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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Matrix Reduction Algorithm

There is a version of the algorithm PAIRPERSISTENCE that uses only matrix operations. First notice the following:

• The boundary operator $\partial_p: \mathbf{C}p \rightarrow \mathbf{C}{p-1}$ can be represented by a boundary matrix $D_p$ where the columns correspond to the $p$-simplices and rows correspond to $(p-1)$-simplices.
• It represents the transformation of a basis of $\mathrm{C}p$ given by the set of $p$-simplices to a basis of $C{p-1}$ given by the set of $(p-1)$-simplices:
  $$
  D_p[i, j]= \begin{cases}1 & \text { if } \sigma_i \in \partial_p \sigma_j, \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
  $$
• One can combine all boundary matrices into a single matrix $D$ that represents all linear maps $\bigoplus_p \partial_p-\bigoplus_p\left(\mathrm{C}p \rightarrow \mathrm{C}{p-1}\right)$, that is, transformation of a basis of all chain groups together to a basis of itself, but with a shift to a one lower dimension:
  $$
  D[i, j]= \begin{cases}1 & \text { if } \sigma_i \in \partial_* \sigma_j, \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
  $$
  Definition 3.12. (Filtered boundary matrix) Let $\mathcal{F}: \varnothing=K_0 \hookrightarrow K_1 \hookrightarrow \cdots$ $\hookrightarrow K_n=K$ be a filtration induced by an ordering of simplices $\left(\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n\right)$ in $K$. Let $D$ denote the boundary matrix for simplices in $K$ that respects the ordering of the simplices in the filtration, that is, the simplex $\sigma_i$ in the filtration occupies column $i$ and row $i$ in $D$. We call $D$ the filtered boundary matrix for $\mathcal{F}$.

Given any matrix $A$, let row ${ }_A\lfloor i\rfloor$ and $\operatorname{col}_A\lfloor j\rfloor$ denote the $i$ th row and $j$ th column of $A$, respectively. We abuse notation slightly to let $\operatorname{col}_A[j]$ denote also the chain $\left{\sigma_i \mid A[i, j]=1\right}$, which is the collection of simplices corresponding to $1 \mathrm{~s}$ in the column $\operatorname{col}_A[j]$.

Definition 3.13. (Reduced matrix) Let $\operatorname{low}_A[j]$ denote the row index of the last 1 in the $j$ th column of $A$, which we call the low-row index of the column $j$. It is undefined for empty columns (marked with $-1$ in Algorithm 3). The matrix $A$ is reduced (or is in reduced form) if low $[j] \neq \operatorname{low}_A\left[j^{\prime}\right]$ for any $j \neq j^{\prime}$; that is, no two columns share the same low-row indices.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Efficient Implementation

The matrix reduction algorithm considers a column from left to right and reduces it by left-to-right additions. As we have observed, every addition to a column with index $j$ pushes $\operatorname{low}_D[j]$ upward. In the case that $\sigma_j$ is a positive simplex, the entire column is zeroed out. In general, positive simplices incur more cost than negative ones because $\operatorname{low}_D[\cdot]$ needs to be pushed all the way up for zeroing out the entire column. However, they do not participate in any future left-to-right column additions. Therefore, if it is known beforehand that the simplex $\sigma_j$ will be a positive simplex, then the costly step of zeroing out the column $j$ can be avoided.

Chen and Kerber [94] observed the following simple fact. If we process the input filtration backward in dimension, that is, process the boundary matrices $D_p, p=1, \ldots, d$, in decreasing order of dimensions, then a persistence pair $\left(\sigma^{p-1}, \sigma^p\right)$ is detected from $D_p$ before processing the column for $\sigma^{p-1}$ in $D_{p-1}$. Fortunately, we already know that $\sigma^{p-1}$ has to be a positive simplex because it cannot pair with a negative simplex $\sigma^p$ otherwise. So, we can simply ignore the column of $\sigma^{p-1}$ while processing $D_{p-1}$. We call it clearing out column $p-1$. In practice, this saves a considerable amount of computation in cases where a lot of positive simplices occur such as in Rips filtrations. Algorithm 4: ClearPersistence implements this idea.

We cannot take advantage of the clearing for the last dimension in the filtration. If $d$ is the highest dimension of the simplices in the input filtration, the matrix $D_d$ has to be processed for all columns because the pairings for the positive $d$-simplices are not available.

If the number of $d$-simplices is large compared to the number of simplices of lower dimensions, the incurred cost of processing their columns can still be high. For example, in a Rips filtration restricted to a certain dimension $d$, the number of $d$-simplices becomes usually much larger than the number of, say,

1-simplices. In those cases, the clearing can be more cost-effective if it can be applied forward.

In this respect, the following observation becomes helpful. Let $D_p^$ denote the anti-transpose of the matrix $D_p$, defined by the transpose of $D_p$ with the columns and rows being ordered in reverse. This means that if $D_p$ has row and column indices $1, \ldots, m$ and $1, \ldots, n$, respectively, then $D_p^(i, j)=D_p(n+$ $1-j, m+1-i)$. We call it the twisted matrix of $D_p$. Figure $3.13$ shows the twisted matrix $D^$ of the matrix $D$ in Figure $3.12$ where the rows and columns are marked with the indices of the original matrix. The following proposition guaranteés thăt wé cañ computê thê persistencee pairs in $D_P$ from the matrix $D_p^$

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Matrix Reduction Algorithm

有一个仅使用矩阵运算的算法 PAIRPERSISTENCE 版本。首先注意以下几点:

• 边界运算符 $\partial_p: \mathbf{C} p \rightarrow \mathbf{C} p-1$ 可以用边界矩阵表示 $D_p$ 其中列对应于 $p$-单纯形和行对应 $(p-1)$ 简单的
• 它代表了基础的转变 $\mathrm{C} p$ 由一组给出 $p$-单纯形的基础 $C p-1$ 由一组给出 $(p-1)$-简单的:
  $$
  D_p[i, j]=\left{1 \quad \text { if } \sigma_i \in \partial_p \sigma_j, 0 \quad\right. \text { otherwise. }
  $$
• 可以将所有边界矩阵组合成一个矩阵 $D$ 表示所有线性映射 $\bigoplus_p \partial_p-\bigoplus_p(\mathrm{C} p \rightarrow \mathrm{C} p-1)$ ，也就 是说，将所有链组的基础一起转换为自身的基础，但转移到一个较低的维度:
  $$
  D[i, j]=\left{1 \quad \text { if } \sigma_i \in \partial_* \sigma_j, 0 \quad\right. \text { otherwise. }
  $$
  定义 3.12。 (过滤后的边界矩阵) 让 $\mathcal{F}: \varnothing=K_0 \hookrightarrow K_1 \hookrightarrow \cdots \hookrightarrow K_n=K$ 是由单纯形的排 序引起的过滤 $\left(\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n\right)$ 在 $K$. 让 $D$ 表示单纯形的边界矩阵 $K$ 尊重过滤中单纯形的顺序，即 单纯形 $\sigma_i$ 在过滤占列 $i$ 和行 $i$ 在 $D$. 我们称之为 $D$ 过滤后的边界矩阵 $\mathcal{F}$.
  给定任何矩阵 $A$ ， 让行 $A\lfloor i\rfloor$ 和 $\operatorname{col}A\lfloor j\rfloor$ 表示 $i$ 行和 $j$ 第 列 $A$ ，分别。我们稍微滥用符号让 $\operatorname{col}_A[j]$ 也表示链 \eft{\sigma_i \mid A[i, j]=1\right } } \text { , 这是对应于 } 1 \text { s在专栏中 } \operatorname { c o l } { A } [ j ] \text { . }
  定义 3.13。(简化矩阵) 让 $\operatorname{low}_A[j]$ 表示最后一个 1 的行索引 $j$ 第列 $A$ ，我们称之为列的低行索引 $j$. 它对 于空列是末定义的 (标有 $-1$ 在算法 3) 中。矩阵 $A$ 如果低，则减少 (或减少形式) $[j] \neq \operatorname{low}_A\left[j^{\prime}\right]$ 对于 任何 $j \neq j^{\prime}$ ；也就是说，没有两列共享相同的低行索引。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Efficient Implementation

矩阵缩减算法从左到右考虑一列，并通过从左到右的加法来减少它。正如我们所观察到的，每次添加到 具有索引的列 $j$ 推动 $\operatorname{low}_D[j]$ 向上。在这种情况下 $\sigma_j$ 是一个正单纯形，整个列被清零。一般来说，正单形 比负单形产生更多的成本，因为 $\operatorname{low}_D[\cdot]$ 需要一直向上推以将整个列归零。但是，它们不参与任何末来的 从左到右的列添加。因此，如果事先知道单纯形 $\sigma_j$ 将是一个正单纯形，然后是将列归零的昂贵步驵㼋 $j$ 以 避免。

