月度归档： 2022 年 11 月

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MAST30021

Posted on 2022年11月28日2022年11月28日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写复分析Complex function这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MAST30021

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Related Studies and Applications

The AFD type expansions is in a great extent related to the Beurling-Lax shiftinvariant subspaces of the Hardy $H^2$ spaces. In the unit disc case,
$$
H^2(\mathbf{D})=\overline{\operatorname{span}}\left{B_k\right}_{k=1}^{\infty} \oplus \phi H^2(\mathbf{D}),
$$
where $\left{B_k\right}_{k=1}^{\infty}$ is the TM system generated by a sequence $\left{a_1, \cdots, a_n, \cdots\right}$, where multiples are counted, and $\phi$ is the Blaschke product with the zeros $\left{a_1, \cdots, a_n, \cdots\right}$ including the multiples. Note that when a Blaschke product $\phi$ having $a_k$ ‘s as all its zeros does not exist, corresponding to the condition
$$
\sum_{k=1}^{\infty}\left(1-\left|a_k\right|\right)<\infty,
$$
then the associated TM system is a basis. Although this has been well known over a long time, its relations with adaptive expansions, as far as what are aware by the author, have not been brought up. The fact that TM systems being Schauder systems was proved in [93]. The space decomposition relation (26) was extended to $H^p$ spaces, where $p \neq 2$ [80]. Relations between backward shift invariant subspaces and bandlimited functions and Bedrosian identity $[80,107]$ were studied. There are open questions on whether there exist adaptive and fast converging expansions by using TM systems for the cases $p \neq 2$, and for $p=2$ how far one can extend AFD (26) to higher dimensions. The study has a great room to be further developed.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Extra-Strong Uncertainty Principle

The phase and frequency studies in mono-component function theory lay certain foundations in digital signal processing. In related studies what is called extra-strong uncertainty principle
$$
\sigma_t^2 \sigma_\omega^2 \geq \frac{1}{4}+\left(\int_{-\infty}^{\infty}|t-\langle t\rangle | \phi(t)-\langle\omega\rangle||f(t)|^2 d t\right)^2
$$
was recently established [22], where $f$ is a real-valued signal, $\sigma_t^2$ and $\sigma_\omega^2$ are the standard deviations with respect to the time and the Fourier frequency, and $\langle t\rangle$ and $\langle\omega\rangle$ are the corresponding means. A weaker uncertainty principle of the same type was previously given by L. Cohen
$$
\sigma_t^2 \sigma_\omega^2 \geq \frac{1}{4}+\left.\left.\left|\int_{-\infty}^{\infty}(t-\langle t\rangle)(\phi(t)-\langle\omega\rangle)\right| f(t)\right|^2 d t\right|^2
$$
[13]. We further extended the above result to multi-dimensional contexts [21-24, 26].

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Related Studies and Applications

AFD 类型展开在很大程度上与 Hardy 的 Beurling-Lax 位移不变子空间相关 $H^2$ 空间。在单元盘盒中，数，并且 $\phi$ 是零点的 Blaschke 积 \left{a_1, Icdots, a_n, Icdots\right } } \text { 包括倍数。请注意，当 Blaschke 产品 } \phi \text { 有 } a _ { k } 的因为它的所有䨌都不存在，对应于条件
$$
\sum_{k=1}^{\infty}\left(1-\left|a_k\right|\right)<\infty
$$
那么相关的TM系统就是一个基础。虽然这一点早已为人所知，但就作者所知，它与自适应扩展的关系还没有被提及。TM 系统是 Schauder 系统的事实在 [93] 中得到了证明。空间分解关系 (26) 被扩展为 $H^p$ 空间，其中 $p \neq 2[80]$ 。后移不变子空间和带限函数与 Bedrosian 恒等式的关系 $[80,107]$ 被研究。对于案例是否存在使用 TM 系统的自适应和快速收敛扩展存在息而末决的问题 $p \neq 2$ ，对于 $p=2$ 可以将 AFD (26) 扩展到更高维度的程度。该研究还有很大的发展空间。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Extra-Strong Uncertainty Principle

单分量函数理论中的相位和频率研究为数字信号处理奠定了一定的基础。相关研究中所谓的超强不确定性原理
$$
\sigma_t^2 \sigma_\omega^2 \geq \frac{1}{4}+\left(\int_{-\infty}^{\infty}|t-\langle t\rangle| \phi(t)-\left.\langle\omega\rangle|| f(t)\right|^2 d t\right)^2
$$
最近建立了[22]，其中 $f$ 是一个实值信号， $\sigma_t^2$ 和 $\sigma_\omega^2$ 是相对于时间和傅立叶频率的标准偏差，以及 $\langle t\rangle$ 和 $\langle\omega\rangle$ 是相应的手段。L. Cohen 先前给出了相同类型的较弱的不确定性原理
$$
\sigma_t^2 \sigma_\omega^2 \geq \frac{1}{4}+\left.\left.\left|\int_{-\infty}^{\infty}(t-\langle t\rangle)(\phi(t)-\langle\omega\rangle)\right| f(t)\right|^2 d t\right|^2
$$
[13]. 我们进一步将上述结果扩展到多维上下文 [21-24, 26]。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MATH307

Posted on 2022年11月28日2022年11月28日 by statistics-lab

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我们提供的复分析Complex function及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Cyclic AFD for n-Best Rational Approximation

In core-AFD the parameters $a_1, \ldots, a_n, \ldots$ are selected in the one by one manner to obtain an optimal sequence of Blaschke forms to approximate the given function
$$
\sum_{k=1}^n\left\langle f, B_{\left{a_1, \cdots, a_k\right}}\right\rangle B_{\left{a_1, \cdots, a_k\right}}(z)
$$
Now we change the question to the following: Given $f \in H^2(\mathbf{D})$ and a fixed positive integer $n$, find $n$ parameters $\tilde{a}1, \ldots, \tilde{a}_n$ such that the associated $n$-Blaschke form best approximates $f$, that is, $$ \begin{aligned} &\left|f-\sum{k=1}^n\left\langle f, B_{\left{\tilde{a}1, \cdots, \tilde{a}_k\right}}\right\rangle B{\left{\tilde{a}1, \cdots, \tilde{a}_k\right}}(z)\right| \ =& \min \left{\left|f-\sum{k=1}^n\left\langle f, B_{\left{b_1, \cdots, b_k\right}}\right\rangle B_{\left{b_1, \cdots, b_k\right}}(z)\right|:\left{b_1, \cdots, b_n\right} \in \mathbf{D}^n\right} .
\end{aligned}
$$
Ihis amounts an optimization with simultaneous selected $n$ parameters that is obviously better than one on selections of $n$ parameters in the one by one manner. Simultaneous selection of the parameters in an approximating $n$-Blaschke form is equivalent with the so-called optimal approximation by rational functions of degrees not larger than $n$. The latter problem was phrased as $n$-best rational approximation. It has been a long standing open problem, presented as follows.

Let $p$ and $q$ denote polynomials of one complex variable. We say that $(p, q)$ is an $n$-pair if $p$ and $q$ are co-prime, both of degrees less than or equal to $n$, and $q$ does not have zero in the unit disc. Denote by $\mathcal{R}_n$ the set of all such $n$-pairs. If $(p, q) \in \mathcal{R}_n$, then the rational function $p / q$ is said to be a rational function of degree less or equal $n$. Let $f$ be a function in the Hardy $H^2$ space in the unit disc. To find an $n$-best rational approximation to $f$ is to find an $n$-pair $\left(p_1, q_1\right)$ such that
$$
\left|f-p_1 / q_1\right|=\min \left{|f-p / q|:(p, q) \in \mathcal{R}_n\right}
$$

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Pre-Orthogonal Adaptive Fourier Decomposition

The approximation theory and algorithm that were developed in the previous sections can be extended to more general contexts. To explain just the idea we restrict ourselves to the simplest cases, including the weighted Bergman spaces and weighted Hardy spaces, etc. Assume that Hilbert space $\mathcal{H}$ consists of functions defined in an open connected region $\mathcal{E}$ (can be unbounded) in the complex plane, and the reproducing kernel $k_a$ is an analytic function of the variable $a$ in $\mathcal{E}$ satisfying the relation
$$
f^{(l)}(a)=\left\langle f,\left(\frac{\partial}{\partial \bar{a}}\right)^l k_a\right\rangle, \quad l=1,2, \cdots
$$
Let $\left{a_1, \cdots, a_n, \cdots\right}$ be a finite or infinite sequence. For a fixed $n$ we define the multiple of $a_n$, denoted by $l\left(a_n\right)$, to be the repeating times of $a_n$ in the $n$-tuple $\left{a_1, \cdots, a_n\right}$. With this definition, for instance, the multiple of $a_1$ is just 1 , and the multiple of $a_2$ will depend on whether $a_2=a_1$. If yes, then $l\left(a_2\right)=2$, and, if not, $l\left(a_2\right)=1$, and so on. Note that it is a little abuse of notation for it is not dependent on the value of $a_n$ but on the repeating times of $a_n$ in the corresponding $n$-tuple. We accordingly define
$$
\tilde{k}{a_n} \triangleq\left[\left(\frac{\partial}{\partial \bar{a}}\right)^{l\left(a_n\right)-1} k_a\right]{a=a_n} \triangleq\left(\frac{\partial}{\partial \bar{a}}\right)^{l\left(a_n\right)-1} k_{a_n} .
$$
We further assume the following boundary vanishing condition, implying the maximal selection principle in every individual context, as follows: Let $a_1, \cdots, a_{n-1}$ be previously given, and $\left{B_1, \cdots, B_{n-1}\right}$ be the Gram-Schmidt orthonormalization of $\left{\tilde{k}{a_1}, \cdots, \tilde{k}{a_{n-1}}\right}$, then for every $f \in \mathcal{H}$, the pre-orthogonal system has the property
$$
\lim _{a \rightarrow \partial \mathcal{E}}\left\langle f, B_n^a\right\rangle=0
$$

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Cyclic AFD for n-Best Rational Approximation

在 core-AFD 中的参数 $a_1, \ldots, a_n, \ldots$ 以一种一种方式选择以获得Blaschke形式的最佳序列来逼近给定的函数
现在我们将问题更改为以下内容: 给定 $f \in H^2(\mathbf{D})$ 和一个固定的正整数 $n$ ，寻找 $n$ 参数 $\tilde{a} 1, \ldots, \tilde{a}_n$ 这样相关的 $n$-Blaschke 形式最佳近似 $f$ ，那是，

