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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|PHYSICS3544

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量子力学是物理学的一个基本理论，它在原子和亚原子粒子的尺度上对自然界的物理特性进行了描述。它是所有量子物理学的基础，包括量子化学、量子场论、量子技术和量子信息科学。

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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|PHYSICS3544

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Algebraic Lie Subalgebras of Special Phase Functions

We start by discussing distinguished Lie subalgebras of the Lie algebra of special phase functions, which are defined by means of algebraic conditions (see, also, $[227])$.

Proposition 12.6.1 The subsheaves of spacetime functions and of the projectable, time preserving and affine special phase functions (see Definition 12.1.3)
$\operatorname{map}(\boldsymbol{E}, \mathbb{R}) \subset \operatorname{aff} \operatorname{spe}(\boldsymbol{E}, \mathbb{R}) \subset \operatorname{tim} \operatorname{spe}(\boldsymbol{E}, \mathbb{R}) \subset \operatorname{prospe}(\boldsymbol{E}, \mathbb{R}) \subset \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)$
turn out to be closed with respect to the special phase Lie bracket.
Indeed, the following Lie subalgebra of special phase functions will play a role in the classification of infinitesimal symmetries of classical dynamics and in the discussion of classical currents (see Theorem 13.2.6 and Definition 13.3.1)

Now, let us choose a gauge $b$.
Definition 12.6.2 With reference to the gauge $b$, we define:

a short special phase functions to be a special phase functions $f \in \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)$ such that $\hat{f}[b]=0$,
a quasi-short special phase function to be a special phase function $f \in \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)$ such that $\hat{f}[b] \in \mathbb{R}$.

The subsheaves of short and quasi-short special phase functions are denoted by
$$
\operatorname{srt}{\mathrm{b}} \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right) \subset \operatorname{srt}{\mathrm{b}}^{\prime} \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right) \subset \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right) . \quad \square
$$
Proposition 12.6.3 With reference to the gauge $b$, the short special phase functions $f \in \operatorname{srt}{\mathrm{b}} \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)$ are characterised by their tangent lift through the equality $$ f=-i{X[f]} A^{\uparrow}[\mathrm{b}]
$$
Accordingly, the sheaf of short special phase functions is constituted by the special phase functions of the the following type, with reference to any observer $o$,
$$
f=f^0 \mathcal{H}_0[\mathrm{~b}, o]+f^i \mathcal{P}_i[\mathrm{~b}, o], \quad \text { with } f^\lambda \in \operatorname{map}(\boldsymbol{E}, \mathbb{R}) \text {. }
$$

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Differential Lie Subalgebras of Special Phase

Next, we discuss distinguished Lie subalgebras of the Lie algebra of special phase functions, which are defined by means of differential conditions (see, also, [227]).
Preliminarily, we show that

the holonomic lift of special phase functions is a surjective Lie algebra morphism,
the hamiltonian lift of projectable special phase functions is a surjective Lie algebra morphism.
Then, we define and characterise the
quasi unitary Lie subalgebra of s.p.f. $f$, such that $d \operatorname{div}_\eta f=0$,
unitary Lie subalgebra of s.p.f. $f$, such that $\operatorname{div}_\eta f=0$,
holonomic Lie subalgebra of s.p.f. $f$, such that $X^{\uparrow}$ ham $[f]=X^{\uparrow}$ hol $[f]$,
conserved Lie subalgebra of s.p.f. $f$, such that $\gamma \cdot f=0$.
Proposition 12.6.5 For each $f, f \in \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)$, we have
$$
\left.\left[X^{\uparrow}{ }{\mathrm{hol}}[f], X{\mathrm{hol}}^{\uparrow}[f]\right]=X_{\mathrm{hol}}[\mathbb{I} f, f]\right]
$$
Hence, the holonomic lift of special phase functions (see Definition 12.3.2)
$$
X_{\text {hol }}^{\uparrow}: \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right) \rightarrow \operatorname{hol} \sec \left(J_1 \boldsymbol{E}, T J_1 \boldsymbol{E}\right): f \mapsto X^{\uparrow}{ }{\mathrm{hol}}[f] $$ turns out to be a surjective Lie algebra sheaf morphism, whose kernel is the subsheaf (see Proposition 12.3.3) $$ \operatorname{map}(\boldsymbol{E}, \mathbb{R}) \subset \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right) $$ Hence, the map $X^{\uparrow}$ hol passes to the quotient and we obtain a Lie algebra isomorphism $$ X{\text {hol }}^{\uparrow}: \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right) / \operatorname{map}(\boldsymbol{E}, \mathbb{R}) \rightarrow \operatorname{hol} \sec (\boldsymbol{E}, T \boldsymbol{E})
$$

量子力学代考

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Algebraic Lie Subalgebras of Special Phase Functions

我们首先讨论特殊相函数李代数的不同李子代数，这些李子代数是通过代数条件定义的 (另见，[227]).
命题 12.6.1 时空函数的子层以及可投影、保时和仿射特殊相函数的子层 (见定义 12.1.3) $\operatorname{map}(\boldsymbol{E}, \mathbb{R}) \subset \operatorname{aff} \operatorname{spe}(\boldsymbol{E}, \mathbb{R}) \subset \operatorname{tim} \operatorname{spe}(\boldsymbol{E}, \mathbb{R}) \subset \operatorname{prospe}(\boldsymbol{E}, \mathbb{R}) \subset \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)$ 结果对于特殊相位李括号是封闭的。
实际上，以下特殊相函数的李子代数将在经典动力学的无穷小对称性分类和经典电流的讨论中发挥作用 (参见定理 13.2.6 和定义 13.3.1)
现在，让我们选择一个仪表 $b$.
定义 12.6.2 参照量规 $b$ ，我们定义:

一个短的特殊相函数是一个特殊的相函数 $f \in \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)$ 这样 $\hat{f}[b]=0$ ，
一个拟短的特殊相位函数是一个特殊相位函数 $f \in \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)$ 这样 $\hat{f}[b] \in \mathbb{R}$.
短和准短特殊相函数的子层表示为
$$
\operatorname{srt} b \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right) \subset \operatorname{srtb}^{\prime} \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right) \subset \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)
$$
命题 12.6.3 关于量规 $b$, 短特殊相函数 $f \in \operatorname{srtb} \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)$ 的特点是通过平等他们的切线提升
$$
f=-i X[f] A^{\uparrow}[\mathrm{b}]
$$
因此，短特殊相函数的层由以下类型的特殊相函数构成，参考任何观察者 $O$ ，
$$
f=f^0 \mathcal{H}_0[\mathrm{~b}, o]+f^i \mathcal{P}_i[\mathrm{~b}, o], \quad \text { with } f^\lambda \in \operatorname{map}(\boldsymbol{E}, \mathbb{R})
$$

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Differential Lie Subalgebras of Special Phase

接下来，我们讨论特殊相函数李代数的不同李子代数，它们是通过微分条件定义的（另见 [227]）。初步地，我们表明

特殊相函数的完整提升是满射李代数态射，
可投影特殊相函数的哈密顿提升是满射李代数态射。
然后，我们定义和表征
$s p f$ 的拟酉李子代数 $f$, 这样 $d \operatorname{div}_\eta f=0$,
$\operatorname{spf}$ 的酉李子代数 $f$, 这样 $\operatorname{div}_\eta f=0$,
spf的完整李子代数 $f$, 这样 $X^{\uparrow}$ 也 $[f]=X^{\uparrow}$ 在哪里 $[f]$,
spf 的守恒李子代数 $f$, 这样 $\gamma \cdot f=0$.
命题 12.6.5 对于每个 $f, f \in \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)$ ，我们有
$$
\left.\left[X^{\uparrow} \operatorname{hol}[f], X \operatorname{hol}^{\uparrow}[f]\right]=X_{\mathrm{hol}}[\mathbb{I} f, f]\right]
$$
因此，特殊相函数的完整提升（见定义 12.3.2）
$$
X_{\text {hol }}^{\uparrow}: \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right) \rightarrow \operatorname{hol} \sec \left(J_1 \boldsymbol{E}, T J_1 \boldsymbol{E}\right): f \mapsto X^{\uparrow} \operatorname{hol}[f]
$$
结果是满射李代数层态射，其内核是子层（见命题 12.3.3)
$$
\operatorname{map}(\boldsymbol{E}, \mathbb{R}) \subset \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)
$$
因此，地图 $X^{\uparrow} \mathrm{hol}$ 传递给商，我们得到一个李代数同构
$$
X \operatorname{hol}^{\uparrow}: \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right) / \operatorname{map}(\boldsymbol{E}, \mathbb{R}) \rightarrow \operatorname{hol} \sec (\boldsymbol{E}, T \boldsymbol{E})
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|PHYS3040

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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Hamiltonian Phase Lift of s.p.f.

Let us recall the hamiltonian phase lift $X^{\uparrow}$ ham $[f]:=\gamma\left(f^{\prime \prime}\right)+\Lambda^{\ddagger}(d f)$ of a generic phase function $f \in \operatorname{map}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)$ (see Definition 11.3.6).

Indeed, we can specialise the above hamiltonian lift of generic phase functions to special phase functions. We notice that, in the particular case of special phase functions, the above time scale $f^{\prime \prime}$ (see Lemma 11.3.5), coincides with the time component defined in Definition 12.1.1.

We stress that this phase lift resembles the standard hamiltonian lift in symplectic structures, but involves an additional unusual “horizontal” term which is related to the odd dimension of phase space. Moreover, we emphasise that the hamiltonian phase lift of special phase functions involves essentially the coPoisson structure $(\gamma, \Lambda)$ (or, equivalently, the cosymplectic structure $(d t, \Omega)$ ) of phase space.

Definition 12.4.1 For each $f \in \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)$, we define the hamiltonian phase lift to be the phase vector field
$$
X^{\uparrow}{ }{\operatorname{ham}}[f]:=\gamma\left(f^{\prime \prime}\right)+\Lambda^{ \pm}(d f) \in \operatorname{prosec}\left(J_1 \boldsymbol{E}, T J_1 \boldsymbol{E}\right) \subset \sec \left(J_1 \boldsymbol{E}, T J_1 \boldsymbol{E}\right) $$ which is projectable on the tangent lift $X[f] \in \sec (\boldsymbol{E}, T \boldsymbol{E})$. We denote the hamiltonian phase lift sheaf morphism and the subsheaf of hamiltonian phase lifts of all special phase functions, respectively, by $$ \begin{aligned} & X^{\uparrow}{ }{\text {ham }}: \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right) \rightarrow \text { ham sec }\left(J_1 \boldsymbol{E}, T J_1 \boldsymbol{E}\right): f \mapsto X^{\uparrow}{ }{\text {ham }}[f], \ & \text { ham } \sec \left(J_1 \boldsymbol{E}, T J_1 \boldsymbol{E}\right) \subset \sec \left(J_1 \boldsymbol{E}, T J_1 \boldsymbol{E}\right) \text {. } \ & \end{aligned} $$ Proposition 12.4.2 For each $f \in \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)$, we have the coordinate expression (see Corollary 11.3.7, Definition 3.2.9 and Theorem 10.1.8) $$ \begin{aligned} X^{\uparrow}{ }{\text {ham }}[f]=f^0 & \partial_0-f^i \partial_i+G_0^{i j}\left(-f^0\left(\partial_0 \mathcal{P}_j-\partial_j A_0\right)+f^h\left(\partial_h \mathcal{P}_j-\partial_j A_h\right)\right. \
& \left.+\partial_j f^0 \mathcal{K}_0+\partial_j f^h \mathcal{Q}_h+\partial_j \tilde{f}\right) \partial_i^0
\end{aligned}
$$

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Special Phase Lie Bracket

Several results of our approach suggest a special Lie bracket of special phase functions
$$
\mathbb{f}, f, f \mathbb{|} \mathbb{=}{f, f}+\gamma\left(f^{\prime \prime}\right) \cdot \dot{f}-\gamma\left(f^{\prime \prime}\right) \cdot f,
$$
which is given by the Poisson bracket plus an additional “horizontal” term (see Definition 11.4.1).

