (resp. $\mathbb{Z}$ ) is an element whose inverse is also in $\mathbb{Z}[\sqrt{-d}]$ (resp. $\mathbb{Z}$ ).
Proposition 13.5 An integer is a unit if and only if its norm is 1.
Proof. It is clear that the units of $\mathbb{Z}$ are \pm 1 and hence the proposition holds for the units of the rational integers.

Turning to $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$, let $u$ and $v$ both be units of $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ such that $u v=1$. The multiplicity property of the norm then yields $\mathrm{N}(u) \mathrm{N}(v)=1$. Since the norm is a positive rational integer, it follows that $\mathrm{N}(u)=1$. If $d=-1$, then $u$ must be one of the four numbers $\pm 1, \pm \mathrm{i}$. If $d<-1$, then $\mathrm{N}(x+y \sqrt{d})=x^2-d y^2$ which can only be 1 if $x= \pm 1$ and $y=0$.

Conversely, \pm 1 are clearly units of $\mathbb{Z}[\sqrt{d}], d=-1,-2,-3, \ldots$ and $\pm \mathrm{i}$ are additional units of $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$

Corollary 13.6 The units of $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ are \pm 1 and $\pm \mathrm{i}$ whereas those of all other $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ with negative $d$ are \pm 1 .

Let $\alpha$ and $\beta$ be two integers such that for some unit $u, \alpha=\beta u$. Then $\alpha$ and $\beta$ are said to be associates of each other. It follows from Corollary i 3.6 that $a+b \mathrm{i},-b+a \mathrm{i}$, $-a-b \mathrm{i}$, and $b-a \mathrm{i}$ are associates in $\mathscr{I}_{-1}$ and $\alpha,-\alpha$ are each other’s associates in $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ for any $d=-1,-2,-3, \ldots$.

An element $\alpha$ of $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ is irreducible if for any factorization $\alpha=\beta \gamma$ at least one of $\beta$ and $\gamma$ is necessarily a unit. The irreducible integers of $\mathbb{Z}$ are the associates of the classical primes, and those of $\mathbb{Z}[i]$ are the Gaussian primes.

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Cancelation of Ideals

If $c \neq 0$ and $a$ and $b$ are all complex numbers, then it is well known that
$$
a c=b c \quad \Rightarrow \quad a=b
$$
This property is not to be taken for granted. For example, in $\mathbb{Z}6$ $$ 2 \cdot 3 \equiv 0 \equiv 4 \cdot 3 \text { but } 2 \not \equiv 4(\bmod 6) $$ An ideal $c$ of $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ is a cancelable ideal if for every two ideals $a$ and $\boldsymbol{b}$ $$ a c=b c \quad a=b $$ It is clear that $\langle 0\rangle$ is not cancelable since $\boldsymbol{a}\langle 0\rangle=\langle 0\rangle=\boldsymbol{b}\langle 0\rangle$ for any ideals $\boldsymbol{a}$ and $\boldsymbol{b}$. Proposition 13.32 Nonzero principal ideals are cancelable. Proof. Let $\mathfrak{a}=\left\langle\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m\right\rangle$ and $\boldsymbol{b}=\left\langle\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n\right\rangle$ be ideals and let $\langle\gamma\rangle$ be a nonzero principal ideal such that $\mathfrak{a}\langle\gamma\rangle=\mathfrak{b}\langle\gamma\rangle$ and consequently $$ \left\langle\gamma \alpha_1, \gamma \alpha_2, \ldots, \gamma \alpha_m\right\rangle=\left\langle\gamma \beta_1, \gamma \beta_2, \ldots, \gamma \beta_n\right\rangle $$ This implies that every $\gamma \alpha_i$ is a $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$-linear combination of the $\gamma \beta_j$ ‘s, say $$ \gamma \alpha_i=\sum{j=1}^n \alpha_{i j} \gamma \beta_j
$$
Cancelation by the nonzero integer $\gamma$ displays $\alpha_i$ as a $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$-linear combination of the $\beta_j$ ‘s. Hence $\mathfrak{a} \subset \mathfrak{b}$. The reverse containment is proved in a similar manner.

现代代数代考

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Integers of a Quadratic Field

在本节中，将开发一种整数因式分解理论，该理论类似于我们已知的有理整数。然后证明这种 “自然”方法会导致不良后果。在前面的章节中，单位被定义为Z和 $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$; 它们现在一般扩展到二次域。
一个单位 $\mathbb{Z}[\sqrt{-d}]$ (分别 $\mathbb{Z}$ ) 是一个元素，其逆元素也在 $\mathbb{Z}[\sqrt{-d}]$ (分别 $\mathbb{Z}$ ).
命题 13.5 一个整数是一个单位当且仅当它的范数是 1 。证明。很明显，单位是 $I p m 1$ ，因此该命题适用于有理整数的单位。
转向 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ ，让 $u$ 和 $v$ 都是单位 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 这样 $u v=1$. 然后范数的多重性产生 $\mathrm{N}(u) \mathrm{N}(v)=1$. 由于范数是正有理整数，因此可以得出 $\mathrm{N}(u)=1$. 如果 $d=-1$ ，然后 $u$ 必须是四个数字之一 $\pm 1, \pm \mathrm{i}$. 如果 $d<-1$ ，然后 $\mathrm{N}(x+y \sqrt{d})=x^2-d y^2$ 这只能是 1 如果 $x= \pm 1$ 和 $y=0$.
相反， $\backslash \mathrm{pm} 1$ 显然是单位 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}], d=-1,-2,-3, \ldots$ 和 $\pm \mathrm{i}$ 是额外的单位 $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$
推论 13.6 的单位 $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ 是 $\backslash \mathrm{pm} 1$ 和 $\pm \mathrm{i}$ 而所有其他的 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 负 $d$ 是 $\backslash \mathrm{pm} 1$ 。
让 $\alpha$ 和 $\beta$ 是两个整数，使得对于某个单位 $u, \alpha=\beta u$. 然后 $\alpha$ 和 $\beta$ 据说是彼此的同事。从推论 $\mathrm{i}$ 3.6 可以得出 $a+b \mathrm{i},-b+a \mathrm{i},-a-b \mathrm{i}$ ，和 $b-a \mathrm{i}$ 是同事在 $\mathscr{I}_{-1}$ 和 $\alpha,-\alpha$ 是彼此的同事吗 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 对于任何 $d=-1,-2,-3, \ldots$
一个元素 $\alpha$ 的 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 对于任何因式分解都是不可约的 $\alpha=\beta \gamma$ 至少其中之一 $\beta$ 和 $\gamma$ 必然是一个单位。的不可约整数 $\mathbb{Z}$ 是经典素数的伙伴，而那些 $\mathbb{Z}[i]$ 是高斯素数。

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Cancelation of Ideals

如果 $c \neq 0$ 和 $a$ 和 $b$ 都是复数，那么众所周知
$$
a c=b c \quad \Rightarrow \quad a=b
$$
此属性不应被视为理所当然。例如，在 $\mathbb{Z} 6$
$$
2 \cdot 3 \equiv 0 \equiv 4 \cdot 3 \text { but } 2 \not \equiv 4(\bmod 6)
$$
一个理想 $c$ 的 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 是一个可取消的理想如果对于每两个理想 $a$ 和 $b$
$$
a c=b c \quad a=b
$$
很清楚 $\langle 0\rangle$ 不可取消，因为 $\boldsymbol{a}\langle 0\rangle=\langle 0\rangle=\boldsymbol{b}\langle 0\rangle$ 为了任何理想 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$. 命题 13.32 非零主理想是可取消的。证明。让 $\mathfrak{a}=\left\langle\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m\right\rangle$ 和 $\boldsymbol{b}=\left\langle\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n\right\rangle$ 成为理想，让 $\langle\gamma\rangle$ 是一个非零主理想使得 $\mathfrak{a}\langle\gamma\rangle=\mathfrak{b}\langle\gamma\rangle$ 因此
$$
\left\langle\gamma \alpha_1, \gamma \alpha_2, \ldots, \gamma \alpha_m\right\rangle=\left\langle\gamma \beta_1, \gamma \beta_2, \ldots, \gamma \beta_n\right\rangle
$$
这意味着每 $\gamma \alpha_i$ 是一个 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$-的线性组合 $\gamma \beta_j$ 的，说
$$
\gamma \alpha_i=\sum j=1^n \alpha_{i j} \gamma \beta_j
$$
由非零整数取消 $\gamma$ 显示 $\alpha_i$ 作为一个 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ – 的线性组合 $\beta_j$ 的。因此 $\mathfrak{a} \subset \mathfrak{b}$. 反向包含以类似的方式证明。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|MATH355

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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Eulerian Integers and Others

It stands to reason that the same technique that was used in the resolution of the preceding proposition could also be brought to bear on such a Diophantine equation as
$$
y^3=x^2+2
$$
In such a solution the right-hand side could be factored as
$$
x^2+2=(x+\sqrt{-2})(x-\sqrt{-2})
$$
This requires a context for such expressions as $x \pm \sqrt{-2}$, one which is easily provided by defining the Eulerian integers as
$$
\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]={u+v \sqrt{-2} \mid u, v \in \mathbb{Z}}
$$
It is easily verified (Exercise I 2.5.I) that this set is closed with respect to addition, subtraction, and multiplication. See Table $\mathrm{I} 2.4$ for a list of small primes of $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$.

Let us assume for the moment that $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ has unique prime factorization and see whether or not the uniqueness of such a factorization would lead to the solution. Here
$$
x^2+2=(x+\sqrt{-2})(x-\sqrt{-2})
$$
and we must show that the two factors on the right are relatively prime in $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$.
Suppose, by way of contradiction that $\delta$ is a prime in $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ that divides both factors. Then $\delta \mid 2 \sqrt{-2}$. Since $2 \sqrt{-2}=-\sqrt{-2}^3$ is a prime power, $\delta$ must be $\pm \sqrt{-2}$. Consequently $\sqrt{-2} \mid y^3$ and hence $\sqrt{-2} \mid y$. Taking norms we conclude that $2 \mid y$. This, however, implies that $x^2 \equiv 2(\bmod 4)$, which is impossible.
Finally let us solve the equation
$$
x+\sqrt{-2}=(u+v \sqrt{-2})^3=u^3+3 u^2 v \sqrt{-2}+3 u v^2(-2)+v^3(-2) \sqrt{-2}
$$
Separation of real and imaginary parts yields $x=u\left(u^2-6 v^2\right)$ and $1=v\left(3 u^2-2 v^2\right)$. The second equation implies that $v= \pm 1$ and $u= \pm 1$. This gives $x=5$ and $y= \pm 3$ as the only solutions of Equation I 2.52 .