Ihis 数量与同时选择的优化 $n$ 在选择上明显优于一个参数 $n$ 一个个地参数。在近似中同时选择参数 $n$-Blaschke 形式等价于度数不大于的有理函数的所谓最优逼近 $n$. 后一个问题被表述为 $n$-最佳有理逼近。这是一个长期悬而末决的问题，现介绍如下。
让 $p$ 和 $q$ 表示一个复杂变量的多项式。我们说 $(p, q)$ 是一个 $n$-配对如果 $p$ 和 $q$ 是互质的，度数都小于或等于 $n$ ，和 $q$ 单位圆盘中没有零。表示为 $\mathcal{R}_n$ 所有这些的集合 $n$-对。如果 $(p, q) \in \mathcal{R}_n$ ，那么有理函数 $p / q$ 据说是次数小于或等于的有理函数 $n$. 让 $f$ 成为 Hardy 中的一个函数 $H^2$ 单元盘中的空间。找到一个 $n$-最佳有理副近 $f$ 是找到一个 $n$ 对 $\left(p_1, q_1\right)$ 这样

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Pre-Orthogonal Adaptive Fourier Decomposition

前面部分中开发的近似理论和算法可以扩展到更一般的上下文。为了解释这个想法，我们将自己限制在最简单的情况下，包括加权 Bergman 空间和加权 Hardy 空间等。假设 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 由在开放连接区域中定义的函数组成 $\mathcal{E}$ (可以是无界的) 在复平面中，并且复制内核 $k_a$ 是变量的解析函数 $a$ 在 $\mathcal{E}$ 满足关系
$$
f^{(l)}(a)=\left\langle f,\left(\frac{\partial}{\partial \bar{a}}\right)^l k_a\right\rangle, \quad l=1,2, \cdots
$$
让 Veft{a_1, \cdots, a_n, Icdots\right } } \text { 是有限或无限序列。对于一个固定的 } n \text { 我们定义的倍数 } a _ { n } \text { ，表示为 } l ( a _ { n } ) \text { ，是 } 的重复次数 $a_n$ 在里面 $n$-元组 \eft{a_1, Icdots, a_nıright} . 例如，根据这个定义， $a_1$ 只是 1 ，并且是的倍数 $a_2$ 将取决于是否 $a_2=a_1$. 如果是，那么 $l\left(a_2\right)=2$ ，如果不， $l\left(a_2\right)=1$ ，等等。请注意，它有点滥用符号，因为它不依赖于 $a_n$ 但在重复的时候 $a_n$ 在相应的 $n$-元组。我们据此定义
$$
\tilde{k} a_n \triangleq\left[\left(\frac{\partial}{\partial \bar{a}}\right)^{l\left(a_n\right)-1} k_a\right] a=a_n \triangleq\left(\frac{\partial}{\partial \bar{a}}\right)^{l\left(a_n\right)-1} k_{a_n} .
$$
我们进一步假设以下边界消失条件，暗示每个个体上下文中的最大选择原则，如下所示： $a_1, \cdots, a_{n-1}$ 预先给出，并且 Veft{:1, Icdots, B{n-1}\right} 是 Gram-Schmidt 正交化
Weft{\tilde{k}{a_1}, Icdots, Itilde{k}{a_{n-1}}\right} , 那么对于每个 $f \in \mathcal{H}$ ，前正交系统具有属性
$$
\lim _{a \rightarrow \partial \mathcal{E}}\left\langle f, B_n^a\right\rangle=0
$$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|KMA152

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如果你也在怎样代写复分析Complex function这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|One Dimensional Core-Adaptive Fourier Decomposition

Due to the above-mentioned reason we decide to use the rational orthonormal system, or by another name the Takenaka-Malmquist, or TM system in brief, introduced in Theorem 2.2. We note that TM systems in general cannot be avoided for they are Gram-Schmidt (G-S) orthogonalization of the partial fractions with poles outside the closed unit disc, the latter being fundamental constructive building blocks of rational functions in the Hardy spaces. TM systems consist of functions of positive frequency due to their construction in (finite) Blaschke products. The difference between our use and the traditional use of TM systems is that we make the parameters defining the system to be adaptive: For every individual function or signal we expand it by using a suitable TM system while the determining parameters are deliberately selected according to the data of the given function. The TM system itself may not be a basis. Whether or not the system in use is a basis, is, in fact, not interested or required. On the other hand, the adaptive expansion in the selected TM system converges very fast. And, additionally, each expanding term has positive non-constant and non-linear instantaneous frequencies. In contrast, the traditional use of a TM system is based on a fixed collection of parameters making the corresponding TM system a basis of the underlying space. The reason of use of a particular and fixed collection of parameters, however, is, as usual, not be well justified. Laguerre and two-parameter Kautz systems are examples of such fixedparameter TM bases.

In the sequel we change our function notation $s^{+}$in the Hardy $H^2(\mathbf{D})$ to $f$. In the unit circle context we have $f(z)=\sum_{l=1}^{\infty} c_l z^l, \sum_{l=1}^{\infty}\left|c_l\right|^2<\infty$. Now we seek a decomposition of $f$ into a TM system with adaptively selected parameters. The collection of the functions
$$
e_a(z)=\frac{\sqrt{1-|a|^2}}{1-\bar{a} z}, \quad a \in \mathbf{D},
$$
consists of normalized Szegö kernels of the disc. Below we present AFD, or more specifically, Core-AFD algorithm. Set $f=f_1$. First write
$$
f(z)=\left\langle f_1, e_{a_1}\right\rangle e_{a_1}(z)+\frac{f_1(z)-\left\langle f_1, e_{a_1}\right\rangle e_{a_1}(z)}{\frac{z-a_1}{1-\bar{a}_1 z}} \frac{z-a_1}{1-\bar{a}_1 z} .
$$
We note that in this stage $a_1$ can be any complex number in the unit disc and the above is an identity.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Unwinding AFD

Let $f=h g$, where $f, g$ are Hardy $H^2$ (D) functions, and $h$ is an inner function. Let $f$ and $g$ be expanded into their respective Fourier series, viz.,
$$
f(z)=\sum_{k=0}^{\infty} c_k z^k, \quad g(z)=\sum_{k=0}^{\infty} d_k z^k
$$

The Plancherel theorem and the modular 1 property of inner functions assert that
$$
\sum_{k=0}^{\infty}\left|c_k\right|^3=|f|^3=|g|^3=\sum_{k=0}^{\infty}\left|d_k\right|^3
$$
In digital signal processing (DSP) there is the following result: For any $n$,
$$
\sum_{k=n}^{\infty}\left|c_k\right|^2 \geq \sum_{k=n}^{\infty}\left|d_k\right|^2
$$
(see, for instance, $[11,19]$ ).
In DSP this is referred as energy-front-loading property of minimum phase signals. This amounts to saying that through factorizing out the inner function factor the convergence rate of the Fourier series of the remaining outer function becomes higher. This fact suggests that the AFD process would be better to incorporate with the factorization process for speeding up the convergence. This instructs that when a signal by its nature is of high frequency, one should first perform “unwinding” before extracting out from it a maximal portion of lower frequency. We proceed as follows $[74,92]$. First we do factorization $f=f_1=I_1 O_1$, where $I_1$ and $O_1$ are, respectively, the inner and outer factors of $f$. The factorization is based on Nevanlinna’s factorization theorem, also see [117]. The outer function has the explicit integral representation
$$
O_1(z)=e^{\frac{1}{2 \pi}} \int_0^{2 \pi} \frac{e^{i t}+z}{e^{i t}-z} \log \left|f_1\left(e^{i t}\right)\right| d t
$$
The outer function is computed by using the boundary value of $f_1$. On the boundary the above integral is taken to be of the principal integral sense. The imaginary part of the integral reduces to the circular Hilbert transform of $\log \left|f_1\left(e^{i t}\right)\right|$. Next, we do a maximal sifting to $O_1$.

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|One Dimensional Core-Adaptive Fourier Decomposition

由于上述原因，我们决定使用有理正交系统，或另一个名称 Takenaka-Malmquist，或简称 TM 系统，在定理 $2.2$ 中介绍。我们注意到，TM 系统通常无法避免，因为它们是部分分数的 Gram-Schmidt (GS) 正交化，极点位于封闭单位圆盘之外，后者是 Hardy 空间中有理函数的基本建设性构建块。TM 系统由于其在 (有限)
Blaschke 积中的构造而包含正频率的函数。我们使用和传统使用 TM 系统的不同之处在于，我们使定义系统的参数具有自适应性：对于每个单独的函数或信号，我们通过使用合适的 TM 系统对其进行扩展，同时根据给定函数的数据有意选择确定参数。TM 系统本身可能不是基础。事实上，无论使用中的系统是否为基础，都不感兴趣或不需要。另一方面，所选 TM 系统中的自适应扩展收敛得非常快。此外，每个扩展项都具有正的非常数和非线性瞬时频率。相比之下，TM 系统的传统使用基于固定的参数集合，使相应的 TM 系统成为底层空间的基础。然而，像往常一样，使用特定和固定的参数集合的原因是没有充分理由的。
在续集中我们改变我们的函数符号 $s^{+}$在哈代 $H^2(\mathbf{D})$ 至 $f$. 在单位圆上下文中，我们有 $f(z)=\sum_{l=1}^{\infty} c_l z^l, \sum_{l=1}^{\infty}\left|c_l\right|^2<\infty$. 现在我们寻求分解 $f$ 进入具有自适应选择参数的 TM 系统。函数的集合 $e_a(z)=\frac{\sqrt{1-|a|^2}}{1-\bar{a} z}, \quad a \in \mathbf{D}$,
由圆盘的归一化 Szegö 内核组成。下面我们介绍 AFD，或者更具体地说，Core-AFD 算法。放 $f=f_1$. 先写
$$
f(z)=\left\langle f_1, e_{a_1}\right\rangle e_{a_1}(z)+\frac{f_1(z)-\left\langle f_1, e_{a_1}\right\rangle e_{a_1}(z)}{\frac{z-a_1}{1-\bar{a}_1 z}} \frac{z-a_1}{1-\bar{a}_1 z} .
$$
我们注意到在这个阶段 $a_1$ 可以是单位圆盘中的任意复数，上面是一个恒等式。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Unwinding AFD

