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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|STAT306

Posted on 2023年2月8日2023年2月8日 by statistics-lab

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随机过程 用于表示在时间上发展的统计现象以及在处理这些现象时出现的理论模型，由于这些现象在许多领域都会遇到，因此这篇文章具有广泛的实际意义。

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Statistical Machine Learning 统计机器学习
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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Two Basic Methods in This Book

In this section, we shall present two basic methods (via illuminating examples) that will be systematically used throughout this book.

The main method that we employ in this book to deal with the analysis of the structure of stochastic distributed parameter systems is the global Carleman type estimate. This method was introduced by T. Carleman ([47]) in 1939 to prove the uniqueness of solutions to second order elliptic partial differential equations with two variables. The key in [47] is an elementary energy estimate with some exponential weight. This type of weighted energy estimates, now referred to as Carleman estimates, have become one of the major tools in the study of unique continuation property, inverse problems and control problems for many partial differential equations. However, it is only in the last ten plus years that the power of the global Carleman estimate in the context of controllability of stochastic partial differential equations came to be realized. For the readers’ convenience, we explain the main idea of Carleman estimate by the following very simple example:
Example 1.14. Consider the following ordinary differential equation in $\mathbb{R}^n$ :
$$
\left{\begin{array}{l}
y_t(t)=a(t) y(t) \quad \text { in }[0, T], \
y(0)=y_0 .
\end{array}\right.
$$
It is well-known that if $a \in L^{\infty}(0, T)$, then there is a constant $\mathcal{C}_T>0$ such that for all solutions of (1.45), it holds that $$
\max {t \in[0, T]}|y(t)|{\mathbb{R}^n} \leq \mathcal{C}T\left|y_0\right|{\mathbb{R}^n}, \quad \forall y_0 \in \mathbb{R}^n .
$$
Now we give a slightly different proof of this result via Carleman-type estimate:
For any $\lambda \in \mathbb{R}$, it is easy to see that
$$
\begin{aligned}
& \frac{d}{d t}\left(e^{-2 \lambda t}|y(t)|{\mathbb{R}^n}^2\right) \ & =-2 \lambda e^{-2 \lambda t}|y(t)|{\mathbb{R}^n}^2+2 e^{-2 \lambda t}\left\langle y_t(t), y(t)\right\rangle_{\mathbb{R}^n}=2(a(t)-\lambda) e^{-2 \lambda t}|y(t)|{\mathbb{R}^n}^2 \end{aligned} $$ Choosing $\lambda=|a|{L^{\infty}(0, T)}$, we find that
$$
|y(t)|{\mathbb{R}^n} \leq e^{\lambda T}\left|y_0\right|{\mathbb{R}^n}, \quad t \in[0, T]
$$
which proves (1.46).

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Integrals and Expectation

In this section, we recall the definitions and some basic results for the Bochner integral and the Pettis integral. We omit the proofs and refer the readers to $[74,143]$. Let us fix a $\sigma$-finite measure space $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$, a probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ and a Banach space $H$.

Let $f(\cdot)$ be an (H-valued) $\mathcal{F}$-simple function in the form (2.2). We call $f(\cdot)$ Bochner integrable if $\mu\left(E_i\right)<\infty$ for each $i=1, \cdots, k$. In this case, for any $E \in \mathcal{F}$, the Bochner integral of $f(\cdot)$ over $E$ is defined by
$$
\int_E f(s) d \mu=\sum_{i=1}^k \mu\left(E \cap E_i\right) h_i .
$$
In general, we have the following notion.
Definition 2.14. A strongly $\mathcal{F}$-measurable function $f(\cdot): \Omega \rightarrow H$ is said to be Bochner integrable (w.r.t. $\mu$ ) if there exists a sequence of Bochner integrable $\mathcal{F}$-simple functions $\left{f_i(\cdot)\right}_{i=1}^{\infty}$ converging strongly to $f(\cdot), \mu$-a.e. in $\Omega$, so that
$$
\lim {i, j \rightarrow \infty} \int{\Omega}\left|f_i(s)-f_j(s)\right|_H d \mu=0 .
$$

For any $E \in \mathcal{F}$, the Bochner integral of $f(\cdot)$ over $E$ is defined by
$$
\int_E f(s) d \mu=\lim {i \rightarrow \infty} \int{\Omega} \chi_E(s) f_i(s) d \mu(s) \quad \text { in } H .
$$
It is easy to verify that the limit in the right hand side of (2.4) exists and its value is independent of the choice of the sequence $\left{f_i(\cdot)\right}_{i=1}^{\infty}$. Clearly, when $H=\mathbb{R}^n$ (for some $n \in \mathbb{N}$ ), the above Bochner integral coincides the usual integral for $\mathbb{R}^n$-valued functions.

Particularly, if $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ ia a probability space and $f: \Omega \rightarrow H$ is Bochner integrable (w.r.t. $\mathbb{P}$ ), then we say that $f$ has a mean, denoted by
$$
\mathbb{E} f=\int_{\Omega} f d \mathbb{P} \text {. }
$$
We also call $\mathbb{E} f$ the (mathematical) expectation of $f$.
The following result reveals the relationship between the Bochner integral (for vector-valued functions) and the usual integral (for scalar functions).

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Two Basic Methods in This Book

在本节中，我们将介绍两种基本方法 (通过有启发性的示例)，这两种方法将在整本书中系统地使用。
我们在本书中用于处理随机分布参数系统结构分析的主要方法是全局 Carleman 类型估计。该方法由 T. Carleman ([47]) 于 1939 年提出，用于证明二阶双变量椭圆偏微分方程解的唯一性。[47] 中的关键是具有一些指数权重的基本能量估计。这种加权能量估计，现在称为 Carleman 估计，已成为研究许多偏微分方程的唯一连续性、反问题和控制问题的主要工具之一。然而，直到最近十多年，全局 Carleman 估计在随机偏微分方程可控性背景下的威力才得以实现。
示例 1.14。考虑以下常微分方程 $\mathbb{R}^n$ :
$\$ \$$
左 {
$$
y_t(t)=a(t) y(t) \quad \text { in }[0, T], y(0)=y_0 .
$$
正确的。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Integrals and Expectation

在本节中，我们回顾一下 Bochner 积分和 Pettis 积分的定义和一些基本结果。我们省略了证明，请读者参考 $[74,143]$. 让我们修复一个 $\sigma$-有限测度空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ ，一个概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 和巴拿赫空间 $H$.
让 $f(\cdot)$ 是一个 ( $\mathrm{H}$ 值) $\mathcal{F}$ – 形式为 $(2.2)$ 的简单函数。我们称之为 $f(\cdot)$ Bochner 可积若 $\mu\left(E_i\right)<\infty$ 每个 $i=1, \cdots, k$. 在这种情况下，对于任何 $E \in \mathcal{F}$ ，的博赫纳积分 $f(\cdot)$ 超过 $E$ 由定义
$$
\int_E f(s) d \mu=\sum_{i=1}^k \mu\left(E \cap E_i\right) h_i .
$$
一般来说，我们有以下概念。
定义 2.14。强烈的 $\mathcal{F}$-可测量的功能 $f(\cdot): \Omega \rightarrow H$ 据说是 Bochner 可积的 $(w r t \mu)$ 如果存在 $\Omega$ ，以便
$$
\lim i, j \rightarrow \infty \int \Omega\left|f_i(s)-f_j(s)\right|H d \mu=0 . $$ 对于任何 $E \in \mathcal{F}$ ，的博赫纳积分 $f(\cdot)$ 超过 $E$ 由定义 $$ \int_E f(s) d \mu=\lim i \rightarrow \infty \int \Omega \chi_E(s) f_i(s) d \mu(s) \quad \text { in } H . $$ 很容易验证式(2.4)右边的极限存在并且它的值与序列的选择无关 Meft{f_i(lcdot)\right}{i=1}^{linfty}. 显然，当 $H=\mathbb{R}^n$ (对于一些 $n \in \mathbb{N}$ ), 上述 Bochner 积分与通常的积分一致 $\mathbb{R}^n$ – 值函数。
特别是，如果 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \mathrm{ia}$ 一个概率空间和 $f: \Omega \rightarrow H$ 是 Bochner 可积的 (wrtP), 那么我们说 $f$ 有一个平均值，表示为
$$
\mathbb{E} f=\int_{\Omega} f d \mathbb{P} .
$$
我们也叫 $f$ 的 (数学) 期望 $f$.
下面的结果揭示了 Bochner 积分 (对于向量值函数) 和通常的积分 (对于标量函数) 之间的关系。

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考请认准statistics-lab™

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|MXB334

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Two Fundamental Issues in Control Theory

Roughly speaking, “control” means one can change the dynamics of the involved system, by means of a suitable way. By our understanding, there are at least two fundamental issues in Control Theory ${ }^1$, i.e., feasibility and optimality, which will be explained more below (c.f. $[220]$ ).

The first fundamental issue in Control Theory is feasibility, or in the terminology of Control Theory, controllability, which means that, one can find at least one way to achieve a goal. More precisely, for simplicity, let us consider the following controlled system governed by a linear ordinary differential equation:
$$
\left{\begin{array}{l}
y_t(t)=A y(t)+B u(t), \quad \text { a.e. } t \in[0, T], \
y(0)=y_0 .
\end{array}\right.
$$
In (1.1), $A \in \mathbb{R}^{n \times n}, B \in \mathbb{R}^{n \times m}(n, m \in \mathbb{N}), T>0, y(\cdot)$ is the state variable, $u(\cdot)$ is the control variable, and $\mathbb{R}^n$ and $\mathbb{R}^m$ are respectively the state and control spaces. We begin with the following notion (More notations/notions, which may be used below, will be given in Chapter 2):

Definition 1.1. The system (1.1) is called exactly controllable (at time T) if for any initial state $y_0 \in \mathbb{R}^n$ and final state $y_1 \in \mathbb{R}^n$, there is a control $u(\cdot) \in L^1\left(0, T ; \mathbb{R}^m\right)$ such that the solution $y(\cdot)$ to (1.1) satisfies
$$
y(T)=y_1,
$$
i.e., the control $u(\cdot)$ transfers the state of (1.1) from $y_0$ to $y_1$ at time $T$.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Range Inclusion and the Duality Argument

Clearly, any controllability problem (formulated in Definition $1.1$ or more generally, in Definition $5.6$ in Chapter 5) can be viewed as an equation problem, in which both the state $x(\cdot)$ and the control $u(\cdot)$ variables are unknowns. Namely, instead of viewing $u(\cdot)$ as a control variable, we may simply regard it as another unknown variable ${ }^2$. One of the main concerns in this book is to study the controllability problems for linear stochastic evolution equations. As we shall see later, this is far from an easy task.

It is easy to see that, in many cases solving linear equations are equivalent to showing range inclusion for suitable linear operators. Because of this, we shall present below two known range inclusion theorems (i.e., Theorems $1.7$ and $1.10$ below) in an abstract setting.

Throughout this section, $X, Y$ and $Z$ are Banach spaces. Denote by $\mathcal{L}(X ; Y)$ the Banach space of all bounded linear operators from $X$ to $Y$, with the usual operator norm. When $X=Y$, we simply write $\mathcal{L}(X)$ instead of $\mathcal{L}(X ; X)$. For any $L \in \mathcal{L}(X ; Y)$, denote by $\mathcal{R}(L)$ the range of $L$. We begin with the following result.

Theorem 1.7. Let $F \in \mathcal{L}(X ; Z)$ and $G \in \mathcal{L}(Y ; Z)$. The following assertions hold:
1) If $\mathcal{R}(F) \supseteq \mathcal{R}(G)$, then there is a constant $\mathcal{C}>0$ such that
$$
\left|G^* z^\right|{Y^} \leq \mathcal{C}\left|F^* z^\right|{X^}, \quad \forall z^* \in Z^* .
$$
2) If $X$ is reflexive and (1.13) holds for some constant $\mathcal{C}>0$, then $\mathcal{R}(F) \supseteq$ $\mathcal{R}(G)$.