Of course, it is still necessary to prove that $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ does possess the unique prime factorization property, and we hasten to do so. Observe that the elements of $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ form a rectangular lattice in which each cell is a rectangle of dimensions $1 \times \sqrt{2}$ (see Figure I 2.6)

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|THE ARITHMETIC OF IDEALS

It would be natural at this point to go on and generalize the number systems of the previous chapter to the general form
$$
\mathbb{Z}[\sqrt{d}]={x+y \sqrt{d} \mid x, y \in \mathbb{Z}}
$$
where $d$ is a negative integer which is square-free. However, for pedagogical reasons, it is better to restrict attention to the systems in which $d \equiv 2,3(\bmod 4)$ and $d$ is square-free. The first seven such values of $d$ are $-1,-2,-5,-6,-10,-13$, and -14 . For these values of $d$ let
$$
\mathbb{Z}[\sqrt{d}]={x+y \sqrt{d} \mid x, y \in \mathbb{Z}}
$$
For example, when $d=-1, \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ consists of all the Gaussian integers. The elements of $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ are, of course, the Eulerian integers, e.g., $1-2 \sqrt{-2}$ and $3+5 \sqrt{-2}$. It is clear that for these $d$ ‘s that $\mathbb{Z}[\sqrt{d}] \subset \mathbb{C}$, that $\mathbb{Z}[\sqrt{d}] \not \subset \mathbb{R}$, and that $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ is a subset of $\mathbb{C}$ that is closed with respect to the operations of addition, subtraction, and multiplication. The reason for excluding the case $d \equiv 0(\bmod 4)$ is that these numbers are divisible by 4 and hence are not square-free. The reason for the exclusion of numbers that are not square-free is that when $d$ is not square-free, say $d=a p^2$, then
$$
x+y \sqrt{d}=x+p y \sqrt{a} \in \mathbb{Z}[a]
$$ so that $\mathbb{Z}[d] \subset \mathbb{Z}[a]$. Finally, the restriction $d \not \equiv 1(\bmod 4)$ is there to simplify the arguments of the main theorems. Recall that if $\alpha=x+y \sqrt{d}$ is any element of $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$, then the conjugate of $\alpha$ is $\bar{\alpha}=x-y \sqrt{d}$.

现代代数代考

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Eulerian Integers and Others

理所当然的是，用于解决前面命题的相同技术也可以应用于这样的丢番图方程:
$$
y^3=x^2+2
$$
在这样的解决方案中，右侧可以分解为
$$
x^2+2=(x+\sqrt{-2})(x-\sqrt{-2})
$$
这需要这样的表达式的上下文 $x \pm \sqrt{-2}$, 通过将欧拉整数定义为
$$
\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]=u+v \sqrt{-2} \mid u, v \in \mathbb{Z}
$$
很容易验证 (练习|2.5.1) 这个集合在加法、减法和乘法方面是封闭的。见表I2.4对于小素数的列表 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$.
让我们暂时假设 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 具有唯一的质因数分解，看看这种因式分解的唯一性是否会导致解决方案。这里
$$
x^2+2=(x+\sqrt{-2})(x-\sqrt{-2})
$$
我们必须证明右迦的两个因数互质 $[\sqrt{-2}]$.
$2 \sqrt{-2}=-\sqrt{-2}$ 是一个主要力量， $\delta$ 必须是 $\pm \sqrt{-2}$. 最后 $\sqrt{-2} \mid y^3$ 因此 $\sqrt{-2} \mid y$. 采取规范我们得出结论 $2 \mid y$. 然而，这意味着 $x^2 \equiv 2(\bmod 4)$ ，这是不可能的。最后让我们解方程
$$
x+\sqrt{-2}=(u+v \sqrt{-2})^3=u^3+3 u^2 v \sqrt{-2}+3 u v^2(-2)+v^3(-2) \sqrt{-2}
$$
分离实部和虚部得到 $x=u\left(u^2-6 v^2\right)$ 和 $1=v\left(3 u^2-2 v^2\right)$. 第二个等式意味着 $v= \pm 1$ 和 $u= \pm 1$. 这给 $x=5$ 和 $y= \pm 3$ 作为方程式 $\mid 2.52$ 的唯一解。
当然，还需要证明 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 确实具有独特的质因数分解性质，我们䞨紧这样做。观察到元素 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 形成一个矩形格子，其中每个单元格都是一个维度的矩形 $1 \times \sqrt{2}$ (见图一 2.6 )

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|THE ARITHMETIC OF IDEALS

在这一点上很自然地继续将前一章的数字系统嘅括为一般形式
$$
\mathbb{Z}[\sqrt{d}]=x+y \sqrt{d} \mid x, y \in \mathbb{Z}
$$
在哪里 $d$ 是无平方的负整数。然而，出于教学原因，最好将注意力限制在系统中 $d \equiv 2,3(\bmod 4)$ 和 $d$ 是无方的。前七个这样的值 $d$ 是 $-1,-2,-5,-6,-10,-13$, 和 -14 。对于这些值 $d$ 让
$$
\mathbb{Z}[\sqrt{d}]=x+y \sqrt{d} \mid x, y \in \mathbb{Z}
$$
例如，当 $d=-1, \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ 由所有高斯整数组成。的元素 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ 当然是欧拉整数，例如， $1-2 \sqrt{-2}$ 和 $3+5 \sqrt{-2}$. 很明显，对于这些 $d$ 就是那个 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}] \subset \mathbb{C}$ ，那 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}] \not \subset \mathbb{R}$ ，然后 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ 是一个子集 $C$ 相对于加法、减法和乘法运算是封闭的。案件排除原因
$d \equiv 0(\bmod 4)$ 是这些数字可以被 4 整除，因此不是无平方的。排除不是无平方数的数字的原因是当 $d$ 不是无方的，比如说 $d=a p^2$ ，然后
$$
x+y \sqrt{d}=x+p y \sqrt{a} \in \mathbb{Z}[a]
$$
以便 $\mathbb{Z}[d] \subset \mathbb{Z}[a]$. 最后，限制 $d \neq 1(\bmod 4)$ 是为了简化主要定理的论证。回想一下，如果 $\alpha=x+y \sqrt{d}$ 是任何元素 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$, 那么共轭的 $\alpha$ 是 $\bar{\alpha}=x-y \sqrt{d}$.

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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|The Galois Polynomial

The orders of the elements of Galois fields, defined in the previous section, possess the same properties as the orders of the complex and modular roots of unity, which are restated here for the sake of completeness. Since the proofs of Proposition 2.16, Corollary 2.17, and Propositions 5.19 and $5.20$ work in the new context verbatim, these properties are restated without proof.
Proposition 7.7 Let $\alpha$ and $\beta$ be any roots of unity in some field $F$. Then
(a) $\alpha^n=1$ if and only if $n$ is a multiple of o $(\alpha)$;
(b) $\alpha^a=\alpha^b$ if and only if $\mathrm{o}(\alpha)$ is a divisor of $a-b$ and so $1, \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^{\mathrm{o}(\alpha)-1}$ are all distinct;
(c) if o $(\alpha)=n$, then $o\left(\alpha^k\right)=n /(k, n)$;
(d) $o(\alpha \beta)=o(\alpha) o(\beta)$ if $o(\alpha)$ and $o(\beta)$ are relatively prime.
If $\alpha$ is any element of order $k$, it must clearly be a zero of the polynomial $x^m-1$ whenever $m$ is a multiple of $k$. Hence, by the first part of the above proposition, if $e$ is the least common multiple of the orders of all the nonzero elements of the Galois field $\mathrm{GF}(p, P(x))$, then these elements are all zeroes of $x^e-1$. This number $e$ is, of course, of interest, and it will eventually be demonstrated (Theorem 7.17) that $e=p^\nu-1$, where $\nu$ is the degree of $P(x)$. We begin this process by picking up where the previous section’s quotation from Galois’s paper left off.
Of the expressions [in Expression A] we shall only take the $p^\nu-1$ values obtained when $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{y-1}$ are not all zero; let $\alpha$ be one of these expressions.

If $\alpha$ is successively raised to the second, third, … powers, a sequence of quantities all of which have the same form is obtained (since every function of $\mathrm{i}$ is reducible to the ( $\nu-1)$-th degree).
Hence it must be that $\alpha^n=1$ for some $n$; let $n$ be the smallest number such that $\alpha^n=1$. Then the numbers $1, \alpha, \alpha^2, \alpha^3, \ldots, \alpha^{n-1}$ are all distinct. Next, multiply these $n$ numbers by another expression $C$ of the same form. We then obtain another new group of quantities all different from the first group as well as from each other. If the quantities of Form $7.2$ have not been exhausted yet, the powers of $\alpha$ can be multiplied by a new expression $\gamma$, and so on. Consequently the number $n$ necessarily divides the total number of quantities of Form $7.2$. Since this number is $p^v-1$, we see that $n$ divides $p^v-1$. From this it also follows that
$$
\alpha^{p^\nu-1}=1, \text { or } \quad \alpha^{p^\nu}=\alpha .
$$
Two sentences later we find the following statement:
We note here the remarkable result that all the algebraic quantities that arise in this theory are roots of equations of the form
$$
x^{P^\nu}=x .
$$

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|The Primitive Element Theorem

Toward the end of his paper Galois lets on that his purpose in constructing these new number systems was to find new contexts within which primitive roots exist and to which Gauss’s techniques, which proved so effective for the algebraic resolution of the cyclotomic equation (see Section 2.4), could be applied to produce new algebraically resolvable equations. Galois does not prove the existence of these primitive elements, contenting himself with a comment to the effect that Gauss’s proof of the existence of primitive roots modulo $p$ carries over intact to this new setting. We will not follow Gauss’s proof here and give instead a more modern, and somewhat shorter, proof.
Lemma 7.16 If $F$ is a Galois field with $f$ elements, and if $q^m$ is the largest power of the prime number $q$ that divides $f-1$, then $F$ contains an element $a$ of order $q^m$.
Proof. The polynomial $x^{(f-1) / q}-1$ has degree $(f-1) / q<f-1$, and so it follows from Proposition $6.8$ that there is a nonzero element $b \in F$ which is not a zero of this polynomial, i.e., $b^{(f-1) / q} \neq 1$. Set $a=b^{(f-1) / q^m}$. Then,
$$
a^{q^{m-1}}=b^{(f-1) / q} \neq 1
$$
while, by Proposition $7.6$ and Theorem 7.I I,
$$
a^{q^m}=b^{(f-1)}=1 .
$$
Thus, $o(a)$ divides $q^m$ but not $q^{m-1}$, whence $o(a)=q^m$.
We are ready for this chapter’s main theorem:
Theorem $7.17$ (The Primitive Element Theorem-Galois) Every Galois field has a primitive element.