We stress that, in the particular case of affine special phase functions, the special Lie bracket reduces to the Poisson Lie bracket.

Here, we provide a direct definition of the special phase Lie bracket. But it is striking that, later, we might recover it by an independent procedure in a different quantum context, via the classification of $\eta$-hermitian quantum vector fields (see Theorem 19.1.7).

We observe that the Poisson Lie bracket of all phase functions does not carry full information of the geometric structure of the phase space, because it is achieved via the vertical phase 2-vector $\Lambda$ (see Corollary 9.2.4 and Remark 10.2.3).

The special Lie bracket is obtained via the pair $(\gamma, \Lambda)$, or, equivalently, via the pair $(d t, \Omega)$, which carry full information on the geometric structure of phase space (see Theorems 10.1.1 and 10.2.1 and, Appendix: Theorem I.1.11). Clearly, the special Lie bracket $\llbracket f, f \rrbracket$ carries also full information on gravitational and electromagnetic fields postulated in our theory.

Indeed, the special phase Lie bracket plays a fundamental role in our approach. We notice that an analogous special phase Lie bracket can be achieved in the einsteinian framework (see [220]).

Definition 12.5.1 For each $f, f \in \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)$, we define their special phase bracket to be the special phase function (see Theorems 9.2.6 and 9.2.11, Definition 12.1.1 and Lemma 11.3.5)
$$
\llbracket f, f \mathbb{f} \rrbracket:=\Lambda(d f, d f)+\gamma\left(f^{\prime \prime}\right) \cdot f-\gamma\left(f^{\prime \prime}\right) \cdot f
$$

量子力学代考

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Hamiltonian Phase Lift of s.p.f.

让我们回忆一下哈密顿相位提升 $X^{\uparrow}$ 也 $[f]:=\gamma\left(f^{\prime \prime}\right)+\Lambda^{\ddagger}(d f)$ 通用相函数 $f \in \operatorname{map}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)$ (见定义 11.3.6)。
实际上，我们可以将上述通用相函数的哈密顿提升专门化为特殊相函数。我们注意到，在特殊相函数的特殊情况下，上述时间尺度 $f^{\prime \prime}$ (见引理 11.3.5) ，与定义 12.1.1 中定义的时间分量一致。
我们强调，这个相位提升类似于辛结构中的标准哈密顿提升，但涉及一个额外的不寻常的”水平”项，它与相空间的奇数维有关。此外，我们强调特殊相位函数的哈密顿相位提升本质上涉及余泊松结构 $(\gamma, \Lambda)$ (或者，等效地，余辛结构 $(d t, \Omega))$ 的相空间。
定义 12.4.1 对于每个 $f \in \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)$ ，我们将哈密尔顿相位提升定义为相位矢量场
$$
X^{\uparrow} \operatorname{ham}[f]:=\gamma\left(f^{\prime \prime}\right)+\Lambda^{ \pm}(d f) \in \operatorname{prosec}\left(J_1 \boldsymbol{E}, T J_1 \boldsymbol{E}\right) \subset \sec \left(J_1 \boldsymbol{E}, T J_1 \boldsymbol{E}\right)
$$
可投影在切线升力上 $X[f] \in \sec (\boldsymbol{E}, T \boldsymbol{E})$. 我们分别表示所有特殊相函数的哈密顿相位提升层态射和哈密顿相位提升的子层
$X^{\uparrow}$ ham $: \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right) \rightarrow$ ham sec $\left(J_1 \boldsymbol{E}, T J_1 \boldsymbol{E}\right): f \mapsto X^{\uparrow}$ ham $[f], \quad$ ham $\sec \left(J_1 \boldsymbol{E}, T J_1\right.$
命题 12.4.2 对于每个 $f \in \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right.$ ，我们有坐标表达式（见推论 11.3.7，定义 3.2.9 和定理 $10.1 .8)$
$X^{\uparrow} \operatorname{ham}[f]=f^0 \partial_0-f^i \partial_i+G_0^{i j}\left(-f^0\left(\partial_0 \mathcal{P}_j-\partial_j A_0\right)+f^h\left(\partial_h \mathcal{P}_j-\partial_j A_h\right) \quad+\partial_j f^0 \mathcal{K}_0+\dot{c}\right.$

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Special Phase Lie Bracket

我们方法的几个结果表明特殊相函数的特殊李括号
$$
\mathrm{f}, f, f \mid=f, f+\gamma\left(f^{\prime \prime}\right) \cdot \dot{f}-\gamma\left(f^{\prime \prime}\right) \cdot f
$$
它由泊松括号加上附加的“水平”项给出（见定义 11.4.1）。
我们强调，在仿射特殊相函数的特殊情况下，特殊李括号简化为泊松李括号。
在伩里，我们提供了特殊相李括号的直接定义。但令人惊讶的是，后来，我们可能会在不同的量子环境中通过一个独立的程序恢复它，通过对 $\eta$-hermitian 量子矢量场（见定理 19.1.7）。
我们观察到所有相函数的泊松李括号不携带相空间几何结构的完整信息，因为它是通过垂直相 2-向量实现的 $\Lambda$ (参见推论 9.2.4 和备注 10.2.3)。
特殊的李括号是通过对获得的 $(\gamma, \Lambda)$ ，或者，等价地，通过对 $(d t, \Omega)$ ，其中包含有关相空间几何结构的完整信息 (参见定理 10.1.1 和 10.2.1 以及附录：定理 I.1.11）。显然，特殊的李括号 $\backslash$ llbracket $f, f \backslash$ rrbracket还包含我们理论中假设的引力场和电磁场的完整信息。
事实上，特殊相李括号在我们的方法中起着基础性的作用。我们注意到，在爱因斯坦框架中可以实现类似的特殊相位李括号（参见 [220]）。
定义 12.5.1 对于每个 $f, f \in \operatorname{spe}\left(J_1 \boldsymbol{E}, \mathbb{R}\right)$ ，我们将它们的特殊相位括号定义为特殊相位函数（参见定理 9.2.6 和 9.2.11，定义 12.1.1 和引理 11.3.5)
$\backslash$ llbracket $f, f \mathrm{f} \backslash$ rrbracket $:=\Lambda(d f, d f)+\gamma\left(f^{\prime \prime}\right) \cdot f-\gamma\left(f^{\prime \prime}\right) \cdot f$

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS8302

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在理论物理学中，量子场论（QFT）是一个理论框架，它结合了经典场论、狭义相对论和量子力学。QFT在粒子物理学中被用来构建亚原子粒子的物理模型，在凝聚态物理学中被用来构建类粒子的模型。

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS8302

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Interaction and Time Evolution

In quantum mechanics as well as in quantum field theory there are two versions to describe the time evolution of a physical system.

Heisenberg picture
Observables are time dependent, $O(t)$, and their time evolution is determined by the Heisenberg equations of motion
$$
i \frac{d O}{d t}=[O, H]
$$

States are time dependent, $|\psi(t)\rangle$, and their time evolution is determined by a unitary operator $U\left(t, t_0\right)$ according to
$$
|\psi(t)\rangle=U\left(t, t_0\right)\left|\psi\left(t_0\right)\right\rangle
$$
with $U$ defined by the following differential equation and initial condition,
$$
i \frac{d U}{d t}=H U, \quad U\left(t_0, t_0\right)=\mathbf{1}
$$
In both pictures, the Hamiltonian $H$ is the fundamental dynamical quantity responsible for the time evolution of the system.

In QED the physical system consists of the electromagnetic field and (at least) one Dirac field. The system without interaction is described by the Hamiltonian $H_0=H_0^{\text {Dirac }}+H_0^{\text {em }}$ for the Dirac field and the electromagnetic field; the interaction between both fields is determined by the interaction Hamiltonian
$$
H_{\mathrm{int}}=\int d^3 x \mathcal{H}{\text {int }}(x) $$ with a Hamiltonian density (conventionally denoted as Hamiltonian either) $$ \mathcal{H}{\text {int }}=e j^\mu A_\mu
$$
involving the current $j^\mu$ of the Dirac field (see also Sec. $3.9$ and Sec. 4.4.5). The Hamiltonian of the entire system is thus given by
$$
H=H_0+H_{\text {int }} .
$$

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|S-Matrix Elements and Feynman Graphs

For the matrix elements of the $S$-operator, the $S$-matrix elements, we introduce an abbreviated notation,
$$
S_{f i}=\langle f|S| i\rangle
$$
The $S$-operator transforms the initial state $|i\rangle$ by time evolution into $S|i\rangle \equiv\left|i^{\prime}\right\rangle$. The probability that the state $|f\rangle$ is contained in $\left|i^{\prime}\right\rangle$ is given by
$$
\left|\left\langle f \mid i^{\prime}\right\rangle\right|^2=|\langle f|S| i\rangle|^2=\left|S_{f i}\right|^2 .
$$
The calculation of the matrix elements for given particle processes is thus of crucial importance for the prediction of reaction rates and cross sections. The first-order approximation (3.51) for $S$ yields
$$
S_{f i}=-i \int d^4 x\left\langle f\left|\mathcal{H}_{\text {int }}(x)\right| i\right\rangle
$$
under the assumption that initial and final states are not identical.
For the calculation of $S$-matrix elements a systematic method exists to display the matrix elements by Feynman graphs built by a set of Feynman rules. This would require, however, a somewhat extensive excursion into the formalism of quantum field theory and shall not be done within this introductory course. Instead, the procedure will be elucidated by means of a concrete example from which the Feynman rules can be read off that allow to obtain the matrix elements by graphical methods in an illustrative and efficient way.

