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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MAST90017

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表示论是数学的一个分支,它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构,并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上,表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素,使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解,因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性,有时还能简化更抽象理论的计算。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|表示论代写Representation theory代考|MAST90017

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Matrix Reduction Algorithm

There is a version of the algorithm PAIRPERSISTENCE that uses only matrix operations. First notice the following:

  • The boundary operator $\partial_p: \mathbf{C}p \rightarrow \mathbf{C}{p-1}$ can be represented by a boundary matrix $D_p$ where the columns correspond to the $p$-simplices and rows correspond to $(p-1)$-simplices.
  • It represents the transformation of a basis of $\mathrm{C}p$ given by the set of $p$-simplices to a basis of $C{p-1}$ given by the set of $(p-1)$-simplices:
    $$
    D_p[i, j]= \begin{cases}1 & \text { if } \sigma_i \in \partial_p \sigma_j, \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
    $$
  • One can combine all boundary matrices into a single matrix $D$ that represents all linear maps $\bigoplus_p \partial_p-\bigoplus_p\left(\mathrm{C}p \rightarrow \mathrm{C}{p-1}\right)$, that is, transformation of a basis of all chain groups together to a basis of itself, but with a shift to a one lower dimension:
    $$
    D[i, j]= \begin{cases}1 & \text { if } \sigma_i \in \partial_* \sigma_j, \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
    $$
    Definition 3.12. (Filtered boundary matrix) Let $\mathcal{F}: \varnothing=K_0 \hookrightarrow K_1 \hookrightarrow \cdots$ $\hookrightarrow K_n=K$ be a filtration induced by an ordering of simplices $\left(\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n\right)$ in $K$. Let $D$ denote the boundary matrix for simplices in $K$ that respects the ordering of the simplices in the filtration, that is, the simplex $\sigma_i$ in the filtration occupies column $i$ and row $i$ in $D$. We call $D$ the filtered boundary matrix for $\mathcal{F}$.

Given any matrix $A$, let row ${ }_A\lfloor i\rfloor$ and $\operatorname{col}_A\lfloor j\rfloor$ denote the $i$ th row and $j$ th column of $A$, respectively. We abuse notation slightly to let $\operatorname{col}_A[j]$ denote also the chain $\left{\sigma_i \mid A[i, j]=1\right}$, which is the collection of simplices corresponding to $1 \mathrm{~s}$ in the column $\operatorname{col}_A[j]$.

Definition 3.13. (Reduced matrix) Let $\operatorname{low}_A[j]$ denote the row index of the last 1 in the $j$ th column of $A$, which we call the low-row index of the column $j$. It is undefined for empty columns (marked with $-1$ in Algorithm 3). The matrix $A$ is reduced (or is in reduced form) if low $[j] \neq \operatorname{low}_A\left[j^{\prime}\right]$ for any $j \neq j^{\prime}$; that is, no two columns share the same low-row indices.

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The matrix reduction algorithm considers a column from left to right and reduces it by left-to-right additions. As we have observed, every addition to a column with index $j$ pushes $\operatorname{low}_D[j]$ upward. In the case that $\sigma_j$ is a positive simplex, the entire column is zeroed out. In general, positive simplices incur more cost than negative ones because $\operatorname{low}_D[\cdot]$ needs to be pushed all the way up for zeroing out the entire column. However, they do not participate in any future left-to-right column additions. Therefore, if it is known beforehand that the simplex $\sigma_j$ will be a positive simplex, then the costly step of zeroing out the column $j$ can be avoided.

Chen and Kerber [94] observed the following simple fact. If we process the input filtration backward in dimension, that is, process the boundary matrices $D_p, p=1, \ldots, d$, in decreasing order of dimensions, then a persistence pair $\left(\sigma^{p-1}, \sigma^p\right)$ is detected from $D_p$ before processing the column for $\sigma^{p-1}$ in $D_{p-1}$. Fortunately, we already know that $\sigma^{p-1}$ has to be a positive simplex because it cannot pair with a negative simplex $\sigma^p$ otherwise. So, we can simply ignore the column of $\sigma^{p-1}$ while processing $D_{p-1}$. We call it clearing out column $p-1$. In practice, this saves a considerable amount of computation in cases where a lot of positive simplices occur such as in Rips filtrations. Algorithm 4: ClearPersistence implements this idea.

We cannot take advantage of the clearing for the last dimension in the filtration. If $d$ is the highest dimension of the simplices in the input filtration, the matrix $D_d$ has to be processed for all columns because the pairings for the positive $d$-simplices are not available.

If the number of $d$-simplices is large compared to the number of simplices of lower dimensions, the incurred cost of processing their columns can still be high. For example, in a Rips filtration restricted to a certain dimension $d$, the number of $d$-simplices becomes usually much larger than the number of, say,

1-simplices. In those cases, the clearing can be more cost-effective if it can be applied forward.

In this respect, the following observation becomes helpful. Let $D_p^$ denote the anti-transpose of the matrix $D_p$, defined by the transpose of $D_p$ with the columns and rows being ordered in reverse. This means that if $D_p$ has row and column indices $1, \ldots, m$ and $1, \ldots, n$, respectively, then $D_p^(i, j)=D_p(n+$ $1-j, m+1-i)$. We call it the twisted matrix of $D_p$. Figure $3.13$ shows the twisted matrix $D^$ of the matrix $D$ in Figure $3.12$ where the rows and columns are marked with the indices of the original matrix. The following proposition guaranteés thăt wé cañ computê thê persistencee pairs in $D_P$ from the matrix $D_p^$

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表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Matrix Reduction Algorithm

有一个仅使用矩阵运算的算法 PAIRPERSISTENCE 版本。首先注意以下几点:

  • 边界运算符 $\partial_p: \mathbf{C} p \rightarrow \mathbf{C} p-1$ 可以用边界矩阵表示 $D_p$ 其中列对应于 $p$-单纯形和行对应 $(p-1)$ 简单的
  • 它代表了基础的转变 $\mathrm{C} p$ 由一组给出 $p$-单纯形的基础 $C p-1$ 由一组给出 $(p-1)$-简单的:
    $$
    D_p[i, j]=\left{1 \quad \text { if } \sigma_i \in \partial_p \sigma_j, 0 \quad\right. \text { otherwise. }
    $$
  • 可以将所有边界矩阵组合成一个矩阵 $D$ 表示所有线性映射 $\bigoplus_p \partial_p-\bigoplus_p(\mathrm{C} p \rightarrow \mathrm{C} p-1)$ ,也就 是说,将所有链组的基础一起转换为自身的基础,但转移到一个较低的维度:
    $$
    D[i, j]=\left{1 \quad \text { if } \sigma_i \in \partial_* \sigma_j, 0 \quad\right. \text { otherwise. }
    $$
    定义 3.12。 (过滤后的边界矩阵) 让 $\mathcal{F}: \varnothing=K_0 \hookrightarrow K_1 \hookrightarrow \cdots \hookrightarrow K_n=K$ 是由单纯形的排 序引起的过滤 $\left(\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n\right)$ 在 $K$. 让 $D$ 表示单纯形的边界矩阵 $K$ 尊重过滤中单纯形的顺序,即 单纯形 $\sigma_i$ 在过滤占列 $i$ 和行 $i$ 在 $D$. 我们称之为 $D$ 过滤后的边界矩阵 $\mathcal{F}$.
    给定任何矩阵 $A$ , 让行 $A\lfloor i\rfloor$ 和 $\operatorname{col}A\lfloor j\rfloor$ 表示 $i$ 行和 $j$ 第 列 $A$ ,分别。我们稍微滥用符号让 $\operatorname{col}_A[j]$ 也表示链 \eft{\sigma_i \mid A[i, j]=1\right } } \text { , 这是对应于 } 1 \text { s在专栏中 } \operatorname { c o l } { A } [ j ] \text { . }
    定义 3.13。(简化矩阵) 让 $\operatorname{low}_A[j]$ 表示最后一个 1 的行索引 $j$ 第列 $A$ ,我们称之为列的低行索引 $j$. 它对 于空列是末定义的 (标有 $-1$ 在算法 3) 中。矩阵 $A$ 如果低,则减少 (或减少形式) $[j] \neq \operatorname{low}_A\left[j^{\prime}\right]$ 对于 任何 $j \neq j^{\prime}$ ;也就是说,没有两列共享相同的低行索引。

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矩阵缩减算法从左到右考虑一列,并通过从左到右的加法来减少它。正如我们所观察到的,每次添加到 具有索引的列 $j$ 推动 $\operatorname{low}_D[j]$ 向上。在这种情况下 $\sigma_j$ 是一个正单纯形,整个列被清零。一般来说,正单形 比负单形产生更多的成本,因为 $\operatorname{low}_D[\cdot]$ 需要一直向上推以将整个列归零。但是,它们不参与任何末来的 从左到右的列添加。因此,如果事先知道单纯形 $\sigma_j$ 将是一个正单纯形,然后是将列归零的昂贵步驵㼋 $j$ 以 避免。

Chen 和 Kerber [94] 观察到以下简单事实。如果我们对输入过滤进行维度逆向处理,即对边界矩阵进行 处理 $D_p, p=1, \ldots, d$ ,按维度降序排列,然后是持久性对 $\left(\sigma^{p-1}, \sigma^p\right)$ 从检测到 $D_p$ 在处理列之前 $\sigma^{p-1}$ 在 $D_{p-1}$. 幸运的是,我们已经知道 $\sigma^{p-1}$ 必须是正单纯形,因为它不能与负单纯形配对 $\sigma^p$ 除此以外。所 以,我们可以简单地忽略列 $\sigma^{p-1}$ 加工时 $D_{p-1}$. 我们称之为清除列 $p-1$. 实际上,在出现大量正单纯形的 情况下(例如在 Rips 过滤中),这可以节省大量计算。算法 4:ClearPersistence 实现了这个想法。
我们不能利用过滤中最后一个维度的清理。如果 $d$ 是输入过滤中单纯形的最高维度,矩阵 $D_d$ 必须对所有 列进行处理,因为正的配对 $d$-单纯形不可用。
如果数量 $d-$ 单形与低维单形的数量相比很大,处理它们的列所产生的成本仍然很高。例如,在限制为特 定维度的 Rips 过滤中 $d$ ,的数量 $d$ – 单纯形通常变得比数量大得多,比如说,
1-单纯形。在这些情况下,如果可以向前应用清算,则清算可能更具成本效益。
在这方面,以下观察会有所帮助。让 $\mathrm{D}_{-} \mathrm{p}^{\wedge}$ 表示矩阵的反转置 $D_p$ ,由转置定义 $D_p$ 列和行被反向排序。这 意味着如果 $D_p$ 有行和列索引 $1, \ldots, m$ 和 $1, \ldots, n$, 分别是 $\left.D_p^{(} i, j\right)=D_p(n+1-j, m+1-i)$. 我 们称之为扭曲矩阵 $D_p$. 数字 $3.13$ 显示扭曲矩阵^ 矩阵的 $D$ 在图中 $3.12$ 其中行和列标有原始矩阵的索引。 以下命题保证我们可以计算持久性对 $D_P$ 从矩阵 D_p $^{\wedge}$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
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SQL代写各种数据建模与可视化代写

数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4314

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4314

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Stability of Persistence Diagrams

A persistence diagram $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$, as a set of points in the extended plane $\overline{\mathbb{R}}^2$, summarizes certain topological information of a simplicial complex (space) in relation to the function $f$ that induces the filtration $\mathcal{F}_f$. However, this is not useful in practice unless we can be certain that a slight change in $f$ does not change this diagram dramatically. In practice $f$ is seldom measured accurately, and if its persistence diagram can be approximated from a slightly perturbed version, it becomes useful. Fortunately, persistence diagrams are stable. To formulate this stability, we need a notion of distance between persistence diagrams.

Let $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$ and $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$ be two persistence diagrams for two functions $f$ and $g$. We want to consider bijections between points from $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$ and $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$. However, they may have different cardinality for off-diagonal points. Recall that persistence diagrams include the points on the diagonal $\Delta$ each with infinite multiplicity. This addition allows us to borrow points from the diagonal when necessary to define the bijections. Note that we are considering only filtrations of finite complexes which also make each homology group finite.

Definition 3.9. (Bottleneck distance) Let $\Pi=\left{\pi: \operatorname{Dgm}p\left(\mathcal{F}_f\right) \rightarrow\right.$ $\left.\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)\right}$ denote the set of all bijections. Consider the distance between two points $x=\left(x_1, x_2\right)$ and $y=\left(y_1, y_2\right)$ in $L{\infty}$-norm $|x-y|_{\infty}=$ $\max \left{\left|x_1-x_2\right|,\left|y_1-y_2\right|\right}$ with the assumption that $\infty-\infty=0$. The bottleneck distance between the two diagrams (see Figure $3.10$ ) is
$$
\mathrm{d}b\left(\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right), \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)\right)=\inf {\pi \in \Pi} \sup {x \in \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)}|x-\pi(x)|{\infty} .
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Computing Bottleneck Distances

Let $A$ and $B$ be the nondiagonal points in two persistence diagrams $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$ and $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$, respectively. For a point $a \in A$, let $\bar{a}$ denote the nearest point of $a$ on the diagonal. Define $\bar{b}$ for every point $b \in B$ similarly. Let $\bar{A}={\bar{a}}$ and $\bar{B}={\bar{b}}$. Let $\tilde{A}=A \cup \bar{B}$ and $\tilde{B}=B \cup \bar{A}$. We want to bijectively match points in $\tilde{A}$ and $\tilde{B}$. Let $\Pi={\pi}$ denote such a matching. It follows from the definition that
$$
\mathrm{d}b\left(\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right), \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)\right)=\min {\pi \in \Pi} \sup {a \in \tilde{A}, \pi(a) \in \tilde{B}}|a-\pi(a)|{\infty} .
$$
Then, the bottleneck distance we want to compute must be $L_{\infty}$ distance $\max \left{\left|x_a-x_b\right|,\left|y_a-y_b\right|\right}$ for two points $a \in \tilde{A}$ and $b \in \tilde{B}$. We do a binary search on all such possible $O\left(n^2\right)$ distances where $|\tilde{A}|=|\tilde{B}|=n$. Let $\delta_0, \delta_1, \ldots, \delta_{n^{\prime}}$ be the sorted sequence of these distances in a nondecreasing order.

