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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MTH2121

Posted on 2023年4月3日2023年4月3日 by statistics-lab

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。

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Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Prime and Maximal Ideals

In constructive mathematics, an ideal of a ring $\mathbf{A}$ is called a maximal ideal when the quotient ring is a field. ${ }^3$ An ideal is called a prime ideal when the quotient ring is without zerodivisors.

These definitions coincide with the usual definitions in the context of classical mathematics, except that we tolerate the trivial ring as a field and hence the ideal $\langle 1\rangle$ as a maximal ideal and as a prime ideal.

In a nontrivial ring, an ideal is strict, maximal and detachable if and only if the quotient ring is a nontrivial discrete field, it is strict, prime and detachable if and only if the quotient ring is a nontrivial integral ring.

Comment It is not without a certain apprehension that we declare the ideal $\langle 1\rangle$ both prime and maximal. This will force us to say “strict prime ideal” or “strict maximal ideal” in order to speak of the “usual” prime ideals and maximal ideals. Fortunately it will be a very rare occurrence.

We actually think that there was a casting error right at the beginning. To force a field or an integral ring to be nontrivial, something that seemed eminently reasonable a priori, has unconsciously led mathematicians to transform numerous constructive arguments into reductio ad absurdum arguments. To prove that an ideal constructed in the process of a computation is equal to $\langle 1\rangle$, we have made it a habit to reason as follows: if it wasn’t the case, it would be contained in a maximal ideal and the quotient would be a field, which case we reach the contradiction $0=1$. This argument happens to be a reductio ad absurdum simply because we have made the casting error: we have forbidden the trivial ring from being a field. Without this prohibition, we would present the argument as a direct argument of the following form: let us show that every maximal ideal of the quotient ring contains 1 . We will come back to this point in Sect. XV-6.

Moreover, as we will essentially use prime ideals and maximal ideals heuristically, our transgression of the usual prohibition regarding the trivial ring will have practically no consequence on reading this work. In addition, the reader will be able to see that this unusual convention does not force a modification of most of the results established specifically in classical mathematics, like the abstract local-global principle* II-2.13, Fact* II-2.12 or Lemma*1.1: it suffices for instance ${ }^4$ for the localization at a prime ideal $p$ to define it as the localization at the filter
$$
S \stackrel{\text { def }}{=}{x \in \mathbf{A} \mid x \in \mathfrak{p} \Rightarrow 1 \in \mathfrak{p}}
$$
Fundamentally we think that mathematics is purer and more elegant when we avoid using negation (this radically forbids reductio ad absurdum arguments for example). It is for this reason that you will not find any definitions that use negation in this book. 5

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Jacobson Radical and Units in an Integral Extension

1.7 Theorem Let $\mathbf{k} \subseteq \mathbf{A}$ with $\mathbf{A}$ integral over $\mathbf{k}$.

If $y \in \mathbf{A}^{\times}$, then $y^{-1} \in \mathbf{k}[y]$.
$\mathbf{k}^{\times}=\mathbf{k} \cap \mathbf{A}^{\times}$.
$\operatorname{Rad} \mathbf{k}=\mathbf{k} \cap \operatorname{Rad} \mathbf{A}$ and the homomorphism $\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} / \operatorname{Rad}(\mathbf{k}) \mathbf{A}$ reflects the units. ${ }^6$

D 1. Let $y, z \in \mathbf{A}$ such that $y z=1$. We have an integral dependence relation for $z$ : $z^n=a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_0\left(a_i \in \mathbf{k}\right)$. By multiplying by $y^n$ we obtain $1=y Q(y)$ so $z=Q(y) \in \mathbf{k}[y]$.

In particular, if $y \in \mathbf{k}$ is invertible in $\mathbf{A}$, its inverse $z$ is in $\mathbf{k}$.
Let $x \in \mathbf{k} \cap \operatorname{Rad} \mathbf{A}$, for all $y \in \mathbf{k}, 1+x y$ is invertible in $\mathbf{A}$ therefore also in $\mathbf{k}$. This gives the inclusion $\operatorname{Rad} \mathbf{k} \supseteq \mathbf{k} \cap \operatorname{Rad} \mathbf{A}$.

Let $x \in \operatorname{Rad} \mathbf{k}$ and $b \in \mathbf{A}$. We want to show that $y=-1+x b$ is invertible. We write an integral dependence relation for $b$
$$
b^n+a_{n-1} b^{n-1}+\cdots+a_0=0
$$
we multiply by $x^n$ and replace $b x$ with $1+y$. We get a polynomial in $y$ with coefficients in $\mathbf{k}: y^n+\cdots+\left(1+a_{n-1} x+\cdots+a_0 x^n\right)=0$. Therefore, $y R(y)=1+x S(x)$ is invertible in $\mathbf{k}$, and $y$ is invertible in $\mathbf{A}$.

Now let $y \in \mathbf{A}$ which is invertible modulo $\operatorname{Rad}(\mathbf{k}) \mathbf{A}$. A fortiori it is invertible modulo $\operatorname{Rad} \mathbf{A}$, so it is invertible.

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Prime and Maximal Ideals

在构造数学中，环的理想 $\mathbf{A}$ 当商环是域时，称为最大理想。 ${ }^3$ 当商环没有零因子时，理想被称为素理想。
这些定义与经典数学上下文中的通常定义一致，除了我们容忍平凡环作为一个场，因此理想 $\langle 1\rangle$ 作为最大理想和素理想。
在非平凡环中，当且仅当商环是一个非平凡的离散域时，理想是严格的、最大的和可分离的，当且仅当商环是非平凡的积分环时，它是严格的、素的和可分离的。
评论我们宣布理想并非没有某种顾虑 $\langle 1\rangle$ 素数和极大值。这将迫使我们说“严格的素理想“或“严格的最大理想”，以谈论“通常”的素理想和最大理想。幸运的是，这种情况将非常罕见。
我们实际上认为一开始就存在铸造错误。强制一个域或一个积分环变得不平凡，这似乎是先验的非常合理的事情，却不知不觉地导致数学家将大量建设性论证转化为归谬法论证。证明在计算过程中构造的理想等于 $\langle 1\rangle$ ，我们已经养成如下推理的习惯：如果不是这种情况，它将包含在最大理想中，商将是一个领域，这种情况下我们会得出矛盾 $0=1$. 这个论证恰好是一个归谬法，只是因为我们犯了铸造错误：我们禁止平凡的环成为一个领域。如果没有这条禁令，我们会将论证呈现为以下形式的直接论证: 让我们证明商环的每个最大理想都包含 1。我们将在 Sect. 中回到这一点。XV-6。
此外，由于我们本质上将启发式地使用素数理想和最大理想，因此我们违反了关于平凡环的通常禁令，对阅读本书几乎没有任何影响。此外，读者将能够看到，这种不寻常的约定不会强制修改经典数学中专门建立的大多数结果，例如抽象的局部-全局原理* $|-2.13$ 、事实* $|-2.12$ 或引理* 1.1 : 例如就足够了 ${ }^4$ 用于定位在一个主要的理想 $p$ 将其定义为过滤器的本地化
$$
S \stackrel{\text { def }}{=} x \in \mathbf{A} \mid x \in \mathfrak{p} \Rightarrow 1 \in \mathfrak{p}
$$
从根本上说，当我们避免使用否定时，我们认为数学会更纯粹、更优雅（例如，这从根本上禁止了反证法论证)。正是出于这个原因，您不会在本书中找到任何使用否定的定义。5个

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Jacobson Radical and Units in an Integral Extension

1.7 定理令 $\mathbf{k} \subseteq \mathbf{A}$ 和 $\mathbf{A}$ 积分超过 $\mathbf{k}$.

如果 $y \in \mathbf{A}^{\times}$，然后 $y^{-1} \in \mathbf{k}[y]$.
$\mathbf{k}^{\times}=\mathbf{k} \cap \mathbf{A}^{\times}$.
$\operatorname{Rad} \mathbf{k}=\mathbf{k} \cap \operatorname{Rad} \mathbf{A}$ 和同态 $\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} / \operatorname{Rad}(\mathbf{k}) \mathbf{A}$ 反映单位。 ${ }^6$
D 1. 让 $y, z \in \mathbf{A}$ 这样 $y z=1$. 我们有一个完整的依赖关系 $z: z^n=a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_0\left(a_i \in \mathbf{k}\right)$. 通过乘以 $y^n$ 我们获得 $1=y Q(y)$ 所以 $z=Q(y) \in \mathbf{k}[y]$.
特别是，如果 $y \in \mathbf{k}$ 是可逆的 $\mathbf{A}$ ，它的逆 $z$ 在 $\mathbf{k}$.
让 $x \in \mathbf{k} \cap \operatorname{Rad} \mathbf{A}$ ，对全部 $y \in \mathbf{k}, 1+x y$ 是可逆的 $\mathbf{A}$ 因此也在 $\mathbf{k}$. 这给出了包含 $\operatorname{Rad} \mathbf{k} \supseteq \mathbf{k} \cap \operatorname{Rad} \mathbf{A}$.
让 $x \in \operatorname{Rad} \mathbf{k}$ 和 $b \in \mathbf{A}$. 我们想表明 $y=-1+x b$ 是可逆的。我们为 $b$
$$
b^n+a_{n-1} b^{n-1}+\cdots+a_0=0
$$
我们乘以 $x^n$ 并更换 $b x$ 和 $1+y$. 我们得到一个多项式 $y$ 系数在
$\mathbf{k}: y^n+\cdots+\left(1+a_{n-1} x+\cdots+a_0 x^n\right)=0$. 所以， $y R(y)=1+x S(x)$ 是可逆的 $\mathbf{k} ，$ 和 $y$ 是可逆的 $\mathbf{A}$.
现在让 $y \in \mathbf{A}$ 这是可逆模 $\operatorname{Rad}(\mathbf{k}) \mathbf{A}$. 更何况它是可逆模 $\operatorname{Rad} \mathbf{A}$ ，所以它是可逆的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MAST90025

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Introduction to Boolean Algebras

A lattice is a set $\mathbf{T}$ equipped with an order relation $\leqslant$ for which there exist a minimum element, denoted by $0_{\mathbf{T}}$, a maximum element, denoted by $1_{\mathbf{T}}$, and every pair of elements $(a, b)$ admits an upper bound, denoted by $a \vee b$, and a lower bound, denoted by $a \wedge b$. A mapping from one lattice to another is called a lattice homomorphism if it respects the operations $\vee$ and $\wedge$ as well as the constants 0 and 1 . The lattice is called a distributive lattice when each of the two operations $\vee$ and $\wedge$ is distributive with respect to the other.

We will give a succinct study of the structure of distributive lattices and of structures that relate back to them in Chap. XI.
3.1 Proposition and definition (Boolean algebras)

By definition a ring $\mathbf{B}$ is $a$ Boolean algebra if and only if every element is idempotent. Consequently $2=\mathbf{B} 0$ (because $2=\mathrm{B} 4$ ).
We can define over $\mathrm{B}$ an order relation $x \preccurlyeq y$ by: $x$ is a multiple of $y$, i.e. $\langle x\rangle \subseteq\langle y\rangle$. Then, two arbitrary elements admit a lower bound, their lcm $x \wedge y=x y$, and an upper bound, their gcd $x \vee y=x+y+x y$. We thus obtain a distributive lattice with 0 as its minimum element and 1 as its maximum element.
For every $x \in \mathbf{B}$, the element $x^{\prime}=1+x$ is the unique element that satisfies the equalities $x \wedge x^{\prime}=0$ and $x \vee x^{\prime}=1$, we call it the complement of $x$.

Notation conflict Here we find ourselves with a conflict of notation. Indeed, divisibility in a ring leads to a notion of the gcd, which is commonly denoted by $a \wedge b$, because it is taken as a lower bound ( $a$ divides $b$ being understood as ” $a$ smaller than $b$ ” in the sense of the divisibility). This conflicts with the gcd of the elements in a Boolean algebra, which is an upper bound. This is due to the fact that the order relation has been reversed, so that the elements 0 and 1 of the Boolean algebra are indeed the minimum and the maximum in the lattice. This inevitable conflict will appear in an even stronger sense when we will consider the Boolean algebra of the idempotents of a ring $\mathbf{A}$.

Even though all the elements of a Boolean algebra are idempotents we will keep the terminology “fundamental system of orthogonal idempotents” ” for a finite family $\left(x_i\right)$ of pairwise orthogonal elements (i.e. $x_i x_j=0$ for $i \neq j$ ) with sum 1. This convention is all the more justified in that we will mainly preoccupy ourselves with the Boolean algebra that naturally appears in commutative algebra: that of the idempotents of a ring $\mathbf{A}$.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Discrete Boolean Algebras

3.2 Proposition (Every discrete Boolean algebra behaves in computations as the algebra of the detachable subsets of a finite set) Let $\left(r_1, \ldots, r_m\right)$ be a finite family in a Boolean algebra $\mathbf{B}$.