Proof: 1) We use the contradiction argument. Suppose (1.13) did not hold. Then, for each $n \in \mathbb{N}$, we could find $z_n^* \in Z^$ such that $$ \left|F^ z_n^\right|{X^}<\frac{1}{n}\left|G^* z_n^\right|{Y^} .
$$
From (1.14), $G^* z_n^* \neq 0$. Define
$$
\tilde{z}n^=\frac{\sqrt{n}}{\left|G^ z_n^\right|{Y^}} z_n^*, \quad n \geq 1 .
$$

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Two Fundamental Issues in Control Theory

粗略地说，“控制”是指可以通过适当的方式改变相关系统的动态。据我们了解，控制论至少有两个基本问题 ${ }^1$ ，即可行性和最优性，这将在下面详细解释 (cf [220]).
控制论的第一个基本问题是可行性，或者用控制论的术语来说，可控性，就是说，一个人至少可以找到一种方法来实现一个目标。更准确地说，为简单起见，让我们考虑以下由线性常微分方程狖制的受控系统:
$\$ \$$
Veft {
$$
y_t(t)=A y(t)+B u(t), \quad \text { a.e. } t \in[0, T], y(0)=y_0 .
$$
正确的。
$\$ \$$
在 (1.1) 中， $A \in \mathbb{R}^{n \times n}, B \in \mathbb{R}^{n \times m}(n, m \in \mathbb{N}), T>0, y(\cdot)$ 是状态变量， $u(\cdot)$ 是控制变量，并且 $\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{R}^m$ 分别是状态空间和控制空间。我们从以下概念开始 (更多符号/概念，可能会在下面使用，将在第 2 章中给出)：
定义 1.1。如果对于任何初始状态，系统 (1.1) 被称为精确可控 (在时间 $T$ ) $y_0 \in \mathbb{R}^n$ 和最终状态 $y_1 \in \mathbb{R}^n$ ，有一个控件 $u(\cdot) \in L^1\left(0, T ; \mathbb{R}^m\right)$ 这样解决方案 $y(\cdot)$ 到 $(1.1)$ 满足
$$
y(T)=y_1,
$$
即，控制 $u(\cdot)$ 将 (1.1) 的状态从 $y_0$ 到 $y_1$ 在时间 $T$.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Range Inclusion and the Duality Argument

显然，任何可控性问题 (在定义中表述 $1.1$ 或者更一般地，在定义中 $5.6$ 在第 5 章中) 可以看作是一个方程问题，其中状态 $x(\cdot)$ 和控制 $u(\cdot)$ 变量是末知数。即，而不是查看 $u(\cdot)$ 作为控制变量，我们可以简单地把它看成是另一个末知变量 ${ }^2$. 本书的主要关注点之一是研究线性随机演化方程的可控性问题。正如我们稍后将看到的，这绝非易事。
很容易看出，在很多情况下求解线性方程等同于显示适合的线性算子的范围包含。正因为如此，我们将在下面给出两个已知的范围包含定理（即定理1.7和1.10下面）在一个抽象的环境中。
在本节中， $X, Y$ 和 $Z$ 是 Banach 空间。表示为 $\mathcal{L}(X ; Y)$ 所有有界线性算子的 Banach 空间 $X$ 到 $Y$ ，与通常的运营商规范。什么时候 $X=Y$ ，我们简单地写 $\mathcal{L}(X)$ 代替 $\mathcal{L}(X ; X)$. 对于任何 $L \in \mathcal{L}(X ; Y)$ ，表示为 $\mathcal{R}(L)$ 的范围 $L$. 我们从以下结果开始。
定理 1.7。让 $F \in \mathcal{L}(X ; Z)$ 和 $G \in \mathcal{L}(Y ; Z)$. 以下断言成立:
1) 如果 $\mathcal{R}(F) \supseteq \mathcal{R}(G)$, 那么有一个常数 $\mathcal{C}>0$ 这样
2) 如果 $X$ 是自反的并且 (1.13) 对于某个常数成立 $\mathcal{C}>0$ ，然后 $\mathcal{R}(F) \supseteq \mathcal{R}(G)$.
证明：1) 我们使用矛盾论证。假设 (1.13) 不成立。然后，对于每个 $n \in \mathbb{N}$ ，我们可以找到 $Z_{-} n^{\wedge } \operatorname{lin} \mathrm{Z}^{\wedge}$ 这样 left $\left|F^{\wedge} z_{-} n^{\wedge}\right|$ right $\left|\left{X^{\wedge}\right}<\right| f r a c{1}{n}|l| e f t\left|G^{\wedge} z_{-} \cap \wedge\right| r i g h t \mid{Y \wedge}$ 。从 (1.14)， $G^ z_n^* \neq 0$. 定义

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Matching Theorems

Chapter 4 makes the point that the generic chaining (or some equivalent form of it) is already required to really understand the irregularities occurring in the distribution of $N$ points $\left(X_i\right)_{i \leq N}$ independently and uniformly distributed in the unit square. These irregularities are measured by the “cost” of pairing (=matching) these points with $N$ fixed points that are very uniformly spread, for various notions of cost.
These optimal results involve mysterious powers of $\log N$. We are able to trace them back to the geometry of ellipsoids in Hilbert space, so we start the chapter with an investigation of these ellipsoids in Sect. 4.1. The philosophy of the main result, the ellipsoid theorem, is that an ellipsoid is in some sense somewhat smaller than it appears at first. This is due to convexity: an ellipsoid gets “thinner” when one gets away from its center. The ellipsoid theorem is a special case of a more general result (with the same proof) about the structure of sufficiently convex bodies, one that will have important applications in Chap. 19.

In Sect.4.3, we provide general background on matchings. In Sect.4.5, we investigate the case where the cost of a matching is measured by the average distance between paired points. We prove the result of Ajtai, Komlós and Tusnády that the expected cost of an optimal matching is at most $L \sqrt{\log N} / \sqrt{N}$ where $L$ is a number. The factor $1 / \sqrt{N}$ is simply a scaling factor, but the fractional power of $\log$ is optimal as shown in Sect. 4.6. In Sect. 4.7, we investigate the case where the cost of a matching is measured instead by the maximal distance between paired points. We prove the theorem of Leighton and Shor that the expected cost of a matching is at most $L(\log N)^{3 / 4} / \sqrt{N}$, and the power of $\log$ is shown to be optimal in Sect. 4.8. With the exception of Sect. 4.1, the results of Chap. 4 are not connected to any subsequent material before Chap. 17.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Bernoulli Processes

Random signs are obviously important r.v.s and occur frequently in connection with “symmetrization procedures”, a very useful tool. In a Bernoulli process, the individual random variables $X_t$ are linear combinations of independent random signs. Each Bernoulli process is associated with a Gaussian process in a canonical manner, when one replaces the random signs by independent standard Gaussian r.v.s. The Bernoulli process has better tails than the corresponding Gaussian process (it is “sub-Gaussian”) and is bounded whenever the corresponding Gaussian process is bounded. There is, however, a completely different reason for which a Bernoulli process might be bounded, namely, that the sum of the absolute values of the coefficients of the random signs remain bounded independently of the index $t$. A natural question is then to decide whether these two extreme situations are the only fundamental reasons why a Bernoulli process can be bounded, in the sense that a suitable “mixture” of them occurs in every bounded Bernoulli process. This was the “Bernoulli conjecture” (to be stated formally on page 179), which has been so brilliantly solved by W. Bednorz and R. Latała.

It is a long road to the solution of the Bernoulli conjecture, and we start to build the main tools hearing on Rernoulli processes. A linear combination of independent random signs looks like a Gaussian r.v. when the coefficients of the random signs are small. We can expect that a Bernoulli process will look like a Gaussian process when these coefficients are suitably small. This is a fundamental idea: the key to understanding Rernoulli processes is to reduce to situations where these coefficients are small.

The Bernoulli conjecture, on which the author worked so many years, greatly influenced the way he looked at various processes. In the case of empirical processes, this is explained in Sect. $6.8$.

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Matching Theorems

第 4 章指出，已经需要通用链接 (或它的某种等效形式) 来真正理解分布中发生的不规则性 $N$ 积分 $\left(X_i\right)_{i \leq N}$ 独立均匀分布在单位正方形内。这些不规则性是通过将这些点与这些点配对 (=匹配) 的“成本” 来衡量的 $N$ 对于各种成本概念，非常均匀分布的固定点。
这些最佳结果涉及神秘的力量 $\log N$. 我们能够将它们追溯到希尔伯特空间中的椭球几何，因此我们在本章开始时对第 1 节中的这些椭球进行了研究。4.1. 主要结果的哲学，即椭球定理，是一个椭球在某种意义上比它最初看起来要小一些。这是由于凸性：当一个人远离其中心时，椭圆体会变得 “更薄”。椭球定理是关于充分凸体结构的更一般结果（具有相同证明）的特例，在第 1 章中有重要应用。19.
在第 $4.3$ 节中，我们提供了匹配的一般背景。在第 $4.5$ 节中，我们研究了匹配成本由成对点之间的平均距离来衡量的情况。我们证明了 Ajtai、Komlós 和 Tusnády 的结果，即最优匹配的预期成本最多为 $L \sqrt{\log N} / \sqrt{N}$ 在哪里 $L$ 是一个数字。因素 $1 / \sqrt{N}$ 只是一个比例因子，但是分数幕 $\log$ 是最佳的，如 Sect 所示。4.6. 昆虫。4.7，我们研究了匹配成本由成对点之间的最大距离来衡量的情况。我们证明 Leighton 和 Shor 定理，即匹配的预期成本最多为 $L(\log N)^{3 / 4} / \sqrt{N}$ ，以及的力量log在 Sect. 中被证明是最优的。4.8. 除了教派。4.1、第一章结果 4 与第 1 章之前的任何后续材料无关。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Bernoulli Processes

随机符号显然是重要的 rvs，并且经常与“对称化程序”相关，这是一个非常有用的工具。在伯努利过程中，各个随机变量 $X_t$ 是独立随机符号的线性组合。当用独立的标准高斯 rvs 替换随机符号时，每个伯努利过程都以规范的方式与高斯过程相关联相应的高斯过程是有界的。然而，伯努利过程可能有界的原因完全不同，即随机符号系数的绝对值之和仍然有界，与指数无关 $t$.一个自然的问题是确定这两种极端情况是否是伯努利过程可以有界的唯一根本原因，因为它们的合适“混合”出现在每个有界伯努利过程中。这就是“伯努利猜想”（将在第 179 页正式陈述），它已经被 W. Bednorz 和 R. Latała 出色地解决了。
伯努利猜想的求解还有很长的路要走，我们开始构建主要的工具来听取雷努利过程。当随机符号的系数很小时，独立随机符号的线性组合看起来像高斯 rv。我们可以预期，当这些系数适当小时，伯努利过程看起来像高斯过程。这是一个基本思想：理解 Rernoulli 过程的关键是减少这些系数很小的情况。
作者研究了多年的伯努利猜想极大地影响了他看待各种过程的方式。在经验过程的情况下，这在第 1 节中进行了解释。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|STAT3021

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Does This Book Contain any Ideas?

At this stage, it is not really possible to precisely describe any of the new ideas which will be presented, but if the following statements are not crystal clear to you, you may have something to learn from this book:

Idea 1 It is possible to organize chaining optimally using increasing sequences of partitions.

Idea 2 There is an automatic device to construct such sequences of partitions, using “functionals”, quantities which measure the size of the subsets of the index set. This yields a complete understanding of boundedness of Gaussian processes.

Idea 3 Ellipsoids are much smaller than one would think, because they (and, more generally, sufficiently convex bodies) are thin around the edges. This explains the funny fractional powers of logarithms in certain matching theorems.