Given a $\delta=\delta_i \geq 0$ where $i$ is the median of the index in the hinary search interval $[\ell, u]$, we construct a bipartite graph $G=(\tilde{A} \cup \tilde{B}, E)$ where an edge $e=(a, b){{a \in \tilde{A}, b \in \tilde{B}}}$ is in $E$ if and only if either both $a \in \bar{A}$ and $b \in \bar{B}$ (weight $(e)=0$ ) or $|a-b|{\infty} \leq \delta$ (weight $(e)=|a-b|_{\infty}$ ). A complete matching in $G$ is a set of $n$ edges so that every vertex in $\tilde{A}$ and $\tilde{B}$ is incident to exactly one edge in the set. To determine if $G$ has a complete matching, one can use an $O\left(n^{2.5}\right)$ algorithm of Hopcroft and Karp [198] for complete matching in a bipartite graph. However, exploiting the geometric embedding of the points in the persistence diagrams, we can apply an $O\left(n^{1.5}\right)$ time algorithm of Efrat et al. [154] for the purpose. If such an algorithm affirms that a complete matching exists, we do the following: If $\ell=u$ we output $\delta$, otherwise we set $u=i$ and repeat. If no matching exists, we set $\ell=i$ and repeat. Observe that matching has to exist for some value of $\delta$, in particular for $\delta_{n^{\prime}}$ and thus the binary search always succeeds. Algorithm 1: BoTTLENECK lays out the pseudocode for this matching. The algorithm runs in $O\left(n^{1.5} \log n\right)$ time accounting for the $O(\log n)$ probes for binary search each applying an $O\left(n^{1.5}\right)$ time matching algorithm. However, to achieve this complexity, we have to avoid sorting $n^{\prime}=O\left(n^2\right)$ values taking $O\left(n^2 \log n\right)$ time. Again, using the geometric embedding of the points, one can perform the binary probes without incurring the cost for sorting. For details and an efficient implementation of this algorithm, seee [209].

数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4314

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Stability of Persistence Diagrams

持久性图 $\operatorname{Dgm}p\left(\mathcal{F}_f\right)$ ,作为扩展平面中的一组点 $\overline{\mathbb{R}}^2$ ,总结了与函数相关的单纯复形 (空间) 的某些拓扑 信息 $f$ 诱导过滤 $\mathcal{F}_f$. 然而,这在实践中没有用,除非我们可以确定 $f$ 不会显着改变此图。在实践中 $f$ 很少 被准确测量,如果它的持久性图可以从一个轻微扰动的版本中近似出来,它就会变得有用。幸运的是, 持久性图是稳定的。为了表达这种稳定性,我们需要持久性图之间的距离概念。 让D $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$ 和 $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$ 是两个函数的两个持久性图 $f$ 和 $g$. 我们想考虑点之间的双射 $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)$ 和 $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$. 但是,对于非对角线点,它们可能具有不同的基数。回想一下持久性图包括对角线上的点 $\Delta$ 每个都有无限的多样性。这种添加允许我们在必要时从对角线上借用点来定义双射。请注意,我们只 考虑有限复形的过滤,这也使每个同调群都有限。 定义 3.9。 (瓶颈距离) 让 表示所有双射的集合。考虑两点之间的距离 $x=\left(x_1, x_2\right)$ 和 $y=\left(y_1, y_2\right)$ 在 $L \infty$-规范 $|x-y|{\infty}=$ $3.10)$ 是
$$
\mathrm{d} b\left(\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right), \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)\right)=\inf \pi \in \Pi \sup x \in \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right)|x-\pi(x)| \infty
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Computing Bottleneck Distances

让 $A$ 和 $B$ 是两个持久性图中的非对角点 $\mathrm{Dgm}p\left(\mathcal{F}_f\right)$ 和 $\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)$ ,分别。对于一点 $a \in A$ ,让 $\bar{a}$ 表示 最近的点 $a$ 在对角线上。定义 $\bar{b}$ 对于每一点 $b \in B$ 相似地。让 $\bar{A}=\bar{a}$ 和 $\bar{B}=\bar{b}$. 让 $\tilde{A}=A \cup \bar{B}$ 和 $$ \mathrm{d} b\left(\operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_f\right), \operatorname{Dgm}_p\left(\mathcal{F}_g\right)\right)=\min \pi \in \Pi \sup a \in \tilde{A}, \pi(a) \in \tilde{B}|a-\pi(a)| \infty . $$ $a \in \tilde{A}$ 和 $b \in \tilde{B}$. 我们对所有可能的情况进行二分查找 $O\left(n^2\right)$ 距离在哪里 $|\tilde{A}|=|\tilde{B}|=n$. 让 $\delta_0, \delta_1, \ldots, \delta{n^{\prime}}$ 是这些距离的非递减顺序的排序序列。
给定一个 $\delta=\delta_i \geq 0$ 在哪里 $i$ 是 hinary 搜索区间中索引的中位数 $[\ell, u]$ ,我们构造一个二分图 $G=(\tilde{A} \cup \tilde{B}, E$ ) 哪里有边 $e=(a, b) a \in \tilde{A}, b \in \tilde{B}$ 在 $E$ 当且仅当两者都有 $a \in \bar{A}$ 和 $b \in \bar{B}$ (重量
$(e)=0$ ) 要么 $|a-b| \infty \leq \delta$ (重量 $(e)=|a-b|{\infty}$ ). 一个完整的匹配 $G$ 是一组 $n$ 边使得每个顶点在 $\tilde{A}$ 和 $\tilde{B}$ 恰好与集合中的一条边相关。确定是否 $G$ 有一个完整的匹配,一个可以使用 $O\left(n^{2.5}\right)$ Hopcroft 和 Karp [198] 的算法用于二分图中的完全匹配。然而,利用持久性图中点的几何嵌入,我们可以应用 $O\left(n^{1.5}\right)$ Efrat 等人的时间算法。[154] 的目的。如果这样的算法确认存在完全匹配,我们将执行以下操 作: 如果 $\ell=u$ 我们输出 $\delta$ ,否则我们设置 $u=i$ 并重复。如果不存在匹配项,我们设置 $\ell=i$ 并重复。观 察到对于某些值必须存在匹配 $\delta$ ,特别是对于 $\delta{n^{\prime}}$ 因此二分查找总是成功的。算法 1: BOTTLENECK 列出 了此匹配的伪代码。该算法运行于 $O\left(n^{1.5} \log n\right)$ 时间占 $O(\log n)$ 用于二进制搜索的探针每个应用一个 $O\left(n^{1.5}\right)$ 时间匹配算法。然而,为了实现这种复杂性,我们必须避免排序 $n^{\prime}=O\left(n^2\right)$ 取值
$O\left(n^2 \log n\right)$ 时间。同样,使用点的几何嵌入,可以在不产生排序成本的情况下执行二元探测。有关此 算法的详细信息和有效实现,请参阅 [209]。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MTH4107

如果你也在 怎样代写表示论Representation theory这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

表示论是数学的一个分支,它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构,并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上,表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素,使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解,因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性,有时还能简化更抽象理论的计算。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写表示论Representation theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写表示论Representation theory代写方面经验极为丰富,各种代写表示论Representation theory相关的作业也就用不着说。

我们提供的表示论Representation theory及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MTH4107

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Persistence

In both cases of space and simplicial filtration $\mathcal{F}$, we arrive at a homology module:
$$
\mathrm{H}p \mathcal{F}: 0=\mathrm{H}_p\left(X_0\right) \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_1\right) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_i\right) \rightarrow \stackrel{h_p^{h_j}}{ } \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_j\right) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_n\right)=\mathrm{H}_p(X), $$ where $X_i=\mathbb{T}{a_i}$ if $\mathcal{F}$ is a space filtration of a topological space $X=\mathbb{T}$ or $X_i=K_i$ if $\mathcal{F}$ is a simplicial filtration of a simplicial complex $X=K$. Persistent homology groups for a homology module are algebraic structures capturing the survival of the homology classes through this sequence. In general, we will call homology modules persistence modules in Section $3.4$ recognizing that we can replace homology groups with vector spaces.

Definition 3.4. (Persistent Betti number) The $p$-th persistent homology groups are the images of the homomorphisms: $\mathrm{H}_p^{i, j}=\operatorname{im} h_p^{i, j}$, for $0 \leq i \leq$ $j \leq n$. The $p$-th persistent Betti numbers are the dimensions $\beta_p^{i, j}=\operatorname{dim} \mathrm{H}_p^{i, j}$ of the vector spaces $\mathrm{H}_p^{i, j}$.

The $p$-th persistent homology groups contain the important information of when a homology class is born or when it dies. The issue of birth and death of a class becomes more subtle because when a new class is born, many other classes that are the sum of this new class and any other existing class are also born. Similarly, when a class ceases to exist, many other classes may cease to exist along with it. Therefore, we need a mechanism to pair births and deaths canonically. Figure $3.7$ illustrates the birth and death of a class, though the pairing of birth and death events is more complicated as stated in Fact 3.3.
Observe that the nontrivial elements of $p$-th persistent homology groups $\mathrm{H}_p^{i, j}$ consist of classes that survive from $X_i$ to $X_j$, that is, the classes which do not get “quotiented out” by the boundaries in $X_j$. So, one can observe the following.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Persistence Diagram

Fact $3.3$ provides a qualitative characterization of the pairing of births and deaths of classes. Now we give a quantitative characterization which helps to draw a visual representation of this pairing called a persistence diagram; see Figure 3.8(a). Consider the extended plane $\overline{\mathbb{R}}^2:=(\mathbb{R} \cup{\pm \infty})^2$ on which we represent the birth at $a_i$ paired with the death at $a_j$ as a point $\left(a_i, a_j\right)$. This pairing uses a persistence pairing function $\mu_p^{i, j}$ defined below. Strictly positive values of this function correspond to multiplicities of points in the persistence diagram (Definition 3.8). In what follows, to account for classes that never die, we extend the induced module in Eq. (3.3) on the right end by assuming that $\mathrm{H}p\left(X{n+1}\right)=0$.
Definition 3.6. For $0<i<j \leq n+1$, define
$$
\mu_p^{i, j}=\left(\beta_p^{i, j-1}-\beta_p^{i, j}\right)-\left(\beta_p^{i-1, j-1}-\beta_p^{i-1, j}\right) .
$$
The first difference on the right-hand side counts the number of independent classes that are born at or before $X_i$ and die entering $X_j$. The second difference counts the number of independent classes that are born at or before $X_{i-1}$ and die entering $X_j$. The difference between the two differences thus counts the number of independent classes that are born at $X_i$ and die entering $X_j$. When $j-n+1, \mu_p^{i, n+1}$ counts the number of independent classes that are born at $X_i$ and die entering $X_{n+1}$. They remain alive till the end in the original filtration without extension, or we say that they never die. To emphasize that classes which exist in $X_n$ actually never die, we equate $n+1$ with $\infty$ and take $a_{n+1}=$ $a_{\infty}=\infty$. Observe that, with this assumption, we have $\beta^{i, n+1}=\beta^{i, \infty}=0$ for every $i \leq n$.

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表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Persistence

在空间和简单过滤的两种情况下 $\mathcal{F}$ ,我们得到一个同源模块:
$$
\mathrm{H} p \mathcal{F}: 0=\mathrm{H}_p\left(X_0\right) \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_1\right) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_i\right) \rightarrow h_p^{h_j} \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_j\right) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{H}_p\left(X_n\right)=\mathrm{H}_p
$$
在哪里 $X_i=\mathbb{T} a_i$ 如果 $\mathcal{F}$ 是拓扑空间的空间过滤 $X=\mathbb{T}$ 要么 $X_i=K_i$ 如果 $\mathcal{F}$ 是单纯复形的单纯过滤 $X=K$. 同源模块的持久同源群是通过该序列捕获同源类生存的代数结构。一般来说,我们会在Section 中调用同源模块persistence modules3.4认识到我们可以用向量空间代替同调群。
定义 3.4。 (持久的 Betti 号码) $p$-th 持久同源群是同态的图像: $\mathrm{H}_p^{i, j}=\operatorname{im} h_p^{i, j}$ ,为了 $0 \leq i \leq j \leq n$ . 这 $p$-th 持久的 Betti 数字是维度 $\beta_p^{i, j}=\operatorname{dim} \mathrm{H}_p^{i, j}$ 向量空间 $\mathrm{H}_p^{i, j}$.
这 $p$-th 持久同源群包含同源类何时诞生或何时消亡的重要信息。一个类的生雨问题变得更加微妙,因为 当一个新类诞生时,许多其他类也诞生了,这些类是这个新类和任何其他现有类的总和。同样,当一个 类不复存在时,许多其他类也可能随之不复存在。因此,我们需要一种机制来规范地配对出生和死亡。 数字3.7说明了一个类的出生和死亡,尽管如事实 $3.3$ 所述,出生和死亡事件的配对更为复杂。
观察到的非平凡元素 $p$-th 持久同源群 $\mathrm{H}_p^{i, j}$ 由从中幸存下来的类组成 $X_i$ 到 $X_j$ ,也就是说,没有被边界“商 出”的类 $X_j$. 因此,可以观察以下内容。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Persistence Diagram

事实3.3提供了阶级出生和死亡配对的定性特征。现在我们给出一个定量特征,这有助于绘制这种配对的 可视化表示,称为持久性图;见图 3.8(a)。考虑扩展平面 $\bar{R}^2:=(\mathbb{R} \cup \pm \infty)^2$ 我们代表出生于 $a_i$ 与死亡 配对 $a_j$ 作为一个点 $\left(a_i, a_j\right)$. 本次配对使用持久配对功能 $\mu_p^{i, j}$ 定义如下。此函数的严格正值对应于持久性 图中的多个点(定义 3.8) 。接下来,为了解释永不消亡的类,我们扩展了方程式中的诱导模块。(3.3) 在 右端假设 $\mathrm{H} p(X n+1)=0$.
定义 3.6。为了 $0<i<j \leq n+1$ ,定义
$$
\mu_p^{i, j}=\left(\beta_p^{i, j-1}-\beta_p^{i, j}\right)-\left(\beta_p^{i-1, j-1}-\beta_p^{i-1, j}\right) .
$$
右侧的第一个差值计算出生时或之前出生的独立班级的数量 $X_i$ 并死于进入 $X_j$. 第二个差异计算出生在或 之前的独立班级的数量 $X_{i-1}$ 并死于进入 $X_j$. 因此,这两个差异之间的差异计算了出生时独立阶级的数量 $X_i$ 并死于进入 $X_j$. 什么时候 $j-n+1, \mu_p^{i, n+1}$ 计算出生于的独立班级的数量 $X_i$ 并死于进入 $X_{n+1}$. 它们 在原始过滤中一直存活到最后,没有延伸,或者我们说它们永远不会死。强调存在于 $X_n$ 实际上永远不会 死,我们等同于 $n+1$ 和 $\infty$ 并釆取 $a_{n+1}=a_{\infty}=\infty$. 观察到,根据这个假设,我们有 $\beta^{i, n+1}=\beta^{i, \infty}=0$ 每一个 $i \leq n$.

