分类: 离散数学作业代写

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Math1030Q

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离散数学是研究可以被认为是 “离散”(类似于离散变量,与自然数集有偏射)而不是 “连续”(类似于连续函数)的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下,离散数学不包括 “连续数学 “中的课题,如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举;更正式地说,离散数学被定性为处理可数集的数学分支(有限集或与自然数具有相同心数的集)。然而,”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。

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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Math1030Q

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Permutations and Combinations

A permutation is an arrangement of a given number of objects, by taking some or all of them at a time. A combination is a selection of a number of objects where the order of the selection is unimportant. Permutations and combinations are defined in terms of the factorial function, which was defined in Chap. 4.
Principles of Counting
(a) Suppose one operation has $m$ possible outcomes and a second operation has $n$ possible outcomes, then the total number of possible outcomes when performing the first operation followed by the second operation is $m \times n$ (Product Kule).
(b) Suppose one operation has $m$ possible outcomes and a second operation has $n$ possible outcomes, then the total number of possible outcomes of the first operation or the second operation is given by $m+n$ (Sum Rule).
Example (Counting Principle $(a)$ )
Suppose a dice is thrown and a coin is then tossed. How many different outcomes are there and what are they?
Solution
There are six possible outcomes from a throw of the dice, $1,2,3,4,5$ or 6 , and there are two possible outcomes from the toss of a coin, $\mathrm{H}$ or $\mathrm{T}$. Therefore, the total number of outcomes is determined from the product rule as $6 \times 2=12$. The outcomes are given by
$$
(1, \mathrm{H}),(2, \mathrm{H}),(3, \mathrm{H}),(4, \mathrm{H}),(5, \mathrm{H}),(6, \mathrm{H}),(1, \mathrm{~T}),(2, \mathrm{~T}),(3, \mathrm{~T}),(4, \mathrm{~T}),(5, \mathrm{~T}),(6, \mathrm{~T}) .
$$
Example (Counting Principle $(b)$ )
Suppose a dice is thrown and if the number is even a coin is tossed and if it is odd then there is a second throw of the dice. How many different outcomes are there?

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Algebra

Algebra is the branch of mathematics that uses letters in the place of numbers, where the letters stand for variables or constants that are used in mathematical expressions. Algebra is the study of such mathematical symbols and the rules for manipulating them, and it is a powerful tool for problem-solving in science and engineering.

The origins of algebra are in the work done by Islamic mathematicians during the Golden age in Islamic civilization, and the word ‘algebra’ comes from the Arabic term ‘al-jabr’, which appears as part of the title of a book by the Islamic mathematician, Al-Khwarizmi, in the ninth century A.D. The third century A.D. Hellenistic mathematician, Diophantus, also did early work on algebra, and we mentioned in Chap. 1 that the Babylonians employed an early form of algebra.
Algebra covers many areas such as elementary algebra, linear algebra and abstract algebra. Elementary algebra includes the study of symbols and rules for manipulating them to form valid mathematical expressions, simultaneous equations, quadratic equations, polynomials, indices and logarithms. Linear algebra is concerned with the solution of a set of linear equations, and includes the study of matrices (see Chap. 8) and vectors. Abstract algebra is concerned with the study of abstract algebraic structures such as monoids, groups, rings, integral domains, fields and vector spaces.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Math1030Q

离散数学代写

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|排列与组合

.


排列是对给定数量的对象的排列,一次取一些或全部对象。组合是对许多对象的选择,其中选择的顺序不重要。排列和组合是根据阶乘函数定义的,这是在第4章中定义的。
计数原理
(a)假设一个操作有 $m$ 可能的结果和第二次手术 $n$ 可能的结果,那么执行第一个操作和第二个操作时可能的结果总数为 $m \times n$ (Product Kule).
(b)假设一个操作有 $m$ 可能的结果和第二次手术 $n$ 可能的结果,那么第一个操作或第二个操作可能的结果的总数由 $m+n$ (求和规则)。
示例(计数原理 $(a)$ 假设扔一个骰子,然后扔一枚硬币。有多少种不同的结果,它们是什么?

掷骰子有六种可能的结果, $1,2,3,4,5$ 或者6,抛硬币有两种可能的结果, $\mathrm{H}$ 或 $\mathrm{T}$。因此,结果的总数由乘积法则确定为 $6 \times 2=12$。结果由
给出$$
(1, \mathrm{H}),(2, \mathrm{H}),(3, \mathrm{H}),(4, \mathrm{H}),(5, \mathrm{H}),(6, \mathrm{H}),(1, \mathrm{~T}),(2, \mathrm{~T}),(3, \mathrm{~T}),(4, \mathrm{~T}),(5, \mathrm{~T}),(6, \mathrm{~T}) .
$$
示例(计数原理 $(b)$ 假设扔一个骰子,如果数字是偶数,扔一枚硬币,如果是奇数,那么再扔一次骰子。有多少种不同的结果?

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Algebra


代数是数学的一个分支,它用字母来代替数字,这些字母代表数学表达式中使用的变量或常数。代数就是研究这些数学符号和操作它们的规则,它是科学和工程中解决问题的有力工具


代数的起源是在伊斯兰文明黄金时代的伊斯兰数学家所做的工作,而“代数”一词来自阿拉伯语的“al-jabr”,它出现在公元9世纪的伊斯兰数学家Al-Khwarizmi的一本书的书名中。公元3世纪的希腊数学家Diophantus也对代数进行了早期的研究,我们在第一章中提到巴比伦人使用了一种早期的代数形式。代数涵盖了初等代数、线性代数和抽象代数等许多领域。初级代数包括对符号及其操作规则的研究,以形成有效的数学表达式、联立方程、二次方程、多项式、指数和对数。线性代数涉及一组线性方程的求解,包括矩阵(见第8章)和向量的研究。抽象代数关注的是抽象代数结构的研究,如一元、群、环、积分域、场和向量空间

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
EXCEL代写深度学习代写
SQL代写各种数据建模与可视化代写

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MATH200

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离散数学是研究可以被认为是 “离散”(类似于离散变量,与自然数集有偏射)而不是 “连续”(类似于连续函数)的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下,离散数学不包括 “连续数学 “中的课题,如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举;更正式地说,离散数学被定性为处理可数集的数学分支(有限集或与自然数具有相同心数的集)。然而,”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。

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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MATH200

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Simple and Compound Interest

Savers receive interest on placing deposits at the bank for a period of time, whereas lenders pay interest on their loans to the bank. We distinguish between simple and compound interest, where simple interest is always calculated on the original principal, whereas for compound interest, the interest is added to the principal sum, so that interest is also earned on the added interest for the next compounding period.
For example, if Euro 1000 is placed on deposit at a bank with an interest rate of $10 \%$ per annum for 2 years, it would earn a total of Euro 200 in simple interest. The interest amount is calculated by
$$
\frac{1000 * 10 * 2}{100}=\text { Euro } 200 .
$$
The general formula for calculating simple interest on principal $P$, at a rate of interest $I$, and for time $T$ (in years:), is
$$
A=\frac{P \times I \times T}{100} .
$$
The calculation of compound interest is more complicated as may be seen from the following example.
Example (Compound Interest)
Calculate the interest earned and what the new principal will be on Euro 1000 , which is placed on deposit at a bank, with an interest rate of $10 \%$ per annum (compound) for 3 years.
Solution
At the end of year 1, Euro 100 of interest is earned, and this is capitalized making the new principal at the start of year 2 Euro 1100. At the end of year 2, Euro 110 is earned in interest, making the new principal at the start of year 3 Euro 1210. Finally, at the end of year 3, a further Euro 121 is earned in interest, and so the new principal is Euro 1331 and the total interest earned for the 3 years is the sum of the interest earned for each year (i.e. Euro 331). This may be seen from Table 5.1.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Time Value of Money and Annuities

The time value of money discusses the concept that the earlier that cash is received the greater value it has to the recipient. Similarly, the later that a cash payment is made, the lower its value to the recipient, and the lower its cost to the payer.
This is clear if we consider the example of a person who receives $\$ 1000$ now and a person who receives $\$ 10005$ years from now. The person who receives $\$ 1000$ now is able to invest it and to receive annual interest on the principal, whereas the other person who receives $\$ 1000$ in 5 years earns no interest during the period. Further, the inflation during the period means that the purchasing power of $\$ 1000$ is less in 5 years time is less than it is today.

We presented the general formula for what the future value of a principal $P$ invested for $n$ years at a compound rate $r$ of interest is $A=P(1+r)^n$. We can determine the present value of an amount $A$ received in $n$ years time at a discount rate $r$ by
$$
P=\frac{A}{(1+r)^n}
$$ An annuity is a series of equal cash payments made at regular intervals over a period of time, and so there is a need to calculate the present value of the series of payments made over the period. The actual method of calculation is clear from Table 5.2.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MATH200

离散数学代写

数学代写|离散数学作业代写离散数学代考|单利和复利


储蓄者在银行存入一段时间就能获得利息,而出借人则要向银行支付贷款的利息。我们区分单利和复利,其中单利总是按原始本金计算,而复利则是将利息加到本金总额中,这样就可以在下一个复利期间从增加的利息中获得利息。例如,如果1000欧元存入一家银行,利率是 $10 \%$ 两年,它将获得200欧元的单利收益。利息金额由
计算$$
\frac{1000 * 10 * 2}{100}=\text { Euro } 200 .
$$
计算本金单利的一般公式 $P$,以利率计算 $I$,为了时间 $T$ (以年为单位:),是
$$
A=\frac{P \times I \times T}{100} .
$$复利的计算更复杂,从下面的例子可以看出。
示例(复利)
计算获得的利息和1000欧元的新本金是多少,这是存在银行的存款,利率为 $10 \%$ 每年(复利),为期三年。在第1年年底,100欧元的利息赚了,这是资本化的,使第二年年初的新本金1100欧元。第二年年底,110欧元的利息收入,第三年年初的新本金为1210欧元。最后,在第三年年底,又获得了121欧元的利息,所以新的本金是1331欧元,3年的总利息是每年的利息的总和(即331欧元)。这可以从表5.1中看出

数学代写|离散数学作业代写离散数学代考|货币和年金的时间价值


货币的时间价值讨论的概念是,现金越早收到,它对接受者的价值就越大。同样,现金支付的时间越晚,它对接受者的价值就越低,对支付人的成本就越低。如果我们考虑这样一个例子:一个人现在收到$\$ 1000$,而另一个人多年后收到$\$ 10005$。现在收到$\$ 1000$的人可以投资并获得本金的年利息,而另一个在5年后收到$\$ 1000$的人在此期间没有利息。此外,这一时期的通货膨胀意味着5年后$\$ 1000$的购买力比今天要低。


我们提出了一般公式来计算投资$n$年的本金的未来价值$P$以复利率投资$r$的利率是$A=P(1+r)^n$。我们可以通过
$$
P=\frac{A}{(1+r)^n}
$$来确定$A$在$n$年的时间内以贴现率$r$收到的金额的现值。年金是在一段时间内定期支付的一系列等额现金,因此有必要计算在这段时间内支付的一系列现金的现值。实际的计算方法见表5.2

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金融工程代写

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|CS3653

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  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|CS3653

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|RECURSIVE DEFINITIONS

The definition of the factorial function can be written as
$$
n !=n \times(n-1) ! .
$$
Such a definition is called recursive because at the second step, it returns to the same definition, but with a smaller value of the parameter. Indeed, we compute the $n$-factorial through the $(n-1)$-factorial. Recursive definitions are often used in computer science and mathematics. As another example, let us consider a recursive definition of integer powers $\operatorname{pow}(a, n), a \neq 0$, that can be defined for any natural $n$ as pow $(a, 0)=1$ and $\operatorname{pow}(a, n+1)=a \times \operatorname{pow}(a, n)$.

The definitions of well-known arithmetic and geometric progressions (sequences), namely,
$$
a_{n+1}=a_{n}+d,
$$
where $a_{0}$ is the initial term and $d$, called the difference, are given numbers, and
$$
a_{n+1}=a_{n} \times q ; a_{0} \text { and } q \text { are given, }
$$
are also recursive definitions.
Problem 15 List the first five terms of the arithmetic progression with the first term $a_{0}=1$ and the difference $d=-2$. Prove that the terms of any arithmetic progression satisfy $2 a_{n+1}=a_{n}+a_{n+2}$
$$
\begin{gathered}
a_{n+k}=a_{n}+k \cdot d \
\sum_{k=0}^{r} a_{n+k}=(r+1) a_{n}+\frac{1}{2} r(r+1) d .
\end{gathered}
$$

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|ELEMENTARY FUNCTIONS

The next few pages contain a very brief survey of the basic elementary functions ${ }^{5}$ – Power, Exponential, Logarithmic, and Trigonometric Functions. If the reader is familiar with that material, she can safely skip it and go to the next lecture. However, we know from the experience that many students, especially at the community colleges, know (if any) this stuff insufficiently, that is why it is included here.

Consider a quadratic equation $x^{2}=3$. It has two real roots, $\pm \sqrt{3}$. A similar equation $x^{2}=-3$ has no real solution, but if we consider it over the larger set of complex numbers, the equation has two roots. The reason for that is that the map $y=x^{2}$ for real $x$ is not a surjection, that is, given a $y$, we not always can return to $x$. This is a very common problem, and we address it now.