现代代数代考

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|The Galois Polynomial

上一节中定义的伽罗华域元素的阶数与复数和模单位根的阶数具有相同的性质，为了完整性起见，在此重述。由于命题 2.16、推论 2.17、命题 $5.19$ 和 $5.20$ 在新的上下文中逐字工作，这些属性在没有证据的情况下被重述。
提案 $7.7$ 让 $\alpha$ 和 $\beta$ 是某个领域的任何统一根源 $F$. 然后
（一） $\alpha^n=1$ 当且仅当 $n$ 是 0 的倍数 $(\alpha)$ ；
(二) $\alpha^a=\alpha^b$ 当且仅当 $\mathrm{o}(\alpha)$ 是除数 $a-b$ 所以 $1, \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^{\mathrm{o}(\alpha)-1}$ 都是不同的；
(c) 如果 $(\alpha)=n$ ，然后 $o\left(\alpha^k\right)=n /(k, n)$;
(四) $o(\alpha \beta)=o(\alpha) o(\beta)$ 如果 $o(\alpha)$ 和 $o(\beta)$ 是相对质数。
如果 $\alpha$ 是任何顺序元素 $k$ ，它显然必须是多项式的零 $x^m-1$ 每当 $m$ 是的倍数 $k$. 因此，根据上述命题的第一部分，如果 $e$ 是伽罗华域所有非零元素阶数的最小公倍数 $\mathrm{GF}(p, P(x))$ ，那么这些元素都是零 $x^e-1$. 这个号码 $e$ 当然，这很有趣，最终将证明（定理 7.17) $e=p^\nu-1$ ，在哪里 $\nu$ 是的程度 $P(x)$. 我们从上一节引用伽罗瓦论文的地方开始这个过程。
在 [表达式 A] 的表达式中，我们将只取 $p^\nu-1$ 时获得的值 $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{y-1}$ 不全为零；让 $\alpha$ 成为这些表达之一。
如果 $\alpha$ 相继升至二、三、…..次方，得到所有具有相同形式的量的序列（因为每一个函数可以简化为（ $\nu-1)$-度）。
因此它必须是 $\alpha^n=1$ 对于一些 $n$; 让 $n$ 是最小的数字，使得 $\alpha^n=1$. 然后是数字 $1, \alpha, \alpha^2, \alpha^3, \ldots, \alpha^{n-1}$ 都是不同的。接下来，乘以这些 $n$ 另一个表达式的数字 $C$ 相同的形式。然后，我们获得了另一组新的量，这些量与第一组以及彼此都不同。如果表格的数量 $7.2$ 还没有用尽，力量 $\alpha$ 可以乘以一个新的表达式 $\gamma$ ，等等。因此数 $n$ 必然除以 Form 的数量总数 $7.2$. 由于这个数字是 $p^v-1$, 我们看到 $n$ 分裂 $p^v-1$. 由此也可知
$$
\alpha^{p^\nu-1}=1, \text { or } \quad \alpha^{p^\nu}=\alpha
$$
两句话后我们发现以下陈述:
我们注意到这里的显着结果，即该理论中出现的所有代数量都是以下形式的方程的根
$$
x^{P^\nu}=x
$$

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|The Primitive Element Theorem

在他的论文末尾，Galois 表示他构建这些新数系的目的是找到原根存在的新环境以及高斯的技术，这被证明对分圆方程的代数求解非常有效 (见第 $2.4$ 节) )，可用于产生新的代数可解方程。伽罗瓦没有证明这些本原元素的存在，他满足于评论高斯对本原根模存在的证明 $p$ 完好无损地延续到这个新设置。我们不会在这里遵循高斯的证明，而是给出一个更现代、更简短的证明。
引理 $7.16$ 如果 $F$ 是一个伽罗华域 $f$ 元素，如果 $q^m$ 是素数的最大幂 $q$ 那分开 $f-1$ ，然后 $F$ 包含一个元素 $a$ 秩序 $q^m$.
证明。多项式 $x^{(f-1) / q}-1$ 有学位 $(f-1) / q<f-1$, 所以它来自命题6.8有一个非零元素 $b \in F$ 这不是这个多项式的零，即 $b^{(f-1) / q} \neq 1$. 放 $a=b^{(f-1) / q^m}$. 然后，
$$
a^{q^{m-1}}=b^{(f-1) / q} \neq 1
$$
同时，根据命题7.6和定理 7.II，
$$
a^{q^m}=b^{(f-1)}=1 .
$$
因此， $o(a)$ 分裂 $q^m$ 但不是 $q^{m-1}$ ，从那里 $o(a)=q^m$.
我们准备好本章的主要定理:
定理7.17(原元定理-伽罗瓦) 每个伽罗华域都有一个原元。

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|MATH355

Posted on 2023年2月22日2023年2月22日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写现代代数Modern Algebra这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

现代代数是数学的一个分支，涉及各种集合（如实数、复数、矩阵和矢量空间）的一般代数结构，而不是操作其个别元素的规则和程序。

我们提供的现代代数Modern Algebra及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
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(Generalized) Linear Models 广义线性模型
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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Lagrange’s Solution of the Quartic Equation

In I77 I Lagrange wrote a lengthy treatise titled Reflexions sur la Résolution Algébrique des Equations in which he summarized what was known about solvability of equations by radicals. He also added some thoughts of his own and in fact proved several theorems that eventually did lead to the resolution of this issue by the next generation of mathematicians. It is with this contribution of Lagrange’s as well as some of its subsequent developments that most of the rest of this book is concerned.

One of the methods that Lagrange offered for the solution of quartic equations began with the seemingly innocuous observation that when the roots $r_1, r_2, r_3$, and $r_4$ are permuted (in other words, substituted for each other), the expression $r_1 r_2+r_3 r_4$ assumes only three values, namely, itself, $r_1 r_3+r_2 r_4$, and $r_1 r_4+r_2 r_3$.

For example, when the variables are interchanged by cycling them to the left, $r_1 r_2+$ $r_3 r_4$ becomes
$$
r_2 r_3+r_4 r_1=r_1 r_4+r_2 r_3
$$
If, on the other hand, only $r_1$ and $r_4$ are switched, the polynomial is transformed into
$$
r_4 r_2+r_3 r_1=r_1 r_3+r_2 r_4
$$
This fact can be used to solve the quartic in the following manner. Let $r_1, r_2, r_3$, and $r_4$ denote the four roots of the equation $x^4+a x^3+b x^2+c x+d=0$ and set $A=r_1 r_2+r_3 r_4, B=r_1 r_3+r_2 r_4$, and $C=r_1 r_4+r_2 r_3$. Clearly, $A+B+C=\sum r_1 r_2=b$.

Next,
$$
\begin{aligned}
& A B+A C+B C= \
& \left(r_1 r_2+r_3 r_4\right)\left(r_1 r_3+r_2 r_4\right)+\left(r_1 r_2+r_3 r_4\right)\left(r_1 r_4+r_2 r_3\right)+\left(r_1 r_3+r_2 r_4\right)\left(r_1 r_4+r_2 r_3\right) \
& \quad=r_1^2 r_2 r_3=\left(\sum r_1\right)\left(\sum r_1 r_2 r_3\right)-4\left(\sum r_1 r_2 r_3 r_4\right)=(-a)(-c)-4 d=a c-4 d .
\end{aligned}
$$
Finally,
$$
\begin{aligned}
A B C & =\left(r_1 r_2+r_3 r_4\right)\left(r_1 r_3+r_2 r_4\right)\left(r_1 r_4+r_2 r_3\right) \
& =r_1^3 r_2 r_3 r_4+r_1^2 r_2^2 r_3^2 \
& =r_1 r_2 r_3 r_4 r_1^2+\left(r_1 r_2 r_3\right)^2-2 r_1^2 r_2^2 r_3 r_4 \
& =d\left[\left(r_1\right)^2-2 r_1 r_2\right]+(-c)^2-2 r_1 r_2 r_3 r_4 r_1 r_2 \
& =d\left(a^2-2 b\right)+c^2-2 d b \
& =a^2 d+c^2-4 b d .
\end{aligned}
$$
These computations lead to the observation that if $r_1, r_2, r_3, r_4$ are the roots of the quartic equation
$$
x^4+a x^3+b x^2+c x+d=0,
$$
then $r_1 r_2+r_3 r_4, r_1 r_3+r_2 r_4$, and $r_1 r_4+r_2 r_3$ are the roots of the cubic equation
$$
y^3-b y^2+(a c-4 d) y-\left(a^2 d+c^2-4 b d\right)=0 .
$$

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Galois’s Construction of His Fields

The following quotation consists of the opening paragraphs of the article On the Theory of Numbers by Évariste Galois, which appeared in the June 1830 issue of the Bulletin des Sciences mathématiques. Some of the notation has been modernized for pedagogical reasons and a more faithful translation appears in Appendix D.

When it is agreed to consider as zero all the quantities which are the multiples of a given prime number $p$, and, subject to this convention, one looks for solutions to the polynomial equation $F(x)=0$, i.e., the equations that Mr. Gauss denotes by $F(x) \equiv 0$, it is customary to consider only integer solutions to these sorts of questions. Having been led by some specific researches to consider their irrational solutions, I have arrived at some results that I consider to be new.

