## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MPCS50103

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写离散数学discrete mathematics方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写离散数学discrete mathematics代写方面经验极为丰富，各种代写离散数学discrete mathematics相关的作业也就用不着说。

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## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Random vectors

We will now more closely study random variables taking values in $\mathbb{R}^d$, with $d \geq 2$. This concept has already been defined in Definition 1.9. We will now look at the relations between the random vector and its coordinates. When $d=2$, we then speak of a random couple. Proposition 1.9.-Let $X$ be a real random vector on the probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, taking values in $\mathbb{R}^d$. Then.
$$X(w)=\left(\begin{array}{c} X_1(w) \ \vdots \ X_n(w) \end{array}\right)$$
is such that for any $i \in{1, \ldots, d}, X_i$ is a real random variable.
DEFINITION 1.15.- A random vector is said to be discrete if each of its components, $X_i$, is a discrete random variable.
DEFINITION 1.16.- Let $X=\left(\begin{array}{l}X_1 \ X_2\end{array}\right)$ be a discrete random couple such that
$$X_1(\Omega)=\left{x_{1 j}, j \in I_1\right} \text { et } X_2(\Omega)=\left{x_{2 k}, k \in I_2\right} .$$
The conjoint distribution (or joint distribution or, simply, the distribution) of $X$ is given by the family
$$\left{\mathbb{P}\left(X_1=x_{1 j}, X_2=x_{2 k}\right) ;(j, k) \in I_1 \times I_2\right} .$$
The marginal distributions of $X$ are the distributions of $X_1$ and $X_2$. These distrihutions may be derived from the conjoint distribution of $X$ thmugh:
$$\forall j \in I_1, \quad \mathbb{P}\left(X_1=x_{1 j}\right)=\sum_{k \in I_2} \mathbb{P}\left(X_1=x_{1 j}, X_2=x_{2 k}\right)$$
and
$$\forall k \in I_2, \quad \mathbb{P}\left(X_2=x_{2 k}\right)=\sum_{j \in I_1} \mathbb{P}\left(X_1=x_{1 j}, X_2=x_{2 k}\right)$$

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Convergence of sequences of random variables

To conclude this section on random variables, we will review some classic results of convergence for sequences of random variables. Throughout the rest of this book, the abbreviation $r v$. signifies random variable.
DEFINITION 1.17.- Let $\left(X_n\right){n \geq 1}$ and $X$ be rv.s defined on $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. 1) It is assumed that there exists $p>0$ such that, for any $n \geq 0, \mathbb{E}\left[\left|X_n\right|^p\right]<\infty$, and $\mathbb{E}\left[|X|^p\right]<\infty$. It is said that the sequence of random variables $\left(X_n\right){n \geq 1}$ converges on the average of the order $p$ or converges in $L^p$ towards $X$, if
$$\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left[\left|X_n-X\right|^p\right]=0 .$$
We then write $X_n \stackrel{L^p}{\rightarrow} X$. In the specific case where $p=2$, we say there is a convergence in quadratic mean.

2) The sequence of r.v. $\left(X_n\right){n \geq 1}$ is called almost surely (a.s.) convergent towards $X$, if $$\lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(w \in \Omega ; \lim {n \rightarrow \infty} X_n(w)=X(w)\right)=1 .$$ We then write $X_n \stackrel{\text { a.s. }}{\longrightarrow} X$. THEOREM $1.1$ (Monotone convergence theorem).-Let $\left(X_n\right){n \geq 1}$ be a sequence of positive and non-decreasing random variables and let $X$ be an integrable random variable, all of these defined on the same probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. If $\left(X_n\right)$ converges almost surely to $X$, then
$$\lim {n \rightarrow+\infty} \mathbb{E}\left[X_n\right]=\mathbb{E}[X] .$$ THEOREM $1.2$ (Dominated convergence theorem).- Let $\left(X_n\right){n \geq 1}$ be a sequence of random variables and let $X$ be another random variable, all defined on the same probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. If the sequence $\left(X_n\right)$ converges to $X$ a.s., and for any $n \geq 1,\left|X_n\right| \leq Z$, where $Z$ is an integrable random variable, then $X_n \stackrel{L^1}{\rightarrow} X$ and, in particular
$$\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{E}\left[X_n\right]=\mathbb{E}[X]$$

# 离散数学代写

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Random vectors

$$X(w)=\left(X_1(w) \vdots X_n(w)\right)$$

$X_{-} 1(1 O$ mega $)=$ lleft $\left{X_{-}{1}\right}, j$ lin I_11right $}$ Itext ${$ et $} X_{-} 2(1 O$ mega $)=$ lleft $\left{X_{-}{2\right.$ k $}, k$ lin I_2Iright $}$ 。

$$\forall j \in I_1, \quad \mathbb{P}\left(X_1=x_{1 j}\right)=\sum_{k \in I_2} \mathbb{P}\left(X_1=x_{1 j}, X_2=x_{2 k}\right)$$

$$\forall k \in I_2, \quad \mathbb{P}\left(X_2=x_{2 k}\right)=\sum_{j \in I_1} \mathbb{P}\left(X_1=x_{1 j}, X_2=x_{2 k}\right)$$

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Convergence of sequences of random variables

$$\lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left[\left|X_n-X\right|^p\right]=0 .$$ 然后我们写 $X_n \stackrel{L^p}{\rightarrow} X$. 在特定情况下 $p=2$ ，我们说二次均值收敛。 2) $\mathrm{rv}$ 的序列 $\left(X_n\right) n \geq 1$ 被称为几伞肯定 (as) 收敛于 $X$ ，如果 $$\lim n \rightarrow \infty \mathbb{P}\left(w \in \Omega ; \lim n \rightarrow \infty X_n(w)=X(w)\right)=1 .$$ 然后我们写 $X_n \stackrel{\text { a.s. }}{\longrightarrow} X$. 定理 1.1(单调收敛定理).-让 $\left(X_n\right) n \geq 1$ 是一系列正的和非递减的随 机变量并让 $X$ 是一个可积的随机变量，所有这些都定义在相同的概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. 如果 $\left(X_n\right)$ 几手肯定收敛于 $X$ ，然后 $$\lim n \rightarrow+\infty \mathbb{E}\left[X_n\right]=\mathbb{E}[X] .$$ 定理 $1.2$ (支配收敛定理)。-让 $\left(X_n\right) n \geq 1$ 是一个随机变量序列，让 $X$ 是另一个随机变量， 都定义在相同的概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. 如果序列 $\left(X_n\right)$ 收玫于 $X$ 作为，并且对于任何 $n \geq 1,\left|X_n\right| \leq Z$ ，在哪里 $Z$ 是可积随机变量，则 $X_n \stackrel{L^1}{\rightarrow} X$ 并且，特别是 $$\lim {n \rightarrow+\infty} \mathbb{E}\left[X_n\right]=\mathbb{E}[X]$$

## 有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|CS3653

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写离散数学discrete mathematics方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写离散数学discrete mathematics代写方面经验极为丰富，各种代写离散数学discrete mathematics相关的作业也就用不着说。

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## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Random variables

Let us now recall the definition of a generic random variable, and then the specific case of discrete random variables.

DEFINITION 1.9.-Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ be a probabilizable space and $(E, \mathcal{E})$ be a measurable space. A random variable on the probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ taking values in the measurable space $(E, \mathcal{E})$, is any mapping $X: \Omega \longrightarrow E$ such that, for any $B$ in $\mathcal{E}, X^{-1}(B) \in \mathcal{F}$; in other words, $X: \Omega \longrightarrow E$ is a random variable if it is an $(\mathcal{F}, \mathcal{E})$-measurable mapping. We then write the event ” $\mathrm{X}$ belongs to $\mathrm{B}$ ” by
$$X^{-1}(B)={\omega \in \Omega ; X(\omega) \in B}=(X \in B) .$$
In the specific case where $E=\mathbb{R}$ and $\mathcal{E}=\mathcal{B}(\mathbb{R})$, the mapping $X$ is called a real random variable. If $E=\mathbb{R}^d$ with $d \geq 2$, and $\mathcal{E}=\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^d\right)$, the mapping $X$ is said to be a real random vector.