Let $s_i=1-r_i$ and, for a finite subset $I$ of ${1, \ldots, m}$, let $r_I=\prod_{i \in I} r_i \prod_{j \notin I} s_j$.

The $r_I$ ‘s form a fundamental system of orthogonal idempotents and they generate the same Boolean algebra as the $r_i$ ‘s.
Suppose that $\mathbf{B}$ is discrete. Then, if there are exactly $N$ nonzero elements $r_I$, the Boolean subalgebra generated by the $r_i$ ‘s is isomorphic to the algebra of finite subsets of a set with $N$ elements.

As a corollary we obtain the following fact and the fundamental structure theorem that summarizes it. Recall that we denote by $\mathrm{P}_{\mathrm{f}}(S)$ the set of finite subsets of a set $S$.
In a discrete Boolean algebra an element $e$ is called an atom if it satisfies one of the following equivalent properties.

$e$ is minimal among the nonzero elements.
$e \neq 0$ and for every $f, f$ is orthogonal or greater than $e$.
$e \neq 0$ and for every $f, e f=0$ or $e$, or $e f=0$ or $e(1-f)=0$.
$e \neq 0$ and the equality $e=e_1+e_2$ with $e_1 e_2=0$ implies $e_1=0$ or $e_2=0$.
We also say that $e$ is indecomposable. It is clear that an automorphism of a discrete Boolean algebra preserves the set of atoms and that for two atoms $e$ and $f$, we have $e=f$ or $e f=0$.
3.3 Theorem (Structure theorem)

Every finite Boolean algebra is isomorphic to the algebra of the detachable subsets of a finite set.
More precisely, for a Boolean algebra $C$ the following properties are equivalent.
a. $C$ is finite.
b. $C$ is discrete and finitely generated.
c. The set $S$ of atoms is finite, and $1_C$ is the sum of this set.
In such a case $C$ is isomorphic to the Boolean algebra $\mathrm{P}_{\mathrm{f}}(S)$.

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Introduction to Boolean Algebras

一个格子是一个集合 $\mathbf{T}$ 配备了顺序关系 $\leqslant$ 其中存在一个最小元素，表示为 $0_{\mathbf{T}}$ ，最大元素，表示为 $1_{\mathbf{T}}$ ，以及每对元素 $(a, b)$ 承认一个上限，表示为 $a \vee b$ 和一个下界，表示为 $a \wedge b$. 从一个格到另一个格的映射称为格同态，如果它尊重操作 $\vee$ 和从以及常量 0 和 1 。当两个操作中的每一个时，格称为分配格 $\vee$ 和 $\wedge$ 对另一个是分配的。
我们将在第 1 章简要研究分配格的结构以及与之相关的结构。十一.
3.1 命题与定义 (布尔代数)

根据定义环 $\mathrm{B}$ 是 $a$ 布尔代数当且仅当每个元素都是幂等的。最后 $2=B 0$ (因为 $2=B 4$ ).
我们可以定义B顺序关系 $x \preccurlyeq y$ 经过: $x$ 是的倍数 $y ， \mathrm{IE}\langle x\rangle \subseteq\langle y\rangle$. 然后，两个任意元素承认下界，他们的 $\operatorname{lcm} x \wedge y=x y$ ，以及一个上限，他们的 $\operatorname{gcd} x \vee y=x+y+x y$. 这样我们就得到了一个以0为最小元素，1为最大元素的分配格。
对于每一个 $x \in \mathbf{B}$ ，元素 $x^{\prime}=1+x$ 是满足等式的唯一元素 $x \wedge x^{\prime}=0$ 和 $x \vee x^{\prime}=1$ ，我们称之为补码 $x$.
符号冲突在这里，我们发现自己遇到了符号冲突。实际上，环中的可分性导致了 gcd 的概念，通常表示为 $a \wedge b$, 因为它被视为下界 ( $a$ 分裂 $b$ 被理解为“ $a$ 小于 $b$ ” 在可分性的意义上) 。这与布尔代数中作为上限的元素的 gcd 冲突。这是由于顺序关系被颠倒了，使得布尔代数的元素0和1确实是格中的最小值和最大值。当我们考虑环的幂等项的布尔代数时，这种不可避免的冲突将以更强烈的意义出现 $\mathbf{A}$.
即使布尔代数的所有元素都是幂等的，我们仍会为有限族保留术语“正交幂等的基本系统” $\left(x_i\right)$ 成对正交元素 (即 $x_i x_j=0$ 为了 $i \neq j$ ) 总和为 1 。这个约定更加合理，因为我们将主要关注自然出现在交换代数中的布尔代数：环的幂等元 $\mathbf{A}$.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Discrete Boolean Algebras

3.2 命题（每个离散布尔代数在计算中表现为有限集的可分离子集的代数）令 $\left(r_1, \ldots, r_m\right)$ 是布尔代数中的有限族 $\mathbf{B}$.
让 $s_i=1-r_i$ 并且，对于有限子集 $I$ 的 $1, \ldots, m$ ，让 $r_I=\prod_{i \in I} r_i \prod_{j \notin I} s_j$.

这 $r_I$ 形成了一个基本的正交幂等系统，并且它们生成了与 $r_i$ 的。
假设B是离散的。那么，如果恰好有 $N$ 非零元素 $r_I$ ，由生成的布尔子代数 $r_i$ 的同构于一个集合的有限子集的代数 $N$ 元素。
作为推论，我们得到以下事实和总结它的基本结构定理。回想一下，我们用 $\mathrm{P}_{\mathrm{f}}(S)$ 集合的有限子集 $S$.
在离散布尔代数中，一个元素 $e$ 如果满足以下等效属性之一，则称为原子。

$e$ 在非零元素中是最小的。
$e \neq 0$ 对于每一个 $f, f$ 正交或大于 $e$.
$e \neq 0$ 对于每一个 $f, e f=0$ 或者 $e$ ，或者 $e f=0$ 或者 $e(1-f)=0$.
$e \neq 0$ 和平等 $e=e_1+e_2$ 和 $e_1 e_2=0$ 暗示 $e_1=0$ 或者 $e_2=0$.
我们还说 $e$ 是不可分解的。很明显，离散布尔代数的自同构保留了原子集和两个原子的 $e$ 和 $f$ ，我们有 $e=f$ 或者 $e f=0$.
3.3 定理 (结构定理)

每个有限布尔代数都同构于有限集的可分离子集的代数。
更准确地说，对于布尔代数 $C$ 以下属性是等效的。
A。 $C$ 是有限的。
b. $C$ 是离散且有限生成的。
C。套装 $S$ 原子的数量是有限的，并且 $1_C$ 是这个集合的总和。
在这种情况下 $C$ 与布尔代数同构 $\mathrm{P}_{\mathrm{f}}(S)$.

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH4312

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Dynamic Method

In classical mathematics proofs of existence are rarely explicit. Two essential obstacles appear each time that we try to render such a proof explicit.

The first obstacle is the application of LEM. For instance, if you consider the proof that every univariate polynomial over a field $\mathbf{K}$ admits a decomposition into prime factors, you have a kind of algorithm whose key ingredient is: if $P$ is irreducible all is well, if $P$ can be decomposed into a product of two factors of degree $\geqslant 1$, all is still well, by induction hypothesis. Unfortunately the disjunction used to make the proof work ” $P$ is irreducible or $P$ can be decomposed into a product of two factors of degree $\geqslant 1$ ” is not explicit in general. In other words, even if a field is defined constructively, we cannot be sure that this disjunction can be made explicit by an algorithm. Here we find ourselves in the presence of a typical case where LEM “is an issue,” because the existence of an irreducible factor cannot be the object of a general algorithm.

The second obstacle is the application of Zorn’s lemma, which allows us to generalize to the uncountable case the usual proofs by induction in the countable case.
For example in Modern Algebra by van der Waerden the second pitfall is avoided by limiting ourselves to the countable algebraic structures.
However, we have two facts that are now well established from experience:

The universal concrete results proven by the dubious abstract methods above have never been contradicted. We have even very often successfully extracted unquestionable constructive proofs from them. This would suggest that even if the abstract methods are in some way incorrect or contradictory, they have until now only been used with a sufficient amount of discernment.
The key concrete results proven by the dubious abstract methods have not been invalidated either. On the contrary, they have often been validated by algorithms proven constructively. 1

Faced with this slightly paradoxical situation: the abstract methods are a priori dubious, but they do not fundamentally deceive us when they give us a result of a concrete nature. There are two possible reactions.

Either we believe that the abstract methods are fundamentally correct because they reflect a “truth,” some sort of “ideal Cantor universe” in which exists the true semantic of mathematics. This is the stance taken by Platonic realism, defended for instance by Gödel.

Or we think that the abstract methods truly are questionable. But then, unless we believe that mathematics falls within the domain of magic or of miracles, it must be explained why classical mathematics makes such few mistakes. If we believe in neither Cantor, nor miracles, we are led to believe that the abstract proofs of concrete results necessarily contain sufficient “hidden ingredients” to construct the corresponding concrete proofs.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Splitting Fields and Galois Theory in Classical Mathematics

In this subsection we will offer a possible presentation of the splitting field of an arbitrary polynomial and of the Galois theory of a separable polynomial in classical mathematics. This allows us to understand the “detours” that we will be obligated to take to have an entirely constructive theory.

If $f$ is a monic polynomial, we work with the universal splitting algebra of $f$, $\mathbf{A}=\mathrm{Adu}_{\mathbf{K}, f}$ in which $f(T)=\prod_i\left(T-x_i\right)$, with $\mathrm{S}_n$ as a group of automorphisms (see Sect. III-4).

This algebra being a finite dimensional $\mathbf{K}$-vector space, all the ideals are themselves finite dimensional $\mathbf{K}$-vector spaces and we have the right to consider a strict ideal $\mathfrak{m}$ of maximum dimension as a $\mathbf{K}$-vector space (all of this by applying LEM). This ideal is automatically a maximal ideal. The quotient algebra $\mathbf{L}=\mathbf{A} / \mathrm{m}$ is then a splitting field for $f$. The group $G=\operatorname{St}(\mathfrak{m})$ operates on $\mathbf{L}$ and the fixed field of $G$, $\mathbf{L}^G=\mathbf{K}_1$, possesses the two following properties:

$\mathbf{L} / \mathbf{K}_1$ is a Galois extension with $\operatorname{Gal}\left(\mathbf{L} / \mathbf{K}_1\right) \simeq G$.
$\mathbf{K}_1 / \mathbf{K}$ is an extension obtained by successive additions of $p^{\text {th }}$ roots, where $p=$ char $(\mathbf{K})$.

Moreover, if $\mathbf{L}^{\prime}$ is another splitting field for $f$ with $f=\prod_i\left(T-\xi_i\right)$ in $\mathbf{L}^{\prime}[T]$, we have a unique homomorphism of $\mathbf{K}$-algebras $\varphi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{L}^{\prime}$ satisfying the equalities $\varphi\left(x_i\right)=\xi_i$ for $i \in \llbracket 1 . . n \rrbracket$. We can then show that $\operatorname{Ker} \varphi$, which is a maximal ideal of $A$, is necessarily a conjugate of $\mathfrak{m}$ under the action of $S_n$. Thus the splitting field is unique, up to isomorphism (this isomorphism is not unique if $G \neq{\mathrm{Id}}$ ).

Finally, when $f$ is separable, the situation is simplified because the universal splitting algebra is étale, and $\mathbf{K}_1=\mathbf{K}$.

The previous approach is possible from a constructive point of view if the field $\mathbf{K}$ is separably factorial and if the polynomial $f$ is separable, because then, since the universal splitting algebra $\mathbf{A}$ is étale, it can be decomposed into a finite product of étale fields over $\mathbf{K}$ (Corollary VI-1.13).

But when the field is not separably factorial, we face an a priori insurmountable obstacle, and we cannot hope to systematically and algorithmically obtain a splitting field that is strictly finite over $\mathbf{K}$.

If the characteristic is finite and if the polynomial is not separable, we need stronger factorization properties to construct a splitting field (the question is delicate, and very well presented in [MRR]).