First, we consider bijective maps and let $f: X \rightarrow Y$ be bijective. This means that for every element $y \in Y$ there exists one and only one element $x=x_{y} \in X$ such that $y=f(x)$. Now we construct the map $g: Y \rightarrow X$ as follows. For every $y \in Y$ we set $g(y)=x_{y}$, where $x_{y}$ has been just defined. Since the element $y_{x}$ was defined uniquely, we uniquely defined the map $g: Y \rightarrow X$. By our construction, the map $g$ has the following properties.
The domain of $g$ is $Y$ and the co-domain is $X$. For each $x \in X$,$g \circ f(x)=g(f(x))=g(y)=x$ and $f \circ g(y)=f(g(y))=f\left(x_{y}\right)=y$,
therefore,
$$
g \circ f=I_{X} \text { and } f \circ g=I_{\gamma} .
$$

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|CS3653

离散数学代写

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考| RECURSIVE DEFINITIONS

阶乘函数的定义可以写成
$$
n !=n \times(n-1) !
$$
这样的定义称为递归,因为在第二步中,它返回到相同的定义,但参数值较小。事实上,我们计算 $n$-阶乘通过 $(n-1)$-阶乘。递归定义通常用于计算机科学和数学。作为另一个例子,让我们考虑整数幂的递归定义。 pow $(a, n), a \neq 0$ ,可以定义任何自然 $n$ 作为战俘 $(a, 0)=1$ 和pow $(a, n+1)=a \times \operatorname{pow}(a, n)$.
众所周知的算术和几何级数(序列)的定义,即,
$$
a_{n+1}=a_{n}+d
$$
哪里 $a_{0}$ 是初始术语,并且 $d$ ,称为差值,被给定数字,以及
$$
a_{n+1}=a_{n} \times q ; a_{0} \text { and } q \text { are given, }
$$
也是递归定义。
问题 15 将算术级数的前五项与第一项一起列出 $a_{0}=1$ 和区别 $d=-2$. 证明任何算术级数的项满足 $2 a_{n+1}=a_{n}+a_{n+2}$
$$
a_{n+k}=a_{n}+k \cdot d \sum_{k=0}^{r} a_{n+k}=(r+1) a_{n}+\frac{1}{2} r(r+1) d
$$

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考| ELEMENTARY FUNCTIONS

接下来的几页包含对基本基本函数的非常简短的调查 5 – 幕函数、指数函数、对数函数和三角函数。如果读者熟 悉该材料,她可以安全地跳过它并转到下一个讲座。然而,我们从经验中知道,许多学生,特别是在社区大学, 对这些东西 (如果有的话) 知之甚少,这就是为什么它被包括在这里。
考虑二次方程 $x^{2}=3$. 它有两个真正的根源, $\pm \sqrt{3}$. 类似的等式 $x^{2}=-3$ 没有真正的解,但是如果我们在更大 的复数集上考虑它,那么方程有两个根。原因是地图 $y=x^{2}$ 真实 $x$ 不是一个 surjection,也就是说,给定一个 $y$ ,我们并不总是能回到 $x$.这是一个非常普遍的问题,我们现在就解决它。
首先,我们考虑双射映射并让 $f: X \rightarrow Y$ 是双射的。这意味着对于每个元素 $y \in Y$ 存在一个且只有一个元素 $x=x_{y} \in X$ 使得 $y=f(x)$. 现在我们构建地图 $g: Y \rightarrow X$ 如下。对于每个 $y \in Y$ 我们设置 $g(y)=x_{y}$ 哪里 $x_{y}$ 刚刚定义。由于元素 $y_{x}$ 被唯一地定义,我们唯一地定义了地图 $g: Y \rightarrow X$. 通过我们的结构,地图 $g$ 具有以下 属性。
的领域 $g$ 是 $Y$ 并且共域是 $X$. 对于每个 $x \in X, g \circ f(x)=g(f(x))=g(y)=x$ 和 $f \circ g(y)=f(g(y))=f\left(x_{y}\right)=y$ 因此
$$
g \circ f=I_{X} \text { and } f \circ g=I_{\gamma} .
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Math 1030Q

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离散数学是研究可以被认为是 “离散”(类似于离散变量,与自然数集有偏射)而不是 “连续”(类似于连续函数)的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下,离散数学不包括 “连续数学 “中的课题,如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举;更正式地说,离散数学被定性为处理可数集的数学分支(有限集或与自然数具有相同心数的集)。然而,”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。

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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Math 1030Q

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|The Axiom of Mathematical Induction

The Axiom of Mathematical Induction in equivalent form. Let $S$ be some set of natural numbers. Let $0 \in S$ and if some natural number $k \in S$, then also the following natural number $k+1 \in S$. Then $S$ is the set of all natural numbers ${0,1,2, \ldots}$.

Problem 8 Prove that in every problem above one can apply any of the equivalent forms of the axiom of induction.

Problem 9 Prove that $n-3$ diagonals divide an $n$ – gon, that is, the polygon with $n$ sides (not necessarily convex) into $n-2$ parts.

Proof. It is convenient in this problem to start at $n=3$. Thus, a polygon is a triangle, which has no diagonal, and consists of $3-2=1$ part, that establishes the basis of induction. Now assume that for all the $k-$ gons the statement is true, and consider any polygon $P$ with $k+l$ sides. Any its diagonal $d$ splits $P$ into two smaller polygons with a $k_{1}$ and a $k_{2}$ sides, respectively, where $k_{1}+k_{2}$ counts $d$ twice. Thus, $k_{1}+k_{2}=k+1-1=k$. On the other hand, the total number of parts is $k_{1}-1+k_{2}-1+1=k_{1}+k_{2}-1=k-1=(k+1)-2$.
The following example shows that the induction can be employed to prove inequalities as well.
Problem 10 Prove that $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}$.
Problem 11 The next is called The Strong Mathematical Induction Principle. Let $S$ be some set of natural numbers and $0 \in S$. Moreover, if for any natural number $k$, the natural numbers $0,1,2, \ldots, k-1, k \in S$, then also the following natural number $k+1 \in S$. Then $S$ is the set of all natural numbers ${0,1,2, \ldots}$.
The assumptions here seem to be stronger than in the standard principle above, since we assume something not only about $k$, but also about all smaller natural numbers $j \leq k$. Thus the statement looks weaker. But both principles are equivalent.

Indeed, prove that the Strong Principle of Mathematical Induction is equivalen to the Principle of Mulheтulical Induction in stundurl form.
The natural numbers satisfy the Axiom of Mathematical Induction. Moreover, they have a more general property, the Well-Ordering Principle; it considered in more detail, for example, in [31, p. 20].

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|FACTORIALS AND THE STIRLING FORMULA

In the previous computation, we had to multiply consecutive natural numbers. This procedure occurs so often that it deserved its own name and symbol.

Definition 2 The product of $n$ consecutive natural numbers from 1 through $n$ inclusive is called the $n$ factorial and is denoted as $n !$.

For example, $1 !=1,2 !=2 \times 1=2,3 !=3 \times 2 \times 1=6$; if $k<n$, then $\frac{n !}{k !}=(k+1)(k+2) \cdots n$. If we want to preserve this property for $k=0$, it is natural to define $0 !=1$.

The symbol $n$ ! does not look very impressive for small $n$ but let us study it more carefully. Already $10 !=3,628,800$, and we observe that the factorials grow very fast. James Stirling (1692-1770), the younger contemporary of Newton (1643-1727), showed the asymptotic formula to be proved in Lemma 2,
$$
n ! \approx\left(\frac{n}{e}\right)^{n} \sqrt{2 \pi n}, n \rightarrow \infty
$$
The letter $e$ is a standard symbol for the famous real number $e \approx 2.7$, which will be discussed below. The symbol $\approx$ and name here mean that the ratio of the left- and right-hand sides of the formula tend to 1 as $n \rightarrow \infty$. This formula, without the precise value of the constant, was known to Abraham de Moivre (1667-1754) even before Stirling.

Problem 12 Approximate 10 ! by formula (1.4) and compare with the exact value given above.

Solution. By Stirling’s formula, $10 ! \approx 3.6 \times 10^{6}$, with the relative error less than $1 \%$. If $n$ is increasing, the relative error is even smaller.

Problem 13 Compute $\frac{(n+1) !}{(n-1) !}$. For what natural numbers is this expression defined?
Solution. For $n-1 \geq 0$, hence $n \geq 1$.
Problem 14 How many digits are in the number $100 !$ ?

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Math 1030Q

离散数学代写

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考| The Axiom of Mathematical Induction

等价形式的数学归纳公理。让 $S$ 是一组自然数。让 $0 \in S$ 如果一些自然数 $k \in S$ ,则还有以下自然数 $k+1 \in S$ .然后 $S$ 是所有自然数的集合 $0,1,2, \ldots \cdot$
问题8 证明在上面的每一个问题中,都可以应用归纳公理的任何等价形式。
问题 9 证明 $n-3$ 对角线将 $n$ – gon,即具有 $n$ 侧面 (不一定凸起) 成 $n-2$ 部件。
证明。在这个问题中方便从 $n=3$. 因此,多边形是一个三角形,它没有对角线,并且由 $3-2=1$ 部分,它建 立了归纳的基础。现在假设对于所有 $k$-如果该语句为真,请考虑任何多边形 $P$ 跟 $k+l$ 双方。任何其对角线 $d$ 分 裂 $P$ 成两个较小的多边形,带有 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 边,分别,其中 $k_{1}+k_{2}$ 计数 $d$ 两次。因此 $k_{1}+k_{2}=k+1-1=k$. 另一方面,零件总数为 $k_{1}-1+k_{2}-1+1=k_{1}+k_{2}-1=k-1=(k+1)-2$.
下面的示例表明,归纳也可用于证明不等式。
问题 10 证明 $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}$.
问题11下一个叫做强数学归纳原理。让 $S$ 是一组自然数和 $0 \in S$. 此外,如果对于任何自然数 $k$ ,自然数 $0,1,2, \ldots, k-1, k \in S$ ,则还有以下自然数 $k+1 \in S$. 然后 $S$ 是所有自然数的集合 $0,1,2, \ldots$
这里的假设似乎比上面的标准原则更强,因为我们假设的不仅仅是关于 $k$ ,但也关于所有较小的自然数 $j \leq k$. 因 此,该语句看起来更弱。但这两个原则是等同的。
事实上,证明数学归纳的强原理在stundurl形式上等同于多赫逻辑归纳原理。
自然数满足数学归纳公理。此外,它们具有更一般的属性,即良序原理例如,在[31,第20页]中,它更详细地 考虑了这个问题。

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考| FACTORIALS AND THE STIRLING FORMULA

在之前的计算中,我们必须将连续的自然数相乘。这个过程经常发生,以至于它应该有自己的名称和符号。
定义 $2 n$ 从 1 到 1 的连续自然数 $n$ 包容性称为 $n$ 阶乘,表示为 $n !$.
例如 $1 !=1,2 !=2 \times 1=2,3 !=3 \times 2 \times 1=6$;如果 $k<n$ 然后 $\frac{n !}{k !}=(k+1)(k+2) \cdots n$. 如果我们 想保留此属性 $k=0$ ,很自然地定义 $0 !=1$.
符号 $n !$ 对于小来说看起来不是很令人印象深刻 $n$ 但让我们更仔细地研究它。已经 $10 !=3,628,800$ ,我们观察 到阶乘增长非常快。㢇姆斯·斯特林 James Stirling,1692-1770),牛顿 (1643-1727) 的年轻同时代人,展 示了在引理2中证明的渐近公式,
$$
n ! \approx\left(\frac{n}{e}\right)^{n} \sqrt{2 \pi n}, n \rightarrow \infty
$$
这封信 $e$ 是著名实数的标准符号 $e \approx 2.7$ ,下面将对此进行讨论。符号 $\approx$ 和此处的名称意味着公式的左侧和右侧 的比率趋向于 $1 n \rightarrow \infty$.这个公式没有常数的精确值,甚至在斯特林之前就已经知道了亚伯拉罕·德·莫伊夫雷 (1667-1754) 。
问题 12 大约 10!通过公式 (1.4) 并与上面给出的确切值进行比较。
溶液。根据斯特林公式, $10 ! \approx 3.6 \times 10^{6}$ ,相对误差小于 $1 \%$.如果 $n$ 正在增加,相对误差甚至更小。
问题 13 计算 $\frac{(n+1) !}{(n-1) !}$. 伩个表达式定义什么自然数?
溶液。为 $n-1 \geq 0$ 因此 $n \geq 1$.
问题 14 数字中有多少位数字 $100 ! ?$

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MATH 200

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离散数学是研究可以被认为是 “离散”(类似于离散变量,与自然数集有偏射)而不是 “连续”(类似于连续函数)的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下,离散数学不包括 “连续数学 “中的课题,如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举;更正式地说,离散数学被定性为处理可数集的数学分支(有限集或与自然数具有相同心数的集)。然而,”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。

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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MATHEMATICAL INDUCTION

The Principle, or Axiom, or Postulate of Mathematical Induction, is one of the cornerstones of any mathematical reasoning and, in particular, of our course. It is claimed that the outstanding mathematician Leopold Kronecker (1823-1891) said that “God created natural numbers, all else is humans’ business.” As with any trivial truth, it can be wrong. Indeed, many thousand years ago, together with learning to talk, people started to count, and eventually, the names for small numbers had appeared, like “one,” “two,” “three,” etc., different for various languages. Moreover, we know, for example, from observations of Russian ethnographer and traveler Nikolas Miklukho-Maklai (1846-1888) over the indigenous people of Papua-New Guinea, that people had initially developed several specialized versions of the word “one,” such that the phrase “one tree” sounded initially differently than “one boat,” or than “one kid.” Only gradually, during millennia, those various versions of “one something” merged in the abstract word “one,” which means the natural number without any specific meaning attached.

During the centuries, arithmetic has been developed together with the human society, and now there is the highly sophisticated mathematical discipline, the Number Theory, which studies, in particular, the properties of the natural numbers ${ }^{1}{0,1,2,3, \ldots}$, of the (positive, negative, and zero) integers ${\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, \ldots}$, of the prime numbers, etc. We accept as the known facts that the natural numbers and the integers satisfy the four standard arithmetic operations. In particular, if any three integers are connected as $a=b \times c$, which can be written as $a=b \cdot c$, then the integers $b$ and $c$ are called factors or multipliers, and $a$ is called the product. If we rewrite the equation as $a \div b=c$, then $a$ is called the dividend, $b$ the divisor, and $c$ the quotient. It is also said that $b$ (and $c$ as well) divides $a$, or that $a$ is divisible by $b$ and by $c$, or that $b($ and $c)$ divides into $a$.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|The Axiom of Mathematical Induction

The Axiom of Mathematical Induction. Consider a set of statements, maybe formulas $S_{n_{1}}, S_{n_{1}+1}, S_{n_{1}+2}, \ldots$, numbered by all sufficiently large integers $n \geq n_{1}$. Usually $n_{1}=1$ or $n_{1}=0$, but it can be any integer. The statement $S_{n}$ is called the Induction Hypothesis or Inductive Assumption.
(1) First, suppose that the statement $S_{n_{1}}$, called the basis step of induction, or just the base is valid. In applications of the method of mathematical induction, the verification of the basic step is an independent problem. In some problems, this step may be trivial, but it can never be skipped altogether.
(2) Second, suppose that for each integer $n \geq n_{1}$, that is, bigger than or equal to the basis value, we can prove a conditional statement $S_{n} \Rightarrow S_{n+1}$, that is, we can prove the validity of the hypothesis $S_{n+1}$ for each specified natural $n>n_{1}$ assuming the validity of $S_{n}$, and this conditional statement is valid for all natural $n \geq n_{1}$. This part of the method is called the inductive step.
(3) If we can independently show these two steps, then the Principle of Mathematical Induction claims that all infinitely many of the statements $S_{n}$, for all integer $n \geq n_{1}$ are valid.