EXAMPLE 1.12.- Let us return to the experiment where a six-sided die is rolled, where the set of possible outcomes is $\Omega={1,2,3,4,5,6}$, which is endowed with the uniform probability. Consider the following game:

• if the result is even, you win $10 €$;
• if the result is odd, you win $20 €$.
This game can be modeled using the random variable $X: \Omega \longmapsto{10,20}$, defined by:
$$X(\omega)=\left{\begin{array}{l} 10 \text { if } \omega \in{2,4,6} \ 20 \text { if } \omega \in{1,3,5} . \end{array}\right.$$
This mapping is a random variable, since for any $B \in \mathcal{P}({10,20})$, we have
$$(X \in B)=X^{-1}(B)=\left{\begin{array}{c} {2,4,6} \text { if } B={10} \ {1,3,5} \text { if } B={20} \ \Omega \text { if } B={10,20} \ \emptyset \text { if } B=\emptyset . \end{array}\right.$$
and all these events are in $\mathcal{P}(\Omega)$.

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|algebra generated by a random variable

We now define the $\sigma$-algebra generated by a random variable. This concept is important for several reasons. For instance, it can make it possible to define the independence of random variables. It is also at the heart of the definition of conditional expectations; see Chapter 2.

Proposition 1.6.- Let $X$ be a real random variable, defined on $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ taking values in $\left(E, \mathcal{E}\right.$ ). Then, $\mathcal{F}_X=X^{-1}(\mathcal{E})=\left{X^{-1}(A) ; A \in \mathcal{E}\right}$ is a sub- $\sigma$-algebra of $\mathcal{F}$ on $\Omega$. This is called the $\sigma$-algebra generated by the random variable $X$. It is written as $\sigma(X)$. It is the smallest $\sigma$-algebra on $\Omega$ that makes $X$ measurable:
$$\sigma(X)=X^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}))=\left{X^{-1}(B) ; B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\right}={(X \in B) ; B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})}$$
EXAMPLE 1.19.- Let $\mathcal{F}_0={\emptyset, \Omega}$ and $X=c \in \mathbb{R}$ be a constant. Then, for any Borel set $B$ in $\mathbb{R},(X \in B)$ has the value $\emptyset$ if $c \notin B$ and $\Omega$ if $c \in B$. Thus, the $\sigma$-algebra generated by $X$ is $\mathcal{F}_0$. Reciprocally, it can be demonstrated that the only $\mathcal{F}_0$-measurable random variables are the constants. Indeed, let $X$ be a $\mathcal{F}_0$-measurable random variable. Assume that it takes at least two different values, $x$ and $y$. It may be assumed that $y \geq x$ without loss of generality. Therefore, let $B=\left[x, \frac{x+y}{2}\right]$. We have that $(X \in B)$ is non-empty because $x \in B$ but is not $\Omega$ since $y \notin B$. Therefore, $X$ is not $\mathcal{F}_0$-measurable.

This technical result will be useful in certain demonstrations further on in the text. In general, if it is known that $Y$ is $\sigma(X)$-measurable, we cannot (and do not need to) make explicit the function $f$. Reciprocally, if $Y$ can be written as a measurable function of $X$, it automatically follows that $Y$ is $\sigma(X)$-measurable.