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Dynamic Method

在经典数学中，存在的证明很少是明确的。每次我们试图使这样的证明明确时，都会出现两个基本障碍。

第一个障碍是 LEM 的应用。例如，如果您考虑证明域上的每个单变量多项式钾承认分解为主要因素，你有一种算法，其关键成分是：如果P是不可约的一切都很好，如果P可以分解为两个度数的乘积⩾1，一切都还好，归纳假设。不幸的是，用于证明工作的析取”P是不可约的或P可以分解为两个度数的乘积⩾1” 一般不明确。换句话说，即使一个字段是构造性定义的，我们也不能确定这种析取是否可以通过算法明确表示。在这里，我们发现自己处于 LEM“是一个问题”的典型案例中，因为不可约因子的存在不能成为通用算法的对象。

第二个障碍是 Zorn 引理的应用，它使我们能够将可数情况下的通常归纳证明推广到不可数情况。
例如，在 van der Waerden 的现代代数中，第二个陷阱是通过将我们自己限制在可数代数结构来避免的。
然而，我们有两个事实现在已经从经验中得到证实：

上述可疑的抽象方法所证明的普遍具体结果从未被反驳过。我们甚至经常从他们那里成功地提取出无可置疑的建设性证据。这表明即使抽象方法在某种程度上是不正确的或自相矛盾的，它们直到现在也只是在足够的辨别力下被使用。
可疑的抽象方法证明的关键具体结果也没有作废。相反，它们经常被建设性证明的算法所验证。1个

面对这种有点自相矛盾的情况：抽象方法先验地是可疑的，但是当它们给我们一个具体的结果时，它们并没有从根本上欺骗我们。有两种可能的反应。

要么我们相信抽象方法从根本上是正确的，因为它们反映了一个“真理”，某种“理想的康托宇宙”，其中存在着数学的真正语义。这是柏拉图现实主义所采取的立场，例如哥德尔为之辩护。

或者我们认为抽象方法确实有问题。但是，除非我们相信数学属于魔法或奇迹的领域，否则必须解释为什么经典数学很少犯错误。如果我们既不相信康托尔也不相信奇迹，我们就会相信具体结果的抽象证明必然包含足够的“隐藏成分”来构建相应的具体证明。

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Splitting Fields and Galois Theory in Classical Mathematics

在本小节中，我们将提供任意多项式的分裂域和经典数学中可分离多项式的伽罗瓦理论的可能表示。这使我们能够理解为了拥有一个完全建设性的理论而不得不走的”弯路”。
如果 $f$ 是一元多项式，我们使用通用分裂代数 $f ， \mathbf{A}=\mathrm{Adu}_{\mathbf{K}, f}$ 其中 $f(T)=\prod_i\left(T-x_i\right)$ ，和 $\mathrm{S}_n$ 作为一组自同构（见第 III-4 节）。
这个代数是有限维的 $\mathbf{K}$-向量空间，所有理想本身都是有限维的 $\mathbf{K}$-向量空间，我们有权考虑一个严格的理想 $m$ 最大尺寸为 $\mathbf{K}$-向量空间 (所有这些都通过应用 LEM) 。这个理想自动成为最大理想。商代数 $\mathbf{L}=\mathbf{A} / \mathrm{m}$ 那么是一个分裂场 $f$. 群组 $G=\operatorname{St}(\mathfrak{m})$ 运作于 $\mathbf{L}$ 和固定领域 $G, \mathbf{L}^G=\mathbf{K}_1$, 具有以下两个性质：

$\mathbf{L} / \mathbf{K}_1$ 是一个伽罗华扩展 $\mathrm{Gal}\left(\mathbf{L} / \mathbf{K}_1\right) \simeq G$.
$\mathbf{K}_1 / \mathbf{K}$ 是通过连续添加获得的扩展 $p^{\text {th }}$ 根，在哪里 $p=$ 字符 $(\mathbf{K})$.
此外，如果 $\mathbf{L}^{\prime}$ 是另一个分裂领域 $f$ 和 $f=\prod_i\left(T-\xi_i\right)$ 在 $\mathbf{L}^{\prime}[T]$ ，我们有一个唯一的同态 $\mathbf{K}$-代数 $\varphi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{L}^{\prime}$ 满足等式 $\varphi\left(x_i\right)=\xi_i$ 为了 $i \in \backslash$ llbracket1.. $n \backslash$ rrbracket. 然后我们可以证明Ker $\varphi$ ，这是一个极大的理想 $A$, 必然是的共轭 $m$ 的作用下 $S_n$. 因此，分裂场是唯一的，直到同构（这种同构不是唯一的，如果 $G \neq \mathrm{Id}$ ).
最后，当 $f$ 是可分离的，情况被简化了，因为泛分裂代数是 étale，并且 $\mathbf{K}_1=\mathbf{K}$.
从建设性的角度来看，如果该领域K是可分离的阶乘，如果多项式 $f$ 是可分的，因为那时，自从通用分裂代数 $\mathbf{A}$ 是 étale，它可以分解为 étale 域的有限乘积 $\mathbf{K}$ (推论 VI-1.13)。
但是当场不是可分阶乘时，我们面临着一个先验不可逾越的障碍，我们不能希望系统地和算法地获得一个严格有限的分裂场K.
如果特征是有限的并且多项式不可分，我们需要更强的因式分解性质来构造分裂域（这个问题很微妙，在 [MRR] 中有很好的介绍)。

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH3033

Posted on 2023年3月17日2023年3月17日 by statistics-lab

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。

我们提供的交换代数commutative algebra及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH3033

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Local Structure Theorem

In this work, we give several proofs of the local structure theorem for finitely generated projective modules. The shortest path to the solution of this question is that provided by Fitting ideals. This is the object of this section.

There is a lightning method based a kind of magic formula given in Exercise X-3. This miracle solution is actually directly inspired by another approach to the problem, based on a “dynamic reread” of the local freeness lemma (p. 483). This dynamic reread is explained on p. 860 in Sect. XV-5.

However, we consider a more enlightening approach is that based entirely on projection matrices and on the more structural explanations involving the systematic use of the determinant of the endomorphisms of finitely generated projective modules. This will be done in Chap. X.
6.1 Theorem (Local structure and Fitting ideals of a finitely generated projective module, 1)

A finitely presented $\mathbf{A}$-module $P$ is finitely generated projective if and only if its Fitting ideals are (generated by) idempotents.
More precisely for the converse, suppose that a finitely presented $\mathbf{A}$-module $P$ has idempotents Fitting ideals, and that $G \in \mathbf{A}^{q \times n}$ is a presentation matrix of $P$, corresponding to a system of $q$ generators.
Let $f_h$ be the idempotent that generates $\mathcal{F}h(P)$, and $r_h:=f_h-f{h-1}$.
a. $\left(r_0, \ldots, r_q\right)$ is a fundamental system of orthogonal idempotents.
b. Let $t_{h, j}$ be a minor of order $q-h$ of $G$, and $s_{h, j}:=t_{h, j} r_h$. Then, the $\mathbf{A}\left[1 / s_{h, j}\right]$ module $P\left[1 / s_{h, j}\right]$ is free of rank $h$.
c. The elements $s_{h, j}$ are comaximal.
d. We have $r_k=1$ if and only if the matrix $G$ is of rank $q-k$.
e. The module $P$ is finitely generated projective.
In particular, a finitely generated projective module becomes free after localization at a finite number of comaximal elements.

D Theorem 2.3 tells us that the module $P$ presented by the matrix $G$ is projective if and only if the matrix $G$ is locally simple. We then apply the characterization of locally simple matrices by their determinantal ideals given in Theorem II-5.26, as well as the precise description of the structure of the locally simple matrices given in this theorem (items 5 and 7 of the theorem).

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Some Explicit Computations

The fundamental polynomial of an endomorphism $\varphi$ is easier to use than the characteristic polynomial. This comes from the fact that the fundamental polynomial is invariant when we add “as a direct sum” a null endomorphism to $\varphi$. This allows us to systematically and easily reduce the computation of a fundamental polynomial to the case where the projective module is free. Precisely, we are able to compute the previously defined polynomials by following the lemma stated below.
8.7 Lemma (Explicit computation of the determinant, of the fundamental polynomial, of the characteristic polynomial, of the rank polynomial and of the cotransposed endomorphism) Let $P \simeq \operatorname{Im} F$ be an $\mathbf{A}$-module with $F \in \mathbb{A} \mathbb{G}_n(\mathbf{A})$. Let $Q=\operatorname{Ker}(F)$, such that $P \oplus Q \simeq \mathbf{A}^n$, and $\mathrm{I}_n-F$ is the matrix of the projection $\pi_Q$ over $Q$ parallel to $P$. An endomorphism $\varphi$ of $P$ is characterized by the matrix $H$ of the endomorphism $\varphi_0=\varphi \oplus 0_Q$ of $\mathbf{A}^n$. Such a matrix $H$ is subjected to the unique restriction $F \cdot H \cdot F=H$. Let $G=\mathrm{I}_n-F+H$.

Computation of the determinant:
$$
\operatorname{det}(\varphi)=\operatorname{det}\left(\varphi \oplus \operatorname{Id}_Q\right)=\operatorname{det}(G)
$$
Therefore also
$$
\begin{aligned}
\operatorname{det}\left(X \operatorname{Id}{P[X, Y]}+Y \varphi\right) & =\operatorname{det}\left(\left(X \operatorname{Id}{P[X, Y]}+Y \varphi\right) \oplus \operatorname{Id}_Q\right)= \
\operatorname{det}\left(\mathrm{I}_n-F+X F+Y H\right) & =\operatorname{det}\left(\mathrm{I}_n+(X-1) F+Y H\right) .
\end{aligned}
$$
Computation of the rank polynomial of $P$ :
$$
\mathrm{R}P(1+X)=\operatorname{det}\left((1+X) \operatorname{Id}{P[X]}\right)=\operatorname{det}\left(\mathrm{I}_n+X F\right),
$$
in particular,
$$
\mathrm{R}_P(0)=\operatorname{det}\left(\mathrm{I}_n-F\right)
$$
and $\mathrm{R}_P(1+X)=1+u_1 X+\cdots+u_n X^n$, where $u_h$ is the sum of the principal minors of order h of the matrix $F$.

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Local Structure Theorem

在这项工作中，我们给出了有限生成射影模的局部结构定理的几个证明。解决这个问题的最短路径是由 Fitting ideals 提供的。这是本节的对象。
练习 X-3 中给出了一种基于一种神奇公式的闪电方法。这个神奇的解决方案实际上直接受到另一种解决问题的方法的启发，该方法基于对局部自由引理的“动态重读”（第 483 页）。此动态重读在第 13 页上进行了解释。 860 在教派。XV-5。
然而，我们认为一个更有启发性的方法是完全基于投影矩阵和更多的结构解释，包括系统地使用有限生成的投影模块的自同态的行列式。这将在第 1 章中完成。X.
6.1 定理（有限生成射影模的局部结构和拟合理想，1）

有限呈现 $\mathbf{A}$-模块 $P$ 是有限生成的射影当且仅当其拟合理想是幂等的（生成的）。
更准确地说，相反，假设一个有限呈现的 $\mathbf{A}$-模块 $P$ 具有幂等拟合理想，并且 $G \in \mathbf{A}^{q \times n}$ 是表示矩阵 $P ，$ 对应于一个系统 $q$ 发电机。
让 $f_h$ 是生成的幂等 $\mathcal{F} h(P)$ ，和 $r_h:=f_h-f h-1$.
A。 $\left(r_0, \ldots, r_q\right)$ 是正交幂等元的基本系统。
b. 让 $t_{h, j}$ 末成年人 $q-h$ 的 $G ，$ 和 $s_{h, j}:=t_{h, j} r_h$. 然后， $\mathbf{A}\left[1 / s_{h, j}\right]$ 模块 $P\left[1 / s_{h, j}\right]$ 没有排名 $h$.
C。要素 $s_{h, j}$ 是共最大的。
d. 我们有 $r_k=1$ 当且仅当矩阵 $G$ 是等级 $q-k$.
e. 模组 $P$ 是有限生成的射影。
特别是，有限生成的投影模块在定位到有限数量的共最大元素后变得自由。
$\mathrm{D}$ 定理 2.3 告诉我们模 $P$ 由矩阵表示 $G$ 是射影的当且仅当矩阵 $G$ 局部简单。然后，我们通过定理 II-5.26
中给出的行列式理想来应用局部简单矩阵的特征，以及该定理中给出的局部简单矩阵结构的精确描述（定理的第 5 项和第 7 项) 。

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Some Explicit Computations

自同态的基本多项式 $\varphi$ 比特征多项式更容易使用。这是因为当我们“作为直和”添加一个零自同态时，基本多项式是不变的 $\varphi$. 这使我们能够系统地且轻松地将基本多项式的计算减少到投影模块自由的情况。准确地说，我们能够通过遵循下面陈述的引理来计算先前定义的多项式。
8.7 引理（行列式、基本多项式、特征多项式、秩多项式和互转自同态的显式计算）令 $P \simeq \operatorname{Im} F$ 豆 $\mathbf{A}$ 模块与 $F \in \mathbb{A} \mathbb{G}_n(\mathbf{A})$. 让 $Q=\operatorname{Ker}(F)$ ，这样 $P \oplus Q \simeq \mathbf{A}^n$ ，和 $\mathrm{I}_n-F$ 是投影矩阵 $\pi_Q Q$ 超过 $Q$ 平行 $P$. 自同态 $\varphi$ 的 $P$ 由矩阵表征 $H$ 自同态 $\varphi_0=\varphi \oplus 0_Q$ 的 $\mathbf{A}^n$. 这样的矩阵 $H$ 受到独特的限制 $F \cdot H \cdot F=H$. 让 $G=\mathrm{I}_n-F+H$.