Idea 4 One may witness that a metric space is large by the fact that it contains large trees or equivalently that it supports an extremely scattered probability measure.
Idea 5 Consider a set $T$ on which you are given a distance $d$ and a random distance $d_\omega$ such that, given $s, t \in T$, it is rare that the distance $d_\omega(s, t)$ is much smaller than $d(s, t)$. Then if in the appropriate sense $(T, d)$ is large, it must be the case that $\left(T, d_\omega\right)$ is typically large. This principle enormously constrains the structure of many bounded processes built on random series.

Idea 6 There are different ways a random series might converge. It might converge because chaining witnesses that there is cancellation between terms, or it might converge because the sum of the absolute values of its terms already converges. Many processes built on random series can be split in two parts, each one converging according to one of the previous phenomena.

The book contains many more ideas, but you will have to read more to discover them.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Gaussian Processes and the Generic Chaining

‘Ihis subsection gives an overview of Chap. 2. More generally, Sect. 1.7.n gives the overview for Chapter $n+1$.

The most important question considered in this book is the boundedness of Gaussian processes. The key object is the metric space $(T, d)$ where $T$ is the index set and $d$ the intrinsic distance (0.1). As investigated in Sect. 2.11, this metric space is far from being arbitrary: it is isometric to a subset of a Hilbert space. It is, however, a deadly trap to try to use this specific property of the metric space $(T, d)$. The proper approach is to just think of it as a general metric space.

After reviewing some elementary facts, in Sect. 2.4, we explain the basic idea of the “generic chaining”, one of the key ideas of this work. Chaining is a succession of steps that provide successive approximations of the index space $(T, d)$. In the Kolmogorov chaining, for each $n$, the difference between the $n$-th and the $(n+1)$-th approximation of the process, which we call here “the variation of the process during the $n$-th chaining step”, is “controlled uniformly over all possible chains”. Generic chaining allows that the variation of the process during the $n$-th chaining step “may depend on which chain we follow”. Once the argument is properly organized, it is not any more complicated than the classical argument. It is in fact exactly the same. Yet, while Dudley’s classical bound is not always sharp, the bound obtained through the generic chaining is optimal. Entropy numbers are reviewed in Sect. 2.5.

It is technically convenient to formulate the generic chaining bound using special sequences of partitions of the metric space $(T, d)$, that we shall call admissible sequences throughout the book. The key to make the generic chaining bound useful is then to be able to construct admissible sequences. These admissible sequences measure an aspect of the “size” of the metric space and are introduced in Sect. 2.7. In Sect. 2.8, we introduce another method to measure the “size” of the metric space, through the behavior of certain “functionals”, which are simply numbers attached to each subset of the entire space. The fundamental fact is that the two measures of the size of the metric space one obtains either through admissible sequences or through functionals are equivalent in full generality. This is proved in Sect. $2.8$ for the easy part (that the admissible sequence approach provides a larger measure of size than the functional approach) and in Sect. $2.9$ for the converse. This converse is, in effect, an algorithm to construct sequences of partitions in a metric space given a functional. Functionals are of considerable use throughout the book.

In Sect. 2.10, we prove that the generic bound can be reversed for Gaussian processes, therefore providing a characterization of their sample-boundedness. Generic chaining entirely explains the size of Gaussian processes, and the dream of Sect. $2.12$ is that a similar situation will occur for many processes.

In Sect. 2.11, we explain why a Gaussian process in a sense $i s$ nothing but a subset of Hilbert space. Remarkably, a number of basic questions remain unanswered, such as how to relate through geometry the size of a subset of Hilbert space seen as a Gaussian process with the corresponding size of its convex hull.

Dudley’s bound fails to explain the size of the Gaussian processes indexed by ellipsoids in Hilbert space. This is investigated in Sect. 2.13. Ellipsoids will play a basic role in Chap. 4.

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Does This Book Contain any Ideas?

在这个阶段，确实不可能准确描述将要提出的任何新想法，但如果您对以下陈述不是很清楚，您可能会从本书中学到一些东西:
想法 1 可以使用递增的分区序列来优化组织链接。
想法 2 有一种自动设备可以使用“泛函”来构造此类分区序列，“泛函”是衡量索引集子集大小的数量。这产生了对高斯过程有界性的完整理解。
想法 3 椭圆体比人们想象的要小得多，因为它们（更一般地说，足够凸的物体）的边缘很薄。这解释了某些匹配定理中有趣的对数分数幂。
想法 4 人们可能会因为度量空间包含大树或等效地支持极其分散的概率度量这一事实而证明度量空间很大。
想法 5 考虑一个集合 $T$ 给你一个距离 $d$ 和一个随机的距离 $d_\omega$ 这样，给定 $s, t \in T$ ，距离很少见 $d_\omega(s, t)$ 远小于 $d(s, t)$. 那么如果在适当的意义上 $(T, d)$ 很大，一定是这样的 $\left(T, d_\omega\right)$ 通常很大。这一原则极大地限制了许多建立在随机序列上的有界过程的结构。
想法 6 随机序列可能以不同的方式收敛。它可能会收敛，因为链接证明项之间存在抵消，或者它可能会收敛，因为其项的绝对值之和已经收敛。许多建立在随机序列上的过程可以分成两部分，每个部分根据先前的现象之一收敛。
这本书包含更多的想法，但你必须阅读更多才能发现它们。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Gaussian Processes and the Generic Chaining

他的小节概述了第 1 章。2.更一般地说，教派。1.7.n 给出章节的概述 $n+1$.
本书考虑的最重要的问题是高斯过程的有界性。关键对象是度量空间 $(T, d)$ 在哪里 $T$ 是索引集并且 $d$ 固有距离 (0.1)。正如在 Sect 中调查的那样。2.11，这个度量空间远非任意的：它等距于希尔伯特空间的一个子集。然而，尝试使用度量空间的这一特定性质是一个致命的陷阱 $(T, d)$. 正确的方法是将其视为一般度量空间。
在回顾了一些基本事实之后，在 Sect. 2.4，我们解释了”通用链接”的基本思想，这是这项工作的关键思想之一。链接是提供索引空间的逐次近似的一系列步骤 $(T, d)$. 在 Kolmogorov 链中，对于每个 $n$, 之间的区别 $n$-第和 $(n+1)$ – 过程的近似值，我们在这里称之为”过程的变化 $n$-th 链接步骙”， “对所有可能的链进行统一控制”。通用链接允许在 $n$-th 链接步骤“可能取决于我们遵循的链”一一旦论证组织得当，它并不比经典论证复杂。实际上是完全一样的。然而，虽然 Dudley 的经典界限并不总是清晰的，但通过通用链接获得的界限是最优的。樀数在 Sect. 2.5.
使用度量空间的特殊分区序列来制定通用链接边界在技术上是方便的 $(T, d)$ ，我们将在整本书中称之为可接受的序列。使通用链接绑定有用的关键是能够构造可接受的序列。这些可容许序列衡量度量空间“大小”的一个方面，并在第 1 节中介绍。2.7. 昆虫。2.8，我们引入了另一种方法来衡量度量空间的“大小”，通过某些”功能”的行为，这些功能只是附加到整个空间的每个子集的数字。基本事实是，通过可容许序列或通过泛函获得的度量空间大小的两种度量在完全普遍性上是等价的。这在 Sect 中得到了证明。2.8对于简单的部分 (可容许序列方法提供比功能方法更大的尺寸度量）和 Sect。2.9相反。这实际上是一种在给定泛函的度量空间中构造分区序列的算法。泛函在整本书中都有相当大的用处。
昆虫。2.10，我们证明了高斯过程的通用边界可以反转，因此提供了样本有界性的特征。通用链接完全解释了高斯过程的大小，以及 Sect 的梦想。2.12就是很多进程都会出现类似的情况。
昆虫。 $2.11$ ，我们解释为什么在某种意义上是高斯过程 $i s$ 只不过是希尔伯特空间的一个子集。值得注意的是，许多基本问题仍末得到解答，例如如何通过几何将被视为高斯过程的布尔伯特空间子集的大小与其凸包的相应大小联系起来。
达德利边界无法解释㠻尔伯特空间中椭圆体索引的高斯过程的大小。这在 Sect. 中进行了调查。2.13. 椭圆体将在第 1 章中扮演基本角色。

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|MATH3801

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|MATH3801

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|The Kolmogorov Conditions

Kolmogorov stated the “Kolmogorov conditions”, which robustly ensure the good behavior of a stochastic process indexed by a subset of $\mathbb{R}^m$. These conditions are studied in any advanced probability course. If you have taken such a course, this section will refresh your memory about these conditions, and the next few sections will present the natural generalization of the chaining method in an abstract metric space, as it was understood in, say, 1970. Learning in detail about these historical developments now makes sense only if you have already heard of them, because the modern chaining method, which is presented in Chap. 2, is in a sense far simpler than the classical method. For this reason, the material up to Sect. $1.4$ included is directed toward a reader who is already fluent in probability theory. If, on the other hand, you have never heard of these things and if you find this material too difficult, you should start directly with Chap. 2 , which is written at a far greater level of detail and assumes minimal familiarity with even basic probability theory.

We say that a process $\left(X_t\right)_{t \in T}$, where $T=[0,1]^m$, satisfies the Kolmogorov conditions if
$$
\forall s, t \in[0,1]^m, \mathrm{E}\left|X_s-X_t\right|^p \leq d(s, t)^\alpha .
$$
where $d(s, t)$ denotes the Euclidean distance and $p>0, \alpha>m$. Here E denotes mathematical expectation. In our notation, the operator $\mathrm{E}$ applies to whatever expression is placed behind it, so that $\mathrm{E}|Y|^p$ stands for $\mathrm{E}\left(|Y|^p\right)$ and not for $(\mathrm{E}|Y|)^p$. This convention is in force throughout the book.

Let us apply the idea of chaining to processes satisfying the Kolmogorov conditions. The most obvious candidate for the approximating set $T_n$ is the set $G_n$ of points $x$ in $\left[0,1\left[^m\right.\right.$ such that the coordinates of $2^n x$ are positive integers. ${ }^1$ Thus, card $G_n=2^{n m}$. It is completely natural to choose $\pi_n(u) \in G_n$ as close to $u$ as possible, so that $d\left(u, \pi_n(u)\right) \leq \sqrt{m} 2^{-n}$ and $d\left(\pi_n(u), \pi_{n-1}(u)\right) \leq d\left(\pi_n(u), u\right)+$ $d\left(u, \pi_{n-1}(u)\right) \leq 3 \sqrt{m} 2^{-n}$.
For $n \geq 1$, let us then define
$$
U_n=\left{(s, t) ; s \in G_n, t \in G_n, d(s, t) \leq 3 \sqrt{m} 2^{-n}\right} .
$$
Given $s=\left(s_1, \ldots, s_m\right) \in G_n$, the number of points $t=\left(t_1, \ldots, t_m\right) \in G_n$ with $d(s, t) \leq 3 \sqrt{m} 2^{-n}$ is bounded independently of $s$ and $n$ because $\left|t_i-s_i\right| \leq d(s, t)$ for each $i \leq m$, so that we have the crucial property
$$
\operatorname{card} U_n \leq K(m) 2^{n m},
$$
where $K(m)$ denotes a number depending only on $m$, which need not be the same on each occurrence. Consider then the r.v.
$$
Y_n=\max \left{\left|X_s-X_t\right| ;(s, t) \in U_n\right},
$$
so that (and since $G_{n-1} \subset G_n$ ) for each $u$,
$$
\left|X_{\pi_n(u)}-X_{\pi_{n-1}(u)}\right| \leq Y_n .
$$

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Chaining in a Metric Space: Dudley’s Bound