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Some Algebras of Small Dimensions

One might like to know how many $K$-algebras there are of a given dimension, up to isomorphism. In general there might be far too many different algebras, but for small dimensions one can hope to get a complete overview. We fix a field $K$, and we consider $K$-algebras of dimension at most 2. For these, there are some restrictions.
Proposition 1.28. Let $K$ be a field.
(a) Every 1 -dimensional $K$-algebra is isomorphic to $K$.
(b) Every 2-dimensional $K$-algebra is commutative.
Proof. (a) Let $A$ be a 1-dimensional $K$-algebra. Then $A$ must contain the scalar multiples of the identity element, giving a subalgebra $U:=\left{\lambda 1_{A} \mid \lambda \in K\right} \subseteq A$. Then $U=A$, since $A$ is 1-dimensional. Moreover, according to axiom (Alg) from Definition $1.1$ the product in $U$ is given by $\left(\lambda 1_{A}\right)\left(\mu 1_{A}\right)=(\lambda \mu) 1_{A}$ and hence the map $A \rightarrow K, \lambda 1_{A} \mapsto \lambda$, is an isomorphism of $K$-algebras.

(b) Let $A$ be a 2-dimensional $K$-algebra. We can choose a basis which contains the identity element of $A$, say $\left{1_{A}, b\right}$ (use from linear algebra that every linearly independent subset can be exlended to a basis). The basis elements clearly commute; but then also any linear combinations of basis elements commute, and therefore $A$ is commutative.

We consider now algebras of dimension 2 over the real numbers $\mathbb{R}$. The aim is to classify these, up to isomorphism. The method will be to find suitable bases, leading to ‘canonical’ representatives of the isomorphism classes. It will turn out that there are precisely three $\mathbb{R}$-algebras of dimension 2, see Proposition $1.29$ below.

So we take a 2-dimensional $\mathbb{R}$-algebra $A$, and we choose a basis of $A$ containing the identity. say $\left{1_{A}, b\right}$, as in the above proof of Proposition $1.28$. Then $b^{2}$ must be a linear combination of the basis elements, so there are scalars $\gamma, \delta \in \mathbb{R}$ such that $b^{2}=\gamma 1_{A}+\delta b$. We consider the polynomial $X^{2}-\delta X-\gamma \in \mathbb{R}[X]$ and we complete squares,
$$
X^{2}-\delta X-\gamma=(X-\delta / 2)^{2}-\left(\gamma+(\delta / 2)^{2}\right)
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Definition and Examples

A vector space over a field $K$ is an abelian group $V$ together with a scalar multiplication $K \times V \rightarrow V$, satisfying the usual axioms. If one replaces the field $K$ by a ring $R$, then one gets the notion of an $R$-module. Although we mainly deal with algebras over fields in this book, we slightly broaden the perspective in this chapter by defining modules over rings. We always assume that rings contain an identity element.

Definition 2.1. Let $R$ be a ring with identity element $1_{R}$. A left $R$-module (or just $R$-module ) is an abelian group $(M,+)$ together with a map
$$
R \times M \rightarrow M, \quad(r, m) \mapsto r \cdot m
$$
such that for all $r, s \in R$ and all $m, n \in M$ we have
(i) $(r+s) \cdot m=r \cdot m+s \cdot m$;
(ii) $r \cdot(m+n)=r \cdot m+r \cdot n$;
(iii) $r \cdot(s \cdot m)=(r s) \cdot m$;
(iv) $1_{R} \cdot m=m$.

Exercise 2.1. Let $R$ be a ring (with zero element $0_{R}$ and identity element $1_{R}$ ) and $M$ an $R$-module with zero element $0_{M}$. Show that the following holds for all $r \in R$ and $m \in M$ :
(i) $0_{R} \cdot m=0_{M}$
(ii) $r \cdot 0_{M}=0_{M}$;
(ii) $-(r \cdot m)=(-r) \cdot m=r \cdot(-m)$, in particular $-m=\left(-1_{R}\right) \cdot m$.
Remark 2.2. Completely analogous to Definition $2.1$ one can define right $R$-modules, using a map $M \times R \rightarrow M,(m, r) \mapsto m \cdot r$. When the ring $R$ is not commutative the behaviour of left modules and of right modules can be different; for an illustration see Exercise $2.22$. We will consider only left modules, since we are mostly interested in the case when the ring is a $K$-algebra, and scalars are usually written to the left.

Before dealing with elementary properties of modules we consider a few examples.
Example 2.3.
(1) When $R=K$ is a field, then $R$-modules are exactly the same as $K$-vector spaces. Thus, modules are a true generalization of the concept of a vector space.
(2) Let $R=\mathbb{Z}$, the ring of integers. Then every abelian group can be viewed as a $\mathbb{Z}$-module: If $n \geq 1$ then $n \cdot a$ is set to be the sum of $n$ copies of $a$, and $(-n) \cdot a:=-(n \cdot a)$, and $0_{\mathbb{Z}} \cdot a=0$. With this, conditions (i) to (iv) in Definition $2.1$ hold in any abelian group.
(3) Let $R$ be a ring (with 1 ). Then every left ideal $I$ of $R$ is an $R$-module, with $R$-action given by ring multiplication. First, as a left ideal, $(I,+)$ is an abelian group. The properties (i)-(iv) hold even for arbitrary elements in $R$.
(4) A very important special case of $(3)$ is that every ring $R$ is an $R$-module, with action given by ring multiplication.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|MAST90017

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Some Algebras of Small Dimensions

可能想知道有多少 $K$-代数有一个给定的维度,直到同构。一般来说,可能有太多不同的代数,但对于小尺寸,人 们可以希望得到一个完整的概述。我们修复一个字段 $K$, 我们认为 $K$ – 维数最多为 2 的代数。对于这些,有一些限 制。
提案 $1.28$ 。让 $K$ 成为一个领域。
(a) 每一维 $K$-代数同构于 $K$.
(b) 每个二维 $K$-代数是可交换的。
证明。(a) 让 $A$ 是一维的 $K$-代数。然后 $A$ 必须包含单位元素的标量倍数,给出一个子代数
$\mathrm{~ U : = I l e f t { l l a m b d a ~ 1 _ { A } ~ \ m i d ~ \ l a m b d a ~ \ i n ~ K}$ 公理 (Alg) 1.1产品在 $U$ 是 (谁) 给的 $\left(\lambda 1_{A}\right)\left(\mu 1_{A}\right)=(\lambda \mu) 1_{A}$ 因此地图 $A \rightarrow K, \lambda 1_{A} \mapsto \lambda$ ,是一个同构 $K$-代 数。
(b) 让 $A$ 是二维的 $K$-代数。我们可以选择一个包含恒等元素的基 $A$ ,说】left{1_{A}, b\right } (使用线性代数,每个 线性独立的子集都可以扩展为一个基)。基本元素明显通勤;但随后基元素的任何线性组合也可以通勤,因此 $A$ 是 可交换的。
我们现在考虑实数上的 2 维代数 $\mathbb{R}$. 目的是将这些分类,直至同构。该方法将是找到合适的基,从而导致同构类的 $\mathrm{~ ” 规 范 ” 代 表 。 事 实 证 明 , 恰 好 有 三 个}$
所以我们取一个二维 $\mathbb{R}$-代数 $A$, 我们选择一个基 $A$ 包含身份。说 \left{1_{A}, bIright $}$, 如上述命题证明 $1.28$. 然后 $b^{2}$ 必 须是基元素的线性组合,所以有标量 $\gamma, \delta \in \mathbb{R}$ 这样 $b^{2}=\gamma 1_{A}+\delta b$. 我们考虑多项式 $X^{2}-\delta X-\gamma \in \mathbb{R}[X]$ 我 们完成正方形,
$$
X^{2}-\delta X-\gamma=(X-\delta / 2)^{2}-\left(\gamma+(\delta / 2)^{2}\right)
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Definition and Examples

场上的向量空间 $K$ 是一个阿贝尔群 $V$ 连同一个标量乘法 $K \times V \rightarrow V$ ,满足通常的公理。如果葛换字段 $K$ 用戒指 $R$ ,然 后人们得到一个概念 $R$-模块。虽然我们在本书中主要处理域上的代数,但我们通过定义环上的模块稍微拓宽了本章的视 野。我们总是假设环包含一个恒等元表。
定义 2.1。让 $R$ 是一个有身份元表的戒指 $1_{R}$.一个左 $R$-module (或只是 $R$-module) 是一个阿贝尔群 $(M,+)$ 连同一张 地图
$$
R \times M \rightarrow M, \quad(r, m) \mapsto r \cdot m
$$
这样对于所有人 $r, s \in R$ 和所有 $m, n \in M$ 我们有
(-) $(r+s) \cdot m=r \cdot m+s \cdot m$;
(二) $r \cdot(m+n)=r \cdot m+r \cdot n$;
$(\xi) r \cdot(s \cdot m)=(r s) \cdot m$
(四) $1_{R} \cdot m=m$.
练习 2.1。让 $R$ 是一个环 $\left(\right.$ 零元素 $0_{R}$ 和身份元螦 $\left.1_{R}\right)$ 和 $M 一 个 R$ – 零元素模块 $0_{M}$. 证明以下对所有人都成立 $r \in R$ 和 $m \in M$ : (
一) $0_{R} \cdot m=0_{M}$
(二) $r \cdot 0_{M}=0_{M}$;
(二) $-(r \cdot m)=(-r) \cdot m=r \cdot(-m)$ ,尤其是 $-m=\left(-1_{R}\right) \cdot m$.
备注 2.2。完全类似于定义 $2.1$ 可以定义正确 $R$-modules,使用地图 $M \times R \rightarrow M,(m, r) \mapsto m \cdot r$. 当戒指 $R$ 不是可 交换的,左模块和右模块的行为可以不同;有关揷图,清参阅练习2.22. 我们将只考虑左模块,因为我们最感兴趣的是环 是 $K$-代数,标量通常写在左边。
在处理模块的基本属性之前,我们考虑几个例子。
例 2.3。
(1) 当 $R=K$ 是一个场,那么 $R$-modules 与 $K$-向量空间。因此,模块是向量空间概念的真正概括。
(2) 让 $R=\mathbb{Z}$, 整数环。那么每个阿贝尔群都可以看成一个 $\mathbb{Z}$-模块: 如果 $n \geq 1$ 然后 $n \cdot a$ 被设置为总和 $n$ 的副本 $a$ ,和 $(-n) \cdot a:=-(n \cdot a)$ ,和 $0_{\mathbb{Z}} \cdot a=0$. 这样,定义中的条件 (i) 至 (iv) $2.1$ 在任何阿贝尔群中成立。
(3) 让 $R$ 是一个环(芇有 1) 。那么每一个左理想 $I$ 的 $R$ 是一个 $R$-模块,与 $R$-由环乘法给出的动作。首先,作为左派理 想, $(I,+)$ 是一个阿贝尔群。属性 (i)-(iv) 甚至适用于 $R$.
(4) 一个非常重要的特例 $(3)$ 是每一个环 $R$ 是一个 $R$-模块,通过环乘法给出动作。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4314

如果你也在 怎样代写表示论Representation theory这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

表示论是数学的一个分支,它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构,并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上,表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素,使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解,因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性,有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4314

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Group Algebras

Let $G$ be a group and $K$ a field. We define a vector space over $K$ which has basis the set ${g \mid g \in G}$, and we call this vector space $K G$. This space becomes a $K$-algebra if one defines the product on the basis by taking the group multiplication, and extends it to linear combinations. We call this algebra $K G$ the group algebra.
Thus an arbitrary element of $K G$ is a finite linear combination of the form $\sum_{g \in G} \alpha_{g} g$ with $\alpha_{g} \in K$. We can write down a formula for the product of two elements, following the recipe in Remark 1.4. Let $\alpha=\sum_{g \in G} \alpha_{g} g$ and $\beta=\sum_{h \in G} \beta_{h} h$ be two elements in $K G$; then their product has the form
$$
\alpha \beta=\sum_{x \in G}\left(\sum_{g h=x} \alpha_{g} \beta_{h}\right) x
$$
Since the multiplication in the group is associative, it follows that the multiplication in $K G$ is associative. Furthermore, one checks that the multiplication in $K G$ is distributive. The identity element of the group algebra $K G$ is given by the identity element of $G$.

Note that the group algebra $K G$ is finite-dimensional if and only if the group $G$ is finite, in which case the dimension of $K G$ is equal to the order of the group $G$. The group algebra $K G$ is commutative if and only if the group $G$ is abelian.

Example 1.10. Let $G$ be the cyclic group of order 3 , generated by $y$, so that $G=\left{1_{G}, y, y^{2}\right}$ and $y^{3}=1_{G}$. Then we have
$$
\left(a_{0} 1_{G}+a_{1} y+a_{2} y^{2}\right)\left(b_{0} 1_{G}+b_{1} y+b_{2} y^{2}\right)=c_{0} 1_{G}+c_{1} y+c_{2} y^{2},
$$
with
$$
c_{0}=a_{0} b_{0}+a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}, c_{1}=a_{0} b_{1}+a_{1} b_{0}+a_{2} b_{2}, c_{2}=a_{0} b_{2}+a_{1} b_{1}+a_{2} b_{0}
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Path Algebras of Quivers

Path algebras of quivers are a class of algebras with an easy multiplication formula, and they are extremely useful for calculating examples. They also have connections to other parts of mathematics. The underlying basis of a path algebra is the set of paths in a finite directed graph. It is customary in representation theory to call such a graph a quiver. We assume throughout that a quiver has finitely many vertices and finitely many arrows.

Definition 1.11. A quiver $Q$ is a finite directed graph. We sometimes write $Q=\left(Q_{0}, Q_{1}\right)$, where $Q_{0}$ is the set of vertices and $Q_{1}$ is the set of arrows.

We assume that $Q_{0}$ and $Q_{1}$ are finite sets. For any arrow $\alpha \in Q_{1}$ we denote by $s(\alpha) \in Q_{0}$ its starting point and by $t(\alpha) \in Q_{0}$ its end point.

A non-trivial path in $Q$ is a sequence $p=\alpha_{r} \ldots \alpha_{2} \alpha_{1}$ of arrows $\alpha_{i} \in Q_{1}$ such that $t\left(\alpha_{i}\right)=s\left(\alpha_{i+1}\right)$ for all $i=1, \ldots, r-1$. Note that our convention is to read paths from right to left. The number $r$ of arrows is called the length of $p$, and we denote by $s(p)=s\left(\alpha_{1}\right)$ the starting point, and by $t(p)=t\left(\alpha_{r}\right)$ the end point of $p$.
For each vertex $i \in Q_{0}$ we also need to have a trivial path of length 0 , which we call $e_{i}$, and we set $s\left(e_{i}\right)=i=t\left(e_{i}\right)$.