行列式的计算:
$$
\operatorname{det}(\varphi)=\operatorname{det}\left(\varphi \oplus \operatorname{Id}_Q\right)=\operatorname{det}(G)
$$
因此也
$$
\operatorname{det}(X \operatorname{Id} P[X, Y]+Y \varphi)=\operatorname{det}\left((X \operatorname{Id} P[X, Y]+Y \varphi) \oplus \operatorname{Id}_Q\right)=\operatorname{det}\left(\mathrm{I}_n-F+X F+Y H\right.
$$
的秩多项式的计算 $P$ :
$$
\mathrm{R} P(1+X)=\operatorname{det}((1+X) \operatorname{Id} P[X])=\operatorname{det}\left(\mathrm{I}_n+X F\right),
$$
尤其，
$$
\mathrm{R}_P(0)=\operatorname{det}\left(\mathrm{I}_n-F\right)
$$
和 $\mathrm{R}_P(1+X)=1+u_1 X+\cdots+u_n X^n$ ，在哪里 $u_h$ 是矩阵的阶主次要的总和 $F$.

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH2301

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。

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Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
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Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH2301

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Projective Modules and Schanuel’s Lemma

The notion of a projective module can be defined for modules which are not finitely generated. In the following we will rarely use such modules, but it is however useful to give some precisions on this subject.

2.5 Definition An A-module $P$ (not necessarily finitely generated) is said to be projective if it satisfies the following property.

For all A-modules $M, N$, for every surjective linear map $\psi: M \rightarrow N$ and every linear map $\Phi: P \rightarrow N$, there exists a linear map $\varphi: P \rightarrow M$ such that $\psi \circ \varphi=\Phi$.
Thus, given the characterization (c4) in Theorem 2.1, an A-module is finitely generated projective if and only if it is projective and finitely generated.

In the following fact, the last property resembles the implication $(c 4) \Rightarrow(c 3)$ in this theorem.

A linear map $\varphi: E \rightarrow F$ is called a split surjection if there exists a $\psi: F \rightarrow E$ with $\varphi \circ \psi=\operatorname{Id}_F$. In this case we say that $\psi$ is a section of $\varphi$, and we have $E=$ $\operatorname{Ker} \varphi \oplus \psi(F) \simeq \operatorname{Ker} \varphi \oplus F$.
A short exact sequence is said to be split if its surjection is split.

A free module whose basis is a set in bijection with $\mathbb{N}$ is projective. For example the ring of polynomials $\mathbf{A}[X]$ is a projective $\mathbf{A}$-module.
Every module that is a direct summand in a projective module is projective.
If $P$ is projective, every short exact sequence $0 \rightarrow N \rightarrow M \rightarrow P \rightarrow 0$ splits.
Comment In constructive mathematics the free modules are not always projective. Furthermore, it seems impossible to represent every module as a quotient of a free and projective module. Similarly it seems impossible to place every projective module as a direct summand in a free and projective module. For more details on this matter consult Exercise VIII-16 and [MRR].

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Category of Finitely Generated Projective Modules

The category of finitely generated projective modules over A can be constructed from the category of free modules of finite rank over A by a purely categorical procedure.

A finitely generated projective module $P$ is described by a pair $\left(\mathrm{L}P, \operatorname{Pr}_P\right)$ where $L_P$ is a free module of finite rank and $\operatorname{Pr} P \in \operatorname{End}\left(L_P\right)$ is a projector. We have $P \simeq \operatorname{Im} \operatorname{Pr}_P \simeq \operatorname{Coker}\left(\operatorname{Id}{\mathrm{L}_P}-\operatorname{Pr}_P\right)$.

A linear map $\varphi$ from the module $P$ (described by $\left(\mathrm{L}P, \operatorname{Pr}_P\right)$ ) to the module $Q$ (described by $\left(\mathrm{L}_Q, \operatorname{Pr}_Q\right)$ ) is described by a linear map $\mathrm{L}{\varphi}: \mathrm{L}P \rightarrow \mathrm{L}_Q$ subjected to commutation relations $$ \operatorname{Pr}_Q \circ \mathrm{L}{\varphi}=\mathrm{L}{\varphi}=\mathrm{L}{\varphi} \circ \operatorname{Pr}P . $$ In other words $\mathrm{L}{\varphi}$ is null over $\operatorname{Ker}\left(\operatorname{Pr}_P\right)$ and its image is contained in $\operatorname{Im}(\operatorname{Pr} Q)$.
The identity of $P$ is represented by $\mathrm{L}_{\mathrm{Id}}=\operatorname{Pr}_P$.
The sum of two linear maps $\varphi$ and $\psi$ from $P$ to $Q$ represented by $\mathrm{L}{\varphi}$ and $\mathrm{L}\psi$ is represented by $\mathrm{L}{\varphi}+\mathrm{L}\psi$. The linear map $a \varphi$ is represented by $a \mathrm{~L}_{\varphi}$.
To represent the composition of two linear maps, we compose their representations.
Finally, a linear map $\varphi$ from $P$ to $Q$ represented by $\mathrm{L}{\varphi}$ is null if and only if $\mathrm{L}{\varphi}=0$.

This shows that the problems relating to the finitely generated projective modules can always be interpreted as problems regarding projection matrices, and often come down to problems about solving systems of linear equations over $\mathbf{A}$.

An equivalent category, better adapted to computations, is the category whose objects are the projection matrices with coefficients in $\mathbf{A}$, a morphism from $F$ to $G$ being a matrix $H$ of a suitable format satisfying the equalities
$$
G H=H=H F .
$$

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Projective Modules and Schanuel’s Lemma

可以为非有限生成的模块定义射影模块的概念。在下文中，我们将很少使用此类模块，但是在这个主题上给出一些精确度是有用的。
2.5 定义A模 $P$ (不一定是有限生成的) 如果满足以下属性，则被称为射影。
对于所有 A 模块 $M, N$ ，对于每个满射线性映射 $\psi: M \rightarrow N$ 和每个线性映射 $\Phi: P \rightarrow N$ ，存在一个线性映射 $\varphi: P \rightarrow M$ 这样 $\psi \circ \varphi=\Phi$.
因此，给定定理 2.1 中的特征 (c4)，A 模是有限生成射影当且仅当它是射影和有限生成的。
在下面的事实中，最后一个属性类似于蕴涵 $(c 4) \Rightarrow(c 3)$ 在这个定理中。
线性映射 $\varphi: E \rightarrow F$ 如果存在 $\psi: F \rightarrow E$ 和 $\varphi \circ \psi=\operatorname{Id}_F$. 在这种情况下，我们说 $\psi$ 是一部分 $\varphi$ ，我们有 $E=\operatorname{Ker} \varphi \oplus \psi(F) \simeq \operatorname{Ker} \varphi \oplus F$.
如果它的满射被分裂，则称一个短的精确序列被分裂。

一个自由模块，其基础是一个双射集合 $\mathbb{N}$ 是投射的。例如多项式环 $\mathbf{A}[X]$ 是一个射影 $\mathbf{A}$-模块。
投影模块中直接被加数的每个模块都是投影的。
如果 $P$ 是射影的，每个短的精确序列 $0 \rightarrow N \rightarrow M \rightarrow P \rightarrow 0$ 分裂。
评论在构造性数学中，自由模并不总是射影的。此外，似乎不可能将每个模块表示为自由和射影模块的商。类似地，似乎不可能将每个射影模块作为直接被加数放置在自由射影模块中。有关此问题的更多详细信息，请参阅练习 VIII-16 和 [MRR]。

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Category of Finitely Generated Projective Modules

$A$ 上的有限生成射影模的范畴可以通过纯分类过程从 $A$ 上的有限秩自由模的范畴中构造出来。

有限生成的投影模块 $P$ 由一对描述 $\left(\mathrm{L} P, \operatorname{Pr}_P\right)$ 在哪里 $L_P$ 是一个有限秩的自由模块，并且 $\operatorname{Pr} P \in \operatorname{End}\left(L_P\right)$ 是一个投影仪。我们有 $P \simeq \operatorname{Im}_P \operatorname{Pr}_P \simeq \operatorname{Coker}\left(\operatorname{Id}_P-\operatorname{Pr}_P\right)$.
线性映射 $\varphi$ 从模块 $P$ (由描述 $\left(\mathrm{L} P, \operatorname{Pr}_P\right)$ ) 到模块 $Q$ (由描述 $\left(\mathrm{L}_Q, \operatorname{Pr}_Q\right)$ ) 由线性映射描述 $\mathrm{L} \varphi: \mathrm{L} P \rightarrow \mathrm{L}_Q$ 服从于交换关系
$$
\operatorname{Pr}_Q \circ \mathrm{L} \varphi=\mathrm{L} \varphi=\mathrm{L} \varphi \circ \operatorname{Pr} P
$$
换句话说L $\varphi$ 结束了 $\operatorname{Ker}\left(\operatorname{Pr}_P\right)$ 它的图像包含在 $\operatorname{Im}(\operatorname{Pr} Q)$.
的身份 $P$ 代表 $\mathrm{L}_{\mathrm{Id}}=\operatorname{Pr}_P$.
两个线性映射的总和 $\varphi$ 和 $\psi 从 P$ 到 $Q$ 代表 $L \varphi$ 和 $\mathrm{L} \psi$ 代表 $\mathrm{L} \varphi+\mathrm{L} \psi$. 线性映射 $a \varphi$ 代表 $a \mathrm{~L}_{\varphi}$.
为了表示两个线性映射的组合，我们组合了它们的表示。
最后是线性映射 $\varphi$ 从 $P$ 到 $Q$ 代表 $L \varphi$ 为空当且仅当 $L \varphi=0$.
这表明与有限生成射影模相关的问题总是可以解释为与射影矩阵相关的问题，并且通常归结为关于求解线性方程组的问题.A.
更好地适应计算的等效类别是其对象是系数为的投影矩阵的类别 $\mathbf{A}$, 一个态射来自 $F$ 到 $G$ 是一个矩阵 $H$ 满足等式的合适格式
$$
G H=H=H F .
$$

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MAST90025

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如果你也在怎样代写交换代数commutative algebra这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。

我们提供的交换代数commutative algebra及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MAST90025

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Definition, Changing Generator Set

A finitely presented module is an $\mathbf{A}$-module $M$ given by a finite number of generators and relations. Therefore it is a module with a finite generator set having a finitely generated syzygy module. Equivalently, it is a module $M$ isomorphic to the cokernel of a linear map
$$
\gamma: \mathbf{A}^m \longrightarrow \mathbf{A}^q
$$
The matrix $G \in \mathbf{A}^{q \times m}$ of $\gamma$ has as its columns a generator set of the syzygy module between the generators $g_i$ which are the images of the canonical base of $\mathbf{A}^q$ by the surjection $\pi: \mathbf{A}^q \rightarrow M$. Such a matrix is called a presentation matrix of the module $M$ for the generator set $\left(g_1, \ldots, g_q\right)$. This translates into

$\left[g_1 \cdots g_q\right] G=0$, and
every syzygy between the $g_i$ ‘s is a linear combination of the columns of $G$, i.e.: if $\left[g_1 \cdots g_q\right] C=0$ with $C \in \mathbf{A}^{q \times 1}$, there exists a $C^{\prime} \in \mathbf{A}^{m \times 1}$ such that $C=G C^{\prime}$.

1) A free module of rank $k$ is a finitely presented module presented by a matrix column formed of $k$ zeros. ${ }^1$ More generally every simple matrix is the presentation matrix of a free module of finite rank.
2) Recall that a finitely generated projective module is a module $\boldsymbol{P}$ isomorphic to the image of a projection matrix $F \in \mathbb{M}_n$ (A) for a specific integer $n$. Since $\mathbf{A}^n=\operatorname{Im}(F) \oplus \operatorname{Im}\left(\mathrm{I}_n-F\right)$, we obtain $P \simeq \operatorname{Coker}\left(\mathrm{I}_n-F\right)$. This shows that every finitely generated projective module is finitely presented.
3) Let $\varphi: V \rightarrow V$ be an endomorphism of a finite-dimensional vector space over a discrete field $\mathbf{K}$. Consider $V$ as a $\mathbf{K}[X]$-module with the following external law
$$
\begin{cases}\mathbf{K}[X] \times V & \rightarrow V \ (P, u) & \mapsto P \cdot u:=P(\varphi)(u)\end{cases}
$$
Let $\left(u_1, \ldots, u_n\right)$ be a basis of $V$ as a $\mathbf{K}$-vector space and $A$ be the matrix of $\varphi$ with respect to this basis. Then we can show that a presentation matrix of $V$ as a $\mathbf{K}[X]$-module for the generator set $\left(u_1, \ldots, u_n\right)$ is the matrix $X \mathrm{I}_n-A$ (see Exercise 3).
1.0 Lemma When we change a finite generator set for a given finitely presented module, the syzygies between the new generators form a finitely generated module again.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Finitely Presented Ideals

Consider a ring $\mathbf{A}$ and a generator set $\left(a_1, \ldots, a_n\right)=(a)$ for a finitely generated ideal $\mathfrak{a}$ of $\mathbf{A}$. We are interested in the $\mathbf{A}$-module structure of $\boldsymbol{a}$.