Suppose now that we want to study the uniform convergence on $[0,1]$ of a random Fourier series $X_t=\sum_{k \geq 1} a_k g_k \cos (2 \pi i k t)$ where $a_k$ are numbers and $\left(g_k\right)$ are independent standard Gaussian r.v.s. The Euclidean structure of $[0,1]$ is not intrinsic to the problem. Far more relevant is the distance $d$ given by
$$
d(s, t)^2=\mathrm{E}\left(X_s-X_t\right)^2=\sum_k a_k^2(\cos (2 i \pi k s)-\cos (2 i \pi k t))^2 .
$$
This simple idea took a very long time to emerge. Once one thinks about the distance $d$, then in turn the fact that the index set $T$ is $[0,1]$ is no longer very relevant because this particular structure does not connect very well with the distance $d$. One is then led to consider Gaussian processes indexed by an abstract set $T .{ }^4 \mathrm{We}$ say that $\left(X_I\right){I \in T}$ is a Gaussian process when the family $\left(X_I\right){I \in T}$ is jointly Gaussian and centered. ${ }^5$ Then, just as in (1.16), the process induces a canonical distance $d$ on $T$ given by $d(s, t)=\left(\mathrm{E}\left(X_s-X_t\right)^2\right)^{1 / 2}$. We will express that Gaussian r.v.s have small tails by the inequality
$$
\forall s, t \in T, \mathrm{E} \varphi\left(\frac{\left|X_s-X_t\right|}{d(s, t)}\right) \leq 1,
$$
where $\varphi(x)=\exp \left(x^2 / 4\right)-1$. This inequality holds because if $g$ is a standard Gaussian r.v., then $E \exp \left(g^2 / 4\right) \leq 2 .^6$

To perform chaining for such a process, in the absence of further structure on our metric space $(T, d)$, how do we choose the approximating sets $T_n$ ? Thinking back to the Kolmogorov conditions, it is very natural to introduce the following definition:

Definition 1.4.1 For $\epsilon>0$, the covering number $N(T, d, \epsilon)$ of a metric space $(T, d)$ is the smallest integer $N$ such that $T$ can be covered by $N$ balls of radius $\epsilon .^7$
Equivalently, $N(T, d, \epsilon)$ is the smallest number $N$ such that there exists a set $V \subset T$ with card $V \leq N$ and such that each point of $T$ is within distance $\epsilon$ of $V$.

Let us denote by $\Delta(T)=\sup _{s, t \in T} d(s, t)$ the diameter of $T$ and observe that $N(T, d, \Delta(T))=1$. We construct our approximating sets $T_n$ as follows: Consider the largest integer $n_0$ with $\Delta(T) \leq 2^{-n_0}$. For $n \geq n_0$, consider a set $T_n \subset T$ with card $T_n=N\left(T, d, 2^{-n}\right)$ such that each point of $T$ is within distance $2^{-n}$ of a point of $T_n .{ }^8$ In particular $T_0$ consists of a single point.

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|The Kolmogorov Conditions

Kolmogorov 陈述了“Kolmogorov 条件”，它有力地确保了由一个子集索引的随机过程的良好行为 $\mathbb{R}^m$. 这些条件在任何高级概率课程中都有研究。如果你上过这样的课程，本节将刷新你对这些条件的记忆，接下来的几节将展示链接方法在抽象度量空间中的自然推广，正如 1970 年人们所理解的那样。学习现在只有当你已经听说过这些历史发展的细节时才有意义，因为第 1 章中介绍的现代链接方法。2，在某种意义上远比经典方法简单。出于这个原因，材料高达教派。1.4包括在内的是针对已经精通概率论的读者。另一方面，如果您从末听说过这些东西，并且觉得这些材料太难，则应该直接从第 1 章开始。2，它的详细程度要高得多，并且假定您对基本概率论的了解最少。
我们说一个过程 $\left(X_t\right){t \in T}$ ，在哪里 $T=[0,1]^m$ ，满足 Kolmogorov 条件，如果 $$ \forall s, t \in[0,1]^m, \mathrm{E}\left|X_s-X_t\right|^p \leq d(s, t)^\alpha . $$ 在哪里 $d(s, t)$ 表示欧几里得距离和 $p>0, \alpha>m$. 这里表示数学期望。在我们的符号中，运算符E适用于放在它后面的任何表达式，因此 $\mathrm{E}|Y|^p$ 代表 $\mathrm{E}\left(|Y|^p\right)$ 而不是为了 $(\mathrm{E}|Y|)^p$. 该约定在整本书中都有效。让我们将链接的想法应用于满足 Kolmogorov 条件的过程。近似集最明显的候选者 $T_n$ 是集合 $G_n$ 点数 $x$ 在 $\left[0,1\left[^m\right.\right.$ 这样的坐标 $2^n x$ 是正整数。 ${ }^1$ 于是，卡 $G_n=2^{n m}$. 选择是完全自然的 $\pi_n(u) \in G_n$ 尽可能接近 $u$ 尽可能，这样 $d\left(u, \pi_n(u)\right) \leq \sqrt{m} 2^{-n}$ 和 $d\left(\pi_n(u), \pi{n-1}(u)\right) \leq d\left(\pi_n(u), u\right)+$ $d\left(u, \pi_{n-1}(u)\right) \leq 3 \sqrt{m} 2^{-n}$
为了 $n \geq 1$, 然后让我们定义
$U_{-} n=\backslash l f t\left{(s, t) ; s \backslash\right.$ in G_n, $\left.t \backslash i n G_{-} n, d(s, t) \backslash e q 3 \backslash s q r t{m} 2^{\wedge}{-n} \backslash r i g h t\right}$.
鉴于 $s=\left(s_1, \ldots, s_m\right) \in G_n$ ，点数 $t=\left(t_1, \ldots, t_m\right) \in G_n$ 和 $d(s, t) \leq 3 \sqrt{m} 2^{-n}$ 独立于 $s$ 和 $n$ 因为 $\left|t_i-s_i\right| \leq d(s, t)$ 每个 $i \leq m$, 这样我们就有了关键的属性
$$
\operatorname{card} U_n \leq K(m) 2^{n m}
$$
在哪里 $K(m)$ 表示一个数字只取决于 $m$ ，不必在每次出现时都相同。然后考虑房车
$Y_{-} n=\backslash \max \backslash$ \eft $\left{\right.$ \eft $\mid X_{-} s-X_{-} \backslash \backslash$ ight $\left.\mid:(s, t) \backslash i n U_{-} n \backslash r i g h t\right}$,
这样 (并且自从 $G_{n-1} \subset G_n$ ) 对于每个 $u$ ，
$$
\left|X_{\pi_n(u)}-X_{\pi_{n-1}(u)}\right| \leq Y_n .
$$

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Chaining in a Metric Space: Dudley’s Bound

假设现在我们要研究均匀收敛 $[0,1]$ 随机傅里叶级数 $X_t=\sum_{k \geq 1} a_k g_k \cos (2 \pi i k t)$ 在哪里 $a_k$ 是数字和 $\left(g_k\right)$ 是独立的标准高斯 rvs 的欧氏结构 $[0,1]$ 不是问题的本质。更重要的是距离 $d$ 由
$$
d(s, t)^2=\mathrm{E}\left(X_s-X_t\right)^2=\sum_k a_k^2(\cos (2 i \pi k s)-\cos (2 i \pi k t))^2 .
$$
这个简单的想法花了很长时间才出现。一想到距离 $d$, 然后又是索引集的事实 $T$ 是 $[0,1]$ 不再非常相关，因为这个特殊结构与距离的连接不是很好 $d$. 然后会导致考虑由抽象集索引的高斯过程 $T$. ${ }^4 \mathrm{We}$ et吅说 $\left(X_I\right) I \in T$ 是一个高斯过程，当家庭 $\left(X_I\right) I \in T$ 是联合高斯和居中的。 ${ }^5$ 然后，就像在 (1.16) 中一样，该过程导出一个规范距离 $d$ 在 $T$ 由 $d(s, t)=\left(\mathrm{E}\left(X_s-X_t\right)^2\right)^{1 / 2}$. 我们将通过不等式表示高斯 rvs 有小尾巴
$$
\forall s, t \in T, \mathrm{E} \varphi\left(\frac{\left|X_s-X_t\right|}{d(s, t)}\right) \leq 1
$$
在哪里 $\varphi(x)=\exp \left(x^2 / 4\right)-1$. 这种不等式成立是因为如果 $g$ 是一个标准的高斯 rv，那么 $E \exp \left(g^2 / 4\right) \leq 26^6$
在我们的度量空间上没有进一步结构的情况下，为这样的过程执行链接 $(T, d)$ ，我们如何选择近似集 $T_n$ ? 回想 Kolmogorov 条件，很自然地引入以下定义:
定义 1.4.1 对于 $\epsilon>0$ ，覆盖数 $N(T, d, \epsilon)$ 度量空间的 $(T, d)$ 是最小的整数 $N$ 这样 $T$ 可以覆盖 $N$ 半径球 $\epsilon .^7$ 等价地， $N(T, d, \epsilon)$ 是最小的数 $N$ 使得存在一个集合 $V \subset T$ 带卡 $V \leq N$ 这样每个点 $T$ 在距离之内 $\epsilon$ 的 $V$
让我们用 $\Delta(T)=\sup _{s, t \in T} d(s, t)$ 的直径 $T$ 并观察到 $N(T, d, \Delta(T))=1$. 我们构造我们的近似集 $T_n$ 如下: 考虑最大的整数 $n_0$ 和 $\Delta(T) \leq 2^{-n_0}$. 为了 $n \geq n_0$ ，考虑一组 $T_n \subset T$ 带卡 $T_n=N\left(T, d, 2^{-n}\right)$ 这样每个点 $T$ 在距离之内 $2^{-n}$ 的一点 $T_n \cdot{ }^8$ 特别是 $T_0$ 由一个点组成。

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|MTH3016

Posted on 2022年12月29日2022年12月29日 by statistics-lab

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Hexagonal Lattice, Nearest Neighbors

Here I dive into the details of the processes discussed in Section 1.5.3. I also discuss Figure 2. The source code to produce Figure 2 is discussed in Sections $6.4$ (nearest neighbor graph) and $6.7$ (visualizations). Some elements of graph theory are discussed here, as well as visualization techniques.

Surprisingly, it is possible to produce a point process with a regular hexagonal lattice space using simple operations on a small number $(m=4)$ of square lattices: superimposition, stretching, and shifting. A stretched lattice is a square lattice turned into a rectangular lattice, by applying a multiplication factor to the $\mathrm{X}$ and/or Y coordinates. A shifted lattice is a lattice where the grid points have been shifted via a translation.

Each point of the process almost surely (with probability one) has exactly one nearest neighbor. However, when the scaling factor $s$ is zero, this is no longer true. On the left plot in Figure 2, each point (also called vertex when $s=0$ ) has exactly 3 nearest neighbors. This causes some challenges when plotting the case $s=0$. The case $s>0$ is easier to plot, using arrows pointing from any point to its unique nearest neighbor. I produced the arrows in question with the arrow function in R, see source code in Section $6.7$, and online documentation here. $\mathrm{A}$ bidirectional arrow between points $\mathrm{A}$ and $\mathrm{B}$ means that $\mathrm{B}$ is a nearest neighbor of $\mathrm{A}$, and $\mathrm{A}$ is a nearest neighbor of B. All arrows on the left plot in Figure 2 are bidirectional. Boundary effects are easily noticeable, as some arrows point to nearest neighbors outside the window. Four colors are used for the points, corresponding to the 4 shifted stretched Poisson-binomial processes used to generate the hexagon-based process. The color indicates which of these 4 process, a point is attached to.

The source code in Section $6.4$ handles points with multiple nearest neighbors. It produces a list of all points with their nearest neighbors, using a hash table. A point with 3 nearest neighbors has 3 entries in that list: one for each nearest neighbor. A group of points that are all connected by arrows, is called a connected component [Wiki]. A path from a point of a connected component to another point of the same connected component, following arrows while ignoring their direction, is called a path in graph theory.