量子场论代考

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Interaction and Time Evolution

在量子力学和量子场论中，有两个版本来描述物理系统的时间演化。

海森堡图片 Observables 是时间相关的， $O(t)$ ，它们的时间演化由海森堡运动方程决定
$$
i \frac{d O}{d t}=[O, H]
$$
状态是时间相关的， $|\psi(t)\rangle$ ，它们的时间演化由酉算子决定 $U\left(t, t_0\right)$ 根据
$$
|\psi(t)\rangle=U\left(t, t_0\right)\left|\psi\left(t_0\right)\right\rangle
$$
和 $U$ 由以下微分方程和初始条件定义，
$$
i \frac{d U}{d t}=H U, \quad U\left(t_0, t_0\right)=\mathbf{1}
$$
在这两张图片中，哈密顿量 $H$ 是负责系统时间演化的基本动力量。
在 QED 中，物理系统由电磁场和（至少) 一个狄拉克场组成。没有相互作用的系统由哈密顿量描述 $H_0=H_0^{\mathrm{Dirac}}+H_0^{\mathrm{em}}$ 对于狄拉克场和电磁场；两个场之间的相互作用由相互作用哈密顿量决定
$$
H_{\mathrm{int}}=\int d^3 x \mathcal{H} \operatorname{int}(x)
$$
具有哈密顿密度 (通常表示为哈密顿量)
$$
\mathcal{H} \text { int }=e j^\mu A_\mu
$$
涉及当前 $j^\mu$ 狄拉克场的（也见第二节) $3.9$ 和秒。4.4.5). 因此，整个系统的哈密顿量由下式给出
$$
H=H_0+H_{\text {int }} .
$$

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|S-Matrix Elements and Feynman Graphs

对于的矩阵元素 $S$-运营商， $S$-矩阵元素，我们引入缩写符号，
$$
S_{f i}=\langle f|S| i\rangle
$$
这 $S$-operator 转换初始状态 $|i\rangle$ 由时间演变为 $S|i\rangle \equiv\left|i^{\prime}\right\rangle$. 状态的概率 $|f\rangle$ 包含在 $\left|i^{\prime}\right\rangle$ 是 (谁) 给的
$$
\left|\left\langle f \mid i^{\prime}\right\rangle\right|^2=|\langle f|S| i\rangle|^2=\left|S_{f i}\right|^2 \text {. }
$$
因此，计算给定粒子过程的矩阵元素对于预测反应速率和横截面至关重要。一阶近似值 (3.51) 为 $S$ 产量
$$
S_{f i}=-i \int d^4 x\left\langle f\left|\mathcal{H}_{\text {int }}(x)\right| i\right\rangle
$$
在初始状态和最终状态不相同的假设下。
为了计算 $S$-matrix elements 存在一种系统的方法，可以通过一组Feynman规则构建的Feynman图来显示矩阵元素。然而，这将需要对量子场论的形式主义进行一些广泛的考察，并且不应在本入门课程中完成。相反，该过程将通过一个具体的例子来阐明，从中可以读出费曼规则，允许以说明性和有效的方式通过图形方法获得矩阵元素。

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS3101

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS3101

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Interacting Electromagnetic Field

Now we address the situation of the inhomogeneous wave equation (3.1) with the electromangetic current $j^\mu \sim \bar{\psi} \gamma^\mu \psi$, which is formed by the fermions $e^{\pm}, \mu^{\pm}, \ldots$ with the respective Dirac fields, according to Eq. (2.55). From now on we make use of the notation
$$
\square A^\mu=e \bar{\psi} \gamma^\mu \psi \equiv e j^\mu
$$
displaying the charge $e$ as a coupling constant explicitly. The solution of this inhomogenous differential equation for a given boundary condition is found with the help of the appropriate Green function $D_{\mu \nu}$ as follows,
$$
A_\mu(x)=e \int d^4 y D_{\mu \nu}(x-y) j^\nu(y) .
$$
$D_{\mu \nu}$ solves the inhomogeneous wave equation for a pointlike source,
$$
\square_{(x)} D_{\mu \nu}(x-y)=g_{\mu \nu} \delta^4(x-y) .
$$
Performing a Fourier transformation and using the formulae
$$
\begin{aligned}
\delta^4(x-y) & =\int \frac{d^4 Q}{(2 \pi)^4} e^{-i Q(x-y)}, \
D_{\mu \nu}(x-y) & =\int \frac{d^4 Q}{(2 \pi)^4} e^{-i Q(x-y)} D_{\mu \nu}(Q)
\end{aligned}
$$
one obtains an algebraic equation for the Fourier transformed $D_{\mu \nu}(Q)$,
$$
-Q^2 D_{\mu \nu}(Q)=g_{\mu \nu}
$$

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Interacting Dirac-Field

In Sec. $2.4$ the interaction of charged Dirac particles with an external electromagnetic field described by a classical vector potential was addressed. Now the complete interaction with the quantized electromagnetic field $A^\mu(x)$ is taken into account. For a given fermion species, for example electron/positron, with the respective Dirac field $\psi(x)$, the Dirac equation including the electromagnetic interaction follows fom the free Dirac equation (2.50) by means of the minimal substitution $i \partial_\mu \rightarrow i \partial_\mu-e A_\mu$, yielding
$$
\left(i \gamma^\mu \partial_\mu-m\right) \psi=e \gamma^\mu A_\mu \psi
$$
Treating the right-hand side as an inhomogeneity, a formal solution can specified by the method of Green functions,
$$
\psi(x)=e \int d^4 y S(x-y) \gamma^\mu A_\mu(y) \psi(y)
$$
Actually this formal “solution” is an integral equation for $\psi$; it is equivalent to the differential equation (3.32) together with a given boundary condition.
The Green function $S(x-y)$ of the Dirac equation is a $4 \times 4$-matrix, defined as a solution of the Dirac equation for a pointline inhomogeneity,
$$
\left(i \gamma^\mu \partial_\mu-m\right) S(x-y)=\mathbf{1} \delta^4(x-y) .
$$
In analogy to the vector field one proceeds with the Fourier ansatz
$$
S(x-y)=\int \frac{d^4 Q}{(2 \pi)^4} e^{-i Q(x-y)} S(Q)
$$
converting Eq. (3.34) into an algebraic equation for $S(Q)$ in momentum space,
$$
(\not-m) S(Q)=\mathbf{1}
$$ with the solution

量子场论代考

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Interacting Electromagnetic Field

现在我们用电磁电流来解决非齐次波动方程 (3.1) 的情况 $j^\mu \sim \bar{\psi} \gamma^\mu \psi$, 由费米子形成 $e^{\pm}, \mu^{\pm}, \ldots$ 根据方程式，具有各自的狄拉克场。(2.55)。从现在开始，我们使用符号
$$
\square A^\mu=e \bar{\psi} \gamma^\mu \psi \equiv e j^\mu
$$
显示费用 $e$ 明确地作为耦合常数。在适当的格林函数的帮助下，找到给定边界条件下该非齐次微分方程的解 $D_{\mu \nu}$ 如下，
$$
A_\mu(x)=e \int d^4 y D_{\mu \nu}(x-y) j^\nu(y)
$$
$D_{\mu \nu}$ 求解点状源的非齐次波动方程，
$$
\square_{(x)} D_{\mu \nu}(x-y)=g_{\mu \nu} \delta^4(x-y)
$$
执行傅里叶变换并使用公式
$$
\delta^4(x-y)=\int \frac{d^4 Q}{(2 \pi)^4} e^{-i Q(x-y)}, D_{\mu \nu}(x-y) \quad=\int \frac{d^4 Q}{(2 \pi)^4} e^{-i Q(x-y)} D_{\mu \nu}(Q)
$$
得到傅立叶变换的代数方程 $D_{\mu \nu}(Q)$ ，
$$
-Q^2 D_{\mu \nu}(Q)=g_{\mu \nu}
$$

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Interacting Dirac-Field

在秒。2.4解决了带电狄拉克粒子与由经典矢量势描述的外部电磁场的相互作用。现在与量子化电磁场的完全相互作用 $A^\mu(x)$ 被考虑在内。对于给定的费米子种类，例如电子/正电子，具有相应的狄拉克场 $\psi(x)$ ，包括电磁相互作用的狄拉克方程通过最小代换遵循自由狄拉克方程 $(2.50) i \partial_\mu \rightarrow i \partial_\mu-e A_\mu$ ，屈服
$$
\left(i \gamma^\mu \partial_\mu-m\right) \psi=e \gamma^\mu A_\mu \psi
$$
将右侧视为不均匀性，可以通过格林函数的方法指定形式解，
$$
\psi(x)=e \int d^4 y S(x-y) \gamma^\mu A_\mu(y) \psi(y)
$$
实际上，这个正式的“解决方案”是一个积分方程 $\psi$; 它等效于微分方程 (3.32) 和给定的边界条件。绿色函数 $S(x-y)$ 狄拉克方程的是 $4 \times 4$-矩阵，定义为点线不均匀性的狄拉克方程的解，
$$
\left(i \gamma^\mu \partial_\mu-m\right) S(x-y)=\mathbf{1} \delta^4(x-y) .
$$
与矢量场类比，我们进行傅立叶拟算
$$
S(x-y)=\int \frac{d^4 Q}{(2 \pi)^4} e^{-i Q(x-y)} S(Q)
$$
转换方程式 (3.34) 代数方程为 $S(Q)$ 在动量空间，
$$
(-m) S(Q)=\mathbf{1}
$$
与解决方案

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYSICS3544

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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYSICS3544

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Quantized electromagnetic field

The quantized electromagnetic radiation field $A^\mu(x)$ represents the photon field, it is a field operator acting on the space of states of photons. Photons are particles with mass 0 and spin 1 ; the 4 -momentum $k^\mu$ thus fulfills the energy-momentum relation of a massless particle,
$$
\left(k^0\right)^2-\vec{k}^2=0, \quad k^0=|\vec{k}| .
$$
The space of states is constructed, in analogy to Klein-Gordon and Dirac particles, from the vacuum and the 1-particle states with momentum $k^\mu$ and helicity $\lambda=\pm 1$,
vacuum (0-photon state) $\quad|0\rangle$
1-photon states $\quad|k \lambda\rangle$ together with the two- and multi-particle states as symmetrized product states. The states are normalized according to
$$
\langle 0 \mid 0\rangle=1, \quad\left\langle k \lambda \mid k^{\prime} \lambda^{\prime}\right\rangle=2 k^0 \delta_{\lambda \lambda^{\prime}} \delta^3\left(\vec{k}-\vec{k}^{\prime}\right)
$$
The coefficients of the Fourier expansion of the field operator $A^\mu$ in terms of plane waves turn into the annihilation operators $a_\lambda(k)$ and creation operators $a_\lambda^{\dagger}(k)$ of photons with momentum $k^\mu$ und helicity $\lambda$,
$$
A^\mu(x)=\frac{1}{(2 \pi)^{3 / 2}} \int \frac{d^3 k}{2 k^0} \sum_\lambda\left[a_\lambda(k) \epsilon_\lambda^\mu e^{-i k x}+a_\lambda^{\dagger}(k) \epsilon_\lambda^{\mu *} e^{i k x}\right] .
$$
Since for photons particles and antiparticles are the same, there is only one species of annihilation and creation operators acting on the photon states as follows,
$$
\begin{aligned}
a_\lambda^{\dagger}(k)|0\rangle & =|k \lambda\rangle, \
a_\lambda(k)\left|k^{\prime} \lambda^{\prime}\right\rangle & =2 k^0 \delta^3\left(\vec{k}-\vec{k}^{\prime}\right) \delta_{\lambda \lambda^{\prime}}|0\rangle
\end{aligned}
$$
Being bosonic operators, $a_\lambda$ und $a_\lambda^{\dagger}$ fulfill canonical commutation rules like those for the scalar field, but with an additional spin index:
$$
\left[a_\lambda(k), a_{\lambda^{\prime}}^{\dagger}\left(k^{\prime}\right)\right]=2 k^0 \delta^3\left(\vec{k}-\vec{k}^{\prime}\right) \delta_{\lambda \lambda^{\prime}}, \quad\left[a_\lambda(k), a_{\lambda^{\prime}}\left(k^{\prime}\right)\right]=0 .
$$
Wave functions of 1-photon states are the matrix elements
$$
\left\langle 0\left|A^\mu(x)\right| k \lambda\right\rangle=\frac{1}{(2 \pi)^{3 / 2}} \epsilon_\lambda^\mu(k) e^{-i k x},\left\langle k \lambda\left|A^\mu(x)\right| 0\right\rangle=\frac{1}{(2 \pi)^{3 / 2}} \epsilon_\lambda^{\mu *}(k) e^{i k x} .
$$
They are used in the description of processes where photons are annihilated (left) or created (right).