# 离散数学代写

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Random variables

$$X^{-1}(B)=\omega \in \Omega ; X(\omega) \in B=(X \in B) .$$

• 如果结果是偶数，你就赢了 $10 €$;
• 如果结果是奇数，你赢了 $20 €$. 这个游戏可以使用随机变量建模 $X: \Omega \longmapsto 10,20$, 定义为: $\$ \$$X( lomega )= left { 10 if \omega \in 2,4,620 if \omega \in 1,3,5. 正确的。 ## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|algebra generated by a random variable 我们现在定义 \sigma-由随机变量生成的代数。这个概念很重要有几个原因。例如，它可以定义随机 变量的独立性。它也是条件期望定义的核心；见第 2 章。 命题 1.6.- 让 X 是一个真正的随机变量，定义在 (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) 接受价值观 (E, \mathcal{E}). 然后， 在 \Omega. 这被称为 \sigma-由随机变量生成的代数 X. 它被写成 \sigma(X). 它是最小的 \sigma-代数是 \Omega 这使得 X 可 衡量的: 示例 1.19.- 让 \mathcal{F}_0=\emptyset, \Omega 和 X=c \in \mathbb{R} 是一个常数。然后，对于任何 Borel 集 B 在 \mathbb{R},(X \in B) 有价值 0 如果 c \notin B 和 \Omega 如果 c \in B. 就这样 \sigma-由生成的代数 X 是 \mathcal{F}_0. 反过来，可 以证明只有 \mathcal{F}_0-可测量的随机变量是常量。的确，让 X 是一个 \mathcal{F}_0 – 可测量的随机变量。假设它 至少需要两个不同的值， x 和 y. 可以假设 y \geq x 不失一般性。因此，让 B=\left[x, \frac{x+y}{2}\right]. 我们 有那个 (X \in B) 是非空的， 因为 x \in B 但不是 \Omega 自从 y \notin B. 所以， X 不是 \mathcal{F}_0-可衡量的。 该技术结果将对本文后面的某些演示很有用。一般来说，如果已知 Y 是 \sigma(X)-可测量的，我们 不能 (也不需要) 明确函数 f. 反过来，如果 Y 可以写成的可测函数 X ，它自动遵循 Y 是 \sigma(X)- 可衡量的。 统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。 ## 金融工程代写 金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。 ## 非参数统计代写 非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。 ## 广义线性模型代考 广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。 术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。 ## 有限元方法代写 有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。 有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。 tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。 ## 随机分析代写 随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。 ## 时间序列分析代写 随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。 ## 回归分析代写 多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 ## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MATH200 如果你也在 怎样代写离散数学discrete mathematics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。 离散数学是研究可以被认为是 “离散”（类似于离散变量，与自然数集有偏射）而不是 “连续”（类似于连续函数）的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下，离散数学不包括 “连续数学 “中的课题，如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举；更正式地说，离散数学被定性为处理可数集的数学分支（有限集或与自然数具有相同心数的集）。然而，”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。 statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写离散数学discrete mathematics方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写离散数学discrete mathematics代写方面经验极为丰富，各种代写离散数学discrete mathematics相关的作业也就用不着说。 我们提供的离散数学discrete mathematics及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于: • Statistical Inference 统计推断 • Statistical Computing 统计计算 • Advanced Probability Theory 高等概率论 • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学 • (Generalized) Linear Models 广义线性模型 • Statistical Machine Learning 统计机器学习 • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析 • Foundations of Data Science 数据科学基础 ## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Measures and σ-algebras Let us start by reviewing the concept of a \sigma-algebra. DEFINITION 1.1.-A subset \mathcal{F} of \mathcal{P}(\Omega) is a \sigma-algebra over \Omega if 1) \Omega \in \mathcal{F}; 2) \mathcal{F} is stable by complementarity: for any A \in \mathcal{F}, we have A^c \in \mathcal{F}, where A^c denotes the complement of A in \Omega: A^c=\Omega \backslash A; 3) \mathcal{F} is stable under a countable union: for any sequence of elements \left(A_n\right){n \in \mathbb{N}} of \mathcal{F}, we have \bigcup{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{F}. Elements of a \sigma-algebra are called events. EXAMPLE 1.1.- The set \mathcal{G}={\emptyset, \Omega} is a \sigma-algebra and is also the smallest \sigma-algebra over \Omega; it is called the trivial \sigma-algebra. Indeed, \mathcal{G} is in fact a \sigma-algebra since \Omega \in \mathcal{G}, \emptyset^c=\Omega \in \mathcal{G}, \Omega^c=\emptyset \in \mathcal{G}, \Omega \cup \emptyset=\Omega \in \mathcal{G} and by creating unions of \emptyset and \Omega we always obtain \emptyset \in \mathcal{G} or \Omega \in \mathcal{G}. Further, for any other \sigma-algebra \mathcal{F}, we clearly have \mathcal{G} \subset \mathcal{F}. EXAMPLE 1.2.- The set \mathcal{P}(\Omega) is the largest \sigma-algebra over \Omega; it is called the largest \sigma-algebra. Indeed, by construction, \mathcal{P}(\Omega) contains all the subsets of \Omega, and thus it contains in particular \Omega and it is stable by complementarity and under countable unions. In addition, any other \sigma-algebra \mathcal{F} over \Omega is clearly included in \mathcal{P}(\Omega). ## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Probability elements A probability measure or probability distribution is a finite measure whose total mass is equal to 1 . DEFINITION 1.7.- A probability or probability measure, or law of probability or distribution over a probability space (\Omega, \mathcal{F}) is a measure with a total mass equal to 1. In other words, a probability over (\Omega, \mathcal{F}) is a mapping \mathbb{P}: \mathcal{F} \longrightarrow \mathbb{R} such that – for any A \in \mathcal{F}, \mathbb{P}(A) \geq 0, -\mathbb{P}(\Omega)=1, • for any sequence of pairwise disjoint events in \mathcal{F}, denoted by \left(A_n\right){n \in \mathbb{N}}, we have \mathbb{P}\left(\bigcup{n=0}^{+\infty} A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}\left(A_n\right). The triplet (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) is then called a probability space. EXAMPLE 1.7. \bar{\Omega} is endowed with the coarse \sigma-algebra \overline{\mathcal{F}}={\emptyset, \bar{\Omega}}. Thus, the single probability measure on (\Omega, \mathcal{F}) is given by:$$
\mathbb{P}: A \in \mathcal{F} \longmapsto \mathbb{P}(A)=\left{\begin{array}{l}
1 \text { if } A=\Omega \
0 \text { if } A=\emptyset .
\end{array}\right.
$$EXAMPLE 1.8.- Let \Omega=[0,1] and \mathcal{F}=\mathcal{B}([0,1]) be the Borel \sigma-algebra of [0,1]. If \lambda denotes the Lebesgue measure, then the mapping:$$
\mathbb{P}: A \in \mathcal{F} \longmapsto \lambda(A)
$$is a probability measure on (\Omega, \mathcal{F}). EXAMPLE 1.9.- Let \Omega be non-empty set such that card (\Omega)<\infty, where card (\Omega) denotes the cardinal of \Omega, that is, the number of elements in \Omega. Consider the mapping \mathbb{P} from \mathcal{P}(\Omega) onto [0,1] such that for every A \in \mathcal{P}(\Omega), \mathbb{P}(A)=\frac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)} # 离散数学代写 ## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Measures and σ-algebras 让我们首先回顾一下 a 的概念 \sigma-代数。 定义 1.1.-子集 \mathcal{F} 的 \mathcal{P}(\Omega) 是一个 \sigma-代数结束 \Omega 如果 1) \Omega \in \mathcal{F} 2) \mathcal{F} 通过互补性稳定: 对于任何 A \in \mathcal{F} ，我们有 A^c \in \mathcal{F} ，在哪里 A^c 表示的补码 A 在 \Omega: A^c=\Omega \backslash A; 3) \mathcal{F} 在可数并集下是稳定的: 对于任何元素序列 \left(A_n\right) n \in \mathbb{N} 的 \mathcal{F} ，我们有 \bigcup n \in \mathbb{N} A_n \in \mathcal{F}. 一个元素 \sigma-代数称为事件。 示例 1.1.- 集合 \mathcal{G}=\emptyset, \Omega 是一个 \sigma-代数并且也是最小的 \sigma-代数结束 \Omega; 它被称为琐碎的 \sigma-代 数。的确， \mathcal{G} 实际上是一个 \sigma-代数因为 \Omega \in \mathcal{G}, \emptyset^c=\Omega \in \mathcal{G}, \Omega^c=\emptyset \in \mathcal{G}, \Omega \cup \emptyset=\Omega \in \mathcal{G} 并通过创建联盟 \emptyset 和 \Omega 我们总是得到 \emptyset \in \mathcal{G} 要么 \langle\Omega \in \mathcal{G}. 此外，对于任何其他 \sigma-代数 \mathcal{F} ，我们显 然有 \mathcal{G} \subset \mathcal{F}. 示例 1.2.- 集合 \mathcal{P}(\Omega) 是最大的 \sigma-代数结束 \Omega; 它被称为最大的 \sigma-代数。确实，通过构造， \mathcal{P}(\Omega) 包含的所有子集 \Omega ，因此它特别包含 \Omega 它通过互补和可数联合而稳定。此外，任何其他 \sigma -代数 \mathcal{F} 超过 \Omega 明确包含在 \mathcal{P}(\Omega). ## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Probability elements 概率测度或概率分布是总质量等于 1 的有限测度。 定义 1.7.- 概率或概率测度，或概率定律或概率空间分布 (\Omega, \mathcal{F}) 是总质量等于 1 的度量。换句 话说，概率超过 (\Omega, \mathcal{F}) 是一个映射 \mathbb{P}: \mathcal{F} \longrightarrow \mathbb{R} 这样一一对于任何 A \in \mathcal{F}, \mathbb{P}(A) \geq 0 ， -\mathbb{P}(\Omega)=1 ， • 对于任何成对不相交的事件序列 \mathcal{F} ，表示为 \left(A_n\right) n \in \mathbb{N} ，我们有 \mathbb{P}\left(\bigcup n=0^{+\infty} A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}\left(A_n\right). 三胞胎 (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) 则称为概率空间。 示例 1.7。 \bar{\Omega} 被陚予了粗䊁 \sigma-代数 \overline{\mathcal{F}}=\emptyset, \bar{\Omega}. 因此，单一概率测度 (\Omega, \mathcal{F}) 由以下公式给 出: \ \$$
Imathbb ${P}: A$ in $\backslash m a t h c a \mid{F} \backslash l o n g m a p s t o \backslash m a t h b b{P}(A)=$ left {
1 if $A=\Omega 0$ if $A=\emptyset$.
【正确的。
EXAMPLE1.8. – Let $\$ \Omega=[0,1] \$a n d \$ \mathcal{F}=\mathcal{B}([0,1]) \$$betheBorel \ \sigma \- al Imathbb {P}: A \backslash in \backslash m a t h c a \mid{F} \backslash 0 n g m a p s t o ~ \ l a m b d a(A) \ \$$
是概率测度 $(\Omega, \mathcal{F})$.
示例 1.9.- 让 $\Omega$ 是非空集使得卡片 $(\Omega)<\infty$, 哪里卡 $(\Omega)$ 表示红衣主教 $\Omega$, 即元素的个数 $\Omega$. 考虑 映射 $\mathbb{P}$ 从 $\mathcal{P}(\Omega)$ 到 $[0,1]$ 这样对于每个 $A \in \mathcal{P}(\Omega), \mathbb{P}(A)=\frac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)}$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|CS3653

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• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Standard axiom systems and models

Rather than define our own axiom systems and models from scratch, it helps to use ones that already have a track record of consistency and usefulness. Almost all mathematics fits in one of the following models:

• The natural numbers $\mathbb{N}$. These are defined using the Peano axioms, and if all you want to do is count, add, and multiply, you don’t need much else. (If you want to subtract, things get messy.)
• The integers $\mathbb{Z}$. Like the naturals, only now we can subtract. Division is still a problem.
• The rational numbers $\mathbb{Q}$. Now we can divide. But what about $\sqrt{2}$ ?
• The real numbers $\mathbb{R}$. Now we have $\sqrt{2}$. But what about $\sqrt{(-1)}$ ?
• The complex numbers $\mathbb{C}$. Now we are pretty much done. But what if we want to talk about more than one complex number at a time?
• The universe of sets. These are defined using the axioms of set theory, and produce a rich collection of sets that include, among other things, structures equivalent to the natural numbers, the real numbers, collections of same, sets so big that we can’t even begin to imagine what they look like, and even bigger sets so big that we can’t use the usual accepted system of axioms to prove whether they exist or not. Fortunately, in computer science we can mostly stop with finite sets, which makes life less confusing.
• Various alternatives to set theory, like lambda calculus, category theory, or second-order arithmetic. We won’t talk about these, since they generally don’t let you do anything you can’t do already with sets. However, lambda calculus and category theory are both important to know about if you are interested in programming language theory.
In practice, the usual way to do things is to start with sets and then define everything else in terms of sets: e.g., 0 is the empty set, 1 is a particular set with 1 element, 2 a set with 2 elements, etc., and from here we work our way up to the fancier numbers. The idea is that if we trust our axioms for sets to be consistent, then the things we construct on top of them should also be consistent, although if we are not careful in our definitions they may not be exactly the things we think they are.

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Operations on propositions

Propositions by themselves are pretty boring. So boring, in fact, that logicians quickly stop talking about specific propositions and instead haul out placeholder names like $p, q$, or $r$. But we can build slightly more interesting propositions by combining propositions together using various logical connectives, such as:

Negation The negation of $p$ is written as $\neg p$, or sometimes $\sim p,-p$ or $\bar{p}$. It has the property that it is false when $p$ is true, and true when $p$ is false.

Or The or of two propositions $p$ and $q$ is written as $p \vee q$, and is true as long as at least one, or possibly both, of $p$ and $q$ is true. ${ }^2$ This is not always the same as what “or” means in English; in English, “or” often is used for exclusive or which is not true if both $p$ and $q$ are true. For example, if someone says “You will give me all your money or I will stab you with this table knife”, you would be justifiably upset if you turn over all your money and still get stabbed. But a logician would not be at all surprised, because the standard “or” in propositional logic is an inclusive or that allows for both outcomes.

Exclusive or If you want to exclude the possibility that both $p$ and $q$ are true, you can use exclusive or instead. This is written as $p \oplus q$, and is true precisely when exactly one of $p$ or $q$ is true. Exclusive or is not used in classical logic much, but is important for many computing applications, since it corresponds to addition modulo 2 (see §8.3) and has nice reversibility properties (e.g. $p \oplus(p \oplus q)$ always has the same truth-value as $q$ ).

And The and of $p$ and $q$ is written as $p \wedge q$, and is true only when both $p$ and $q$ are true. ${ }^3$ This is pretty much the same as in English, where “I like to eat ice cream and I own a private Caribbean island” is not a true statement when made by most people even though most people like to eat ice cream. The only complication in translating English expressions into logical ands is that logicians can’t tell the difference between “and” and “but”: the statement ” $2+2=4$ but $3+3=6$ ” becomes simply ” $(2+2=4) \wedge(3+3=6)$.”

# 离散数学代写

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Standard axiom systems and models

• 自然数否. 这些是使用 Peano 公理定义的，如果您想做的只是计数、加法和乘法，则不需要太多其他东西。（如果你想减去，事情会变得一团糟。）
• 整数从. 就像自然界一样，只有现在我们才能减去。分区还是个问题。
• 有理数问. 现在我们可以分开了。但是关于2 ?
• 实数R. 现在我们有2. 但是关于(−1)?
• 复数C. 现在我们差不多完成了。但是，如果我们想一次谈论多个复数怎么办？
• 集合的宇宙。这些是使用集合论的公理定义的，并产生丰富的集合集合，其中包括等同于自然数的结构，实数，相同的集合，集合如此之大以至于我们甚至无法开始想象一下它们的样子，甚至更大的集合大到我们无法使用通常接受的公理系统来证明它们是否存在。幸运的是，在计算机科学中，我们大多可以止步于有限集，这样生活就不会那么混乱了。
• 集合论的各种替代方法，如 lambda 演算、范畴论或二阶算术。我们不会谈论这些，因为它们通常不会让你做任何你不能用集合做的事情。但是，如果您对编程语言理论感兴趣，那么了解 lambda 演算和范畴论都很重要。
在实践中，通常的做法是从集合开始，然后根据集合定义其他所有内容：例如，0 是空集，1 是具有 1 个元素的特定集合，2 是具有 2 个元素的集合，等等。 , 从这里开始，我们努力获得更漂亮的数字。这个想法是，如果我们相信我们的集合公理是一致的，那么我们在它们之上构造的东西也应该是一致的，尽管如果我们在定义时不小心，它们可能并不是我们认为的那样。

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Operations on propositions

Or 两个命题的或p和q写成p∨q，并且只要至少有一个，或者可能两个，都是真的p和q是真的。2这并不总是与英语中“或”的意思相同；在英语中，“或”通常用于排他性或两者都不是p和q是真的。例如，如果有人说“你把所有的钱都给我，否则我就用这把餐刀刺伤你”，如果你把所有的钱都交出来，仍然被刺伤，你理所当然地不高兴。但是逻辑学家一点也不会感到惊讶，因为命题逻辑中的标准“或”是一个包容性的或，它允许两种结果。

Exclusive or 如果你想排除两者的可能性p和q是真的，你可以使用独占或代替。这写成p⊕q，并且恰好在其中之一时为真p或者q是真的。异或在经典逻辑中用得不多，但对许多计算应用程序很重要，因为它对应于加法模 2（参见 §8.3）并且具有良好的可逆性（例如p⊕(p⊕q)总是具有相同的真值q ).

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MATH1030

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## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|What can go wrong

If we throw in too many axioms, you can get an inconsistency: “All fish are green; all sharks are not green; all sharks are fish; George Washington is a shark” gets us into trouble pretty fast.

If we don’t throw in enough axioms, we underconstrain the model. For example, the Peano axioms for the natural numbers (see example below) say (among other things) that there is a number 0 and that any number $x$ has a successor $S(x)$ (think of $S(x)$ as $x+1$ ). If we stop there, we might have a model that contains only 0 , with $S(0)=0$. If we add in $0 \neq S(x)$ for any $x$, then we can get stuck at $S(0)=1=S(1)$. If we add yet another axiom that says $S(x)=S(y)$ if and only if $x=y$, then we get all the ordinary natural numbers $0, S(0)=1, S(1)=2$, etc., but we could also get some extras: say $0^{\prime}, S\left(0^{\prime}\right)=1^{\prime}, S\left(1^{\prime}\right)=0^{\prime}$. Characterizing the “correct” natural numbers historically took a lot of work to get right, even though we all know what we mean when we talk about them. The situation is of course worse when we are dealing with objects that we don’t really understand; here the most we can hope for is to try out some axioms and see if anything strange happens.

Better yet is to use some canned axioms somebody else has already debugged for us. In this respect the core of mathematics acts like a system library – it’s a collection of useful structures and objects that are known to work, and (if we are lucky) may even do exactly what we expect.

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|The language of logic

The basis of mathematical logic is propositional logic, which was mostly invented in ancient Greece. ${ }^1$ Here the model is a collection of statements that are either true or false. There is no ability to refer to actual things; though we might include the statement “George Washington is a fish”, from the point of view of propositional logic that is an indivisible atomic chunk of truth or falsehood that says nothing in particular about George Washington or fish. If we treat it as an axiom we can prove the truth of more complicated statements like “George Washington is a fish or $2+2=5$ ” (true since the first part is true), but we can’t really deduce much else. Still, this is a starting point.