Let there be given such an equation or congruence, $F(x)=0$, and let $p$ be the modulus. Suppose first that the congruence in question admits no rational factors, that is, there exist no three polynomials $\varphi(x), \psi(x), \chi(x)$ such that
$$
\varphi(x) \cdot \psi(x)=F(x)+p \cdot \chi(x) .
$$
In that case the congruence has no integer roots, nor any factor of smaller degree. One should therefore regard the roots of this congruence as some kind of imaginary symbols (since they do not satisfy the same questions as integers), symbols whose employment, in calculations, will often prove as useful as that of the imaginary $\sqrt{-1}$ in ordinary analysis. We are concerned here with the classification of these imaginaries and the minimization of their number. Let i denote one of the roots of the congruence $F(x)=0$, which can be supposed to have degree $\nu$.

Consider the general expression
$$
a_0+a_1 \mathrm{i}+a_2 \mathrm{i}^2+\cdots+a_{v-1} \mathrm{i}^{v-1},
$$
where $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{v-1}$ represent integers. When these numbers are assigned all their possible values, Expression A runs through $p^v$ values which possess, as I shall demonstrate, the same properties as the natural numbers in the theory of residues of powers.

现代代数代考

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Lagrange’s Solution of the Quartic Equation

在 177 年，拉格朗日写了一篇题为 Reflexions sur la Résolution Algébrique des Equations 的长篇论文，其中他总结了关于方程可解性的已知知识。他还添加了一些自己的想法，并实际上证明了几个定理，这些定理最终确实导致了下一代数学家解决了这个问题。本书其余部分主要关注拉格朗日的这一贡献及其后续发展。
拉格朗日为求解四次方程提供的一种方法始于看似无关坚要的观察，即当根 $r_1, r_2, r_3$ ，和 $r_4$ 被置换（换句话说，相互替换)，表达式 $r_1 r_2+r_3 r_4$ 只假设三个值，即它自己， $r_1 r_3+r_2 r_4$ ，和 $r_1 r_4+r_2 r_3$.
例如，当通过将变量循环到左侧来交换变量时， $r_1 r_2+r_3 r_4$ 成为
$$
r_2 r_3+r_4 r_1=r_1 r_4+r_2 r_3
$$
另一方面，如果只有 $r_1$ 和 $r_4$ 被切换，多项式被转化为
$$
r_4 r_2+r_3 r_1=r_1 r_3+r_2 r_4
$$
该事实可用于以下列方式求解四次。让 $r_1, r_2, r_3$ ，和 $r_4$ 表示方程的四个根 $x^4+a x^3+b x^2+c x+d=0$ 并设置 $A=r_1 r_2+r_3 r_4, B=r_1 r_3+r_2 r_4$ ，和 $C=r_1 r_4+r_2 r_3$. 清楚地， $A+B+C=\sum r_1 r_2=b$.
下一个，
$$
A B+A C+B C=\quad\left(r_1 r_2+r_3 r_4\right)\left(r_1 r_3+r_2 r_4\right)+\left(r_1 r_2+r_3 r_4\right)\left(r_1 r_4+r_2 r_3\right)+\left(r_1 r_3\right.
$$
最后，
$$
A B C=\left(r_1 r_2+r_3 r_4\right)\left(r_1 r_3+r_2 r_4\right)\left(r_1 r_4+r_2 r_3\right) \quad=r_1^3 r_2 r_3 r_4+r_1^2 r_2^2 r_3^2=r_1 r_2 r_3 r_4 r_1^2
$$
这些计算得出的结论是，如果 $r_1, r_2, r_3, r_4$ 是四次方程的根
$$
x^4+a x^3+b x^2+c x+d=0,
$$
然后 $r_1 r_2+r_3 r_4, r_1 r_3+r_2 r_4$ ，和 $r_1 r_4+r_2 r_3$ 是三次方程的根
$$
y^3-b y^2+(a c-4 d) y-\left(a^2 d+c^2-4 b d\right)=0
$$

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Galois’s Construction of His Fields

以下引文包含 Évariste Galois 发表在 1830 年 6 月号 Bulletin des Sciences mathématiques 上的关于数论的文章的开头段落。出于教学原因，一些符号已经现代化，附录 D 中提供了更忠实的翻译。
当同意将给定素数的倍数的所有数量视为零时 $p$, 并且，根据这一约定，人们寻找多项式方程的解 $F(x)=0$ ，即高斯先生表示的方程 $F(x) \equiv 0$ ，习惯上只考虑这些问题的整数解。在一些具体研究的引导下，我考虑了他们的非理性解决方案，我得出了一些我认为是新的结果。
让我们给出这样一个等式或同余式， $F(x)=0$ ，然后让 $p$ 是模数。首先假设所讨论的同余不包含有理数，即不存在三个多项式 $\varphi(x), \psi(x), \chi(x)$ 这样
$$
\varphi(x) \cdot \psi(x)=F(x)+p \cdot \chi(x) .
$$
在那种情况下，同余没有整数根，也没有任何较小程度的因素。因此，人们应该将这种全等的根视为某种虚数符号 (因为它们不满足与整数相同的问题)，这些符号在计算中的使用通常与虚数一样有用 $\sqrt{-1}$ 在普通分析中。我们在这里关心的是这些虚数的分类和它们数量的最小化。让我表示全等的根源之一 $F(x)=0$ ，应该有度 $\nu$.
考虑一般表达式
$$
a_0+a_1 \mathrm{i}+a_2 \mathrm{i}^2+\cdots+a_{v-1} \mathrm{i}^{v-1},
$$
在哪里 $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{v-1}$ 代表整数。当这些数字被赋予所有可能的值时，表达式 A 贯穿 $p^v$ 正如我将要证明的那样，这些值具有与幂余数理论中的自然数相同的性质。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Math417

Posted on 2023年2月7日2023年2月7日 by statistics-lab

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抽象代数是代数的一组高级课题，涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写抽象代数abstract algebra方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写抽象代数abstract algebra代写方面经验极为丰富，各种代写抽象代数abstract algebra相关的作业也就用不着说。

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Useful CAS Commands

In linear algebra, the theorem that every vector space has a basis gives us a standard method to describe elements in vector spaces, especially finite dimensional ones: (1) find a basis $\mathcal{B}$ of the vector space; (2) express a given vector by its coordinates with respect to $\mathcal{B}$. No corresponding theorem exists in group theory. Hence, one of the initial challenging questions of group theory is how to describe a group and its elements in a standard way. This is particularly important for implementing computational packages that study groups. There exist a few common methods and we will introduce them in parallel with the development of needed theory.

In Maple version 16 or below, the command with(group); accesses the appropriate package. In Maple version 17 or higher, the group package was deprecated in favor of with(GroupTheory);. The help files, whether provided by the program or those available online ${ }^2$ provide a list of commands and capabilities. Doing a search on “GroupTheory” locates the help file for the GroupTheory package. The student might find useful the LinearAlgebra package or, to support Example 1.2.11, the linear algebra package for modular arithmetic.

Consider the following lines of Maple code, in which the left justified text is the code and the centered text is the printed result of the code.

The first line makes active the linear algebra package for modular arithmetic. The next two code lines define matrices $A$ and $B$ respectively, both defined in $\mathbb{Z} / 11 \mathbb{Z}$. The next three lines calculate respective the determinant of $A$, the produce of $A B$, and the power $A^5$, always assuming we work in $\mathbb{Z} / 11 \mathbb{Z}$.
For SAGE, a browser search for “SageMath groups” will bring up references manuals and tutorials for group theory. Perhaps the gentlest introductory tutorial is entitled “Group theory and Sage.” ${ }^3$ We show here below the commands and approximate look for the same calculations in the console for SageMath for those we did above in Maple.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Cyclic Groups

The process of simply considering the successive powers of an element gives rise to an important class of groups.
Definition 1.3.11
A group $G$ is called cyclic if there exists an element $x \in G$ such that every element of $g \in G$ we have $g=x^k$ for some $k \in \mathbb{Z}$. The element $x$ is called a generator of $G$.

For example, we notice that for all integers $n \geq 2$, the group $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ (with addition as the operation) is a cyclic group because all elements of $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ are multiples of $\overline{1}$. As we saw in Section A.6, one of the main differences with usual arithmetic is that $n \cdot \overline{1}=\overline{0}$. The intuitive sense that the powers (or multiples) of an element “cycle back” motivate the terminology of cyclic group.

Remark 1.3.12. We point out that a finite group $G$ is cyclic if and only if there exists an element $g \in G$ such that $|g|=|G|$.
$\triangle$
Cyclic groups do not have to be finite though. The group $(\mathbb{Z},+)$ is also cyclic because every element in $\mathbb{Z}$ is obtained by $n \cdot 1$ with $n \in \mathbb{Z}$.
Example 1.3.13. Consider the group $U(14)$. The elements are
$$
U(14)={\overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{9}, \overline{11}, \overline{13}} .
$$
This group is cyclic because, for example, the powers of $\overline{3}$ gives all the elements of $U(14)$ :
\begin{tabular}{c|cccccc}
$i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \
\hline$\overline{3}^i$ & $\overline{3}$ & $\overline{9}$ & $\overline{13}$ & $\overline{11}$ & $\overline{5}$ & $\overline{1}$
\end{tabular}
We note that the powers of $\overline{3}$ will then cycle around, because $\overline{3}^7=\overline{3}^6 \cdot \overline{3}=\overline{3}$, then $\overline{3}^8=\overline{9}$, and so on.