Among the syzygies between the $a_i$ ‘s there are what we call the trivial syzygies (or trivial relators if we see them as algebraic dependence relations over $\mathbf{k}$ when $\mathbf{A}$ is a k-algebra):
$$
a_i a_j-a_j a_i=0 \text { for } i \neq j .
$$
If $\mathfrak{a}$ is finitely presented, we can always take a presentation matrix of $\mathfrak{a}$ for the generator set $(a)$ in the form
$$
W=\left[R_{a} \mid U\right],
$$
where $R_{a}$ is “the” $n \times n(n-1) / 2$ matrix of trivial syzygies (the order of the columns is without importance). For example, for $n=4$
$$
R_{a}=\left[\begin{array}{cccccc}
a_2 & a_3 & 0 & a_4 & 0 & 0 \
-a_1 & 0 & a_3 & 0 & a_4 & 0 \
0 & -a_1 & -a_2 & 0 & 0 & a_4 \
0 & 0 & 0 & -a_1 & -a_2 & -a_3
\end{array}\right] .
$$
2.1 Lemma (Determinantal ideals of the matrix of trivial syzygies) Using the above notations, we have the following results.

$\mathcal{D}n\left(R{a}\right)={0}$.
If $1 \leqslant r<n$, then $\mathcal{D}r\left(R{a}\right)=\mathfrak{a}^r$ and
$$
\mathfrak{a}^r+\mathcal{D}r(U) \subseteq \mathcal{D}_r(W) \subseteq \mathfrak{a}+\mathcal{D}_r(U) . $$ In particular, we have the equivalence $$ 1 \in \mathcal{D}{\mathbf{A}, r}(W) \Longleftrightarrow 1 \in \mathcal{D}_{\mathbf{A} / \mathfrak{a}, r}(\bar{U}) \text { where } \bar{U}=U \bmod \mathfrak{a} .
$$
$\mathcal{D}_n(W)=\mathcal{D}_n(U)$.

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Definition, Changing Generator Set

一个有限呈现的模块是 $\mathbf{A}$-模块 $M$ 由有限数量的生成器和关系给出。因此，它是一个具有有限生成器集的模块，该模块具有有限生成的 syzygy 模块。等价的，它是一个模块 $M$ 同构于线性映射的核心
$$
\gamma: \mathbf{A}^m \longrightarrow \mathbf{A}^q
$$
矩阵 $G \in \mathbf{A}^{q \times m}$ 的 $\gamma$ 在其列中包含生成器之间的 syzygy 模块的生成器集 $g_i$ 这是规范基础的图像 $\mathbf{A}^q$ 由满射 $\pi: \mathbf{A}^q \rightarrow M$. 这样的矩阵称为模块的表示矩阵 $M$ 对于发电机组 $\left(g_1, \ldots, g_q\right)$. 这转化为

$\left[g_1 \cdots g_q\right] G=0 ，$ 和
之间的每一个 syzygy $g_i$ 是列的线性组合 $G$ ，即：如果 $\left[g_1 \cdots g_q\right] C=0$ 和 $C \in \mathbf{A}^{q \times 1}$ ，存在一个 $C^{\prime} \in \mathbf{A}^{m \times 1}$ 这样 $C=G C^{\prime}$.
1) 一个免费的排名模块 $k$ 是由矩阵列表示的有限呈现模块 $k$ 零。 ${ }^1$ 更一般地，每个简单矩阵都是有限秩自由模块的表示矩阵。
2) 回想一下有限生成的射影模是一个模 $\boldsymbol{P}$ 与投影矩阵的图像同构 $F \in \mathbb{M}_n(\mathrm{~A})$ 对于一个特定的整数 $n$. 自 $从 \mathbf{A}^n=\operatorname{Im}(F) \oplus \operatorname{Im}\left(\mathrm{I}_n-F\right)$ ，我们获得 $P \simeq \operatorname{Coker}\left(\mathrm{I}_n-F\right)$. 这表明每个有限生成的射影模都是有限呈现的。
3) 让 $\varphi: V \rightarrow V$ 是离散域上有限维向量空间的自同态 $\mathbf{K}$. 考虑 $V$ 作为一个 $\mathbf{K}[X]$-具有以下外部法则的模块
$$
{\mathbf{K}[X] \times V \rightarrow V(P, u) \mapsto P \cdot u:=P(\varphi)(u)
$$
让 $\left(u_1, \ldots, u_n\right)$ 成为的基础 $V$ 作为一个 $\mathbf{K}$-向量空间和 $A$ 是矩阵 $\varphi$ 关于这个基础。然后我们可以证明一个表示矩阵 $V$ 作为一个 $\mathbf{K}[X]$ – 发电机组模块 $\left(u_1, \ldots, u_n\right)$ 是矩阵 $X \mathrm{I}_n-A$ (见练习 3)。
$1.0$ 引理当我们为给定的有限呈现模块更改有限生成器集时，新生成器之间的组合再次形成有限生成模块。

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Finitely Presented Ideals

考虑一枚戒指 $\mathbf{A}$ 和发电机组 $\$ \backslash e f t\left(a_{-} 1, V\right.$ dots, a_n $\backslash$ right $)=($ a $)$ fora finitelygeneratedideal \mathfrak{a}of $\backslash$ mathbf{A}. Weareinterestedinthe $\backslash$ mathbf ${\mathrm{A}}-$ modulestructureof Vboldsymbol{a}\$。
在 syzygies 之间 $a_i$ 有什么我们称之为平凡的 syzygies（或者平凡的相关关系，如果我们将它们视为代数依赖关系 $\mathbf{k}$ 什么时候 $\mathbf{A}$ 是一个 $k-$ 代数）：
$$
a_i a_j-a_j a_i=0 \text { for } i \neq j .
$$
如果 $\mathfrak{a}$ 是有限呈现的，我们总是可以采用表示矩阵 $\mathfrak{a}$ 对于发电机组 $\$(a)$ inthe form $\$$ $W=\backslash l e f t\left[R _{a} \backslash m i d\right.$ U\right } ] \text { , }
$\$ \$$
其中 $\$ R_{-}{a} i s$ “the” $n$ Itimes $n(\mathrm{n}-1) / 2$
matrixoftrivialsyzygies(theorderofthecolumnsiswithoutimportance). Forexample, for $\mathrm{n}=4 \$$
$R _{a}=\backslash \operatorname{left}[$
正确的]。
$\$ \$$
$2.1$ 引理 (平凡合集矩阵的行列式理想) 使用上述符号，我们得到以下结果。

$\$ \backslash$ mathcal${D} n \backslash e f t(R{a} \backslash r i g h t)={0} \$$ 。
如果 $1 \leqslant r<n$, 那么 $\$ \backslash m a t h c a l{D} r \backslash l e f t(R{a} \backslash r i g h t)=\backslash m a t h f r a k{a} \wedge$ rand $\mathfrak{a}^r+\mathcal{D} r(U) \subseteq \mathcal{D}r(W) \subseteq \mathfrak{a}+\mathcal{D}_r(U)$.Inparticular, wehavetheequivalence $1 \in \mathcal{D} \mathbf{A}, r(W) \Longleftrightarrow 1 \in \mathcal{D}{\mathbf{A} / \mathfrak{a}, r}(\bar{U})$ where $\bar{U}=U \bmod a . \$$
$$
\text { 3. } \mathcal{D}_n(W)=\mathcal{D}_n(U)
$$

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH3303

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH3303

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Formal Nullstellensatz

We now move onto a formal Nullstellensatz, formal in the sense that it applies (in classical mathematics) to an arbitrary ideal over an arbitrary ring. Nevertheless to have a constructive statement we will be content with a polynomial ring $\mathbb{Z}[X]$ for our arbitrary ring and a finitely generated ideal for our arbitrary ideal.

Although this may seem very restrictive, practice shows that this is not the case because we can (almost) always apply the method of undetermined coefficients to a commutative algebra problem; a method which reduces the problem to a polynomial problem over $\mathbb{Z}$. An illustration of this will be given next.

Note that to read the statement, when we speak of a zero of some $f_i \in \mathbb{Z}[X]$ over a ring $\mathbf{A}$, one must first consider $f_i \operatorname{modulo} \operatorname{Ker} \varphi$, where $\varphi$ is the unique homomorphism $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbf{A}$, with $\mathbf{A}_1 \simeq \mathbb{Z} / \operatorname{Ker} \varphi$ as its image. This thus reduces to a polynomial $\overline{f_i}$ of $\mathbf{A}_1[X] \subseteq \mathbf{A}[X]$.
9.9 Theorem (Nullstellensatz over $\mathbb{Z}$, formal Nullstellensatz) Let $\mathbb{Z}[X]=$ $\mathbb{Z}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$. Consider $g, f_1, \ldots, f_s$ in $\mathbb{Z}[X]$

For the system $\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ the following properties are equivalent.
a. $1 \in\left\langle f_1, \ldots, f_s\right\rangle$.
b. The system does not admit a zero on any nontrivial discrete field.
c. The system does not admit a zero on any finite field or on any finite extension of $\mathbb{Q}$.
d. The system does not admit a zero on any finite field.
The following properties are equivalent.
a. $\exists N \in \mathbb{N}, g^N \in\left\langle f_1, \ldots, f_s\right\rangle$.
b. The polynomial $g$ is annihilated at the zeros of the system $\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ on any discrete field.
c. The polynomial $g$ is annihilated at the zeros of the system $\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ on every finite field and on every finite extension of $\mathbb{Q}$.
d. The polynomial $g$ is annihilated at the zeros of the system $\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ on every finite field.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Newton’s Method in Algebra

If $s=n$, we denote by $\operatorname{Jac}{X}(f)$ or $\operatorname{Jac}{X_1, \ldots, X_n}\left(f_1, \ldots, f_n\right)$ or $\operatorname{Jac}(f)$ the Jacobian of the system $(f)$, i.e. the determinant of the Jacobian matrix.

In analysis $\bar{N}$ ewton’s method to approximate a root of a differentiable function $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ is the following. Starting from a point $x_0$ “near a root,” at which the derivative is “far from 0 “, we construct a series $\left(x_m\right){m \in \mathbb{N}}$ by induction by letting $$ x{m+1}=x_m-\frac{f\left(x_m\right)}{f^{\prime}\left(x_m\right)} .
$$
The method can be generalized for a system of $p$ equations with $p$ unknowns. A solution of such a system is a zero of a function $f: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^p$. We apply “the same formula” as above
$$
x_{m+1}=x_m-f^{\prime}\left(x_m\right)^{-1} \cdot f\left(x_m\right)
$$
where $f^{\prime}(x)$ is the differential (the Jacobian matrix) of $f$ at the point $x \in \mathbb{R}^p$, which must be invertible in a neighborhood of $x_0$.

This method, and other methods of the infinitesimal calculus, can also be applied in certain cases in algebra, by replacing the Leibnizian infinitesimals by the nilpotent elements.
If for instance $\mathbf{A}$ is a $\mathbb{Q}$-algebra and $x \in \mathbf{A}$ is nilpotent, the formal series
$$
1+x+x^2 / 2+x^3 / 6+\ldots
$$
which defines $\exp (x)$ only has a finite number of nonzero terms in $\mathbf{A}$ and therefore defines an element $1+y$ with $y$ nilpotent. Since the equality
$$
\exp \left(x+x^{\prime}\right)=\exp (x) \exp \left(x^{\prime}\right)
$$
holds in analysis, it is also valid with regard to formal series over $\mathbb{Q}$. So when $x$ and $x^{\prime}$ are nilpotents in $\mathbf{A}$ we will obtain the same equality in A. Similarly the formal series
$$
y-y^2 / 2+y^3 / 3-\ldots
$$
which defines $\log (1+y)$, only has a finite number of terms in $\mathbf{A}$ when $y$ is nilpotent and allows for a definition of $\log (1+y)$ as a nilpotent element of $\mathbf{A}$. Furthermore, for nilpotent $x$ and $y$, we obtain the equalities
$$
\log (\exp (x))=x \text { and } \exp (\log (1+y))=1+y
$$ as consequences of the corresponding equalities for the formal series.