This method of proof is accepted as an axiom because nobody can actually verify infinitely many statements $S_{n}, n \geq n_{1}$; the method cannot be justified without using some other, maybe even less intuitively obvious, properties of the set of natural numbers. Mathematicians have been using this principle for centuries and never arrived at a contradiction. Therefore, we accept the method of mathematical induction without a proof, as a postulate, and believe that this principle properly expresses a certain fundamental property of the infinite set $\mathcal{N}$ of natural numbers.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MATH 200

离散数学代写

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考| MATHEMATICAL INDUCTION

原理,或公理,或数学归纳的假设,是任何数学推理的基石之一,特别是我们课程的基石。据称,杰出的数学家利奥波德·克罗内克(Leopold Kronecker,1823-1891)说过:“上帝创造了自然数,其他一切都是人类的事。与任何琐碎的真理一样,它可能是错误的。的确,几千年前,随着学习说话,人们开始数数,最终,小数字的名称出现了,如“一”,“二”,“三”等,对于各种语言来说不同。此外,例如,从俄罗斯民族志学家和旅行家尼古拉斯·米克卢霍-马克莱(Nikolas Miklukho-Maklai,1846-1888 年)对巴布亚新几内亚原住民的观察中,我们知道,人们最初已经发展出“一棵树”这个词的几个专门版本,以至于“一棵树”这个词最初听起来与“一艘船”或“一个孩子”不同。只是在几千年的时间里,那些不同版本的“一个东西”合并在抽象的单词“一”中,这意味着没有任何特定含义的自然数。

几个世纪以来,算术与人类社会一起发展,现在有高度复杂的数学学科,数论,它特别研究自然数的性质。10,1,2,3,…,(正、负和零)整数…,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,…,质数等我们接受自然数和整数满足四个标准算术运算的已知事实。特别是,如果任何三个整数连接为a=b×c,可以写为a=b⋅c,然后是整数b和c称为因子或乘数,以及一个称为产品。如果我们将等式重写为a÷b=c然后一个被称为股息,b除数,以及c商。也有人说b(和c以及)划分一个,或者一个可被整除b和c,或者b(和c)分为一个.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考| The Axiom of Mathematical Induction

数学归纳公理.考虑一组语句,也许是公式Sn 1,S n1+1,S n1+2,…,由所有足够大的整数编号n≥n1.通常n1=1或n1=0,但它可以是任何整数。声明Sn被称为归纳假设或归纳假设。
(1)首先,假设语句Sn1,称为归纳的基础步骤,或者只是基础是有效的。在数学归纳方法的应用中,基本步骤的验证是一个独立的问题。在某些问题中,此步骤可能微不足道,但永远不能完全跳过。
(2) 其次,假设对于每个整数n≥n1,即大于或等于基值,我们可以证明一个条件语句Sn⇒Sn+1,也就是说,我们可以证明假设的有效性Sn+1对于每个指定的自然n>n1假设Sn,并且此条件语句对所有自然有效n≥n1.该方法的这一部分称为归纳步骤。
(3)如果我们能独立地证明这两个步骤,那么数学归纳原理就声称,所有无限多的陈述Sn,对于所有整数n≥n1是有效的。

这种证明方法被接受为公理,因为没有人能真正验证无限多的陈述。S n,n≥n1;如果不使用自然数集合的其他一些甚至不那么直观的特性,就无法证明该方法的合理性。几个世纪以来,数学家一直在使用这个原理,但从未遇到过矛盾。因此,我们接受没有证明的数学归纳方法作为假设,并相信这个原理正确地表达了无限集合的某个基本性质。N自然数。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Some Graph Theory Concepts

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离散数学是研究可以被认为是 “离散”(类似于离散变量,与自然数集有偏射)而不是 “连续”(类似于连续函数)的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下,离散数学不包括 “连续数学 “中的课题,如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举;更正式地说,离散数学被定性为处理可数集的数学分支(有限集或与自然数具有相同心数的集)。然而,”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。

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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Some Graph Theory Concepts

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Graph Ramsey Numbers

The first result we present holds definitionally and is useful for translating between results couched in typical Ramsey theory language and results given in standard graph theory language. Letting $G$ be any graph, we interpret it as a 2-coloring of the edges of $K_{|G|}$ by coloring all edges in $G$ red and the remaining edges (not present in $G$ ) blue. This coloring has no red $K_{\omega(G)+1}$ and no blue $K_{\alpha(G)+1}$ by definition. This yields the following result.

Lemma 3.15. Let $G$ be any graph. Then $R(\omega(G)+1, \alpha(G)+1) \geq|G|+1$.

Applying Lemma $3.15$ with $G$ being a 5 -cycle we easily have $\omega(G)=2$ and $\alpha(G)=2$ so that $R(3,3) \geq 6$, which as we have seen is tight.

The next general result is a special case of a result of Chvátal and Harary [46]. We remind the reader that all arbitrary graphs we consider are connected.
Theorem 3.16. Let $G$ and $H$ be graphs. Then
$$
R(G, H) \geq(\chi(G)-1)(|H|-1)+1 .
$$
Proof. Let
$$
n=(\chi(G)-1)(|H|-1)
$$
We will exhibit a 2-coloring of the edges of $K_{n}$ with no red $G$ and no blue $H$, from which the inequality follows. Partition the vertices of $K_{n}$ into $\chi(G)-1$ parts of $|H|-1$ vertices each. In each part, color all edges between the $|H|-1$ vertices blue. Color the remaining edges of $K_{n}$ red. Hence, every edge between copies of $K_{|H|-1}$ is red. Clearly this coloring admits no blue $H$ as $H$ cannot be a subgraph of $K_{|H|-1}$. We must show that there is no red $G$.

Assume, for a contradiction, that this coloring admits a red $G$. Then $G$ may have at most one vertex in each copy of $K_{|H|-1}$. Hence, $G$ can have at most $\chi(G)-1$ vertices. However, this means we can use $\chi(G)-1$ colors to color the vertices of $G$ to produce a vertex-valid coloring of $G$. This contradicts the definition of $\chi(G)$ as being the minimal such number.

Applying Theorem 3.16, we give our first result for specific types of graphs. This result is due to Chvátal [45]. Recall that $T_{m}$ is a tree on $m$ vertices.
Corollary 3.17. Let $m, n \in \mathbb{Z}^{+}$. For any given tree $T_{m}$, we have
$$
R\left(T_{m}, K_{n}\right)=(m-1)(n-1)+1 .
$$
Proof. Using $G=K_{n}$ and $H=T_{m}$ in Theorem $3.16$ we immediately have $R\left(T_{m}, K_{n}\right) \geq(m-1)(n-1)+1$ so it remains to show that $R\left(T_{m}, K_{n}\right) \leq$ $(m-1)(n-1)+1$. To show this we induct on $m+n$, with $R\left(T_{2}, K_{n}\right)=n$ and $R\left(T_{m}, K_{2}\right)=m$ being trivial. Note that the inductive assumption means the formula holds for any type of tree on less than $m$ vertices.
Let $K$ be the complete graph on vertices $V$ with
$$
|V|=(m-1)(n-1)+1 .
$$

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Hypergraphs

Describing the die in Figure $3.5$ as a graph on 8 vertices, our edge set would be
$$
{{a, b},{a, d},{a, e},{b, c},{b, f},{c, d},{c, g},{d, h},{e, f},{e, h},{f, g},{g, h}} .
$$
But this is not how we would normally describe a standard die. We typically note the 6 sides of a die and not the edges as we have given them. We may

call the sides faces; however, in order to abstract the idea of a graph, let’s call them some type of edge. For the same reason we abstract a plane in 3 dimensions to a hyperplane in more than 3 dimensions, we abstract edges of more than 2 vertices to hyperedges.

Recalling Definition 3.1, we may refer to the faces of our cube as hyperedges and describe the associated hypergraph as being on the vertices $a, b, c, d, e, f, g, h$ with hyperedge set
$$
{{a, b, c, d},{a, b, e, f},{a, d, e, h},{b, c, f, g},{c, d, g, h},{e, f, g, h}}
$$
The reader may notice that each hyperedge in this description contains exactly 4 vertices. This is an example of a hypergraph in the class a hypergraphs with which we will be dealing.

Definition $3.19$ ( $\ell$-uniform hypergraph). Let $G=(V, E)$ be a hypergraph. Let $\ell \in \mathbb{Z}^{+}$with $\ell \geq 3$. If every element of $E$ contains exactly $\ell$ vertices from $V$, then we say that $G$ is an $\ell$-uniform hypergraph. If $E$ contains all ( $\ell \mid$ subsets of $V$ of size $\ell$, then we call $G$ the complete $\ell$-uniform hyperyraph and denote it by $K_{n}^{\ell}$, where $n=|V|$.

Applying this definition to the die example above, our second description is one of a 4-uniform hypergraph; however, it is not a complete 4-uniform hypergraph since it has only 6 hyperedges and not all $\left(\begin{array}{l}6 \ 4\end{array}\right)=15$ hyperedges that a $K_{6}^{4}$ has.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Hypergraph Ramsey Theorem

In Ramsey’s Theorem we color edges and deduce monochromatic complete subgraphs. Replacing edges with hyperedges and subgraphs with subhypergraphs is the basis of the Hypergraph Ramsey Theorem, which is actually the original theorem proved by Ramsey in his seminal paper [166, Theorem A].
Formally, for a hypergraph $H=(V, E)$, each hyperedge in $E$ is assigned a color and a subhypergraph on vertices $U \subseteq V$ may only have a hyperedge $e \in E$ provided $e \in \wp(U)$.

Notation. We will refer to a hyperedge consisting of $\ell$ vertices as an $\ell$ hyperedge.

Theorem 3.20 (Hypergraph Ramsey Theorem). Let $\ell, r \in \mathbb{Z}^{+}$with both at least 2. For $i \in{1,2, \ldots, r}$, let $k_{i} \in \mathbb{Z}^{+}$with $k_{i} \geq \ell$. Then there exists a minimal positive integer $n=R_{\ell}\left(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{r}\right)$ such that every $r$-coloring of the $\ell$-hyperedges of $K_{n}^{\ell}$ with the colors $1,2, \ldots, r$ contains, for some $j \in$ ${1,2, \ldots, r}$, a $K_{k_{j}}^{\ell}$ subhypergraph with all $\ell$-hyperedges of color $j$.

Proof. We start by proving the $r=2$ case. We prove this via induction on $\ell$. The $\ell=2$ case of this theorem is Ramsey’s Theorem (Theorem $3.6$ ), so that we have already proved the base case. Given $k_{1}$ and $k_{2}$, by the inductive assumption we assume that $n=R_{\ell-1}\left(k_{1}, k_{2}\right)$ exists. For ease of exposition, we

will use the colors red and blue, with red associated with $k_{1}$ (and blue with $\left.k_{2}\right)$.

Inside of the induction on $\ell$, we induct on $k_{1}+k_{2}$, as we did in the proof of Ramsey’s Theorem. So, in our pursuit of showing that $R_{\ell}\left(k_{1}, k_{2}\right)$ exists, we may assume that $R_{\ell}\left(k_{1}-1, k_{2}\right)$ and $R_{\ell}\left(k_{1}, k_{2}-1\right)$ both exist. The base cases for our induction on $k_{1}+k_{2}$ are trivial: $R_{\ell}\left(\ell, k_{2}\right)=k_{2}$ and $R_{\ell}\left(k_{1}, \ell\right)=k_{1}$ (for the first, we either have a red hyperedge and, hence, a red $K_{\ell}^{\ell}$, or all hyperedges are blue and we have a blue $K_{k_{2}}^{\ell}$; for the second, reverse the colors and use $k_{1}$ instead of $k_{2}$ ). Hence, we may assume that $k_{1}$ and $k_{2}$ are both greater than $\ell$. Let
$$
n=R_{\ell-1}\left(R_{\ell}\left(k_{1}-1, k_{2}\right), R_{\ell}\left(k_{1}, k_{2}-1\right)\right)+1 .
$$
We will show that $R_{\ell}\left(k_{1}, k_{2}\right) \leq n$.
Consider an arbitrary 2 -coloring $\chi$ of the $\ell$-hyperedges of $K_{n}^{\ell}$ with vertex set $V$. Isolate a vertex $v \in V$. Consider the complete $(\ell-1)$-uniform hypergraph on vertices $V \backslash{v}$ where the coloring $\widehat{\chi}$ of the $(\ell-1)$-hyperedges is inherited from $\chi$ in the following way: For $e$ an $(\ell-1)$-hyperedge, let
$$
\widehat{\chi}(e)=\chi(e \cup{v}) .
$$
From the definition of $n$ we have either a complete $(\ell-1)$-uniform hypergraph on $R_{\ell}\left(k_{1}-1, k_{2}\right)$ vertices with all $(\ell-1)$-hyperedges red under $\hat{\chi}$ or a complete $(\ell-1)$-uniform hypergraph on $R_{\ell}\left(k_{1}, k_{2}-1\right)$ vertices with all $(\ell-1)$-hyperedges blue under $\hat{\chi}$. Without loss of generality, we may assume the latter holds.

Let $W$ be the set of $R_{\ell}\left(k_{1}, k_{2}-1\right)$ vertices with all $(\ell-1)$-hyperedges blue under $\hat{\chi}$. By the assumed existence of $R_{\ell}\left(k_{1}, k_{2}-1\right)$ we have, under $\chi$, either a red $K_{k_{1}}^{\ell}$ and are done, or we have a blue $K_{k_{2}-1}^{\ell}$ on vertex set $U$ with the property that all $(\ell-1)$ hyperedges are blue under $\widehat{\chi}$. Noting that $v \notin U$, consider the complete $\ell$-uniform hypergraph on the vertices $U \cup{v}$. The $\ell$ hyperedges that include $v$ are all blue since, by the definition of $\widehat{\chi}$, we have $\widehat{\chi}(e)=\chi(e \cup{v})$ for any $(\ell-1)$-hyperedge $e$ with vertices in $V \backslash{v}$, which we have deduced are all blue in $K_{k_{2}-1}^{\ell}$. Thus, all $\ell$-hyperedges on $U \cup{v}$ are blue and we have a blue $K_{k,}^{\ell}$. This completes the $r=2$ case of the theorem.

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离散数学代写

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Graph Ramsey Numbers

我们提出的第一个结果在定义上成立,并且对于在以典型 Ramsey 理论语言表达的结果和以标准图论语言给出的结果之间进行转换很有用。让G是任何图,我们将其解释为边缘的 2 着色ķ|G|通过着色所有边缘G红色和剩余的边缘(不存在于G) 蓝色的。这个配色没有红色ķω(G)+1也没有蓝色ķ一种(G)+1根据定义。这产生以下结果。

引理 3.15。让G是任何图形。然后R(ω(G)+1,一种(G)+1)≥|G|+1.