Example 1.3.14. At first glance, someone might think that to prove that a group is not cyclic we would need to calculate the order of every element. If no element has the same order as the cardinality of the group, only then we could say that the group is not cyclic. However, by an application of the theorems in this section, we may be able to conclude the group is not cyclic with much less work.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Useful CAS Commands

在线性代数中，每个向量空间都有一个基的定理给了我们一个标准的方法来描述向量空间中的元素，尤其是有限维的：（1）找到一个基础 $\mathcal{B}$ 向量空间； (2) 用坐标表示一个给定的向量 $\mathcal{B}$. 群论中不存在相应的定理。因此，群论最初的挑战性问题之一是如何以标准方式描述群及其元素。这对于实施研究小组的计算包尤为重要。存在一些常用的方法，我们将在发展所需理论的同时介绍它们。
在 Maple 16 或以下版本中，命令 with(group); 访问适当的包。在 Maple 版本 17 或更高版本中，不推荐使用 group 包，取而代之的是 with(GroupTheory);。帮助文件，无论是程序提供的还是在线提供的2提供命令和功能列表。搜索“GroupTheory”可以找到 GroupTheory 包的帮助文件。学生可能会发现有用的 LinearAlgebra 包，或者，为了支持示例 1.2.11，用于模块化算术的线性代数包。
考虑以下 Maple 代码行，其中左对齐文本是代码，居中文本是代码的打印结果。
第一行激活用于模运算的线性代数包。接下来的两行代码定义了矩阵 $A$ 和 $B$ 分别定义在 $\mathbb{Z} / 11 \mathbb{Z}$. 接下来的三行计算各自的行列式 $A$, 的产物 $A B$, 和功率 $A^5$ ，总是假设我们在 $\mathbb{Z} / 11 \mathbb{Z}$. 对于 SAGE，在浏览器中搜索“SageMath groups”将调出群论的参考手册和教程。也许最温和的介绍性教程的标题是”群论与 Sage”。 ${ }^3$ 我们在下面显示了命令，并在 SageMath 的控制台中近似查找了与我们上面在 Maple 中所做的计算相同的计算。

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Cyclic Groups

简单地考虑一个元素的连续幂的过程产生了一类重要的群。
定义 $1.3 .11$
A组 $G$ 如果存在一个元素，则称为循环 $x \in G$ 这样每一个元素 $g \in G$ 我们有 $g=x^k$ 对于一些 $k \in \mathbb{Z}$. 元素 $x$ 称为生成器 $G$.
例如，我们注意到对于所有整数 $n \geq 2$ ，群组 $/ Z / n \mathbb{Z}$ (以加法为操作) 是一个循环群，因为所有元素 $Z / n \mathbb{Z}$ 是的倍数 $\overline{1}$. 正如我们在第 A.6 节中看到的，与通常算术的主要区别之一是 $n \cdot \overline{1}=\overline{0}$. 元素循环返回”的幂 (或倍数) 的直觉激发了循环群的术语。
备注 1.3.12。我们指出有限群 $G$ 是循环的当且仅当存在一个元素 $g \in G$ 这样 $|g|=|G|$. $\triangle$
循环群不一定是有限的。群组 $(\mathbb{Z},+)$ 也是循环的，因为中的每个元素 $\mathbb{Z}$ 通过获得 $n \cdot 1$ 和 $n \in \mathbb{Z}$
示例 1.3.13。考虑组 $U(14)$. 元素是
$$
U(14)=\overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{9}, \overline{11}, \overline{13} .
$$
这个群是循环的，因为，例如，权力 $\overline{3}$ 给出所有元素 $U(14)$ :
我们注意到，权力 $\overline{3}$ 然后会循环，因为 $\overline{3}^7=\overline{3}^6 \cdot \overline{3}=\overline{3}$ ，然后 ${ }^{-8}=\overline{9}$ ，等等。
示例 1.3.14。乍一看，有人可能认为要证明一个群不是循环的，我们需要计算每个元素的顺序。如果没有元素的阶与群的基数相同，那么我们只能说群不是循环的。然而，通过应用本节中的定理，我们可以用更少的工作得出该群不是循环群的结论。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

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回归分析代写

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|MATH355

Posted on 2023年2月7日2023年2月7日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写抽象代数abstract algebra这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

抽象代数是代数的一组高级课题，涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。

我们提供的抽象代数abstract algebra及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|A Few Examples

It is important to develop a robust list of examples of groups that show the breadth and restriction of the group axioms.

Example 1.2.4. The pairs $(\mathbb{Z},+),(\mathbb{Q},+),(\mathbb{R},+)$, and $(\mathbb{C},+)$ are groups. In each case, addition is associative and has 0 as the identity element. For a given element $a$, the additive inverse is $-a$.

Example 1.2.5. The pairs $\left(\mathbb{Q}^, \times\right),\left(\mathbb{R}^, \times\right)$, and $\left(\mathbb{C}^, \times\right)$ are groups. Recall that $A^$ mean $A-{0}$ when $A$ is a set that includes 0 . In each group, 1 is the multiplicative identity, and, for a given element $a$, the (multiplicative) inverse is $\frac{1}{a}$. Note that $\left(\mathbb{Z}^*, \times\right)$ is not a group because it fails the inverse axiom. For example, there is no nonzero integer $b$ such that $2 b=1$.

On the other hand $\left(\mathbb{Q}^{>0}, \times\right)$ and $\left(\mathbb{R}^{>0}, \times\right)$ are groups. Multiplication is a binary operation on $\mathbb{Q}^{>0}$ and on $\mathbb{R}^{>0}$, and it satisfies all the axioms.

Example 1.2.6. A vector space $V$ is a group under vector addition with $\overrightarrow{0}$ as the identity. The (additive) inverse of a vector $\vec{v}$ is $-\vec{v}$. Note that the scalar multiplication of a vector spaces has no bearing on the group properties of vector addition.

Example 1.2.7. In Section A.6, we introduced modular arithmetic. Recall that $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ represents the set of congruence classes modulo $n$ and that $U(n)$ is the subset of $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ of elements with multiplicative inverses. Given any integer $n \geq 2$, both $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ and $(U(n), \times)$ are groups. The element $\overline{0}$ is the identity in $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ and the element $\overline{1}$ is the identity $U(n)$.

The tables for addition in (A.13) and (A.14) are the Cayley tables for $(\mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z},+)$ and $(\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z},+)$. By ignoring the column and row for $\overline{0}$ in the multiplication table in Equation (A.13), we obtain the Cayley table for $(U(5), \times)$.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Notation for Arbitrary Groups

In group theory, we will regularly discuss the properties of an arbitrary group. In this case, instead of writing the operation as $a * b$, where $*$ represents some unspecified binary operation, it is common to write the generic group operation as $a b$. With this convention of notation, it is also common to indicate the identity in an arbitrary group as 1 instead of $e$. In this chapter, however, we will continue to write $e$ for the arbitrary group identity in order to avoid confusion. Finally, with arbitrary groups, we denote the inverse of an element $a$ as $a^{-1}$.

This shorthand of notation should not surprise us too much. We already developed a similar habit with vector spaces. When discussing an arbitrary vector space, we regularly say, “Let $V$ be a vector space.” So though, in a strict sense, $V$ is only the set of the vector space, we implicitly understand that part of the information of a vector space is the addition of vectors (some operation usually denoted $+$ ) and the scalar multiplication of vectors.

By a similar abuse of language, we often refer, for example, to “the dihedral group $D_n$,” as opposed to “the dihedral group $\left(D_n, \circ\right)$.” Similarly, when we talk about “the group $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$,” we mean $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ because $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}, \times)$ is not a group. And when we refer to “the group $U(n)$,” we mean the group $(U(n), \times)$. We will explicitly list the pair of set and binary operation if there could be confusion as to which binary operation the group refers. Furthermore, as we already saw with $D_n$, even if a group is equipped with a natural operation, we often just write $a b$ to indicate that operation. Following the analogy with multiplication, in a group $G$, if $a \in G$ and $k$ is a positive integer, by $a^k$ we mean
$$
a^k \stackrel{\text { def }}{=} \overbrace{a a \cdots a}^{k \text { times }} .
$$
We extend the power notation so that $a^0=e$ and $a^{-k}=\left(a^{-1}\right)^k$, for any positive integer $k$.

Groups that involve addition give an exception to the above habit of notation. In that case, we always write $a+b$ for the operation, $-a$ for the inverse, and, if $k$ is a positive integer,
$$
k \cdot a \stackrel{\text { def }}{=} \overbrace{a+a+\cdots+a}^{k \text { times }} .
$$
We refer to $k \cdot a$ as a multiple of $a$ instead of as a power. Again, we extend the notation to nonpositive “multiples” just as above with powers.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|A Few Examples

重要的是要开发一个强大的群示例列表，以显示群公理的广度和哏制。
示例 1.2.4。对 $(\mathbb{Z},+),(\mathbb{Q},+),(\mathbb{R},+)$ ，和 $(\mathbb{C},+)$ 是团体。在每种情况下，加法都是结合的，并且以 0 作为标识元素。对于给定的元素 $a$ ，加法逆是 $-a$.
示例 1.2.5。对 $\left(\mathbb{Q}^{\prime} \times\right),\left(\mathbb{R}^{\prime} \times\right)$ ，和 $\left(\mathbb{C}^{\prime} \times\right)$ 是团体。回想起那个一个^意思是 $A-0$ 什么时候 $A$ 是包含 0 的集合。在每个组中， 1 是乘法恒等式，并且对于给定元素 $a$ ，(乘法) 逆是 $\frac{1}{a}$. 注意 $\left(\mathbb{Z}^*, \times\right)$ 不是一个群，因为它不符合逆公理。例如，没有非零整数 $b$ 这样 $2 b=1$.
另一方面 $\left(\mathbb{Q}^{>0}, \times\right)$ 和 $\left(\mathbb{R}^{>0}, \times\right)$ 是团体。乘法是二元运算 $\mathbb{Q}^{>0}$ 等等 $\mathbb{R}^{>0}$ ，它满足所有公理。
示例 1.2.6。向量空间 $V$ 是矢量加法下的一组 $\overrightarrow{0}$ 作为身份。向量的 (加法) 逆 $\vec{v}$ 是 $-\vec{v}$. 请注意，向量空间的标量乘法与向量加法的群性质无关。
示例 1.2.7。在第 A.6 节中，我们介绍了模运算。回想起那个 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 表示模同余类的集合 $n$ 然后 $U(n)$ 是的子集 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 具有乘法逆元的元素。给定任何整数 $n \geq 2$ ，两个都 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ 和 $(U(n), \times)$ 是团体。元素 $\overline{0}$ 身份是在 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 和元素 $\overline{1}$ 是身份 $U(n)$.
(A.13) 和 (A.14) 中的加法表是 Cayley 表 $(\mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z},+)$ 和 $(\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z},+)$. 通过忽略列和行 $\overline{0}$ 在等式
(A.13）的乘法表中，我们得到屾莱表为 $(U(5), \times)$.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Notation for Arbitrary Groups