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Mechanical observables

In correspondence to classical electrodynamics, Hamiltonian and momentum of the electromagnetic field are represented as integrals over the energy density and the momentum density in terms of the field operator,
$$
\begin{aligned}
H & =\frac{1}{2} \int d^3 x\left(\vec{E}^2+\vec{B}^2\right), \
\vec{P} & =\int d^3 x \vec{E} \times \vec{B}
\end{aligned}
$$ (see also Sec. 4.2.1). For the free radiation field in the radiation gauge (3.2) the field strengths are given by
$$
\vec{E}=-\partial_0 \vec{A}, \quad \vec{B}=\nabla \times \vec{A}
$$
Inserting the Fourier expansion (3.9) for $\vec{A}$ yields the instructive representation
$$
\begin{aligned}
& H=\int \frac{d^3 k}{2 k^0} \sum_\lambda k^0 N_\lambda(k), \
& \vec{P}=\int \frac{d^3 k}{2 k^0} \sum_\lambda \vec{k} N_\lambda(k)
\end{aligned}
$$
in terms of the number operators $N_\lambda(k)=a_\lambda^{\dagger}(k) a_\lambda(k)$ for photons. Using the relations $(3.10)$ it can easily be seen that the photon states $|p \sigma\rangle$ are eigenstates of $H$ and $\vec{P}$,
$$
H|p \sigma\rangle=p^0|p \sigma\rangle, \quad \vec{P}|p \sigma\rangle=\vec{p}|p \sigma\rangle \text {. }
$$
For photons as spin-1 particles the spin operator deserves an extra discussion. The spin operator for the radiation field is given by the expression
$$
\vec{S}=\int d^3 x\left(i \partial_0 A_k\right)(\overrightarrow{\mathcal{S}})_l^k A^l
$$
with the matrices $\overrightarrow{\mathcal{S}}=\left(\mathcal{S}^1, \mathcal{S}^2, \mathcal{S}^3\right)$ which are the generators of the 3-dimensional rotation group (see Sec. $4.2 .2$ for more details). For photons with momentum $p$ the helicity is defined, like for Dirac particles, as the projection of the spin on the momentum direction,
$$
\vec{S} \cdot \frac{\vec{p}}{|\vec{p}|}=\vec{S} \cdot \vec{n}=\int d^3 x\left(i \partial_0 A_k\right)(\overrightarrow{\mathcal{S}} \cdot \vec{n})_l^k A^l
$$

量子场论代考

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Quantized electromagnetic field

量子化电磁辐射场 $A^\mu(x)$ 表示光子场，是作用于光子态空间的场算子。光子是质量为 0 、自旋为 1 的粒子；4 动量 $k^\mu$ 从而满足无质量粒子的能量-动量关系，
$$
\left(k^0\right)^2-\vec{k}^2=0, \quad k^0=|\vec{k}|
$$
类似于 Klein-Gordon 和 Dirac 粒子，状态空间是从真空和具有动量的 1 粒子状态构建的 $k^\mu$ 和螺旋性 $\lambda=\pm 1$
真空 (0-光子态) $|0\rangle$
1-光子态 $|k \lambda\rangle$ 连同两个和多个粒子状态作为对称产品状态。这些状态根据
$$
\langle 0 \mid 0\rangle=1, \quad\left\langle k \lambda \mid k^{\prime} \lambda^{\prime}\right\rangle=2 k^0 \delta_{\lambda \lambda^{\prime}} \delta^3\left(\vec{k}-\vec{k}^{\prime}\right)
$$
场算符的傅里叶展开系数 $A^\mu$ 在平面波方面变成湮天算符 $a_\lambda(k)$ 和创造运营商 $a_\lambda^{\dagger}(k)$ 具有动量的光子 $k^\mu$ 和螺旋度 $\lambda$,
$$
A^\mu(x)=\frac{1}{(2 \pi)^{3 / 2}} \int \frac{d^3 k}{2 k^0} \sum_\lambda\left[a_\lambda(k) \epsilon_\lambda^\mu e^{-i k x}+a_\lambda^{\dagger}(k) \epsilon_\lambda^{\mu *} e^{i k x}\right]
$$
由于光子的粒子和反粒子是相同的，因此只有一种作用于光子态的湮和产生算符如下，
$$
a_\lambda^{\dagger}(k)|0\rangle=|k \lambda\rangle, a_\lambda(k)\left|k^{\prime} \lambda^{\prime}\right\rangle \quad=2 k^0 \delta^3\left(\vec{k}-\vec{k}^{\prime}\right) \delta_{\lambda \lambda^{\prime}}|0\rangle
$$
作为玻色子算子， $a_\lambda$ 和 $a_\lambda^{\dagger}$ 满足与标量场类似的规范交换规则，但有一个额外的自旋指数：
$$
\left[a_\lambda(k), a_{\lambda^{\prime}}^{\dagger}\left(k^{\prime}\right)\right]=2 k^0 \delta^3\left(\vec{k}-\vec{k}^{\prime}\right) \delta_{\lambda \lambda^{\prime}}, \quad\left[a_\lambda(k), a_{\lambda^{\prime}}\left(k^{\prime}\right)\right]=0 .
$$
1-光子态的波函数是矩阵元素
$$
\left\langle 0\left|A^\mu(x)\right| k \lambda\right\rangle=\frac{1}{(2 \pi)^{3 / 2}} \epsilon_\lambda^\mu(k) e^{-i k x},\left\langle k \lambda\left|A^\mu(x)\right| 0\right\rangle=\frac{1}{(2 \pi)^{3 / 2}} \epsilon_\lambda^{\mu *}(k) e^{i k x} .
$$
它们用于描述光子湮灭 (左) 或产生 (右) 的过程。

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Mechanical observables

对应于经典电动力学，电磁场的哈密顿量和动量表示为能量密度和动量密度的积分，就场算符而言，
$$
H=\frac{1}{2} \int d^3 x\left(\vec{E}^2+\vec{B}^2\right), \vec{P}=\int d^3 x \vec{E} \times \vec{B}
$$
(另见第 4.2.1 节) 。对于辐射计 (3.2) 中的自由辐射场，场强由下式给出
$$
\vec{E}=-\partial_0 \vec{A}, \quad \vec{B}=\nabla \times \vec{A}
$$
揷入傅立叶展开式 (3.9) $\vec{A}$ 产生有指导意义的表示
$$
H=\int \frac{d^3 k}{2 k^0} \sum_\lambda k^0 N_\lambda(k), \quad \vec{P}=\int \frac{d^3 k}{2 k^0} \sum_\lambda \vec{k} N_\lambda(k)
$$
在数字运算符方面 $N_\lambda(k)=a_\lambda^{\dagger}(k) a_\lambda(k)$ 对于光子。使用关系 $(3.10)$ 很容易看出光子态 $|p \sigma\rangle$ 是本征态 $H$ 和 $\vec{P}$ ，
$$
H|p \sigma\rangle=p^0|p \sigma\rangle, \quad \vec{P}|p \sigma\rangle=\vec{p}|p \sigma\rangle
$$
对于作为自旋 1 粒子的光子，自旋算子值得额外讨论。辐射场的自旋算子由下式给出
$$
\vec{S}=\int d^3 x\left(i \partial_0 A_k\right)(\overrightarrow{\mathcal{S}})_l^k A^l
$$
与矩阵 $\overrightarrow{\mathcal{S}}=\left(\mathcal{S}^1, \mathcal{S}^2, \mathcal{S}^3\right)$ 它们是 3 维旋转群的生成元 (见第 1 节) 。4.2.2更多细节)。对于具有动量的光子 $p$ 像狄拉克粒子一样，螺旋性被定义为自旋在动量方向上的投影，
$$
\vec{S} \cdot \frac{\vec{p}}{|\vec{p}|}=\vec{S} \cdot \vec{n}=\int d^3 x\left(i \partial_0 A_k\right)(\overrightarrow{\mathcal{S}} \cdot \vec{n})_l^k A^l
$$

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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|PHYS3034

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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Divergence of the Electromagnetic Field

In view of the Galilei-Maxwell equation and the joined Galilei-Einstein equation (see Postulates C.5 and C.6), we discuss the divergence of the electromagnetic field $\operatorname{div}^{\natural} F$ and its observed splitting.

Let us consider the electromagnetic field and the gravitational spacetime connection
$F: \boldsymbol{E} \rightarrow\left(\mathbb{L}^{1 / 2} \otimes \mathbb{M}^{1 / 2}\right) \otimes \Lambda^2 T^* \boldsymbol{E} \quad$ and $\quad K^{\natural}: T \boldsymbol{E} \rightarrow T^* \boldsymbol{E} \otimes T T \boldsymbol{E}$.
Lemma 5.9.1 We define the divergence of the observed electric fields $\vec{E}[o]$ and $E[o]$ to be, respectively, the scaled spacetime functions (see Definitions 3.2.17, 4.4.5 and Corollary 3.2.7)
$$
\begin{aligned}
& \left.\operatorname{div}^{\natural} E[o]:=\bar{g}\right\lrcorner \nabla^{\natural} E[o]: \boldsymbol{E} \rightarrow\left(\mathbb{T}^{-1} \otimes \mathbb{L}^{-3 / 2} \otimes \mathbb{M}^{1 / 2}\right) \otimes \mathbb{R}, \
& \operatorname{div}\eta \vec{E}[o]:=*\eta \breve{d} *\eta \vec{E}[o]: \boldsymbol{E} \rightarrow\left(\mathbb{T}^{-1} \otimes \mathbb{L}^{-3 / 2} \otimes \mathbb{M}^{1 / 2}\right) \otimes \mathbb{R} . \end{aligned} $$ We have the equality $$ \operatorname{div}^{\natural} E[o]=\operatorname{div}\eta \vec{E}[o]
$$
with coordinate expressions
$$
\begin{aligned}
\operatorname{div}^{\natural} E[o] & =g^{h k}\left(\partial_h E_{k 0}+K^{\natural}{ }h{ }_k{ }^2 E{r 0}\right) u^0, \
\operatorname{div}\eta \vec{E}[o] & =\frac{\partial_h\left(E^h{ }_0 \sqrt{|g|}\right)}{\sqrt{|g|}} u^0 . \quad \square \end{aligned} $$ Lemma 5.9.2 We define the curl of the magnetic field to be the scaled spacetime vertical vector field (see Definitions 5.2.1, 3.2.19 and Example 4.4.6) with coordinate expression $$ \operatorname{curl} \vec{B}=\frac{1}{\sqrt{|g|}} \epsilon^{i j h} \partial_i B_j \partial_h=\frac{1}{\sqrt{|g|}} g{j k} \epsilon^{i j h} \nabla^{\natural}{ }_i B^k \partial_h .
$$

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Coupling Scales

We start by discussing the joining constant scale $k \in\left(\mathbb{T}^{-1} \otimes \mathbb{L}^{3 / 2} \otimes \mathbb{M}^{-1 / 2}\right) \otimes \mathbb{R}$, which is suitable for coupling the gravitational field $K^{\natural}$ (and derived gravitational objects as well) with the electromagnetic field $F$.

We consider the two distinguished cases $k:=\frac{q}{m}$ and $k:=\sqrt{r}$, where $\frac{q}{m}$ is the ratio between the charge and the mass of a given charged particle and $\Gamma$ is the constant gravitational coupling scale (see Introduction: Sect. 1.3.5).

The coupling constant scale $k=\frac{q}{m}$ will be used later in the context of joined classical dynamical objects (see Assumption C.2, Definition 7.3.1 and also Theorems 9.2.1 and 10.1.8, Corollary 9.2.4) and in the context of joined quantum dynamical objects (see Definition 15.1.5, Theorems 17.2.2, 17.3.2, 17.4.2, 17.5.2, 17.5.10 and $17.6 .5)$.