Chen 和 Kerber [94] 观察到以下简单事实。如果我们对输入过滤进行维度逆向处理，即对边界矩阵进行 处理 $D_p, p=1, \ldots, d$ ，按维度降序排列，然后是持久性对 $\left(\sigma^{p-1}, \sigma^p\right)$ 从检测到 $D_p$ 在处理列之前 $\sigma^{p-1}$ 在 $D_{p-1}$. 幸运的是，我们已经知道 $\sigma^{p-1}$ 必须是正单纯形，因为它不能与负单纯形配对 $\sigma^p$ 除此以外。所 以，我们可以简单地忽略列 $\sigma^{p-1}$ 加工时 $D_{p-1}$. 我们称之为清除列 $p-1$. 实际上，在出现大量正单纯形的 情况下（例如在 Rips 过滤中），这可以节省大量计算。算法 4：ClearPersistence 实现了这个想法。
我们不能利用过滤中最后一个维度的清理。如果 $d$ 是输入过滤中单纯形的最高维度，矩阵 $D_d$ 必须对所有 列进行处理，因为正的配对 $d$-单纯形不可用。
如果数量 $d-$ 单形与低维单形的数量相比很大，处理它们的列所产生的成本仍然很高。例如，在限制为特 定维度的 Rips 过滤中 $d$ ，的数量 $d$ – 单纯形通常变得比数量大得多，比如说，
1-单纯形。在这些情况下，如果可以向前应用清算，则清算可能更具成本效益。
在这方面，以下观察会有所帮助。让 $\mathrm{D}_{-} \mathrm{p}^{\wedge}$ 表示矩阵的反转置 $D_p$ ，由转置定义 $D_p$ 列和行被反向排序。这 意味着如果 $D_p$ 有行和列索引 $1, \ldots, m$ 和 $1, \ldots, n$, 分别是 $\left.D_p^{(} i, j\right)=D_p(n+1-j, m+1-i)$. 我 们称之为扭曲矩阵 $D_p$. 数字 $3.13$ 显示扭曲矩阵^ 矩阵的 $D$ 在图中 $3.12$ 其中行和列标有原始矩阵的索引。 以下命题保证我们可以计算持久性对 $D_P$ 从矩阵 D_p $^{\wedge}$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Stability of Persistence Diagrams

A persistence diagram $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$, as a set of points in the extended plane $\overline{\mathbb{R}}^2$, summarizes certain topological information of a simplicial complex (space) in relation to the function $f$ that induces the filtration $\mathcal{F}_f$. However, this is not useful in practice unless we can be certain that a slight change in $f$ does not change this diagram dramatically. In practice $f$ is seldom measured accurately, and if its persistence diagram can be approximated from a slightly perturbed version, it becomes useful. Fortunately, persistence diagrams are stable. To formulate this stability, we need a notion of distance between persistence diagrams.

Let $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$ and $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$ be two persistence diagrams for two functions $f$ and $g$. We want to consider bijections between points from $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$ and $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$. However, they may have different cardinality for off-diagonal points. Recall that persistence diagrams include the points on the diagonal $\Delta$ each with infinite multiplicity. This addition allows us to borrow points from the diagonal when necessary to define the bijections. Note that we are considering only filtrations of finite complexes which also make each homology group finite.

Definition 3.9. (Bottleneck distance) Let $\Pi=\left{\pi: \operatorname{Dgm}p\left(\mathcal{F}_f\right) \rightarrow\right.$ $\left.\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)\right}$ denote the set of all bijections. Consider the distance between two points $x=\left(x_1, x_2\right)$ and $y=\left(y_1, y_2\right)$ in $L{\infty}$-norm $|x-y|_{\infty}=$ $\max \left{\left|x_1-x_2\right|,\left|y_1-y_2\right|\right}$ with the assumption that $\infty-\infty=0$. The bottleneck distance between the two diagrams (see Figure $3.10$ ) is
$$
\mathrm{d}b\left(\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right), \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)\right)=\inf {\pi \in \Pi} \sup {x \in \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)}|x-\pi(x)|{\infty} .
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Computing Bottleneck Distances

Let $A$ and $B$ be the nondiagonal points in two persistence diagrams $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$ and $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$, respectively. For a point $a \in A$, let $\bar{a}$ denote the nearest point of $a$ on the diagonal. Define $\bar{b}$ for every point $b \in B$ similarly. Let $\bar{A}={\bar{a}}$ and $\bar{B}={\bar{b}}$. Let $\tilde{A}=A \cup \bar{B}$ and $\tilde{B}=B \cup \bar{A}$. We want to bijectively match points in $\tilde{A}$ and $\tilde{B}$. Let $\Pi={\pi}$ denote such a matching. It follows from the definition that
$$
\mathrm{d}b\left(\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right), \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)\right)=\min {\pi \in \Pi} \sup {a \in \tilde{A}, \pi(a) \in \tilde{B}}|a-\pi(a)|{\infty} .
$$
Then, the bottleneck distance we want to compute must be $L_{\infty}$ distance $\max \left{\left|x_a-x_b\right|,\left|y_a-y_b\right|\right}$ for two points $a \in \tilde{A}$ and $b \in \tilde{B}$. We do a binary search on all such possible $O\left(n^2\right)$ distances where $|\tilde{A}|=|\tilde{B}|=n$. Let $\delta_0, \delta_1, \ldots, \delta_{n^{\prime}}$ be the sorted sequence of these distances in a nondecreasing order.

Given a $\delta=\delta_i \geq 0$ where $i$ is the median of the index in the hinary search interval $[\ell, u]$, we construct a bipartite graph $G=(\tilde{A} \cup \tilde{B}, E)$ where an edge $e=(a, b){{a \in \tilde{A}, b \in \tilde{B}}}$ is in $E$ if and only if either both $a \in \bar{A}$ and $b \in \bar{B}$ (weight $(e)=0$ ) or $|a-b|{\infty} \leq \delta$ (weight $(e)=|a-b|_{\infty}$ ). A complete matching in $G$ is a set of $n$ edges so that every vertex in $\tilde{A}$ and $\tilde{B}$ is incident to exactly one edge in the set. To determine if $G$ has a complete matching, one can use an $O\left(n^{2.5}\right)$ algorithm of Hopcroft and Karp [198] for complete matching in a bipartite graph. However, exploiting the geometric embedding of the points in the persistence diagrams, we can apply an $O\left(n^{1.5}\right)$ time algorithm of Efrat et al. [154] for the purpose. If such an algorithm affirms that a complete matching exists, we do the following: If $\ell=u$ we output $\delta$, otherwise we set $u=i$ and repeat. If no matching exists, we set $\ell=i$ and repeat. Observe that matching has to exist for some value of $\delta$, in particular for $\delta_{n^{\prime}}$ and thus the binary search always succeeds. Algorithm 1: BoTTLENECK lays out the pseudocode for this matching. The algorithm runs in $O\left(n^{1.5} \log n\right)$ time accounting for the $O(\log n)$ probes for binary search each applying an $O\left(n^{1.5}\right)$ time matching algorithm. However, to achieve this complexity, we have to avoid sorting $n^{\prime}=O\left(n^2\right)$ values taking $O\left(n^2 \log n\right)$ time. Again, using the geometric embedding of the points, one can perform the binary probes without incurring the cost for sorting. For details and an efficient implementation of this algorithm, seee [209].

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Stability of Persistence Diagrams

持久性图 $\operatorname{Dgm}p\left(\mathcal{F}_f\right)$ ，作为扩展平面中的一组点 $\overline{\mathbb{R}}^2$ ，总结了与函数相关的单纯复形 (空间) 的某些拓扑 信息 $f$ 诱导过滤 $\mathcal{F}_f$. 然而，这在实践中没有用，除非我们可以确定 $f$ 不会显着改变此图。在实践中 $f$ 很少 被准确测量，如果它的持久性图可以从一个轻微扰动的版本中近似出来，它就会变得有用。幸运的是， 持久性图是稳定的。为了表达这种稳定性，我们需要持久性图之间的距离概念。 让D $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$ 和 $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$ 是两个函数的两个持久性图 $f$ 和 $g$. 我们想考虑点之间的双射 $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$ 和 $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$. 但是，对于非对角线点，它们可能具有不同的基数。回想一下持久性图包括对角线上的点 $\Delta$ 每个都有无限的多样性。这种添加允许我们在必要时从对角线上借用点来定义双射。请注意，我们只 考虑有限复形的过滤，这也使每个同调群都有限。 定义 3.9。 (瓶颈距离) 让 表示所有双射的集合。考虑两点之间的距离 $x=\left(x_1, x_2\right)$ 和 $y=\left(y_1, y_2\right)$ 在 $L \infty$-规范 $|x-y|{\infty}=$ $3.10)$ 是
$$
\mathrm{d} b\left(\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right), \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)\right)=\inf \pi \in \Pi \sup x \in \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)|x-\pi(x)| \infty
$$