应用引理3.15和G作为一个 5 循环,我们很容易拥有ω(G)=2和一种(G)=2以便R(3,3)≥6,正如我们所见,它是紧的。

下一个一般结果是 Chvátal 和 Harary [46] 结果的一个特例。我们提醒读者,我们考虑的所有任意图都是连接的。
定理 3.16。让G和H成为图表。然后
R(G,H)≥(χ(G)−1)(|H|−1)+1.
证明。让
n=(χ(G)−1)(|H|−1)
我们将展示边缘的 2 着色ķn没有红色G也没有蓝色H,不等式由此而来。分割顶点ķn进入χ(G)−1部分|H|−1每个顶点。在每个部分中,着色之间的所有边缘|H|−1顶点蓝色。为剩余的边缘着色ķn红色的。因此,副本之间的每一条边ķ|H|−1是红色的。显然这种颜色不承认蓝色H作为H不能是的子图ķ|H|−1. 我们必须证明没有红色G.

假设,为了矛盾,这种着色承认红色G. 然后G每个副本中最多可以有一个顶点ķ|H|−1. 因此,G最多可以有χ(G)−1顶点。但是,这意味着我们可以使用χ(G)−1为顶点着色的颜色G产生一个顶点有效的着色G. 这与定义相矛盾χ(G)作为最小的这样的数字。

应用定理 3.16,我们给出了特定类型图的第一个结果。这个结果是由于 Chvátal [45]。回想起那个吨米是一棵树米顶点。
推论 3.17。让米,n∈从+. 对于任何给定的树吨米, 我们有
R(吨米,ķn)=(米−1)(n−1)+1.
证明。使用G=ķn和H=吨米定理3.16我们马上有了R(吨米,ķn)≥(米−1)(n−1)+1所以它仍然表明R(吨米,ķn)≤ (米−1)(n−1)+1. 为了展示这一点,我们在米+n, 和R(吨2,ķn)=n和R(吨米,ķ2)=米是微不足道的。请注意,归纳假设意味着该公式适用于任何类型的树,小于米顶点。
让ķ成为顶点上的完整图在和
|在|=(米−1)(n−1)+1.

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描述图中的模具3.5作为 8 个顶点的图,我们的边集是
一种,b,一种,d,一种,和,b,C,b,F,C,d,C,G,d,H,和,F,和,H,F,G,G,H.
但这不是我们通常描述标准模具的方式。我们通常会注意到骰子的 6 个面,而不是我们给出的边缘。我们可能会

称侧面;但是,为了抽象图的概念,我们称它们为某种类型的边。出于同样的原因,我们将 3 维的平面抽象为 3 维以上的超平面,我们将超过 2 个顶点的边抽象为超边。

回顾定义 3.1,我们可以将立方体的面称为超边,并将关联的超图描述为在顶点上一种,b,C,d,和,F,G,H有超边集
一种,b,C,d,一种,b,和,F,一种,d,和,H,b,C,F,G,C,d,G,H,和,F,G,H
读者可能会注意到,这个描述中的每条超边恰好包含 4 个顶点。这是我们将要处理的超图类中的一个超图示例。

定义3.19 ( ℓ-均匀超图)。让G=(在,和)成为一个超图。让ℓ∈从+和ℓ≥3. 如果每个元素和确切地包含ℓ顶点来自在,那么我们说G是一个ℓ-均匀超图。如果和包含所有 (ℓ∣的子集在大小的ℓ,那么我们称G完整的ℓ-均匀的超yraph并将其表示为ķnℓ, 在哪里n=|在|.

将此定义应用于上面的示例,我们的第二个描述是 4-uniform 超图之一;然而,它不是一个完整的 4-uniform 超图,因为它只有 6 个超边而不是全部(6 4)=15超边ķ64拥有。

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在拉姆齐定理中,我们给边缘着色并推导出单色完全子图。用超边代替边,用子超图代替子图是超图拉姆齐定理的基础,这实际上是拉姆齐在他的开创性论文[166,定理A]中证明的原始定理。
形式上,对于超图H=(在,和), 中的每个超边和在顶点上分配了颜色和子超图在⊆在可能只有一条超边和∈和假如和∈℘(在).

符号。我们将指由以下组成的超边ℓ顶点作为ℓ超边。

定理 3.20(超图拉姆齐定理)。让ℓ,r∈从+两者都至少 2. 对于一世∈1,2,…,r, 让ķ一世∈从+和ķ一世≥ℓ. 那么存在一个最小正整数n=Rℓ(ķ1,ķ2,…,ķr)这样每一个r- 着色ℓ- 的超边ķnℓ与颜色1,2,…,r包含,对于一些j∈ 1,2,…,r, 一种ķķjℓ所有的子超图ℓ- 颜色的超边j.

证明。我们首先证明r=2案子。我们通过归纳证明这一点ℓ. 这ℓ=2这个定理的例子是拉姆齐定理 (Theorem3.6),所以我们已经证明了基本情况。给定ķ1和ķ2,通过归纳假设,我们假设n=Rℓ−1(ķ1,ķ2)存在。为了便于说明,我们

将使用红色和蓝色,红色与ķ1(和蓝色的ķ2).

里面的感应上ℓ, 我们在ķ1+ķ2,正如我们在拉姆齐定理的证明中所做的那样。所以,在我们追求展示的过程中Rℓ(ķ1,ķ2)存在,我们可以假设Rℓ(ķ1−1,ķ2)和Rℓ(ķ1,ķ2−1)两者都存在。我们归纳的基本案例ķ1+ķ2是微不足道的:Rℓ(ℓ,ķ2)=ķ2和Rℓ(ķ1,ℓ)=ķ1(对于第一个,我们要么有一个红色的超边,因此,一个红色的ķℓℓ,或者所有超边都是蓝色的,我们有一个蓝色ķķ2ℓ; 第二,反转颜色并使用ķ1代替ķ2)。因此,我们可以假设ķ1和ķ2都大于ℓ. 让
n=Rℓ−1(Rℓ(ķ1−1,ķ2),Rℓ(ķ1,ķ2−1))+1.
我们将证明Rℓ(ķ1,ķ2)≤n.
考虑任意 2 着色χ的ℓ- 的超边ķnℓ有顶点集在. 隔离一个顶点在∈在. 考虑完整(ℓ−1)- 顶点上的统一超图在∖在在哪里着色χ^的(ℓ−1)-hyperedges 继承自χ通过以下方式:对于和一个(ℓ−1)-超边,让
χ^(和)=χ(和∪在).
从定义n我们要么有一个完整的(ℓ−1)-一致的超图Rℓ(ķ1−1,ķ2)所有的顶点(ℓ−1)-hyperedges 红色下χ^或完整的(ℓ−1)-一致的超图Rℓ(ķ1,ķ2−1)所有的顶点(ℓ−1)-hyperedges 蓝色下χ^. 不失一般性,我们可以假设后者成立。

让在是一组Rℓ(ķ1,ķ2−1)所有的顶点(ℓ−1)-hyperedges 蓝色下χ^. 通过假设存在Rℓ(ķ1,ķ2−1)我们有,在χ, 要么是红色ķķ1ℓ并且完成了,或者我们有一个蓝色ķķ2−1ℓ在顶点集上在与所有的财产(ℓ−1)超边是蓝色的χ^. 注意到在∉在, 考虑完整ℓ- 顶点上的统一超图在∪在. 这ℓ包括的超边在都是蓝色的,因为根据定义χ^, 我们有χ^(和)=χ(和∪在)对于任何(ℓ−1)-超边缘和有顶点在∖在, 我们推导出的都是蓝色的ķķ2−1ℓ. 因此,所有ℓ- 超边在∪在是蓝色的,我们有蓝色ķķ,ℓ. 这完成了r=2定理的情况。

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广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Graph Ramsey Theory

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离散数学是研究可以被认为是 “离散”(类似于离散变量,与自然数集有偏射)而不是 “连续”(类似于连续函数)的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下,离散数学不包括 “连续数学 “中的课题,如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举;更正式地说,离散数学被定性为处理可数集的数学分支(有限集或与自然数具有相同心数的集)。然而,”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。

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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Graph Ramsey Theory

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Complete Graphs

We start by reminding the reader of a few definitions about graphs.
Definition 3.1 (Graph, Hypergraph, Degree, Edge, Hyperedge). Let $V$ be a set, called the vertices, and let $E$ be a subset of $\wp(V) \backslash \emptyset$ (the power set of $V$ excluding the empty set). We say that $G=(V, E)$ is a graph if all elements of $E$ are subsets of size 2. In this case, $E$ is referred to as the set of edges. For any given vertex $v$, the number of edges containing $v$ is called the degree of

$v$. We say that $G=(V, E)$ is a hypergraph if some element of $E$ is a subset of more than 2 elements. In this case, $E$ is called the set of hyperedges.

Definition $3.2$ (Subgraph, Subhypergraph). Let $G=(V, E)$ be a graph. If $V^{\prime} \subseteq V$ and $E^{\prime} \subseteq E$ then $H=\left(V^{\prime}, E^{\prime}\right)$ is a subgraph of $G$. If $G$ is a hypergraph, then we call $H$ a subhypergraph.

We will start by considering graphs (hypergraphs are treated later in this chapter). We will assume that any arbitrary graph we consider is connected so that there exists a string of edges from any vertex to any other vertex. We also assume that our graphs are simple, meaning that at most one edge exists between any two vertices. We will start by considering one of the fundamental graphs: the complete graph.

Definition $3.3$ (Complete graph). Let $n \in \mathbb{Z}^{+}$. The complete graph on $n$ vertices, denoted $K_{n}$, is $G=(V, E)$ where $|V|=n$ and $E$ consists of all subsets of $V$ of size 2 .

We typically identify the vertex set $V$ of $K_{n}$ with ${1,2, \ldots, n}$ and the edge set $E$ with ${{i, j}: i, j \in[1, n] ; i<j}$. In other words, all $\left(\begin{array}{c}n \ 2\end{array}\right)$ possible edges are present in a complete graph.

We start with the classical version of Ramsey’s Theorem, restricted to the 2-color situation.

Theorem 3.4. Let $k, \ell \in \mathbb{Z}^{+}$. There exists a minimal positive integer $n=$ $n(k, \ell)$ such that if each edge of $K_{n}$ is assigned one of two colors, say red and blue, then $K_{n}$ admits a complete subgraph on $k$ vertices with all edges red or a complete subgraph on $\ell$ vertices with all edges blue.

Before getting to the proof, let’s consider the $k=\ell=3$ case. We will refer to $K_{3}$ as a triangle and will show that $n(3,3) \leq 6$. Consider any 2-coloring of the edges of $K_{6}$. Isolate one vertex; call it $X$. Then $X$ is connected to the other 5 vertices with either a red or a blue edge. Let $R$ be the set of vertices connected to $X$ with a red edge; let $B$ be the set of vertices connected to $X$ with a blue edge. We know that $|R \cup B|=5$ and that $R \cap B=\emptyset$. Hence, $|R \sqcup B|=|R|+|B|=5$. From this we can conclude by the pigeonhole principle that either $|R| \geq 3$ or $|B| \geq 3$. Without loss of generality, we assume $|R| \geq 3$.
At this stage we have $X$ connected to at least 3 vertices, call them $A, B$, and $C$, via red edges. Consider the edges between these latter 3 vertices. If any edge is red, say ${A, B}$, then we have a red triangle (on vertices $A, B$, and $X)$. In other words, we have deduced a $K_{3}$ with all edges red. On the other hand, if no edge is red, then they are all blue and we can conclude that the triangle on vertices $A, B$, and $C$ has all blue edges, i.e., we have a $K_{3}$ with all blue edges.

The proof for general $k$ and $\ell$ follows the same idea as the case for $k=\ell=$ 3 . We will isolate one vertex and separate the other vertices according to the color of the edge to the isolated vertex.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Deducing Schur’s Theorem

As our first “application” of Ramsey’s Theorem, we will deduce Schur’s Theorem. Recall that Schur’s Theorem states that there exists a minimal positive integer $s(r)$ such that every $r$-coloring of $[1, s(r)]$ admits a monochromatic solution to $x+y=z$. So, we need to deduce integer solutions from a graph. We do so by considering a subclass of colorings of $K_{n}$.

Definition 3.7 (Difference coloring). A difference coloring of the edges of $K_{n}$ is one in which the color of every edge ${i, j}$ depends solely on $|i-j|$.

With this definition, if $\chi:[1, n-1] \rightarrow{0,1, \ldots, r-1}$ is a coloring of integers, then we have the induced difference coloring of $K_{n}$ where we color edge ${i, j}$ with $\chi(|i-j|)$.

To deduce Schur’s Theorem, let $n=R(3 ; r)$. For any $r$-coloring of $[1, n-1]$ consider the difference coloring of the edges of $K_{n}$. By Ramsey’s Theorem, this difference coloring admits a monochromatic $K_{3}$, say on the vertices $u, v$, and $w$, with $u<v<w$. This means that the integers $v-u, w-v$, and $w-u$ all have the same color. Let $x=v-u, y=w-v$, and $z=w-u$ to see that we have a solution to $x+y=z$ with $x, y$, and $z$ all the same color. Consequently, we see that $s(r) \leq R(3 ; r)-1$.

The above argument can be easily extended to show that any $r$-coloring of the integer interval [1, R( $k ; r)-1]$ admits a monochromatic solution to $\sum_{i=1}^{k-1} x_{i}=x_{k}$. The minimal positive integer $n=n(k ; r)$ such that every $r-$ coloring of $[1, n]$ admits a monochromatic solution to $\sum_{i=1}^{k-1} x_{i}=x_{k}$ is referred to as a generalized Schur number. This argument gives $n(k ; r) \leq R(k ; r)-1$. It is known [21] that
$$
n(k ; 2)=k^{2}-k-1
$$
however, $n(k ; r)$ for $r \geq 3$ is unknown: the bound
$$
n(k ; r) \geq \frac{k^{r+1}-2 k^{r}+1}{k-1}
$$has been determined [21]. As we can see, the bound between these two Ramsey-type numbers is quite weak since we have seen that $(\sqrt{2})^{k}<R(k, k)$ (see Inequality (3.1)) so that the $k^{2}-k$ lower bound on $R(k, k)$ is not strong. The reason for this is because we do not use the whole complete monochromatic subgraph in deducing the existence of $n(k ; r)$.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Other Graphs

As stated at the end of the last section, the proof that generalized Schur numbers exist as a consequence of Ramsey’s Theorem does not use the full power of Ramsey’s Theorem. In particular, we do not need a monochromatic complete graph; we only need the “outside” edges of this complete graph to have the same color, i.e., a monochromatic cycle.

