数学代写|概率论代写Probability theory代考|Characteristic Function
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概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释,但概率论以严格的数学方式处理这一概念,通过一套公理来表达它。
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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Characteristic Function
In previous sections we analyzed distributions $J$ on a locally compact metric space $(S, d)$ in terms of their values $J g$ at basis functions $g$ in a partition of unity. In the special case where $(S, d)$ is the Euclidean space $R$, the basis functions can be replaced by the exponential functions $h_\lambda$, where $\lambda \in R$, where $h_\lambda(x) \equiv e^{i \lambda x}$ for each $x \in R$, and where $i \equiv \sqrt{-1}$. The result is characteristic functions, which are most useful in the study of distributions of r.r.v.’s.
The classical development of this tool, such as in [Chung 1968] or [Loeve 1960], is constructive, except for infrequent and nonessential appeals to the principle of infinite search. The bare essentials of this material are presented here for completeness and for ease of reference. The reader who is familiar with the topic and is comfortable with the notion that the classical treatment is constructive, or easily made so, can skip over this and the next section and come back only for reference.
We will be working with complex-valued measurable functions. Let $\mathbb{C}$ denote the complex plane equipped with the usual metric.
Definition 5.8.1. Complex-valued integrable function. Let $I$ be an integration on a locally compact metric space $(S, d)$, and let $(S, \Lambda, I)$ denote the completion of the integration space $(S, C(S), I)$. A function $X \equiv I U+i I V: S \rightarrow \mathbb{C}$ whose real part $U$ and imaginary part $V$ are measurable on $(S, \Lambda, I)$ is said to be measurable on $(S, \Lambda, I)$. If both $U, V$ are integrable, then $X$ is said to be integrable, with integral $I X \equiv I U+i I V$.
By separation into real and imaginary parts, the complex-valued functions immediately inherit the bulk of the theory of integration developed hitherto in this book for real-valued functions. One exception is the very basic inequality $|I X| \leq I|X|$ when $|X|$ is integrable. Its trivial proof in the case of real-valued integrable functions relies on the linear ordering of $R$, which is absent in $\mathbb{C}$. The next lemma gives a proof for complex-valued integrable functions.
Lemma 5.8.2. $|I X| \leq I|X|$ for complex-valued integrable function $X$. Use the notations in Definition 5.8.1. Let $X: S \rightarrow \mathbb{C}$ be an arbitrary complex-valued function. Then the function $X$ is measurable in the sense of Definition 5.8.1 iff it is measurable in the sense of Definition 5.8.1. In other words, the former is consistent with the latter. Moreover, if $X$ is measurable and if $|X| \in L$, then $X$ is integrable with $|I X| \leq I|X|$.
Proof. Write $X \equiv I U+i I V$, where $U, V$ are the real and imaginary parts of $X$, respectively.
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Central Limit Theorem
Let $X_1, \ldots, X_n$ be independent r.r.v.’s with mean 0 and standard deviations $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$, respectively. Define $\sigma$ by $\sigma^2=\sigma_1^2+\cdots+\sigma_n^2$ and consider the distribution $F$ of the scaled sum $X=\left(X_1+\cdots+X_n\right) / \sigma$. By replacing $X_i$ with $X_i / \sigma$ we may assume that $\sigma=1$. The Central Limit Theorem says that if each individual summand $X_i$ is small relative to the sum $X$, then $F$ is close to the standard normal distribution $\Phi_{0,1}$.
One criterion, due to Lindberg and Feller, for the summands $X_k(k=1, \ldots, n)$ to be individually small relative to the sum, is for
$$
\theta(r) \equiv \sum_{k=1}^n\left(E 1_{\left|X_k\right|>r} X_k^2+E 1_{\left|X_k\right| \leq r}\left|X_k\right|^3\right)
$$
to be small for some $r \geq 0$.
Lemma 5.9.1. Lindberg-Feller bound. Suppose $r \geq 0$ is such that $\theta(r)<\frac{1}{8}$. Then $$ \sum_{k=1}^n \sigma_k^3 \leq \theta(r) $$ Proof. Consider each $k=1, \ldots, n$. Then, since $\theta(r)<\frac{1}{8}$ by hypothesis, we have $z \equiv E 1_{\left|X_k\right|>r} X_k^2<\frac{1}{8}$ and $a \equiv E 1_{\left|X_k\right| \leq r}\left|X_k\right|^3<\frac{1}{8}$. A consequence is that $\left(z+a^{2 / 3}\right)^{3 / 2} \leq z+a$, which can be seen by noting that the two sides are equal at $z=0$ and by comparing first derivatives relative to $z$ on $\left[0, \frac{1}{8}\right]$. Lyapunov’s inequality then implies that $$ \begin{aligned} \sigma_k^3 & =\left(E X_k^2 1_{\left(\left|X_k\right|>r\right)}+E X_k^2 1_{\left(\left|X_k\right| \leq r\right)}\right)^{3 / 2} \
& \leq\left(E X_k^2 1_{\left(\left|X_k\right|>r\right)}+\left(E\left|X_k\right|^3 1_{\left(\left|X_k\right| \leq r\right)}\right)^{2 / 3}\right)^{3 / 2} \
& \equiv\left(z+a^{2 / 3}\right)^{3 / 2} \leq z+a \equiv E X_k^2 1_{\left(\left|X_k\right|>r\right)}+E\left|X_k\right|^3 1_{\left(\left|X_k\right| \leq r\right)} .