If we want to talk about things and their properties, we must upgrade to predicate logic. Predicate logic adds both constants (stand-ins for objects in the model like “George Washington”) and predicates (stand-ins for properties like “is a fish”). It also lets us quantify over variables and make universal statements like “For all $x$, if $x$ is a fish then $x$ is green.” As a bonus, we usually get functions (” $f(x)=$ the number of books George Washington owns about $x$ “) and equality (“George Washington $=12$ ” implies “George Washington $+5=17$ “). This is enough machinery to define and do pretty much all of modern mathematics.
We will discuss both of these logics in more detail below.

# 离散数学代写

## 有限元方法代写

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## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MATH200

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## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|But isn’t math hard

Yes and no. The human brain is not really designed to do formal mathematical reasoning, which is why most mathematics was invented in the last few centuries and why even apparently simple things like learning how to count or add require years of training, usually done at an early age so the pain will be forgotten later. But mathematical reasoning is very close to legal reasoning, which we do seem to be very good at. ${ }^1$
There is very little structural difference between the two sentences:

1. If $x$ is in $S$, then $x+1$ is in $S$.
2. If $x$ is of royal blood, then $x$ ‘s child is of royal blood.
But because the first is about boring numbers and the second is about fascinating social relationships and rules, most people have a much easier time deducing that to show somebody is royal we need to start with some known royal and follow a chain of descendants than they have deducing that to show that some number is in the set $S$ we need to start with some known element of $S$ and show that repeatedly adding 1 gets us to the number we want. And yet to a logician these are the same processes of reasoning.

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## MATLAB代写

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## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MATH-UA120

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## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Random vectors

We will now more closely study random variables taking values in $\mathbb{R}^d$, with $d \geq 2$. This concept has already been defined in Definition 1.9. We will now look at the relations between the random vector and its coordinates. When $d=2$, we then speak of a random couple.

PROPOSITION 1.9.-Let $X$ be a real random vector on the probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, taking values in $\mathbb{R}^d$. Then,
$$X(w)=\left(\begin{array}{c} X_1(w) \ \vdots \ X_n(w) \end{array}\right)$$
is such that for any $i \in{1, \ldots, d}, X_i$ is a real random variable.
DEFINITION 1.15.-A random vector is said to be discrete if each of its components, $X_i$, is a discrete random variable.
DEFINITION 1.16.- Let $X=\left(\begin{array}{l}X_1 \ X_2\end{array}\right)$ be a discrete random couple such that
$$X_1(\Omega)=\left{x_{1 j}, j \in I_1\right} \text { et } X_2(\Omega)=\left{x_{2 k}, k \in I_2\right} .$$
The conjoint distribution (or joint distribution or, simply, the distribution) of $X$ is given by the family
$$\left{\mathbb{P}\left(X_1=x_{1 j}, X_2=x_{2 k}\right) ;(j, k) \in I_1 \times I_2\right} .$$
The marginal distributions of $X$ are the distributions of $X_1$ and $X_2$. These distributions may be derived from the conjoint distribution of $X$ through:
$$\forall j \in I_1, \quad \mathbb{P}\left(X_1=x_{1 j}\right)=\sum_{k \in I_2} \mathbb{P}\left(X_1=x_{1 j}, X_2=x_{2 k}\right)$$
and
$$\forall k \in I_2, \quad \mathbb{P}\left(X_2=x_{2 k}\right)=\sum_{j \in I_1} \mathbb{P}\left(X_1=x_{1 j}, X_2=x_{2 k}\right)$$

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Stochastic processes

The main objective of this book is to study certain families of stochastic (or random) processes in discrete time. There are two ways of seeing such objects:

• as a sequence $\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ of real random variables;
• as a single random variable $X$ taking values in the set of real sequences.
The index $n$ represents time. Since $n \in \mathbb{N}$, we speak of processes in discrete time. In the rest of this book, unless indicated otherwise, we will only consider processes taking discrete real values. The notation $E$ thus denotes a finite or countable subset of $\mathbb{R}$ and $\mathcal{E}=\mathcal{P}(E)$, the set of subsets of $E$.

DEFINITION 1.18.-A stochastic process is a sequence $X=\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ of random variables taking values in $(E, \mathcal{E})$. The process $X$ is then a random variable taking values in $\left(E^{\mathbb{N}}, \mathcal{E}^{\otimes \mathbb{N}}\right)$.

EXAMPLE 1.22.- A coin is tossed an infinite number of times. This experiment is modeled by $\bar{\Omega}-{T, H}^{\mathbb{N}^}$. For $n \in \mathbb{N}^$, consider the mappings $X_n$ to $\bar{\Omega}$ in $\mathbb{R}$ defined by
$$X_n\left(\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n, \ldots\right)=1_{{T}}\left(\omega_n\right),$$
the number of tails at the nth toss. Therefore, $X_n, n \in \mathbb{N}^*$ are discrete, real random variables and the sequence $X=\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ is a stochastic process.

DEFINITION 1.19. – Let $X=\left(X_n\right){n \in \mathbb{N}}$ be a stochastic process. For all $n \in \mathbb{N}$, the distribution of the vector $\left(X_0, X_1, \ldots, X_n\right)$ is denoted by $\mu_n$. The probability distributions $\left(\mu_n\right){n \in \mathbb{N}}$ are called finite-dimensional distributions or finite-dimensional marginal distributions of the process $X=\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$.

PROPOSITION 1.10.- Let $X=\left(X_n\right){n \in \mathbb{N}}$ be a stochastic process and let $\left(\mu_n\right){n \in \mathbb{N}}$ be its finite-dimensional distributions. Then, for all $n \in \mathbb{N}^*$ and $\left(A_0, \ldots, A_{n-1}\right) \in \mathcal{E}^n$, we have
$$\mu_{n-1}\left(A_0 \times \ldots \times A_{n-1}\right)=\mu_n\left(A_0 \times \ldots \times A_{n-1} \times E\right)$$
In other words, the restriction of the marginal distribution of the vector $\left(X_0, \ldots, X_n\right)$ to its first $n$ coordinates is exactly the distribution of the vector $\left(X_0, \ldots, X_{n-1}\right)$

# 离散数学代写

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Random vectors

$$X(w)=\left(X_1(w) \vdots X_n(w)\right)$$

$$\forall j \in I_1, \quad \mathbb{P}\left(X_1=x_{1 j}\right)=\sum_{k \in I_2} \mathbb{P}\left(X_1=x_{1 j}, X_2=x_{2 k}\right)$$

$$\forall k \in I_2, \quad \mathbb{P}\left(X_2=x_{2 k}\right)=\sum_{j \in I_1} \mathbb{P}\left(X_1=x_{1 j}, X_2=x_{2 k}\right)$$