让 $f=h g$ ，在哪里 $f, g$ 是哈代 $H^2$ (D) 功能，以及 $h$ 是一个内部函数。让 $f$ 和 $g$ 展开成它们各自的傅里叶级数，即，
$$
f(z)=\sum_{k=0}^{\infty} c_k z^k, \quad g(z)=\sum_{k=0}^{\infty} d_k z^k
$$
Plancherel 定理和内部函数的模 1 属性断言
$$
\sum_{k=0}^{\infty}\left|c_k\right|^3=|f|^3=|g|^3=\sum_{k=0}^{\infty}\left|d_k\right|^3
$$
在数字信号处理 (DSP) 中有以下结果：对于任何 $n$,
$$
\sum_{k=n}^{\infty}\left|c_k\right|^2 \geq \sum_{k=n}^{\infty}\left|d_k\right|^2
$$
(例如，参见 $[11,19]$ ).
在 DSP 中，这被称为最小相位信号的能量前载特性。这等于说，通过分解出内函数因子，剩下的外函数的傅立叶级数的收敛速度变快了。这一事实表明，AFD 过程最好与因式分解过程相结合以加速收敛。这说明当一个信号本质上是高频信号时，应该先进行“展开”，然后再从中提取出最大部分的低频信号。我们进行如下 $[74,92]$. 首先我们做因式分解 $f=f_1=I_1 O_1$ ，在哪里 $I_1$ 和 $O_1$ 分别是内部因素和外部因素 $f$. 因式分解基于 Nevanlinna 的因式分解定理，另见 [117]。外部函数具有显式积分表示
$$
O_1(z)=e^{\frac{1}{2 \pi}} \int_0^{2 \pi} \frac{e^{i t}+z}{e^{i t}-z} \log \left|f_1\left(e^{i t}\right)\right| d t
$$
外部函数是通过使用边界值计算的 $f_1$. 在边界上，上述积分被认为是主积分意义。积分的虚部简化为循环莃尔伯特变换 $\log \left|f_1\left(e^{i t}\right)\right|$. 接下来，我们进行最大笑选 $O_1$.

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|密码学作业代写Cryptography & Cryptanalysis代考|CS171

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密码学创造了具有隐藏意义的信息；密码分析是破解这些加密信息以恢复其意义的科学。许多人用密码学一词来代替密码学；然而，重要的是要记住，密码学包括了密码学和密码分析。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写密码学Cryptography & Cryptanalysis方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写密码学Cryptography & Cryptanalysis代写方面经验极为丰富，各种代写密码学Cryptography & Cryptanalysis相关的作业也就用不着说。

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数学代写|密码学作业代写Cryptography & Cryptanalysis代考|CS171

数学代写|密码学作业代写Cryptography & Cryptanalysis代考|Enumerating Short Vectors

We would like to find a short vector in a lattice. One idea would simply be to enumerate all linear combinations of the basis vectors with some bound on the coefficients. Unfortunately, short vectors could in principle come from linear combinations with large coefficients. Instead, we shall use the Gram-Schmidt basis to bound the size of the coefficients.

We shall find all points $\mathbf{u}$ in a lattice with $|\mathbf{u}|^2 \leq A^2$ for some bound $A^2$. Let $\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n$ be a basis for $\Lambda$, and let $\mathbf{b}_1^, \ldots, \mathbf{b}_n^$ be the corresponding Gram-Schmidt basis. Note that for any vector $\mathbf{u} \in \Lambda$, we can write it as a linear combination of the Gram-Schmidt basis vectors $\mathbf{u}=\sum_i \alpha_i \mathbf{b}i^$ and then $$ |\mathbf{u}|^2=\sum{i=1}^n \alpha_i^2\left|\mathbf{b}_i^\right|^2
$$
Recall that $\mathbf{b}_n^$ is the part of $\mathbf{b}_n$ that is orthogonal to all the earlier basis vectors. This means when $\mathbf{u}=\sum_i a_i \mathbf{b}_i=\sum_i \alpha_i \mathbf{b}_i^$, then $a_n=\alpha_n$. Therefore, if $\alpha\left|\mathbf{b}_n^*\right|>A$ then $|\mathbf{u}|>A$.

We therefore begin by enumerating vectors with $n$-th coordinate $a_n$ between $-\left\lfloor A /\left|\mathbf{b}_n^\right|\right\rfloor$ and $+\left\lfloor A /\left|\mathbf{b}_n^\right|\right\rfloor$.

Given $a_n$, we can now consider the possibilities for $a_{n-1}$. Of course, this time, the contribution in the direction of $\mathbf{b}{n-1}^$ is that given by $a{n-1} \mathbf{b}{n-1}$ and $a_n \mathbf{b}_n$, where the latter’s contribution is $a_n \mu{n, n-1}\left|\mathbf{b}{n-1}^\right|$. So given $a_n$, we want to enumerate all the $(n-1)$-th coordinates $a{n-1}$ such that
$$
\left(a_{n-1}+a_n \mu_{n, n-1}\right)^2\left|\mathbf{b}{n-1}^\right|^2+a_n^2\left|\mathbf{b}_n^\right|^2 \leq A^2{ }^2
$$
In general, given $a{i+1}, \ldots, a_n$, we consider the possibilities for $a_i$. Again, we want to enumerate all $a_i$ such that
$$
\left(a_i+\sum_{j=i+1}^n a_j \mu_{j i}\right)^2\left|\mathbf{b}i^\right|^2+\sum{j=i+1}^n\left(a_j+\sum_{k=j+1}^n a_k \mu_{k, j}\right)^2\left|\mathbf{b}j^\right|^2 \leq A^2
$$
For some choices of $a{i+1}, \ldots, a_n$ there may be no possible choices for $a_i$, in which case we stop and continue with other choices for $a_{i+1}, \ldots, a_n$.

Whenever we find a non-empty region for $a_1$ and enumerate those values, we enumerate lattice vectors of length less than $A$. It is clear that for any lattice point $\mathbf{u}$ of length less than $A$, this point must be among the lattice point eventually enumerated.

数学代写|密码学作业代写Cryptography & Cryptanalysis代考|Digital Signatures

We shall now consider a variant of the original cryptographic problem. Alice wants to send messages to Bob via some channel. Eve has access to the channel, and she may tamper with anything sent over the channel, and even introduce her own messages. Alice wants her messages to Bob to arrive without modification, or if it they have been tampered with, Bob should notice.
The obvious solution is for Alice and Bob to have a shared secret and use a message authentication code. But Bob may have many correspondents, and may not want to manage shared secrets with each of them.

What if Alice wants to make her message public and let anyone, even people Alice has never met, convince themselves that Alice sent the message?
The solution is digital signatures, which resemble message authentication codes. As for public key encryption, we have two keys, one key for creating tags and another key for verifying them. The tags are called signatures and creating them is called signing. Alice makes the verification key public key, allowing anyone to verify, and keeps the signing key secret.

Before we begin the design of signature schemes, we shall discuss hash functions, a tool that we can use to extend the plaintext space for signatures, simplifying the design of signature schemes.

The first class of signature schemes we study are based on the famous RSA cryptosystem. At first sight, this system looks like a “dual” of the textbook RSA public key encryption scheme, but this similarity is superficial.

The second class of signature schemes we study is based on a much deeper theory, namely how to argue convincingly that something is true without revealing the evidence for why it is true.

We shall discuss few new computational algorithms in this chapter, since we are in effect reusing analysis we did in the previous two chapters.

Before we end, we briefly discuss signatures that are not based on numbertheoretic problems, as well as how to use signatures to protect key exchange.

密码学代写

数学代写|密码学作业代写Cryptography & Cryptanalysis代考|Enumerating Short Vectors

我们想在格子中找到一个短向量。一种想法是简单地枚举基向量的所有线性组合，并在系数上有一些限制。不幸的是，短向量原则上可能来自具有大系数的线性组合。相反，我们将使用 Gram-Schmidt 基来限制系数的大小。
我们将找到所有点 $\mathbf{u}$ 在一个格子中 $|\mathbf{u}|^2 \leq A^2$ 对于某些绑定 $A^2$. 让 $\mathbf{b}1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n$ 成为基础 $\Lambda$ ，然后让 Imathbf{b}_1^, Idots，\mathbf{b}_n^ 是对应的 Gram-Schmidt 基。请注意，对于任何向量 $\mathbf{u} \in \Lambda$ ，我们可以将其写成 Gram-Schmidt 基向量的线性组合 Imathbf{u}=Isum_i Ialpha_i \mathbffb}i^ 接着回顾 $\backslash m a t h b f{b}{-} n^{\wedge}$ 是的一部分 $\mathbf{b}n$ 与所有先前的基向量正交。这意味着当 $|\mathbf{u}|>A$ +\leftlfloor A $/$ left|\mathbf{b}_n^\right|\rightııfloor. 鉴于 $a_n$ ，我们现在可以考虑以下可能性 $a{n-1}$. 当然，这一次，方向的贡献 $\backslash$ mathbf $\left.{\mathrm{b}} n-1\right}$ 是由 $a n-1 \mathbf{b} n-1$ 和 $a_n \mathbf{b}n$ ，其中后者的贡献是 $\left.a{-} n \backslash m u{n, n-1} \backslash l f t \mid \backslash m a t h b f{b} n-1\right} \wedge \backslash r i g h t \mid$. 所以给出 $a_n$ ，我们想枚举所有 $(n-1)$-th 坐标 $a n-1$ 这样
left(a_{n-1}+a_n $\backslash m u_{-}{n, n-1} \backslash$ right $)^{\wedge} 2 \backslash$ left $\left.\left|\backslash m a t h b f{b}{n-1}^{\wedge} \backslash r i g h t\right|\right|^{\wedge} 2+a_{-} n^{\wedge} 2 \backslash l$ eft $\left.\mid \backslash m a t h b f f b\right}\left.{-} n^{\wedge} \backslash r i g h t\right|^{\wedge} 2 \backslash$ leq $A^{\wedge} 2{}^{\wedge} 2$ 一般来说，给定 $a i+1, \ldots, a_n$ ，我们考虑的可能性 $a_i$. 同样，我们要枚举所有 $a_i$ 这样对于某些选择 $a i+1, \ldots, a_n$ 可能没有可能的选择 $a_i$ ，在这种情况下我们停止并继续其他选择 $a{i+1}, \ldots, a_n$.
每当我们找到一个非空区域 $a_1$ 并枚举这些值，我们枚举长度小于 $A$. 显然对于任意格点 $\mathbf{u}$ 长度小于 $A$ ，这个点一定在最终枚举出的格点之中。