In my definition of connected component, the direction of the arrow does not matter: the underlying graph is considered undirected [Wiki]. An interesting problem is to study the size distribution, that is, the number of points per connected component, especially for standard Poisson processes. See Exercise 20. In graph theory, a point is called a vertex or node, and an arrow is called an edge. More about nearest neighbors is discussed in Exercises 18 and 19.

Finally, if you look at Figure 2, the left plot seems to have more points than the right plot. But they actually have roughly the same number of points. The plot on the right seems to be more sparse, because there are large areas with no points. But to compensate, there are areas where several points are in close proximity.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Modeling Cluster Systems in Two Dimensions

There are various ways to create points scattered around a center. When multiple centers are involved, we get a cluster structure. The point process consisting of the centers is called the parent process, while the point distribution around each center, is called the child process. So we are dealing with a two-layer, or hierarchical structure, referred to as a cluster point process. Besides clustering, many other types of point process operations [Wiki] are possible when combining two processes, such as thinning or superimposition. Typical examples of cluster point processes include Neyma-Scott (see here) and Matérn (see here).

Useful references include Baddeley’s textbook “Spatial Point Processes and their Applications” [4] available online here, Sigman’s course material (Columbia University) on one-dimensional renewal processes for beginners, entitled “Notes on the Poisson Process” [71], available online here, Last and Kenrose’s book “Lectures on the Poisson Process” [52], and Cressie’s comprehensive 900-page book “Statistics for Spatial Data” [16]. Cluster point processes are part of a larger field known as spatial statistics, encompassing other techniques such as geostatistics, kriging and tessellations. For lattice-based processes known as perturbed lattice point processes, more closely related to the theme of this textbook (lattice processes), and also more recent with applications to cellular networks, see the following references:

“On Comparison of Clustering Properties of Point Processes” [12]. Online PDF here.
“Clustering and percolation of point processes” [11]. Online version here.
“Clustering comparison of point processes, applications to random geometric models” [13]. Online version here.
“Stochastic Geometry-Based Tools for Spatial Modeling and Planning of Future Cellular Networks” [51]. Online version here.
“Hyperuniform and rigid stable matchings” [54]. Online PDF here. Short presentation available here.
“Rigidity and tolerance for perturbed lattices” [68]. Online version here.
“Cluster analysis of spatial point patterns: posterior distribution of parents inferred from offspring” [66].
“Recovering the lattice from its random perturbations” [79]. Online version here.
“Geometry and Topology of the Boolean Model on a Stationary Point Processes” [81]. Online version here.
“On distances between point patterns and their applications” [56]. Online version here.
More general references include two comprehensive volumes on point process theory by Daley and Vere-Jones [20, 21], a chapter by Johnson [45] (available online here or here), books by Møller and Waagepetersen, focusing on statistical inference for spatial processes [60, 61], and “Point Pattern Analysis: Nearest Neighbor Statistics” by Anselin [3] focusing on point inhibition/aggregation metrics, available here. See also [58] by Møller, available online here, and “Limit Theorems for Network Dependent Random Variables” [48], available online here.

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Hexagonal Lattice, Nearest Neighbors

在这里，我将深入探讨第 1.5.3 节中讨论的过程的细节。我还讨论了图 2。生成图 2 的源代码在章节中讨论6.4（最近邻图）和6.7（可视化）。这里讨论了图论的一些元素，以及可视化技术。

令人惊讶的是，可以使用对小数的简单操作来产生具有正六边形格子空间的点过程(米=4)方格：叠加、拉伸和移动。拉伸点阵是通过将乘法因子应用到X和/或 Y 坐标。移位点阵是其中网格点已通过平移移位的点阵。

该过程的每个点几乎肯定（概率为 1）恰好有一个最近的邻居。然而，当比例因子秒为零，这不再是真的。在图 2 的左侧图中，每个点（也称为顶点秒=0) 正好有 3 个最近的邻居。这在策划案件时会带来一些挑战秒=0. 案子秒>0更容易绘制，使用从任何点指向其唯一最近邻居的箭头。我用 R 中的箭头函数生成了有问题的箭头，请参阅部分中的源代码6.7, 以及此处的在线文档。一种点之间的双向箭头一种和乙意思是乙是的最近邻一种，和一种是 B 的最近邻居。图 2 中左侧图中的所有箭头都是双向的。边界效应很容易被注意到，因为一些箭头指向窗外最近的邻居。这些点使用四种颜色，对应于用于生成基于六边形的过程的 4 个移位拉伸泊松二项式过程。颜色表示这 4 个过程中的哪一个，一个点被附加到。

节中的源代码6.4处理具有多个最近邻居的点。它使用哈希表生成所有点及其最近邻居的列表。具有 3 个最近邻居的点在该列表中有 3 个条目：每个最近邻居一个。一组全部由箭头连接的点，称为连通分量 [Wiki]。从连通分量的一点到同一连通分量的另一点的路径，沿着箭头而忽略其方向，在图论中称为路径。

在我对连通分量的定义中，箭头的方向无关紧要：底层图被认为是无向的 [Wiki]。一个有趣的问题是研究大小分布，即每个连通分量的点数，特别是对于标准泊松过程。参见练习 20。在图论中，点称为顶点或节点，箭头称为边。更多关于最近邻的内容在练习 18 和 19 中讨论。

最后，如果您查看图 2，左边的图似乎比右边的图有更多的点。但他们实际上拥有大致相同的点数。右边的图似乎更稀疏，因为有大片区域没有点。但为了补偿，有些区域的几个点非常接近。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Modeling Cluster Systems in Two Dimensions

有多种方法可以创建散布在中心周围的点。当涉及多个中心时，我们得到一个集群结构。由中心组成的点进程称为父进程，而围绕每个中心分布的点称为子进程。因此，我们正在处理一个双层或层次结构，称为聚类点过程。除了聚类，许多其他类型的点过程操作 [Wiki] 在组合两个过程时也是可能的，例如细化或叠加。聚类点过程的典型示例包括 Neyma-Scott（参见此处）和 Matérn（参见此处）。

有用的参考资料包括 Baddeley 的教科书“Spatial Point Processes and their Applications”[4]，可在此处在线获取，Sigman 的一维更新过程初学者课程材料（哥伦比亚大学），标题为“泊松过程注释”[71]，可在线获取在这里，Last 和 Kenrose 的著作“泊松过程讲座”[52]，以及 Cressie 的 900 页综合著作“空间数据统计”[16]。聚类点过程是称为空间统计的更大领域的一部分，包括其他技术，例如地质统计学、克里金法和曲面细分。对于称为扰动格点过程的基于格的过程，与本教科书的主题（格过程）更密切相关，并且最近与蜂窝网络的应用有关，请参阅以下参考资料：

《论点过程的聚类特性比较》[12]。此处为在线 PDF。
“点过程的聚类和渗透”[11]。在线版本在这里。
“点过程的聚类比较，在随机几何模型中的应用”[13]。在线版本在这里。
“用于未来蜂窝网络空间建模和规划的基于随机几何的工具”[51]。在线版本在这里。
“超均匀和刚性稳定匹配”[54]。此处为在线 PDF。此处提供简短演示。
“扰动格子的刚度和容忍度”[68]。在线版本在这里。
“空间点模式的聚类分析：从后代推断出父母的后验分布”[66]。
“从随机扰动中恢复晶格”[79]。在线版本在这里。
“驻点过程布尔模型的几何和拓扑”[81]。在线版本在这里。
“关于点模式之间的距离及其应用”[56]。在线版本在这里。
更一般的参考资料包括 Daley 和 Vere-Jones [20, 21] 的两本关于点过程理论的综合性著作，Johnson [45] 的一章（可在此处或此处在线获取），Møller 和 Waagepetersen 的书籍，侧重于空间的统计推断过程 [60、61] 和 Anselin [3] 的“点模式分析：最近邻统计”重点关注点抑制/聚合指标，可在此处获取。另请参见 Møller 的 [58]，可在此处在线获取，以及“网络相关随机变量的极限定理”[48]，可在此处在线获取。

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|MTH7090

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Rotation, Stretching, Translation and Standardization

In two dimensions, rotating a Poisson-binomial process is equivalent to rotating its underlying lattice attached to the index space. Rotating the points has the same effect as rotating the lattice locations, because $F$ (the distribution attached to the points) belongs to a family of location-scale distributions [Wiki]. For instance, a $\pi / 4$ rotation will turn the square lattice into a centered-square lattice [Wiki], but it won’t change the main properties of the point process. Both processes, the original one and the rotated one, may be indistinguishable for all practical purposes unless the scaling factor $s$ is small, creating model identifiability [Wiki] issues. For instance, the theoretical correlation between the point coordinates $\left(X_h, Y_k\right)$ or the underlying lattice point coordinates $(h / \lambda, k / \lambda)$, measured on all points, remains equal to zero after rotation, because the number of points is infinite (this may not be the case if you observe points through a small window, because of boundary effects). Thus, a Poisson-binomial process has a point distribution invariant under rotations, on a macro-scale. This property is called anisotropy [Wiki]. On a micro-scale, a few changes occur though: for instance the twodimensional version of Theorem $4.1$ no longer applies, and the distance between the projection of two neighbor points on the $\mathrm{X}$ or $\mathrm{Y}$ axis, shrinks after the rotation.

Applying a translation to the points of the process, or to the underlying lattice points, results in a shifted point process. It becomes interesting when multiple shifted processes, with different translation vectors, are combined together as in Section 1.5.3. Theorem $4.1$ may not apply to the shifted process, though it can easily be adapted to handle this situation. One of the problems is to retrieve the underlying lattice space of the shifted process. This is useful for model fitting purposes, as it is easier to compare two processes once they have been standardized (after removing translations and rescaling). Estimation techniques to identify the shift are discussed in Section 3.4.

By a standardized Poisson-binomial point process, I mean one in its canonical form, with intensity $\lambda=1$, scaling factor $s=1$, and free of shifts or rotations. Once two processes are standardized, it is easier to compare them, assess if they are Poisson-binomial, or perform various machine learning procedures on observed data, such as testing, computing confidence intervals, cross-validation, or model fitting. In some way, this is similar to transforming and detrending time series to make them more amenable to statistical inference. There is also some analogy between the period or quasi-period of a time series, and the inverse of the intensity $\lambda$ of a Poisson-binomial process: in fact, $1 / \lambda$ is the fixed increment between the underlying lattice points in the lattice space, and can be viewed as the period of the process.

Finally, a two dimensional process is said to be stretched if a different intensity is used for each coordinate for all the points of the process. It turns the underlying square lattice space into a rectangular lattice, and the homogeneous process into a non-homogeneous one, because the intensity varies locally. Observed data points can be standardized using the Mahalanobis transformation [Wiki], to remove stretching (so that variances are identical for both coordinates) and to decorrelate the two coordinates, when correlation is present.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Superimposition and Mixing

Here we are working with two-dimensional processes. When the points of $m$ independent point processes with same distribution $F$ and same index space $\mathbb{Z}^2$ are bundled together, we say that the processes are superimposed. These processes are no longer Poisson-binomial, see Exercise 14. Indeed, if the scaling factor $s$ is small and $m>1$ is not too small, they exhibit clustering around each lattice location in the lattice space. Also, the intensities or scaling factors of each individual point process may be different, and the resulting combined process may not be homogeneous. Superimposed point processes also called interlaced processes.
A mixture of $m$ point processes, denoted as $M$, is defined as follows:

We have $m$ independent point processes $M_1, \ldots, M_m$ with same distribution $F$ and same index space $\mathbb{Z}^2$,
The intensity and scaling factor attached to $M_i$ are denoted respectively as $\lambda_i$ and $s_i(i=1, \ldots, m)$,
The points of $M_i(i=1, \ldots, m)$ are denoted as $\left(X_{i h}, Y_{i k}\right)$; the index space consists of the $(h, k)$ ‘s,
The point $\left(X_h, Y_k\right)$ of the mixture process $M$ is equal to $\left(X_{i h}, Y_{i k}\right)$ with probability $\pi_i>0, i=1, \ldots, m$.
While mixing or superimposing Poisson-binomial processes seem like the same operation, which is true for stationary Poisson processes, in the case of Poisson-binomial processes, these are distinct operations resulting in significant differences when the scaling factors are very small (see Exercise 18). The difference is most striking when $s=0$. In particular, superimposed processes are less random than mixtures. This is due to the discrete nature of the underlying lattice space. However, with larger scaling factors, the behavior of mixed and superimposed processes tend to be similar.