We call a path $p$ in $Q$ an oriented cycle if $p$ has positive length and $s(p)=t(p)$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4314

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Group Algebras

让 $G$ 成为一个群体并且 $K$ 一个领域。我们定义一个向量空间 $K$ 有基础的集合 $g \mid g \in G$ ,我们称这个向量空间 $K G$. 这个空间变成了 $K$-代数,如果一个人通过群乘来定义乘积,并将其扩展到线性组合。我们称这个代数 $K G$ 群代 数。
因此,任意元素 $K G$ 是形式的有限线性组合 $\sum_{g \in G} \alpha_{g} g$ 和 $\alpha_{g} \in K$. 我们可以按照备注 $1.4$ 中的配方写出两个元素 的乘积公式。让 $\alpha=\sum_{g \in G} \alpha_{g} g$ 和 $\beta=\sum_{h \in G} \beta_{h} h$ 是两个元素 $K G$; 然后他们的产品有形式
$$
\alpha \beta=\sum_{x \in G}\left(\sum_{g h=x} \alpha_{g} \beta_{h}\right) x
$$
由于群中的乘法是结合的,因此群中的乘法 $K G$ 是关联的。此外,一个检查的乘法 $K G$ 是分布式的。群代数的单位 元 $K G$ 由标识元素给出 $G$.
注意群代数 $K G$ 是有限维的当且仅当群 $G$ 是有限的,在这种情况下,维度 $K G$ 等于组的阶 $G$. 群代数 $K G$ 当且仅当 群是可交换的 $G$ 是阿贝尔。
$$
\left(a_{0} 1_{G}+a_{1} y+a_{2} y^{2}\right)\left(b_{0} 1_{G}+b_{1} y+b_{2} y^{2}\right)=c_{0} 1_{G}+c_{1} y+c_{2} y^{2},
$$

$$
c_{0}=a_{0} b_{0}+a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}, c_{1}=a_{0} b_{1}+a_{1} b_{0}+a_{2} b_{2}, c_{2}=a_{0} b_{2}+a_{1} b_{1}+a_{2} b_{0}
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Path Algebras of Quivers

箭袋的路径代数是一类具有简单乘法公式的代数,它们对于计算示例非常有用。它们还与数学的其他部分有联系。 路径代数的基础是有限有向图中的路径集。在表示论中习恀称这样的图为箭袋。我们自始至终假设一个箭袋有有限 个顶点和有限个箭头。
定义 1.11。一个箭筒 $Q$ 是有限有向图。我们有时会写 $Q=\left(Q_{0}, Q_{1}\right)$ ,在哪里 $Q_{0}$ 是顶点的集合,并且 $Q_{1}$ 是箭头 的集合。
我们假设 $Q_{0}$ 和 $Q_{1}$ 是有限集。对于任何箭头 $\alpha \in Q_{1}$ 我们表示 $s(\alpha) \in Q_{0}$ 它的起点和 $t(\alpha) \in Q_{0}$ 它的终点。
一条不平凡的路径 $Q$ 是一个序列 $p=\alpha_{r} \ldots \alpha_{2} \alpha_{1}$ 箭头 $\alpha_{i} \in Q_{1}$ 这样 $t\left(\alpha_{i}\right)=s\left(\alpha_{i+1}\right)$ 对所有人 $i=1, \ldots, r-1$. 请注意,我们的约定是从右到左读取路径。号码 $r$ 箭头的长度称为 $p$ ,我们表示为 $s(p)=s\left(\alpha_{1}\right)$ 起点,并由 $t(p)=t\left(\alpha_{r}\right)$ 的终点 $p$.
对于每个顶点 $i \in Q_{0}$ 我们还需要一个长度为 0 的平凡路径,我们称之为 $e_{i}$ ,我们设 $s\left(e_{i}\right)=i=t\left(e_{i}\right)$.
我们称之为路径 $p$ 在 $Q$ 一个定向循环如果 $p$ 具有正长度和 $s(p)=t(p)$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MTH4107

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表示论是数学的一个分支,它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构,并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上,表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素,使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解,因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性,有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Definition and Examples

We start by recalling the definition of a ring: A ring is a non-empty set $R$ together with an addition $+: R \times R \rightarrow R,(r, s) \mapsto r+s$ and a multiplication $:: R \times R \rightarrow R$, $(r, s) \mapsto r \cdot s$ such that the following axioms are satisfied for all $r, s, t \in R$ :
(R1) (Associativity of $+) r+(s+t)=(r+s)+t$.
(R2) (Zero element) There exists an element $0_{R} \in R$ such that $r+0_{R}=r=0_{R}+r$.
(R3) (Additive inverses) For every $r \in R$ there is an element $-r \in R$ such that $r+(-r)=0_{R}$
(R4) (Commutativity of $+) r+s=s+r$.
(R5) (Distributivity) $r \cdot(s+t)=r \cdot s+r \cdot t$ and $(r+s) \cdot t=r \cdot t+s \cdot t$.
(R6) (Associativity of $\cdot) r \cdot(s \cdot t)=(r \cdot s) \cdot t$.
(R7) (Identity element) There is an element $1_{R} \in R \backslash{0}$ such that $1_{R} \cdot r=r=r \cdot 1_{R}$
Moreover, a ring $R$ is called commutative if $r \cdot s=s \cdot r$ for all $r, s \in R$.
As usual, the multiplication in a ring is often just written as $r s$ instead of $r \cdot s$; we will follow this convention from now on.

Note that axioms ( $\mathrm{R} 1)-(\mathrm{R} 4)$ say that $(R,+)$ is an abelian group. We assume by Axiom (R7) that all rings have an identity element; usually we will just write 1 for $1_{R}$. Axiom (R7) also implies that $1_{R}$ is not the zero element. In particular, a ring has at least two elements.
We list some common examples of rings.
(1) The integers $\mathbb{Z}$ form a ring. Every field is also a ring, such as the rational numbers $\mathbb{Q}$, the real numbers $\mathbb{R}$, the complex numbers $\mathbb{C}$, or the residue classes $\mathbb{Z}{p}$ of integers modulo $p$ where $p$ is a prime number. (2) The $n \times n$-matrices $M{n}(K)$, with entries in a field $K$, form a ring with respect to matrix addition and matrix multiplication.
(3) The ring $K[X]$ of polynomials over a field $K$ where $X$ is a variable. Similarly, the ring of polynomials in two or more variables, such as $K[X, Y]$.

Examples (2) and (3) are not just rings but also vector spaces. There are many more rings which are vector spaces, and this has led to the definition of an algebra.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Division Algebras

A commutative ring is a field precisely when every non-zero element has an inverse with respect to multiplication. More generally, there are algebras in which every non-zero element has an inverse, and they need not be commutative.

Definition 1.7. An algebra $A$ (over a field $K$ ) is called a division algebra if every non-zero element $a \in A$ is invertible, that is, there exists an element $b \in A$ such that $a b=1_{A}=b a$. If so, we write $b=a^{-1}$. Note that if $A$ is finite-dimensional and $a b=1_{A}$ then it follows that $b a=1_{A}$; see Exercise $1.8$.

Division algebras occur naturally, we will see this later. Clearly, every field is a division algebra. There is a famous example of a division algebra which is not a field, this was discovered by Hamilton.

Example 1.8. The algebra $\mathbb{H}$ of quaternions is the 4-dimensional algebra over $\mathbb{R}$ with basis elements $1, i, j, k$ and with multiplication defined by
$$
i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1
$$
and
$$
i j=k, j i=-k, j k=i, k j=-i, k i=j, i k=-j
$$
and extending to linear combinations. That is, an arbitrary element of $\mathbb{H}$ has the form $a+b i+c j+d k$ with $a, b, c, d \in \mathbb{R}$, and the product of two elements in $\mathbb{H}$ is given by
$$
\begin{aligned}
&\left(a_{1}+b_{1} i+c_{1} j+d_{1} k\right) \cdot\left(a_{2}+b_{2} i+c_{2} j+d_{2} k\right)= \
&\left(a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2}-c_{1} c_{2}-d_{1} d_{2}\right)+\left(a_{1} b_{2}+b_{1} a_{2}+c_{1} d_{2}-d_{1} c_{2}\right) i \
&+\left(a_{1} c_{2}-b_{1} d_{2}+c_{1} a_{2}+d_{1} b_{2}\right) j+\left(a_{1} d_{2}+b_{1} c_{2}-c_{1} b_{2}+d_{1} a_{2}\right) k
\end{aligned}
$$
It might be useful to check this formula, see Exercise $1.11$.
One can check directly that the multiplication in $\mathrm{H}$ is associative, and that it satisfies the distributive law. But this will follow more easily later from a different construction of $\mathbb{H}$, see Example $1.27$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|MTH4107

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Definition and Examples

我们首先回顾一下环的定义:环是一个非空集 $R$ 再加上一个+ : $R \times R \rightarrow R,(r, s) \mapsto r+s$ 和一个乘法 $:: R \times R \rightarrow R,(r, s) \mapsto r \cdot s$ 使得以下公理满足所有 $r, s, t \in R$ :
(R1) (结合性 $+) r+(s+t)=(r+s)+t$.
(R2) (零元素) 存在一个元素 $0_{R} \in R$ 这样 $r+0_{R}=r=0_{R}+r$.
(R3) (加法逆) 对于每个 $r \in R$ 有一个元素 $-r \in R$ 这样 $r+(-r)=0_{R}$
(R4) (交换律 $+) r+s=s+r$.
(R5) (分配性) $r \cdot(s+t)=r \cdot s+r \cdot t$ 和 $(r+s) \cdot t=r \cdot t+s \cdot t$.
(R6) (结合性.) $r \cdot(s \cdot t)=(r \cdot s) \cdot t$.
(R7) (标识元素) 有一个元素 $1_{R} \in R \backslash 0$ 这样 $1_{R} \cdot r=r=r \cdot 1_{R}$
此外,一个戒指 $R$ 被称为可交换如果 $r \cdot s=s \cdot r$ 对所有人 $r, s \in R$.
像往常一样,环中的乘法通常只写成 $r s$ 代替 $r \cdot s$; 从现在开始,我们将遵循这个约定。
请注意,公理 (R1) – (R4)比如说 $(R,+)$ 是一个阿贝尔群。我们通过 Axiom (R7) 假设所有环都有一个单位元 素;通常我们只写 1 为 $1_{R}$. 公理 (R7) 还暗示 $1_{R}$ 不是零元素。特别是,一个环至少有两个元素。
我们列出了一些常见的环示例。
(1) 整数 $\mathbb{Z}$ 形成一个环。每个域也是一个环,比如有理数 $\mathbb{Q}$ ,实数 $\mathbb{R}$ ,复数 $\mathbb{C}$ ,或剩余类 $\mathbb{Z} p$ 整数模 $p$ 在哪里 $p$ 是一个素 数。(2) $n \times n$-矩阵 $M n(K)$ ,在字段中包含条目 $K$ ,关于矩阵加法和矩阵乘法形成一个环。
(3) 戒指 $K[X]$ 域上的多项式 $K$ 在哪里 $X$ 是一个变量。类似地,两个或多个变量中的多项式环,例如 $K[X, Y]$.
示例 (2) 和 (3) 不仅是环,而且是向量空间。还有更多的环是向量空间,这导致了代数的定义。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Division Algebras

当每个非零元素都具有乘法的逆时,交换环就是一个域。更一般地说,有些代数中每个非零元素都有一个逆元,它 们不需要是可交换的。
定义 1.7。代数 $A$ (在一个领域 $K$ ) 称为除法代数,如果每个非零元素 $a \in A$ 是可逆的,即存在一个元素 $b \in A$ 这 样 $a b=1_{A}=b a$. 如果是这样,我们写 $b=a^{-1}$. 请注意,如果 $A$ 是有限维的并且 $a b=1_{A}$ 然后它遵偱 $b a=1_{A}$ ; 见练习1.8.
除法代数自然发生,我们稍后会看到。显然,每个领域都是一个除法代数。有一个不是域的除法代数的著名例子, 这是由汉密尔顿发现的。
例 1.8。代数 $\mathbb{H}$ 四元数的 4 维代数 $\mathbb{R}$ 有基础元素 $1, i, j, k$ 乘法定义为
$$
i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1
$$

$$
i j=k, j i=-k, j k=i, k j=-i, k i=j, i k=-j
$$
并扩展到线性组合。也就是说,任意元素即有形式 $a+b i+c j+d k$ 和 $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ ,和两个元素的乘积 $\mathbb{H}$ 是 (谁) 给的
$$
\left(a_{1}+b_{1} i+c_{1} j+d_{1} k\right) \cdot\left(a_{2}+b_{2} i+c_{2} j+d_{2} k\right)=\quad\left(a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2}-c_{1} c_{2}-d_{1} d_{2}\right)+\left(a_{1} b_{2}+b_{1} a_{2}\right.
$$
检查此公式可能很有用,请参阅练习1.11.
可以直接检查中的乘法 $\mathrm{H}$ 是结合的,并且它满足分配律。但这将在稍后从不同的构造中更容易地得出 $\mathbb{H}$, 见例子 $1.27$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATHS735

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表示论是数学的一个分支,它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构,并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上,表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素,使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解,因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性,有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATHS735

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Intertwining Operators of the Restriction

We return to the setting of a simply connected nilpotent Lie group $G=\exp g$ and a closed connected subgroup $H=\exp \mathrm{h}$. Given an irreducible unitary representation $\pi$ of $G$, we present an explicit disintegration of the restriction $\pi_{\mid H}$ of $\pi$ to $H$, which is based on a precise description of the space of double cosets $H \backslash G / B$, where $B$ is any closed connected subgroup of $G$, and the well-known smooth disintegration of monomial representations of nilpotent Lie groups. The aim is still to write down a smooth intertwining operator for the decomposition of $\pi_{\mid H}$ into irreducibles. As an application we produce a concrete disintegration of tensor products of irreducible representations of $G$ and a criterium for the irreducibility of these representations.
One should first study the general problem of describing a concrete disintegration of the restriction of an irreducible unitary representation of $G$ to a closed connected subgroup $H=\exp$ b. Since by Kirillov’s theory every $\pi \in \hat{G}$ is of the form $\pi=\pi_{l, \mathfrak{b}}=$ ind $_{B}^{G} \chi_{l}$, where $l \in \mathrm{g}^{}$ and $\mathfrak{b} \subset \mathfrak{g}$ is a polarization at $l$, it is known from Mackey [124] that the restriction of $\pi$ to $H$ disintegrates over the set of double cosets $H \backslash G / B$ and that the integrands are of the form ind ${ }{B(x)}^{H} \chi{I(x)}$, where $B(x)=H \cap \psi(x) B \psi(x)^{-1}, x \in H \backslash G / B$ and $l(x)=\operatorname{Ad}^{}(\psi(x)) l_{\mid \mathfrak{h}}$, $x \in H \backslash G / B$ and $\psi: H \backslash G / B \rightarrow G$ is a section for the double cosets. The idea is to describe an open dense subset of $H \backslash G / B$ and a section $\psi$ which give us an explicit description of $\pi_{\mid H}$ in term of an integral over $H \backslash G / B$ of the representations ind ${ }{B(x)}^{H} \chi{l(x)}$ (see Proposition 3.5.27). The results concerning the explicit disintegration of monomial representations are used to obtain a concrete disintegration of the restriction. This is somehow needed to get an “abstract” disintegration of the restriction into irreducibles to connected closed subgroups of simply connected nilpotent Lie groups. ‘Abstract’ here means that the measure class in $\hat{G}$ for the disintegration of the restriction and the multiplicities of the irreducibles appearing in the disintegration are given. These constructions will be applied to the disintegration of the tensor product of two irreducible representations $\pi$ and $\pi^{\prime}$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Double-Coset Space