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让 $A$ 和 $B$ 是两个持久性图中的非对角点 $\mathrm{Dgm}p\left(\mathcal{F}_f\right)$ 和 $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$ ，分别。对于一点 $a \in A$ ，让 $\bar{a}$ 表示 最近的点 $a$ 在对角线上。定义 $\bar{b}$ 对于每一点 $b \in B$ 相似地。让 $\bar{A}=\bar{a}$ 和 $\bar{B}=\bar{b}$. 让 $\tilde{A}=A \cup \bar{B}$ 和 $$ \mathrm{d} b\left(\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right), \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)\right)=\min \pi \in \Pi \sup a \in \tilde{A}, \pi(a) \in \tilde{B}|a-\pi(a)| \infty . $$ $a \in \tilde{A}$ 和 $b \in \tilde{B}$. 我们对所有可能的情况进行二分查找 $O\left(n^2\right)$ 距离在哪里 $|\tilde{A}|=|\tilde{B}|=n$. 让 $\delta_0, \delta_1, \ldots, \delta{n^{\prime}}$ 是这些距离的非递减顺序的排序序列。
给定一个 $\delta=\delta_i \geq 0$ 在哪里 $i$ 是 hinary 搜索区间中索引的中位数 $[\ell, u]$ ，我们构造一个二分图 $G=(\tilde{A} \cup \tilde{B}, E$ ) 哪里有边 $e=(a, b) a \in \tilde{A}, b \in \tilde{B}$ 在 $E$ 当且仅当两者都有 $a \in \bar{A}$ 和 $b \in \bar{B}$ (重量
$(e)=0$ ) 要么 $|a-b| \infty \leq \delta$ (重量 $(e)=|a-b|{\infty}$ ). 一个完整的匹配 $G$ 是一组 $n$ 边使得每个顶点在 $\tilde{A}$ 和 $\tilde{B}$ 恰好与集合中的一条边相关。确定是否 $G$ 有一个完整的匹配，一个可以使用 $O\left(n^{2.5}\right)$ Hopcroft 和 Karp [198] 的算法用于二分图中的完全匹配。然而，利用持久性图中点的几何嵌入，我们可以应用 $O\left(n^{1.5}\right)$ Efrat 等人的时间算法。[154] 的目的。如果这样的算法确认存在完全匹配，我们将执行以下操 作: 如果 $\ell=u$ 我们输出 $\delta$ ，否则我们设置 $u=i$ 并重复。如果不存在匹配项，我们设置 $\ell=i$ 并重复。观 察到对于某些值必须存在匹配 $\delta$ ，特别是对于 $\delta{n^{\prime}}$ 因此二分查找总是成功的。算法 1: BOTTLENECK 列出 了此匹配的伪代码。该算法运行于 $O\left(n^{1.5} \log n\right)$ 时间占 $O(\log n)$ 用于二进制搜索的探针每个应用一个 $O\left(n^{1.5}\right)$ 时间匹配算法。然而，为了实现这种复杂性，我们必须避免排序 $n^{\prime}=O\left(n^2\right)$ 取值
$O\left(n^2 \log n\right)$ 时间。同样，使用点的几何嵌入，可以在不产生排序成本的情况下执行二元探测。有关此 算法的详细信息和有效实现，请参阅 [209]。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Persistence

In both cases of space and simplicial filtration $\mathcal{F}$, we arrive at a homology module:
$$
\mathrm{H}p \mathcal{F}: 0=\mathrm{H}_p\left(X_0\right) \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_1\right) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_i\right) \rightarrow \stackrel{h_p^{h_j}}{ } \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_j\right) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_n\right)=\mathrm{H}_p(X), $$ where $X_i=\mathbb{T}{a_i}$ if $\mathcal{F}$ is a space filtration of a topological space $X=\mathbb{T}$ or $X_i=K_i$ if $\mathcal{F}$ is a simplicial filtration of a simplicial complex $X=K$. Persistent homology groups for a homology module are algebraic structures capturing the survival of the homology classes through this sequence. In general, we will call homology modules persistence modules in Section $3.4$ recognizing that we can replace homology groups with vector spaces.

Definition 3.4. (Persistent Betti number) The $p$-th persistent homology groups are the images of the homomorphisms: $\mathrm{H}_p^{i, j}=\operatorname{im} h_p^{i, j}$, for $0 \leq i \leq$ $j \leq n$. The $p$-th persistent Betti numbers are the dimensions $\beta_p^{i, j}=\operatorname{dim} \mathrm{H}_p^{i, j}$ of the vector spaces $\mathrm{H}_p^{i, j}$.

The $p$-th persistent homology groups contain the important information of when a homology class is born or when it dies. The issue of birth and death of a class becomes more subtle because when a new class is born, many other classes that are the sum of this new class and any other existing class are also born. Similarly, when a class ceases to exist, many other classes may cease to exist along with it. Therefore, we need a mechanism to pair births and deaths canonically. Figure $3.7$ illustrates the birth and death of a class, though the pairing of birth and death events is more complicated as stated in Fact 3.3.
Observe that the nontrivial elements of $p$-th persistent homology groups $\mathrm{H}_p^{i, j}$ consist of classes that survive from $X_i$ to $X_j$, that is, the classes which do not get “quotiented out” by the boundaries in $X_j$. So, one can observe the following.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Persistence Diagram

Fact $3.3$ provides a qualitative characterization of the pairing of births and deaths of classes. Now we give a quantitative characterization which helps to draw a visual representation of this pairing called a persistence diagram; see Figure 3.8(a). Consider the extended plane $\overline{\mathbb{R}}^2:=(\mathbb{R} \cup{\pm \infty})^2$ on which we represent the birth at $a_i$ paired with the death at $a_j$ as a point $\left(a_i, a_j\right)$. This pairing uses a persistence pairing function $\mu_p^{i, j}$ defined below. Strictly positive values of this function correspond to multiplicities of points in the persistence diagram (Definition 3.8). In what follows, to account for classes that never die, we extend the induced module in Eq. (3.3) on the right end by assuming that $\mathrm{H}p\left(X{n+1}\right)=0$.
Definition 3.6. For $0<i<j \leq n+1$, define
$$
\mu_p^{i, j}=\left(\beta_p^{i, j-1}-\beta_p^{i, j}\right)-\left(\beta_p^{i-1, j-1}-\beta_p^{i-1, j}\right) .
$$
The first difference on the right-hand side counts the number of independent classes that are born at or before $X_i$ and die entering $X_j$. The second difference counts the number of independent classes that are born at or before $X_{i-1}$ and die entering $X_j$. The difference between the two differences thus counts the number of independent classes that are born at $X_i$ and die entering $X_j$. When $j-n+1, \mu_p^{i, n+1}$ counts the number of independent classes that are born at $X_i$ and die entering $X_{n+1}$. They remain alive till the end in the original filtration without extension, or we say that they never die. To emphasize that classes which exist in $X_n$ actually never die, we equate $n+1$ with $\infty$ and take $a_{n+1}=$ $a_{\infty}=\infty$. Observe that, with this assumption, we have $\beta^{i, n+1}=\beta^{i, \infty}=0$ for every $i \leq n$.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Persistence

在空间和简单过滤的两种情况下 $\mathcal{F}$ ，我们得到一个同源模块:
$$
\mathrm{H} p \mathcal{F}: 0=\mathrm{H}_p\left(X_0\right) \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_1\right) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_i\right) \rightarrow h_p^{h_j} \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_j\right) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_n\right)=\mathrm{H}_p
$$
在哪里 $X_i=\mathbb{T} a_i$ 如果 $\mathcal{F}$ 是拓扑空间的空间过滤 $X=\mathbb{T}$ 要么 $X_i=K_i$ 如果 $\mathcal{F}$ 是单纯复形的单纯过滤 $X=K$. 同源模块的持久同源群是通过该序列捕获同源类生存的代数结构。一般来说，我们会在Section 中调用同源模块persistence modules3.4认识到我们可以用向量空间代替同调群。
定义 3.4。 (持久的 Betti 号码) $p$-th 持久同源群是同态的图像: $\mathrm{H}_p^{i, j}=\operatorname{im} h_p^{i, j}$ ，为了 $0 \leq i \leq j \leq n$ . 这 $p$-th 持久的 Betti 数字是维度 $\beta_p^{i, j}=\operatorname{dim} \mathrm{H}_p^{i, j}$ 向量空间 $\mathrm{H}_p^{i, j}$.
这 $p$-th 持久同源群包含同源类何时诞生或何时消亡的重要信息。一个类的生雨问题变得更加微妙，因为 当一个新类诞生时，许多其他类也诞生了，这些类是这个新类和任何其他现有类的总和。同样，当一个 类不复存在时，许多其他类也可能随之不复存在。因此，我们需要一种机制来规范地配对出生和死亡。 数字3.7说明了一个类的出生和死亡，尽管如事实 $3.3$ 所述，出生和死亡事件的配对更为复杂。
观察到的非平凡元素 $p$-th 持久同源群 $\mathrm{H}_p^{i, j}$ 由从中幸存下来的类组成 $X_i$ 到 $X_j$ ，也就是说，没有被边界“商 出”的类 $X_j$. 因此，可以观察以下内容。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Persistence Diagram

事实3.3提供了阶级出生和死亡配对的定性特征。现在我们给出一个定量特征，这有助于绘制这种配对的 可视化表示，称为持久性图；见图 3.8(a)。考虑扩展平面 $\bar{R}^2:=(\mathbb{R} \cup \pm \infty)^2$ 我们代表出生于 $a_i$ 与死亡 配对 $a_j$ 作为一个点 $\left(a_i, a_j\right)$. 本次配对使用持久配对功能 $\mu_p^{i, j}$ 定义如下。此函数的严格正值对应于持久性 图中的多个点（定义 3.8) 。接下来，为了解释永不消亡的类，我们扩展了方程式中的诱导模块。(3.3) 在 右端假设 $\mathrm{H} p(X n+1)=0$.
定义 3.6。为了 $0<i<j \leq n+1$ ，定义
$$
\mu_p^{i, j}=\left(\beta_p^{i, j-1}-\beta_p^{i, j}\right)-\left(\beta_p^{i-1, j-1}-\beta_p^{i-1, j}\right) .
$$
右侧的第一个差值计算出生时或之前出生的独立班级的数量 $X_i$ 并死于进入 $X_j$. 第二个差异计算出生在或 之前的独立班级的数量 $X_{i-1}$ 并死于进入 $X_j$. 因此，这两个差异之间的差异计算了出生时独立阶级的数量 $X_i$ 并死于进入 $X_j$. 什么时候 $j-n+1, \mu_p^{i, n+1}$ 计算出生于的独立班级的数量 $X_i$ 并死于进入 $X_{n+1}$. 它们 在原始过滤中一直存活到最后，没有延伸，或者我们说它们永远不会死。强调存在于 $X_n$ 实际上永远不会 死，我们等同于 $n+1$ 和 $\infty$ 并釆取 $a_{n+1}=a_{\infty}=\infty$. 观察到，根据这个假设，我们有 $\beta^{i, n+1}=\beta^{i, \infty}=0$ 每一个 $i \leq n$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Some Algebras of Small Dimensions