数学代写|密码学作业代写Cryptography & Cryptanalysis代考|Digital Signatures

我们现在将考虑原始密码问题的一个变体。Alice 想通过某个通道向 Bob 发送消息。Eve 可以访问该频道，她可以篡改通过该频道发送的任何内容，甚至可以引入她自己的消息。Alice 希望她发送给 Bob 的消息不加修改地到达，或者如果消息被篡改，Bob 应该注意到。
显而易见的解决方案是让 Alice 和 Bob 共享一个秘密并使用消息验证码。但是 Bob 可能有很多通信者，并且可能不想管理与他们每个人共享的秘密。

如果 Alice 想公开她的消息，让任何人（甚至是 Alice 从未见过的人）说服自己是 Alice 发送的消息怎么办？
解决方案是数字签名，类似于消息验证码。至于公钥加密，我们有两把钥匙，一把用来创建标签，另一把用来验证标签。标签称为签名，创建它们称为签名。爱丽丝将验证密钥设为公钥，允许任何人验证，并将签名密钥保密。

在我们开始设计签名方案之前，我们将讨论哈希函数，这是一个我们可以用来扩展签名明文空间的工具，简化签名方案的设计。

我们研究的第一类签名方案是基于著名的 RSA 密码系统。乍一看，这个系统像是教科书RSA公钥加密方案的“双重”，但这种相似是表面的。

我们研究的第二类签名方案基于更深层次的理论，即如何在不揭示其真实性的证据的情况下令人信服地论证某事为真。

我们将在本章中讨论一些新的计算算法，因为我们实际上是在重用前两章中所做的分析。

在结束之前，我们将简要讨论不基于数论问题的签名，以及如何使用签名来保护密钥交换。

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数学代写|密码学作业代写Cryptography & Cryptanalysis代考|CS709

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数学代写|密码学作业代写Cryptography & Cryptanalysis代考|Enumerating Short Vectors

数学代写|密码学作业代写Cryptography & Cryptanalysis代考|Algorithm

As we saw, if we have an orthogonal basis, we can solve the closest vector problem, and if we have a nearly orthogonal basis, we can solve closest vector problem if the closest vector is close enough to a lattice point.

The natural question is how to find a reasonably good basis that will allow us to solve the closest vector problem. The first goal should be to be precise about what we mean by “reasonably good”.

Definition 3.9. Let $\mathbf{b}1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n$ be a lattice basis, with Gram-Schmidt basis $\mathbf{b}_1^, \ldots, \mathbf{b}_n^$ and Gram-Schmidt coefficients $\mu{i j}$, as defined in (3.6). Let $\frac{1}{4}<\delta<1$ be a real number. We say that the basis is $\delta$-LLL-reduced if $$ \begin{aligned} \left|\mu_{i j}\right| & \leq \frac{1}{2} & & \text { for all } 1 \leq j{i-1}^\right|^2 & \leq\left|\mathbf{b}_i^\right|^2+\mu{i, i-1}^2\left|\mathbf{b}{i-1}^\right|^2 & & \text { for all } 2 \leq i \leq n . \end{aligned} $$ When a basis satisfies (3.8) we cannot easily make the basis vectors more orthogonal. When the basis satisfies (3.9), the basis vectors of the GramSchmidt orthogonalisation will be ordered roughly according to length. Exercise 3.62. A common choice for $\delta$ is $3 / 4$. Show that (3.9) then implies $$ \left|\mathbf{b}{i-1}^\right|^2 \leq 2\left|\mathbf{b}_i^*\right|^2 \text { for all } 2 \leq i \leq n .
$$
Hint: You may use the fact that (3.8) also must hold.
That an LLL-reduced basis is somehow a good basis can be seen from the following fact, which we state without proof.

Fact 3.22. Suppose $\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n$ with corresponding basis matrix $\mathbf{B}$ is a 3/4-LLL-reduced basis for a lattice $\Lambda$. Then $\left|\mathbf{b}_1\right| \leq 2^{(n-1) / 2} \lambda_1(\Lambda)$. Also, if $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$, then
$$
\left|\mathbf{x}-\left\lfloor\mathbf{x} \mathbf{B}^{-1}\right\rceil \mathbf{B}\right| \leq\left(1+2 n(9 / 2)^{n / 2}\right)|\mathbf{x}-\mathbf{u}| \text { for any } \mathbf{u} \in \Lambda
$$
We know that $\lambda_1(\Lambda) \leq \sqrt{\gamma} \operatorname{det}(\Lambda)^{1 / n}$, which means that if we have an LLLreduced basis and use $\left|\mathbf{b}_1\right|$ as our search bound, the enumeration approach from the previous section will have to enumerate at most
$$
\frac{\left(2^{(n-1) / 2} \gamma^{1 / 2} \operatorname{det}(\Lambda)^{1 / n}\right)^n}{\operatorname{det}(\Lambda)}=2^{n(n-1) / 2} \gamma^{n / 2}
$$
points. While it does not affect the upper bound we deduced, having the Gram-Schmidt vectors not too small will decrease the total number of points the algorithm will iterate over.

We also note that the LLL-reduced basis will give us an estimate for the closest vector problem. (There are better ways to use the LLL-reduced basis.)

密码学代写

数学代写|密码学作业代写Cryptography & Cryptanalysis代考|Enumerating Short Vectors

我们想在格子中找到一个短向量。一种想法是简单地枚举基向量的所有线性组合，并在系数上有一些限制。不幸的是，短向量原则上可能来自具有大系数的线性组合。相反，我们将使用 Gram-Schmidt 基来限制系数的大小。
我们将找到所有点 $\mathbf{u}$ 在一个格子中 $|\mathbf{u}|^2 \leq A^2$ 对于某些绑定 $A^2$. 让 $\mathbf{b}1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n$ 成为基础 $\Lambda$ ，然后让 Imathbf ${b}{-} 1^{\wedge}$, \ddots, \mathbf ${b}_{-} n^{\wedge}$ 是对应的 Gram-Schmidt 基。请注意，对于任何向量 $\mathbf{u} \in \Lambda$ ，我们可以将其写成 Gram-Schmidt 基向量的线性组合 Imathbf{u}=\sum_i \alpha_i \mathbf{b}i^ 接着
回顾 $\backslash m a t h b f{b}_{-} n^{\wedge}$ 是的一部分 $\mathbf{b}n$ 与所有先前的基向量正交。这意味着当 Imathbf{u}=Isum_i a_i \mathbf ${b}}{-} i=\backslash$ sum_i lalpha_i $\backslash m a t h b f{b}$ i^ ，然后 $a_n=\alpha_n$. 因此，如果 $\alpha\left|\mathbf{b}_n^*\right|>A$ 然后 $|\mathbf{u}|>A$ +\leftlfloor A $/$ left|\mathbffb}_n^\right||rightırfloor. 鉴于 $a_n$ ，我们现在可以考虑以下可能性 $a{n-1}$. 当然，这一次，方向的贡献 $\left.\backslash m a t h b f{b} n-1\right} \wedge$ 是由 $a n-1 \mathbf{b} n-1$ 和 $a_n \mathbf{b}n$ ，其中后者的贡献是 $a{-} n \backslash m u{n, n-1} \backslash l$ ft $\mid \backslash m a t h b f{b}{n-1} \wedge \backslash$ ight $\mid$. 所以给出 $a_n$ ，我们想枚举所有 $(n-1)$-th 坐标 $a n-1$ 这样
一般来说，给定 $a i+1, \ldots, a_n$ ，我们考虑的可能性 $a_i$. 同样，我们要枚举所有 $a_i$ 这样
对于某些选择 $a i+1, \ldots, a_n$ 可能没有可能的选择 $a_i$ ，在这种情况下我们停止并继续其他选择 $a_{i+1}, \ldots, a_n$.
每当我们找到一个非空区域 $a_1$ 并枚举这些值，我们枚举长度小于 $A$. 显然对于任意格点 $\mathbf{u}$ 长度小于 $A$ ，这个点一定在最终枚举出的格点之中。

数学代写|密码学作业代写Cryptography & Cryptanalysis代考|Algorithm

如我们所见，如果我们有一个正交基，我们可以解决最近向量问题，如果我们有一个近似正交基，我们可以解决最近向量问题，前提是最近向量足够接近格点。
自然的问题是如何找到一个相当好的基础，使我们能够解决最接近的向量问题。第一个目标应该是准确说明我们所说的”相当好”的含义。 Schmidt 系数 $\mu i j$, 如 (3.6) 中所定义。让 $\frac{1}{4}<\delta<1$ 是一个实数。我们说基础是 $\delta$-LLL-减少如果
当基满足 (3.8) 时，我们不能轻易地使基向量更正交。当基满足(3.9)时，GramSchmidt正交化的基向量将大致按长度排序。练习 3.62。一个共同的选择 $\delta$ 是 $3 / 4$. 证明 (3.9) 然后蕴含
提示: 您可以使用 (3.8) 也必须成立的事实。
LLL 缩减基在某种程度上是一个很好的基，可以从以下事实中看出，我们没有证明就陈述了这一点。
事实 3.22。认为 $\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n$ 具有相应的基矩阵 $\mathbf{B}$ 是晶格的 3/4-LLL 缩减基 $\Lambda$. 然后 $\left|\mathbf{b}_1\right| \leq 2^{(n-1) / 2} \lambda_1(\Lambda)$. 另外，如果 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ ，然后
$$
\left|\mathbf{x}-\left\lfloor\mathbf{x B}^{-1}\right\rceil \mathbf{B}\right| \leq\left(1+2 n(9 / 2)^{n / 2}\right)|\mathbf{x}-\mathbf{u}| \text { for any } \mathbf{u} \in \Lambda
$$
我们知道 $\lambda_1(\Lambda) \leq \sqrt{\gamma} \operatorname{det}(\Lambda)^{1 / n}$ ，这意味着如果我们有一个 LLLreduced 基础并使用 $\left|\mathbf{b}_1\right|$ 作为我们的搜索边界，上一节中的枚举方法最多必须枚举
$$
\frac{\left(2^{(n-1) / 2} \gamma^{1 / 2} \operatorname{det}(\Lambda)^{1 / n}\right)^n}{\operatorname{det}(\Lambda)}=2^{n(n-1) / 2} \gamma^{n / 2}
$$
点。虽然它不影响我们推断的上限，但让 Gram-Schmidt 向量不太小会减少算法迭代的点总数。
我们还注意到，减少 LLL 的基础将为我们提供对最近向量问题的估计。(有更好的方法来使用 LLL缩减基。)