Several of the concepts discussed in Section $1.5$ are illustrated in Figure 2, representing a realization of $m$ superimposed shifted stretched Poisson-binomial processes, called $m$-interlacing. For each individual process $M_i, i=1, \ldots, m$, the distribution attached to the point $\left(X_{i h}, X_{i k}\right)$ (with $h, k \in \mathbb{Z}$ ) is
$$
P\left(X_{i h}<x, Y_{i k}<y\right)=F\left(\frac{x-\mu_i-h / \lambda}{s}\right) F\left(\frac{y-\mu_i^{\prime}-k / \lambda^{\prime}}{s}\right), \quad i=1, \ldots, m
$$
This generalizes Formula (2). The parameters used for the model pictured in Figure 2 are:

Number of superimposed processes: $m=4$; each one displayed with a different color,
Color: red for $M_1$, blue for $M_2$, orange for $M_3$, black for $M_4$,
scaling factor: $s=0$ (left plot) and $s=5$ (right plot),
Intensity: $\lambda=1 / 3$ ( $\mathrm{X}$-axis) and $\lambda^{\prime}=\sqrt{3} / 3$ ( $\mathrm{Y}$-axis),
Shift vector, $\mathrm{X}$-coordinate: $\mu_1=0, \mu_2=1 / 2, \mu_3=2, \mu_4=3 / 2$,
Shift vector, Y-coordinate: $\mu_1^{\prime}=0, \mu_2^{\prime}=\sqrt{3} / 2, \mu_3^{\prime}=0, \mu_4^{\prime}=\sqrt{3} / 2$,
$F$ distribution: standard centered logistic with zero mean and variance $\pi^2 / 3$.

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Rotation, Stretching, Translation and Standardization

在二维中，旋转泊松二项式过程等同于旋转其连接到索引空间的底层格子。旋转点与旋转晶格位置具有相同的效果，因为F（附加到点的分布）属于位置尺度分布 [Wiki]。例如，一个π/4旋转会将正方形格子变成中心正方形格子 [Wiki]，但它不会改变点过程的主要属性。除非比例因子秒很小，创建模型可识别性 [Wiki] 问题。例如，点坐标之间的理论相关性(XH,是k)或底层格点坐标(H/升,k/升)，在所有点上测量，在旋转后保持等于零，因为点的数量是无限的（如果你通过小窗口观察点，情况可能不是这样，因为边界效应）。因此，泊松二项式过程在宏观尺度上具有在旋转下不变的点分布。此属性称为各向异性 [Wiki]。在微观尺度上，虽然发生了一些变化：例如定理的二维版本4.1不再适用，并且两个相邻点在X要么是轴，旋转后收缩。

将平移应用于过程的点或底层的格点，会导致移动的点过程。如第 1.5.3 节所示，当具有不同翻译向量的多个移位过程组合在一起时，它变得很有趣。定理4.1可能不适用于转移的过程，尽管它可以很容易地适应处理这种情况。问题之一是检索移位过程的底层格空间。这对于模型拟合目的很有用，因为一旦标准化（删除平移和重新缩放之后），比较两个过程就更容易了。3.4 节讨论了识别偏移的估计技术。

通过标准化的泊松二项式点过程，我的意思是它的规范形式，具有强度升=1, 比例因子秒=1，并且没有轮班或轮换。一旦两个过程被标准化，就可以更容易地比较它们、评估它们是否符合泊松二项式，或对观察到的数据执行各种机器学习程序，例如测试、计算置信区间、交叉验证或模型拟合。在某种程度上，这类似于对时间序列进行转换和去除趋势，使它们更适合统计推断。时间序列的周期或准周期与强度的倒数之间也有一些类比升泊松二项式过程：事实上，1/升是格空间中底层格点之间的固定增量，可以看作是过程的周期。

最后，如果对过程的所有点的每个坐标使用不同的强度，则称二维过程被拉伸。它将底层的正方形格子空间变成了矩形格子，并且均匀过程变成了非均匀过程，因为强度局部变化。可以使用马氏变换 [Wiki] 对观察到的数据点进行标准化，以消除拉伸（以便两个坐标的方差相同）并在存在相关性时对两个坐标进行去相关。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Superimposition and Mixing

在这里，我们正在处理二维过程。当点数 $m$ 具有相同分布的独立点过程 $F$ 和相同的索引空间 $\mathbb{Z}^2$ 捆绑在一起，我们说过程是剧加的。这些过程不再是泊松二项式的，参见练习 14。事实上，如果比例因子 $s$ 很小而且 $m>1$ 不是太小，它们在晶格空间中的每个晶格位置周围表现出聚集。此外，每个单独的点过程的强度或比例因子可能不同，并且由此产生的组合过程可能不均匀。詚加点过程也称为交错过程。的混合物 $m$ 点过程，表示为 $M$ ，定义如下：

我们有 $m$ 独立点过程 $M_1, \ldots, M_m$ 具有相同的分布 $F$ 和相同的索引空间 $\mathbb{Z}^2$ ，
附加的强度和比例因子 $M_i$ 分别记为 $\lambda_i$ 和 $s_i(i=1, \ldots, m)$,
的要点 $M_i(i=1, \ldots, m)$ 表示为 $\left(X_{i h}, Y_{i k}\right)$ ；索引空间由 $(h, k)$ 的，
重点 $\left(X_h, Y_k\right)$ 混合过程 $M$ 等于 $\left(X_{i h}, Y_{i k}\right)$ 有概率 $\pi_i>0, i=1, \ldots, m$. 虽然混合或諿加泊松二项式过程看起来像是相同的操作，对于平稳泊松过程也是如此，但在泊松二项式过程的情况下，这些是不同的操作，当缩放因子非常小时会导致显着差异 (参见练习 18). 当 $s=0$. 特别是，咺加过程的随机性低于混合过程。这是由于底层晶格空间的离散性质。然而，对于较大的比例因子，混合过程和䝁加过程的行为往往相似。
本节中讨论的几个概念 $1.5$ 如图 2 所示，代表了一种实现 $m$ 呾加的偏移拉伸泊松二项式过程，称为 $m$ – 交错。对于每个单独的过程 $M_i, i=1, \ldots, m$, 分布附加到点 $\left(X_{i h}, X_{i k}\right.$ ) (和 $h, k \in \mathbb{Z}$ ) 是
$$
P\left(X_{i h}<x, Y_{i k}<y\right)=F\left(\frac{x-\mu_i-h / \lambda}{s}\right) F\left(\frac{y-\mu_i^{\prime}-k / \lambda^{\prime}}{s}\right), \quad i=1, \ldots, m
$$
这推广了公式 (2)。用于图 2 中所示模型的参数是:
㠬加进程数： $m=4$; 每一个都以不同的颜色显示，
颜色: 红色为 $M_1$ ，蓝色为 $M_2$ ，橙色为 $M_3$ ，黑色为 $M_4$ ，
比例因子: $s=0$ (左图) 和 $s=5$ (右图),
强度: $\lambda=1 / 3$ ( $\mathrm{X}$-轴) 和 $\lambda^{\prime}=\sqrt{3} / 3$ (Y-轴)，
移位向量， $\mathrm{X}$-协调: $\mu_1=0, \mu_2=1 / 2, \mu_3=2, \mu_4=3 / 2$,
移位向量， Y坐标: $\mu_1^{\prime}=0, \mu_2^{\prime}=\sqrt{3} / 2, \mu_3^{\prime}=0, \mu_4^{\prime}=\sqrt{3} / 2$,
$F$ 分布: 均值和方差为零的标准中心逻辑 $\pi^2 / 3$.

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Point Count and Interarrival Times

An immediate result is that $F_s(x-k / \lambda)$ is centered at $k / \lambda$. Also, if $s=0$, then $X_k=k / \lambda$. If $s$ is very small, $X_k$ is very close to $k / \lambda$ most of the time. But when $s$ is large, the points $X_k$ ‘s are no longer ordered, and the larger $s$, the more randomly they are permutated (or shuffled, or mixed) on the real line.
Let $B=[a, b]$ be an interval on the real line, with $a2$. This is due to the combinatorial nature of the Poisson-binomial distribution. But you can easily obtain approximated values using simulations.

Another fundamental, real-valued random variable, denoted as $T$ or $T(\lambda, s)$, is the interarrival times between two successive points of the process, once the points are ordered on the real line. In two dimensions, it is replaced by the distance between a point of the process, and its nearest neighbor. Thus it satisfies (see Section $4.2$ ) the following identity:
$$
P(T>y)=P[N(B)=0],
$$
with $\left.B=] X_0, X_0+y\right]$, assuming it is measured at $X_0$ (the point of the process corresponding to $k=0$ ). See Formula (38) for the distribution of $T$. In practice, this intractable exact formula is not used; instead it is approximated via simulations. Also, the point $X_0$ is not known, since the $X_k$ ‘s are in random order, and retrieving $k$ knowing $X_k$ is usually not possible. The indices (the $k$ ‘s) are hidden. However, see Section $4.7$. The fundamental question is whether using $X_0$ or any $X_k$ (say $X_5$ ), matters for the definition of $T$. This is discussed in Section $1.4$ and illustrated in Table 4.

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Limiting Distributions, Speed of Convergence

I prove in Theorem $4.5$ that Poisson-binomial processes converge to ordinary Poisson processes. In this section, I illustrate the rate of convergence, both for the interarrival times and the point count in one dimension.

In Figure 1 , we used $\lambda=1$ and $B=[-0.75,0.75] ; \mu(B)=1.5$ is the length of $B$. The limiting values (combined with those of Table 3), as $s \rightarrow \infty$, are in agreement with $N(B)$ ‘s moments converging to those of a Poisson distribution of expectation $\lambda \mu(B)$, and $T$ ‘s moments to those of an exponential distribution of expectation $1 / \lambda$. In particular, it shows that $P[N(B)=0] \rightarrow \exp [-\lambda \mu(B)]$ and $E\left[T^2\right] \rightarrow 2 / \lambda$ as $s \rightarrow \infty$. These limiting distributions are features unique to stationary Poisson processes of intensity $\lambda$.

Figure 1 illustrates the speed of convergence of the Poisson-binomial process to the stationarity Poisson process of intensity $\lambda$, as $s \rightarrow \infty$. Further confirmation is provided by Table 3 , and formally established by Theorem 4.5. Of course, when testing data, more than a few statistics are needed to determine whether you are dealing with a Poisson process or not. For a full test, compare the empirical moment generating function (the estimated $\mathrm{E}\left[T^r\right]^{\prime}$ s say for all $r \in[0,3]$ ) or the empirical distribution of the interarrival times, with its theoretical limit (possibly obtained via simulations) corresponding to a Poisson process of intensity $\lambda$. The parameter $\lambda$ can be estimated based on the data. See details in Section 3.

In Figure 1, the values of $\mathrm{E}\left[T^2\right]$ are more volatile than those of $P[N(B)=0]$ because they were estimated via simulations; to the contrary, $P[N(B)=0]$ was computed using the exact Formula (6), though truncated to 20,000 terms. The choice of a Cauchy or logistic distribution for $F$ makes almost no difference. But a uniform $F$ provides noticeably slower, more bumpy convergence. The Poisson approximation is already quite good with $s=10$, and only improves as $s$ increases. Note that in our example, $N(B)>0$ if $s=0$. This is because $X_k=k$ if $s=0$; in particular, $X_0=0 \in B=[-0.75,0.75]$. Indeed $N(B)>0$ for all small enough $s$, and this effect is more pronounced (visible to the naked eye on the left plot, blue curve in Figure 1 ) if $F$ is uniform. Likewise, $E\left[T^2\right]=1$ if $s=0$, as $T(\lambda, s)=\lambda$ if $s=0$, and here $\lambda=1$.