Moreover, the coupling constant scale $k=\sqrt{\Gamma}$ will be used later in the context of joined Galilei-Maxwell equation (see Proposition 8.3.3).

We notice that, in the interplay between the galilean metric $g$ and the rescaled galilean metric $G:=\frac{m}{\hbar} g$, the coupling constant scale $k:=\frac{q}{m}$ turns out to be naturally replaced by the coupling constant scale $\frac{q}{\hbar}$.

Definition 6.1.1 We define a “galilean joining constant scale” to be an element of the type
$$
k \in\left(\mathbb{T}^{-1} \otimes \mathbb{L}^{3 / 2} \otimes \mathbb{M}^{-1 / 2}\right) \otimes \mathbb{R}
$$
In particular, we deal with two distinguished joining scales:
(1) with reference to a particle of mass $m \in \mathbb{M}$ and charge $q \in\left(\mathbb{T}^{-1} \otimes \mathbb{L}^{3 / 2} \otimes\right.$ $\left.\mathbb{M}^{1 / 2}\right) \otimes \mathbb{R}$, the electromagnetic joining scale
$$
\mathrm{k}:=\frac{q}{m} \in\left(\mathbb{T}^{-1} \otimes \mathbb{L}^{3 / 2} \otimes \mathbb{M}^{-1 / 2}\right) \otimes \mathbb{R}
$$
(2) with reference to the gravitational coupling constant $\Gamma \in \mathbb{T}^{-2} \otimes \mathbb{L}^3 \otimes \mathbb{M}^{-1}$, the gravitational joining scale
$$
k:=\sqrt{\Gamma} \in \mathbb{T}^{-1} \otimes \mathbb{L}^{3 / 2} \otimes \mathbb{M}^{-1 / 2} \subset\left(\mathbb{T}^{-1} \otimes \mathbb{L}^{3 / 2} \otimes \mathbb{M}^{-1 / 2}\right) \otimes \mathbb{R}
$$
Note 6.1.2 We shall often use the equalities
$$
\frac{q}{m} G=\frac{q}{\hbar} g \text { and } \frac{q}{\hbar} \bar{G}=\frac{q}{m} \bar{g} .
$$

量子力学代考

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Divergence of the Electromagnetic Field

鉴于 Galilei-Maxwell 方程和连接的 Galilei-Einstein 方程 (见假设 C.5 和 C. 6) ，我们讨论电磁场的发散 $\operatorname{div}^h F$ 及其观察到的分裂。
让我们考虑电磁场和引力时空联系 $F: \boldsymbol{E} \rightarrow\left(\mathbb{L}^{1 / 2} \otimes \mathbb{M}^{1 / 2}\right) \otimes \Lambda^2 T^* \boldsymbol{E} \quad$ 和 $\quad K^{\natural}: T \boldsymbol{E} \rightarrow T^* \boldsymbol{E} \otimes T T \boldsymbol{E}$
引理 5.9.1 我们定义观察到的电场的散度 $\vec{E}[o]$ 和 $E[o]$ 分别是缩放时空函数（参见定义 3.2.17、4.4.5 和推论 3.2.7)
$$
\left.\operatorname{div}^{\natural} E[o]:=\bar{g}\right\lrcorner \nabla^{\natural} E[o]: \boldsymbol{E} \rightarrow\left(\mathbb{T}^{-1} \otimes \mathbb{L}^{-3 / 2} \otimes \mathbb{M}^{1 / 2}\right) \otimes \mathbb{R}, \quad \operatorname{div} \eta \vec{E}[o]:=* \eta \breve{d} * \eta \vec{E}[o]: \boldsymbol{E}
$$
我们拥有平等
$$
\operatorname{div}^{\natural} E[o]=\operatorname{div} \eta \vec{E}[o]
$$
用坐标表达式
$$
\operatorname{div}^{\natural} E[o]=g^{h k}\left(\partial_h E_{k 0}+K^{\natural} h_k^2 E r 0\right) u^0, \operatorname{div} \eta \vec{E}[o]=\frac{\partial_h\left(E^h \sqrt{|g|}\right)}{\sqrt{|g|}} u^0 .
$$
引理 5.9.2 我们将磁场的旋度定义为标度时空垂直矢量场（参见定义 5.2.1、3.2.19 和示例 4.4.6），坐标表达式
$$
\operatorname{curl} \vec{B}=\frac{1}{\sqrt{|g|}} \epsilon^{i j h} \partial_i B_j \partial_h=\frac{1}{\sqrt{|g|}} g j k \epsilon^{i j h} \nabla^{\natural}{ }_i B^k \partial_h \text {. }
$$

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Coupling Scales

我们首先讨论加入常数尺度 $k \in\left(\mathbb{T}^{-1} \otimes \mathbb{L}^{3 / 2} \otimes \mathbb{M}^{-1 / 2}\right) \otimes \mathbb{R}$, 适用于耦合引力场 $K^{\natural}$ (以及派生的引力物体) 与电磁场 $F$.
我们考虑两种不同的情况 $k:=\frac{q}{m}$ 和 $k:=\sqrt{r}$ ，在哪里 $\frac{q}{m}$ 是给定带电粒子的电荷与质量之间的比率，并且 $\Gamma$ 是恒定的重力耦合标度（参见简介：第 $1.3 .5$ 节）。
耦合常数标度 $k=\frac{q}{m}$ 稍后将在结合的经典动力学对象的上下文中使用（参见假设 C.2，定义 7.3.1 以及定理 9.2.1 和 10.1.8，推论 9.2.4) 以及结合的量子动力学对象的上下文 (参见定义 15.1.5，定理 17.2.2、 $17.3 .2 、 17.4 .2 、 17.5 .2 、 17.5 .10$ 和 $17.6 .5)$.
此外，耦合常数标度 $k=\sqrt{\Gamma}$ 稍后将在联合 Galilei-Maxwell 方程的上下文中使用（参见命题 8.3.3）。
我们注意到，在伽利略度量之间的相互作用中 $g$ 和重新调整的伽利略度量 $G:=\frac{m}{\hbar} g$, 耦合常数标度 $k:=\frac{q}{m}$ 原来是自然而然的被耦合常数标度代替了 $\frac{q}{\hbar}$.
定义 6.1.1 我们将“伽利略连接常数标度”定义为类型的元素
$$
k \in\left(\mathbb{T}^{-1} \otimes \mathbb{L}^{3 / 2} \otimes \mathbb{M}^{-1 / 2}\right) \otimes \mathbb{R}
$$
特别是，我们处理两个不同的连接尺度：
(1) 参考质量粒子 $m \in \mathbb{M}$ 并充电 $q \in\left(\mathbb{T}^{-1} \otimes \mathbb{L}^{3 / 2} \otimes \mathbb{M}^{1 / 2}\right) \otimes \mathbb{R}$, 电磁连接秤
$$
\mathrm{k}:=\frac{q}{m} \in\left(\mathbb{T}^{-1} \otimes \mathbb{L}^{3 / 2} \otimes \mathbb{M}^{-1 / 2}\right) \otimes \mathbb{R}
$$
(2) 参考引力耦合常数 $\Gamma \in \mathbb{T}^{-2} \otimes \mathbb{L}^3 \otimes \mathbb{M}^{-1}$ ，重力连接尺度
$$
k:=\sqrt{\Gamma} \in \mathbb{T}^{-1} \otimes \mathbb{L}^{3 / 2} \otimes \mathbb{M}^{-1 / 2} \subset\left(\mathbb{T}^{-1} \otimes \mathbb{L}^{3 / 2} \otimes \mathbb{M}^{-1 / 2}\right) \otimes \mathbb{R}
$$
注 6.1.2 我们经常会用到等式
$$
\frac{q}{m} G=\frac{q}{\hbar} g \text { and } \frac{q}{\hbar} \bar{G}=\frac{q}{m} \bar{g} \text {. }
$$

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|PHYSICS3544

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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Lorentz Force

Here, according to the standard procedure, we give a direct definition of the Lorentz force acting on a charged particle. Later, we shall independently recover the Lorentz force, in an original way, as a byproduct of the joined spacetime connection (see Lemma 7.2.1 and Theorem 9.2.6).

Thus, we define the Lorentz force to be the observer independent scaled spacelike vector field $\overrightarrow{\mathrm{f}}:=-\frac{1}{2} q g^{\sharp}\left(i_{d s} F\right)$, with observed splittings $\overrightarrow{\mathrm{f}}=q\left(\vec{E}[o]+\frac{1}{c} \nabla[o] s \times \vec{B}\right)$. In an analogous way, se define the Lorentz force density acting on a charged continuum.

In the true Maxwell theory in the einsteinian framework, the Lorentz force can be defined in an analogous way (see, for instance, $[189,308,376]$ ).
Let us consider an electromagnetic field $F: \boldsymbol{E} \rightarrow\left(\mathbb{L}^{1 / 2} \otimes \mathbb{M}^{1 / 2}\right) \otimes \Lambda^2 T^* \boldsymbol{E}$.
Moreover, let us consider a particle whose motion and charge are
$$
s: \boldsymbol{T} \rightarrow \boldsymbol{E} \quad \text { and } \quad q \in \mathbb{T}^{-1} \otimes \mathbb{L}^{3 / 2} \otimes \mathbb{M}^{1 / 2} .
$$
Definition 5.7.1 We define the Lorentz form and the Lorentz force, associated with the pair $(s, q)$, to be, respectively, the observer independent scaled 1-form and scaled vector field
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{f} \equiv \mathrm{f}[s, q]:=-\frac{1}{2} q i_{d s} F \quad: \boldsymbol{T} \rightarrow\left(\mathbb{T}^{-2} \otimes \mathbb{L}^2 \otimes \mathbb{M}\right) \otimes T^* \boldsymbol{E}, \
& \overrightarrow{\mathrm{f}} \equiv \overrightarrow{\mathrm{f}}[s, q]:=-\frac{1}{2} q g^{\sharp}\left(i_{d s} F\right): \boldsymbol{T} \rightarrow\left(\mathbb{T}^{-2} \otimes \mathbb{M}\right) \otimes V \boldsymbol{E},
\end{aligned}
$$
with coordinate expressions
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{f}=q_0 u^0 \otimes u^0 \otimes\left(F_{0 j} \partial_0 s^j d^0-\left(F_{0 j}+F_{h j} \partial_0 s^h\right) d^j\right), \
& \overrightarrow{\mathrm{f}}=-q_0 u^0 \otimes u^0 \otimes\left(F_0{ }^i+F_h{ }^i \partial_0 s^h\right) \partial_i .
\end{aligned}
$$
Clearly, we have $i_{d s} \mathrm{f}=0$.
Next, let us consider an observer $o$ and analyse the observed splitting of the above objects.