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Stochastic processes

• 作为一个序列 $\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ 真正的随机变量；
• 作为单个随机变量 $X$ 在真实序列的集合中取值。
指标 $n$ 代表时间。自从 $n \in \mathbb{N}$ ，我们谈论离散时间的过程。在本书的其余部分，除非另有说明，否则我们 将只考虑采用离散实数值的过程。符号 $E$ 因此表示一个有限的或可数的子集 $\mathbb{R}$ 和 $\mathcal{E}=\mathcal{P}(E)$ ，子集的集合 $E$.
定义 1.18.- 随机过程是一个序列 $X=\left(X_n\right){n \in \mathbb{N}}$ 取值的随机变量 $(E, \mathcal{E})$. 过程 $X$ 那么是一个随机变量取值 $\left(E^{\mathbb{N}}, \mathcal{E}^{\otimes \mathbb{N}}\right)$ 示例 1.22.- 硬币被抛出无数次。这个实验的模型是 $\backslash$ bar{{1Omega $}-{T, H} \wedge{\backslash m a t h b b{N} \wedge}$. 为了 $n \backslash i n \backslash m a t h b b{N} \wedge$, 考虑映射 $X_n$ 至 $\bar{\Omega}$ 在 $\mathbb{R}$ 被定义为 $$X_n\left(\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n, \ldots\right)=1_T\left(\omega_n\right),$$ 第 $\mathrm{n}$ 次抛出的反面数。所以， $X_n, n \in \mathbb{N}^$ 是离散的、实随机变量和序列 $X=\left(X_n\right){n \in \mathbb{N}}$ 是一个随机过程。
定义 1.19。-让 $X=\left(X_n\right) n \in \mathbb{N}$ 是一个随机过程。对所有人 $n \in \mathbb{N}$, 向量的分布 $\left(X_0, X_1, \ldots, X_n\right)$ 表示为 $\mu_n$. 概率分布 $\left(\mu_n\right) n \in \mathbb{N}$ 称为过程的有限维分布或有限维边际分布 $X=\left(X_n\right){n \in \mathbb{N}}$. 命题 1.10.- 让 $X=\left(X_n\right) n \in \mathbb{N}$ 是一个随机过程，让 $\left(\mu_n\right) n \in \mathbb{N}$ 是它的有限维分布。那么，对于所有 $n \in \mathbb{N}^$ 和 $\left(A_0, \ldots, A{n-1}\right) \in \mathcal{E}^n$ ， 我们有
$$\mu_{n-1}\left(A_0 \times \ldots \times A_{n-1}\right)=\mu_n\left(A_0 \times \ldots \times A_{n-1} \times E\right)$$
也就是说，向量的边缘分布的限制 $\left(X_0, \ldots, X_n\right)$ 到它的第一个 $n$ 坐标正好是向量的分布 $\left(X_0, \ldots, X_{n-1}\right)$

## 有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MATH300

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写离散数学discrete mathematics方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写离散数学discrete mathematics代写方面经验极为丰富，各种代写离散数学discrete mathematics相关的作业也就用不着说。

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
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• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Random variables

Let us now recall the definition of a generic random variable, and then the specific case of discrete random variables.

DEFINITION 1.9.-Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ be a probabilizable space and $(E, \mathcal{E})$ be a measurable space. A random variable on the probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ taking values in the measurable space $(E, \mathcal{E})$, is any mapping $X: \Omega \longrightarrow E$ such that, for any $B$ in $\mathcal{E}, X^{-1}(B) \in \mathcal{F}$; in other words, $X: \Omega \longrightarrow E$ is a random variable if it is an $(\mathcal{F}, \mathcal{E})$-measurable mapping. We then write the event ” $\mathrm{X}$ belongs to $\mathrm{B}$ ” by
$$X^{-1}(B)={\omega \in \Omega ; X(\omega) \in B}=(X \in B) .$$
In the specific case where $E=\mathbb{R}$ and $\mathcal{E}=\mathcal{B}(\mathbb{R})$, the mapping $X$ is called a real random variable. If $E=\mathbb{R}^d$ with $d \geq 2$, and $\mathcal{E}=\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^d\right)$, the mapping $X$ is said to be a real random vector.

EXAMPLE 1.12.- Let us return to the experiment where a six-sided die is rolled, where the set of possible outcomes is $\Omega={1,2,3,4,5,6}$, which is endowed with the uniform probability. Consider the following game:

• if the result is even, you win $10 €$;
• if the result is odd, you win $20 €$.
This game can be modeled using the random variable $X: \Omega \longmapsto{10,20}$, defined by:
$$X(\omega)=\left{\begin{array}{l} 10 \text { if } \omega \in{2,4,6} \ 20 \text { if } \omega \in{1,3,5} . \end{array}\right.$$
This mapping is a random variable, since for any $B \in \mathcal{P}({10,20})$, we have
(X \in B)=X^{-1}(B)=\left{\begin{aligned} {2,4,6} & \text { if } B={10} \ {1,3,5} & \text { if } B={20} \ \Omega \text { if } B={10,20} \ \emptyset \text { if } B=\emptyset . \end{aligned}\right.
and all these events are in $\mathcal{P}(\Omega)$.

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|σ-algebra generated by a random variable

We now define the $\sigma$-algebra generated by a random variable. This concept is important for several reasons. For instance, it can make it possible to define the independence of random variables. It is also at the heart of the definition of conditional expectations; see Chapter 2.

PROPOSITION 1.6.- Let $X$ be a real random variable, defined on $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ taking values in $(E, \mathcal{E})$. Then, $\mathcal{F}_X=X^{-1}(\mathcal{E})=\left{X^{-1}(A) ; A \in \mathcal{E}\right}$ is a sub- $\sigma$-algebra of $\mathcal{F}$ on $\Omega$. This is called the $\sigma$-algebra generated by the random variable $X$. It is written as $\sigma(X)$. It is the smallest $\sigma$-algebra on $\Omega$ that makes $X$ measurable:
$$\sigma(X)=X^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}))=\left{X^{-1}(B) ; B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\right}={(X \in B) ; B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})} .$$
EXAMPLE 1.19.- Let $\mathcal{F}_0={\emptyset, \Omega}$ and $X=c \in \mathbb{R}$ be a constant. Then, for any Borel set $B$ in $\mathbb{R},(X \in B)$ has the value $\emptyset$ if $c \notin B$ and $\Omega$ if $c \in B$. Thus, the $\sigma$-algebra generated by $X$ is $\mathcal{F}_0$. Reciprocally, it can be demonstrated that the only $\mathcal{F}_0$-measurable random variables are the constants. Indeed, let $X$ be a $\mathcal{F}_0$-measurable random variable. Assume that it takes at least two different values, $x$ and $y$. It may be assumed that $y \geq x$ without loss of generality. Therefore, let $B=\left[x, \frac{x+y}{2}\right]$. We have that $(X \in B)$ is non-empty because $x \in B$ but is not $\Omega$ since $y \notin B$. Therefore, $X$ is not $\mathcal{F}_0$-measurable.

Proposition 1.7.- Let $X$ be a random variable on $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ taking values in $(E, \mathcal{E})$ and let $\sigma(X)$ be the $\sigma$-algebra generated by $X$. Thus, a random variable $Y$ is $\sigma(X)$-measurable if and only if there exists a measurable function $f$ such that $Y=f(X)$.

This technical result will be useful in certain demonstrations further on in the text. In general, if it is known that $Y$ is $\sigma(X)$-measurable, we cannot (and do not need to) make explicit the function $f$. Reciprocally, if $Y$ can be written as a measurable function of $X$, it automatically follows that $Y$ is $\sigma(X)$-measurable.

EXAMPLE 1.20.- A die is rolled 2 times. This experiment is modeled by $\Omega={1,2,3,4,5,6}^2$ endowed with the $\sigma$-algebra of its subsets and the uniform distribution. Consider the mappings $X_1, X_2$ and $Y$ from $\Omega$ onto $\mathbb{R}$ defined by
\begin{aligned} &X_1\left(\omega_1, \omega_2\right)=\omega_1, \ &X_2\left(\omega_1, \omega_2\right)=\omega_2, \ &Y\left(\omega_1, \omega_2\right)=1_{{2,4,6}}\left(\omega_1\right), \end{aligned}
thus, $X_i$ is the result of the ith roll and $Y$ is the parity indicator of the first roll. Therefore, $Y=1_{{2,4,6}}\left(X_1\right)$; thus, $Y$ is $\sigma\left(X_1\right)$-measurable. On the other hand, $Y$ cannot be written as a function of $X_2$.