Let $\mathfrak{g}$ be a nilpotent Lie algebra, $\mathfrak{b}$ any subalgebra, $B \subset G$ their simply connected Lie groups. Recall that the exponential mapping exp : $\mathfrak{g} \rightarrow G$ is a diffeomorphism. Given a sequence of ideals
$$
\mathfrak{g}{n+1}:={0} \varsubsetneqq \ldots \varsubsetneqq \mathfrak{g}{i} \varsubsetneqq \ldots \varsubsetneqq \mathfrak{g}{1}=\mathfrak{g}, \operatorname{dim}\left(\mathfrak{g}{i} / \mathfrak{g}_{i+1}\right)=1,
$$ denote for every $i=1, \ldots, n, G_{i}:=\exp \mathfrak{g}{i}$ and choose a vector $Z{i} \in \mathfrak{g}{i} \backslash \mathfrak{g}{i+1}$, so that $\mathfrak{g}{i}=\mathbb{R}$-span $\left(Z{i}, \ldots, Z_{n}\right)$. One obtains in this way a Jordan-Hölder basis $\mathscr{Z}:=\left(Z_{1}, \ldots, Z_{n}\right)$ of $\mathfrak{g}$. To simplify the notations, let
$$
V_{1} \cdot V_{2} \cdots V_{k}:=\exp \left(V_{1}\right) \cdot \exp \left(V_{2}\right) \cdots \exp \left(V_{k}\right) \in G
$$
for given vectors $V_{1}, \ldots, V_{k} \in \mathfrak{g}$. Denote as before $d g$ the Haar measure on $G$. Using the basis $\mathscr{Z}$, one can express $d g$ in the following way.
$$
\int_{G} f(g) d g=\int_{\mathbb{R}^{n}} f\left(z_{1} Z_{1} \cdots z_{n} Z_{n}\right) d z,\left(f \in L^{1}(G)\right) .
$$
Since $G$ is nilpotent, the quotient space $G / B$ has a $G$-invariant measure which is unique up to a positive scalar multiple. This measure (denoted by $d \dot{g}$ ) is described in Chap. 1, Sect. 1.2.2. Let us recall such construction. Let
$$
\mathscr{I}^{8 / b}=\left{k \in{1, \ldots, n}, Z_{k} \notin \mathfrak{b}+\mathfrak{g}{k+1}\right}=:\left{k{1}<\ldots<k_{p}\right} .
$$
One obtains the sequence of subalgebras
$$
\mathfrak{b}^{p+1}:=\mathfrak{b} \varsubsetneqq \ldots \varsubsetneqq \mathfrak{b}^{j}:=\mathbb{R} Z_{k_{j}} \oplus \mathfrak{b}^{j-1} \varsubsetneqq \ldots \ldots \mathfrak{b}^{1}=\mathfrak{g}
$$
and the Malcev basis $\mathscr{M}:=\left(Z_{k_{1}}, \ldots, Z_{k_{p}}\right)$ of $\mathfrak{g}$ relative to $\mathfrak{b}$. The invariant measure $d \dot{g}$ is then given for $\varphi \in \mathscr{C}{c}(G / B)$ by: $$ \mu{\mathcal{M}}(\varphi)=\mu_{\mathrm{g} / \mathrm{b}}(\varphi)=\int_{G / B} \varphi(\dot{g}) d \dot{g}:=\int_{\mathbb{R}^{p}} \varphi\left(w_{1} Z_{k_{1}} \cdots w_{p} Z_{k_{p}} \cdot B\right) d w
$$
where $\mathscr{C}{c}(G / B)$ denotes the space of complex-valued continuous functions with compact support on $G / B$. This is a consequence of the fact that the mapping $$ \begin{aligned} E{\mathscr{M}}^{}: \mathbb{R}^{p} & \longrightarrow \ w=\left(w_{1}, \ldots, w_{p}\right) & \longmapsto w_{1} Z_{k_{1}} \cdots w_{p} Z_{k_{p}} \cdot B=: E_{\mathscr{A}}^{}(w)
\end{aligned}
$$
is a diffeomorphism. If $\mathfrak{h}$ is another subalgebra of $\mathfrak{g}$, then denote by $\mathbb{I}^{\mathfrak{h}} \subset{1, \ldots, n}$ the index set
$$
\mathbb{I}^{\mathfrak{h}}:=\left{i \in{1, \ldots, n} ; \mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i+1}=\mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i}\right}={1, \ldots, n} \backslash \mathbb{I}^{\mathfrak{g} / \mathfrak{h}}
$$
One can then assume that the vectors $Z_{i}, i \in \mathbb{I}^{\mathfrak{h}}$, lie in $\mathfrak{h}$ so that $\mathfrak{h}=\mathbb{R}$-span $\left{Z_{i}, i \in\right.$ $\left.\mathbb{I}^{\mathrm{h}}\right}$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Set of Double Cosets

For $g \in G$, denote by $\bar{g}$ its double coset $H \cdot g \cdot B={h g b,(h, b) \in H \times B}$. The aim is to find an open dense subset of $H \backslash G / B$ which will support the measure $d \gamma(\bar{g})$ and which is diffeomorphic to a Zariski open subset of $\mathbb{R}^{d}$ for some $d \in \mathbb{N}^{*}$. The following example illustrates this fact:

Example 3.5.1 Let $\mathfrak{g}$ be the 7-dimensional Lie algebra spanned by the JordanHölder basis $\mathscr{Z}=\left(Z_{1}, \ldots, Z_{7}\right)$, equipped with the brackets
$$
\left[Z_{1}, Z_{4}\right]=Z_{6}, \quad\left[Z_{1}, Z_{5}\right]=Z_{7}, \quad\left[Z_{2}, Z_{3}\right]=Z_{7}
$$
Consider its Abelian subalgebras $h=\mathbb{R}-\operatorname{span}\left(Z_{4}, Z_{5}, Z_{7}\right)$ and $\mathfrak{b}=\mathbb{R}-\operatorname{span}\left(Z_{3}, Z_{4}\right.$, $Z_{7}$. Since many products commute, the element $g=: z_{1} Z_{1} \cdots z_{7} Z_{7} \in G$, $\left(z_{1}, \ldots, z_{7}\right) \in \mathbb{R}^{7}$, can be described in the following way:
$$
\begin{aligned}
g &=\left(z_{1} Z_{1} \cdot z_{5} Z_{5}\right) \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot\left(z_{3} Z_{3} \cdot z_{4} Z_{4} \cdot z_{7} Z_{7}\right) \
&=\left(z_{1} z_{5} Z_{7} \cdot z_{5} Z_{5} \cdot z_{1} Z_{1}\right) \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot\left(z_{3} Z_{3} \cdot z_{4} Z_{4} \cdot z_{7} Z_{7}\right) \
& \in H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot B
\end{aligned}
$$
This implies that $\bar{g}=H \cdot g \cdot B=H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot B$. On the other hand if $z_{1} \neq 0$, the element $z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6}$ can also be written as $z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2}$ conjugated by $\exp \left(-\frac{26}{z_{1}}\right) Z_{4}$, which is contained in $H \cap B$. Hence if $z 1 \neq 0$, then $\bar{g}=H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot B$. As a conclusion,
$H \backslash G / B=\left{H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot B,\left(z_{1}, z_{2}\right) \in \mathscr{V}\right} \dot{\cup}\left{H \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot B,\left(z_{2}, z_{6}\right) \in \mathbb{R}^{2}\right}$
$=\quad \mathbf{p}\left(G \backslash G_{2}\right) \quad \dot{u} \quad \mathbf{p}\left(G_{2}\right)$
where $\mathbf{p}: g \longmapsto \tilde{g}$, is the canonical projection of $G$ on $H \backslash G / B$, and $\mathscr{V}:=$ $\mathbb{R}^{\star} \times \mathbb{R}$. Hence the space $H \backslash G / B$ is the disjoint union of two subsets, the first is the projection of a Zariski open subset of $G$ and the second of a Zariski closed subset. The measure $d \gamma(\bar{g})$ is shown to be supported on the first set.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATHS735

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Intertwining Operators of the Restriction

我们回到单连通幂零李群的设置G=经验⁡G和一个封闭的连通子群H=经验⁡H. 给定一个不可约的酉表示圆周率的G,我们提出了限制的明确解体圆周率∣H的圆周率至H,它基于对双陪集空间的精确描述H∖G/乙, 在哪里乙是任何闭合连通子群G,以及众所周知的幂等李群的单项式表示的平滑分解。目的仍然是写出一个平滑的交织算子来分解圆周率∣H变成不可约数。作为一个应用程序,我们产生了不可约表示的张量积的具体分解G以及这些表示的不可约性的标准。
应该首先研究描述一个不可约的单一表示的限制的具体解体的一般问题G到一个封闭的连通子群H=经验湾。由于基里洛夫的理论圆周率∈G^是形式圆周率=圆周率l,b=工业乙Gχl, 在哪里l∈G和b⊂G是极化在l,从 Mackey [124] 可知,限制圆周率至H在双陪集集上解体H∖G/乙并且被积函数的形式为 ind乙(X)Hχ我(X), 在哪里乙(X)=H∩ψ(X)乙ψ(X)−1,X∈H∖G/乙和l(X)=广告⁡(ψ(X))l∣H, X∈H∖G/乙和ψ:H∖G/乙→G是双陪衬的一个部分。这个想法是描述一个开放的密集子集H∖G/乙和一节ψ这给了我们一个明确的描述圆周率∣H就积分而言H∖G/乙的陈述 ind乙(X)Hχl(X)(见提案 3.5.27)。关于单项式表示的显式分解的结果用于获得约束的具体分解。不知何故,需要将限制“抽象”分解为不可约的单连通幂零李群的连通闭子群。这里的“抽象”是指度量类在G^给出了约束的解体以及解体中出现的不可约数的多重性。这些构造将应用于分解两个不可约表示的张量积圆周率和圆周率′.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Double-Coset Space

让G是一个幂零李代数,b任何子代数,乙⊂G他们的单连通李群。回想一下指数映射 exp :G→G是微分同胚。给定一系列理想

Gn+1:=0⫋…⫋G一世⫋…⫋G1=G,暗淡⁡(G一世/G一世+1)=1,表示每个一世=1,…,n,G一世:=经验⁡G一世并选择一个向量从一世∈G一世∖G一世+1, 以便G一世=R-跨度(从一世,…,从n). 以这种方式获得 Jordan-Hölder 基从:=(从1,…,从n)的G. 为了简化符号,让

在1⋅在2⋯在ķ:=经验⁡(在1)⋅经验⁡(在2)⋯经验⁡(在ķ)∈G
对于给定的向量在1,…,在ķ∈G. 像以前一样表示dG哈尔测量G. 使用基础从, 可以表达dG通过以下方式。

∫GF(G)dG=∫RnF(和1从1⋯和n从n)d和,(F∈大号1(G)).
自从G是幂零的,商空间G/乙有个G-在正标量倍数之前唯一的不变度量。该措施(表示为dG˙) 在第 1 章中进行了描述。1,第。1.2.2。让我们回顾一下这样的结构。让

\mathscr{I}^{8 / b}=\left{k \in{1, \ldots, n}, Z_{k} \notin \mathfrak{b}+\mathfrak{g}{k+1}\右}=:\left{k{1}<\ldots<k_{p}\right} 。\mathscr{I}^{8 / b}=\left{k \in{1, \ldots, n}, Z_{k} \notin \mathfrak{b}+\mathfrak{g}{k+1}\右}=:\left{k{1}<\ldots<k_{p}\right} 。
一个获得子代数的序列

bp+1:=b⫋…⫋bj:=R从ķj⊕bj−1⫋……b1=G
和马尔切夫基础米:=(从ķ1,…,从ķp)的G关系到b. 不变的度量dG˙然后给出披∈CC(G/乙)经过:

μ米(披)=μG/b(披)=∫G/乙披(G˙)dG˙:=∫Rp披(在1从ķ1⋯在p从ķp⋅乙)d在
在哪里CC(G/乙)表示具有紧支持的复值连续函数空间G/乙. 这是由于映射

和米:Rp⟶ 在=(在1,…,在p)⟼在1从ķ1⋯在p从ķp⋅乙=:和一个(在)
是微分同胚。如果H是的另一个子代数G,然后表示为我H⊂1,…,n索引集

\mathbb{I}^{\mathfrak{h}}:=\left{i \in{1, \ldots, n} ; \mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i+1}=\mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i}\right}={1, \ldots, n} \反斜杠 \mathbb{I} ^{\mathfrak{g} / \mathfrak{h}}\mathbb{I}^{\mathfrak{h}}:=\left{i \in{1, \ldots, n} ; \mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i+1}=\mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i}\right}={1, \ldots, n} \反斜杠 \mathbb{I} ^{\mathfrak{g} / \mathfrak{h}}
然后可以假设向量从一世,一世∈我H, 位于H以便H=R-跨度\left{Z_{i}, i \in\right.$ $\left.\mathbb{I}^{\mathrm{h}}\right}\left{Z_{i}, i \in\right.$ $\left.\mathbb{I}^{\mathrm{h}}\right}

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Set of Double Cosets

为了G∈G,表示为G¯它的双重陪衬H⋅G⋅乙=HGb,(H,b)∈H×乙. 目的是找到一个开放的密集子集H∖G/乙这将支持该措施dC(G¯)并且它与 Zariski 的开子集微分同胚Rd对于一些d∈ñ∗. 以下示例说明了这一事实:

示例 3.5.1 让G是由 JordanHölder 基跨越的 7 维李代数从=(从1,…,从7), 配备支架

[从1,从4]=从6,[从1,从5]=从7,[从2,从3]=从7
考虑它的阿贝尔子代数H=R−跨度⁡(从4,从5,从7)和b=R−跨度⁡(从3,从4, 从7. 由于许多产品通勤,元素G=:和1从1⋯和7从7∈G,(和1,…,和7)∈R7, 可以用以下方式描述:

G=(和1从1⋅和5从5)⋅和2从2⋅和6从6⋅(和3从3⋅和4从4⋅和7从7) =(和1和5从7⋅和5从5⋅和1从1)⋅和2从2⋅和6从6⋅(和3从3⋅和4从4⋅和7从7) ∈H⋅和1从1⋅和2从2⋅和6从6⋅乙
这意味着G¯=H⋅G⋅乙=H⋅和1从1⋅和2从2⋅和6从6⋅乙. 另一方面,如果和1≠0, 元素和1从1⋅和2从2⋅和6从6也可以写成和1从1⋅和2从2共轭经验⁡(−26和1)从4,它包含在H∩乙. 因此,如果和1≠0, 然后G¯=H⋅和1从1⋅和2从2⋅乙. 作为结论,
H \反斜杠 G / B=\left{H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot B,\left(z_{1}, z_{2}\right) \in \mathscr{V}\right} \dot{\cup}\left{H \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot B,\left(z_{2 }, z_{6}\right) \in \mathbb{R}^{2}\right}H \反斜杠 G / B=\left{H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot B,\left(z_{1}, z_{2}\right) \in \mathscr{V}\right} \dot{\cup}\left{H \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot B,\left(z_{2 }, z_{6}\right) \in \mathbb{R}^{2}\right}
=p(G∖G2)在˙p(G2)
在哪里p:G⟼G~,是的规范投影G上H∖G/乙, 和在:= R⋆×R. 因此空间H∖G/乙是两个子集的不相交并集,第一个是 Zariski 开子集的投影G和 Zariski 封闭子集的第二个。的措施dC(G¯)显示在第一组上受支持。