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|1st Maxwell Equation

We analyse the 1 st Maxwell equation $d F=0$, by providing its observed splitting into the system of equations curl $\vec{E}[o]+\frac{1}{c} L_{\lambda[o]} \vec{B}+\frac{1}{c}\left(\operatorname{div}\eta \mu[o]\right) \vec{B}=0$ and $\operatorname{div}\eta \vec{B}=0$. In the true Maxwell theory, in a lorentzian framework, the equation $d F=0$ is the same of the present galilean equation. However, there are mild differences with respect to the associated systems of observed equations, which are due to the differences of definitions of the electric and magnetic fields.
Lemma 5.8.1 We have the observed splitting
$$
d F=2 d t \wedge d E[o]+d t \wedge L_{\text {स[o] }} \check{F}[o]+\theta[o]^*(\check{d} \check{F}[o]) .
$$
Proof. The equality (see Proposition 5.4.1) $F=-2 d t \wedge E[o]+\check{F}[o]$ yields $d F=$ $2 d t \wedge d E[o]+d \check{F}[o]$

Moreover, $d \check{F}[o]$ splits uniquely as $d \check{F}[o]=d t \wedge \mu[o]+\theta[o]^(\check{d} \check{F}[o])$,s where $\mu[o]$ is orthogonal to $\not[o]$. Then, we obtain $\mu[o]=i_{\text {ม[o] }} d \check{F}[o]$. We have $i_{\text {स[o] }} d \check{F}[o]=L_{\text {स[o] }} \check{F}[o]-d i_{\text {ม[o] }} \check{F}[o]=L_{\text {स[o] }} \check{F}[o]$. Therefore, we obtain $d F=2 d t \wedge d E[o]+d t \wedge L_{\lambda[o]} \check{F}[o]+\theta[o]^(\check{d} \check{F}[o])$.
Lemma 5.8.2 We have the equalities
$$
\begin{aligned}
\check{d} \check{E}[o] & =*\eta(\operatorname{curl} \vec{E}[o]) \ L{\text {Д[o] }} \check{F} & =\frac{2}{c} *\eta\left(L{\text {д[o] }} \vec{B}\right)+\frac{2}{c} \eta \vec{B} \operatorname{div}\eta \not[o], \
\theta^[o](\check{d} \check{F}[o]) & =\frac{2}{c} \theta^[o]\left(\eta \operatorname{div}\eta \vec{B}\right) .
\end{aligned}
$$
Proof. The lemma follows from the definitions of $\operatorname{div}\eta, \times$ and curl, in the following way (see Definitions 3.2.17 and 3.2.19 and Corollary 3.2.8). In fact, we have $$ \begin{aligned} & \check{d} \check{E}[o]=i{\text {curl } \vec{E}[o]} \eta, \
& L_{\text {स[o] }} \check{F}[o]=\frac{2}{c} L_{\text {д[o] }}\left(\theta[o]^* i_{\vec{B}} \eta\right)=\frac{2}{c} \theta[o]^\left(L_{\text {स[o] }}\left(i_{\bar{B}} \eta\right)\right) \ & =\frac{2}{c} \theta[o]^\left(i_{L_{\lambda[\delta]} \bar{B}} \eta\right)+\frac{2}{c} \theta[o]^\left(i_{\vec{B}} L_{\text {स[o] }} \eta\right)=\frac{2}{c} \theta[o]^\left(i_{L_{\lambda[0]} \bar{B}} \eta\right) \
& +\frac{2}{c} \theta[o]^*\left(i_{\bar{B}} \eta \operatorname{div}\eta \text { д }[o]\right), \ & \check{d} \check{F}=\frac{2}{c} \check{d}\left(i{\vec{B}} \eta\right)=\frac{2}{c} i_{\mathrm{div}_\eta \bar{B}} \eta . \
&
\end{aligned}
$$

量子力学代考

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Lorentz Force

这里，按照标准程序，我们直接定义了作用在带电粒子上的洛伦兹力。稍后，我们将以原始方式独立恢复洛伦兹力，作为连接时空连接的副产品 (见引理 7.2.1 和定理 9.2.6)。
因此，我们将洛伦兹力定义为独立于观察者的缩放类空间矢量场 $\overrightarrow{\mathrm{f}}:=-\frac{1}{2} q g^{\sharp}\left(i_{d s} F\right)$, 观察到分裂 $\overrightarrow{\mathrm{f}}=q\left(\vec{E}[o]+\frac{1}{c} \nabla[o] s \times \vec{B}\right)$. 以类似的方式，se 定义作用在带电连续体上的洛伦兹力密度。
在爱因斯坦框架下的真实麦克斯韦理论中，洛伦兹力可以用类似的方式定义（例如，参见 $[189,308,376])$
让我们考虑一个电磁场 $F: \boldsymbol{E} \rightarrow\left(\mathbb{L}^{1 / 2} \otimes \mathbb{M}^{1 / 2}\right) \otimes \Lambda^2 T^* \boldsymbol{E}$.
此外，让我们考虑一个粒子，其运动和电荷是
$$
s: \boldsymbol{T} \rightarrow \boldsymbol{E} \quad \text { and } \quad q \in \mathbb{T}^{-1} \otimes \mathbb{L}^{3 / 2} \otimes \mathbb{M}^{1 / 2}
$$
定义 5.7.1 我们定义洛伦兹形式和洛伦兹力，与对 $(s, q)$ ，分别是独立于观察者的标度 1 形式和标度矢量场
$$
\mathrm{f} \equiv \mathrm{f}[s, q]:=-\frac{1}{2} q i_{d s} F \quad: \boldsymbol{T} \rightarrow\left(\mathbb{T}^{-2} \otimes \mathbb{L}^2 \otimes \mathbb{M}\right) \otimes T^* \boldsymbol{E}, \quad \overrightarrow{\mathrm{f}} \equiv \overrightarrow{\mathrm{f}}[s, q]:=-\frac{1}{2} q g^{\sharp}\left(i_{d s} F\right.
$$
用坐标表达式
$$
\mathrm{f}=q_0 u^0 \otimes u^0 \otimes\left(F_{0 j} \partial_0 s^j d^0-\left(F_{0 j}+F_{h j} \partial_0 s^h\right) d^j\right), \quad \overrightarrow{\mathrm{f}}=-q_0 u^0 \otimes u^0 \otimes\left(F_0^i+F_h^i \partial_0 s^h\right.
$$
显然，我们有 $i_{d s} \mathrm{f}=0$.
接下来，让我们考虑一个观察者 $o$ 并分析观察到的上述物体的分裂。

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|1st Maxwell Equation

我们分析第一个麦克斯韦方程 $d F=0$ ，通过将其观察到的分裂提供给方程组 curl $\vec{E}[o]+\frac{1}{c} L_{\lambda[o]} \vec{B}+\frac{1}{c}(\operatorname{div} \eta \mu[o]) \vec{B}=0$ 和div $\eta \vec{B}=0$. 在真正的麦克斯韦理论中，在洛伦兹框架中，方程 $d F=0$ 与现在的伽利略方程相同。然而，由于电场和磁场的定义不同，观察方程的相关系统存在轻微差异。
引理 $5.8 .1$ 我们有观察到的分裂
$$
d F=2 d t \wedge d E[o]+d t \wedge L_{\mathrm{स}[0]} \check{F}[o]+\theta[o]^(\breve{d} \check{F}[o]) . $$ 证明。相等（见命题 5.4.1) $F=-2 d t \wedge E[o]+\check{F}[o]$ 产量 $d F=2 d t \wedge d E[o]+d \check{F}[o]$ 而且， $d \check{F}[o]$ 唯一分裂为 $\left.d \check{F}[o]=d t \wedge \mu[o]+\theta[o]^{(} \check{d} \check{F}[o]\right)$ ，在哪里 $\mu[o]$ 正交于 $f[o]$. 然后，我们得到 $\mu[o]=i_{\mathrm{x}[o]} d \check{F}[o]$. 我们有 $i_{\mathrm{स}[o]} d \check{F}[o]=L_{\text {स }[\mathrm{o}]} \check{F}[o]-d i_{\mathrm{u}[0]} \check{F}[o]=L_{\text {स }[o]} \check{F}[o]$. 因此，我们得到 $\left.d F=2 d t \wedge d E[o]+d t \wedge L_{\lambda[o]} \check{F}[o]+\theta[o]^{(} \breve{d} \check{F}[o]\right)$ 引理 5.8.2 我们有等式 $$ \left.\check{d} \check{E}[o]= \eta(\operatorname{curl} \vec{E}[o]) L \text { д }[o] \check{F}=\frac{2}{c} * \eta(L \text { л }[o] \vec{B})+\frac{2}{c} \eta \vec{B} \operatorname{div} \eta / o\right], \theta[o](\check{d} \check{F}[o])=\frac{2}{c} \theta^{[}[
$$
证明。引理遵循的定义 $\operatorname{div} \eta, \times$ 并以下列方式卷曲（参见定义 3.2.17 和 3.2.19 以及推论 3.2.8）。事实上，我们有
$$
\check{d} \check{E}[o]=i \operatorname{curl} \vec{E}[o] \eta, \quad L_{\mathrm{स}[o]} \check{F}[o]=\frac{2}{c} L_{z[o]}\left(\theta[o]^* i_{\vec{B}} \eta\right)=\frac{2}{c} \theta[o]^{\left(L_{\vec{\Psi}[o]}\left(i_{\bar{B}} \eta\right)\right)}=\frac{2}{c} \theta[o]^{\left(i_{L_{\lambda[\delta]}{ }^B} \eta\right)}
$$

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|PHYS3040

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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Transition Rule of the Electric Field

We have already seen that the magnetic field $\vec{B}$ is observer independent by definition. Conversely, with reference to two observers $o$ and $o=o+\vec{v}$, the observer electric field transforms according to the equality $\vec{E}[o]=\vec{E}[o]+\frac{1}{c} \vec{v} \times \vec{B}$.

The above transition rule yields the observer equivariants $g(\vec{E}[o], \vec{B})$ and $\vec{E}[o] \times \vec{B}$. In the true Maxwell theory, in the einsteinian framework, the transition rules of the observed electric field and of the observer independent magnetic field have a partial analogy with the transition rule of the observed electric field in the present galilean framework (see, for instance, $[189,308,376]$ ). Indeed, the above galilean transition rule can be regarded as an approximation of the true one, for a small velocity $\vec{v}$.
Let us consider an electromagnetic field $F: \boldsymbol{E} \rightarrow\left(\mathbb{L}^{1 / 2} \otimes \mathbb{M}^{1 / 2}\right) \otimes \Lambda^2 T^* \boldsymbol{E}$ and two observers $o$ and $o=o+\vec{v}$.
Proposition 5.5.1 We obtain the transition rule
$$
\vec{E}[o ́]=\vec{E}[o]+\frac{1}{c} \vec{v} \times \vec{B}
$$
In particular, if $\vec{v}$ and $\vec{B}$ are parallel, then the electric field turns out to be observer independent, i.e.
$$
\vec{E}[o]=\vec{E}[o]
$$

Prooof. The equalities (sée Proposition 5.4.1, Nootè 2.7.6 and Remark 5.3.2)
$$
F=-2 d t \wedge E[o]+\check{F}[o], \quad \text { д }[o]=\mu[o]+\vec{v}, \quad i_{\text {д[o] }} E[o]=0
$$
yield (see Definition 5.1.1 and Corollary 3.2.8)
$$
\begin{aligned}
\vec{F}[[\delta] & =-\frac{1}{2} g^{\sharp}\left(i_{\text {स[o] }} F\right) \
& =-\frac{1}{2} g^{\sharp}\left(i_{\text {स[o] }} F\right)-\frac{1}{2} g^{\sharp}\left(i_{\vec{v}} F\right)=-\frac{1}{2} g^{\sharp}\left(i_{\text {μ[o] }} F\right)-\frac{1}{2} g^{\sharp}\left(i_{\vec{v}} \check{F}[o]\right) \
& =\vec{E}[o]-\frac{1}{c} g^{\sharp}\left(i_{\vec{v}} i_{\vec{B}} \eta[o]\right)=\vec{E}[o]+\frac{1}{c} \vec{v} \times \vec{B} . \quad
\end{aligned}
$$
Corollary 5.5.2 The scaled maps (see Corollary 3.2.8 and Proposition 5.5.1)
$$
\begin{array}{r}
g(\vec{E}[o], \vec{B}) \in \operatorname{map}\left(\boldsymbol{E},\left(\mathbb{T}^{-2} \otimes \mathbb{L}^{-1} \otimes \mathbb{M}\right) \otimes \mathbb{R}\right), \
\vec{E}[o] \times \vec{B} \in \operatorname{map}\left(\boldsymbol{E},\left(\mathbb{T}^{-2} \otimes \mathbb{L}^{-2} \otimes \mathbb{M}\right) \otimes V \boldsymbol{E}\right)
\end{array}
$$
turn out to be observer equivariant.