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Random variables

$X: \Omega \longrightarrow E$ 是一个随机变量，如果它是 $(\mathcal{F}, \mathcal{E})$-可测量的映射。然后我们编写事件”X $\mathrm{X}$ 属于 $\mathrm{B}^{\prime \prime}$ 经过
$$X^{-1}(B)=\omega \in \Omega ; X(\omega) \in B=(X \in B) .$$

• 如果结果是偶数, 你就赢了 $10 €$;
• 如果结果是奇数，你赢了 $20 €$. 这个游戏可以使用随机变量建模 $X: \Omega \longmapsto 10,20$, 定义为:
$\$ \$$X( lomega )=\backslash left { 10 if \omega \in 2,4,620 if \omega \in 1,3,5. 、正确的。 Thismappingisarandomvariable, since forany \ B \in \mathcal{P}(10,20) \$$, wehave
$(X \backslash$ in $B)=X \wedge{-1}(B)=\backslash l \operatorname{lt}{$
$2,4,6$ if $B=101,3,5 \quad$ if $B=20 \Omega$ if $B=10,20 \emptyset$ if $B=\emptyset$.
、正确的。
$$因此， X_i 是第 \mathrm{i} 次郑骰的结果，并且 Y 是第一卷的奇偶校验指示符。所以， Y=1_{2,4,6}\left(X_1\right); 因此， Y 是 \sigma\left(X_1\right)-可衡量的。另一方面， Y 不能写成的函数 X_2. 统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。 ## 金融工程代写 金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。 ## 非参数统计代写 非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。 ## 广义线性模型代考 广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。 术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。 ## 有限元方法代写 有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。 有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。 tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。 ## 随机分析代写 随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。 ## 时间序列分析代写 随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。 ## 回归分析代写 多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 ## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MATH200 如果你也在 怎样代写离散数学discrete mathematics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。 离散数学是研究可以被认为是 “离散”（类似于离散变量，与自然数集有偏射）而不是 “连续”（类似于连续函数）的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下，离散数学不包括 “连续数学 “中的课题，如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举；更正式地说，离散数学被定性为处理可数集的数学分支（有限集或与自然数具有相同心数的集）。然而，”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。 statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写离散数学discrete mathematics方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写离散数学discrete mathematics代写方面经验极为丰富，各种代写离散数学discrete mathematics相关的作业也就用不着说。 我们提供的离散数学discrete mathematics及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于: • Statistical Inference 统计推断 • Statistical Computing 统计计算 • Advanced Probability Theory 高等概率论 • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学 • (Generalized) Linear Models 广义线性模型 • Statistical Machine Learning 统计机器学习 • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析 • Foundations of Data Science 数据科学基础 ## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Measures and σ-algebras DEFINITION 1.1.-A subset \mathcal{F} of \mathcal{P}(\Omega) is a \sigma-algebra over \Omega if 1) \Omega \in \mathcal{F}; 2) \mathcal{F} is stable by complementarity: for any A \in \mathcal{F}, we have A^c \in \mathcal{F}, where A^c denotes the complement of A in \Omega: A^c=\Omega \backslash A; 3) \mathcal{F} is stable under a countable union: for any sequence of elements \left(A_n\right){n \in \mathbb{N}} of \mathcal{F}, we have \bigcup{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{F}. Elements of a \sigma-algebra are called events. EXAMPLE 1.1.- The set \mathcal{G}={\emptyset, \Omega} is a \sigma-algebra and is also the smallest \sigma-algebra over \Omega; it is called the trivial \sigma-algebra. Indeed, \mathcal{G} is in fact a \sigma-algebra since \Omega \in \mathcal{G}, \emptyset^c=\Omega \in \mathcal{G}, \Omega^c=\emptyset \in \mathcal{G}, \Omega \cup \emptyset=\Omega \in \mathcal{G} and by creating unions of \emptyset and \Omega we always obtain \emptyset \in \mathcal{G} or \Omega \in \mathcal{G}. Further, for any other \sigma-algebra \mathcal{F}, we clearly have \mathcal{G} \subset \mathcal{F}. EXAMPLE 1.2.- The set \mathcal{P}(\Omega) is the largest \sigma-algebra over \Omega; it is called the largest \sigma-algebra. Indeed, by construction, \mathcal{P}(\Omega) contains all the subsets of \Omega, and thus it contains in particular \Omega and it is stable by complementarity and under countable unions. In addition, any other \sigma-algebra \mathcal{F} over \Omega is clearly included in \mathcal{P}(\Omega). DEFINITION 1.2.- Let \Omega be a non-empty set and \mathcal{F} be a \sigma-algebra over \Omega. The couple (\Omega, \mathcal{F}) is called a probabilizable space. Among the elementary properties of \sigma-algebra, we can cite stability through any intersection (countable or not). Proposition 1.1.-Any intersection of \sigma-algebras over a set \Omega is a \sigma-algebra over \Omega. Proof.- Let \left(\mathcal{F}i\right){i \in I} be any family of \sigma-algebra indexed by a non-empty set I. Thus, – first of all, for any i, \Omega \in \mathcal{F}i, thus \Omega \in \cap{i \in I} \mathcal{F}_i; • secondly, if A \in \cap_{i \in I} \mathcal{F}i, then for any i, A \in \mathcal{F}_i. As these are \sigma-algebras, we have that for any i, A^c \in \mathcal{F}_i, thus A^c \in \cap{i \in I} \mathcal{F}_i; ## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Probabilities A probability measure or probability distribution is a finite measure whose total mass is equal to 1 . DEFINITION 1.7.-A probability or probability measure, or law of probability or distribution over a probability space (\Omega, \mathcal{F}) is a measure with a total mass equal to 1. In other words, a probability over (\Omega, \mathcal{F}) is a mapping \mathbb{P}: \mathcal{F} \longrightarrow \mathbb{R} such that – for any A \in \mathcal{F}, \mathbb{P}(A) \geq 0, -\mathbb{P}(\Omega)=1, • for any sequence of pairwise disjoint events in \mathcal{F}, denoted by \left(A_n\right){n \in \mathbb{N}}, we have \mathbb{P}\left(\bigcup{n=0}^{+\infty} A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}\left(A_n\right). The triplet (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) is then called a probability space. EXAMPLE 1.7.- \Omega is endowed with the coarse \sigma-algebra \mathcal{F}={\emptyset, \Omega}. Thus, the single probability measure on (\Omega, \mathcal{F}) is given by:$$
\mathbb{P}: A \in \mathcal{F} \longmapsto \mathbb{P}(A)=\left{\begin{array}{l}
1 \text { if } A=\Omega \
0 \text { if } A=\emptyset .
\end{array}\right.
$$EXAMPLE 1.8.- Let \Omega=[0,1] and \mathcal{F}=\mathcal{B}([0,1]) be the Borel \sigma-algebra of [0,1]. If \lambda denotes the Lebesgue measure, then the mapping:$$
\mathbb{P}: A \in \mathcal{F} \longmapsto \lambda(A)