在群论中，我们会定期讨论任意群的性质。在这种情况下，而不是将操作写成 $a * b$ ，在哪里* 表示一些末指定的二元运算，通常将通用组运算写为 $a b$. 使用这种符号约定，将任意组中的身份表示为 1 而不是 $e$. 然而，在本章中，我们将继续写 $e$ 为的是任意组标识，以免混淆。最后，对于任意组，我们表示元素的逆 $a$ 作为 $a^{-1}$.
这种符号的简写不应让我们感到太惊讶。我们已经对向量空间养成了类似的习惯。在讨论任意向量空间时，我们经常说，“让 $V$ 成为向量空间。”所以虽然，从严格意义上说， $V$ 只是向量空间的集合，我们隐含地理解向量空间的部分信息是向量的加法 (一些操作通常表示为 $+$ ) 和向量的标量乘法。
通过类似的语言滥用，我们经常提到，例如，“二面角群 $D_n$ ”，而不是“二面角群 $\left(D_n, 0\right)$ ” 同样，当我们谈论“群体 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ ，“我们的意思是 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ 因为 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}, \times)$ 不是一个组。当我们提到“组 $U(n)^{\prime \prime}$ ，我们指的是群 $(U(n), \times)$. 如果可能混淆组指的是哪个二元运算，我们将明确列出这对集合和二元运算。此外，正如我们已经看到的 $D_n$ ，即使一个组配备了一个自然的操作，我们往往只是写 $a b$ 来表示那个操作。按照与乘法的类比，在一个群中 $G$ ，如果 $a \in G$ 和 $k$ 是一个正整数，由 $a^k$ 我们的意思是
$$
a^k \stackrel{\text { def }}{=} \overbrace{a a \cdots a}^{k \text { times }} .
$$
我们扩展幂符号，以便 $a^0=e$ 和 $a^{-k}=\left(a^{-1}\right)^k$ ，对于任何正整数 $k$.
涉及加法的群给出了上述记法习惯的例外。在那种情况下，我们总是写 $a+b$ 对于操作， $-a$ 反过来，如果 $k$ 是正整数，
$$
k \cdot a \stackrel{\text { def }}{=} \overbrace{a+a+\cdots+a}^{k \text { times }} .
$$
我们指的是 $k \cdot a$ 作为的倍数 $a$ 而不是作为一种力量。同样，我们将符号扩展到非正“倍数”，就像上面的幂一样。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|MATH1014

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|MATH1014

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Abstract Notation

We introduce a notation that is briefer and aligns with the abstract notation that we will regularly use in group theory.

Having fixed an integer $n \geq 3$, denote by $r$ the rotation of angle $2 \pi / n$, by $s$ the reflection through the $x$-axis, and by $\iota$ the identity function. In other words,
$$
r=R_{2 \pi / n}, \quad s=F_0, \quad \text { and } \quad \iota=R_0 .
$$
In abstract notation, similar to our habit of notation for multiplication of real variables, we write $a b$ to mean $a \circ b$ for two elements $a, b \in D_n$. Borrowing from a theorem in the next section (Proposition 1.2.13), since $\circ$ is associative, an expression such as rrsr is well-defined, regardless of the order in which we pair terms to perform the composition. In this example, with $n=4$,
$$
r r s r=R_{\pi / 2} \circ R_{\pi / 2} \circ F_0 \circ R_{\pi / 2}=R_\pi \circ F_0 \circ R_{\pi / 2}=F_{\pi / 2} \circ R_{\pi / 2}=F_{\pi / 4}
$$
To simplify notations, if $a \in D_n$ and $k \in \mathbb{N}^*$, then we write $a^k$ to represent
$$
a^k=\overbrace{a a a \cdots a}^{k \text { times }} .
$$
Hence, we write $r^2 s r$ for $r r s r$. Since composition o is not commutative, $r^3 s$ is not necessarily equal to $r^2 s r$.
From Proposition 1.1.3, it is not hard to see that
$$
r^k=R_{2 \pi k / n} \quad \text { and } \quad r^k s=F_{\pi k / n}
$$
where $k$ satisfies $0 \leq k \leq n-1$. Consequently, as a set
$$
D_n=\left{\iota, r, r^2, \ldots, r^{n-1}, s, r s, r^2 s, \ldots, r^{n-1} s\right} .
$$
The symbols $r$ and $s$ have a few interesting properties. First, $r^n=\iota$ and $s^2=\iota$. These are obvious as long as we do not forget the geometric meaning of the functions $r$ and $s$. Less obvious is the equality in the following proposition.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Introduction to Groups

As we now jump into group theory with both feet, the reader might not immediately see the value in the definition of a group. The plethora of examples we provide subsequent to the definition will begin to showcase the breadth of applications.
Definition 1.2.1
A group is a pair $(G, )$ where $G$ is a set and $$ is a binary operation on $G$ that satisfies the following properties:
(1) associativity: $(a * b) * c=a *(b * c)$ for all $a, b, c \in G$;
(2) identity: there exists $e \in G$ such that $a * e=e * a=a$ for all $a \in G$
(3) inverses: for all $a \in G$, there exists $b \in G$ such that $a * b=b * a=e$.
By Proposition A.2.16, if any binary operation has an identity, then that identity is unique. Similarly, any element in a group has exactly one inverse element.

Proof. Let $a \in G$ be arbitrary and suppose that $b_1$ and $b_2$ satisfy the properties of the inverse axiom for the element $a$. Then
$\begin{aligned} b_1 & =b_1 * e & & \text { by identity axiom } \ & =b_1 *\left(a * b_2\right) & & \text { by inverse axiom } \ & =\left(b_1 * a\right) * b_2 & & \text { by associativity } \ & =e * b_2 & & \text { by definition of } b_1 \ & =b_2 & & \text { by identity axiom. }\end{aligned}$
Therefore, for all $a \in G$ there exists a unique inverse.
Since every group element has a unique inverse, our notation for inverses can reflect this. We denote the inverse element of $a$ by $a^{-1}$.

The defining properties of a group are often called the group axioms. In common language, one often uses the term “axiom” to mean a truth that is self-evident. That is not the sense in which we use the term “axiom.” In algebra, when we say that such and such are the axioms of a given algebraic structure, we mean the defining properties listed as (1)-(3) in Definition 1.2.1.
In the group axioms, there is no assumption that the binary operation $*$ is commutative. We say that two particular elements $a, b \in G$ commute (or commute with each other) if $a * b=b * a$.

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Abstract Notation

我们引入了一个更简洁的符号，并与我们将在群论中经常使用的抽象符号保持一致。
固定一个整数 $n \geq 3$, 表示为 $r$ 角度的旋转 $2 \pi / n$ ，经过 $s$ 通过反射 $x$ – 轴，并通过 $\iota$ 身份函数。换句话说，
$$
r=R_{2 \pi / n}, \quad s=F_0, \quad \text { and } \quad \iota=R_0 .
$$
在抽象符号中，类似于我们对实变量乘法的符号习惯，我们写 $a b$ 意味着 $a \circ b$ 对于两个元素 $a, b \in D_n$. 借用下一节中的一个定理（命题 1.2.13），因为o是关联的，像 rrsr 这样的表达式是明确定义的，不管我们将术语配对以执行组合的顺序如何。在这个例子中，与 $n=4$ ，
$$
r r s r=R_{\pi / 2} \circ R_{\pi / 2} \circ F_0 \circ R_{\pi / 2}=R_\pi \circ F_0 \circ R_{\pi / 2}=F_{\pi / 2} \circ R_{\pi / 2}=F_{\pi / 4}
$$
为了简化符号，如果 $a \in D_n$ 和 $k \in \mathbb{N}^*$ ，然后我们写 $a^k$ 代表
$$
a^k=\overbrace{a a a \cdots a}^{k \text { times }} .
$$
因此，我们写 $r^2 s r$ 为了rrsr. 由于组合 o 不可交换， $r^3 s$ 不一定等于 $r^2 s r$. 从命题1.1.3不难看出
$$
r^k=R_{2 \pi k / n} \quad \text { and } \quad r^k s=F_{\pi k / n}
$$
在哪里 $k$ 满足 $0 \leq k \leq n-1$. 因此，作为一个集
$$
\text { D_n }=\backslash l e f t{{i o t a, r, r \wedge 2, \backslash \text { dots, } r \wedge{n-1}, s, r s, r \wedge 2 s, \backslash \text { dots, } \wedge \wedge{n-1} \text { s right }} \text { 。 }
$$
符号 $r$ 和 $s$ 有一些有趣的属性。第一的， $r^n=\iota$ 和 $s^2=\iota$. 只要我们不忘记函数的几何意义，这些都是显而易见的 $r$ 和 $s$. 不太明显的是以下命题中的等式。

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Introduction to Groups

当我们现在双脚跳入群论时，读者可能不会立即看到群定义的价值。我们在定义之后提供的大量示例将开始展示应用程序的广度。
定义 1.2.1
群是一对 $(G$,$) 在哪里 G$ 是一个集合， $\$$ 是一个二元运算 $G$ 满足以下性质:
(1) 结合性: $(a * b) * c=a *(b * c)$ 对全部 $a, b, c \in G$;
(2)身份: 存在 $e \in G$ 这样 $a * e=e * a=a$ 对全部 $a \in G$
(3) 逆: 对所有 $a \in G$ ，那里存在 $b \in G$ 这样 $a * b=b * a=e$.
根据命题 A.2.16，如果任何二元运算具有标识，则该标识是唯一的。类似地，群中的任何元素都恰好有一个逆元素。
证明。让 $a \in G$ 是任意的，并假设 $b_1$ 和 $b_2$ 满足元素的逆公理的性质 $a$. 然后 $b_1=b_1 * e \quad$ by identity axiom $\quad=b_1 *\left(a * b_2\right) \quad$ by inverse axiom 因此，对于所有 $a \in G$ 存在唯一的逆。
由于每个群元素都有唯一的逆，我们的逆符号可以反映这一点。我们表示的逆元 $a$ 经过 $a^{-1}$.
群的定义性质通常称为群公理。在普通语言中，人们经常使用“公理”一词来表示不言而喻的真理。这不是我们使用术语“公理”的意义。在代数中，当我们说某某是给定代数结构的公理时，我们指的是定义 1.2.1 中列为 (1)-(3) 的定义属性。
在群公理中，没有假设二元运算*是可交换的。我们说两个特定的元素 $a, b \in G$ 通勤（或彼此通勤) 如果 $a * b=b * a$.