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Formal Nullstellensatz

我们现在转向正式的 Nullstellensatz，正式的意思是它（在经典数学中）适用于任意环上的任意理想。尽管如此，为了有一个建设性的陈述，我们将满足于我们的任意环的多项式环 $\$ \backslash m a t h b b{Z}[X] \$$ 和我们的任意理想的有限生成的理想。
尽管这看起来非常局限，但实践表明情况并非如此，因为我们（几乎) 总是可以将待定系数的方法应用于交换代数问题; 一种将问题简化为多项式问题的方法Z $\mathbb{Z}$. 接下来将对此进行说明。 , onemust firstconsiderfi loperatorname{modulo} loperatorname{Ker} Ivarphi, wherelvarphi istheuniquehomomorphism $\backslash m a t h b b{Z} \backslash r i g h t a r r o w \backslash m a t h b f{\mathrm{~A}}$, with $\backslash$ mathbf ${\mathrm{A}} _1$ \word Imathbb{Z} / \operatorname{Ker} Ivarphiasitsimage. Thisthusreducestoapolynomial loverline{f_i}of $\backslash$ mathbf $\left{A_{-} 1[\mathrm{X}] \backslash\right.$ subset $\backslash$ mathbf ${\mathrm{A}}[X .9 .9$ Theorem $($ Nullstellensatzover Imathbb ${Z}$, formalNullstellensatz $)$ Let $\backslash \operatorname{mathbb}{\mathrm{Z}}[X]=\backslash \operatorname{mathbb}{Z} \backslash$ feft $[\mathrm{X} 1$, VIdots, X_n $\backslash$ right $]$ . Considerg, f_1, \dots, f_sin $\backslash \operatorname{mathbb}{\mathrm{Z}}[\mathrm{X}] \$$

对于系统 $\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ 以下属性是等效的。
A. $1 \in\left\langle f_1, \ldots, f_s\right\rangle$.
b. 该系统不允许在任何非平凡的离散域上出现零。
C。该系统不允许在任何有限域或任何有限扩展上为零 $\mathbb{Q}$.
d. 系统不允许在任何有限域上出现零。
以下属性是等效的。
A。 $\exists N \in \mathbb{N}, g^N \in\left\langle f_1, \ldots, f_s\right\rangle$.
b. 多项式 $g$ 在系统的零点处湮火 $\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ 在任何离散领域。
C。多项式 $g$ 在系统的零点处湮灭 $\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ 在每个有限域和每个有限扩展上 $Q$.
d. 多项式 $g$ 在系统的零点处湮灭 $\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ 在每个有限域上。

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Newton’s Method in Algebra

如果 $s=n$ ，我们用 \$loperatorname ${J a c}{X}(\mathrm{f}$ ) 表示 $o r$ loperatorname{Jac $}{\mathrm{X} 1$ ，Vdots, X_n}\left(f_1， Vdots, f_niright)or loperatorname{Jac}( f )theJacobianofthesystem(f)\$，即雅可比矩阵的行列式。 0″，我们构造一个级数 $\left(x_m\right) m \in \mathbb{N}$ 归纳法
$$
x m+1=x_m-\frac{f\left(x_m\right)}{f^{\prime}\left(x_m\right)} .
$$
该方法可以推广到一个系统 $p$ 方程式 $p$ 末知数。这种系统的解是函数的零 $f: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^p$. 我们应用与上述 “相同的公式”
$$
x_{m+1}=x_m-f^{\prime}\left(x_m\right)^{-1} \cdot f\left(x_m\right)
$$
在哪里 $f^{\prime}(x)$ 是微分（雅可比矩阵) $f$ 在这一点上 $x \in \mathbb{R}^p$ ，它必须在邻域内是可逆的 $x_0$.
通过用幂零元素代替莱布尼茨无穷小，这种方法和其他无穷小微积分方法也可以应用于代数中的某些情况。
例如如果 $\mathbf{A}$ 是一个Q-代数和 $x \in \mathbf{A}$ 是幂零的，正式级数
$$
1+x+x^2 / 2+x^3 / 6+\ldots
$$
它定义了 $\exp (x)$ 只有有限数量的非零项A $\mathbf{A}$ 此定义了一个元素 $1+y$ 和 $y$ 幕零。自平等
$$
\exp \left(x+x^{\prime}\right)=\exp (x) \exp \left(x^{\prime}\right)
$$
在分析中成立，对于正式系列也有效 $\mathbb{Q}$. 所以当 $x$ 和 $x^{\prime}$ 是幂零的 $\mathbf{A}$ 我们将在 $\mathrm{A}$ 中获得相同的等式。类似地，形式级数
$$
y-y^2 / 2+y^3 / 3-\ldots
$$
它定义了 $\log (1+y)$ ，只有有限数量的术语 $\mathbf{A}$ 什么时候 $y$ 是幂零的并且允许定义 $\log (1+y)$ 作为的幂零元素 A. 此外，对于莫零 $x$ 和 $y$ ，我们得到等式
$$
\log (\exp (x))=x \text { and } \exp (\log (1+y))=1+y
$$
作为正式系列相应平等的结果。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH3033

Posted on 2022年9月26日2022年9月26日 by statistics-lab

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Injectivity and Surjectivity Criteria

Two famous propositions are contained in the following theorem.
5.22 Theorem Let $\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$ be a linear map with matrix $A$.

The map $\varphi$ is surjective if and only if $\varphi$ is of rank $m$, i.e. here $\mathcal{D}_m(\varphi)=\langle 1\rangle$ (we then say that $A$ is unimodular).
(McCoy’s theorem) The map $\varphi$ is injective if and only if $\mathcal{D}_n(\varphi)$ is faithful, i.e. if the annihilator of $\mathcal{D}_n(\varphi)$ is reduced to ${0}$.

D 1. If $\varphi$ is surjective, it admits a right inverse $\psi_*$ and Fact $5.6$ gives $\langle 1\rangle=\mathcal{D}_m\left(\mathrm{I}_m\right) \subseteq$ $\mathcal{D}_m(\varphi) \mathcal{D}_m(\psi)$, so $\mathcal{D}_m(\varphi)=\langle 1\rangle$. Conversely, if $A$ is of rank $m$, Eq. (18) shows that $A$ admits a right inverse, and $\varphi$ is surjective.

Assume that $\mathcal{D}n(A)$ is faithful. By equality (16), if $A V=0$, then $\mu{\alpha, 1 . . n} V=0$ for all the generators $\mu_{\alpha, 1 . . n}$ of $\mathcal{D}n(A)$, and so $V=0$. For the converse, we will prove by induction on $k$ the following property: if $k$ column vectors $x_1, \ldots, x_k$ are linearly independent, then the annihilator of the vector $x_1 \wedge \cdots \wedge x_k$ is reduced to 0 . For $k=1$ it is trivial. To pass from $k$ to $k+1$ we proceed as follows. Let $z$ be a scalar that annihilates $x_1 \wedge \cdots \wedge x{k+1}$. For $\alpha \in \mathcal{P}{k, m}$, we denote by $d\alpha\left(y_1, \ldots, y_k\right)$ the minor extracted on the index rows of $\alpha$ for the column vectors $y_1, \ldots, y_k$ of $\mathbf{A}^m$. Since $z\left(x_1 \wedge \cdots \wedge x_{k+1}\right)=0$, and by the Cramer formulas, we have the equality
$$
z\left(d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_k\right) x_{k+1}-d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_{k-1}, x_{k+1}\right) x_k+\cdots\right)=0,
$$
so $z d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_k\right)=0$.
As this is true for any $\alpha$, this gives $z\left(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k\right)=0$, and by the induction hypothesis, $z=0$.
Remark Theorem $5.22$ can also be read in the following way.
The linear map $\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$ is surjective if and only if the map $\bigwedge^m \varphi: \mathbf{A}^{\left(\begin{array}{c}n \ m\end{array}\right)} \rightarrow$ $\mathbf{A}$ is surjective.
The linear map $\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$ is injective if and only if the map $\wedge^n \varphi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}^{\left(\begin{array}{c}m \ n\end{array}\right)}$ is injective.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Gram Determinants and Discriminants

5.32 Definition Let $M$ be an A-module, $\varphi: M \times M \rightarrow \mathbf{A}$ be a symmetric bilinear form and $(x)=\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ be a list of elements of $M$. We call the matrix
$$
\operatorname{Gram}{\mathbf{A}}(\varphi, x) \stackrel{\text { def }}{=}\left(\varphi\left(x_i, x_j\right)\right){i, j \in[1 . . k]}
$$
the Gram matrix of $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ for $\varphi$. Its determinant is called the Gram determinant of $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ for $\varphi$ and is denoted by $\operatorname{gram}_{\mathrm{A}}(\varphi, x)$.
If $\mathbf{A} y_1+\cdots+\mathbf{A} y_k \subseteq \mathbf{A} x_1+\cdots+\mathbf{A} x_k$ we have an equality
$$
\operatorname{gram}\left(\varphi, y_1, \ldots, y_k\right)=\operatorname{det}(A)^2 \operatorname{gram}\left(\varphi, x_1, \ldots, x_k\right),
$$
where $A$ is a $k \times k$ matrix which expresses the $y_j$ ‘s in terms of the $x_i$ ‘s.
We now introduce an important case of a Gram determinant, the discriminant. Recall that two elements $a, b$ of a ring $\mathbf{A}$ are said to be associated if there exists a $u \in \mathbf{A}^{\times}$such that $a=u b$. In the literature such elements are also referred to as associates.
5.33 Proposition and definition Let $\mathbf{C} \supseteq \mathbf{A}$ be an $\mathbf{A}$-algebra which is a free $\mathbf{A}$-module of finite rank and $x_1, \ldots, x_k, y_1, \ldots, y_k \in \mathbf{C}$.

We call the determinant of the matrix
$$
\left(\operatorname{Tr}{\mathbf{C} / \mathbf{A}}\left(x_i x_j\right)\right){i, j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket}
$$
the discriminant of $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$. We denote it by $\operatorname{disc} \mathbf{C}_{\mathbf{C} / \mathrm{A}}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ or $\operatorname{disc}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$.
If $\mathbf{A} y_1+\cdots+\mathbf{A} y_k \subseteq \mathbf{A} x_1+\cdots+\mathbf{A} x_k$ we have
$$
\operatorname{disc}\left(y_1, \ldots, y_k\right)=\operatorname{det}(A)^2 \operatorname{disc}\left(x_1, \ldots, x_k\right),
$$
where A is a $k \times k$ matrix which expresses the $y_j$ ‘s in terms of the $x_i$ ‘s.