$$is a probability measure on (\Omega, \mathcal{F}). ## 离散数学代写 ## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Measures and σ-algebras 定义 1.1.-子集 \mathcal{F} 的 \mathcal{P}(\Omega) 是一个 \sigma-代数结束 \Omega 如果 1) \Omega \in \mathcal{F}; 2) \mathcal{F} 通过互补性稳定：对于任何 A \in \mathcal{F} ，我们有 A^c \in \mathcal{F} ， 在哪里 A^c 表示的补码 A 在 \Omega: A^c=\Omega \backslash A; 3) \mathcal{F} 在可数并集下是稳定的: 对于任何元素序列 \left(A_n\right) n \in \mathbb{N} 的 \mathcal{F} ，我们有 \bigcup n \in \mathbb{N} A_n \in \mathcal{F}. 一个元素 \sigma-代数称为事件。 示例 1.1.- 集合 \mathcal{G}=\emptyset, \Omega 是一个 \sigma-代数并且也是最小的 \sigma-代数结束 \Omega; 它被称为琐碎的 \sigma-代数。的确， \mathcal{G} 实际上 是一个 \sigma-代数因为 \Omega \in \mathcal{G}, \emptyset^c=\Omega \in \mathcal{G}, \Omega^c=\emptyset \in \mathcal{G}, \Omega \cup \emptyset=\Omega \in \mathcal{G} 并通过创建联盟 \emptyset 和 \Omega 我们总是得到 \emptyset \in \mathcal{G} 或者 \Omega \in \mathcal{G}. 此外，对于任何其他 \sigma-代数 \mathcal{F} ，我们显然有 \mathcal{G} \subset \mathcal{F}. 示例 1.2.- 集合 \mathcal{P}(\Omega) 是最大的 \sigma-代数结束 \Omega; 它被称为最大的 \sigma-代数。确实，通过构造， \mathcal{P}(\Omega) 包含的所有子集 \Omega ，因此它特别包含 \Omega 它通过互补和可数联合而稳定。此外，任何其他 \sigma-代数 \mathcal{F} 超过 \Omega 明确包含在 \mathcal{P}(\Omega). 定义 1.2.- 让 \Omega 是一个非空集并且 \mathcal{F} 是一个 \sigma-代数结束 \Omega. 夫妇 (\Omega, \mathcal{F}) 称为概率空间。 在的基本属性中 \sigma-代数，我们可以通过任何交叉点 (可数或不可数) 引用稳定性。 命题 1.1.- 的任何交集 \sigma – 集合上的代数 \Omega 是一个 \sigma-代数结束 \Omega. 证明.- 让 (\mathcal{F} i) i \in I 是任何家庭 \sigma-由非空集索引的代数 I. 因此，一一首先，对于任何 i, \Omega \in \mathcal{F} i ，因此 \Omega \in \cap i \in I \mathcal{F}_i • 其次，如果 A \in \cap_{i \in I} \mathcal{F} i, 那么对于任何 i, A \in \mathcal{F}_i. 因为这些是 \sigma-代数，我们有任何 i, A^c \in \mathcal{F}_i ，因此 A^c \in \cap i \in I \mathcal{F}_i ; ## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Probabilities 概率测度或概率分布是总质量等于 1 的有限测度。 定义 1.7.-概率或概率测度，或概率定律或概率空间分布 (\Omega, \mathcal{F}) 是总质量等于 1 的度量。换句话说，概率超过 (\Omega, \mathcal{F}) 是一个映射 \mathbb{P}: \mathcal{F} \longrightarrow \mathbb{R} 这样一一对于任何 A \in \mathcal{F}, \mathbb{P}(A) \geq 0 ， -\mathbb{P}(\Omega)=1 • 对于任何成对不相交的事件序列 \mathcal{F} ，表示为 \left(A_n\right) n \in \mathbb{N} ， 我们有 \mathbb{P}\left(\bigcup n=0^{+\infty} A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}\left(A_n\right). 三胞胎 (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) 则称为概率空间。 示例 1.7. -\Omega 被陚予了粗糙 \sigma- 代数 \mathcal{F}=\emptyset, \Omega. 因此，单一概率测度 (\Omega, \mathcal{F}) 由以下公式给出: \ \$$
Imath{P}: A \in \mathcal{F}\longmapsto\math ${P}(A)=\backslash l$ eft {
1 if $A=\Omega 0$ if $A=\emptyset$.
佂确的。
EXAMPLE1.8. – Let $\$ \Omega=[0,1] \$a n d \$ \mathcal{F}=\mathcal{B}([0,1])$\$betheBorel $\$ \sigma \$$-algebraof \[0,1] \$$.
Imathbb ${P}: A$ in $\backslash m a t h c a \mid{F} \backslash 0$ ongmapsto $\backslash a m b d a(A)$ $\$ \$$是概率测度 (\Omega, \mathcal{F}). 统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。 ## 金融工程代写 金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。 ## 非参数统计代写 非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。 ## 广义线性模型代考 广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。 术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。 ## 有限元方法代写 有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。 有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。 tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。 ## 随机分析代写 随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。 ## 时间序列分析代写 随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。 ## 回归分析代写 多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 ## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MATH300 如果你也在 怎样代写离散数学discrete mathematics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。 离散数学是研究可以被认为是 “离散”（类似于离散变量，与自然数集有偏射）而不是 “连续”（类似于连续函数）的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下，离散数学不包括 “连续数学 “中的课题，如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举；更正式地说，离散数学被定性为处理可数集的数学分支（有限集或与自然数具有相同心数的集）。然而，”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。 statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写离散数学discrete mathematics方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写离散数学discrete mathematics代写方面经验极为丰富，各种代写离散数学discrete mathematics相关的作业也就用不着说。 我们提供的离散数学discrete mathematics及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于: • Statistical Inference 统计推断 • Statistical Computing 统计计算 • Advanced Probability Theory 高等概率论 • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学 • (Generalized) Linear Models 广义线性模型 • Statistical Machine Learning 统计机器学习 • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析 • Foundations of Data Science 数据科学基础 ## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Quantifiers Consider the following example: All apples are red. This can be understood as “for any x, if x is an apple, then x is red”. If we denote A(x): x is an apple and R(x): x is red, then we can write the above statement as$$
(x)(A(x) \rightarrow R(x)) .
$$Here (x) is called “Universal Quantifier”. We use universal quantifier for those statements of the form “All P are Q “. Now, consider the following example: Some men are clever. This can be written as “There exists x; if x is a man, then he is clever”. If we denote M(x): x is a man and C(x): x is clever, then we can write the above statement as$$
(\exists x)(M(x) \wedge C(x)) .
$$Here (\exists x) is called “Existential Quantifier”. Existential quantifier is used for those statements which are of the form “Some P are Q “. ## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Universe of Discourse, Free and Bound Variables Consider the following statement: All men are giants. This can be symbolically written as$$
(x)(M(x) \rightarrow G(x))
$$where M(x): x is a man and G(x): x is giant. In the above example, if we restrict the class as the class of men, then the symbolic representation will be (x) G(x). Such a restricted class is called “Universe of Discourse”. In any formula, the part containing (x) P(x) or \exists x P(x) is called the x bound part of the formula. Any variable appearing in an x bound part of the formula is called bound variable. Otherwise, it is called free. Any formula immediately following (x) or (\exists x) is called the scope of the quantifier. Example:$$
\text { (x) } P(x) \wedge Q(x)
$$In this, all x in P(x) is bound, whereas the x in Q(x) is free. The scope of (x) is P(x). ## 离散数学代写 ## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Quantifiers 考虑以下示例: 所有苹果都是红色的。这可以理解为“对于任何 x ，如果 x 是一个苹果，那么 x 是红色的”。 如果我们表示 A(x): x 是一个苹果和 R(x): x 是红色的，那么我们可以把上面的语句写成$$
(x)(A(x) \rightarrow R(x)) .
$$这里 (x) 被称为”通用量词”。我们对形式为”所有”的陈述使用全称量词 P 是 Q^{\prime \prime} 。 现在，考虑以下示例: 有些人很聪明。这可以写成”存在 x; 如果 x 是人，则聪明”。 如果我们表示 M(x): x 是一个男人并且 C(x): x 很聪明，那么我们可以把上面的语句写成$$
(\exists x)(M(x) \wedge C(x)) .
$$这里 (\exists x) 被称为”存在量词”。存在量词用于那些形式为”一些 P 是 Q “. ## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Universe of Discourse, Free and Bound Variables 考虑以下陈述: 所有人都是巨人。这可以象征性地写成$$
(x)(M(x) \rightarrow G(x))
$$在哪里 M(x): x 是一个男人并且 G(x): x 是巨大的。 在上面的例子中，如果我们将类别限制为男性类别，那么符号表示将是 (x) G(x). 这样一个受限制的类被称为 “话语的宇宙”。 在任何公式中，包含的部分 (x) P(x) 或者 \exists x P(x) 被称为 x 公式的绑定部分。任何变量出现在 x 公式的绑定部分 称为绑定变量。否则，它被称为免费。紧随其后的任何公式 (x) 或者 (\exists x) 称为量词的范围。 例子:$$
\text { (x) } P(x) \wedge Q(x)


## 有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。