One might like to know how many $K$-algebras there are of a given dimension, up to isomorphism. In general there might be far too many different algebras, but for small dimensions one can hope to get a complete overview. We fix a field $K$, and we consider $K$-algebras of dimension at most 2. For these, there are some restrictions.
Proposition 1.28. Let $K$ be a field.
(a) Every 1 -dimensional $K$-algebra is isomorphic to $K$.
(b) Every 2-dimensional $K$-algebra is commutative.
Proof. (a) Let $A$ be a 1-dimensional $K$-algebra. Then $A$ must contain the scalar multiples of the identity element, giving a subalgebra $U:=\left{\lambda 1_{A} \mid \lambda \in K\right} \subseteq A$. Then $U=A$, since $A$ is 1-dimensional. Moreover, according to axiom (Alg) from Definition $1.1$ the product in $U$ is given by $\left(\lambda 1_{A}\right)\left(\mu 1_{A}\right)=(\lambda \mu) 1_{A}$ and hence the map $A \rightarrow K, \lambda 1_{A} \mapsto \lambda$, is an isomorphism of $K$-algebras.

(b) Let $A$ be a 2-dimensional $K$-algebra. We can choose a basis which contains the identity element of $A$, say $\left{1_{A}, b\right}$ (use from linear algebra that every linearly independent subset can be exlended to a basis). The basis elements clearly commute; but then also any linear combinations of basis elements commute, and therefore $A$ is commutative.

We consider now algebras of dimension 2 over the real numbers $\mathbb{R}$. The aim is to classify these, up to isomorphism. The method will be to find suitable bases, leading to ‘canonical’ representatives of the isomorphism classes. It will turn out that there are precisely three $\mathbb{R}$-algebras of dimension 2, see Proposition $1.29$ below.

So we take a 2-dimensional $\mathbb{R}$-algebra $A$, and we choose a basis of $A$ containing the identity. say $\left{1_{A}, b\right}$, as in the above proof of Proposition $1.28$. Then $b^{2}$ must be a linear combination of the basis elements, so there are scalars $\gamma, \delta \in \mathbb{R}$ such that $b^{2}=\gamma 1_{A}+\delta b$. We consider the polynomial $X^{2}-\delta X-\gamma \in \mathbb{R}[X]$ and we complete squares,
$$
X^{2}-\delta X-\gamma=(X-\delta / 2)^{2}-\left(\gamma+(\delta / 2)^{2}\right)
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Definition and Examples

A vector space over a field $K$ is an abelian group $V$ together with a scalar multiplication $K \times V \rightarrow V$, satisfying the usual axioms. If one replaces the field $K$ by a ring $R$, then one gets the notion of an $R$-module. Although we mainly deal with algebras over fields in this book, we slightly broaden the perspective in this chapter by defining modules over rings. We always assume that rings contain an identity element.

Definition 2.1. Let $R$ be a ring with identity element $1_{R}$. A left $R$-module (or just $R$-module ) is an abelian group $(M,+)$ together with a map
$$
R \times M \rightarrow M, \quad(r, m) \mapsto r \cdot m
$$
such that for all $r, s \in R$ and all $m, n \in M$ we have
(i) $(r+s) \cdot m=r \cdot m+s \cdot m$;
(ii) $r \cdot(m+n)=r \cdot m+r \cdot n$;
(iii) $r \cdot(s \cdot m)=(r s) \cdot m$;
(iv) $1_{R} \cdot m=m$.

Exercise 2.1. Let $R$ be a ring (with zero element $0_{R}$ and identity element $1_{R}$ ) and $M$ an $R$-module with zero element $0_{M}$. Show that the following holds for all $r \in R$ and $m \in M$ :
(i) $0_{R} \cdot m=0_{M}$
(ii) $r \cdot 0_{M}=0_{M}$;
(ii) $-(r \cdot m)=(-r) \cdot m=r \cdot(-m)$, in particular $-m=\left(-1_{R}\right) \cdot m$.
Remark 2.2. Completely analogous to Definition $2.1$ one can define right $R$-modules, using a map $M \times R \rightarrow M,(m, r) \mapsto m \cdot r$. When the ring $R$ is not commutative the behaviour of left modules and of right modules can be different; for an illustration see Exercise $2.22$. We will consider only left modules, since we are mostly interested in the case when the ring is a $K$-algebra, and scalars are usually written to the left.

Before dealing with elementary properties of modules we consider a few examples.
Example 2.3.
(1) When $R=K$ is a field, then $R$-modules are exactly the same as $K$-vector spaces. Thus, modules are a true generalization of the concept of a vector space.
(2) Let $R=\mathbb{Z}$, the ring of integers. Then every abelian group can be viewed as a $\mathbb{Z}$-module: If $n \geq 1$ then $n \cdot a$ is set to be the sum of $n$ copies of $a$, and $(-n) \cdot a:=-(n \cdot a)$, and $0_{\mathbb{Z}} \cdot a=0$. With this, conditions (i) to (iv) in Definition $2.1$ hold in any abelian group.
(3) Let $R$ be a ring (with 1 ). Then every left ideal $I$ of $R$ is an $R$-module, with $R$-action given by ring multiplication. First, as a left ideal, $(I,+)$ is an abelian group. The properties (i)-(iv) hold even for arbitrary elements in $R$.
(4) A very important special case of $(3)$ is that every ring $R$ is an $R$-module, with action given by ring multiplication.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Some Algebras of Small Dimensions

可能想知道有多少 $K$-代数有一个给定的维度，直到同构。一般来说，可能有太多不同的代数，但对于小尺寸，人 们可以希望得到一个完整的概述。我们修复一个字段 $K$, 我们认为 $K$ – 维数最多为 2 的代数。对于这些，有一些限 制。
提案 $1.28$ 。让 $K$ 成为一个领域。
(a) 每一维 $K$-代数同构于 $K$.
(b) 每个二维 $K$-代数是可交换的。
证明。(a) 让 $A$ 是一维的 $K$-代数。然后 $A$ 必须包含单位元素的标量倍数，给出一个子代数
$\mathrm{~ U : = I l e f t { l l a m b d a ~ 1 _ { A } ~ \ m i d ~ \ l a m b d a ~ \ i n ~ K}$ 公理 (Alg) 1.1产品在 $U$ 是 (谁) 给的 $\left(\lambda 1_{A}\right)\left(\mu 1_{A}\right)=(\lambda \mu) 1_{A}$ 因此地图 $A \rightarrow K, \lambda 1_{A} \mapsto \lambda$ ，是一个同构 $K$-代 数。
(b) 让 $A$ 是二维的 $K$-代数。我们可以选择一个包含恒等元素的基 $A$ ，说】left{1_{A}, b\right } （使用线性代数，每个 线性独立的子集都可以扩展为一个基)。基本元素明显通勤；但随后基元素的任何线性组合也可以通勤，因此 $A$ 是 可交换的。
我们现在考虑实数上的 2 维代数 $\mathbb{R}$. 目的是将这些分类，直至同构。该方法将是找到合适的基，从而导致同构类的 $\mathrm{~ ” 规 范 ” 代 表 。 事 实 证 明 ， 恰 好 有 三 个}$
所以我们取一个二维 $\mathbb{R}$-代数 $A$, 我们选择一个基 $A$ 包含身份。说 \left{1_{A}, bIright $}$, 如上述命题证明 $1.28$. 然后 $b^{2}$ 必 须是基元素的线性组合，所以有标量 $\gamma, \delta \in \mathbb{R}$ 这样 $b^{2}=\gamma 1_{A}+\delta b$. 我们考虑多项式 $X^{2}-\delta X-\gamma \in \mathbb{R}[X]$ 我 们完成正方形，
$$
X^{2}-\delta X-\gamma=(X-\delta / 2)^{2}-\left(\gamma+(\delta / 2)^{2}\right)
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Definition and Examples