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非参数统计代写

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广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4031

如果你也在 怎样代写表示论Representation theory这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

表示论是数学的一个分支,它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构,并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上,表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素,使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解,因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性,有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4031

数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Rational Disintegration of L2 for an Exponential

Let $G$ be an exponential solvable Lie group with Lie algebra $\mathfrak{g}$ and left-regular representation $\lambda_{G}=$ ind $_{{e}}^{G} 1$. Here $f=0$ and $\Gamma_{f}=\mathrm{g}^{\star}$. Take a good sequence of subalgebras of $\mathrm{g}$
$$
a_{0}={0} \subset a_{1} \subset a_{2} \subset \cdots \subset a_{n}=\mathfrak{g}
$$
from which we extract a Malcev basis $\left{X_{1}, \ldots, X_{n}\right}$ of $\mathrm{g}, X_{i} \in \mathrm{a}{i} \backslash \mathfrak{a}{i-1}$. In this case and as in Sect. $3.3 .1, K^{{e}}$ is the set of all $j \in{1, \ldots, n}$ such that all $A_{j}$-orbits are saturated with respect to $a_{j-1}$, which implies $V=\left{\phi \in \mathfrak{g}^{*}:\left\langle\phi, X_{j}\right\rangle=0, j \in\right.$ $\left.K^{{e}}\right}$. Let $\phi \in V$ and set $\phi_{i}=\phi_{\mid a_{j}}$. Let
$$
\mathrm{b}(\phi)=\sum_{i=1}^{n} a_{i}\left(\phi_{i}\right)
$$
be the Vergne polarization at $\phi$ with respect to the Jordan-Hölder sequence (3.3.20) and $B(\phi)$ its associated Lie group. In addition, we have from the Pukanszky condition that
$$
\operatorname{Ad}^{\star}(B(\phi)) \phi=\phi+\mathfrak{b}(\phi)^{\perp}
$$

Let $\mu_{G}$ be the Haar measure on $G$. We have the following rational disintegration of $L^{2}(G)$
$$
\left(L^{2}(G), \mu_{G}\right) \simeq \int_{V}^{\oplus}\left(L^{2}(G / B(\phi)), \phi\right) d \lambda(\phi)
$$
The isometry is given by:
$$
U(\xi)(\phi)(g)=\int_{B(\phi)} \xi(g u) \chi_{\phi}(u) \Delta_{B(\phi), G}^{-\frac{1}{2}}(u) d_{B(\phi)}(u), g \in G
$$
where $\xi \in C_{c}^{\infty}(G)$ is the set of $C^{\infty}$ functions with compact support in $G$ and $\phi \in V$, $d_{B(\phi)}$ is the Haar measure on $B(\phi)$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Intertwining of Representations Induced from Maximal

Definition 3.4.1 Let $G$ be a Lie group. A subgroup $H$ of $G$ is said to be a maximal subgroup if $H \neq G$ and for every subgroup $K$ such that $H \subset K \subset G$, then either $K=H$ or $K=G$.

Remark 3.4.2 If $G$ is a simply connected solvable Lie group and $H$ is a maximal subgroup of $G$, then $H$ has codimension one or two. In the latter case $H$ cannot be a normal subgroup of $G$.

The following result describes the structure of maximal subalgebras of exponential solvable algebras, a proof of which can be found in [106].

Theorem 3.4.3 Let $G=\exp g$ be an exponential solvable Lie group and $H=$ exph a non-normal maximal subgroup of $G$. Then

  1. if $\mathrm{h}$ is a hyperplane, there exist a codimension-one subalgebra $\mathrm{g}{0}$ of $\mathrm{h}$ which is a codimension- $t$ wo ideal in $\mathfrak{g}$, plus two elements $A \in \mathfrak{h} \backslash \mathfrak{g}{0}, X \in \mathfrak{g} \backslash \mathfrak{h}$ such that
    $$
    [A, X]=X \bmod \mathfrak{g}_{0}
    $$
  2. If $\mathrm{h}$ has codimension two, there exists a codimension-one subalgebra $\mathrm{g}{0}$ of $\mathrm{h}$ which is a codimension-three ideal in $\mathrm{g}$, plus three nonzero vectors $A, X, Y$ and a nonzero real number $\alpha$ such that $$ \begin{gathered} \mathfrak{g}=\mathfrak{h} \oplus \mathbb{R} X \oplus \mathbb{R} Y, \quad \mathfrak{h}=\mathfrak{g}{0} \oplus \mathbb{R} A \
    {[A, X]=X+\alpha Y \bmod \mathfrak{g}{0},[A, Y]=Y-\alpha X \bmod \mathfrak{g}{0},}
    \end{gathered}
    $$ and$$[X, Y]=0 \bmod \mathfrak{g}_{0} .$$We now prove the following disintegration formula, which basically stems from Theorem 3.4.3.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Construction of an Intertwining Operator

In this section we construct an intertwining operator between the induced representation $\tau=\operatorname{ind}{H}^{G} \chi{f}$ and its decomposition into irreducibles explicitly. Let $s=\left(a_{j}\right){j=0}^{n}$ be a good sequence of subalgebras of $g$ passing through $g{0}$, where $\mathfrak{g}_{0}$ is defined as in Theorem 3.4.3. With the notations above, we can choose s as follows:

  1. If $h$ is an ideal of $g$ we have codim $h=1$, then $a_{n-1}=h=g_{0}$.
  2. If $h$ is not an ideal and $\operatorname{codim} h=1$, then $\mathfrak{a}{n-2}=\mathfrak{g}{0}$ and $\mathfrak{a}{n-1}=\mathfrak{g}{0} \oplus \mathbb{R} X$.
  3. If $\operatorname{codim} h=2$, then $\mathfrak{a}{n-3}=\mathfrak{g}{0}, \mathfrak{a}{n-2}=\mathfrak{g}{0} \oplus \mathbb{R} X$ and $\mathfrak{a}{n-1}=\mathfrak{g}{0} \oplus \mathbb{R} X \oplus \mathbb{R} Y$.
    In the sequel, we shall identify $\mathscr{O}(\tau)$ with the set $\left{\phi_{t} \in \Gamma_{f}: t \in \mathscr{O}(\tau)\right}$. For $l$ in $\mathscr{O}(\tau)$, let $\mathrm{b}[l]$ be the Vergne polarization of $l$ associated to $s$ and $B[l]=\exp \mathrm{b}[l]$. We prove first the following

Lemma 3.4.5 For any $l$ in $\mathscr{O}(\tau)$, there exist a coexponential basis $\mathscr{y}$ of $\mathfrak{b}[l] \cap \mathfrak{h}$ in $\mathfrak{b}[l]$, a coexponential basis $\mathcal{Z}$ of $\mathfrak{b}[l] \cap \mathrm{h}$ in $\mathrm{h}$ and a coexponential basis $\mathscr{X}$ of $\mathrm{b}[l]$ in $\mathrm{g}$ which do not depend on $l$.

Proof As above, we distinguish two cases. We keep the same notations as in Proposition 3.4.4. If $\mathfrak{g}{\theta}=\mathfrak{h}$, then $\tau$ is irreducible and $\mathscr{O}(\tau)={\phi}$ where $\phi \in p^{-1}({f})$. Hence $\operatorname{dim} \mathfrak{b}[\phi]=\operatorname{dim} \mathfrak{b}$. We are going to prove that in this situation $\mathfrak{b}[\phi]=\mathfrak{b}$, which implies $$ \mathscr{y}=\mathscr{Z}=\emptyset $$ Suppose for starters that $H$ is a codimension-one subgroup of $G$. Then $\mathrm{g}=$ $\mathfrak{h} \oplus \mathbb{R} X$. If $H$ is a normal subgroup of $G$, then as $\mathfrak{g}(\phi) \subset \mathfrak{g}{\theta}=\mathfrak{h}$, we already get that $\mathfrak{b}[\phi]=$ h. Now we suppose that $H$ is a non-normal subgroup of $G$. It follows from the definition of the Vergne polarization $\mathfrak{b}[\phi]$ and for all $i=$ $0, \ldots, \operatorname{codim} h, \quad \mathfrak{a}{n-i}\left(\phi{\mid a_{n-i}}\right) \subset a_{n-i} \cap \mathfrak{g}{\theta} \subset h$, that $\mathfrak{b}[\phi] \subset h$, which implies $\mathfrak{b}[\phi]=\mathfrak{h}$. We conclude that if codim $\mathfrak{h}=1$, we have $$ \mathscr{C}={X} $$ and if $\operatorname{codim} h=2$, we have $$ \mathscr{Q}={X, Y} $$ We now look at the case where $\mathfrak{g}{\theta}=\mathfrak{g}$. We have $X \in \mathfrak{b}[l]$ and $\mathfrak{g}_{0} \subset \mathfrak{g}(l)$, for all $l$ in $\mathscr{O}(\tau)$. Suppose first that $H$ is a codimension-one subgroup of $G$. If $H$ is a normal subgroup of $G$, then $\mathfrak{g}(l)=\mathfrak{g}$ and then $\mathfrak{b}[l]=\mathfrak{g}$. Therefore,
$$
\mathscr{Y}={X}, \mathscr{Z}=\mathscr{X}=\emptyset .
$$
Assume then that $H$ is a non-normal subgroup of $G$, so $\mathfrak{g}\left(\phi_{s_{1}}\right)=\mathfrak{g}\left(\phi_{s_{2}}\right)=\mathfrak{g}{0}$ from Eq. (3.4.2) and hence $\mathfrak{b}\left[\phi{s_{1}}\right]=\mathfrak{b}\left[\phi_{s_{2}}\right]=\mathfrak{g}_{0} \oplus \mathbb{R} X$. This implies that
$$
\mathscr{Y}={X}, \mathscr{Z}={A} \text { and } \mathscr{X}={A}
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4031

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Rational Disintegration of L2 for an Exponential

让G是具有李代数的指数可解李群G和左正则表示λG=工业和G1. 这里F=0和ΓF=G⋆. 取一个好的子代数序列G

一个0=0⊂一个1⊂一个2⊂⋯⊂一个n=G
我们从中提取 Malcev 基\left{X_{1}, \ldots, X_{n}\right}\left{X_{1}, \ldots, X_{n}\right}的G,X一世∈一个一世∖一个一世−1. 在这种情况下,就像在 Sect 中一样。3.3.1,ķ和是所有的集合j∈1,…,n这样所有一个j-轨道相对于饱和一个j−1,这意味着V=\left{\phi \in \mathfrak{g}^{*}:\left\langle\phi, X_{j}\right\rangle=0, j \in\right.$ $\left.K^ {{e}}\右}V=\left{\phi \in \mathfrak{g}^{*}:\left\langle\phi, X_{j}\right\rangle=0, j \in\right.$ $\left.K^ {{e}}\右}. 让φ∈在并设置φ一世=φ∣一个j. 让

b(φ)=∑一世=1n一个一世(φ一世)
是 Vergne 极化φ关于 Jordan-Hölder 序列 (3.3.20) 和乙(φ)其相关的李群。此外,我们从 Pukanszky 条件中得到

广告⋆⁡(乙(φ))φ=φ+b(φ)⊥

让μG成为 Haar 度量G. 我们有以下合理的解体大号2(G)

(大号2(G),μG)≃∫在⊕(大号2(G/乙(φ)),φ)dλ(φ)
等距由下式给出:

在(X)(φ)(G)=∫乙(φ)X(G在)χφ(在)Δ乙(φ),G−12(在)d乙(φ)(在),G∈G
在哪里X∈CC∞(G)是集合C∞具有紧凑支持的功能G和φ∈在, d乙(φ)是 Haar 度量乙(φ).

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Intertwining of Representations Induced from Maximal

定义 3.4.1 让G成为一个李群。一个子群H的G被称为最大子群,如果H≠G并且对于每个子组ķ这样H⊂ķ⊂G,那么要么ķ=H或者ķ=G.

备注 3.4.2 如果G是一个简单连通的可解李群,并且H是一个最大子群G, 然后H有一个或两个维度。在后一种情况下H不能是的正规子群G.

以下结果描述了指数可解代数的最大子代数的结构,其证明可以在[106]中找到。

定理 3.4.3 让G=经验⁡G是一个指数可解的李群,并且H=exph 的非正规最大子群G. 然后

  1. 如果H是一个超平面,存在一个余维子代数G0的H这是一个codimension-吨我的理想在G, 加上两个元素一个∈H∖G0,X∈G∖H这样
    [一个,X]=X反对G0
  2. 如果H有余维二,存在余维一子代数G0的H这是一个余维三理想G,加上三个非零向量一个,X,是和一个非零实数一个这样G=H⊕RX⊕R是,H=G0⊕R一个 [一个,X]=X+一个是反对G0,[一个,是]=是−一个X反对G0,和[X,是]=0反对G0.我们现在证明下面的分解公式,它基本上源于定理 3.4.3。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Construction of an Intertwining Operator

在本节中,我们在诱导表示之间构建一个交织算子τ=工业⁡HGχF并将其显式分解为不可约数。让s=(一个j)j=0n是一个很好的子代数序列G路过G0, 在哪里G0定义如定理 3.4.3。有了上面的符号,我们可以选择 s 如下:

  1. 如果H是一个理想的G我们有codimH=1, 然后一个n−1=H=G0.
  2. 如果H不是一个理想和科迪姆⁡H=1, 然后一个n−2=G0和一个n−1=G0⊕RX.
  3. 如果科迪姆⁡H=2, 然后一个n−3=G0,一个n−2=G0⊕RX和一个n−1=G0⊕RX⊕R是.
    接下来,我们将确定○(τ)与套装\left{\phi_{t} \in \Gamma_{f}: t \in \mathscr{O}(\tau)\right}\left{\phi_{t} \in \Gamma_{f}: t \in \mathscr{O}(\tau)\right}. 为了l在○(τ), 让b[l]是 Vergne 极化l关联到s和乙[l]=经验⁡b[l]. 我们首先证明以下

引理 3.4.5 对于任何l在○(τ), 存在一个共指数基是的b[l]∩H在b[l], 一个共指数基从的b[l]∩H在H和一个共指数基础X的b[l]在G不依赖于l.