Definition $3.8$ (Path, Cycle, Tree). Let $G=(V, E)$ be the graph with vertex set $V=\left{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right}$ and edge set $E=\left{\left{v_{i}, v_{i+1}\right}: i \in{1,2, \ldots, n-1}\right}$. Then $G$ is called a path (from $v_{1}$ to $v_{n}$, or $v_{n}$ to $v_{1}$ ) and we denote it by $P_{n}$. If we add the edge $\left{v_{1}, v_{n}\right}$ to the edge set, then $G$ is called an $n$-cycle and we denote it by $C_{n}$. Paths are a subclass of the class of graphs known as trees. A tree $T_{n}$ is a graph on $n$ vertices with no $k$-cycle as a subgraph, for any $k$.
There are many other named graphs (for example, in Figure $3.2$ we present a graph attributed to Kempe but commonly referred to as the Peterson graph. which is useful as it often serves as a counterexample). Complete graphs, paths, cycles, and trees are some of the important ones. Below we define two more important classes of graphs.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Graph Ramsey Theory

离散数学代写

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Complete Graphs

我们首先提醒读者一些关于图的定义。
定义 3.1(图、超图、度、边、超边)。让在是一个集合,称为顶点,并让和成为的一个子集℘(在)∖∅(功率组在不包括空集)。我们说G=(在,和)是一个图,如果所有元素和是大小为 2 的子集。在这种情况下,和称为边集。对于任何给定的顶点在, 包含的边数在被称为程度

在. 我们说G=(在,和)是一个超图,如果和是超过 2 个元素的子集。在这种情况下,和称为超边集。

定义3.2(子图,子超图)。让G=(在,和)成为一个图表。如果在′⊆在和和′⊆和然后H=(在′,和′)是一个子图G. 如果G是一个超图,那么我们称H一个子超图。

我们将从考虑图开始(本章稍后将讨论超图)。我们将假设我们考虑的任何任意图都是连接的,因此存在从任何顶点到任何其他顶点的一串边。我们还假设我们的图很简单,这意味着在任意两个顶点之间最多存在一条边。我们将从考虑基本图之一开始:完整图。

定义3.3(完整的图表)。让n∈从+. 完整的图表n顶点,表示ķn, 是G=(在,和)在哪里|在|=n和和由所有子集组成在大小 2 。

我们通常识别顶点集在的ķn和1,2,…,n和边集和和一世,j:一世,j∈[1,n];一世<j. 换句话说,所有(n 2)可能的边存在于完整图中。

我们从经典版本的拉姆齐定理开始,仅限于 2 色情况。

定理 3.4。让ķ,ℓ∈从+. 存在一个最小正整数n= n(ķ,ℓ)这样,如果每个边缘ķn被分配两种颜色之一,比如红色和蓝色,然后ķn承认一个完整的子图ķ所有边为红色或完整子图的顶点ℓ所有边都是蓝色的顶点。

在证明之前,让我们考虑一下ķ=ℓ=3案子。我们将参考ķ3作为一个三角形,并将表明n(3,3)≤6. 考虑边缘的任何 2 着色ķ6. 隔离一个顶点;称它为X. 然后X用红色或蓝色边连接到其他 5 个顶点。让R是连接到的顶点集X带有红色边缘;让乙是连接到的顶点集X带有蓝色边缘。我们知道|R∪乙|=5然后R∩乙=∅. 因此,|R⊔乙|=|R|+|乙|=5. 由此我们可以通过鸽巢原理得出结论:|R|≥3或者|乙|≥3. 不失一般性,我们假设|R|≥3.
在这个阶段我们有X连接到至少 3 个顶点,调用它们一种,乙, 和C,通过红色边缘。考虑后三个顶点之间的边。如果任何边缘是红色的,说一种,乙,然后我们有一个红色三角形(在顶点一种,乙, 和X). 换句话说,我们推导出了一个ķ3所有边缘都是红色的。另一方面,如果没有边是红色的,那么它们都是蓝色的,我们可以得出结论,顶点上的三角形一种,乙, 和C有所有蓝色边缘,即,我们有一个ķ3所有蓝色边缘。

一般证明ķ和ℓ遵循与案例相同的想法ķ=ℓ=3. 我们将隔离一个顶点并根据边缘的颜色将其他顶点分离到隔离顶点。

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Deducing Schur’s Theorem

作为拉姆齐定理的第一个“应用”,我们将推导出舒尔定理。回想一下,舒尔定理指出存在一个最小正整数s(r)这样每一个r- 着色[1,s(r)]承认单色解决方案X+是=和. 所以,我们需要从图中推导出整数解。我们通过考虑着色的子类来做到这一点ķn.

定义 3.7(不同颜色)。边缘的不同着色ķn是其中每个边缘的颜色一世,j完全取决于|一世−j|.

有了这个定义,如果χ:[1,n−1]→0,1,…,r−1是整数的着色,那么我们有诱导差异着色ķn我们在哪里着色边缘一世,j和χ(|一世−j|).

为了推导出舒尔定理,让n=R(3;r). 对于任何r- 着色[1,n−1]考虑边缘的不同着色ķn. 根据拉姆齐定理,这种差异着色承认单色ķ3, 在顶点上说在,在, 和在, 和在<在<在. 这意味着整数在−在,在−在, 和在−在都有相同的颜色。让X=在−在,是=在−在, 和和=在−在看看我们有解决方案X+是=和和X,是, 和和都是一样的颜色。因此,我们看到s(r)≤R(3;r)−1.

上述论证可以很容易地扩展为表明任何r- 整数区间 [1, R(ķ;r)−1]承认单色解决方案∑一世=1ķ−1X一世=Xķ. 最小正整数n=n(ķ;r)这样每一个r−着色[1,n]承认单色解决方案∑一世=1ķ−1X一世=Xķ称为广义舒尔数。这个论点给出n(ķ;r)≤R(ķ;r)−1. 据了解[21]
n(ķ;2)=ķ2−ķ−1
然而,n(ķ;r)为了r≥3未知:界限
n(ķ;r)≥ķr+1−2ķr+1ķ−1已确定[21]。正如我们所看到的,这两个 Ramsey 型数之间的界限非常弱,因为我们已经看到(2)ķ<R(ķ,ķ)(见不等式(3.1)),因此ķ2−ķ下限R(ķ,ķ)不强。这是因为我们没有使用整个完全单色子图来推导n(ķ;r).

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Other Graphs

如上一节末尾所述,广义舒尔数作为拉姆齐定理的结果而存在的证明并未使用拉姆齐定理的全部力量。特别是,我们不需要单色完全图;我们只需要这个完整图的“外部”边缘具有相同的颜色,即单色循环。

定义3.8(路径、循环、树)。让G=(在,和)是具有顶点集的图V=\left{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right}V=\left{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right}和边集E=\left{\left{v_{i}, v_{i+1}\right}: i \in{1,2, \ldots, n-1}\right}E=\left{\left{v_{i}, v_{i+1}\right}: i \in{1,2, \ldots, n-1}\right}. 然后G称为路径(从在1到在n, 或者在n到在1) 我们将其表示为磷n. 如果我们添加边缘\left{v_{1}, v_{n}\right}\left{v_{1}, v_{n}\right}到边集,然后G被称为n-cycle 我们将其表示为Cn. 路径是称为树的图类的子类。一颗树吨n是关于n没有的顶点ķ-cycle 作为子图,对于任何ķ.
还有许多其他命名图(例如,在图3.2我们提出了一个归因于 Kempe 但通常称为彼得森图的图。这很有用,因为它经常用作反例)。完整的图形、路径、循环和树是其中一些重要的。下面我们定义了两个更重要的图表类。

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统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Roth’s Theorem

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离散数学是研究可以被认为是 “离散”(类似于离散变量,与自然数集有偏射)而不是 “连续”(类似于连续函数)的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下,离散数学不包括 “连续数学 “中的课题,如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举;更正式地说,离散数学被定性为处理可数集的数学分支(有限集或与自然数具有相同心数的集)。然而,”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。

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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Roth’s Theorem

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Roth’s Theorem

Notation. In this subsection, $i$ is reserved for $i=\sqrt{-1}$ and for $c \in \mathbb{C}$ we use $\bar{c}$ to represent the complex conjugate.

We will be doing analysis over the group $\left(\mathbb{Z}{n,}+\right):$ for $f: \mathbb{Z}{n} \rightarrow \mathbb{C}$, let the (discrete) Fourier transform of $f$ be denoted by $\hat{f}$ and given by (for $t \in \mathbb{Z}{n}$ ): $$ \widehat{f}(t)=\frac{1}{n} \sum{k=0}^{n-1} f(k) \overline{\chi(k t)}
$$

Instead of appealing to van der Waerden’s Theorem as was done in the proof of Theorem 2.67, our goal is now to prove arithmetic progressions exist in certain sets. We start with the simplest case to consider: 3 -term arithmetic progressions. This does not mean that the result concerning these is easy to prove. In 1952 , Roth $[174]$ proved that any subset of $\mathbb{Z}^{+}$with positive upper density must contain a 3 -term arithmetic progression. Note that since every finite coloring of $\mathbb{Z}+$ must have at least one color with positive upper density, Roth’s Theorem is stronger than the existence of $w(3 ; r)$ for all $r \in \mathbb{Z}^{+}$.

Theorem $2.68$ (Roth’s Theorem). For any $\epsilon>0$, there exists $N=N(\epsilon)$ such that for any $n \geq N$, if $A \subseteq[1, n]$ with $|A|>\epsilon n$, then $A$ contains a S-term arithmetic progression.
Remark. Another way of stating Roth’s Theorem is: $r_{3}(n)=o(n)$.
Since we are dealing with 3 -term arithmetic progressions, we can consider integer solutions to $x+y=2 z$, where $x, y$, and $z$ are not all equal. To effectively use discrete Fourier analysis, instead of looking for solutions in $\mathbb{Z}^{+}$, we will be looking at solutions in $\mathbb{Z}_{n}$, so we are considering solutions to $x+y \equiv 2 z$ $\left(\bmod n\right.$ ). A simple observation will allow us to translate back to $\mathbb{Z}^{+}$.

The general approach of the proof is to consider cases depending on the sizes of the Fourier transform coefficients. It is best to have a little intuition into what these mean. Consider the recovery formula given in part (i) of Theorem 1.9:
$$
\begin{aligned}
f(j) &=\sum_{k=0}^{n-1} \widehat{f}(k) \chi(k j) \
&=\sum_{k=0}^{n-1} \widehat{f}(k) e^{\frac{2 \pi i k j}{n}} \
&=\sum_{k=0}^{n-1} \widehat{f}(k) \cos \left(\frac{2 \pi k j}{n}\right)+i \sum_{k=0}^{n-1} \widehat{f}(k) \sin \left(\frac{2 \pi k j}{n}\right) \
&=\widehat{f}(0)+\sum_{k=1}^{n-1} \widehat{f}(k) \cos \left(\frac{2 \pi k j}{n}\right)+i \sum_{k=1}^{n-1} \widehat{f}(k) \sin \left(\frac{2 \pi k j}{n}\right) \cdot(2.9)
\end{aligned}
$$
The first observation is that $\widehat{f}(0)$ is a constant term in $f(j)$, while the other values of $\hat{f}(k)$ are contracted by a factor depending on $j$. To guide our intuition, we then couple this with the fact that any periodic function over $\mathbb{R}$ (like $\cos (x)$ ) has roots in arithmetic progression (not necessarily of integers).
First, we need to recall how we translate from a set $A \subseteq[1, n]$ to a function $f: \mathbb{Z}_{n} \rightarrow \mathbb{C}$ by using the indicator function:
$$
A(j)= \begin{cases}1 & \text { if } j \in A \ 0 & \text { if } j \notin A\end{cases}
$$

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Szemerédi’s Theorem

Translating the proof of Roth’s Theorem to address longer arithmetic progressions presents the challenge of moving from solving the equation $x+y=2 z$ to solving a system of equations. Clearly, more sophisticated Fourier analysis tools are needed and this was done twenty years later by Roth $[175]$ for 4 -term arithmetic progressions. However, this was after Szemerédi [195] proved the result via combinatorial methods. Szemerédi then went on to prove his famous theorem for arbitrarily long arithmetic progressions in [196]:

Theorem 2.70 (Szemerédi’s Theorem). For any $k \in \mathbb{Z}^{+}$and any subset $A \subseteq \mathbb{Z}^{+}$, if limsup $\operatorname{sun}_{n \rightarrow \infty} \frac{|A \cap[1, n]|}{n}>0$, then A contains a $k$-term arithmetic progression. Equivalently, given $\epsilon>0$ there exists an integer $N(k, \epsilon)$ such that for all $n>N(k, \epsilon)$, if $|A|>\epsilon n$, then $A$ contains a $k$-term arithmetic progression.

Szemerédi’s proof has been referred to as elementary. This does not mean easy. It is better referred to as “from first principles,” as Szemerédi felt just the logic of the proof warranted a flow chart. This chart is a directed graph on 24 vertices with 36 edges.

The reader is encouraged to work through this combinatorial feat. In this book, we prove Szemerédi’s Theorem in Section 5.2.1, relying on results that we will not prove.

It is worth noting here that Szemerédi’s Theorem is equivalent, by Theorem $2.67$, to the following theorem, the proof of the equivalence being left to the reader as Exercise $2.23$. Note also that Theorem $2.70$ settles the value of $L$ in Theorem 2.67.

Theorem 2.71. For all $k \in \mathbb{Z}^{+}$, there exists a minimal integer $N(k)$ such that for every partition of ${1,2, \ldots, n}=A \sqcup B$ with $|A| \geq|B|$ and $n \geq N(k)$, the set $A$ contains a $k$-term arithmetic progression.

It is interesting to notice that van der Waerden’s Theorem can be very similarly stated as: For all $k \in \mathbb{Z}^{+}$, there exists a minimal integer $M(k)$ such that for every partition of ${1,2, \ldots, m}=A \sqcup B$ with $m \geq M(k)$, one of $A$ and $B$ contains a $k$-term arithmetic progression.

In this section, we will investigate a closely related result that, on the surface, seems as if it may be sufficient to prove Szemerédi’s Theorem. One possible thought about sets satisfying the condition in Theorem $2.70$ is that they cannot have arbitrarily long gaps (forewarning: this is not true) or, if they do, then there must be arbitrarily long intervals where they don’t (forewarning: this is not true either). These seem reasonable, so we will investigate what we can say about this situation.