\end{aligned}
$$
Summing over $k$, we obtain inequality 5.9.1.
概率论代考
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Characteristic Function
在前面的部分中,我们分析了分布 $J$ 在局部紧度量空间 $(S, d)$ 在他们的价值观方面 $J g$ 在基函数 $g$ 在统一的 分区中。在特殊情况下 $(S, d)$ 是欧氏空间 $R$, 基函数可以用指数函数代替 $h_\lambda$ , 在哪里 $\lambda \in R$ , 在哪里 $h_\lambda(x) \equiv e^{i \lambda x}$ 每个 $x \in R$, 在哪里 $i \equiv \sqrt{-1}$. 结果是特征函数,它在 rrv 分布的研究中最有用。
该工具的经典开发,例如 [Chung 1968] 或 [Loeve 1960],是建设性的,除了不经常和非必要地诉诸无限 搜索原则。为了完整性和便于参考,此处提供了该材料的基本要点。熟悉该主题并且对经典处理具有建设 性或易于实现这一概念感到满意的读者可以跳过本节和下一节,返回仅供参考。
我们将使用复值可测量函数。让 $\mathbb{C}$ 表示配备常用度量的复平面。
定义 5.8.1。复值可积函数。让 $I$ 是局部紧度量空间上的积分 $(S, d)$ ,然后让 $(S, \Lambda, I)$ 表示积分空间的完 成 $(S, C(S), I)$.一个功能 $X \equiv I U+i I V: S \rightarrow \mathbb{C}$ 谁的真实部分 $U$ 和虚部 $V$ 是可衡量的 $(S, \Lambda, I)$ 据 说是可测量的 $(S, \Lambda, I)$. 如果两者 $U, V$ 是可积的,那么 $X$ 据说是可积的,具有积分 $I X \equiv I U+i I V$.
通过分离成实部和虚部,复值函数立即继承了本书迄今为实值函数发展的大部分积分理论。一个例外是非 常基本的不平等 $|I X| \leq I|X|$ 什么时候 $|X|$ 是可积的。它在实值可积函数情况下的简单证明依赖于线性 排序 $R$, 在中不存在 $\mathbb{C}$. 下一个引理给出了复值可积函数的证明。
引理 5.8.2。 $|I X| \leq I|X|$ 对于复值可积函数 $X$. 使用定义 5.8.1 中的符号。让 $X: S \rightarrow \mathbb{C}$ 是一个任意的 复值函数。然后是函数 $X$ 在定义 5.8.1 的意义上是可测量的当且仅当它在定义 5.8 .1 的意义上是可测量 的。也就是说,前者与后者是一致的。此外,如果 $X$ 是可测量的,如果 $|X| \in L$ ,然后 $X$ 可积于 $|I X| \leq I|X|$
证明。写 $X \equiv I U+i I V$ ,在哪里 $U, V$ 是实部和虚部 $X$ ,分别。
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Central Limit Theorem
让 $X_1, \ldots, X_n$ 是具有均值 0 和标准差的独立 $\operatorname{rrv} \sigma_1, \ldots, \sigma_n$ ,分别。定义 $\sigma$ 经过 $\sigma^2=\sigma_1^2+\cdots+\sigma_n^2$ 并考虑分布 $F$ 比例总和 $X=\left(X_1+\cdots+X_n\right) / \sigma$. 通过更换 $X_i$ 和 $X_i / \sigma$ 我们可 以假设 $\sigma=1$. 中心极限定理说如果每个单独的被加数 $X_i$ 相对于总和来说很小 $X$ ,然后 $F$ 接近于标准正 态分布 $\Phi_{0,1}$.
一个标准,由于 Lindberg 和 Feller,用于被加数 $X_k(k=1, \ldots, n)$ 相对于总和个别较小,是为了
$$
\theta(r) \equiv \sum_{k=1}^n\left(E 1_{\left|X_k\right|>r} X_k^2+E 1_{\left|X_k\right| \leq r}\left|X_k\right|^3\right)
$$
对某些人来说很小 $r \geq 0$.
引理 5.9.1。林德伯格-费勒绑定。认为 $r \geq 0$ 是这样的 $\theta(r)<\frac{1}{8}$. 然后 $$ \sum_{k=1}^n \sigma_k^3 \leq \theta(r) $$ 证明。考虑每个 $k=1, \ldots, n$. 然后,因为 $\theta(r)<\frac{1}{8}$ 根据假设,我们有 $z \equiv E 1_{\left|X_k\right|>r} X_k^2<\frac{1}{8}$ 和 $a \equiv E 1_{\left|X_k\right| \leq r}\left|X_k\right|^3<\frac{1}{8}$. 一个后果是 $\left(z+a^{2 / 3}\right)^{3 / 2} \leq z+a$, 这可以通过注意到两侧在 $z=0$ 并通 过比较一阶导数相对于 $z$ 在 $\left[0, \frac{1}{8}\right]$. 李亚普诺夫不等式意味着 $$ \sigma_k^3=\left(E X_k^2 1_{\left(\left|X_k\right|>r\right)}+E X_k^2 1_{\left(\left|X_k\right| \leq r\right)}\right)^{3 / 2} \leq\left(E X_k^2 1_{\left(\left|X_k\right|>r\right)}+\left(E\left|X_k\right|^3 1_{\left(\left|X_k\right| \leq r\right)}\right)^{2 / 3}\right)^{3 / 2}
$$
总结结束 $k$ ,我们得到不等式 5.9.1。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。
有限元方法代写
有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。