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|密码学作业代写Cryptography & Cryptanalysis代考|CS127

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数学代写|密码学作业代写Cryptography & Cryptanalysis代考|CS127

数学代写|密码学作业代写Cryptography & Cryptanalysis代考|The GGH Cryptosystem

One idea for a symmetric encryption scheme based on lattices is to have a lattice $\Lambda$ with a nearly orthogonal basis B as a secret key. To encrypt we somehow encode the message as a lattice vector $\mathrm{u} \in \Lambda$ and then add random noise $\mathrm{f}$ to that vector to get a ciphertext $\mathrm{x}=\mathrm{u}+\mathrm{f}$. To decrypt, we can use our nearly orthogonal basis to find the closest vector $u$ to $\mathrm{x}$ (using the technique from Exercise 3.51), and then decode the lattice point to recover the message.
It is clear that we need to limit the magnitude of the random noise, since if it is too big, we will no longer be able to recover $\mathrm{u}$ as the closest vector. This could happen because $u$ is no longer the closest vector to $\mathrm{x}$, or because our basis is not orthogonal and so does not perfectly solve the closest vector problem.

Exercise 3.53. Let $\mathbf{B}$ be a basis for a lattice $\Lambda$. Show that with $\mathbf{u} \in \Lambda$ and $\mathbf{x}=\mathbf{u}+\mathbf{f}$, then $\left\lfloor\mathbf{x B}^{-1}\right\rceil \mathbf{B}=\mathbf{u}$ if and only if $\left\lfloor\mathbf{f B}^{-1}\right\rceil=\mathbf{0}$.

Exercise 3.54. Recall that for a real vector $\boldsymbol{\alpha}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\right)$, we have the norms $|\boldsymbol{\alpha}|_1=\sum_i\left|\alpha_i\right|$ and $|\boldsymbol{\alpha}|_{\infty}=\max _i\left|\alpha_i\right|$.

Let $\mathbf{B}$ be a basis for a lattice $\Lambda$, let $\rho$ be a bound on the $|\cdot|_1$ norm of the columns of $\mathbf{B}^{-1}$. Show that for any vector $\mathbf{f}$, we have that
$$
\left|\mathbf{f B}^{-1}\right|_{\infty} \leq \rho|\mathbf{f}|_{\infty} .
$$
Explain how this can be used to find a bound on the random noise when encrypting, to ensure decryption still works.

It is tempting to turn this idea into a public key encryption scheme by publishing a basis for the lattice. Obviously, we cannot publish our nearly orthogonal basis $\mathbf{B}$, since this is essentially the decryption key.

Recall that any lattice $\Lambda$ with basis matrix $\mathbf{B}$, if $\mathbf{U}$ is an integer matrix with determinant $\pm 1$, then $\mathbf{C}=\mathbf{U B}$ is another basis matrix for $\Lambda$.

One idea is then to create and publish a different basis for the lattice, one that is not nearly orthogonal, and therefore cannot be used to find the closest vector using the approach from Exercise 3.51. One possible choice is to use the Hermite normal form for $\mathbf{B}$ as $\mathbf{C}$. (The Hermite normal form is in some sense the worst possible form we can give the public basis, since any adversary could compute the Hermite normal form on his own.)

As usual, while we could attempt to embed the message in the vector $\mathbf{u}$, it makes more sense to use $\mathbf{u}$ and $\mathbf{f}$ as keys for a symmetric cryptosystem. As we did in Example 3.9, we shall use a function to derive the key from the lattice point and the noise, a so-called key derivation function.

数学代写|密码学作业代写Cryptography & Cryptanalysis代考|Regev’s Cryptosystem

Let $p$ be a prime. Let $\mathrm{g}_1, \mathrm{~g}_2, \ldots, \mathrm{g}_l \in \mathbb{F}_p^n$ be a set of randomly chosen vectors that contains $n$ linearly independent vectors. Let $\mathrm{b} \in \mathbb{F}_p^n$, and let
$$
\beta_i=\mathrm{g}_i \cdot \mathbf{b}, \quad i=1,2, \ldots, l .
$$
If we learn the value of these dot products, we can recover the vector $\mathbf{b}$.
E Exercise 3.56. Given $\mathrm{g}_1, \ldots, \mathrm{g}_l$ and $\beta_1, \ldots, \beta_l$, show how to compute $\mathrm{b}$.
If we add a bit of randomness to the dot product, it turns out that finding the value $\mathbf{b}$ becomes much more difficult. Let $\chi$ be a probability distribution on $\mathbb{F}_p$ and let $f_1, f_2, \ldots, f_l$ be sampled independently according to $\chi$. Let
$$
y_i=\mathrm{g}_i \cdot \mathrm{b}+f_i, \quad i=1,2, \ldots, l .
$$
Finding $\mathbf{b}$ given $y_1, y_2, \ldots, y_l$ is known as the learning with errors (LWE) problem (we want to learn $b$ from a set of equations with errors in them).
E E Exercise 3.57. Show that if $l=n$, then the learning with errors problem is impossible to answer with (close to) certainty. (That is, any algorithm trying to solve the learning with errors problem must fail sometimes.)

We shall need one particular property for the probability distribution $\chi$. Except with small probability, when $f_1, f_2, \ldots, f_l$ have been sampled independently from $\chi$, then for almost all subsets $S \subseteq{1,2, \ldots, l}$ we have that
$$
\sum_{i \in S} f_i=k+\langle p\rangle,
$$
for some integer $k$ with $|k|<p / 4$. It can be shown that $\chi$ can be chosen such that this requirement is satisfied, and it still seems hard to solve the learning with errors problem.
Example 3.19. Regev’s learning with errors cryptosystem works as follows:

The key generation algorithm $\mathcal{K}$ chooses random vectors $\mathrm{g}_1, \mathrm{~g}_2, \ldots, \mathrm{g}_l$ from $\mathbb{F}_p^n$ such that there are $n$ linearly independent vectors. It chooses a random vector $\mathbf{b} \in \mathbb{F}_p^n$, samples errors $f_1, f_2, \ldots, f_l$ independently according to $\chi$ and computes $y_i=\mathrm{g}_i \cdot \mathbf{b}+f_i$ for $i=1,2, \ldots, l$. It then outputs $e k=\left(\mathrm{g}_1, \mathrm{~g}_2, \ldots, \mathrm{g}_l, y_1, y_2, \ldots, y_l\right)$ and $d k=\mathbf{b}$.
The encryption algorithm $\mathcal{E}$ takes as input an encryption key ek $=$ $\left(\mathrm{g}_1, \mathrm{~g}_2, \ldots, \mathrm{g}_l, y_1, y_2, \ldots, y_l\right)$ and a message $m \in{0,1}$. a

密码学代写

数学代写|密码学作业代写Cryptography & Cryptanalysis代考|The GGH Cryptosystem

基于格的对称加密方案的一个想法是有一个格 $\Lambda$ 以几乎正交的基 $B$ 作为密钥。为了加密，我们以某种方式将消息编码为格向量 $u \in \Lambda$ 然后添加随机噪声 $f$ 到该向量以获得密文 $x=u+f$. 要解密，我们可以使用接近正交的基础来找到最接近的向量 $u$ 至 $\mathrm{x}$ (使用练习 $3.51$ 中的技术），然后解码格点以恢复消息。
很明显，我们需要限制随机噪声的幅度，因为如果太大，我们将无法再恢复u作为最近的向量。这可能发生，因为 $u$ 不再是最接近的向量 $\mathrm{x}$ ，或者因为我们的基础不是正交的，所以不能完美地解决最近向量问题。
练习 3.53。让 $\mathbf{B}$ 成为格子的基础 $\Lambda$. 表明与 $\mathbf{u} \in \Lambda$ 和 $\mathbf{x}=\mathbf{u}+\mathbf{f}$ ，然后 $\left[\mathbf{x} \mathbf{B}^{-1}\right\rceil \mathbf{B}=\mathbf{u}$ 当且仅当 $\left\lfloor\mathbf{f B}^{-1}\right\rceil=\mathbf{0}$
练习3.54。回想一下，对于一个实向量 $\boldsymbol{\alpha}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\right)$ ，我们有规范 $|\boldsymbol{\alpha}|1=\sum_i\left|\alpha_i\right|$ 和 $|\boldsymbol{\alpha}|{\infty}=\max i\left|\alpha_i\right|$ 让 $\mathbf{B}$ 成为格子的基础 $\Lambda$ ，让 $\rho$ 受约束 $|\cdot|_1$ 列的范数 $\mathbf{B}^{-1}$. 证明对于任何向量 $\mathbf{f}$ ，我们有 $$ \left|\mathbf{f B}^{-1}\right|{\infty} \leq \rho|\mathbf{f}|_{\infty} .
$$
解释这如何用于在加密时找到随机噪声的界限，以确保解密仍然有效。
通过发布格的基础将这个想法变成公钥加密方案是很诱人的。显然，我们不能发布我们近乎正交的基础 $\mathbf{B}$ ，因为这本质上是解密密钥。
回想一下任何格子 $\Lambda$ 有基矩阵 $\mathbf{B}$ ，如果 $\mathbf{U}$ 是一个具有行列式的整数矩阵 $\pm 1$ ，然后 $\mathbf{C}=\mathbf{U B}$ 是另一个基础矩阵 $\Lambda$.
一个想法是为格子创建和发布一个不同的基，一个几乎不正交的基，因此不能用于使用练习 $3.51$ 中的方法找到最近的向量。一种可能的选择是使用 Hermite 范式 $\mathbf{B}$ 作为 $\mathbf{C}$. (从某种意义上说，Hermite 范式是我们可以提供给公众的最糟糕的形式，因为任何对手都可以自己计算出 Hermite 范式。)
像往常一样，虽然我们可以尝试将消息嵌入向量中 $\mathbf{u}$, 使用起来更有意义 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{f}$ 作为对称密码系统的密钥。正如我们在示例 $3.9$ 中所做的那样，我们将使用一个函数从格点和橾声中导出密钥，即所谓的密钥导出函数。