Definition $2.72$ (Syndetic, Piecewise syndetic). Let $S=\left{s_{i}\right}_{i \in Z^{+}}$. We say that $S$ is syndetic if there exists $d \in \mathbb{Z}^{+}$such that $\left|s_{i+1}-s_{i}\right| \leq d$ for all $i \in \mathbb{Z}^{+}$. We say that $S$ is piecewise syndetic if there exists $d \in \mathbb{Z}^{+}$such that for any $n \in \mathbb{Z}^{+}$, there exists $j \in \mathbb{Z}^{+}$such that $\left|s_{i+1}-s_{i}\right| \leq d$ for $i=j, j+1, \ldots, j+n-1$.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Density Hales-Jewett Theorem

We start with the statement of the theorem in this subsection’s title:
Theorem 2.74 (Density Hales-Jewett Theorem). Let $\epsilon>0$ and let $k, r \in$ $\mathbb{Z}^{+}$. Let $\mathcal{W}(m)$ be the set of all variable words of length $m$ over the alphabet ${1,2, \ldots, k} \cup{x}$. There exists an integer $N=N(\epsilon, k)$ such that for any $n \geq N$, every subset $S \subseteq[1, k]^{n}$ with $|S|>\epsilon k^{n}$ admits $w(x) \in \mathcal{W}(n)$ with ${w(i): i \in[1, k]} \subseteq S .$

This result was originally proved by Furstenberg and Katznelson [77] using ergodic theory (see Section $5.2$ for an introduction to ergodic theory techniques). Over 30 years later a combinatorial proof was developed [160]. Needless to say, both proofs are very deep and are not appropriate for this

book. For a good exposition of Theorem 2.74, visit the last chapter of [161] (written by Steger; see the Foreword of [161]).

We remark that the $k=2$ case follows by viewing $x_{1} x_{2} \cdots x_{n} \in[1,2]^{n}$ as the subset of $[1, n]$ containing $i$ if and only if $x_{i}=2$. Consider the lattice of $[1,2]^{n}$ partially ordered by inclusion of the associated subsets, i.e., an edge connects two subsets if one is a subset of the other. We are searching for $w(x) \in \mathcal{W}(n)$ such that $w(1)$ and $w(2)$ are both in $S$. This means that we are looking for two subsets connected by an edge.

Recall the concept of an antichain in a poset. An antichain is a set of elements in the lattice with no edge between any of them. A fundamental poset result is Sperner’s Lemma, which states that every antichain of the subsets of $[1, n]$ under inclusion partial ordering has size at most
$$
\left(\begin{array}{c}
n \
\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor
\end{array}\right)=\frac{n !}{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor^{2}} \approx \frac{\sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}}{\pi n\left(\frac{n / 2}{e}\right)^{n}}=\frac{2^{n}}{\sqrt{\frac{\pi}{2} n}}=o\left(2^{n}\right)
$$
where we are using Stirling’s approximation. Lastly, note that if our set $S$ has $|S| \geq \epsilon \cdot 2^{n}$, then $S$ cannot be an antichain since it contains more than $o\left(2^{n}\right)$ elements. Hence, $S$ must contain two elements with an edge between them, which is what we want to show.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Roth’s Theorem

离散数学代写

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Roth’s Theorem

符号。在本小节中,一世保留用于一世=−1并且对于C∈C我们用C¯来表示复共轭。

我们将对组进行分析(从n,+):为了F:从n→C,让(离散)傅里叶变换F表示为F^并由(对于吨∈从n ):F^(吨)=1n∑ķ=0n−1F(ķ)χ(ķ吨)¯

我们现在的目标是证明算术级数存在于某些集合中,而不是像证明定理 2.67 中所做的那样诉诸范德瓦尔登定理。我们从要考虑的最简单的情况开始:3 项算术级数。这并不意味着关于这些的结果很容易证明。1952年,罗斯[174]证明了任何子集从+具有正上密度的必须包含 3 项算术级数。请注意,由于每个有限着色从+必须至少有一种上密度为正的颜色,罗斯定理强于存在在(3;r)对全部r∈从+.

定理2.68(罗斯定理)。对于任何ε>0, 那里存在ñ=ñ(ε)这样对于任何n≥ñ, 如果一种⊆[1,n]和|一种|>εn, 然后一种包含一个 S 项算术级数。
评论。另一种表述罗斯定理的方式是:r3(n)=这(n).
由于我们正在处理 3 项算术级数,我们可以考虑整数解X+是=2和, 在哪里X,是, 和和并不都是平等的。为了有效地使用离散傅里叶分析,而不是在从+,我们将在从n,所以我们正在考虑解决方案X+是≡2和 (反对n)。一个简单的观察将使我们能够翻译回从+.

证明的一般方法是根据傅里叶变换系数的大小来考虑情况。最好对这些含义有一点直觉。考虑定理 1.9 (i) 部分给出的恢复公式:
F(j)=∑ķ=0n−1F^(ķ)χ(ķj) =∑ķ=0n−1F^(ķ)和2圆周率一世ķjn =∑ķ=0n−1F^(ķ)因⁡(2圆周率ķjn)+一世∑ķ=0n−1F^(ķ)罪⁡(2圆周率ķjn) =F^(0)+∑ķ=1n−1F^(ķ)因⁡(2圆周率ķjn)+一世∑ķ=1n−1F^(ķ)罪⁡(2圆周率ķjn)⋅(2.9)
第一个观察结果是F^(0)是一个常数项F(j), 而其他值F^(ķ)收缩的因素取决于j. 为了指导我们的直觉,我们将其与任何周期函数R(像因⁡(X)) 根源于算术级数(不一定是整数)。
首先,我们需要回忆一下我们是如何从一个集合中翻译的一种⊆[1,n]到一个函数F:从n→C通过使用指标函数:
一种(j)={1 如果 j∈一种 0 如果 j∉一种

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Szemerédi’s Theorem

翻译罗斯定理的证明以解决更长的算术级数提出了从求解方程转移的挑战X+是=2和求解方程组。显然,需要更复杂的傅立叶分析工具,这在 20 年后由 Roth 完成[175]对于 4 项算术级数。然而,这是在 Szemerédi [195] 通过组合方法证明了结果之后。Szemerédi 随后在 [196] 中证明了他关于任意长算术级数的著名定理:

定理 2.70(Szemerédi 定理)。对于任何ķ∈从+和任何子集一种⊆从+, 如果 limsup太阳n→∞⁡|一种∩[1,n]|n>0, 那么 A 包含一个ķ项算术级数。等效地,给定ε>0存在一个整数ñ(ķ,ε)这样对于所有人n>ñ(ķ,ε), 如果|一种|>εn, 然后一种包含一个ķ项算术级数。

Szemerédi 的证明被称为基本证明。这并不意味着容易。最好将其称为“从第一原则”,因为 Szemerédi 认为证明的逻辑需要流程图。该图是一个有 24 个顶点和 36 条边的有向图。

鼓励读者完成这一组合壮举。在本书中,我们在第 5.2.1 节证明了 Szemerédi 定理,依赖于我们不会证明的结果。

值得注意的是,Szemerédi 定理是等价的,由 Theorem2.67,对于以下定理,等价的证明留给读者作为练习2.23. 还要注意定理2.70解决的价值大号在定理 2.67 中。

定理 2.71。对全部ķ∈从+, 存在一个最小整数ñ(ķ)这样对于每个分区1,2,…,n=一种⊔乙和|一种|≥|乙|和n≥ñ(ķ), 集合一种包含一个ķ项算术级数。

有趣的是,范德瓦尔登定理可以非常类似地表述为:对于所有人ķ∈从+, 存在一个最小整数米(ķ)这样对于每个分区1,2,…,米=一种⊔乙和米≥米(ķ),其中之一一种和乙包含一个ķ项算术级数。

在本节中,我们将研究一个密切相关的结果,从表面上看,它似乎足以证明 Szemerédi 定理。关于满足定理条件的集合的一种可能的想法2.70是它们不能有任意长的间隔(警告:这不是真的),或者,如果有,那么它们必须有任意长的间隔(警告:这也不是真的)。这些似乎是合理的,所以我们将调查我们可以对这种情况说些什么。

定义2.72(综合,分段综合)。让S=\left{s_{i}\right}_{i \in Z^{+}}S=\left{s_{i}\right}_{i \in Z^{+}}. 我们说小号如果存在,则为综合的d∈从+这样|s一世+1−s一世|≤d对全部一世∈从+. 我们说小号如果存在则分段合成d∈从+这样对于任何n∈从+, 那里存在j∈从+这样|s一世+1−s一世|≤d为了一世=j,j+1,…,j+n−1.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Density Hales-Jewett Theorem

我们从本小节标题中的定理陈述开始:
定理 2.74(密度 Hales-Jewett 定理)。让ε>0然后让ķ,r∈ 从+. 让在(米)是长度可变的所有单词的集合米在字母表上1,2,…,ķ∪X. 存在一个整数ñ=ñ(ε,ķ)这样对于任何n≥ñ, 每个子集小号⊆[1,ķ]n和|小号|>εķn承认在(X)∈在(n)和在(一世):一世∈[1,ķ]⊆小号.

这个结果最初是由 Furstenberg 和 Katznelson [77] 使用遍历理论证明的(见第5.2介绍遍历理论技术)。30 多年后,开发了一种组合证明[160]。不用说,这两个证明都很深,不适合这个

书。有关定理 2.74 的详细说明,请访问 [161] 的最后一章(由 Steger 撰写;参见 [161] 的前言)。

我们注意到ķ=2案例通过查看X1X2⋯Xn∈[1,2]n作为的子集[1,n]包含一世当且仅当X一世=2. 考虑格子[1,2]n通过包含相关子集进行部分排序,即,如果一个子集是另一个子集,则一条边连接两个子集。我们正在寻找在(X)∈在(n)这样在(1)和在(2)都在小号. 这意味着我们正在寻找由一条边连接的两个子集。

回想一下 poset 中反链的概念。反链是晶格中的一组元素,它们之间没有边。一个基本的偏序结果是 Sperner 的引理,它指出每个子集的反链[1,n]在包含偏序下最多有大小
(n ⌊n2⌋)=n!⌊n2⌋2≈2圆周率n(n和)n圆周率n(n/2和)n=2n圆周率2n=这(2n)
我们使用的是斯特林近似值。最后,请注意,如果我们的集合小号拥有|小号|≥ε⋅2n, 然后小号不能是反链,因为它包含超过这(2n)元素。因此,小号必须包含两个元素,它们之间有一条边,这就是我们想要展示的。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Arnautov-Folkman-Rado-Sanders’ Theorem

The result named in this subsection is a mouthful. This stems from the independent, and distinct, proofs used to prove the result that all occurred around the same time. From historical research done by Soifer [191] we find that Arnautov in [9], Folkman via personal communication, and Sanders in [178], all proved the same result, which is a generalization of Schur’s Theorem. As noted in [84], the result also follows directly from Rado’s Theorem (hence the inclusion of Rado’s name). We will offer two different proofs in this subsection: one based on van der Waerden’s Theorem (due to Folkman) and one based on Rado’s Theorem. A third proof will be given in Section 3.3.2 as it appeals to a result presented in the next chapter. Other (different) proofs can be found in $[152,199]$.

Theorem 2.55 (Arnautov-Folkman-Rado-Sanders’ Theorem). Let $k, r \in \mathbb{Z}^{+}$. There exists a minimal positive integer $n=n(k ; r)$ such that every $r$-coloring of $[1, n]$ admits $S \subseteq[1, n]$ with $|S|=k$ such that $F S(S)$ is monochromatic.
Proof based on van der Waerden’s Theorem. We start by defining the auxiliary function $a=a(k ; r)$ as the minimal positive integer such that every $r$-coloring of $[1, a]$ admits $B=\left{b_{1}<b_{2}<\cdots<b_{k}\right}$ with $F S(B) \subseteq[1, a]$ such that
$$
\chi\left(b_{i_{1}}+b_{i_{2}}+\cdots+b_{i_{j}}\right)=\chi\left(b_{i_{j}}\right)
$$
for any $j \in[1, k]$ with $i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{j}$.
Assume for the moment that $a(k ; r)$ exists for all $k, r \in \mathbb{Z}^{+}$. Then, by considering $a(r(k-1)+1 ; r)$, we have $B=\left{b_{1}<b_{2}<\cdots<b_{r(k-1)+1}\right}$. By the pigeonhole principle, there must be at least $k$ elements of $B$ of the same color. Say $S=\left{b_{i_{1}}, b_{i_{2}}, \cdots, b_{i_{k}}\right}$ is monochromatic. Since $F S(S) \subseteq F S(B)$ we see that every element of $F S(S)$ is colored by the largest element of the sum. Since this largest element is necessarily in $S$, and since $S$ is monochromatic, we see that $F S(S)$ is monochromatic.

So, we will be done once we establish the existence of $a(k ; r)$. We proceed by induction on $k$, with $k=1$ being trivial. Hence, let $\ell=a(k-1 ; r)$ and let

$m=w(\ell+1 ; r)$. We will show that $a(k ; r) \leq 2 m$. To this end, consider any $r$-coloring of $[1,2 m]$. By van der Waerden’s Theorem, there exist
$$
c, c+d, \ldots, c+\ell d \in[m+1,2 m]
$$
all the same color. Note that $c>m$.
Since sumsets are closed under dilation, we can apply the inductive assumption to $d[1, \ell]$ to obtain
$$
B=\left{d b_{1}m$. Let $b_{k}=c$ and notice that $d b_{k-1}<b_{k}$. As every element of $F S(B)$ is a multiple of $d$, with largest possible multiple $d \ell$ (the sum of all elements of $B$ must remain in $d[1, \ell]$ by definition of $a(k-1 ; r)$; otherwise elements larger than $a(k-1 ; r)$ would not be assigned a color $)$. Hence, if $s \in F S(B)$ we see that $s+b_{k}=c+j d$ for some $j \in[1, \ell]$. Since all members of $c+d, \ldots, c+\ell d$ are the same color as $c=b_{k}$, we have $a(k ; r) \leq 2 m$.

Proof based on Rado’s Theorem. Consider the following system of linear homogeneous equations:
$$
\left{\sum_{i \in I} x_{i}=y_{I}: 0 \neq I \subseteq[1, k]\right},
$$
where we index the $y$ ‘s by the subset over which we are summing. By showing a monochromatic solution to this system exists we will have values of the variables for which $F S\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)$ is monochromatic. By Rado’s Theorem we will be done once we show that the associated coefficient matrix satisfies the columns condition.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Hindman’s Theorem

We are still investigating finite sums $F S(S)$; however, we will now be considering the situation when $S$ is infinite. In particular, does the conclusion of Theorem $2.55$ hold when $S$ is infinite? As you may suspect if you read the title of this subsection, an answer was achieved by Hindman [109].

Theorem $2.56$ (Hindman’s Theorem). Let $r \in \mathbb{Z}^{+}$. Every $r$-coloring of $\mathbb{Z}^{+}$ admits an infinite set $A \subseteq \mathbb{Z}^{+}$such that $F S(A)$ is monochromatic.

The proof of this must be fundamentally different than the proof when $S$ is finite. We can use neither van der Waerden’s Theorem nor Rado’s Theorem as these will only give us arbitrarily large – not infinite – sets, since both are results about finite structures.