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Math417

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Statistical Inference 统计推断
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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|If and only i

In this chapter, we studied these two implications:

If $n$ is odd, then $n^2$ is odd.
If $n^2$ is odd, then $n$ is odd.
Each is obtained from the other by swapping the if-part and the then-part. Thus, each is called the converse of the other. (Careful: They’re not contrapositives of each other. Why not?) As a shorthand, we can combine the two and write: $n$ is odd if and only if $n^2$ is odd. So, when you’re asked to prove an “if and only if” statement, you’ll have to prove two implications.
Example 1.11. Here is another pair of statements that are converses of each other:
If I live in Tokyo, then I live in Japan. (True)
If I live in Japan, then I live in Tokyo. (False)
As you can see, an implication can be true even though its converse is false.
Example 1.12. Similar to Example 1.11, below is a pair of statements that are converses of each other where one is true and the other is false.
If $n$ is positive, then $n^2$ is positive. (True)
If $n^2$ is positive, then $n$ is positive. (False)
The first implication is true, but the second one is false. With $n=-3$, we see that even though $n^2=9$ is positive, $n=-3$ is not positive.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Counterexample

Consider the statement: If $n$ is prime, then $2^n-1$ is prime. As usual, let’s create some concrete examples by letting $n$ take on the values of the first few prime numbers.

If $n=2$, then $2^2-1=3$ is prime.
If $n=3$, then $2^3-1=7$ is prime.
If $n=5$, then $2^5-1=31$ is prime.
If $n=7$, then $2^7-1=127$ is prime.
So far, so good. But does this mean that the statement is true? Not necessarily. In order for the statement to be true, the expression $2^n-1$ must be prime for every prime $n$. In other words, if we can find just one counterexample, i.e., an example that invalidates the statement, then we can conclude that the statement is false. Here is a counterexample: $n=11$ is prime (which satisfies the hypothesis), but $2^{11}-1=2,047=23 \cdot 89$ is not prime (which fails the conclusion). Thus, the implication is false.

Proof know-how. To show that an implication is false, we only need to find one counterexample. Thus, disproving an implication (when it’s false) tends to be easier than proving one (when it’s true).

Example 1.13. Consider the statement: If $n$ is an odd prime, then $n+2$ is prime. Many values of $n$ serve as valid examples of this statement, as shown below:

If $n=3$, then $n+2=5$ is prime.
If $n=11$, then $n+2=13$ is prime.
If $n=101$, then $n+2=103$ is prime.
However, the statement is false because we can find a counterexample: $n=7$ is an odd prime (which satisfies the hypothesis), but $n+2=9$ is not prime (which fails the conclusion).

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|If and only i

在本章中，我们研究了这两个含义:

如果 $n$ 是奇数，那么 $n^2$ 很奇怪。
如果 $n^2$ 是奇数，那么 $n$ 很奇怪。
每个都是通过交换 if 部分和 then 部分从另一个获得的。因此，每个都称为另一个的逆。（注意：它们不是彼此的对立面。为什么不呢?）作为速记，我们可以将两者结合起来写成： $n$ 是奇数当且仅当 $n^2$ 很奇怪。所以，当你被要求证明“当且仅当”陈述时，你必须证明两个推论。
示例 1.11。这是另一对彼此相反的陈述:
如果我住在东京，那我就住在日本。（真的）
如果我住在日本，那我就住在东京。（错误）如您所见，即使其反义词为假，蕴涵也可能为真。
示例 1.12。与示例 $1.11$ 类似，下面是一对彼此相反的陈述，其中一个为真，另一个为假。
如果 $n$ 是正的，那么 $n^2$ 是积极的。（真的)
如果 $n^2$ 是正的，那么 $n$ 是积极的。（假)
第一个蕴涵是真的，但第二个是假的。和 $n=-3$, 我们看到即使 $n^2=9$ 是积极的， $n=-3$ 不是积极的。

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Counterexample

考虑以下陈述：如果 $n$ 是素数，那么 $2^n-1$ 是质数。像往常一样，让我们通过让 $n$ 取前几个质数的值。

如果 $n=2$ ，然后 $2^2-1=3$ 是质数。
如果 $n=3$ ，然后 $2^3-1=7$ 是质数。
如果 $n=5$ ，然后 $2^5-1=31$ 是质数。
如果 $n=7$ ，然后 $2^7-1=127$ 是质数。
到目前为止，一切都很好。但这是否意味着该声明是真实的? 不必要。为了使陈述为真，表达式 $2^n-1$ 对于每个素数都必须是素数 $n$. 换句话说，如果我们只能找到一个反例，即一个使陈述无效的例子，那么我们就可以断定该陈述是错误的。这是一个反例： $n=11$ 是质数 (满足假设)，但是 $2^{11}-1=2,047=23 \cdot 89$ 不是质数（无法得出结论)。因此，暗示是错误的。
证明诀狖。要证明一个蕴涵是假的，我们只需要找到一个反例。因此，反驳一个蕴浄 (当它为假时) 往往比证明一个蕴浄 (当它为真时) 更容易。
示例 1.13。考虑以下陈述: 如果 $n$ 是奇素数，那么 $n+2$ 是质数。许多值 $n$ 作为该声明的有效示例，如下所示:
如果 $n=3$ ，然后 $n+2=5$ 是质数。
如果 $n=11$ ，然后 $n+2=13$ 是质数。
如果 $n=101$ ，然后 $n+2=103$ 是质数。
然而，这个说法是错误的，因为我们可以找到一个反例： $n=7$ 是奇素数（满足假设），但是 $n+2=9$ 不是质数 (无法得出结论)。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|MATH355

Posted on 2022年12月12日2022年12月12日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写抽象代数abstract algebra这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

抽象代数是代数的一组高级课题，涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。

我们提供的抽象代数abstract algebra及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
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Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
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Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Contrapositive

Consider the statement: If $n^2$ is odd, then $n$ is odd. (Here, $n$ is an integer.) To prove it, we might start by assuming the hypothesis, i.e., $n^2$ is odd. Then $n^2=2 k+1$ for some integer $k$. We wish to show that $n$ is odd, but we’re stuck, since solving $n^2=2 k+1$ for $n$ requires us to take the square root of $2 k+1$. Yikes!

We will introduce a new proof technique to handle a statement like the following: If $n^2$ is odd, then $n$ is odd. But first, consider these four implications:
(a) If I live in Tokyo, then I live in Japan.
(b) If I live in Japan, then I live in Tokyo.
(c) If I don’t live in Tokyo, then I don’t live in Japan.
(d) If I don’t live in Japan, then I don’t live in Tokyo.
Statement (a) is true, because Tokyo is a city inside Japan. For the same reason, statement (d) is also true; i.e., if I live outside of Japan, then I can’t possibly live in Tokyo. However, statements (b) and (c) are false, because I could be living in Osaka, for example.

Note how (d) is obtained from (a) by swapping the hypothesis and conclusion and negating both of them; and (a) is obtained from (d) in the same way. Thus, (a) and (d) are said to be contrapositives of each other. Similarly, (b) and (c) are contrapositive pairs. The key fact about contrapositives is that they are equivalent; i.e., proving one ensures that the other must be true also.

Here, to negate a statement means to write down its opposite. Thus, when we negate “I live in Tokyo,” we obtain its negation: “I don’t live in Tokyo.” Observe that if a statement is true, then its negation is false; and if a statement is false, then its negation is true.

Example 1.6. When $n=7$, then the statement ” $n$ is odd” is true, and its negation ” $n$ is not odd” is false. Moreover, when $n=6$, the statement ” $n^2$ is odd” is false, and its negation ” $n^2$ is not odd” is true.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Proof by contradiction

Proof by contradiction is another technique for proving an implication, i.e., an “if …, then …” statement. Here are the steps of this proof method:
(1) Assume that the hypothesis is true (as usual).
(2) Also assume that the conclusion is false, or equivalently, that the negation of the conclusion is true.
(3) Obtain a contradiction, i.e., an absurd outcome. This would indicate that the conclusion couldn’t have been false, and so it must be true.

Consider the statement: If $n^2$ is even, then $n$ is even. Let’s prove this using proof by contradiction. To start, we assume that the hypothesis is true, which means that the first sentence of the proof should be: Assume $n^2$ is even. Next, we must assume that the negation of the conclusion is true: Assume $n$ is not even, i.e., $n$ is odd. To complete the proof, we must obtain a contradiction. Knowing which contradiction to derive is typically the most challenging aspect of proof by contradiction. Here, we will show that $n^2$ is odd (because $n$ is odd), which contradicts our assumption that $n^2$ is even.
Theorem 1.9. Let $n$ be an integer. If $n^2$ is even, then $n$ is even.
ProOf. Assume $n^2$ is even. Also assume for contradiction that $n$ is odd. Since $n$ is odd, Theorem $1.3$ implies that $n^2$ is odd. But this contradicts the fact that $n^2$ is even. Hence, $n$ cannot be odd. Thus, $n$ is even.

Proof know-how. In a proof by contradiction, we make two assumptions: (1) The hypothesis is true and (2) the negation of the conclusion is true. The phrase “for contradiction” (as seen in the above proof) is often used with the negation of the conclusion to differentiate between these two assumptions.Here is another example. Note that a rational number is a fraction of the form $\frac{m}{n}$ where $m$ and $n$ are integers (and $n$ is non-zero, since we cannot divide by zero).