场上的向量空间 $K$ 是一个阿贝尔群 $V$ 连同一个标量乘法 $K \times V \rightarrow V$ ，满足通常的公理。如果葛换字段 $K$ 用戒指 $R$ ，然 后人们得到一个概念 $R$-模块。虽然我们在本书中主要处理域上的代数，但我们通过定义环上的模块稍微拓宽了本章的视 野。我们总是假设环包含一个恒等元表。
定义 2.1。让 $R$ 是一个有身份元表的戒指 $1_{R}$.一个左 $R$-module (或只是 $R$-module) 是一个阿贝尔群 $(M,+)$ 连同一张 地图
$$
R \times M \rightarrow M, \quad(r, m) \mapsto r \cdot m
$$
这样对于所有人 $r, s \in R$ 和所有 $m, n \in M$ 我们有
(-) $(r+s) \cdot m=r \cdot m+s \cdot m$;
(二) $r \cdot(m+n)=r \cdot m+r \cdot n$;
$(\xi) r \cdot(s \cdot m)=(r s) \cdot m$
(四) $1_{R} \cdot m=m$.
练习 2.1。让 $R$ 是一个环 $\left(\right.$ 零元素 $0_{R}$ 和身份元螦 $\left.1_{R}\right)$ 和 $M 一 个 R$ – 零元素模块 $0_{M}$. 证明以下对所有人都成立 $r \in R$ 和 $m \in M$ : (
一) $0_{R} \cdot m=0_{M}$
(二) $r \cdot 0_{M}=0_{M}$;
(二) $-(r \cdot m)=(-r) \cdot m=r \cdot(-m)$ ，尤其是 $-m=\left(-1_{R}\right) \cdot m$.
备注 2.2。完全类似于定义 $2.1$ 可以定义正确 $R$-modules，使用地图 $M \times R \rightarrow M,(m, r) \mapsto m \cdot r$. 当戒指 $R$ 不是可 交换的，左模块和右模块的行为可以不同；有关揷图，清参阅练习2.22. 我们将只考虑左模块，因为我们最感兴趣的是环 是 $K$-代数，标量通常写在左边。
在处理模块的基本属性之前，我们考虑几个例子。
例 2.3。
(1) 当 $R=K$ 是一个场，那么 $R$-modules 与 $K$-向量空间。因此，模块是向量空间概念的真正概括。
(2) 让 $R=\mathbb{Z}$, 整数环。那么每个阿贝尔群都可以看成一个 $\mathbb{Z}$-模块: 如果 $n \geq 1$ 然后 $n \cdot a$ 被设置为总和 $n$ 的副本 $a$ ，和 $(-n) \cdot a:=-(n \cdot a)$ ，和 $0_{\mathbb{Z}} \cdot a=0$. 这样，定义中的条件 (i) 至 (iv) $2.1$ 在任何阿贝尔群中成立。
(3) 让 $R$ 是一个环（芇有 1) 。那么每一个左理想 $I$ 的 $R$ 是一个 $R$-模块，与 $R$-由环乘法给出的动作。首先，作为左派理 想， $(I,+)$ 是一个阿贝尔群。属性 (i)-(iv) 甚至适用于 $R$.
(4) 一个非常重要的特例 $(3)$ 是每一个环 $R$ 是一个 $R$-模块，通过环乘法给出动作。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
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如果你也在 怎样代写表示论Representation theory这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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我们提供的表示论Representation theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

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• Statistical Computing 统计计算
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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Group Algebras

Let $G$ be a group and $K$ a field. We define a vector space over $K$ which has basis the set ${g \mid g \in G}$, and we call this vector space $K G$. This space becomes a $K$-algebra if one defines the product on the basis by taking the group multiplication, and extends it to linear combinations. We call this algebra $K G$ the group algebra.
Thus an arbitrary element of $K G$ is a finite linear combination of the form $\sum_{g \in G} \alpha_{g} g$ with $\alpha_{g} \in K$. We can write down a formula for the product of two elements, following the recipe in Remark 1.4. Let $\alpha=\sum_{g \in G} \alpha_{g} g$ and $\beta=\sum_{h \in G} \beta_{h} h$ be two elements in $K G$; then their product has the form
$$
\alpha \beta=\sum_{x \in G}\left(\sum_{g h=x} \alpha_{g} \beta_{h}\right) x
$$
Since the multiplication in the group is associative, it follows that the multiplication in $K G$ is associative. Furthermore, one checks that the multiplication in $K G$ is distributive. The identity element of the group algebra $K G$ is given by the identity element of $G$.

Note that the group algebra $K G$ is finite-dimensional if and only if the group $G$ is finite, in which case the dimension of $K G$ is equal to the order of the group $G$. The group algebra $K G$ is commutative if and only if the group $G$ is abelian.

Example 1.10. Let $G$ be the cyclic group of order 3 , generated by $y$, so that $G=\left{1_{G}, y, y^{2}\right}$ and $y^{3}=1_{G}$. Then we have
$$
\left(a_{0} 1_{G}+a_{1} y+a_{2} y^{2}\right)\left(b_{0} 1_{G}+b_{1} y+b_{2} y^{2}\right)=c_{0} 1_{G}+c_{1} y+c_{2} y^{2},
$$
with
$$
c_{0}=a_{0} b_{0}+a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}, c_{1}=a_{0} b_{1}+a_{1} b_{0}+a_{2} b_{2}, c_{2}=a_{0} b_{2}+a_{1} b_{1}+a_{2} b_{0}
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Path Algebras of Quivers

Path algebras of quivers are a class of algebras with an easy multiplication formula, and they are extremely useful for calculating examples. They also have connections to other parts of mathematics. The underlying basis of a path algebra is the set of paths in a finite directed graph. It is customary in representation theory to call such a graph a quiver. We assume throughout that a quiver has finitely many vertices and finitely many arrows.

Definition 1.11. A quiver $Q$ is a finite directed graph. We sometimes write $Q=\left(Q_{0}, Q_{1}\right)$, where $Q_{0}$ is the set of vertices and $Q_{1}$ is the set of arrows.

We assume that $Q_{0}$ and $Q_{1}$ are finite sets. For any arrow $\alpha \in Q_{1}$ we denote by $s(\alpha) \in Q_{0}$ its starting point and by $t(\alpha) \in Q_{0}$ its end point.

A non-trivial path in $Q$ is a sequence $p=\alpha_{r} \ldots \alpha_{2} \alpha_{1}$ of arrows $\alpha_{i} \in Q_{1}$ such that $t\left(\alpha_{i}\right)=s\left(\alpha_{i+1}\right)$ for all $i=1, \ldots, r-1$. Note that our convention is to read paths from right to left. The number $r$ of arrows is called the length of $p$, and we denote by $s(p)=s\left(\alpha_{1}\right)$ the starting point, and by $t(p)=t\left(\alpha_{r}\right)$ the end point of $p$.
For each vertex $i \in Q_{0}$ we also need to have a trivial path of length 0 , which we call $e_{i}$, and we set $s\left(e_{i}\right)=i=t\left(e_{i}\right)$.

We call a path $p$ in $Q$ an oriented cycle if $p$ has positive length and $s(p)=t(p)$.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Group Algebras

让 $G$ 成为一个群体并且 $K$ 一个领域。我们定义一个向量空间 $K$ 有基础的集合 $g \mid g \in G$ ，我们称这个向量空间 $K G$. 这个空间变成了 $K$-代数，如果一个人通过群乘来定义乘积，并将其扩展到线性组合。我们称这个代数 $K G$ 群代 数。
因此，任意元素 $K G$ 是形式的有限线性组合 $\sum_{g \in G} \alpha_{g} g$ 和 $\alpha_{g} \in K$. 我们可以按照备注 $1.4$ 中的配方写出两个元素 的乘积公式。让 $\alpha=\sum_{g \in G} \alpha_{g} g$ 和 $\beta=\sum_{h \in G} \beta_{h} h$ 是两个元素 $K G$; 然后他们的产品有形式
$$
\alpha \beta=\sum_{x \in G}\left(\sum_{g h=x} \alpha_{g} \beta_{h}\right) x
$$
由于群中的乘法是结合的，因此群中的乘法 $K G$ 是关联的。此外，一个检查的乘法 $K G$ 是分布式的。群代数的单位 元 $K G$ 由标识元素给出 $G$.
注意群代数 $K G$ 是有限维的当且仅当群 $G$ 是有限的，在这种情况下，维度 $K G$ 等于组的阶 $G$. 群代数 $K G$ 当且仅当 群是可交换的 $G$ 是阿贝尔。
$$
\left(a_{0} 1_{G}+a_{1} y+a_{2} y^{2}\right)\left(b_{0} 1_{G}+b_{1} y+b_{2} y^{2}\right)=c_{0} 1_{G}+c_{1} y+c_{2} y^{2},
$$
和
$$
c_{0}=a_{0} b_{0}+a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}, c_{1}=a_{0} b_{1}+a_{1} b_{0}+a_{2} b_{2}, c_{2}=a_{0} b_{2}+a_{1} b_{1}+a_{2} b_{0}
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Path Algebras of Quivers

箭袋的路径代数是一类具有简单乘法公式的代数，它们对于计算示例非常有用。它们还与数学的其他部分有联系。 路径代数的基础是有限有向图中的路径集。在表示论中习恀称这样的图为箭袋。我们自始至终假设一个箭袋有有限 个顶点和有限个箭头。
定义 1.11。一个箭筒 $Q$ 是有限有向图。我们有时会写 $Q=\left(Q_{0}, Q_{1}\right)$ ，在哪里 $Q_{0}$ 是顶点的集合，并且 $Q_{1}$ 是箭头 的集合。
我们假设 $Q_{0}$ 和 $Q_{1}$ 是有限集。对于任何箭头 $\alpha \in Q_{1}$ 我们表示 $s(\alpha) \in Q_{0}$ 它的起点和 $t(\alpha) \in Q_{0}$ 它的终点。
一条不平凡的路径 $Q$ 是一个序列 $p=\alpha_{r} \ldots \alpha_{2} \alpha_{1}$ 箭头 $\alpha_{i} \in Q_{1}$ 这样 $t\left(\alpha_{i}\right)=s\left(\alpha_{i+1}\right)$ 对所有人 $i=1, \ldots, r-1$. 请注意，我们的约定是从右到左读取路径。号码 $r$ 箭头的长度称为 $p$ ，我们表示为 $s(p)=s\left(\alpha_{1}\right)$ 起点，并由 $t(p)=t\left(\alpha_{r}\right)$ 的终点 $p$.
对于每个顶点 $i \in Q_{0}$ 我们还需要一个长度为 0 的平凡路径，我们称之为 $e_{i}$ ，我们设 $s\left(e_{i}\right)=i=t\left(e_{i}\right)$.
我们称之为路径 $p$ 在 $Q$ 一个定向循环如果 $p$ 具有正长度和 $s(p)=t(p)$.