The proof of Hindman’s Theorem is quite involved, so we will break it up into several lemmas before putting the pieces together. We will follow the proof given by Baumgartner [11]. But first, a definition is in order.

Definition $2.57$ (Disjoint sumset of $S$ ). Let $S, T \subseteq \mathbb{Z}^{+}$be infinite sets. We say $T \subseteq F S(S)$ is a disjoint sumset of $S$, and write $T \in \mathcal{D S}(S)$, if every element of $S$ is contained in at most one sum/element in $T$, where $\mathcal{D} S(S)$ is the class of all disjoint sumsets of $S$.

The benefit of this class of finite sums is that if $t_{1}, t_{2} \in T \in \mathcal{D S}(S)$ then $t_{1}+t_{2} \in F S(S)$ since the elements from $S$ used in $t_{1}$ are distinct from those used in $t_{2}$. Using this idea, we immediately have the following lemma, the proof of which is left to the reader as Exercise 2.17.

Lemma 2.58. Let $S, T, U \subseteq \mathbb{Z}^{+}$be infinite sets with $T \in \mathcal{D S}(S)$ and $U \in$ $\mathcal{D} S(T)$. Then
(i) $F S(T) \subseteq F S(S)$; and
(ii) $U \in \mathcal{D S}(S)$.
Before the next lemma, we require another definition.
Definition $2.59$ (Intersective for $S$ ). Let $S \subseteq \mathbb{Z}^{+}$be infinite. We say that a set $X$ is intersective for $S$ if for all $T \in \mathcal{D S}(S)$ we have $F S(T) \cap X \neq \emptyset$.
A crucial observation here is that any intersective set must be infinite. This can be confirmed by part (ii) of the next lemma.
Lemma 2.60. Let $X, S$ be subsets of $\mathbb{Z}^{+}$. The following hold:
(i) Let $n \in \mathbb{Z}^{+}$and assume $X=\bigsqcup_{i=1}^{n} X_{i} .$ If $X$ is intersective for $S$, then there exists $T \in \mathcal{D S}(S)$ and $i \in{1,2, \ldots, n}$ such that $X_{i}$ is intersective for $T$.
(ii) If $F$ is a finite subset of $\mathbb{Z}^{+}$and $X$ is intersective for $S$, then $X \backslash F$ is intersective for $S$.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Density Results

We end this chapter by presenting some analytic approaches to integer Ramsey theory. We will mainly be considering arithmetic progressions. The standard notation used for density results concerning van der Waerden’s Theorem is given next.

Notation. For $k, n \in \mathbb{Z}^{+}$denote by $r_{k}(n)$ the maximal size of a subset of $[1, n]$ with no $k$-term arithmetic progression.

We start with a result due to Behrend $[14]$ that seems to have been overlooked. This was communicated to the author by Tom Brown. Behrend’s result appeared just a year after Erdös and Turán [71] defined $r_{3}(n)$ and showed that
$$
\frac{r_{3}(n)}{n}<\frac{3}{8}+o(1)
$$

Behrend’s result is more sweeping.
Theorem 2.67. For each $k \in Z^{+}$we have that
$$
L_{k}=\lim {n \rightarrow \infty} \frac{r{k}(n)}{n}
$$
exists and, more importantly,
$$
L=\lim {k \rightarrow \infty} L{k} \in{0,1}
$$
Proof. The fact that $L_{k}$ exists is standard and left to the reader as Exercise 2.22. The fact that $L$ exists follows from $0 \leq L_{1} \leq L_{2} \leq \cdots \leq L_{k} \leq \cdots \leq 1$, which is a monotonic infinite sequence on a closed interval. Thus, we need only show that $L$ is either 0 or 1 .
We will first show that, for every $n \in \mathbb{Z}^{+}$, we have
$$
\frac{r_{k}(n)}{n}>L_{k}
$$
Assume, for a contradiction, that there exists $m \in \mathbb{Z}^{+}$such that Inequality $(2.3)$ is false for $m$. We may assume that for all $n \in \mathbb{Z}^{+}$we have
$$
\frac{r_{k}(m)}{m} \leq \frac{r_{k}(n)}{n}
$$
We next note that $r_{k}(m n) \leq n r_{k}(m)$ since if $S \subseteq[1, m n]$ avoids $k$-term arithmetic progressions, then it is necessary (but not sufficient) that each of the intervals $[1, m],[m+1,2 m], \ldots,[(n-1) m+1, n m]$ contains at most $r_{k}(m)$ integers from $S$. From Inequality $(2.4)$ and this observation, we have
$$
\frac{r_{k}(m)}{m} \leq \frac{r_{k}(m n)}{m n} \leq \frac{n r_{k}(m)}{m n}=\frac{r_{k}(m)}{m}
$$
and we conclude that $r_{k}(m n)=n r_{k}(m)$ for all $n \in \mathbb{Z}+$.
Define the intervals
$$
A_{i}=[(i-1) m+1, i m], \quad i=1,2, \ldots, w\left(k ; 2^{m}\right)
$$
where $w\left(k ; 2^{m}\right)$ is the van der Waerden number. Consider
$$
n=w\left(k ; 2^{m}\right)
$$

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Finite Sums

离散数学代写

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Arnautov-Folkman-Rado-Sanders’ Theorem

本小节中命名的结果是满口的。这源于用于证明所有结果几乎同时发生的独立且独特的证据。从 Soifer [191] 所做的历史研究中,我们发现 [9] 中的 Arnautov、通过个人交流的 Folkman 和 [178] 中的 Sanders 都证明了相同的结果,这是 Schur 定理的推广。如 [84] 中所述,结果也直接来自 Rado 定理(因此包含 Rado 的名称)。我们将在本小节中提供两种不同的证明:一种基于 van der Waerden 定理(由于 Folkman),另一种基于 Rado 定理。第 3.3.2 节将给出第三个证明,因为它与下一章中提出的结果相呼应。其他(不同的)证明可以在[152,199].

定理 2.55(Arnautov-Folkman-Rado-Sanders 定理)。让ķ,r∈从+. 存在一个最小正整数n=n(ķ;r)这样每一个r- 着色[1,n]承认小号⊆[1,n]和|小号|=ķ这样F小号(小号)是单色的。
基于范德瓦尔登定理的证明。我们从定义辅助函数开始一种=一种(ķ;r)作为最小正整数,使得每个r- 着色[1,一种]承认B=\left{b_{1}<b_{2}<\cdots<b_{k}\right}B=\left{b_{1}<b_{2}<\cdots<b_{k}\right}和F小号(乙)⊆[1,一种]这样
χ(b一世1+b一世2+⋯+b一世j)=χ(b一世j)
对于任何j∈[1,ķ]和一世1<一世2<⋯<一世j.
暂时假设一种(ķ;r)为所有人而存在ķ,r∈从+. 然后,通过考虑一种(r(ķ−1)+1;r), 我们有B=\left{b_{1}<b_{2}<\cdots<b_{r(k-1)+1}\right}B=\left{b_{1}<b_{2}<\cdots<b_{r(k-1)+1}\right}. 根据鸽巢原理,至少有ķ要点乙相同的颜色。说S=\left{b_{i_{1}}, b_{i_{2}}, \cdots, b_{i_{k}}\right}S=\left{b_{i_{1}}, b_{i_{2}}, \cdots, b_{i_{k}}\right}是单色的。自从F小号(小号)⊆F小号(乙)我们看到,每一个元素F小号(小号)由总和的最大元素着色。因为这个最大的元素必然在小号,并且由于小号是单色的,我们看到F小号(小号)是单色的。

所以,一旦我们确定存在一种(ķ;r). 我们通过归纳继续ķ, 和ķ=1是微不足道的。因此,让ℓ=一种(ķ−1;r)然后让

米=在(ℓ+1;r). 我们将证明一种(ķ;r)≤2米. 为此,考虑任何r- 着色[1,2米]. 根据范德瓦尔登定理,存在
C,C+d,…,C+ℓd∈[米+1,2米]
都是一样的颜色。注意C>米.
由于和集在膨胀下是闭合的,我们可以将归纳假设应用于d[1,ℓ]得到
$$
B=\left{db_{1}m.大号和吨b_{k}=c一种ndn这吨一世C和吨H一种吨d b_{k-1}<b_{k}.一种s和在和r是和l和米和n吨这F前卫(乙)一世s一种米在l吨一世pl和这Fd,在一世吨Hl一种rG和s吨p这ss一世bl和米在l吨一世pl和d \ ell(吨H和s在米这F一种ll和l和米和n吨s这F乙米在s吨r和米一种一世n一世nd [1, \ell]b是d和F一世n一世吨一世这n这Fa(k-1 ; r);这吨H和r在一世s和和l和米和n吨sl一种rG和r吨H一种na(k-1 ; r)在这在ldn这吨b和一种ss一世Gn和d一种C这l这r).H和nC和,一世Fs \in FS(B)在和s和和吨H一种吨s+b_{k}=c+jdF这rs这米和j \in[1, \ell].小号一世nC和一种ll米和米b和rs这Fc+d, \ldots, c+\ell d一种r和吨H和s一种米和C这l这r一种sc=b_{k},在和H一种在和a(k ; r) \leq 2 m$。

基于拉多定理的证明。考虑以下线性齐次方程组:
\left{\sum_{i \in I} x_{i}=y_{I}: 0 \neq I \subseteq[1, k]\right},\left{\sum_{i \in I} x_{i}=y_{I}: 0 \neq I \subseteq[1, k]\right},
我们在哪里索引是是我们求和的子集。通过显示该系统的单色解存在,我们将获得变量的值F小号(X1,X2,…,Xķ)是单色的。根据拉多定理,一旦我们证明相关系数矩阵满足列条件,我们就可以完成。

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Hindman’s Theorem

我们仍在研究有限和F小号(小号); 然而,我们现在要考虑的情况是小号是无限的。特别是,定理的结论2.55持有时小号是无限的吗?如果您阅读本小节的标题,您可能会怀疑,Hindman [109] 给出了答案。

定理2.56(欣德曼定理)。让r∈从+. 每一个r- 着色从+承认一个无限集一种⊆从+这样F小号(一种)是单色的。

证明这一点必须与证明时的证明根本不同小号是有限的。我们既不能使用范德瓦尔登定理也不能使用拉多定理,因为它们只会给我们任意大的——而不是无限的——集合,因为它们都是关于有限结构的结果。

Hindman 定理的证明非常复杂,所以我们将把它分解成几个引理,然后再把它们放在一起。我们将遵循 Baumgartner [11] 给出的证明。但首先,定义是有序的。

定义2.57(不相交的总和小号)。让小号,吨⊆从+是无限集。我们说吨⊆F小号(小号)是一个不相交的和集小号, 和写吨∈D小号(小号), 如果每个元素小号最多包含在一个总和/元素中吨, 在哪里D小号(小号)是所有不相交和集的类小号.

这类有限和的好处是,如果吨1,吨2∈吨∈D小号(小号)然后吨1+吨2∈F小号(小号)因为元素来自小号用于吨1不同于那些用于吨2. 使用这个想法,我们立即得到以下引理,其证明留给读者作为练习 2.17。

引理 2.58。让小号,吨,在⊆从+是无限集吨∈D小号(小号)和在∈ D小号(吨). 那么
(一)F小号(吨)⊆F小号(小号); (
ii)在∈D小号(小号).
在下一个引理之前,我们需要另一个定义。
定义2.59(相交为小号)。让小号⊆从+是无限的。我们说一组X是相交的小号如果对所有人吨∈D小号(小号)我们有F小号(吨)∩X≠∅.
这里的一个关键观察是任何相交集都必须是无限的。这可以通过下一个引理的(ii)部分来证实。
引理 2.60。让X,小号是的子集从+. 以下成立:
(i) 让n∈从+并假设X=⨆一世=1nX一世.如果X是相交的小号, 那么存在吨∈D小号(小号)和一世∈1,2,…,n这样X一世是相交的吨.
(ii) 如果F是的有限子集从+和X是相交的小号, 然后X∖F是相交的小号.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Density Results

我们通过介绍整数拉姆齐理论的一些分析方法来结束本章。我们将主要考虑算术级数。下面给出有关范德瓦尔登定理的密度结果的标准符号。

符号。为了ķ,n∈从+表示为rķ(n)子集的最大大小[1,n]没有ķ项算术级数。

我们从 Behrend 的结果开始[14]这似乎被忽略了。这是由汤姆布朗传达给作者的。Behrend 的结果出现在 Erdös 和 Turán [71] 定义后仅一年r3(n)并表明
r3(n)n<38+这(1)

贝伦德的结果更为全面。
定理 2.67。对于每个ķ∈从+我们有
大号ķ=林n→∞rķ(n)n
存在,更重要的是,
大号=林ķ→∞大号ķ∈0,1
证明。事实是大号ķ存在是标准的,留给读者作为练习 2.22。事实是大号存在于0≤大号1≤大号2≤⋯≤大号ķ≤⋯≤1,它是闭区间上的单调无穷序列。因此,我们只需要证明大号是 0 或 1 。
我们将首先证明,对于每个n∈从+, 我们有
rķ(n)n>大号ķ
假设,对于一个矛盾,存在米∈从+这样不等式(2.3)是错误的米. 我们可以假设对于所有n∈从+我们有
rķ(米)米≤rķ(n)n
我们接下来注意到rķ(米n)≤nrķ(米)因为如果小号⊆[1,米n]避免ķ项算术级数,则有必要(但不充分)每个区间[1,米],[米+1,2米],…,[(n−1)米+1,n米]最多包含rķ(米)来自的整数小号. 从不平等(2.4)而这个观察,我们有
rķ(米)米≤rķ(米n)米n≤nrķ(米)米n=rķ(米)米
我们得出结论rķ(米n)=nrķ(米)对全部n∈从+.
定义间隔
一种一世=[(一世−1)米+1,一世米],一世=1,2,…,在(ķ;2米)
在哪里在(ķ;2米)是范德瓦尔登数。考虑
n=在(ķ;2米)

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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离散数学是研究可以被认为是 “离散”(类似于离散变量,与自然数集有偏射)而不是 “连续”(类似于连续函数)的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下,离散数学不包括 “连续数学 “中的课题,如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举;更正式地说,离散数学被定性为处理可数集的数学分支(有限集或与自然数具有相同心数的集)。然而,”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。

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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Nonlinear Equations

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Nonlinear Equations

Thanks to Rado, we have a complete understanding of which systems of linear equations are regular. An obvious next step is the investigation of nonlinear equations.