数学代写|密码学作业代写Cryptography & Cryptanalysis代考|Regev’s Cryptosystem

让 $p$ 成为素数。让 $\mathrm{g}1, \mathrm{~g}_2, \ldots, \mathrm{g}_l \in \mathbb{F}_p^n$ 是一组随机选择的向量，其中包含 $n$ 线性无关的向量。让 $\mathrm{b} \in \mathbb{F}_p^n$ ，然后让 $$ \beta_i=\mathrm{g}_i \cdot \mathbf{b}, \quad i=1,2, \ldots, l . $$ 如果我们了解这些点积的值，我们可以恢复向量 $\mathbf{b}$. $\mathrm{E}$ 练习 3.56。鉴于 $\mathrm{g}_1, \ldots, \mathrm{g}_l$ 和 $\beta_1, \ldots, \beta_l$ ，显示如何计算 $\mathrm{b}$. 如果我们为点积添加一点随机性，结果发现找到值b变得更加困难。让 $\chi$ 是一个概率分布 $\mathbb{F}_p$ 然后让 $f_1, f_2, \ldots, f_l$ 根据独立抽样 $\chi$. 让 $$ y_i=\mathrm{g}_i \cdot \mathrm{b}+f_i, \quad i=1,2, \ldots, l . $$ 发现 $\mathbf{b}$ 给予 $y_1, y_2, \ldots, y_l$ 被称为错误学习 (LWE) 问题 (我们想学习 $b$ 来自一组有误差的方程)。 $\mathrm{EE}$ 练习 3.57。证明如果 $l=n$ ，那么错误学习问题就不可能 (接近) 确定地回答。（也就是说，任何试图解决学习错误问题的算法有时都会失败。) 我们将需要概率分布的一个特定属性 $\chi$. 除了极小的概率，当 $f_1, f_2, \ldots, f_l$ 已独立采样 $\chi$ ，然后对于几乎所有的子集 $S \subseteq 1,2, \ldots$, l我们有那个 $$ \sum{i \in S} f_i=k+\langle p\rangle,
$$
对于某个整数 $k$ 和 $|k|<p / 4$. 可以证明 $\chi$ 可以选择以满足这个要求，但似乎仍然很难解决有错误的学习问题。示例 3.19。Regev 的错误学习密码系统的工作原理如下:

密钥生成算法 $\mathcal{K}$ 选择随机向量 $g_1, \mathrm{~g}2, \ldots, \mathrm{g}_l$ 从 $\mathbb{F}_p^n$ 这样就有 $n$ 线性无关的向量。它选择一个随机向量 $\mathbf{b} \in \mathbb{F}{p^{\prime}}^n$, 样本误差 $f_1, f_2, \ldots, f_l$ 独立地根据 $\chi$ 并计算 $y_i=\mathrm{g}_i \cdot \mathbf{b}+f_i$ 为了 $i=1,2, \ldots, l$. 然后输出 $e k=\left(\mathrm{g}_1, \mathrm{~g}_2, \ldots, \mathrm{g}_l, y_1, y_2, \ldots, y_l\right)$ 和 $d k=\mathbf{b}$.
加密算法 $\mathcal{E}$ 将加密密钥 ek 作为输入 $=\left(\mathrm{g}_1, \mathrm{~g}_2, \ldots, \mathrm{g}_l, y_1, y_2, \ldots, y_l\right)$ 和一条消息 $m \in 0,1$.

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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金融代写|交易策略作业代写Trading strategy代考|BUS501

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金融代写|交易策略作业代写Trading strategy代考|Arbitrage Between Own Spot Spread and Future Spread

Power generation costs consist of fixed costs (e.g., equipment depreciation costs, labor costs, and maintenance costs) and variable costs (e.g., fuel costs and exhaust processing costs). However, the variable cost is almost the fuel cost. Therefore, the unit cost of gas-fired generation expressed as Cost and the corresponding natural gas procurement cost expressed as Gas satisfy the following equation:
$$
\text { Cost }=\alpha_0 \times \text { Gas }+\alpha_1,
$$
where $\alpha_0$ and $\alpha_1$ are the coefficients. Although the Henry Hub futures price HenryHub $b_{f, t}$ and the PJM futures price $P J M_{f, t}$, both of which are unit root processes, are cointegrated, the long-term equilibrium equation, which is a stochastic process, can have large outliers. Then, when the own spot spread, that is, the difference between the power generation unit cost and the corresponding gas procurement unit price, is smaller than the future spread, that is, the future price difference between the PJM and Henry Hub, we swap the spot spread, Spread $_s$ and the future spread, Spread $_f$, which we express as
$$
\begin{gathered}
\text { Spread }s=\alpha_0 \times \text { HenryHub }{f, t}+\alpha_1-\text { HenryHub }{f, t} \ \text { Spread }_f=\text { PJM }{f, t}-\text { HenryHub } b_{f, t} .
\end{gathered}
$$
Therefore, the difference between these spreads is
$$
\text { Spread }s-\text { Spread }_f=\alpha_0 \times \text { HenryHub } b{f, t}+\alpha_1-P J M_{f, t} .
$$
In the following equation:
$$
\alpha_0 \times \text { HenryHub } b_{f, t}+\alpha_1-P J M_{f, t}<0 .
$$
If we take the Henry Hub long position and the PJM short position corresponding to the electric energy planned for generation, we can lock in profit.

金融代写|交易策略作业代写Trading strategy代考|Statistical Arbitrage

By estimating the long-term equilibrium equation of $H e n r y H u b_{f, t}$ and $P J M_{f, t}$ in a cointegration relationship, we can determine whether the futures spread on a candidate trading date is wider or narrower than the expected spread. This determination enables statistical arbitrage trading between Henry Hub and PJM.

Since the prices in period $t$ are not available for trading in period $t$, we estimate the following long-term equilibrium equation using the price series up to period $t-1$ :
$$
P J M_{f, t}=\beta_{f, 0} \times \text { HenryHub} b_{f, t}+\beta_{f, 1^{\circ}} .
$$
If the futures spread is higher than the expected value, then we express it as
$$
P J M_{f, t}>\beta_{f, 0} \times \text { HenryHub } b_{f, t}+\beta_{f, 1} .
$$
We can consider that the PJM price is higher and the Henry Hub price is lower; therefore, we take the PJM short position and Henry Hub long position. Then, the condition for closing these arbitrage positions is
$$
\begin{aligned}
\text { PJM }{f, t} &-\text { avgShort } P J M_f+\operatorname{avg} \text { LongHenryHub } \ &-\text { HenryHub } b{f, t}>0
\end{aligned}
$$
where avg Short $P J M_f$ is the average price of the PJM futures short positions taken, and avgLong Henry Hub $b_f$ is the average price of the Henry Hub futures long positions taken. The clearance of all these futures positions under this condition leads to profit.

Conversely, if the futures spread is below the expected value, then we express it as
$$
P J M_{f, t}<\beta_{f, 0} \times \text { HenryHub} b_{f, t}+\beta_{f, 1} .
$$
We determine that the PJM price is lower and the Henry Hub price is higher; therefore, we take the PJM long position and Henry Hub short position.

交易策略代考

金融代写|交易策略作业代写Trading strategy代考|Arbitrage Between Own Spot Spread and Future Spread

发电成本包括固定成本 (如设备折旧成本、人工成本、维护成本) 和可变成本 (如矧料成本、尾气处理成本)。然而，可变成本几乎就是垁料成本。因此，以Cost表示的垁气发电单位成本与以Gas表示的相应天然气采购成本满足以下等式:
$$
\text { Cost }=\alpha_0 \times \text { Gas }+\alpha_1,
$$
在哪里 $\alpha_0$ 和 $\alpha_1$ 是系数。尽管 Henry Hub 期货价格 HenryHubb $b_{f, t}$ 和 PJM 期货价格 $P J M_{f, t}$ ，两者都是单位根过程，是协整的，长期平衡方程是一个随机过程，可能有很大的异常值。然后，当自己的现货价差，即发电单位成本与相应的天然气采购单价之间的差值，小于末来价差，即 PJM 和 Henry Hub 之间的末来价差，我们互换现场传播，传播 $s$ 和末来的传播，传播 $f$ ，我们表示为
Spread $s=\alpha_0 \times$ HenryHub $f, t+\alpha_1-$ HenryHub $f, t$ Spread $_f=\operatorname{PJM} f, t-$ HenryHub $b_{f, t}$.
因此，这些价差之间的差异是
Spread $s-$ Spread $_f=\alpha_0 \times$ HenryHub $b f, t+\alpha_1-P J M_{f, t}$.
在下面的等式中:
$$
\alpha_0 \times \text { HenryHub } b_{f, t}+\alpha_1-P J M_{f, t}<0 .
$$
如果我们将Henry Hub多仓和计划发电量对应的PJM空仓，就可以锁定利润。

金融代写|交易策略作业代写Trading strategy代考|Statistical Arbitrage

通过估计长期均衡方程 $H e n r y H u b_{f, t}$ 和 $P J M_{f, t}$ 在协整关系中，我们可以确定候选交易日的期货价差是否比预期价差更宽或更窄。这一决定使 Henry Hub 和 PJM 之间的统计套利交易成为可能。
由于期间的价格 $t$ 期间不可交易 $t$ ，我们使用到 period 的价格序列估计以下长期均衡方程 $t-1$ :
$$
P J M_{f, t}=\beta_{f, 0} \times \text { HenryHub } b_{f, t}+\beta_{f, 1^{\circ}} .
$$
如果期货价差高于预期值，那么我们将其表示为
$$
P J M_{f, t}>\beta_{f, 0} \times \text { HenryHub } b_{f, t}+\beta_{f, 1} .
$$
我们可以认为PJM价格较高，Henry Hub价格较低; 因此，我们持有 PJM 空头头寸和 Henry Hub 多头头寸。那么，关闭这些套利头寸的条件是
$$
\text { PJM } f, t-\operatorname{avgShort} P J M_f+\text { avg LongHenryHub } \quad-\text { HenryHub } b f, t>0
$$
哪里平均短 $P J M_f$ 是所持 PJM 期货空头头寸的平均价格，而 avgLong Henry Hub $b_f$ 是 Henry Hub 期货多头头寸的平均价格。在这种情况下清算所有这些期货头寸会带来利润。
相反，如果期货价差低于预期值，则我们将其表示为
$$
P J M_{f, t}<\beta_{f, 0} \times \text { HenryHubb } b_{f, t}+\beta_{f, 1} .
$$
我们确定 PJM 价格较低，Henry Hub 价格较高；因此，我们持有 PJM 多头头寸和 Henry Hub 空头头寸。