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Algebraic Invariants of the Electromagnetic Field

We discuss four algebraic invariants of the electromagnetic field.
In the einsteinian framework, the algebraic invariants of the electromagnetic field can be achieved in an analogous way (see, for instance, $[189,308,376]$ ).

Let us consider an electromagnetic field $F: \boldsymbol{E} \rightarrow\left(\mathbb{L}^{1 / 2} \otimes \mathbb{M}^{1 / 2}\right) \otimes \Lambda^2 T^* \boldsymbol{E}$ and an observer $o$.

Definition 5.6.1 We define the 1st electromagnetic algebraic invariant to be the observer independent scaled spacetime function
$$
\mathcal{F}:=i_{\bar{v}}(F \wedge F): E \rightarrow\left(\mathbb{T}^{-1} \otimes \mathbb{L}^{-2} \otimes \mathbb{M}\right) \otimes \mathbb{R}
$$
with coordinate expression
$$
\mathcal{F}=-\frac{4}{\sqrt{|g|}} \epsilon^{j h k} F_{0 j} F_{h k} u^0
$$
Proposition 5.6.2 With reference to an observero, we have the observed expression, which turns out to be observer equivariant, according to Corollary 5.5.2,
$$
\mathcal{F}=-\frac{8}{c} g(\vec{E}[o], \vec{B}) .
$$

Definition 5.6.3 We define the 2nd electromagnetic algebraic invariant to be the observer independent scaled spacetime function
$$
\left.\check{F}^2:=(\bar{g} \otimes \bar{g})\right\lrcorner(\check{F} \otimes \check{F}): \boldsymbol{E} \rightarrow\left(\mathbb{L}^{-3} \otimes \mathbb{M}\right) \otimes \mathbb{R}
$$
with coordinate expression
$$
\check{F}^2=g^{i h} g^{j k} F_{i j} F_{h k}
$$
Proposition 5.6.4 We have the expression
$$
\check{F}^2=\frac{4}{c^2} g(\vec{B}, \vec{B})
$$
i.e., in coordinates,
$$
\check{F}^2=\frac{4}{c^2} g_{i j} B^i B^j
$$
We stress that the above invariant scaled function has the scale dimension of a mass density. Accordingly, we define the following notion, which will be used later in the context of Galilei-Einstein equation (see Proposition 8.2.1).

量子力学代考

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Transition Rule of the Electric Field

我们已经看到磁场 $\vec{B}$ 根据定义独立于观察者。相反，参考两个观察者 $o$ 和 $o=o+\vec{v}$, 观察者电场按等式变换 $\vec{E}[o]=\vec{E}[o]+\frac{1}{c} \vec{v} \times \vec{B}$
上述转换规则产生观察者等变 $g(\vec{E}[o], \vec{B})$ 和 $\vec{E}[o] \times \vec{B}$. 在真正的麦克斯韦理论中，在爱因斯坦框架中，观察到的电场和独立于观察者的磁场的过渡规则与当前伽利略框架中观察到的电场的过渡规则有部分类比 (参见，例如， $[189,308,376]$ ). 实际上，对于小速度，上述伽利略转换规则可以被视为真实规则的近似值 $\vec{v}$,
让我们考虑一个电磁场 $F: \boldsymbol{E} \rightarrow\left(\mathbb{L}^{1 / 2} \otimes \mathbb{M}^{1 / 2}\right) \otimes \Lambda^2 T^* \boldsymbol{E}$ 和两个观察员 $o$ 和 $o=o+\vec{v}$.
命题 $5.5 .1$ 我们得到转移规则
$$
\vec{E}\left[o^{\prime}\right]=\vec{E}[o]+\frac{1}{c} \vec{v} \times \vec{B}
$$
特别是，如果 $\vec{v}$ 和 $\vec{B}$ 是平行的，那么电场结果是独立于观察者的，即
$$
\vec{E}[o]=\vec{E}[o]
$$
证明。等式 (参见命题 5.4.1、Nootè $2.7 .6$ 和备注 5.3.2)
$$
F=-2 d t \wedge E[o]+\check{F}[o], \quad \text { }[o]=\mu[o]+\vec{v}, \quad i_{z[o]} E[o]=0
$$
收益率 (见定义 5.1.1 和推论 3.2.8)
$$
\vec{F}\left[[\delta]=-\frac{1}{2} g^{\sharp}\left(i_{\text {स [o] }} F\right) \quad=-\frac{1}{2} g^{\sharp}\left(i_{\text {स [o] }} F\right)-\frac{1}{2} g^{\sharp}\left(i_{\vec{v}} F\right)=-\frac{1}{2} g^{\sharp}\left(i_{\mu[\mathrm{o}]} F\right)-\frac{1}{2} g^{\sharp}\left(i_{\vec{v}} \check{F}[o]\right)\right.
$$
推论 5.5.2 缩放地图（见推论 $3.2 .8$ 和命题 5.5.1)
$$
g(\vec{E}[o], \vec{B}) \in \operatorname{map}\left(\boldsymbol{E},\left(\mathbb{T}^{-2} \otimes \mathbb{L}^{-1} \otimes \mathbb{M}\right) \otimes \mathbb{R}\right), \vec{E}[o] \times \vec{B} \in \operatorname{map}\left(\boldsymbol{E},\left(\mathbb{T}^{-2} \otimes \mathbb{L}^{-2} \otimes \mathbb{M}\right) \otimes V \boldsymbol{E}\right)
$$
结果是观察者等变的。

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Algebraic Invariants of the Electromagnetic Field

我们讨论了电磁场的四个代数不变量。
在爱因斯坦框架中，电磁场的代数不变量可以通过类似的方式实现 (例如，参见 $[189,308,376]$ ).
让我们考虑一个电磁场 $F: \boldsymbol{E} \rightarrow\left(\mathbb{L}^{1 / 2} \otimes \mathbb{M}^{1 / 2}\right) \otimes \Lambda^2 T^* \boldsymbol{E}$ 和观察员 $o$.
定义 5.6.1 我们将第一个电磁代数不变量定义为独立于观察者的标度时空函数
$$
\mathcal{F}:=i_{\bar{v}}(F \wedge F): E \rightarrow\left(\mathbb{T}^{-1} \otimes \mathbb{L}^{-2} \otimes \mathbb{M}\right) \otimes \mathbb{R}
$$
用坐标表示
$$
\mathcal{F}=-\frac{4}{\sqrt{|g|}} \epsilon^{j h k} F_{0 j} F_{h k} u^0
$$
命题 5.6.2 关于观察者，我们有观察到的表达式，根据推论 5.5.2，它证明是观察者等变的，
$$
\mathcal{F}=-\frac{8}{c} g(\vec{E}[o], \vec{B})
$$
定义 $5.6 .3$ 我们定义第 2 电磁代数不变量为观察者独立的标度时空函数
$$
\left.\check{F}^2:=(\bar{g} \otimes \bar{g})\right\lrcorner(\check{F} \otimes \check{F}): \boldsymbol{E} \rightarrow\left(\mathbb{L}^{-3} \otimes \mathbb{M}\right) \otimes \mathbb{R}
$$
用坐标表示
$$
\check{F}^2=g^{i h} g^{j k} F_{i j} F_{h k}
$$
命题 $5.6 .4$ 我们有表达式
$$
\check{F}^2=\frac{4}{c^2} g(\vec{B}, \vec{B})
$$
即，在坐标中，
$$
\check{F}^2=\frac{4}{c^2} g_{i j} B^i B^j
$$
我们强调上述不变标度函数具有质量密度的标度维数。据此，我们定义了以下概念，稍后将在伽利略爱因斯坦方程的上下文中使用 (见命题 8.2.1）。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|PHYS3034

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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Curvature of Spacetime Connections

In Appendix $\mathrm{F}$, given a general connection $c: \boldsymbol{F} \rightarrow T^* \boldsymbol{B} \otimes T \boldsymbol{F}$ on a fibred manifold $p: \boldsymbol{F} \rightarrow \boldsymbol{B}$, we define the curvature tensor to be the tangent valued 2form $R[c]:=-[c, c]: \boldsymbol{F} \rightarrow \Lambda^2 T^* \boldsymbol{B} \otimes V \boldsymbol{F}$, where $[$,$] is the Frölicher-Nijenhuis$ bracket (see [246, 248, 311] and Appendix: Definition F.1.9, Theorem E.2.3). This approach turns out to be very convenient in many respects.

Here, we specify the above general notion in the particular case of a time preserving, linear spacetime connection $K$.

We recall that our symbols of the connection are conventionally defined as the negatives of the usual ones in the standard literature; therefore some apparent changes of sign appear in our coordinate formulas.
Proposition 4.1.7 The curvature
$$
R[K]:=-[K, K]
$$
of a time preserving, linear spacetime connection $K$ can be naturally regarded as a spacetime tensor (see Definition F.1.9)
$$
R[K]: \boldsymbol{E} \rightarrow \Lambda^2 T^* \boldsymbol{E} \otimes V \boldsymbol{E} \otimes T^* \boldsymbol{E},
$$
and turns out to be given by the standard equality (see Appendix: Note F.2.8)
$$
(R[K](X, Y))(Z)=\nabla_X \nabla_Y Z-\nabla_Y \nabla_X Z-\nabla_{[X, Y]} Z
$$
for each $X, Y, Z \in \sec (\boldsymbol{E}, T \boldsymbol{E})$.
We have the coordinate expression
$$
\begin{aligned}
R[K] & =-2\left(\partial_\lambda K_\mu{ }^i v+K_\lambda{ }^r v K_\mu{ }^i{ }r\right) d^\lambda \wedge d^\mu \otimes \partial_i \otimes d^v \ & =-\left(\partial\lambda K_\mu{ }^i v+K_\lambda{ }^r v K_\mu{ }^i{ }r-\partial\mu K_\lambda{ }^i v-K_\mu{ }^r v K_\lambda{ }^i{ }_r\right) d^\lambda \otimes d^\mu \otimes \partial_i \otimes d^v
\end{aligned}
$$

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Torsion of Spacetime Connections

In Appendix $\mathrm{F}$, given a general connection $c: \boldsymbol{F} \rightarrow T^* \boldsymbol{B} \otimes T \boldsymbol{F}$ and a soldering form $\sigma: \boldsymbol{F} \rightarrow T^* \boldsymbol{B} \otimes V \boldsymbol{F}$ on a fibred manifold $p: \boldsymbol{F} \rightarrow \boldsymbol{B}$, we define the torsion to be the tangent valued 2-form $T[c]:=2[c, \sigma]: \boldsymbol{F} \rightarrow \Lambda^2 T^* \boldsymbol{B} \otimes V \boldsymbol{F}$, where [, ] is the Frölicher-Nijenhuis bracket (see [246, 248, 311] and Note F.1.21, Theorem E.2.3). This approach turns out to be very convenient in many respects.

We stress that, in general, according to this general approach, the torsion needs not to be a purely algebraic operator acting on the connection; such a property holds only in some particular cases which depend on the chosen soldering form.