证明 如上所述,我们区分了两种情况。我们保留与命题 3.4.4 中相同的符号。如果Gθ=H, 然后τ是不可约的并且○(τ)=φ在哪里φ∈p−1(F). 因此暗淡⁡b[φ]=暗淡⁡b. 我们将证明在这种情况下b[φ]=b,这意味着

是=从=∅假设对于初学者来说H是一个余维子群G. 然后G= H⊕RX. 如果H是一个正规子群G,然后作为G(φ)⊂Gθ=H,我们已经知道了b[φ]=H。现在我们假设H是一个非正规子群G. 它遵循 Vergne 极化的定义b[φ]并为所有人一世= 0,…,科迪姆⁡H,一个n−一世(φ∣一个n−一世)⊂一个n−一世∩Gθ⊂H, 那b[φ]⊂H,这意味着b[φ]=H. 我们得出结论,如果 codimH=1, 我们有

C=X而如果科迪姆⁡H=2, 我们有

问=X,是我们现在看一下这种情况Gθ=G. 我们有X∈b[l]和G0⊂G(l), 对所有人l在○(τ). 首先假设H是一个余维子群G. 如果H是一个正规子群G, 然后G(l)=G接着b[l]=G. 所以,

是=X,从=X=∅.
那么假设H是一个非正规子群G, 所以G(φs1)=G(φs2)=G0从方程式。(3.4.2) 因此b[φs1]=b[φs2]=G0⊕RX. 这意味着

是=X,从=一个 和 X=一个

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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时间序列分析代写

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MATLAB代写

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH7333

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH7333

数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Base Space of the Disintegration of Induced Representations

We fix in the whole section an exponential solvable Lie group $G=\exp g$ with Lie algebra $\mathrm{g}$. Let $f$ be an element of $\mathrm{g}^{*}$ and $H=\exp \mathrm{h}$ a normal subgroup of $G$. Recall the monomial representation $\tau=\operatorname{ind}{H}^{G} \chi{f}$, which is realized by left translations in the Hilbert space $\mathscr{H}_{2}$ of continuous functions $\xi$ on $G$ that satisfy the covariance relation (3.3.1) for all $g$ in $G$ and $h$ in $H$ and are square-integrable on $G / H$ for the $G$-invariant measure. A result on the disintegration of $\tau$ was obtained earlier (cf. Theorem 1.4.2). We first recall the precise disintegration formula:

Theorem 3.3.1 Let $G=\exp g$ be an exponential solvable group and $H=\exp$ h $a$ normal subgroup of $G$. Then
$$
\tau \simeq \int_{f+\mathbf{b}^{\perp} / H}^{\oplus} \pi_{l} d \mu(I)
$$
where $\mu$ is the image under the Kirillov-Bernat map of a finite positive measure on $\Gamma_{f} \subset \mathrm{g}^{\star}$ equivalent to the Lebesgue measure. On the other hand, the multiplicities involved in this decomposition are identically 1 or $+\infty$, depending on whether
$$
\operatorname{dim}(H \cdot l)=\operatorname{dim}\left(G \cdot l \cap \Gamma_{f}\right)
$$
or not, for l generic in $\Gamma_{f}$. Equivalently, we might have
$$
2 \operatorname{dim}(H \cdot l)=\operatorname{dim}(G \cdot l)
$$
or not. In either case the multiplicity of $\pi_{l}$ in $\tau$ is the number of $H$-orbits in $G \cdot l \cap \Gamma_{f} \cdot$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Construction of the Intertwining Operator

Let $\mathfrak{s}=\left(a_{j}\right){j=0}^{n}$ be a good sequence of subspaces of $\mathfrak{g}$ adapted to $h$, and extract a coexponential basis $B=\left{X{1}, \ldots, X_{r}\right}$ to $\mathfrak{h}$ in $\mathfrak{g}$. Consider also the disintegration space $V$ endowed with the Lebesgue measure $d \lambda$ as in Sect.3.3.1 and formula (3.3.5). The basis $B$ defines an invariant measure on $G / H$, which allows to fix the norm
$$
|\xi|_{L^{2}(G / H, f)}=\left(\int_{G / H}|\xi(g)|^{2} d_{G, H}(g)\right)^{1 / 2}
$$
on $\mathscr{H}{r}=L^{2}(G / H, f)$ of $\tau$. We now build a Zariski open set $V{0}$ of $V$ and for $\phi \in V_{0}$ the Vergne polarization $\mathfrak{b}(\phi)$ at $\phi$ relatively to the good sequence $\mathfrak{s}$ as in Theorem 1.2.4. Since this good sequence is adapted to $\mathfrak{h}$, we must have $\mathfrak{h} \subset \mathfrak{b}(\phi)$ for all $\phi \in V_{0}$. We next construct, for $\phi \in V_{0}$, a coexponential basis $X(\phi)$ to $b(\phi)$ in $\mathfrak{g}$ and a coexponential basis $Y(\phi)$ to $\mathfrak{h}$. All these bases vary continuously on $V_{0}$. For $\phi \in V^{\prime}$ and $j=1, \ldots, n$, we set
$$
J_{j}(\phi)=\left{k \in{1, \ldots, j}: \mathfrak{a}{j}\left(\phi{j}\right)+\mathfrak{a}{k-1} \varsubsetneqq \mathfrak{a}{j}\left(\phi_{j}\right)+\mathfrak{a}{k}\right} . $$ The set of indices $J{j}(\phi)$ is typically not constant for $\phi \in V^{\prime}$, but its cardinality is constant and equal to $d_{j}$ for all $j=1, \ldots, n$. Note then
$$
J_{j}(\phi)=\left{i_{1}(\phi)<\cdots<i_{d_{j}}(\phi)\right},
$$
We endow the set $\left{J_{j}(\phi), \phi \in V^{\prime}\right}$ with the lexicographic order defined by
$$
\left{i_{1}(\phi)<\cdots<i_{d_{j}}(\phi)<i_{1}\left(\phi^{\prime}\right)<\cdots<i_{d_{j}}\left(\phi^{\prime}\right)\right},
$$
if there exists $\sigma \in\left{1, \ldots, d_{j}\right}$ such that $i_{1}(\phi)=i_{1}\left(\phi^{\prime}\right), \ldots, i_{\sigma-1}\left(\phi^{\prime}\right), i_{\sigma}(\phi)<$ $i_{\sigma}\left(\phi^{\prime}\right)$. Using this order, let
$$
J_{j}=\min {\phi \in V^{\prime}} J{j}(\phi)=\left{i_{1}<\cdots<i_{d_{j}}\right}
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Inverse Operator

We now prove that formulas (3.3.13) and (3.3.14), established in the proof of the theorem on $C_{c}^{\infty}(G / H, f)$, actually hold on $L^{2}(G / H, f)$. We will resume the cases studied in the previous theorem.
In the first case, it is clear that $L^{2}(G / H, f)=L^{2}\left(G_{0} / H, f_{0}\right)$ and that
$$
\int_{V} L^{2}(G / B(\phi), \phi) d \lambda(\phi)=\int_{V_{0}} L^{2}\left(\mathbb{R}, L^{2}\left(G_{0} / B\left(\phi_{0}\right), \phi_{0}\right)\right) d \lambda^{0}\left(\phi_{0}\right)
$$
Hence $U=\tilde{U}{0} \circ W$, where $W: L^{2}(G / H, f) \rightarrow L^{2}\left(\mathbb{R}, L^{2}\left(G{0} / H, f\right)\right)$ is the operator field defined by
$$
\begin{aligned}
&W(\xi)(t)\left(g_{0}\right)=\xi\left(\exp (t X) \cdot g_{0}\right)=\xi_{t}\left(g_{0}\right), g_{0} \in G_{0} \
&\text { and } \tilde{U}{0}(\xi)(t)\left(g{0}\right)=U_{0}\left(\xi_{t}\right)\left(g_{0}\right) \text {. }
\end{aligned}
$$
We move to the second case, so let $\phi \in V_{0}$ and $\phi_{0}=\phi_{\mid g_{0}}$. Then $\phi=\phi_{s}=$ $\phi_{0}+s X^{\star}$ for some $s \in \mathbb{R}$. For $\eta \in C_{c}^{\infty}\left(G / B\left(\phi_{0}\right)\right.$, $\left.\phi_{0}\right)$, let $\eta^{s}$ be the function defined on $G$ by
$$
\eta^{s}(g)=\int_{\mathbb{R}} \eta\left(g \exp \left(t B_{n}(\phi)\right)\right) e^{-i t s} \Delta_{B(\phi), G}^{-1 / 2}\left(\exp \left(t B_{n}(\phi)\right)\right) e^{-i t \phi_{0}}\left(Z_{0}(\phi)\right) d t, g \in G
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH7333

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Base Space of the Disintegration of Induced Representations

我们在整个部分中固定了一个指数可解的李群G=经验⁡G与李代数G. 让F成为其中的一个元素G∗和H=经验⁡H的正规子群G. 回想一下单项式表示τ=工业⁡HGχF,这是通过希尔伯特空间中的左平移来实现的H2连续函数X上G满足所有的协方差关系(3.3.1)G在G和H在H并且是平方可积的G/H为了G- 不变的措施。解体的结果τ较早获得(参见定理 1.4.2)。我们首先回忆一下精确的分解公式:

定理 3.3.1 令G=经验⁡G是一个指数可解群,并且H=经验H一个的正常子群G. 然后

τ≃∫F+b⊥/H⊕圆周率ldμ(我)
在哪里μ是在 Kirillov-Bernat 映射下的有限正测度图像ΓF⊂G⋆相当于勒贝格测度。另一方面,这个分解所涉及的多重性是相同的 1 或+∞, 取决于是否

暗淡⁡(H⋅l)=暗淡⁡(G⋅l∩ΓF)
与否,对于 l 通用 inΓF. 等效地,我们可能有

2暗淡⁡(H⋅l)=暗淡⁡(G⋅l)
或不。在任何一种情况下,多重性圆周率l在τ是数量H- 轨道G⋅l∩ΓF⋅.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Construction of the Intertwining Operator

让s=(一个j)j=0n是一个好的子空间序列G适应H,并提取一个共指数基B=\left{X{1}, \ldots, X_{r}\right}B=\left{X{1}, \ldots, X_{r}\right}至H在G. 还要考虑分解空间在具有勒贝格测度dλ如第 3.3.1 节和公式(3.3.5)。基础乙定义了一个不变的度量G/H,这允许修复规范

|X|大号2(G/H,F)=(∫G/H|X(G)|2dG,H(G))1/2
上Hr=大号2(G/H,F)的τ. 我们现在建立一个 Zariski 开集在0的在并且对于φ∈在0Vergne极化b(φ)在φ相对于好序列s如定理 1.2.4。由于这个良好的序列适用于H, 我们必须有H⊂b(φ)对所有人φ∈在0. 我们接下来构造,对于φ∈在0, 一个共指数基X(φ)至b(φ)在G和一个共指数基础是(φ)至H. 所有这些基础不断变化在0. 为了φ∈在′和j=1,…,n, 我们设置

J_{j}(\phi)=\left{k \in{1, \ldots, j}: \mathfrak{a}{j}\left(\phi{j}\right)+\mathfrak{a}{ k-1} \varsubsetneqq \mathfrak{a}{j}\left(\phi_{j}\right)+\mathfrak{a}{k}\right} 。J_{j}(\phi)=\left{k \in{1, \ldots, j}: \mathfrak{a}{j}\left(\phi{j}\right)+\mathfrak{a}{ k-1} \varsubsetneqq \mathfrak{a}{j}\left(\phi_{j}\right)+\mathfrak{a}{k}\right} 。索引集Ĵj(φ)通常不是恒定的φ∈在′, 但它的基数是恒定的并且等于dj对所有人j=1,…,n. 然后注意

J_{j}(\phi)=\left{i_{1}(\phi)<\cdots<i_{d_{j}}(\phi)\right},J_{j}(\phi)=\left{i_{1}(\phi)<\cdots<i_{d_{j}}(\phi)\right},
我们赋予集合\left{J_{j}(\phi), \phi \in V^{\prime}\right}\left{J_{j}(\phi), \phi \in V^{\prime}\right}字典顺序定义为

\left{i_{1}(\phi)<\cdots<i_{d_{j}}(\phi)<i_{1}\left(\phi^{\prime}\right)<\cdots<i_{ d_{j}}\left(\phi^{\prime}\right)\right},\left{i_{1}(\phi)<\cdots<i_{d_{j}}(\phi)<i_{1}\left(\phi^{\prime}\right)<\cdots<i_{ d_{j}}\left(\phi^{\prime}\right)\right},
如果存在\sigma \in\left{1, \ldots, d_{j}\right}\sigma \in\left{1, \ldots, d_{j}\right}这样一世1(φ)=一世1(φ′),…,一世σ−1(φ′),一世σ(φ)< 一世σ(φ′). 使用这个顺序,让

J_{j}=\min {\phi \in V^{\prime}} J{j}(\phi)=\left{i_{1}<\cdots<i_{d_{j}}\right}J_{j}=\min {\phi \in V^{\prime}} J{j}(\phi)=\left{i_{1}<\cdots<i_{d_{j}}\right}

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Inverse Operator

我们现在证明公式 (3.3.13) 和 (3.3.14) 在定理的证明中成立CC∞(G/H,F),其实坚持大号2(G/H,F). 我们将恢复前面定理中研究的案例。
在第一种情况下,很明显大号2(G/H,F)=大号2(G0/H,F0)然后

∫在大号2(G/乙(φ),φ)dλ(φ)=∫在0大号2(R,大号2(G0/乙(φ0),φ0))dλ0(φ0)
因此在=在~0∘在, 在哪里在:大号2(G/H,F)→大号2(R,大号2(G0/H,F))是由定义的运算符字段

在(X)(吨)(G0)=X(经验⁡(吨X)⋅G0)=X吨(G0),G0∈G0  和 在~0(X)(吨)(G0)=在0(X吨)(G0). 
我们转到第二种情况,所以让φ∈在0和φ0=φ∣G0. 然后φ=φs= φ0+sX⋆对于一些s∈R. 为了这∈CC∞(G/乙(φ0), φ0), 让这s是定义的函数G经过

这s(G)=∫R这(G经验⁡(吨乙n(φ)))和−一世吨sΔ乙(φ),G−1/2(经验⁡(吨乙n(φ)))和−一世吨φ0(从0(φ))d吨,G∈G

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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表示论是数学的一个分支,它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构,并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上,表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素,使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解,因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性,有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Disintegration of Monomial Representations

Let $B=\exp b$ be a connected closed subgroup of $G$ and let $\left{Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{k}\right}$ be a Jordan-Hölder basis of $\mathbf{b}$. Then the map
$$
\psi: \mathbb{R}^{k} \longrightarrow B,\left(t_{1}, \ldots, t_{k}\right) \longrightarrow \exp t_{1} Y_{1} \cdots \exp t_{k} Y_{k}
$$

is a diffeomorphism. We recall from Sect. 1.2.2 how to choose normalized measures $d b$ on $B$ and $G / B$ : for any $C^{\infty}$-function with compact support $\eta$ in $B$,
$$
\int_{B} \eta(b) d(b)=\int_{\mathbb{R}^{d}} \eta\left(\exp \left(t_{1} Y_{1}\right) \ldots \exp \left(t_{k} Y_{k}\right)\right) d t_{1} \ldots d t_{k} .
$$
This measure is left-invariant and therefore a Haar measure. On the other hand, if we choose a Malcev basis $\left{X_{1}, \ldots, X_{d}\right}$ of $\mathfrak{g}$ relative to $b$, ie
$$
\mathfrak{g}=\mathbb{R} X_{1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{R} X_{d} \oplus \mathfrak{b} \text { and } \sum_{k=j}^{d} \mathbb{R} X_{k}+\mathfrak{b}
$$
is a subalgebra of $\mathfrak{g}$ for all $j$, then the measure $d_{G, B}$ on $G / B$ is defined so that
$$
\int_{G / B} \tilde{a}(g) d_{G, B}(g)=\int_{\mathbb{R}^{d}} \tilde{a}\left(\exp \left(t_{1} X_{1}\right) \cdots \exp \left(t_{d} X_{d}\right)\right) d t_{1} \cdots d t_{d}
$$
is left-invariant for any continuous function with compact support $\tilde{a}$ on $G / B$. By normalizing one of the vectors $X_{j}$, we have that
$$
\int_{G} q(g) d g=\int_{G / B}\left(\int_{B} q(x b) d b\right) d_{G, B}(x)
$$
for any continuous function with compact support $q$ on $G$. We always choose the invariant measures $d_{G, B}$ on the quotient spaces $G / B$ in such a way that this identity holds.