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Definition and Examples

We start by recalling the definition of a ring: A ring is a non-empty set $R$ together with an addition $+: R \times R \rightarrow R,(r, s) \mapsto r+s$ and a multiplication $:: R \times R \rightarrow R$, $(r, s) \mapsto r \cdot s$ such that the following axioms are satisfied for all $r, s, t \in R$ :
(R1) (Associativity of $+) r+(s+t)=(r+s)+t$.
(R2) (Zero element) There exists an element $0_{R} \in R$ such that $r+0_{R}=r=0_{R}+r$.
(R3) (Additive inverses) For every $r \in R$ there is an element $-r \in R$ such that $r+(-r)=0_{R}$
(R4) (Commutativity of $+) r+s=s+r$.
(R5) (Distributivity) $r \cdot(s+t)=r \cdot s+r \cdot t$ and $(r+s) \cdot t=r \cdot t+s \cdot t$.
(R6) (Associativity of $\cdot) r \cdot(s \cdot t)=(r \cdot s) \cdot t$.
(R7) (Identity element) There is an element $1_{R} \in R \backslash{0}$ such that $1_{R} \cdot r=r=r \cdot 1_{R}$
Moreover, a ring $R$ is called commutative if $r \cdot s=s \cdot r$ for all $r, s \in R$.
As usual, the multiplication in a ring is often just written as $r s$ instead of $r \cdot s$; we will follow this convention from now on.

Note that axioms ( $\mathrm{R} 1)-(\mathrm{R} 4)$ say that $(R,+)$ is an abelian group. We assume by Axiom (R7) that all rings have an identity element; usually we will just write 1 for $1_{R}$. Axiom (R7) also implies that $1_{R}$ is not the zero element. In particular, a ring has at least two elements.
We list some common examples of rings.
(1) The integers $\mathbb{Z}$ form a ring. Every field is also a ring, such as the rational numbers $\mathbb{Q}$, the real numbers $\mathbb{R}$, the complex numbers $\mathbb{C}$, or the residue classes $\mathbb{Z}{p}$ of integers modulo $p$ where $p$ is a prime number. (2) The $n \times n$-matrices $M{n}(K)$, with entries in a field $K$, form a ring with respect to matrix addition and matrix multiplication.
(3) The ring $K[X]$ of polynomials over a field $K$ where $X$ is a variable. Similarly, the ring of polynomials in two or more variables, such as $K[X, Y]$.

Examples (2) and (3) are not just rings but also vector spaces. There are many more rings which are vector spaces, and this has led to the definition of an algebra.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Division Algebras

A commutative ring is a field precisely when every non-zero element has an inverse with respect to multiplication. More generally, there are algebras in which every non-zero element has an inverse, and they need not be commutative.

Definition 1.7. An algebra $A$ (over a field $K$ ) is called a division algebra if every non-zero element $a \in A$ is invertible, that is, there exists an element $b \in A$ such that $a b=1_{A}=b a$. If so, we write $b=a^{-1}$. Note that if $A$ is finite-dimensional and $a b=1_{A}$ then it follows that $b a=1_{A}$; see Exercise $1.8$.

Division algebras occur naturally, we will see this later. Clearly, every field is a division algebra. There is a famous example of a division algebra which is not a field, this was discovered by Hamilton.

Example 1.8. The algebra $\mathbb{H}$ of quaternions is the 4-dimensional algebra over $\mathbb{R}$ with basis elements $1, i, j, k$ and with multiplication defined by
$$
i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1
$$
and
$$
i j=k, j i=-k, j k=i, k j=-i, k i=j, i k=-j
$$
and extending to linear combinations. That is, an arbitrary element of $\mathbb{H}$ has the form $a+b i+c j+d k$ with $a, b, c, d \in \mathbb{R}$, and the product of two elements in $\mathbb{H}$ is given by
$$
\begin{aligned}
&\left(a_{1}+b_{1} i+c_{1} j+d_{1} k\right) \cdot\left(a_{2}+b_{2} i+c_{2} j+d_{2} k\right)= \
&\left(a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2}-c_{1} c_{2}-d_{1} d_{2}\right)+\left(a_{1} b_{2}+b_{1} a_{2}+c_{1} d_{2}-d_{1} c_{2}\right) i \
&+\left(a_{1} c_{2}-b_{1} d_{2}+c_{1} a_{2}+d_{1} b_{2}\right) j+\left(a_{1} d_{2}+b_{1} c_{2}-c_{1} b_{2}+d_{1} a_{2}\right) k
\end{aligned}
$$
It might be useful to check this formula, see Exercise $1.11$.
One can check directly that the multiplication in $\mathrm{H}$ is associative, and that it satisfies the distributive law. But this will follow more easily later from a different construction of $\mathbb{H}$, see Example $1.27$.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Definition and Examples

我们首先回顾一下环的定义：环是一个非空集 $R$ 再加上一个+ : $R \times R \rightarrow R,(r, s) \mapsto r+s$ 和一个乘法 $:: R \times R \rightarrow R,(r, s) \mapsto r \cdot s$ 使得以下公理满足所有 $r, s, t \in R$ :
(R1) (结合性 $+) r+(s+t)=(r+s)+t$.
(R2) (零元素) 存在一个元素 $0_{R} \in R$ 这样 $r+0_{R}=r=0_{R}+r$.
(R3) (加法逆) 对于每个 $r \in R$ 有一个元素 $-r \in R$ 这样 $r+(-r)=0_{R}$
(R4) (交换律 $+) r+s=s+r$.
(R5) (分配性) $r \cdot(s+t)=r \cdot s+r \cdot t$ 和 $(r+s) \cdot t=r \cdot t+s \cdot t$.
(R6) (结合性.) $r \cdot(s \cdot t)=(r \cdot s) \cdot t$.
(R7) (标识元素) 有一个元素 $1_{R} \in R \backslash 0$ 这样 $1_{R} \cdot r=r=r \cdot 1_{R}$
此外，一个戒指 $R$ 被称为可交换如果 $r \cdot s=s \cdot r$ 对所有人 $r, s \in R$.
像往常一样，环中的乘法通常只写成 $r s$ 代替 $r \cdot s$; 从现在开始，我们将遵循这个约定。
请注意，公理 (R1) – (R4)比如说 $(R,+)$ 是一个阿贝尔群。我们通过 Axiom (R7) 假设所有环都有一个单位元 素；通常我们只写 1 为 $1_{R}$. 公理 (R7) 还暗示 $1_{R}$ 不是零元素。特别是，一个环至少有两个元素。
我们列出了一些常见的环示例。
(1) 整数 $\mathbb{Z}$ 形成一个环。每个域也是一个环，比如有理数 $\mathbb{Q}$ ，实数 $\mathbb{R}$ ，复数 $\mathbb{C}$ ，或剩余类 $\mathbb{Z} p$ 整数模 $p$ 在哪里 $p$ 是一个素 数。(2) $n \times n$-矩阵 $M n(K)$ ，在字段中包含条目 $K$ ，关于矩阵加法和矩阵乘法形成一个环。
(3) 戒指 $K[X]$ 域上的多项式 $K$ 在哪里 $X$ 是一个变量。类似地，两个或多个变量中的多项式环，例如 $K[X, Y]$.
示例 (2) 和 (3) 不仅是环，而且是向量空间。还有更多的环是向量空间，这导致了代数的定义。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Division Algebras

当每个非零元素都具有乘法的逆时，交换环就是一个域。更一般地说，有些代数中每个非零元素都有一个逆元，它 们不需要是可交换的。
定义 1.7。代数 $A$ (在一个领域 $K$ ) 称为除法代数，如果每个非零元素 $a \in A$ 是可逆的，即存在一个元素 $b \in A$ 这 样 $a b=1_{A}=b a$. 如果是这样，我们写 $b=a^{-1}$. 请注意，如果 $A$ 是有限维的并且 $a b=1_{A}$ 然后它遵偱 $b a=1_{A}$ ； 见练习1.8.
除法代数自然发生，我们稍后会看到。显然，每个领域都是一个除法代数。有一个不是域的除法代数的著名例子， 这是由汉密尔顿发现的。
例 1.8。代数 $\mathbb{H}$ 四元数的 4 维代数 $\mathbb{R}$ 有基础元素 $1, i, j, k$ 乘法定义为
$$
i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1
$$
和
$$
i j=k, j i=-k, j k=i, k j=-i, k i=j, i k=-j
$$
并扩展到线性组合。也就是说，任意元素即有形式 $a+b i+c j+d k$ 和 $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ ，和两个元素的乘积 $\mathbb{H}$ 是 (谁) 给的
$$
\left(a_{1}+b_{1} i+c_{1} j+d_{1} k\right) \cdot\left(a_{2}+b_{2} i+c_{2} j+d_{2} k\right)=\quad\left(a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2}-c_{1} c_{2}-d_{1} d_{2}\right)+\left(a_{1} b_{2}+b_{1} a_{2}\right.
$$
检查此公式可能很有用，请参阅练习1.11.
可以直接检查中的乘法 $\mathrm{H}$ 是结合的，并且它满足分配律。但这将在稍后从不同的构造中更容易地得出 $\mathbb{H}$, 见例子 $1.27$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Intertwining Operators of the Restriction