The results discussed here in one dimension easily generalize to higher dimensions. In that case $B$ is a domain such as a circle or square, and $T$ is the distance between a point of the process, and its nearest neighbor. The limit. Poisson process is stationary with intensity $\lambda^d$, where $d$ is the dimension.

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Point Count and Interarrival Times

一个立竿见影的结果是 $F_s(x-k / \lambda)$ 以 $k / \lambda$. 另外，如果 $s=0$ ，然后 $X_k=k / \lambda$. 如果 $s$ 很小， $X_k$ 非常接近 $k / \lambda$ 大多数时候。但当 $s$ 大，分 $X_k$ 的不再有序，更大的 $s$ ，它们在实线上的排列（或混洗或混合) 越随机。
让 $B=[a, b]$ 是实线上的一个区间，有 $a 2$. 这是由于泊松二项分布的组合性质。但是您可以使用模拟轻松获得近似值。
另一个基本的实值随机变量，表示为 $T$ 要么 $T(\lambda, s)$, 是过程的两个连续点之间的到达间隔时间，一旦这些点在实际线上被排序。在二维中，它被过程中的一个点与其最近邻点之间的距离所取代。因此它满足 (见第 $4.2$ ) 以下身份:
$$
P(T>y)=P[N(B)=0],
$$
和 $\left.B=] X_0, X_0+y\right]$ ，假设它是在 $X_0$ （对应的过程点 $k=0$ ). 的分布见式 (38) $T$. 实际上，并没有使用这个棘手的精确公式；相反，它是通过模拟来近似的。还有，重点 $X_0$ 不知道，因为 $X_k$ 的是随机顺序，并检索 $k$ 会心 $X_k$ 通常是不可能的。指标 ( $k$ 的) 是隐藏的。但是，请参阅第 $4.7$. 根本的问题是是否使用 $X_0$ 或任何 $X_k$ (说 $X_5$ ), 事项的定义 $T$. 这在第节中讨论 $1.4$ 并在表4中说明。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Limiting Distributions, Speed of Convergence

我在定理中证明 $4.5$ 泊松二项式过程收敛于普通泊松过程。在本节中，我说明了到达间隔时间和一维点数的收敛速度。
在图 1 中，我们使用了 $\lambda=1$ 和 $B=[-0.75,0.75] ; \mu(B)=1.5$ 是的长度 $B$. 限值（结合表 3 的限
值），如 $s \rightarrow \infty$ ，同意 $N(B)$ 的时刻收敛于期望的泊松分布 $\lambda \mu(B)$ ，和 $T$ 的时刻与期望指数分布的时刻 $1 / \lambda$. 特别地，它表明 $P[N(B)=0] \rightarrow \exp [-\lambda \mu(B)]$ 和 $E\left[T^2\right] \rightarrow 2 / \lambda$ 作为 $s \rightarrow \infty$. 这些极限分布是稳态泊松强度过程所独有的特征 $\lambda$.
图 1 说明了泊松二项式过程向平稳泊松强度过程的收敛速度 $\lambda$ ，作为 $s \rightarrow \infty$. 表 3 提供了进一步的确认，并由定理 $4.5$ 正式确立。当然，在测试数据时，需要更多的统计数据来确定您是否正在处理泊松过程。对于完整测试，比较经验力矩生成函数（估计的 $\mathrm{E}\left[T^r\right]^{\prime}$ 对所有人说 $r \in[0,3]$ ) 或到达间隔时间的经验分布，其理论极限（可能通过模拟获得）对应于强度的泊松过程 $\lambda$. 参数 $\lambda$ 可以根据数据进行估算。请参阅第 3 节中的详细信息。
在图 1 中，值 $\mathrm{E}\left[T^2\right]$ 比那些更不稳定 $P[N(B)=0]$ 因为它们是通过模拟估计的；从相反的方面来说， $P[N(B)=0]$ 是使用精确的公式 (6) 计算的，尽管被截断为 20,000 个术语。柯西分布或逻辑分布的选改进为 $s$ 增加。请注意，在我们的示例中， $N(B)>0$ 如果 $s=0$. 这是因为 $X_k=k$ 如果 $s=0$; 特别是， $X_0=0 \in B=[-0.75,0.75]$. 的确 $N(B)>0$ 对于所有足够小的 $s$ ，并且这种效果更明显 (左图中肉眼可见，图 1 中的蓝色曲线) 如果 $F$ 是统一的。同样地， $E\left[T^2\right]=1$ 如果 $s=0$ ，作为 $T(\lambda, s)=\lambda$ 如果 $s=0 ＼mathrm{~ ， ~ 和这里 ~} \lambda=1$.
这里在一维中讨论的结果很容易推广到更高的维度。在这种情况下 $B$ 是一个域，例如圆形或正方形，并且 $T$ 是过程中的一个点与其最近邻点之间的距离。极限。泊松过程随强度平稳 $\lambda^d$ ，在哪里 $d$ 是维度。

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|MTH7090

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Special Chains and Foster Type Theorems

If the Markov Chain is infinite, the number of equations given by $\pi(P-I)=0$ will be infinite involving an infinite number of unknowns. In some particular cases we can solve these equations. The following examples will illustrate this point.
Example 2.5 Birth and-Death Chain (Non-Homogeneous Random Walk) Consider a birth and death chain on ${0,1,2, \ldots, d}$ or a set of non-negative integers i.e. where $d=\infty$. Assume that the chain is irreducible i.e. $p_j>0$ and $q_j>0$ in case $0 \leq j \leq d$ (i.e. when $d$ is finite) $p_j>0$ for $0 \leq j<\infty$ and $q_j>0$ for $0<j<\infty$ if $d$ is infinite. Consider the transition matrix when $d<\infty$ we assume that $r_i=0$ for $i \geq 0$ and $p_0=1$.
Particular Case: First consider that $d$ is still infinite and $r_1=0$ for $i \geq 0$, $p_0=1$. The stationary distribution is given by

$$
X=\left(x_0, x_1, x_2, \ldots\right)=\left(x_0, x_1, x_2, \ldots\right)\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & 0 & \ldots \
q_1 & 0 & p_1 & 0 & \ldots \
0 & q_2 & 0 & p_2 & \cdots
\end{array}\right)
$$
or $X=X P$. Let $x_0 \neq 0$. Then
$$
\begin{aligned}
&x_0=x_1 q_1, \
&x_1=x_0+x_2 q_2, \
&x_3=x_2 p_2+x_4 q_4, \
&x_4=\ldots \
&\cdots
\end{aligned}
$$
Define
Then
$$
y_i=\frac{x_i}{x_0}, y_0=1, i=1,2,3, \ldots
$$
$$
\begin{aligned}
&y_1=1 / q_1, y_1=1+y_2 q_2 \text { or } y_2=\frac{y_1-1}{q_2}=\frac{1-q_1}{q_1 q_2}=\frac{p_1}{q_1 q_2} \
&y_3=\frac{p_1 p_2}{q_1 q_2 q_3}, \ldots, y_n=\frac{p_1 p_2 \ldots p_{n-1}}{q_1 q_2 \ldots q_n}>0 \quad \text { for all } n=1,2, \ldots
\end{aligned}
$$
(by assumption that all $p, q$ ‘s are $>0$ ).

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Foster type theorems

The following theorems, associated with Foster, give criteria for transient and recurrent chains in terms of solution of certain equations. Assume that the M.C. is irreducible.

Theorem 2.11 (Foster, 1953) Let the Markov chain be irreducible. Assume that there exists $x_k, k \in S$ such that $x_k=\sum_{k \in S} x_i p_{i k}$ and $0<\sum_{k \in S}\left|x_k\right|<\infty$. Then the Markov Chain is positive recurrent (this is a sort of converse of Theorem 2.9). Proof Since $y_k=\frac{1}{\sum_{k \in S}\left|x_k\right|}>0, \sum_{k \in S} y_k=1$.

Without loss of generality $\left{x_k, k \in S\right}$ is a stationary distribution of a M.C. Then $$
x_k=\sum_{k \in S} x_i p_{i k}^{(n)} \text { for all } n=1,2, \ldots
$$
Suppose that there is no positive state.
Since the M.C. is irreducible, then all the states are either transient or null. In that case $p_{i k}^{(n)} \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$ for all $i, k \in S$. By Lebesgue Dominated Convergence Theorem, taking $n \rightarrow \infty$ in (2.19)
$$
x_k=\sum_{i \in S}\left(x_i\right) .0=0 \text { for all } k \in S
$$
But $0<\sum_{k \in S} x_k<\infty$ is a contradiction to (2.20).
Hence, there is at least one positive recurrent state. Since M.C. is irreducible, by Solidarity Theorem the M.C. must be positive recurrent.
Conclusion An ireducible aperiodic M.C. has a stationary distribution iff all states are positive recurrent.

Theorem 2.11(a) If the M.C. is positive recurrent the system of equations $x_i=\sum_{j=0}^{\infty} x_j p_{j i}$ has a solution such that $0<\sum_{j=0}^{\infty} x_j<\infty$.
(Proof may be found in Karlin and Taylor’s book.)
Theorem 2.12 The M.C. is transient iff $x_i=\sum_{j=0}^{\infty} p_{i j} x_j$ has a solution for $i \neq 0$, which is bounded and non-constant i.e. all $x_i^{\prime}$ ‘s are not equal.

Theorem 2.13 The M.C. is positive recurrent if $x_i \geq \sum_{j=0}^{\infty} p_{i j} x_j$ has a solution such that $x_i \rightarrow \infty$ as $i \rightarrow \infty$ (see Chung’s book on Markov Chains with Stationary Transition Probabilities).

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Special Chains and Foster Type Theorems

如果马尔可夫链是无限的，则方程的数量为 $\pi(P-I)=0$ 将是无限的，涉及无限多的末知数。在某些特定情况下，我们可以求解这些方程。下面的例子将说明这一点。
示例 $2.5$ 生死链 (非齐次随机游走) 考虑一个生死链 $0,1,2, \ldots, d$ 或一组非负整数，即 $d=\infty$. 假设链是不可约的，即 $p_j>0$ 和 $q_j>0$ 如果 $0 \leq j \leq d$ (即当 $d$ 是有限的) $p_j>0$ 为了 $0 \leq j<\infty$ 和 $q_j>0$ 为了 $00$ ).