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金融代写|交易策略作业代写Trading strategy代考|FE670

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金融代写|交易策略作业代写Trading strategy代考|Long-Term Equilibrium Estimation

We can estimate the cointegrating vectors by using dynamic OLS (DOLS). OLS estimates the following equation with lag terms for the explanatory variables to climinate autocorrelation:
$$
x_{v, t}=\varphi_0+\sum_{i=1}^{v-1}\left(\beta_i \varphi_{i, t}+\sum_{j=-K}^K \phi_{i, j} \Delta x_{i, t-j}\right) .
$$
Since Sect. 2.2.4 utilizes a two-variable model, the model for estimating the longterm equilibrium is
$$
P J M_t=\varphi_0+\varphi_1 \text { HenryHub}t+\sum{j=-K}^K \phi_j \Delta \text { Henry Hub } b_{t-j} .
$$
The lag order $K$ was determined using SBIC. The long-term equilibrium equation for future prices is
The long-term equilibrium equation for the spot prices is
$$
P J M_{\text {spot }}=11.142 \times \text { HenryHub }_{\text {spot }}+5.732 .
$$

金融代写|交易策略作业代写Trading strategy代考|Trading Strategies

The only way to profit by trading goods is to “buy at a lower price and sell at a higher price.” If we trade only one item, then price forecasting is the most important matter. Is this realistically possible? A market is efficient if the information that affects the market price is comprehensive, constant, and has a timely effect on the price. Markets for securities and commodities listed on exchanges are almost efficient and depend on liquidity. In other words, we cannot forecast the price because the price already reflects all the currently available information, and any information that affects the price will occur independently of the price. Unfortunately, it is impossible for market participants to earn returns above the market average. Certainly, a “fully efficient market” is theoretical or virtual. Therefore, some investors and speculators try to collect information before it is reflected in the price. However, these actions make the market more efficient. Because the stationary hypothesis for most energy prices is rejected by the unit root test using daily data, energy companies should consider energy markets as efficient, and energy prices as unpredictable.

In general, power companies procure various types of fuels from various markets, produce electricity using various power generation methods, and sell the power through various sales channels. Section $2.3$ assumes a simple model of purchasing natural gas at the Henry Hub price and selling electricity at the PJM price, as Fig. $2.8$ illustrates. We propose two trading strategies. Section $2.4$ will simulate these methods using actual historical data. Both focus not on these prices but on the price difference between Henry Hub prices and PJM prices. We cannot expect profit owing to market efficiency, even if we analyze each price in detail. On the other hand, we demonstrate the potential to make a profit by investigating price differences, which is a stationary process. When buying the gas required to produce one unit of electricity and selling it, the gross margin is often called the spark spread.

The trading strategy introduced in Sect. 2.3.1 is the arbitrage between the futures market spreads and a company’s spreads expected from its power generation efficiency. This takes advantage of the spread of futures as a stochastic process. All we have to do is take the Henry Hub long position and the PJM short position to secure profits when a favorable futures spread occurs stochastically. The strategy proposed in Sect. 2.3.2 is statistical arbitrage utilizing the cointegration relationship between Henry Hub prices and PJM prices in the futures market. Making use of the longterm equilibrium equation in the futures market that expresses the futures spread, the lower PJM long positions and the higher Henry Hub short positions are expected to yield profit in the narrower spreads than the market when the spread approaches the long-term equilibrium.

交易策略代考

金融代写|交易策略作业代写Trading strategy代考|Long-Term Equilibrium Estimation

我们可以使用动态 OLS (DOLS) 来估计协整向量。OLS 使用解释变量的滞后项估计以下方程以消除自相关:
$$
x_{v, t}=\varphi_0+\sum_{i=1}^{v-1}\left(\beta_i \varphi_{i, t}+\sum_{j=-K}^K \phi_{i, j} \Delta x_{i, t-j}\right) .
$$
由于教派。2.2.4 乎用双变量模型，估计长期均衡的模型为
$$
P J M_t=\varphi_0+\varphi_1 \text { HenryHubt }+\sum j=-K^K \phi_j \Delta \text { Henry Hub } b_{t-j} .
$$
滞后顺序 $K$ 使用 SBIC 确定。期货价格
的长期均衡方程为现货价格的长期均衡方程为
$$
P J M_{\text {spot }}=11.142 \times \text { HenryHub }_{\text {spot }}+5.732 .
$$

金融代写|交易策略作业代写Trading strategy代考|Trading Strategies

商品交易的唯一盈利方式就是“低价买入，高价卖出”。如果我们只交易一种商品，那么价格预测就是最重要的事情。这实际上可能吗？如果影响市场价格的信息是全面的、恒定的并且对价格有及时的影响，那么市场就是有效的。在交易所上市的证券和商品市场几乎是有效的，并且取决于流动性。换句话说，我们无法预测价格，因为价格已经反映了所有当前可用的信息，任何影响价格的信息都会独立于价格发生。不幸的是，市场参与者不可能获得高于市场平均水平的回报。当然，“充分有效的市场”是理论上的或虚拟的。所以，一些投资者和投机者试图在信息反映在价格中之前收集信息。然而，这些行动使市场更有效率。由于大多数能源价格的平稳假设被使用每日数据的单位根检验所拒绝，能源公司应该认为能源市场是有效的，能源价格是不可预测的。

一般而言，电力公司从不同市场采购不同种类的燃料，使用不同的发电方式生产电力，并通过不同的销售渠道出售电力。部分2.3假设一个简单的模型以 Henry Hub 价格购买天然气并以 PJM 价格出售电力，如图 1 所示。2.8说明。我们提出两种交易策略。部分2.4将使用实际历史数据模拟这些方法。两者都不关注这些价格，而是关注 Henry Hub 价格和 PJM 价格之间的价格差异。即使我们详细分析每个价格，我们也不能期望由于市场效率而获利。另一方面，我们展示了通过调查价格差异获利的潜力，这是一个平稳的过程。购买生产一单位电力所需的天然气并出售时，毛利率通常称为火花价差。

Sect. 中介绍的交易策略。2.3.1 是期货市场价差与公司发电效率预期价差之间的套利。这利用了期货的价差作为一个随机过程。我们所要做的就是在随机出现有利的期货价差时，持有 Henry Hub 多头头寸和 PJM 空头头寸以确保获利。节中提出的策略。2.3.2是统计套利，利用期货市场上Henry Hub价格和PJM价格之间的协整关系。利用期货市场中表示期货价差的长期均衡方程，当价差接近长期均衡时，较低的 PJM 多头头寸和较高的 Henry Hub 空头头寸有望在比市场更窄的价差中产生利润.

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金融代写|交易策略作业代写Trading strategy代考|FINANCE362

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金融代写|交易策略作业代写Trading strategy代考|FINANCE362

金融代写|交易策略作业代写Trading strategy代考|Descriptive Statistics

Before conducting various analyses and simulations, it is extremely important to interpret the representative statistics of the data. Table $2.1$ provides the summary statistics of the Henry Hub and the PJM.

Considering that each future has a maturity of one month, we set each spot price to January 29, 2021 and each future to December 30, 2020 to simulate the spot-future arbitrage described later in Sect. 2.3.1. Because we extract only the days when both the Henry Hub and PJM data are available, we have 1511 and 1477 observations for the futures and spot prices, respectively.

The mean and median are numerical values located in the center of the economic variables. The mean $\bar{x}$ of the series $\left(x_i \mid i=1,2, \ldots, N\right)$ is calculated as
$$
\bar{x}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i .
$$
On the other hand, the median is a value located in the center of each series arranged in descending order. The medians of these futures and spot series are at the 756th and 739th values, respectively. If the number of observations is even, then the median is the average of the two data points in the center. Thus, the median is a more stable index expressing the middle than the mean because outlier values have less effect. Figure $2.1$ shows three distribution examples with the same mean, but different medians. Table $2.1$ indicates that both the mean and median of each future are higher than those of each spot. In other words, both Henry Hub and PJM tend to be contango. We can infer that the supply and demand are not very tight during this period. We can express the relationship between the future price $p_f$ and its spot price $p_s$ as
$$
p_f=p_s e^{c_c \Delta T},
$$ where $C_c$ is the cost of carry expressed in terms of yield and $\Delta T$ is the period from the present to maturity. The cost of carry is the sum of the risk-free interest rate and holding cost, expressed as yield minus the convenience yield. Therefore, if their supply and demand remained tight during the period, then the utility of holding their spots would be increasing. Thus, their costs of carry should become negative, and their futures should become lower than their spots. In addition, the medians of both the Henry Hub future and spot prices are higher than their respective means. Therefore, we can expect to find many outliers in the left tail of each distribution. On the contrary, the medians of both the PJM future and spot prices are lower than their respective means. Therefore, we can expect to find many outliers in the right tail of each distribution.

金融代写|交易策略作业代写Trading strategy代考|Cointegration Test

Figures $2.1$ and $2.2$ bring to mind the long-term equilibrium relationship between Henry Hub and the PJM in both futures and spot markets. However, as all four variables accept the unit root hypothesis, we must suspect a spurious regression.
Engle and Granger [7] introduced the concept of “cointegration,” which connects multiple unpredictable stochastic variables with a unit root. If a linear combination of multiple unit root processes is stationary, then these variables have a cointegrated relationship. In other words: suppose that the following vector consists of $v$ variables in a unit root process:
$$
\mathbf{X}t={ }^T\left(x{1 t}, x_{2 t}, \ldots, x_{v t}\right)
$$
The following linear combination is derived from the inner product of the $v$ dimensional coefficient vector and $\mathbf{X}t$ : $$ \boldsymbol{\beta} \mathbf{X}_t=\left(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_v\right)^T\left(x{1 t}, x_{2 t}, \ldots, x_{v t}\right)
$$
If $\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{X}t$ is a stationary process, then $x{1 t}, x_{2 t}, \ldots, x_{v t}$ have a cointegrated relationship. Additionally,
$$
\boldsymbol{\beta}=\left(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_v\right)
$$
is the cointegrating vector. If there is cointegration between some variables, then the deviation of the observed values from their long-term equilibrium is a stable stochastic process. Because many economic variables have unit roots, this concept is very often applied in a wide range of fields to examine the relationships between economic variables.