We return to the setting of a simply connected nilpotent Lie group $G=\exp g$ and a closed connected subgroup $H=\exp \mathrm{h}$. Given an irreducible unitary representation $\pi$ of $G$, we present an explicit disintegration of the restriction $\pi_{\mid H}$ of $\pi$ to $H$, which is based on a precise description of the space of double cosets $H \backslash G / B$, where $B$ is any closed connected subgroup of $G$, and the well-known smooth disintegration of monomial representations of nilpotent Lie groups. The aim is still to write down a smooth intertwining operator for the decomposition of $\pi_{\mid H}$ into irreducibles. As an application we produce a concrete disintegration of tensor products of irreducible representations of $G$ and a criterium for the irreducibility of these representations.
One should first study the general problem of describing a concrete disintegration of the restriction of an irreducible unitary representation of $G$ to a closed connected subgroup $H=\exp$ b. Since by Kirillov’s theory every $\pi \in \hat{G}$ is of the form $\pi=\pi_{l, \mathfrak{b}}=$ ind $_{B}^{G} \chi_{l}$, where $l \in \mathrm{g}^{}$ and $\mathfrak{b} \subset \mathfrak{g}$ is a polarization at $l$, it is known from Mackey [124] that the restriction of $\pi$ to $H$ disintegrates over the set of double cosets $H \backslash G / B$ and that the integrands are of the form ind ${ }{B(x)}^{H} \chi{I(x)}$, where $B(x)=H \cap \psi(x) B \psi(x)^{-1}, x \in H \backslash G / B$ and $l(x)=\operatorname{Ad}^{}(\psi(x)) l_{\mid \mathfrak{h}}$, $x \in H \backslash G / B$ and $\psi: H \backslash G / B \rightarrow G$ is a section for the double cosets. The idea is to describe an open dense subset of $H \backslash G / B$ and a section $\psi$ which give us an explicit description of $\pi_{\mid H}$ in term of an integral over $H \backslash G / B$ of the representations ind ${ }{B(x)}^{H} \chi{l(x)}$ (see Proposition 3.5.27). The results concerning the explicit disintegration of monomial representations are used to obtain a concrete disintegration of the restriction. This is somehow needed to get an “abstract” disintegration of the restriction into irreducibles to connected closed subgroups of simply connected nilpotent Lie groups. ‘Abstract’ here means that the measure class in $\hat{G}$ for the disintegration of the restriction and the multiplicities of the irreducibles appearing in the disintegration are given. These constructions will be applied to the disintegration of the tensor product of two irreducible representations $\pi$ and $\pi^{\prime}$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Double-Coset Space

Let $\mathfrak{g}$ be a nilpotent Lie algebra, $\mathfrak{b}$ any subalgebra, $B \subset G$ their simply connected Lie groups. Recall that the exponential mapping exp : $\mathfrak{g} \rightarrow G$ is a diffeomorphism. Given a sequence of ideals
$$
\mathfrak{g}{n+1}:={0} \varsubsetneqq \ldots \varsubsetneqq \mathfrak{g}{i} \varsubsetneqq \ldots \varsubsetneqq \mathfrak{g}{1}=\mathfrak{g}, \operatorname{dim}\left(\mathfrak{g}{i} / \mathfrak{g}_{i+1}\right)=1,
$$ denote for every $i=1, \ldots, n, G_{i}:=\exp \mathfrak{g}{i}$ and choose a vector $Z{i} \in \mathfrak{g}{i} \backslash \mathfrak{g}{i+1}$, so that $\mathfrak{g}{i}=\mathbb{R}$-span $\left(Z{i}, \ldots, Z_{n}\right)$. One obtains in this way a Jordan-Hölder basis $\mathscr{Z}:=\left(Z_{1}, \ldots, Z_{n}\right)$ of $\mathfrak{g}$. To simplify the notations, let
$$
V_{1} \cdot V_{2} \cdots V_{k}:=\exp \left(V_{1}\right) \cdot \exp \left(V_{2}\right) \cdots \exp \left(V_{k}\right) \in G
$$
for given vectors $V_{1}, \ldots, V_{k} \in \mathfrak{g}$. Denote as before $d g$ the Haar measure on $G$. Using the basis $\mathscr{Z}$, one can express $d g$ in the following way.
$$
\int_{G} f(g) d g=\int_{\mathbb{R}^{n}} f\left(z_{1} Z_{1} \cdots z_{n} Z_{n}\right) d z,\left(f \in L^{1}(G)\right) .
$$
Since $G$ is nilpotent, the quotient space $G / B$ has a $G$-invariant measure which is unique up to a positive scalar multiple. This measure (denoted by $d \dot{g}$ ) is described in Chap. 1, Sect. 1.2.2. Let us recall such construction. Let
$$
\mathscr{I}^{8 / b}=\left{k \in{1, \ldots, n}, Z_{k} \notin \mathfrak{b}+\mathfrak{g}{k+1}\right}=:\left{k{1}<\ldots<k_{p}\right} .
$$
One obtains the sequence of subalgebras
$$
\mathfrak{b}^{p+1}:=\mathfrak{b} \varsubsetneqq \ldots \varsubsetneqq \mathfrak{b}^{j}:=\mathbb{R} Z_{k_{j}} \oplus \mathfrak{b}^{j-1} \varsubsetneqq \ldots \ldots \mathfrak{b}^{1}=\mathfrak{g}
$$
and the Malcev basis $\mathscr{M}:=\left(Z_{k_{1}}, \ldots, Z_{k_{p}}\right)$ of $\mathfrak{g}$ relative to $\mathfrak{b}$. The invariant measure $d \dot{g}$ is then given for $\varphi \in \mathscr{C}{c}(G / B)$ by: $$ \mu{\mathcal{M}}(\varphi)=\mu_{\mathrm{g} / \mathrm{b}}(\varphi)=\int_{G / B} \varphi(\dot{g}) d \dot{g}:=\int_{\mathbb{R}^{p}} \varphi\left(w_{1} Z_{k_{1}} \cdots w_{p} Z_{k_{p}} \cdot B\right) d w
$$
where $\mathscr{C}{c}(G / B)$ denotes the space of complex-valued continuous functions with compact support on $G / B$. This is a consequence of the fact that the mapping $$ \begin{aligned} E{\mathscr{M}}^{}: \mathbb{R}^{p} & \longrightarrow \ w=\left(w_{1}, \ldots, w_{p}\right) & \longmapsto w_{1} Z_{k_{1}} \cdots w_{p} Z_{k_{p}} \cdot B=: E_{\mathscr{A}}^{}(w)
\end{aligned}
$$
is a diffeomorphism. If $\mathfrak{h}$ is another subalgebra of $\mathfrak{g}$, then denote by $\mathbb{I}^{\mathfrak{h}} \subset{1, \ldots, n}$ the index set
$$
\mathbb{I}^{\mathfrak{h}}:=\left{i \in{1, \ldots, n} ; \mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i+1}=\mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i}\right}={1, \ldots, n} \backslash \mathbb{I}^{\mathfrak{g} / \mathfrak{h}}
$$
One can then assume that the vectors $Z_{i}, i \in \mathbb{I}^{\mathfrak{h}}$, lie in $\mathfrak{h}$ so that $\mathfrak{h}=\mathbb{R}$-span $\left{Z_{i}, i \in\right.$ $\left.\mathbb{I}^{\mathrm{h}}\right}$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Set of Double Cosets

For $g \in G$, denote by $\bar{g}$ its double coset $H \cdot g \cdot B={h g b,(h, b) \in H \times B}$. The aim is to find an open dense subset of $H \backslash G / B$ which will support the measure $d \gamma(\bar{g})$ and which is diffeomorphic to a Zariski open subset of $\mathbb{R}^{d}$ for some $d \in \mathbb{N}^{*}$. The following example illustrates this fact:

Example 3.5.1 Let $\mathfrak{g}$ be the 7-dimensional Lie algebra spanned by the JordanHölder basis $\mathscr{Z}=\left(Z_{1}, \ldots, Z_{7}\right)$, equipped with the brackets
$$
\left[Z_{1}, Z_{4}\right]=Z_{6}, \quad\left[Z_{1}, Z_{5}\right]=Z_{7}, \quad\left[Z_{2}, Z_{3}\right]=Z_{7}
$$
Consider its Abelian subalgebras $h=\mathbb{R}-\operatorname{span}\left(Z_{4}, Z_{5}, Z_{7}\right)$ and $\mathfrak{b}=\mathbb{R}-\operatorname{span}\left(Z_{3}, Z_{4}\right.$, $Z_{7}$. Since many products commute, the element $g=: z_{1} Z_{1} \cdots z_{7} Z_{7} \in G$, $\left(z_{1}, \ldots, z_{7}\right) \in \mathbb{R}^{7}$, can be described in the following way:
$$
\begin{aligned}
g &=\left(z_{1} Z_{1} \cdot z_{5} Z_{5}\right) \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot\left(z_{3} Z_{3} \cdot z_{4} Z_{4} \cdot z_{7} Z_{7}\right) \
&=\left(z_{1} z_{5} Z_{7} \cdot z_{5} Z_{5} \cdot z_{1} Z_{1}\right) \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot\left(z_{3} Z_{3} \cdot z_{4} Z_{4} \cdot z_{7} Z_{7}\right) \
& \in H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot B
\end{aligned}
$$
This implies that $\bar{g}=H \cdot g \cdot B=H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot B$. On the other hand if $z_{1} \neq 0$, the element $z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6}$ can also be written as $z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2}$ conjugated by $\exp \left(-\frac{26}{z_{1}}\right) Z_{4}$, which is contained in $H \cap B$. Hence if $z 1 \neq 0$, then $\bar{g}=H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot B$. As a conclusion,
$H \backslash G / B=\left{H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot B,\left(z_{1}, z_{2}\right) \in \mathscr{V}\right} \dot{\cup}\left{H \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot B,\left(z_{2}, z_{6}\right) \in \mathbb{R}^{2}\right}$
$=\quad \mathbf{p}\left(G \backslash G_{2}\right) \quad \dot{u} \quad \mathbf{p}\left(G_{2}\right)$
where $\mathbf{p}: g \longmapsto \tilde{g}$, is the canonical projection of $G$ on $H \backslash G / B$, and $\mathscr{V}:=$ $\mathbb{R}^{\star} \times \mathbb{R}$. Hence the space $H \backslash G / B$ is the disjoint union of two subsets, the first is the projection of a Zariski open subset of $G$ and the second of a Zariski closed subset. The measure $d \gamma(\bar{g})$ is shown to be supported on the first set.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Intertwining Operators of the Restriction

我们回到单连通幂零李群的设置G=经验⁡G和一个封闭的连通子群H=经验⁡H. 给定一个不可约的酉表示圆周率的G，我们提出了限制的明确解体圆周率∣H的圆周率至H，它基于对双陪集空间的精确描述H∖G/乙， 在哪里乙是任何闭合连通子群G，以及众所周知的幂等李群的单项式表示的平滑分解。目的仍然是写出一个平滑的交织算子来分解圆周率∣H变成不可约数。作为一个应用程序，我们产生了不可约表示的张量积的具体分解G以及这些表示的不可约性的标准。
应该首先研究描述一个不可约的单一表示的限制的具体解体的一般问题G到一个封闭的连通子群H=经验湾。由于基里洛夫的理论圆周率∈G^是形式圆周率=圆周率l,b=工业乙Gχl， 在哪里l∈G和b⊂G是极化在l，从 Mackey [124] 可知，限制圆周率至H在双陪集集上解体H∖G/乙并且被积函数的形式为 ind乙(X)Hχ我(X)， 在哪里乙(X)=H∩ψ(X)乙ψ(X)−1,X∈H∖G/乙和l(X)=广告⁡(ψ(X))l∣H, X∈H∖G/乙和ψ:H∖G/乙→G是双陪衬的一个部分。这个想法是描述一个开放的密集子集H∖G/乙和一节ψ这给了我们一个明确的描述圆周率∣H就积分而言H∖G/乙的陈述 ind乙(X)Hχl(X)（见提案 3.5.27）。关于单项式表示的显式分解的结果用于获得约束的具体分解。不知何故，需要将限制“抽象”分解为不可约的单连通幂零李群的连通闭子群。这里的“抽象”是指度量类在G^给出了约束的解体以及解体中出现的不可约数的多重性。这些构造将应用于分解两个不可约表示的张量积圆周率和圆周率′.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Double-Coset Space

让G是一个幂零李代数，b任何子代数，乙⊂G他们的单连通李群。回想一下指数映射 exp ：G→G是微分同胚。给定一系列理想

Gn+1:=0⫋…⫋G一世⫋…⫋G1=G,暗淡⁡(G一世/G一世+1)=1,表示每个一世=1,…,n,G一世:=经验⁡G一世并选择一个向量从一世∈G一世∖G一世+1， 以便G一世=R-跨度(从一世,…,从n). 以这种方式获得 Jordan-Hölder 基从:=(从1,…,从n)的G. 为了简化符号，让

在1⋅在2⋯在ķ:=经验⁡(在1)⋅经验⁡(在2)⋯经验⁡(在ķ)∈G
对于给定的向量在1,…,在ķ∈G. 像以前一样表示dG哈尔测量G. 使用基础从, 可以表达dG通过以下方式。

∫GF(G)dG=∫RnF(和1从1⋯和n从n)d和,(F∈大号1(G)).
自从G是幂零的，商空间G/乙有个G-在正标量倍数之前唯一的不变度量。该措施（表示为dG˙) 在第 1 章中进行了描述。1，第。1.2.2。让我们回顾一下这样的结构。让

\mathscr{I}^{8 / b}=\left{k \in{1, \ldots, n}, Z_{k} \notin \mathfrak{b}+\mathfrak{g}{k+1}\右}=:\left{k{1}<\ldots<k_{p}\right} 。\mathscr{I}^{8 / b}=\left{k \in{1, \ldots, n}, Z_{k} \notin \mathfrak{b}+\mathfrak{g}{k+1}\右}=:\left{k{1}<\ldots<k_{p}\right} 。
一个获得子代数的序列

bp+1:=b⫋…⫋bj:=R从ķj⊕bj−1⫋……b1=G
和马尔切夫基础米:=(从ķ1,…,从ķp)的G关系到b. 不变的度量dG˙然后给出披∈CC(G/乙)经过：

μ米(披)=μG/b(披)=∫G/乙披(G˙)dG˙:=∫Rp披(在1从ķ1⋯在p从ķp⋅乙)d在
在哪里CC(G/乙)表示具有紧支持的复值连续函数空间G/乙. 这是由于映射

和米:Rp⟶ 在=(在1,…,在p)⟼在1从ķ1⋯在p从ķp⋅乙=:和一个(在)
是微分同胚。如果H是的另一个子代数G，然后表示为我H⊂1,…,n索引集

\mathbb{I}^{\mathfrak{h}}:=\left{i \in{1, \ldots, n} ; \mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i+1}=\mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i}\right}={1, \ldots, n} \反斜杠 \mathbb{I} ^{\mathfrak{g} / \mathfrak{h}}\mathbb{I}^{\mathfrak{h}}:=\left{i \in{1, \ldots, n} ; \mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i+1}=\mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i}\right}={1, \ldots, n} \反斜杠 \mathbb{I} ^{\mathfrak{g} / \mathfrak{h}}
然后可以假设向量从一世,一世∈我H， 位于H以便H=R-跨度\left{Z_{i}, i \in\right.$ $\left.\mathbb{I}^{\mathrm{h}}\right}\left{Z_{i}, i \in\right.$ $\left.\mathbb{I}^{\mathrm{h}}\right}

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Set of Double Cosets

为了G∈G，表示为G¯它的双重陪衬H⋅G⋅乙=HGb,(H,b)∈H×乙. 目的是找到一个开放的密集子集H∖G/乙这将支持该措施dC(G¯)并且它与 Zariski 的开子集微分同胚Rd对于一些d∈ñ∗. 以下示例说明了这一事实：

示例 3.5.1 让G是由 JordanHölder 基跨越的 7 维李代数从=(从1,…,从7), 配备支架

[从1,从4]=从6,[从1,从5]=从7,[从2,从3]=从7
考虑它的阿贝尔子代数H=R−跨度⁡(从4,从5,从7)和b=R−跨度⁡(从3,从4, 从7. 由于许多产品通勤，元素G=:和1从1⋯和7从7∈G,(和1,…,和7)∈R7, 可以用以下方式描述：

G=(和1从1⋅和5从5)⋅和2从2⋅和6从6⋅(和3从3⋅和4从4⋅和7从7) =(和1和5从7⋅和5从5⋅和1从1)⋅和2从2⋅和6从6⋅(和3从3⋅和4从4⋅和7从7) ∈H⋅和1从1⋅和2从2⋅和6从6⋅乙
这意味着G¯=H⋅G⋅乙=H⋅和1从1⋅和2从2⋅和6从6⋅乙. 另一方面，如果和1≠0, 元素和1从1⋅和2从2⋅和6从6也可以写成和1从1⋅和2从2共轭经验⁡(−26和1)从4，它包含在H∩乙. 因此，如果和1≠0， 然后G¯=H⋅和1从1⋅和2从2⋅乙. 作为结论，
H \反斜杠 G / B=\left{H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot B,\left(z_{1}, z_{2}\right) \in \mathscr{V}\right} \dot{\cup}\left{H \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot B,\left(z_{2 }, z_{6}\right) \in \mathbb{R}^{2}\right}H \反斜杠 G / B=\left{H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot B,\left(z_{1}, z_{2}\right) \in \mathscr{V}\right} \dot{\cup}\left{H \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot B,\left(z_{2 }, z_{6}\right) \in \mathbb{R}^{2}\right}
=p(G∖G2)在˙p(G2)
在哪里p:G⟼G~，是的规范投影G上H∖G/乙， 和在:= R⋆×R. 因此空间H∖G/乙是两个子集的不相交并集，第一个是 Zariski 开子集的投影G和 Zariski 封闭子集的第二个。的措施dC(G¯)显示在第一组上受支持。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写