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Contrapositive

考虑以下陈述：如果n2是奇数，那么n很奇怪。（这里，n是一个整数。）为了证明这一点，我们可以从假设开始，即n2很奇怪。然后n2=2k+1对于某个整数k. 我们希望表明n很奇怪，但我们被困住了，因为解决了n2=2k+1为了n要求我们取平方根2k+1. 哎呀！

我们将引入一种新的证明技术来处理如下语句：如果n2是奇数，那么n很奇怪。但首先，请考虑以下四个含义：
(a) 如果我住在东京，那么我就住在日本。
(b) 如果我住在日本，那么我就住在东京。
(c) 如果我不住在东京，那我就不住在日本。
(d) 如果我不住在日本，那我就不住在东京。
陈述 (a) 为真，因为东京是日本境内的城市。出于同样的原因，陈述（d）也是正确的；也就是说，如果我住在日本以外的地方，那么我就不可能住在东京。但是，陈述 (b) 和 (c) 是错误的，因为例如我可能住在大阪。

注意 (d) 是如何通过交换假设和结论并否定它们而从 (a) 中得到的；(a) 以相同的方式从 (d) 中获得。因此，（a）和（d）被认为是彼此相反的。类似地，(b) 和 (c) 是对立的。关于对立的关键事实是它们是等价的；即，证明一个可以确保另一个也必须为真。

在这里，否定一个陈述意味着写下它的反面。因此，当我们否定“I live in Tokyo”时，我们得到它的否定：“I don’t live in Tokyo”。观察如果一个陈述为真，那么它的否定就是假的；如果一个陈述是假的，那么它的否定就是真的。

示例 1.6。什么时候n=7，然后声明“n是奇数”是真的，它的否定”n不奇怪”是错误的。此外，当n=6，该声明 ”n2是奇数”是假的，它的否定”n2并不奇怪”是真的。

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Proof by contradiction

反证法是另一种证明蕴涵的技术，即“如果……，那么……”陈述。下面是这种证明方法的步骤：
(1) 假设假设为真（像往常一样）。
(2) 还假设结论是错误的，或者等价地，结论的否定是正确的。
(3) 得出一个矛盾，即一个荒谬的结果。这表明结论不可能是假的，所以它一定是真的。

考虑以下陈述：如果n2是偶数，那么n甚至。让我们用反证法来证明这一点。首先，我们假设假设为真，这意味着证明的第一句话应该是：假设n2甚至。接下来，我们必须假设结论的否定为真：假设n甚至不是，即n很奇怪。为了完成证明，我们必须得到一个矛盾。知道推导出哪个矛盾通常是反证法最具挑战性的方面。在这里，我们将证明n2是奇数（因为n是奇数），这与我们的假设相矛盾n2甚至。
定理 1.9。让n是一个整数。如果n2是偶数，那么n甚至。
证明。认为n2甚至。还假设矛盾n很奇怪。自从n是奇数，定理1.3暗示n2很奇怪。但这与事实相矛盾n2甚至。因此，n不能奇怪。因此，n甚至。

证明诀窍。在反证法中，我们做出两个假设：(1) 假设为真，(2) 结论的否定为真。短语“for contradiction”（如上述证明中所示）经常与结论的否定一起使用，以区分这两个假设。这是另一个例子。请注意，有理数是形式的分数米n在哪里米和n是整数（和n是非零的，因为我们不能除以零）。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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回归分析代写

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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|МАТН1014

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如果你也在怎样代写抽象代数abstract algebra这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

抽象代数是代数的一组高级课题，涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。

我们提供的抽象代数abstract algebra及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|МАТН1014

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Proving an implication

Consider the following statement: If $n$ is an odd integer, then $n^2$ is odd. To better understand this statement, we look at a few examples:

If $n=7$ is odd, then $n^2=49$ is also odd.
If $n=213$ is odd, then $n^2=45,369$ is also odd.
If $n=-1,081$ is odd, then $n^2=1,168,561$ is also odd.
The importance of these examples cannot be overstated. Concrete examples help us make sense of an abstract statement. Sometimes, they provide insight into why the statement is true. But, as we will see shortly, writing a proof is different from creating examples.

Before proceeding, let’s be more precise about what it means for an integer to be odd (and also even). Notice that 7 is odd, because $7=2 \cdot 3+1$; i.e., when we put 7 into groups of two, there is a remainder of 1 . However, 10 is even, because $10=2$ – 5 ; i.e., 10 can be put into groups of two without a remainder.
Definition $1.1$ (Odd and Even). Let $n$ be an integer. Then:

$n$ is odd when $n=2 k+1$ for some integer $k$.
$n$ is even when $n=2 k$ for some integer $k$.

Example 1.2. We categorize the following integers as odd or even:

$213=2 \cdot 106+1$ so that 213 is odd.
$-1,081=2 \cdot(-541)+1$ so that $-1,081$ is odd.
$-314=2 \cdot(-157)$ so that $-314$ is even.
$0=2 \cdot 0$ so that 0 is even.
Now, back to our statement: If $n$ is an odd integer, then $n^2$ is odd. This is an example of an implication, i.e., an “if …, then …” statement. The if-part is called the hypothesis (” $n$ is an odd integer”) and the then-part is called the conclusion (” $n{ }^2$ is odd”). To prove an implication, we take the following steps:
Proof know-how. To prove an implication:
(1) Assume that the hypothesis is true.
(2) Show that the conclusion is true.

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Proof by cases

Consider the statement: If $n$ is an integer, then $n^2+n$ is even. As before, we begin by creating some concrete examples. Since the only assumption about $n$ is that it is an integer, we consider the cases where (1) $n$ is odd and (2) $n$ is even:

If $n=7$ (i.e., $n$ is odd), then $n^2+n=56$ is even.
If $n=213$ (i.e., $n$ is odd), then $n^2+n=45,582$ is even.
If $n=10$ (i.e., $n$ is even), then $n^2+n=110$ is even.
If $n=-314$ (i.e., $n$ is even), then $n^2+n=98,282$ is even.
These examples suggest a proof technique called proof by cases. In this method, we split the given scenario into multiple cases and then prove the statement for each case. It is important that the cases considered cover all the possibilities. For instance, if $n$ is an integer, then the cases (1) $n$ is odd and (2) $n$ is even would suffice, since every integer is either odd or even.
Theorem 1.4. If $n$ is an integer, then $n^2+n$ is even.
Proof. Assume $n$ is an integer. We consider the two cases: (1) $n$ is odd and (2) $n$ is even.
Case (1). Suppose $n$ is odd, so that $n=2 k+1$ for some integer $k$. Then
$$
n^2+n=(2 k+1)^2+(2 k+1)=4 k^2+6 k+2=2 \cdot\left(2 k^2+3 k+1\right),
$$
where $2 k^2+3 k+1$ is an integer. Thus, $n^2+n$ is even.
Case (2). Suppose $n$ is even, so that $n=2 k$ for some integer $k$. Then
$$
n^2+n=(2 k)^2+2 k=4 k^2+2 k=2 \cdot\left(2 k^2+k\right),
$$
where $2 k^2+k$ is an integer. Thus, $n^2+n$ is even.
Remark. Notice how Theorem $1.4$ is a statement about all integers. We prove it by showing that it is true for an arbitrary integer $n$. In fact, the first sentence of the proof, “Assume $n$ is an integer”, may be considered as a shorthand for “Assume $n$ is an arbitrary integer.”

抽象代数代写

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Proving an implication

考虑以下语句: 如果 $n$ 是奇数，那么 $n^2$ 很奇怪。为了更好地理解这句话，我们看几个例子:

如果 $n=7$ 是奇数，那么 $n^2=49$ 也奇怪。
如果 $n=213$ 是奇数，那么 $n^2=45,369$ 也奇怪。
如果 $n=-1,081$ 是奇数，那么 $n^2=1,168,561$ 也奇怪。
这些例子的重要性怎么强调都不为过。具体的例子帮助我们理解抽象的陈述。有时，他们会深入了解为什么该陈述是正确的。但是，正如我们很快就会看到的，编写证明不同于创建示例。
在继续之前，让我们更准确地了解整数为奇数（以及偶数）的含义。注意 7 是奇数，因为 $7=2 \cdot 3+1$ ；即，当我们将 7 分成两组时，余数为 1 。然而， 10 是偶数，因为 $10=2-5$ ；即，10可以无余数地分成两个一组。
定义 $1.1$ (奇数和偶数)。让 $n$ 是一个整数。然后：
$n$ 奇怪的时候 $n=2 k+1$ 对于某个整数 $k$.
$n$ 甚至当 $n=2 k$ 对于某个整数 $k$.
示例 1.2。我们将以下整数分类为奇数或偶数：
$213=2 \cdot 106+1$ 所以 213 是奇数。 $-1,081=2 \cdot(-541)+1$ 以便 $-1,081$ 很奇怪。 $-314=2 \cdot(-157)$ 以便 $-314$ 甚至。
$0=2 \cdot 0$ 所以 0 是偶数。
现在，回到我们的声明: 如果 $n$ 是奇数，那么 $n^2$ 很奇怪。这是一个蕴涵的例子，即“如果…..，那么…..”陈述。如果部分称为假设 (” $n$ 是一个奇数”) 然后部分称为结论 (“n $n^2$ 是奇数”)。为了证明蕴涵式，我们采取以下步骤:
证明诀空。要证明一个蕴涵:
（1）假设假设为真。
(2)证明结论正确。

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Proof by cases

考虑以下陈述: 如果 $n$ 是一个整数，那么 $n^2+n$ 甚至。和以前一样，我们首先创建一些具体示例。由于唯一的假设是 $n$ 是一个整数，我们考虑以下情况 (1) $n$ 是奇数且 (2) $n$ 甚至:

如果 $n=7$ (IE， $n$ 是奇数)，那么 $n^2+n=56$ 甚至。
如果 $n=213$ (IE， $n$ 是奇数)，那么 $n^2+n=45,582$ 甚至。
如果 $n=10$ (IE， $n$ 是偶数)，那么 $n^2+n=110$ 甚至。
如果 $n=-314$ (IE， $n$ 是偶数)，那么 $n^2+n=98,282$ 甚至。
这些例子提出了一种称为案例证明的证明技术。在这种方法中，我们将给定的场景分成多个案例，
然后为每个案例证明陈述。重要的是所考虑的案例涵盖了所有的可能性。例如，如果 $n$ 是一个整数，那么情况 (1) $n$ 是奇数且 (2) $n$ 是偶数就足够了，因为每个整数要么是奇数要么是偶数。
定理 1.4。如果 $n$ 是一个整数，那么 $n^2+n$ 甚至。
证明。认为 $n$ 是一个整数。我们考虑两种情况：(1) $n$ 是奇数且 (2) $n$ 甚至。
情况1)。认为 $n$ 是奇数，所以 $n=2 k+1$ 对于某个整数 $k$. 然后
$$
n^2+n=(2 k+1)^2+(2 k+1)=4 k^2+6 k+2=2 \cdot\left(2 k^2+3 k+1\right),
$$
在哪里 $2 k^2+3 k+1$ 是一个整数。因此， $n^2+n$ 甚至。
案例 (2)。认为 $n$ 是偶数，所以 $n=2 k$ 对于某个整数 $k$. 然后
$$
n^2+n=(2 k)^2+2 k=4 k^2+2 k=2 \cdot\left(2 k^2+k\right)
$$
在哪里 $2 k^2+k$ 是一个整数。因此， $n^2+n$ 甚至。
评论。注意定理 $1.4$ 是关于所有整数的陈述。我们通过证明它对任意整数为真来证明它 $n$. 事实上，证明的第一句话，”假设 $n$ 是一个整数”，可以被认为是”假设 $n$ 是任意整数。”

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