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Foster type theorems

以下与 Foster 相关的定理根据某些方程的解给出瞬时链和循环链的标准。假设 MC 是不可约的。
定理 $2.11$ (Foster，1953) 令马尔可夫链不可约。假设存在 $x_k, k \in S$ 这样 $x_k=\sum_{k \in S} x_i p_{i k}$ 和 $0<\sum_{k \in S}\left|x_k\right|<\infty$. 那么马尔可夫链是正循环的 (这是定理 $2.9$ 的一种逆) 。证明自 $y_k=\frac{1}{\sum_{k \in S}\left|x_k\right|}>0, \sum_{k \in S} y_k=1$
$$
x_k=\sum_{k \in S} x_i p_{i k}^{(n)} \text { for all } n=1,2, \ldots
$$
假设没有积极的状态。
由于 $M C$ 是不可约的，因此所有状态要么是瞬态的，要么是空的。在这种情况下 $p_{i k}^{(n)} \rightarrow 0$ 作为 $n \rightarrow \infty$ 对所有人 $i, k \in S$. 通过勒贝格支配收敛定理，取 $n \rightarrow \infty$ 在 (2.19)
$$
x_k=\sum_{i \in S}\left(x_i\right) .0=0 \text { for all } k \in S
$$
但 $0<\sum_{k \in S} x_k<\infty$ 与 $(2.20)$ 矛盾。
因此，至少存在一种正复发状态。由于 MC 是不可约的，根据团结定理，MC 必须是正循环的。结论当且仅当所有状态均为正循环时，不可约非周期性 MC 具有平稳分布。
定理 2.11(a) 如果 MC 是正循环方程组 $x_i=\sum_{j=0}^{\infty} x_j p_{j i}$ 有这样的解决方案 $0<\sum_{j=0}^{\infty} x_j<\infty$.
(证明可以在 Karlin 和 Taylor 的书中找到。)
定理 $2.12 \mathrm{MC}$ 是瞬态的当且仅当 $x_i=\sum_{j=0}^{\infty} p_{i j} x_j$ 有一个解决方案 $i \neq 0$ ，这是有界的和非常量即所有 $x_i^{\prime}$ 的不相等。
定理 $2.13$ 如果 $x_i \geq \sum_{j=0}^{\infty} p_{i j} x_j$ 有这样的解决方案 $x_i \rightarrow \infty$ 作为 $i \rightarrow \infty$ (请参阅 Chung 关于具有平稳转移概率的马尔可夫链的书）。

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|STAT3021

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统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Decomposition of state space

It may be possible that $p_{i j}=0, p_{i j}^{(2)}=0$ but $p_{i j}^{(3)}>0$. We say that the state $j$ is accessible from state $i$ if $p_{i j}^{(n)}>0$ for some $n>0$. In notation $i \rightarrow j$, i.e. $i$ leads to $j$. If $i \rightarrow j$ and $j \rightarrow i$, then $i$ and $j$ communicate and we denote this by $i \leftrightarrow j$.
Definition 2.4 The state $i$ is essential if $i \rightarrow j$ implies $i \leftarrow j$, i.e. if any state $j$ is accessible from $i$, then $i$ is accessible from that state. We shall let $\mathfrak{I}$ denote the set of all essential states. States that are not essential are called inessential.
Lemma $2.1 \quad i \leftrightarrow j$ defines an equivalence relation on $\mathfrak{J}$, the class of essential states.
Proof $i \leftrightarrow i$ (reflexivity)
(i) Since for each $i, \sum_{j \in s} p_{i j}=1$ there exists at least one $j$ for which $p_{i j}>0$. But if $i$ is essential then there exists $m \geq 1$ such that $p_{j i}^{(m)}>0$. So by ChapmenKolmogrov equation $p_{i i}^{(m+1)} \geq p_{i j} p_{j i}^{(m)}>0$.
(ii) $i \leftrightarrow j \Leftrightarrow j \leftrightarrow i$ (symmetry)
(iii) $i \leftrightarrow j$ and $j \leftrightarrow k \Rightarrow i \leftrightarrow k$ (transitivity)
Proof of (iii)
To prove $i \rightarrow k$, since $i \rightarrow j p_{j i}^{(n)}>0$ for some $n \geq 1$ and $j \rightarrow k, p_{j k}^{(m)}>0$ for some $m \geq 1$.
Claim: $p_{i k}^{(l)}>0$ for some $l \geq 1$
$$
0<p_{i j}^{(n)} p_{j k}^{(m)} \leq \sum_{j \in s} p_{i j}^{(n)} p_{j k}^{(m)}=p_{i k}^{(n+m)} \text { (Chapman-Kolmogorov) }
$$
Taking $l=m+n$,
$$
i \rightarrow k \text { and similarly } k \rightarrow i \Rightarrow i \leftrightarrow k \text {. }
$$
By Lemma 2.1, i.e. $\mathfrak{S}=\cup{C(i)$, where $C(i)={j \in \mathfrak{S} \mid i \leftrightarrow j}$ is called a communicating class, i.e. the class of essential states is partitioned into disjoint equivalent classes (communicating classes).

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Limit Theorems for Markov Chains

Definition 2.10 Let $d(\mathrm{i})$ be the greatest common divisor of those $n \geq 1$ for which $p_{i i}^{(n)}>0$. Then $d(i)$ is called the period of the state $i$. If $d(i)=1$, then the state $i$ is called aperiodic.
Note $i \leftrightarrow j$, then $d(i)=d(j)$.
There exists $n_1$ and $n_2$ such that $p_{i j}^{\left(n_1\right)}>0$ and $p_{j i}^{\left(n_2\right)}>0$.
Now $p_{i i}^{\left(n_1+n_2\right)} \geq p_{i j}^{\left(n_1\right)} p_{j i}^{\left(n_2\right)}>0$ and hence $d(i)$ is a divisor of $n_1+n_2$.
If $p_{j j}^{(n)}>0$, then $p_{i i}^{\left(n_1+n+n_2\right)} \geq p_{i j}^{\left(n_1\right)} p_{j j}^{(n)} p_{j i}^{\left(n_2\right)}>0$ (by Chapman Kolmogorov equation).

Hence, $d(i)$ is a divisor of $n_1+n+n_2$. So $d(i)$ must be a divisor of $n$ if $p_{j i}^{(n)}>0$.

Thus $d(i)$ is a divisor of $\left{n \geq 1: p_{j j}^{(n)}>0\right}$. Since $d(j)$ is the largest of such divisors, $d(i) \leq d(j)$. Hence, by symmetry $d(j) \leq d(i)$.
Hence $d(i)=d(j)$. Therefore having a period $d$ is a class property.
Note If $p_{i i}>0$, then $d(i)=1$ and this implies that a sufficient condition for an irreducible M.C. to be aperiodic is that $p_{i i}>0$ for some $i \in S$. Hence a queueing chain is aperiodic.
Theorem 2.7 Limit Theorem (for diagonal elements)
Let $j$ be any state in a M.C. As $n \rightarrow \infty$.
(i) if $j$ is transient, then $p_{j j}^{(n)} \rightarrow 0$
(ii) if $j$ is null recurrent, then $p_{j j}^{(n)} \rightarrow 0$
(iii) if $j$ is positive (recurrent) and
(a) aperiodic, then $p_{j j}^{(n)} \rightarrow \frac{1}{\sum_{n=1}^{\infty} n f_{j j}^{(n)}}=\frac{1}{\mu_j}($ mean recurrence time of $j$ )

随机过程代考

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Decomposition of state space

有可能 $p_{i j}=0, p_{i j}^{(2)}=0$ 但 $p_{i j}^{(3)}>0$. 我们说状态 $j$ 可以从状态访问 $i$ 如果 $p_{i j}^{(n)}>0$ 对于一些 $n>0$. 在符号 $i \rightarrow j ＼mathrm{~ ， ~ I E ~} i$ 导致 $j$. 如果 $i \rightarrow j$ 和 $j \rightarrow i$ ，然后 $i$ 和 $j$ 沟通，我们用 $i \leftrightarrow j$.
定义 $2.4$ 国家 $i$ 是必不可少的，如果 $i \rightarrow j$ 暗示 $i \leftarrow j$ ，即如果有任何状态 $j$ 可从 $i$ ，然后 $i$ 可以从那个状态访问。我们要让 $\mathfrak{I}$ 表示所有基本状态的集合。非本质状态称为非本质状态。
引理 $2.1 i \leftrightarrow j$ 定义等价关系 $\mathfrak{J}$ ，基本状态类。
证明 $i \leftrightarrow i$ (自反性)
(i) 因为对于每个 $i, \sum_{j \in s} p_{i j}=1$ 至少存在一个 $j$ 为了哪个 $p_{i j}>0$. 但是如果 $i$ 是本质的那么存在 $m \geq 1$ 这样 $p_{j i}^{(m)}>0$. 所以由 ChapmenKolmogrov 方程 $p_{i i}^{(m+1)} \geq p_{i j} p_{j i}^{(m)}>0$.
(二) $i \leftrightarrow j \Leftrightarrow j \leftrightarrow i$ (对称)
(iii) $i \leftrightarrow j$ 和 $j \leftrightarrow k \Rightarrow i \leftrightarrow k$ (传递性)
证明 (iii)
证明 $i \rightarrow k ＼mathrm{~ ，自从 ~} i \rightarrow j p_{j i}^{(n)}>0$ 对于一些 $n \geq 1$ 和 $j \rightarrow k, p_{j k}^{(m)}>0$ 对于一些 $m \geq 1$.
宣称: $p_{i k}^{(l)}>0$ 对于一些 $l \geq 1$
$$
0<p_{i j}^{(n)} p_{j k}^{(m)} \leq \sum_{j \in s} p_{i j}^{(n)} p_{j k}^{(m)}=p_{i k}^{(n+m)}(\text { Chapman-Kolmogorov) }
$$
服用 $l=m+n ，$
$i \rightarrow k$ and similarly $k \rightarrow i \Rightarrow i \leftrightarrow k$.
由引理 2.1，即 $\$ \backslash m a t h f r a k{S}=\backslash c u p{C(i)$, where $C(i)={j \backslash$ in $\backslash m a t h f r a k{S} \backslash m i d$ i \eftrightarrow $j} \$$ 称为互通类，即本质状态类被划分为不相交的等价类 (互通类)。

统计代写|随机过程代写stochastic process代考|Limit Theorems for Markov Chains

定义 $2.10$ 让 $d(\mathrm{i})$ 是那些的最大公约数 $n \geq 1$ 为了哪个 $p_{i i}^{(n)}>0$. 然后 $d(i)$ 称为状态周期 $i$. 如果 $d(i)=1$ ，那么状态 $i$ 称为非周期性。
笔记 $i \leftrightarrow j$ ，然后 $d(i)=d(j)$.
那里存在 $n_1$ 和 $n_2$ 这样 $p_{i j}^{\left(n_1\right)}>0$ 和 $p_{j i}^{\left(n_2\right)}>0$.
现在 $p_{i i}^{\left(n_1+n_2\right)} \geq p_{i j}^{\left(n_1\right)} p_{j i}^{\left(n_2\right)}>0$ 因此 $d(i)$ 是除数 $n_1+n_2$.
如果 $p_{j j}^{(n)}>0$ ，然后 $p_{i i}^{\left(n_1+n+n_2\right)} \geq p_{i j}^{\left(n_1\right)} p_{j j}^{(n)} p_{j i}^{\left(n_2\right)}>0$ (通过 Chapman Kolmogorov 方程)。
因此， $d(i)$ 是除数 $n_1+n+n_2$. 所以 $d(i)$ 必须是除数 $n$ 如果 $p_{j i}^{(n)}>0$.
因此 $d(i)$ 是除数 $\backslash$ left{n \geq 1: $\left.p_{-}{j}\right} \wedge{(n)}>0 \backslash$ ight $}$. 自从 $d(j)$ 是此类除数中最大的， $d(i) \leq d(j)$. 因此，通过对称 $d(j) \leq d(i)$.
因此 $d(i)=d(j)$. 因此有一个时期 $d$ 是一个类属性。
注意如果 $p_{i i}>0$ ，然后 $d(i)=1$ 这意味着不可约 MC 非周期性的充分条件是 $p_{i i}>0$ 对于一些 $i \in S$. 因此，排队链是非周期性的。
定理 $2.7$ 极限定理 (对角线元素)
让 $j$ 是 MC As 中的任何状态 $n \rightarrow \infty$.
(i) 如果 $j$ 是瞬态的，那么 $p_{j j}^{(n)} \rightarrow 0$
(ii) 如果 $j$ 是空㵌环的，那么 $p_{j j}^{(n)} \rightarrow 0$
(iii) 如果 $j$ 是正的 (经常性的) 和
（a）非周期性的，然后 $p_{j j}^{(n)} \rightarrow \frac{1}{\sum_{n=1}^{\infty} n f_{j j}^{(n)}}=\frac{1}{\mu_j}$ (的平均复发时间 $j$ )

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SQL代写	各种数据建模与可视化代写