Here, we specify the above general notion in the particular case of a time preserving, linear spacetime connection $K$.

We recall that our symbols of the connection are conventionally defined as the negatives of the ones in the standard literature; therefore some apparent changes of sign appear in our coordinate formulas.

Lemma 4.1.12 In the particular case of connections of the manifold $\boldsymbol{E}$, there is a natural choice for the soldering form $\sigma$ to be used for the definition of the torsion, namely (see Appendix: Lemma F.4.4)
$$
\sigma:=v_{T E}: T \boldsymbol{E} \rightarrow T^* \boldsymbol{E} \otimes V_E T \boldsymbol{E},
$$ with coordinate expression
$$
v_{T E}=d^\lambda \otimes \dot{\partial}_\lambda
$$

量子力学代考

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Curvature of Spacetime Connections

在附录中 $F$ ，给定一般联系 $c: \boldsymbol{F} \rightarrow T^* \boldsymbol{B} \otimes T \boldsymbol{F}$ 在纤维歧管上 $p: \boldsymbol{F} \rightarrow \boldsymbol{B}$ ，我们将曲率张量定义为切值 2 形式 $R[c]:=-[c, c]: \boldsymbol{F} \rightarrow \Lambda^2 T^* \boldsymbol{B} \otimes V \boldsymbol{F}$ ，在哪里[,]istheFrölicher-Nijenhuis括号（参见 $[246,248 ， 311]$ 和附录：定义 F.1.9，定理 E.2.3）。事实证明，这种方法在很多方面都非常方便。
在这里，我们在保时线性时空连接的特定情况下指定上述一般概念 $K$.
我们记得我们的连接符号通常被定义为标准文献中常用符号的否定；因此在我们的坐标公式中出现了一些明显的符号变化。
命题 4.1.7 曲率
$$
R[K]:=-[K, K]
$$
时间保持的线性时空连接 $K$ 可以自然地视为时空张量（见定义 F.1.9)
$$
R[K]: \boldsymbol{E} \rightarrow \Lambda^2 T^* \boldsymbol{E} \otimes V \boldsymbol{E} \otimes T^* \boldsymbol{E},
$$
结果由标准等式给出（见附录：注释 F.2.8）
$$
(R[K](X, Y))(Z)=\nabla_X \nabla_Y Z-\nabla_Y \nabla_X Z-\nabla_{[X, Y]} Z
$$
每个 $X, Y, Z \in \sec (\boldsymbol{E}, T \boldsymbol{E})$.
我们有坐标表达式
$$
R[K]=-2\left(\partial_\lambda K_\mu{ }^i v+K_\lambda{ }^r v K_\mu{ }^i r\right) d^\lambda \wedge d^\mu \otimes \partial_i \otimes d^v \quad=-\left(\partial \lambda K_\mu{ }^i v+K_\lambda{ }^r v K_\mu{ }^i r-\partial \mu K\right.
$$

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Torsion of Spacetime Connections

在附录中F，给定一般联系 $c: \boldsymbol{F} \rightarrow T^* \boldsymbol{B} \otimes T \boldsymbol{F}$ 和焻接形式 $\sigma: \boldsymbol{F} \rightarrow T^* \boldsymbol{B} \otimes V \boldsymbol{F}$ 在纤维歧管上 $p: \boldsymbol{F} \rightarrow \boldsymbol{B}$ ，我们将扭转定义为切线值 2 形式 $T[c]:=2[c, \sigma]: \boldsymbol{F} \rightarrow \Lambda^2 T^* \boldsymbol{B} \otimes V \boldsymbol{F}$ ，其中 $[$,$] 是$ Frölicher-Nijenhuis 括号（参见 $[246,248,311]$ 和注释 F.1.21，定理 E.2.3）。事实证明，这种方法在很多方面都非常方便。
我们强调，一般来说，根据这种一般方法，扭矩不需要是作用在连接上的纯代数算子；这种特性仅在某些特定情况下成立，这取决于所选择的焊接形式。
在这里，我们在保时线性时空连接的特定情况下指定上述一般概念 $K$.
我们记得我们的联系符号通常被定义为标准文献中符号的否定；因此在我们的坐标公式中出现了一些明显的符号变化。
引理 4.1.12 在歧管连接的特殊情况下 $\boldsymbol{E}$, 焊接形式有自然的选择 $\sigma$ 用于定义扭转，即（见附录：引理 F.4.4)
$$
\sigma:=v_{T E}: T \boldsymbol{E} \rightarrow T^* \boldsymbol{E} \otimes V_E T \boldsymbol{E}
$$
用坐标表示
$$
v_{T E}=d^\lambda \otimes \dot{\partial}_\lambda
$$

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|PHYSICS3544

Posted on 2023年2月20日2023年2月20日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写量子力学quantum mechanics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

我们提供的量子力学quantum mechanics及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
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Advanced Probability Theory 高等概率论
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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Galilean Gravitational Field

We introduce the galilean gravitational field, which is represented by a galilean spacetime connection $K^{\natural}$. We discuss this concept step by step, through the language of general connections (see Appendix F).

We start by analysing the generic spacetime connections $K$, along with their vertical restrictions $\check{K}, K, K$. In particular, we consider the time preserving spacetime connections (Sect. 4.1.1). Moreover, we study their curvature tensor and torsion tensors via the Frölicher-Nijenhuis bracket (Sects. 4.1.2-4.1.4).

Next, we analyse the special spacetime connections (i.e. time preserving, linear and torsion free spacetime connections) (Sect. 4.1).

Further, we study in detail the metric preserving special spacetime connections $K$ and classify them by showing that every $K$ splits, with reference to an observer $o$, into a term determined by the metric and a term generated by a closed observed spacetime 2-form $\Phi[o]$ (Sect. 4.2). Particular attention is devoted to the curvature tensor of these connections.

Eventually, we define a galilean spacetime connection as a special spacetime connection fulfilling the additional symmetry property $R_{i \mu_j}^0=R_{j v_i \mu}^0$ (Sect. 4.3.1). We stress that this property is equivalent to the exactness of $\Phi[o]$; in this way, we achieve the spacetime potential $A[o]$ of $\Phi[o]$. Indeed, later in the quantum theory, this property turns out to be an essential requirement for the existence of the upper quantum connection (see Lemma 9.2.14 and Remark 15.2.3).
Eventually, we postulate the gravitational field $K^{\natural}$ (Sect. 4.3.4).
We conclude this chapter by studying the spacetime differential operators induced by the gravitational field (Sect. 4.4).

In einsteinian General Relativity, the gravitational connection is a Levi-Civita connection determined by the lorentzian metric; for this reason, one is inclined to identify the gravitational field with the metric field. However, in our context, the galilean metric determines the galilean spacetime connection only partially; for this reason we are led to maintain a clear distinction between the galilean metric field and the galilean spacetime connection, by saying that only the latter represents the gravitational field.

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Spacetime Connections

We discuss the spacetime connections $K: T \boldsymbol{E} \rightarrow T^* \boldsymbol{E} \otimes T T \boldsymbol{E}$, along with the associated projection $\nu[K]: T T \boldsymbol{E} \rightarrow T \boldsymbol{E}$ and the linear splitting $T T \boldsymbol{E}=H_K T \boldsymbol{E}$ $\oplus V_E T E$
Moreover, we analyse the three distinguished vertical restrictions of $K$.
Eventually, we analyse the linear spacetime connections and the time preserving spacetime connections, which are defined by the condition $\nabla d t=0$, i.e., in coordinates, $K_\lambda^0=0$.

Definition 4.1.1 A spacetime connection is defined to be a section (see Appendix: Definition F.1.1 and, for instance, [246, 311])
$$
K: T \boldsymbol{E} \rightarrow T^* \boldsymbol{E} \otimes T T \boldsymbol{E},
$$
projectable on the section $\mathbf{1}{\boldsymbol{E}}: \boldsymbol{E} \rightarrow T^* \boldsymbol{E} \otimes T \boldsymbol{E}$, according to the commutative diagram The coordinate expression of a spacetime connection is of the type $$ K=d^\lambda \otimes\left(\partial\lambda+K_\lambda{ }^v \dot{\partial}v\right), \quad \text { with } K\lambda{ }^v \in \operatorname{map}(T \boldsymbol{E}, \mathbb{R}) \text {. }
$$

量子力学代考

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Galilean Gravitational Field

我们引入伽利略引力场，它由伽利略时空连接表示 $K^{\natural}$. 我们通过一般联系的语言逐步讨论这个概念（见附录 F)。
我们首先分析通用时空连接 $K$ ，以及它们的垂直限制 $\check{K}, K, K$. 特别是，我们考虑保留时间的时空连接 (第 4.1.1 节) 。此外，我们通过 Frölicher-Nijenhuis 支架 (第 4.1.2-4.1.4 节) 研究了它们的曲率张量和挠率张量。
接下来，我们分析特殊的时空连接（即保时、线性和无扭时空连接）（第 $4.1$ 节）。
此外，我们详细研究了保留特殊时空连接的度量 $K$ 并通过显示每个 $K$ 分裂，参考观察者 $o$ ，变成由度量确定的项和由封闭的观察时空 2-形式生成的项 $\Phi[o]$ （第 $4.2$ 节）。特别注意这些连接的曲率张量。
最终，我们将伽利略时空连接定义为满足附加对称性的特殊时空连接 $R_{i \mu_j}^0=R_{j v_i \mu}^0$ (第 4.3.1 节) 。我们强调这个属性等同于 $\Phi[o]$; 通过这种方式，我们实现了时空潜力 $A[o]$ 的 $\Phi[o]$. 事实上，在后来的量子理论中，这个性质被证明是存在上层量子联系的基本要求（见引理 9.2.14 和备注 15.2.3）。
最终，我们假设引力场 $K^{\natural}$ (第 $4.3 .4$ 节)。
我们通过研究由引力场引起的时空微分算符来结束本章（第 $4.4$ 节）。
在爱因斯坦广义相对论中，引力联系是由洛伦兹度量确定的 Levi-Civita 联系；因此，人们倾向于将引力场等同于度量场。然而，在我们的上下文中，伽利略度量仅部分地确定了伽利略时空连接；出于这个原因，我们被引导在伽利略度量场和伽利略时空联系之间保持明确的区别，说只有后者代表引力场。

物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Spacetime Connections

我们讨论时空联系 $K: T \boldsymbol{E} \rightarrow T^* \boldsymbol{E} \otimes T T \boldsymbol{E}$ ，连同相关的投影 $\nu[K]: T T \boldsymbol{E} \rightarrow T \boldsymbol{E}$ 和线性分裂 $T T \boldsymbol{E}=H_K T \boldsymbol{E} \oplus V_E T E$
此外，我们分析了三个不同的垂直限制 $K$.
最后，我们分析了由条件定义的线性时空连㧍和时间保持时空连接 $\nabla d t=0$ ，即在坐标中， $K_\lambda^0=0$.
定义 4.1.1 时空连接被定义为一个部分（参见附录：定义 F.1.1，例如 [246, 311])
$$
K: T \boldsymbol{E} \rightarrow T^* \boldsymbol{E} \otimes T T \boldsymbol{E},
$$
投影在截面上 $\mathbf{E}: \boldsymbol{E} \rightarrow T^* \boldsymbol{E} \otimes T \boldsymbol{E}$, 根据交换图时空联系的坐标表达式是这样的
$$
K=d^\lambda \otimes\left(\partial \lambda+K_\lambda^v \dot{\partial} v\right), \quad \text { with } K \lambda^v \in \operatorname{map}(T \boldsymbol{E}, \mathbb{R})
$$

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