交换代数代考

数学代写|交换代数代写交换代数代考|注入和满射标准

5.22定理设$\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$是矩阵$A$的线性映射

当且仅当$\varphi$的秩为$m$，即这里的$\mathcal{D}_m(\varphi)=\langle 1\rangle$(我们然后说$A$是单模的)，地图$\varphi$是满射的。
(McCoy’s定理)当且仅当$\mathcal{D}_n(\varphi)$是忠实的，即当$\mathcal{D}_n(\varphi)$的湮灭子减少到${0}$时，映射$\varphi$是单射的D 1。如果$\varphi$是满射，它承认一个右逆$\psi_*$，事实$5.6$给出$\langle 1\rangle=\mathcal{D}_m\left(\mathrm{I}_m\right) \subseteq$$\mathcal{D}_m(\varphi) \mathcal{D}_m(\psi)$，因此是$\mathcal{D}_m(\varphi)=\langle 1\rangle$。相反，如果$A$的秩为$m$，则Eq.(18)表明$A$允许一个右逆，而$\varphi$是满射
1. 假设$\mathcal{D}n(A)$是忠实的。根据等式(16)，如果$A V=0$，那么对于$\mathcal{D}n(A)$的所有生成器$\mu_{\alpha, 1 . . n}$，则$\mu{\alpha, 1 . . n} V=0$，因此$V=0$。反之，我们将在$k$上通过归纳法证明以下性质:如果$k$列向量$x_1, \ldots, x_k$是线性无关的，则向量$x_1 \wedge \cdots \wedge x_k$的湮灭子化简为0。对于$k=1$来说，这是微不足道的。要从$k$传递到$k+1$，我们按照以下步骤进行。设$z$是一个灭掉$x_1 \wedge \cdots \wedge x{k+1}$的标量。对于$\alpha \in \mathcal{P}{k, m}$，我们用$d\alpha\left(y_1, \ldots, y_k\right)$表示在$\alpha$的索引行上提取的子项，用于$\mathbf{A}^m$的列向量$y_1, \ldots, y_k$。从$z\left(x_1 \wedge \cdots \wedge x_{k+1}\right)=0$开始，根据克莱默公式，我们得到等式
  $$
  z\left(d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_k\right) x_{k+1}-d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_{k-1}, x_{k+1}\right) x_k+\cdots\right)=0,
  $$
  所以$z d_\alpha\left(x_1, \ldots, x_k\right)=0$ .
  因为这对任何$\alpha$都成立，所以得到$z\left(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k\right)=0$，根据归纳假设，得到$z=0$
  备注定理$5.22$也可以这样理解。
2. 线性映射$\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$是满射的当且仅当映射$\bigwedge^m \varphi: \mathbf{A}^{\left(\begin{array}{c}n \ m\end{array}\right)} \rightarrow$$\mathbf{A}$是满射的。
3. 线性映射$\varphi: \mathbf{A}^n \rightarrow \mathbf{A}^m$是单射的，当且仅当映射$\wedge^n \varphi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}^{\left(\begin{array}{c}m \ n\end{array}\right)}$是单射的数学代写|交换代数代写交换代数代考|克行列式和鉴别 5.32 $M$ 做一个a模块， $\varphi: M \times M \rightarrow \mathbf{A}$ 是对称的双线性形式 $(x)=\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ 的元素列表 $M$。我们称矩阵
  $$
  \operatorname{Gram}{\mathbf{A}}(\varphi, x) \stackrel{\text { def }}{=}\left(\varphi\left(x_i, x_j\right)\right){i, j \in[1 . . k]}
  $$
  的克矩阵 $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ 为 $\varphi$。它的行列式叫做 $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ 为 $\varphi$ 表示为 $\operatorname{gram}_{\mathrm{A}}(\varphi, x)$.
  如果 $\mathbf{A} y_1+\cdots+\mathbf{A} y_k \subseteq \mathbf{A} x_1+\cdots+\mathbf{A} x_k$ 我们有一个等式
  $$
  \operatorname{gram}\left(\varphi, y_1, \ldots, y_k\right)=\operatorname{det}(A)^2 \operatorname{gram}\left(\varphi, x_1, \ldots, x_k\right),
  $$
  where $A$ 是 $k \times k$ 矩阵表示 $y_j$ 的表达式 $x_i$
  我们现在介绍克行列式的一个重要情况，即判别式。回想一下这两个元素 $a, b$ 一枚戒指 $\mathbf{A}$ 如果存在 $u \in \mathbf{A}^{\times}$如此这般 $a=u b$。在文献中，这类元素也被称为关联 $\mathbf{C} \supseteq \mathbf{A}$ 做一个 $\mathbf{A}$-代数是免费的 $\mathbf{A}$-有限秩和的模 $x_1, \ldots, x_k, y_1, \ldots, y_k \in \mathbf{C}$. 我们称矩阵的行列式
  $$
  \left(\operatorname{Tr}{\mathbf{C} / \mathbf{A}}\left(x_i x_j\right)\right){i, j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket}
  $$
  的鉴别 $\left(x_1, \ldots, x_k\right)$。我们用 $\operatorname{disc} \mathbf{C}_{\mathbf{C} / \mathrm{A}}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$ 或 $\operatorname{disc}\left(x_1, \ldots, x_k\right)$.
4. $\mathbf{A} y_1+\cdots+\mathbf{A} y_k \subseteq \mathbf{A} x_1+\cdots+\mathbf{A} x_k$ 我们有
  $$
  \operatorname{disc}\left(y_1, \ldots, y_k\right)=\operatorname{det}(A)^2 \operatorname{disc}\left(x_1, \ldots, x_k\right),
  $$
  其中A是A $k \times k$ 矩阵表示 $y_j$ 的表达式 $x_i$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

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PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH2301

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。

我们提供的交换代数commutative algebra及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Generalized Cramer Formula

We study in this subsection some generalizations of the usual Cramer formulas. We will exploit these in the following paragraphs.

For a matrix $A \in \mathbf{A}^{m \times n}$ we denote by $A_{\alpha, \beta}$ the matrix extracted on the rows $\alpha=\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_r\right} \subseteq \llbracket 1 . . m \rrbracket$ and the columns $\beta=\left{\beta_1, \ldots, \beta_s\right} \subseteq \llbracket 1 . . n \rrbracket$.

Suppose that the matrix $A$ is of rank $\leqslant k$. Let $V \in \mathbf{A}^{m \times 1}$ be a column vector such that the bordered matrix $[A \mid V]$ is also of rank $\leqslant k$. Let us call $A_j$ the $j$-th column of $A$. Let $\mu_{\alpha, \beta}=\operatorname{det}\left(A_{\alpha, \beta}\right)$ be the minor of order $k$ of the matrix $A$ extracted on the rows $\alpha=\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_k\right}$ and the columns $\beta=\left{\beta_1, \ldots, \beta_k\right}$. For $j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket$ let $\nu_{\alpha, \beta, j}$ be the determinant of the same extracted matrix, except that the column $j$ has been replaced with the extracted column of $V$ on the rows $\alpha$. Then, we obtain for each pair $(\alpha, \beta)$ of multi-indices a Cramer identity:
$$
\mu_{\alpha, \beta} V=\sum_{j=1}^k \nu_{\alpha, \beta, j} A_{\beta_j}
$$
due to the fact that the rank of the bordered matrix $\left[A_{1 . . m, \beta} \mid V\right]$ is $\leqslant k$. This can be read as follows:
$$
\begin{aligned}
\mu_{\alpha, \beta} V &=\left[A_{\beta_1} \ldots A_{\beta_k}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}
\nu_{\alpha, \beta, 1} \
\vdots \
\nu_{\alpha, \beta, k}
\end{array}\right] \
&=\left[A_{\beta_1} \ldots A_{\beta_k}\right] \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left[\begin{array}{c}
v_{\alpha_1} \
\vdots \
v_{\alpha_k}
\end{array}\right] \
&=A \cdot\left(\mathrm{I}n\right){1 \ldots n, \beta} \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left(\mathrm{I}m\right){\alpha, 1 . m} \cdot V
\end{aligned}
$$
This leads us to introduce the following notation.
5.12 Notation We denote by $\mathcal{P}{\ell}$ the set of parts of $\llbracket 1 . . \ell \rrbracket$ and $\mathcal{P}{k, \ell}$ the set of parts of $\llbracket 1 . . \ell \rrbracket$ with $k$ elements. For $A \in \mathbf{A}^{m \times n}$ and $\alpha \in \mathcal{P}{k, m}, \beta \in \mathcal{P}{k, n}$
$$
\operatorname{Adj}{\alpha, \beta}(A):=\left(\mathrm{I}_n\right){1 \ldots n, \beta} \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left(\mathrm{I}m\right){\alpha, 1 \ldots m} .
$$

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Generalized Inverses and Locally Simple Maps

Let $E$ and $F$ be two $\mathbf{A}$-modules, and $\varphi: E \rightarrow F$ be a linear map. We can see this as some sort of generalized system of linear equations (a usual system of linear equations corresponds to the free modules of finite rank case). Informally such a system of linear equations is considered to be “well-conditioned” if there is a systematic way to solve the equation $\varphi(x)=y$ for $x$ from a given $y$, when such a solution exists. More precisely, we ask if there exists a linear map $\psi: F \rightarrow E$ satisfying $\varphi(\psi(y))=y$ each time there exists a solution $x$. This amounts to asking $\varphi(\psi(\varphi(x)))=\varphi(x)$ for all $x \in E$.

This clarifies the importance of the Eq. (17) and leads to the notion of a generalized inverse.

The terminology regarding generalized inverses does not seem fully fixed. We adopt that of [Lancaster \& Tismenetsky].
In the book [Bhaskara Rao], the author uses the term “reflexive g-inverse.”
5.16 Definition Let $E$ and $F$ be two A-modules, and $\varphi: E \rightarrow F$ be a linear map. A linear map $\psi: F \rightarrow E$ is called a generalized inverse of $\varphi$ if we have
$$
\varphi \circ \psi \circ \varphi=\varphi \text { and } \psi \circ \varphi \circ \psi=\psi
$$
A linear map is said to be locally simple when it has a generalized inverse. The following fact is immediate.

5.17 Fact When $\psi$ is a generalized inverse of $\varphi$, we have:

$\varphi \psi$ and $\psi \varphi$ are projections,
$-\operatorname{Im} \varphi=\operatorname{Im} \varphi \psi, \operatorname{Im} \psi=\operatorname{Im} \psi \varphi, \operatorname{Ker} \varphi=\operatorname{Ker} \psi \varphi, \operatorname{Ker} \psi=\operatorname{Ker} \varphi \psi$,
$-E=\operatorname{Ker} \varphi \oplus \operatorname{Im} \psi$ and $F=\operatorname{Ker} \psi \oplus \operatorname{Im} \varphi$,
$-\operatorname{Ker} \varphi \simeq \operatorname{Coker} \psi$ and $\operatorname{Ker} \psi \simeq \operatorname{Coker} \varphi$.
Moreover $\varphi$ and $\psi$ provide by restriction reciprocal isomorphisms $\varphi_1$ and $\psi_1$ between $\operatorname{Im} \psi$ and $\operatorname{Im} \varphi$. In matrix form we obtain:
Remarks
1) If we have a linear map $\psi_0$ satisfying as in Theorem $5.14$ the equality $\varphi \psi_0 \varphi=\varphi$, we obtain a generalized inverse of $\varphi$ by stating $\psi=\psi_0 \varphi \psi_0$. In other words, a linear map $\varphi$ is locally simple if and only if there exists a $\psi$ satisfying $\varphi \psi \varphi=\varphi$.
2) A simple linear map between free modules of finite rank is locally simple (immediate verification).
3) Theorem $5.14$ informs us that a linear map which has rank $k$ in the sense of Definition $5.7$ is locally simple.

交换代数代考

数学代写|交换代数代写交换代数代考|广义Cramer公式

在这一小节中，我们研究一些常用Cramer公式的推广。我们将在接下来的段落中探讨这些

对于矩阵$A \in \mathbf{A}^{m \times n}$，我们用$A_{\alpha, \beta}$表示在行$\alpha=\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_r\right} \subseteq \llbracket 1 . . m \rrbracket$和列$\beta=\left{\beta_1, \ldots, \beta_s\right} \subseteq \llbracket 1 . . n \rrbracket$上提取的矩阵

假设矩阵$A$的秩是$\leqslant k$。设$V \in \mathbf{A}^{m \times 1}$是一个列向量，使得有边界的矩阵$[A \mid V]$的秩也是$\leqslant k$。让我们称$A_j$为$A$的$j$ -th列。设$\mu_{\alpha, \beta}=\operatorname{det}\left(A_{\alpha, \beta}\right)$是在行$\alpha=\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_k\right}$和列$\beta=\left{\beta_1, \ldots, \beta_k\right}$上提取的矩阵$A$的$k$次余子数。对于$j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket$，设$\nu_{\alpha, \beta, j}$为相同提取矩阵的行列式，只是列$j$已被$\alpha$行上提取的列$V$所取代。然后，对于每一对多指标$(\alpha, \beta)$，我们得到一个Cramer恒等式:
$$
\mu_{\alpha, \beta} V=\sum_{j=1}^k \nu_{\alpha, \beta, j} A_{\beta_j}
$$
，这是因为有边界矩阵$\left[A_{1 . . m, \beta} \mid V\right]$的秩为$\leqslant k$。
$$
\begin{aligned}
\mu_{\alpha, \beta} V &=\left[A_{\beta_1} \ldots A_{\beta_k}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}
\nu_{\alpha, \beta, 1} \
\vdots \
\nu_{\alpha, \beta, k}
\end{array}\right] \
&=\left[A_{\beta_1} \ldots A_{\beta_k}\right] \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left[\begin{array}{c}
v_{\alpha_1} \
\vdots \
v_{\alpha_k}
\end{array}\right] \
&=A \cdot\left(\mathrm{I}n\right){1 \ldots n, \beta} \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left(\mathrm{I}m\right){\alpha, 1 . m} \cdot V
\end{aligned}
$$
这导致我们引入以下表示法:
5.12表示法我们用$\mathcal{P}{\ell}$表示$\llbracket 1 . . \ell \rrbracket$的部分的集合，用$\mathcal{P}{k, \ell}$表示$\llbracket 1 . . \ell \rrbracket$的部分的集合，其中包含$k$元素。对于$A \in \mathbf{A}^{m \times n}$和$\alpha \in \mathcal{P}{k, m}, \beta \in \mathcal{P}{k, n}$
$$
\operatorname{Adj}{\alpha, \beta}(A):=\left(\mathrm{I}_n\right){1 \ldots n, \beta} \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left(\mathrm{I}m\right){\alpha, 1 \ldots m} .
$$