Therefore, we test whether the Henry Hub and PJM prices are cointegrated and expect to use this cointegrated relationship in the trading strategies.

Engle and Granger’s [7] proposed test for cointegration has limitations. First, it does not expect a system with three or more variables to have two or more cointegration relationships. Second, the test results may change when the variables are interchanged.

交易策略代考

金融代写|交易策略作业代写Trading strategy代考|Descriptive Statistics

在进行各种分析和模拟之前，解释数据的代表性统计数据非常重要。桌子 $2.1$ 提供 Henry Hub 和 PJM 的汇总统计数据。
考虑到每个期货的到期日为一个月，我们将每个现货价格设置为 2021 年 1 月 29 日，将每个期货设置为 2020 年 12 月 30 日，以模拟稍后在第 1 节中描述的现货-期货套利。2.3.1. 因为我们只提取 Henry Hub 和 PJM 数据都可用的日期，所以我们分别有 1511 和 1477 个期货和现货价格观察值。
均值和中位数是位于经济变量中心的数值。均值 $\bar{x}$ 该系列的 $\left(x_i \mid i=1,2, \ldots, N\right)$ 计算为
$$
\bar{x}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i
$$
另一方面，中位数是位于按降序排列的每个系列的中心的值。这些期货和现货系列的中值分别位于第 756 位和第 739 位。如果观察的个数是偶数，那么中位数就是中心两个数据点的平均值。因此，中位数是比平均值更稳定的表示中间值的指标，因为离群值的影响较小。数字 $2.1$ 显示均值相同但中位数不同的三个分布示例。桌子 2.1表示每个期货的均值和中值均高于每个现货的均值和中值。换句话说，Henry Hub 和 PJM 都倾向于正价差。我们可以推断，这段时间供需不是很紧张。我们可以表达末来价格之间的关系 $p_f$ 及其现货价格 $p_s$ 作为
$$
p_f=p_s e^{c_c \Delta T},
$$
在哪里 $C_c$ 是以收益率表示的持有成本和 $\Delta T$ 是从现在到到期的时期。持有成本是无风险利率和持有成本之和，表示为收益率减去便利收益率。因此，如果在此期间他们的供需仍然紧张，那么持有现货的效用就会增加。因此，他们的持有成本应该变为负值，他们的期货价格应该低于现货价格。此外，Henry Hub 期货和现货价格的中位数均高于各自的均值。因此，我们可以期望在每个分布的左尾找到许多异常值。相反，PJM 期货和现货价格的中位数均低于各自的均值。因此，我们可以期望在每个分布的右尾找到许多异常值。

金融代写|交易策略作业代写Trading strategy代考|Cointegration Test

数字 $2.1$ 和 $2.2$ 让我们想起 Henry Hub 和 PJM 在期货和现货市场上的长期均衡关系。然而，由于所有四个变量都接受单位根假设，我们必须怀疑虚假回归。
Engle 和 Granger [7] 引入了”协整”的概念，它将多个不可预测的随机变量与一个单位根联系起来。如果多个单位根过程的线性组合是平稳的，则这些变量具有协整关系。换句话说：假设以下向量由 $v$ 单位根过程中的变量:
$$
\mathbf{X} t={ }^T\left(x 1 t, x_{2 t}, \ldots, x_{v t}\right)
$$
下面的线性组合是从 $v$ 维度系数向量和 $\mathbf{X} t$ :
$$
\boldsymbol{\beta} \mathbf{X}t=\left(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_v\right)^T\left(x 1 t, x{2 t}, \ldots, x_{v t}\right)
$$
如果 $\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{X} t$ 是平稳过程，那么 $x 1 t, x_{2 t}, \ldots, x_{v t}$ 有协整关系。此外，
$$
\boldsymbol{\beta}=\left(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_v\right)
$$
是协整向量。如果某些变量之间存在协整关系，则观测值与其长期均衡的偏差是一个稳定的随机过程。由于许多经济变量都有单位根，因此这个概念经常被广泛应用于研究经济变量之间关系的领域。
因此，我们测试 Henry Hub 和 PJM 价格是否协整，并期望在交易策略中使用这种协整关系。
恩格尔和格兰杰 [7] 提出的协整检验有局限性。首先，它不期望具有三个或更多变量的系统具有两个或更多协整关系。其次，当变量互换时，测试结果可能会发生变化。

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|CSE421

Posted on 2022年11月25日2022年11月25日 by statistics-lab

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计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|CSE421

计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Hash Tables

Many applications require a dynamic set that supports only the dictionary operations INSERT, SEARCH, and DELETE. For example, a compiler that translates a programming language maintains a symbol table, in which the keys of elements are arbitrary character strings corresponding to identifiers in the language. A hash table is an effective data structure for implementing dictionaries. Although searching for an element in a hash table can take as long as searching for an element in a linked list $-\Theta(n)$ time in the worst case-in practice, hashing performs extremely well. Under reasonable assumptions, the average time to search for an element in a hash table is $O(1)$. Indeed, the built-in dictionaries of Python are implemented with hash tables.

A hash table generalizes the simpler notion of an ordinary array. Directly addressing into an ordinary array takes advantage of the $O(1)$ access time for any array element. Section $11.1$ discusses direct addressing in more detail. To use direct addressing, you must be able to allocate an array that contains a position for every possible key.

When the number of keys actually stored is small relative to the total number of possible keys, hash tables become an effective alternative to directly addressing an array, since a hash table typically uses an array of size proportional to the number of keys actually stored. Instead of using the key as an array index directly, we compute the array index from the key. Section $11.2$ presents the main ideas, focusing on “chaining” as a way to handle “collisions,” in which more than one key maps to the same array index. Section $11.3$ describes how to compute array indices from keys using hash functions. We present and analyze several variations on the basic theme. Section $11.4$ looks at “open addressing,” which is another way to deal with collisions. The bottom line is that hashing is an extremely effective and practical technique: the basic dictionary operations require only $O(1)$ time on the average. Section $11.5$ discusses the hierarchical memory systems of modern computer systems have and illustrates how to design hash tables that work well in such systems.

计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Direct-address tables

Direct addressing is a simple technique that works well when the universe $U$ of keys is reasonably small. Suppose that an application needs a dynamic set in which each element has a distinct key drawn from the universe $U={0,1, \ldots, m-1}$, where $m$ is not too large.

To represent the dynamic set, you can use an array, or direct-address table, denoted by $T[0: m-1]$, in which each position, or slot, corresponds to a key in the universe $U$. Figure $11.1$ illustrates this approach. Slot $k$ points to an element in the set with key $k$. If the set contains no element with key $k$, then $T[k]=$ NIL.

The dictionary operations DIRECT-ADDRESS-SEARCH, DIRECT-ADDRESS-INSERT, and DIRECT-ADDRESS-DELETE on the following page are trivial to implement. Each takes only $O(1)$ time.

For some applications, the direct-address table itself can hold the elements in the dynamic set. That is, rather than storing an element’s key and satellite data in an object external to the direct-address table, with a pointer from a slot in the table to the object, save space by storing the object directly in the slot. To indicate an empty slot, use a special key. Then again, why store the key of the object at all? The index of the object is its key! Of course, then you’d need some way to tell whether slots are empty.

算法分析代考

计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Hash Tables

许多应用程序需要一个仅支持字典操作 INSERT、SEARCH 和 DELETE 的动态集。例如，翻译一种编程语言的编译器维护了一张符号表，其中元素的键是任意字符串，对应于该语言中的标识符。哈希表是实现字典的有效数据结构。尽管在哈希表中搜索元素所花费的时间可能与在链表中搜索元素所花费的时间一样长−日(n)时间在最坏的情况下——在实践中，散列表现得非常好。在合理的假设下，在哈希表中搜索一个元素的平均时间是欧(1). 确实，Python 内置的字典是用哈希表实现的。

哈希表概括了普通数组的更简单概念。直接寻址到普通数组利用了欧(1)任何数组元素的访问时间。部分11.1更详细地讨论了直接寻址。要使用直接寻址，您必须能够分配一个数组，其中包含每个可能的键的位置。

当实际存储的键数相对于可能的键总数较小时，哈希表成为直接寻址数组的有效替代方法，因为哈希表通常使用大小与实际存储的键数成比例的数组。我们不是直接使用键作为数组索引，而是根据键计算数组索引。部分11.2介绍了主要思想，着重于将“链接”作为一种处理“冲突”的方法，其中多个键映射到相同的数组索引。部分11.3描述了如何使用散列函数从键计算数组索引。我们介绍并分析了基本主题的几种变体。部分11.4查看“开放寻址”，这是另一种处理冲突的方法。归根结底，散列是一种极其有效和实用的技术：基本的字典操作只需要欧(1)平均时间。部分11.5讨论了现代计算机系统的分层存储系统，并说明了如何设计在此类系统中运行良好的哈希表。

计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Direct-address tables

直接寻址是一种简单的技术，当 Universe在键是相当小的。假设一个应用程序需要一个动态集合，其中每个元素都有一个从宇宙中提取的不同键在=0,1,…,米−1，在哪里米不是太大。

为了表示动态集，您可以使用数组或直接地址表，表示为吨[0:米−1]，其中每个位置或槽对应于宇宙中的一个键在. 数字11.1说明了这种方法。投币口k指向带有键的集合中的一个元素k. 如果集合不包含带键的元素k，然后吨[k]=零。

下一页中的字典操作 DIRECT-ADDRESS-SEARCH、DIRECT-ADDRESS-INSERT 和 DIRECT-ADDRESS-DELETE 实现起来很简单。每个只需要欧(1)时间。

对于某些应用程序，直接地址表本身可以保存动态集中的元素。也就是说，不是将元素的键和卫星数据存储在直接地址表外部的对象中，而是使用从表中的插槽指向对象的指针，而是通过将对象直接存储在插槽中来节省空间。要指示空槽，请使用特殊键。再一次，为什么要存储对象的键呢？对象的索引就是它的键！当然，然后您需要一些方法来判断插槽是否为空。

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