Perhaps Pythagorean triples, i.e., solutions to $x^{2}+y^{2}=z^{2}$, pop to mind first. While this is a homogeneous equation, let’s not make the situation harder than we must. We’ll start with $x+y=z^{2}$. The following result is due to Green and Lindqvist $[88]$; we follow Pach $[156]$ for the proof of 2-regularity.
Theorem 2.28. The equation $x+y=z^{2}$ is 2-regular, but not 3-regular.
Proof. Of course $(x, y, z)=(2,2,2)$ is always a monochromatic solution under any coloring, so we do not allow this as a valid monochromatic solution.

We start by exhibiting a 3 -coloring of $\mathbb{Z}^{+}$with no monochromatic solution. Define the intervals
$$
I_{j}=\left{i \in \mathbb{Z}^{+}: 2^{j} \leq i \leq 2^{j+1}-1\right} \quad \text { for } \quad j=0,1,2, \ldots
$$
Let the colors be 0,1 , and 2 . For $j=0,1$, and 2 , color all elements of $I_{j}$ by color $j$. For $j=3,4, \ldots$, in order, color all elements of $I_{j}$ with a color missing from
$$
I_{\left\lfloor\frac{j}{2}\right\rfloor} \cup I_{\left\lfloor\frac{j}{2}\right\rfloor+1} .
$$

Assume, for a contradiction, that $a+b=c^{2}$ with $a \leq b$ is a monochromatic solution under this coloring. For some $j$ we have $b \in I_{j}$. Since $a \leq b$ we have $2^{j}<a+b<2^{j+2}$ so that $2^{\frac{j}{2}}<c<2^{\frac{j}{2}+1}$. Hence, $c \in I_{\left\lfloor\frac{j}{2}\right\rfloor} \cup I_{\left\lfloor\frac{j}{2}\right\rfloor+1}$. By construction, if $j \geq 3$, this means that the color of $c$ and $b$ are different. For $j \in{0,1,2}$ we have $b<8$ so that $c \in{2,3}$. For $c=2$, the only solutions are $(a, b, c)=(1,3,2)$ and $(2,2,2)$. The first is not monochromatic and the latter is not a valid monochromatic solution. For $c=3$, the solutions are $(2,7,3),(3,6,3)$, and $(4,5,3)$, none of which are monochromatic. Hence, the equation is not 3 -regular.

We continue by showing that for $n \geq 14$, the interval $\left[n,(10 n)^{4}\right]$ admits a monochromatic solution under any 2-coloring. To this end, let $\chi$ : $\left[n,(10 n)^{4}\right] \rightarrow{-1,1}$ be an arbitrary coloring. We use the colors $-1$ and 1 instead of the more standard 0 and 1 since we will be deriving inequalities about sums of colors and sums of $-1$ s and 1 s have more easily described properties.
Assume, for a contradiction, that $\chi$ does not admit a monochromatic solution. Since $(x, y, z)=\left(n^{2}, 80 n^{2}, 9 n\right)$ is a solution, we see that $\left[9 n, 80 n^{2}\right]$ cannot be entirely of one color. Hence, there exists
$$
k \in\left[9 n, 80 n^{2}-1\right]
$$
such that, without loss of generality, $\chi(k)=1$ and $\chi(k+1)=-1$.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Algebraic Equations

Clearly $\mathbb{Z}^{+}$is closed under addition and multiplication; however, it does not contain nontrivial multiplicative or additive inverses. This is one reason that the (non-)regularity over $\mathbb{Z}^{+}$of some of the equations in the last subsection is hard to prove. If we consider fields, we will have more tools at our disposal and may be able to prove more. This does not mean the results are easy, just that we are able to bring in more algebra and number theory. We will restrict our attention to prime order fields, i.e., $\mathbb{F}_{p}$ with $p$ prime.

A word of caution: positive results over fields do not necessarily imply that the corresponding result over $Z^{+}$is true. For example, if we consider $x^{3}+y^{3}=z^{3}$, we know that there is no solution over $Z^{+}$, while it is easy to find solutions over prime-order fields $\mathbb{F}_{p}$, e.g., $3^{3}+5^{3} \equiv 4^{3}(\bmod 11)$. Note, however, if we can find that an equation is not $r$-regular over any sufficiently large prime-order fields, then we can conclude the non-regularity over $\mathbb{Z}^{+}$via the contrapositive of the Compactness Principle.

With regards to the Fermat equations, it is known [186] that for any $k \in$ $\mathbb{Z}^{+}$, for all sufficiently large primes $p$, the equation $x^{k}+y^{k}=z^{k}$ is regular over $F_{p}$, i.e., $x^{k}+y^{k} \equiv z^{k}(\bmod p)$ has a monochromatic solution with $x y z \not 0$ $(\bmod p)$ for any $r$-coloring of $\mathbb{F}_{p}$ for $p$ a sufficiently large prime. We will not prove this result here; it is shown in Section 7.1.

All results in this subsection will be presented without proof as they use methods not commonly encountered in undergraduate mathematics. We will, however, in Sections $2.5,5.2$, and 5.4, present introductions to some of the tools used in these proofs and apply these tools to other, more fundamental, results.

Theorem 2.42. For any $r \in \mathbb{Z}^{+}$, there exists a prime $P(r)$ such that the equation $x+y=u v$ is $r$-regular over $\mathbb{F}_{p}$ for all primes $p \geq P(r)$.

The above theorem is due to Sárközy [181]. After reading through Section

$2.5$, the interested reader should be able to work through its proof. Theorem $2.42$ was extended to prime power fields in [53].

As shown in the last section, $x+y=z^{2}$ is not regular – in fact, it is not even 3-regular – over $\mathbb{Z}^{+}$. The situation over $\mathbb{F}_{p}$ is much different.

Theorem 2.43. For any $r \in \mathbb{Z}^{+}$, there exists a prime $P(r)$ such that the equation $x+y=z^{2}$ is $r$-regular over $\mathbb{F}_{p}$ for all primes $p \geq P(r)$.

Theorem $2.43$ is due to Lindqvist [135], who shows more generally that $x^{j}+y^{k}=z^{\ell}$ is regular over $\mathbb{F}_{p}$ (compare this with Theorem $2.31$ and its subsequent discussion).

Lindqvist, in [135], uses techniques employed by Green and Sanders in [89] to prove the following theorem, the finite field analogue of the ${a, b, a+b, a b}$ regularity (over $\mathbb{Z}^{+}$) open question.

Theorem 2.44. For any $r \in \mathbb{Z}^{+}$, there exists a prime $P(r)$ such that the system $z=x+y, w=x y$ is $r$-regular over $\mathbb{F}{p}$ for all primes $p \geq P(r)$. Consequently, every $r$-coloring of $\mathbb{F}{p}$ admits a monochromatic set of the form ${a, b, a+b, a b}$ for all sufficiently large primes $p$.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Hales-Jewett Theorem

We now come to a fundamental Ramsey object. In 1963 , Hales and Jewett [96] produced a new proof of van der Waerden’s Theorem by discovering a more general – and significantly stronger – result, from which van der Waerden’s Theorem follows readily. Indeed, Deuber’s Theorem (on $(m, p, c)$-sets; see Theorem 2.13) can be deduced from their result (although not easily); see [131] and also Prömel’s proof as reproduced in [93].

As the Hales-Jewett Theorem is a multi-dimensional theorem, we have need of the following standard notation.
Notation. For any set $S$, we let $S^{n}=\underbrace{S \times S \times \cdots \times S}{n \text { copies }}$. In order to state Hales and Jewett’s result, we use the following definition. (We will use the language of variable words; other authors refer to evaluated variable words as combinatorial lines, but we will not use this language.) Definition 2.45 (Variable word). A word of length $m$ over the alphabet $\mathcal{A}$ is an element of $\mathcal{A}^{m}$, which we may write as $a{1} a_{2} \ldots a_{m}$ with $a_{i} \in \mathcal{A}$ for all $1 \leq i \leq m$. Let $x$ be a variable which may take on any value in $\mathcal{A}$. A word $w(x)$ over the alphabet $\mathcal{A} \cup{x}$ is called a variable word if $x$ occurs in $w(x)$. For $i \in \mathcal{A}$, the word $w(i)$ is obtained by replacing each occurrence of $x$ with $i$.

Algebraic Expressions and Formulas
数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Nonlinear Equations

离散数学代写

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感谢 Rado,我们完全了解了哪些线性方程组是规则的。一个明显的下一步是研究非线性方程。

也许毕达哥拉斯三元组,即解X2+是2=和2,首先想到的。虽然这是一个齐次方程,但我们不要让情况变得比我们必须的更难。我们将从X+是=和2. 以下结果归功于 Green 和 Lindqvist[88]; 我们跟随帕赫[156]用于证明 2-正则性。
定理 2.28。方程X+是=和2是 2-正则,但不是 3-正则。
证明。当然(X,是,和)=(2,2,2)在任何着色下始终是单色解决方案,因此我们不允许将其作为有效的单色解决方案。

我们首先展示一个 3-coloring从+没有单色溶液。定义间隔
I_{j}=\left{i \in \mathbb{Z}^{+}: 2^{j} \leq i \leq 2^{j+1}-1\right} \quad \text { for } \quad j=0,1,2, \ldotsI_{j}=\left{i \in \mathbb{Z}^{+}: 2^{j} \leq i \leq 2^{j+1}-1\right} \quad \text { for } \quad j=0,1,2, \ldots
让颜色为 0,1 和 2 。为了j=0,1, 和 2 , 为所有元素着色一世j按颜色j. 为了j=3,4,…, 依次为所有元素着色一世j缺少颜色
一世⌊j2⌋∪一世⌊j2⌋+1.

假设,对于一个矛盾,一种+b=C2和一种≤b是这种着色下的单色溶液。对于一些j我们有b∈一世j. 自从一种≤b我们有2j<一种+b<2j+2以便2j2<C<2j2+1. 因此,C∈一世⌊j2⌋∪一世⌊j2⌋+1. 通过构造,如果j≥3,这意味着颜色C和b是不同的。为了j∈0,1,2我们有b<8以便C∈2,3. 为了C=2,唯一的解决方案是(一种,b,C)=(1,3,2)和(2,2,2). 第一个不是单色的,后者不是有效的单色解决方案。为了C=3, 解决方案是(2,7,3),(3,6,3), 和(4,5,3),没有一个是单色的。因此,方程不是 3 正则的。

我们继续展示n≥14, 区间[n,(10n)4]允许任何 2 着色下的单色溶液。为此,让χ : [n,(10n)4]→−1,1是任意着色。我们使用颜色−1和 1 而不是更标准的 0 和 1,因为我们将推导关于颜色和的不等式−1s 和 1 s 具有更容易描述的属性。
假设,对于一个矛盾,χ不承认单色解决方案。自从(X,是,和)=(n2,80n2,9n)是一个解决方案,我们看到[9n,80n2]不能完全是一种颜色。因此,存在
ķ∈[9n,80n2−1]
这样,在不失一般性的情况下,χ(ķ)=1和χ(ķ+1)=−1.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Algebraic Equations

清楚地从+在加法和乘法下闭合;但是,它不包含非平凡的乘法或加法逆。这是(非)规律性结束的原因之一从+上一小节中的一些方程很难证明。如果我们考虑领域,我们将拥有更多可供我们使用的工具,并且可能能够证明更多。这并不意味着结果很容易,只是我们能够引入更多的代数和数论。我们将把注意力限制在素数领域,即Fp和p主要。

提醒一句:字段上的阳性结果并不一定意味着相应的结果从+是真的。例如,如果我们考虑X3+是3=和3,我们知道没有解决方案从+, 而在素数域上很容易找到解Fp,例如,33+53≡43(反对11). 但是请注意,如果我们可以发现一个方程不是r-在任何足够大的素数阶域上是正则的,那么我们可以得出非正则性的结论从+通过紧致原则的对立面。

关于费马方程,已知 [186] 对于任何ķ∈ 从+, 对于所有足够大的素数p, 方程Xķ+是ķ=和ķ定期结束Fp, IE,Xķ+是ķ≡和ķ(反对p)有一个单色溶液X是和⧸0 (反对p)对于任何r- 着色Fp为了p一个足够大的素数。我们不会在这里证明这个结果;如第 7.1 节所示。

本小节中的所有结果将在没有证据的情况下呈现,因为它们使用了本科数学中不常见的方法。但是,我们将在部分2.5,5.2和 5.4 介绍了这些证明中使用的一些工具,并将这些工具应用于其他更基本的结果。

定理 2.42。对于任何r∈从+, 存在一个素数磷(r)这样等式X+是=在在是r- 定期结束Fp对于所有素数p≥磷(r).

上述定理归因于 Sárközy [181]。通读章节后

2.5,感兴趣的读者应该能够完成它的证明。定理2.42在 [53] 中扩展到主要功率场。

如上一节所示,X+是=和2不是正则的——事实上,它甚至不是 3-正则的——超过从+. 局势结束Fp有很大不同。

定理 2.43。对于任何r∈从+, 存在一个素数磷(r)这样等式X+是=和2是r- 定期结束Fp对于所有素数p≥磷(r).

定理2.43是由于 Lindqvist [135],他更普遍地表明Xj+是ķ=和ℓ定期结束Fp(将此与定理进行比较2.31及其随后的讨论)。

Lindqvist 在 [135] 中使用 Green 和 Sanders 在 [89] 中采用的技术来证明以下定理,即一种,b,一种+b,一种b规律性(超过从+) 开放式问题。

定理 2.44。对于任何r∈从+, 存在一个素数磷(r)这样系统和=X+是,在=X是是r- 定期结束Fp对于所有素数p≥磷(r). 因此,每r- 着色Fp承认形式的单色集一种,b,一种+b,一种b对于所有足够大的素数p.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Hales-Jewett Theorem

我们现在来到一个基本的 Ramsey 对象。1963 年,Hales 和 Jewett [96] 通过发现一个更一般且明显更强的结果,为范德瓦尔登定理提供了一个新的证明,范德瓦尔登定理很容易由此得出。事实上,杜伯定理(在(米,p,C)-套; 见定理 2.13)可以从他们的结果中推导出来(虽然不容易);参见 [131] 以及在 [93] 中复制的 Prömel 的证明。

由于 Hales-Jewett 定理是一个多维定理,我们需要以下标准符号。
符号。对于任何集合小号,我们让小号n=小号×小号×⋯×小号⏟n 副本 . 为了说明 Hales 和 Jewett 的结果,我们使用以下定义。(我们将使用可变词的语言;其他作者将评估的可变词称为组合线,但我们不会使用这种语言。) 定义 2.45(可变词)。一个字长米在字母表上一种是一个元素一种米,我们可以写成一种1一种2…一种米和一种一世∈一种对全部1≤一世≤米. 让X是一个可以取任何值的变量一种. 一个字在(X)在字母表上一种∪X被称为变量词 ifX发生在在(X). 为了一世∈一种, 这个单词在(一世)是通过替换每次出现的X和一世.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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