数学代写|交换代数代写交换代数代考|广义逆和局部简单映射

设$E$和$F$是两个$\mathbf{A}$ -模块，$\varphi: E \rightarrow F$是一个线性映射。我们可以把它看作某种广义线性方程组(通常的线性方程组对应于有限秩情况下的自由模)。非正式地说，这样的线性方程组被认为是“条件良好”的，如果有一种系统的方法可以从给定的$y$解出方程$\varphi(x)=y$ for $x$，如果这样的解存在。更准确地说，我们问是否存在一个线性映射$\psi: F \rightarrow E$满足$\varphi(\psi(y))=y$每次存在一个解$x$。这相当于向$\varphi(\psi(\varphi(x)))=\varphi(x)$请求所有$x \in E$。这阐明了式(17)的重要性，并引出了广义逆的概念关于广义逆的术语似乎并不完全固定。我们采用[兰开斯特＆蒂斯曼涅茨基]。
在书中[Bhaskara Rao]，作者使用术语“自反g逆”。
5.16定义设$E$和$F$是两个a模，$\varphi: E \rightarrow F$是一个线性映射。如果我们有
$$
\varphi \circ \psi \circ \varphi=\varphi \text { and } \psi \circ \varphi \circ \psi=\psi
$$
一个线性映射$\psi: F \rightarrow E$被称为$\varphi$的广义逆，当一个线性映射有广义逆时，它被称为局部简单的。下面的事实是直接的当$\psi$是$\varphi$的广义逆时，我们有:

$\varphi \psi$ 和 $\psi \varphi$ 是投影，
$-\operatorname{Im} \varphi=\operatorname{Im} \varphi \psi, \operatorname{Im} \psi=\operatorname{Im} \psi \varphi, \operatorname{Ker} \varphi=\operatorname{Ker} \psi \varphi, \operatorname{Ker} \psi=\operatorname{Ker} \varphi \psi$，
$-E=\operatorname{Ker} \varphi \oplus \operatorname{Im} \psi$ 和 $F=\operatorname{Ker} \psi \oplus \operatorname{Im} \varphi$，
$-\operatorname{Ker} \varphi \simeq \operatorname{Coker} \psi$ 和 $\operatorname{Ker} \psi \simeq \operatorname{Coker} \varphi$
此外 $\varphi$ 和 $\psi$ 通过限制提供互同构 $\varphi_1$ 和 $\psi_1$ 之间 $\operatorname{Im} \psi$ 和 $\operatorname{Im} \varphi$。在矩阵形式中，我们得到:
备注
1)如果我们有一个线性映射 $\psi_0$ 在定理中满足 $5.14$ 平等 $\varphi \psi_0 \varphi=\varphi$的广义逆 $\varphi$ 通过说明 $\psi=\psi_0 \varphi \psi_0$。换句话说，一个线性映射 $\varphi$ 当且仅当存在 $\psi$ 令人满意的 $\varphi \psi \varphi=\varphi$.
2)有限秩自由模之间的简单线性映射是局部简单的(立即验证) $5.14$ 告诉我们有秩的线性映射 $k$ 在定义的意义上 $5.7$

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH3303

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|A Little Exterior Algebra

Let $k \in \mathbb{N}$. A free module of rank $k$ is by definition an $\mathbf{A}$-module isomorphic to $\mathbf{A}^k$. If $k$ is not specified, we will say free module of finite rank.

When $\mathbf{A}$ is a discrete field we speak of a finite dimensional vector space or a finite rank vector space interchangeably.

The modules whose structure is the simplest are the free modules of finite rank. We are thus interested in the possibility of constructing an arbitrary module $M$ in the form $L \oplus N$ where $L$ is a free module of finite rank. A (partial) answer to this question is given by the exterior algebra.
5.1 Proposition (Splitting OIf) Let $a_1, \ldots, a_k$ be elements of an A-module $M$, then the following properties are equivalent.

The submodule $L=\left\langle a_1, \ldots, a_k\right\rangle$ of $M$ is free with basis $\left(a_1, \ldots, a_k\right)$ and is $a$ direct summand of $M$.
There exists a k-multilinear alternating form $\varphi: M^k \rightarrow \mathbf{A}$ which satisfies the equality $\varphi\left(a_1, \ldots, a_k\right)=1$.

D $1 \Rightarrow 2$. If $L \oplus N=M$, if $\pi: M \rightarrow L$ is the projection parallel to $N$, and if $\theta_j: L \rightarrow \mathbf{A}$ is the $j$-th coordinate form for the basis $\left(a_1, \ldots, a_k\right)$, we define
$$
\varphi\left(x_1, \ldots, x_k\right)=\operatorname{det}\left(\left(\theta_j\left(\pi\left(x_i\right)\right)\right){i, j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket}\right) $$ $2 \Rightarrow 1$. We define the linear map $\pi: M \rightarrow M$ as $$ \pi(x)=\sum{j=1}^k \varphi(\underbrace{a_1, \ldots, x, \ldots, a_k}_{(x \text { is in position } j)}) a_j .
$$

We immediately have $\pi\left(a_i\right)=a_i$ and $\operatorname{Im} \pi \subseteq L:=\left\langle a_1, \ldots, a_k\right\rangle$, thus $\pi^2=\pi$ and $\operatorname{Im} \pi=L$. Finally, if $x=\sum_j \lambda_j a_j=0$, then $\varphi\left(a_1, \ldots, x, \ldots, a_k\right)=\lambda_j=0$ (with $x$ in position $j$ ).

Special case: for $k=1$ we say that the element $a_1$ of $M$ is unimodular when there exists a linear form $\varphi: M \rightarrow \mathbf{A}$ such that $\varphi\left(a_1\right)=1$. The vector $b=\left(b_1, \ldots, b_n\right) \in$ $\mathbf{A}^n$ is unimodular if and only if the $b_i$ ‘s are comaximal. In this case we also say that the sequence $\left(b_1, \ldots, b_n\right)$ is unimodular.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Rank of a Free Module

As we will see, the rank of a free module is a well-determined integer if the ring is nontrivial. In other words, two $\mathbf{A}$-modules $M \simeq \mathbf{A}^m$ and $P \simeq \mathbf{A}^p$ with $m \neq p$ can only be isomorphic if $1=\mathrm{A} 0$.

We will use the notation $\operatorname{rk}_{\mathbf{A}}(M)=k$ (or $\operatorname{rk}(M)=k$ if $\mathbf{A}$ is clear from the context) to indicate that a (supposedly free) module has rank $k$.

A scholarly proof consists to say that, if $m>p$, the $m$-th exterior power of $P$ is ${0}$ whereas that of $M$ is isomorphic to $\mathbf{A}$ (this is essentially the proof for Corollary $5.23$ ).
The same proof can be presented in a more elementary way as follows. First recall the basic Cramer formula. If $B$ is a square matrix of order $n$, we denote by $\widetilde{B}$ or Adj $B$ the cotransposed matrix (sometimes called adjoint). The elementary form of Cramer’s identities is then expressed as:
$$
A \operatorname{Adj}(A)=\operatorname{Adj}(A) A=\operatorname{det}(A) \mathrm{I}_n .
$$
This formula, in combination with the product formula
$$
\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)
$$
has a couple of implications regarding square matrices. First, that a square matrix $A$ is invertible on one side if and only if $A$ is invertible if and only if its determinant is invertible. Second, that the inverse of $A$ is equal to (det $A)^{-1} \operatorname{Adj} A$.

We now consider two $\mathbf{A}$-modules $M \simeq \mathbf{A}^m$ and $P \simeq \mathbf{A}^p$ with $m \geqslant p$ and a surjective linear map $\varphi: P \rightarrow M$. Therefore there exists a linear map $\psi: M \rightarrow P$ such that $\varphi \circ \psi=\operatorname{Id}_M$. This corresponds to two matrices $A \in \mathbf{A}^{m \times p}$ and $B \in \mathbf{A}^{p \times m}$ with $A B=\mathrm{I}_m$. If $m=p$, the matrix $A$ is invertible with inverse $B$ and $\varphi$ and $\psi$ are reciprocal isomorphisms. If $m>p$, we have $A B=A_1 B_1$ with square $A_1$ and $B_1$ respectively obtained from $A$ and $B$ by filling in with zeros ( $m-p$ columns for $A_1$, $m-p$ rows for $\left.B_1\right)$

交换代数代考

数学代写|交换代数代写交换代数代考|一个小的外部代数

让$k \in \mathbb{N}$。根据定义，等级为$k$的空闲模块是与$\mathbf{A}^k$同构的$\mathbf{A}$ -模块。如果没有指定$k$，我们将说有限秩的自由模块当$\mathbf{A}$是一个离散域时，我们交换地说有限维向量空间或有限秩向量空间结构最简单的模是有限秩的自由模。因此，我们对以$L \oplus N$的形式构造任意模块$M$的可能性感兴趣，其中$L$是一个有限秩的自由模块。
5.1命题(拆分OIf)设$a_1, \ldots, a_k$为A模块$M$的元素，则下列属性等价

. . .
5.1命题(拆分OIf
$M$的子模块$L=\left\langle a_1, \ldots, a_k\right\rangle$是基$\left(a_1, \ldots, a_k\right)$的自由子模块，是$M$的$a$直接求和存在一个k-多线性交替形式$\varphi: M^k \rightarrow \mathbf{A}$，它满足等式$\varphi\left(a_1, \ldots, a_k\right)=1$ .

D $1 \Rightarrow 2$。如果$L \oplus N=M$，如果$\pi: M \rightarrow L$是平行于$N$的投影，如果$\theta_j: L \rightarrow \mathbf{A}$是基$\left(a_1, \ldots, a_k\right)$的$j$ -th坐标形式，我们定义
$$
\varphi\left(x_1, \ldots, x_k\right)=\operatorname{det}\left(\left(\theta_j\left(\pi\left(x_i\right)\right)\right){i, j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket}\right) $$$2 \Rightarrow 1$。我们将线性映射$\pi: M \rightarrow M$定义为$$ \pi(x)=\sum{j=1}^k \varphi(\underbrace{a_1, \ldots, x, \ldots, a_k}_{(x \text { is in position } j)}) a_j .
$$

我们立即有$\pi\left(a_i\right)=a_i$和$\operatorname{Im} \pi \subseteq L:=\left\langle a_1, \ldots, a_k\right\rangle$，因此$\pi^2=\pi$和$\operatorname{Im} \pi=L$。最后，如果$x=\sum_j \lambda_j a_j=0$，则$\varphi\left(a_1, \ldots, x, \ldots, a_k\right)=\lambda_j=0$ ($x$位于$j$的位置)。

特殊情况:对于$k=1$，我们说$M$的元素$a_1$是单模的，当存在线性形式$\varphi: M \rightarrow \mathbf{A}$时，使得$\varphi\left(a_1\right)=1$。向量$b=\left(b_1, \ldots, b_n\right) \in$$\mathbf{A}^n$是单模的，当且仅当$b_i$是同大的。在这种情况下，我们还说序列$\left(b_1, \ldots, b_n\right)$是单模的。

数学代写|交换代数代写交换代数代考|空闲模块模块的级别

正如我们将看到的，如果环非平凡，则空闲模块的秩是一个良好确定的整数。换句话说，如果$1=\mathrm{A} 0$ . .则两个$\mathbf{A}$ -模块$M \simeq \mathbf{A}^m$和带有$m \neq p$的$P \simeq \mathbf{A}^p$只能同构

我们将使用符号$\operatorname{rk}_{\mathbf{A}}(M)=k$(或$\operatorname{rk}(M)=k$，如果$\mathbf{A}$从上下文清楚)来表示(假定为空闲)模块的秩为$k$ 一个学术证明是这样说的，如果$m>p$, $P$的$m$的外幂是${0}$，而$M$的外幂是$\mathbf{A}$的同构(这本质上是推论$5.23$的证明)。同样的证明可以用以下更基本的方式来表示。首先回忆一下基本的克莱默公式。如果$B$是$n$阶方阵，我们用$\widetilde{B}$或Adj $B$表示协转矩阵(有时称为伴随矩阵)。克拉默等式的初等形式则表示为:
$$
A \operatorname{Adj}(A)=\operatorname{Adj}(A) A=\operatorname{det}(A) \mathrm{I}_n .
$$
这个公式结合乘积公式
$$
\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)
$$
对于方阵有一些含义。首先，方阵$A$在一边可逆当且仅当$A$可逆当且仅当它的行列式可逆。第二，$A$的倒数等于(det $A)^{-1} \operatorname{Adj} A$ .

我们现在考虑两个$\mathbf{A}$模块$M \simeq \mathbf{A}^m$和$P \simeq \mathbf{A}^p$，其中包含$m \geqslant p$和一个满射线性映射$\varphi: P \rightarrow M$。因此存在一个线性映射$\psi: M \rightarrow P$，使得$\varphi \circ \psi=\operatorname{Id}_M$。这对应于两个矩阵$A \in \mathbf{A}^{m \times p}$和$B \in \mathbf{A}^{p \times m}$以及$A B=\mathrm{I}_m$。如果$m=p$，则矩阵$A$与逆$B$可逆，$\varphi$和$\psi$是互反同构。如果是$m>p$，我们有$A B=A_1 B_1$和$A_1$和$B_1$分别从$A$和$B$通过填零得到($m-p$列为$A_1$, $m-p$行为$\left.B_1\right)$

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