Let $\mathfrak{b}{1}, \mathfrak{b}{2}$ be two polarizations at the point $\phi \in \mathfrak{g}^{\star}$, and $B_{1}, B_{2}$ the two associated subgroups. Notice
$$
S\left(G / B_{i}, \phi\right)=\mathscr{H}{\mathrm{ind}{B_{i}}^{G} \chi_{\phi}}^{\infty}, i \in{1,2},
$$
the space of $C^{\infty}$-vectors of the representation spaces ind ${ }{B{i}}^{G} \chi_{\phi}, i \in{1,2}$, which are $\pi_{\phi, B}$ denote the representation ind $G_{B}^{G} \chi_{\phi}$. If $d_{B_{2}, B_{2} \cap B_{1}}$ denotes the $B_{2}$-left-invariant measure on $B_{2} / B_{2} \cap B_{1}$, for any function $\bar{k}$ of $S\left(G / B_{1}, \phi\right)$ the integral
$$
T_{B_{2}, B_{1}} \tilde{k}(g)=\int_{B_{2} / B_{2} \cap B_{1}} \tilde{k}(g b) \chi \phi(b) d_{B_{2}, B_{2} \cap B_{1}}(b)
$$
defined for every $g \in G$ is absolutely convergent and defines an isomorphism of $S\left(G / B_{1}, \phi\right)$ on $S\left(G / B_{2}, \phi\right)$ which extends by continuity into an intertwining operator between $\pi_{\phi, B_{1}}$ and $\pi_{\phi, B_{2}}$. Furthermore, if the measures on the homogeneous spaces $G / B_{1}$ and $G / B_{2}$ are suitably normalized, $T_{B_{2}, B_{1}}$ is an isometry.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Construction of the Intertwining Operator

We now specify a flag $\mathscr{A}$ of ideals of $\mathfrak{g}$. The peculiarity comes from the fact that if $\mathscr{C}=\left{Z_{1}, \ldots, Z_{n}\right}$ is the Jordan-Hölder basis of $\mathfrak{g}$ extracted from $\mathscr{A}$, then $\mathscr{C}$ contains a Jordan-Hölder basis
$$
\mathscr{D}=\left{V_{1}=Z_{l_{1}}, \ldots, V_{n-r}=Z_{l_{n-r}}\right}
$$
of $\mathfrak{h}$. We also extract from the latter the Malcev basis $\mathscr{B}=\left{B_{1}, \ldots, B_{r}\right}$ of $\mathfrak{g}$ relative to $h$ as above. The basis $\mathscr{C}$ gives us the index sets $I^{H}$ and $L^{H}$ and allows to choose a family $R=\left{R_{1}, \ldots, R_{r}\right}$ of real affine functions on $\mathbb{R}^{k}$ having the properties defined above for $L^{H}$. Moreover, by what we saw earlier the basis $\mathscr{B}$ gives us a $G$-invariant measure $d_{G, H}$ on $G / H$, which allows to fix the norm
$$
|\xi|_{L^{2}(G / H, f)}=\left(\int_{G / H}|\xi(g)|^{2} d_{G, H}(g)\right)^{\frac{1}{2}},
$$
for $\xi \in \mathscr{H}{\tau}=L^{2}(G / H, f)$. Let $\mathscr{V}=\mathscr{V} R, \mathscr{B}$. We will now construct a Zariski open set $\mathscr{V}{0}$ of $\mathscr{V}$ on which all of the following objects will be well defined. For $\phi \in \mathscr{V} 0$, we will construct a polarization $\mathfrak{b}(\phi)$ at $\phi$, a Malcev basis $\mathscr{X}^{\prime}(\phi)=\left{X_{1}(\phi), \ldots, X_{l}(\phi)\right}$ of $\mathfrak{g}$ relative to $\mathfrak{b}(\phi)$, a Jordan-Hölder basis $\mathscr{D}(\phi)=$ $\left{V_{1}(\phi), \ldots, V_{q}(\phi)\right}$ of $\mathfrak{h} \cap \mathfrak{b}(\phi)$, a Malcev basis $\mathscr{Y}(\phi)=\left{Y_{1}(\phi), \ldots, Y_{m}(\phi)\right}$ of $\mathfrak{b}(\phi)$ relative to $\mathfrak{h} \cap \mathfrak{b}(\phi)$ and finally a basis $\mathscr{U}(\phi)=\left{U_{1}(\phi), \ldots, U_{p}(\phi)\right}$ of $\mathbf{h}$ relative to $\mathfrak{h} \cap \mathfrak{b}(\phi)$. Here the numbers $l, m, p$ do not depend upon $\phi \in \mathscr{V}{0}$. In addition, all vectors $X{j}(\phi), V_{j}(\phi), Y_{j}(\phi)$ and $U_{j}(\phi)$ vary rationally and smoothly on $\phi \in \mathscr{V}_{0}$.

The vectors $\left(X_{j}(\phi)\right)$ ) will define a $G$-invariant measure on $G / B(\phi)$, and hence the norm of the space $\pi_{\phi}$. Likewise, the vectors $\left(Y_{j}(\phi)\right){j}$ determine the $B(\phi)$-invariant measure on $B(\phi) / H \cap B(\phi)$, hence the infinitesimal intertwining operator $T{B(\phi), H}$ and the vectors $\left(U_{j}(\phi)\right)_{j}$ will determine the measure on $H / H \cap B(\phi)$. All objects mentioned above are going to be constructed inductively, step by step. Step $s=0$ consists in defining the bases using certain subalgebras, set of indices and Zariski open sets of $\mathscr{V}$. We will also introduce the tools at this stage, while the objects will be given at the intermediate step $s \in{0, \ldots, \operatorname{dim}(\mathfrak{g})}$. In (3.2.3) we will explain in detail the techniques for passing from $s$ to $s+1$ and exhibit the newly constructed objects. At the very end we will show that the procedure actually stops, at some $s_{0} \in{0, \ldots, \operatorname{dim}(\mathrm{g})}$, and that the outcome bases are convenient. Note that our constructions depend only upon $8, f$ and $h$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Case of Exponential Solvable Groups

We study in this section exponential solvable Lie groups $G=\exp g$ for which the inducing subgroup $H=\exp \mathrm{h}$ is normal. We still consider a monomial representation $\tau=\operatorname{ind}{H}^{G} \chi{f}$, where $\chi_{f}$ denotes a character of $H$. Starting from a good sequence of subalgebras $\mathfrak{s}=\left(\mathfrak{a}{i}\right){i=0}^{n}$ passing through $\mathfrak{h}$, we determine an affine subspace $V$ of $\Gamma_{f}$ and a measure $d \lambda$ on $V$ such that
$$
\tau \simeq \int_{V}^{\oplus} \pi_{\phi} d \lambda(\phi),
$$
where $\pi_{\phi}$ are the irreducible representations associated to $\phi$. We next construct an explicit unitary intertwining operator and we find its inverse. The construction of such an operator $U$ goes through the following steps. We start from the good sequence 5 , we construct a coexponential basis $B$ of $\mathrm{h}$ in $\mathrm{g}$, we obtain our disintegration space $V$ with Lebesgue measure $d \lambda$. The basis $B$ defines an invariant measure on $G / H$, hence the norm on the space $\mathscr{H}{\tau}$ of $\tau$. We build next a Zariski open set $V{0}$ of $V$, and for each $\phi \in V_{0}$ the Vergne polarization $\mathfrak{b}(\phi)$ at $\phi$ relative to the good sequence $\mathfrak{5}$. These polarizations obviously contain $\mathfrak{h}$. We determine then for all $\phi \in V_{0}$ a coexponential basis $X(\phi)$ of $\mathfrak{b}(\phi)$ in $\mathfrak{g}$, which fixes a $G$ invariant positive form $v_{G, B(\phi)}$ on the space $K(G, B(\phi)):=\mathscr{E}(G, B(\phi))$ as in Sect. 1.2.2. The latter is the space of continuous numerical functions on $G$, with compact support modulo $B(\phi)=\exp (\mathfrak{b}(\phi))$ and satisfying:
$$
F(g b)=\Delta_{B(\phi), G}(b) F(g)(g \in G, b \in B(\phi)),
$$
Then we have a norm on the space $\mathscr{H}{\phi}$ of the irreducible representation $\pi{\phi}=$ ind $_{B(\phi)}^{G} \chi_{\phi}$. We also construct a coexponential basis $Y(\phi)$ to $\mathfrak{h}$ in $\mathfrak{b}(\phi)$ then an invariant measure $d_{B(\phi), H}$ on $B(\phi) / H$. All these bases vary continuously with $\phi \in V_{0}$ and allow to define the set
$$
\mathscr{H}=\int_{V}^{\oplus} \mathscr{H}_{\phi} d \lambda(\phi)
$$ of the disintegration of $\tau$. Now we associate, to each smooth function $\xi$ on $G$ with compact support modulo $H$ satisfying the generalized covariance relation (1.2.2):
$$
\xi(g h)=\chi_{f}\left(h^{-1}\right) \Delta_{H, G}^{1 / 2}(h) \xi(g),(g \in G, h \in H)
$$
and to each $\phi \in V_{0}$, the $C^{\infty}$-vector
$$
T_{b(\phi), h} \xi(g)=\int_{B(\phi) / H} \xi(g b) \chi_{\phi}(b) \Delta_{B(\phi), G}^{-1 / 2}(b) d_{B(\phi), H}(b), \quad g \in G
$$
of $\mathscr{H}_{\phi}$. We prove next that this operator is invertible. We will also examine some examples and describe a smooth disintegration of $L^{2}(G)$ for an exponential solvable Lie group $G$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|MAST90017

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Disintegration of Monomial Representations

让乙=经验⁡b是一个连通闭子群G然后让\left{Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{k}\right}\left{Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{k}\right}是一个 Jordan-Hölder 基b. 然后地图

ψ:Rķ⟶乙,(吨1,…,吨ķ)⟶经验⁡吨1是1⋯经验⁡吨ķ是ķ

是微分同胚。我们从教派回忆。1.2.2 如何选择归一化度量db上乙和G/乙: 对于任何C∞-具有紧凑支持的功能这在乙,

∫乙这(b)d(b)=∫Rd这(经验⁡(吨1是1)…经验⁡(吨ķ是ķ))d吨1…d吨ķ.
该度量是左不变的,因此是 Haar 度量。另一方面,如果我们选择 Malcev 基\left{X_{1}, \ldots, X_{d}\right}\left{X_{1}, \ldots, X_{d}\right}的G关系到b, IE

G=RX1⊕…⊕RXd⊕b 和 ∑ķ=jdRXķ+b
是一个子代数G对所有人j,那么度量dG,乙上G/乙被定义为

∫G/乙一个~(G)dG,乙(G)=∫Rd一个~(经验⁡(吨1X1)⋯经验⁡(吨dXd))d吨1⋯d吨d
对于具有紧支持的任何连续函数是左不变的一个~上G/乙. 通过对其中一个向量进行归一化Xj, 我们有

∫Gq(G)dG=∫G/乙(∫乙q(Xb)db)dG,乙(X)
对于任何具有紧凑支撑的连续函数q上G. 我们总是选择不变的措施dG,乙在商空间上G/乙以这种方式保持这种身份。

让b1,b2在该点是两个极化φ∈G⋆, 和乙1,乙2两个相关的子群。注意

小号(G/乙一世,φ)=H一世nd乙一世Gχφ∞,一世∈1,2,
的空间C∞-表示空间的向量 ind乙一世Gχφ,一世∈1,2, 哪个是圆周率φ,乙表示表示 indG乙Gχφ. 如果d乙2,乙2∩乙1表示乙2-左不变测量乙2/乙2∩乙1, 对于任何函数ķ¯的小号(G/乙1,φ)积分

吨乙2,乙1ķ~(G)=∫乙2/乙2∩乙1ķ~(Gb)χφ(b)d乙2,乙2∩乙1(b)
为每个定义G∈G是绝对收敛的并且定义了一个同构小号(G/乙1,φ)上小号(G/乙2,φ)它通过连续性延伸成一个相互交织的算子圆周率φ,乙1和圆周率φ,乙2. 此外,如果对齐次空间的度量G/乙1和G/乙2适当归一化,吨乙2,乙1是等距。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Construction of the Intertwining Operator

我们现在指定一个标志一个的理想G. 特殊性来自这样一个事实,如果\mathscr{C}=\left{Z_{1}, \ldots, Z_{n}\right}\mathscr{C}=\left{Z_{1}, \ldots, Z_{n}\right}是 Jordan-Hölder 基G摘自一个, 然后C包含 Jordan-Hölder 基

\mathscr{D}=\left{V_{1}=Z_{l_{1}}, \ldots, V_{nr}=Z_{l_{nr}}\right}\mathscr{D}=\left{V_{1}=Z_{l_{1}}, \ldots, V_{nr}=Z_{l_{nr}}\right}
的H. 我们还从后者中提取 Malcev 基础\mathscr{B}=\left{B_{1}, \ldots, B_{r}\right}\mathscr{B}=\left{B_{1}, \ldots, B_{r}\right}的G关系到H如上。基础C给我们索引集我H和大号H并允许选择一个家庭R=\left{R_{1}, \ldots, R_{r}\right}R=\left{R_{1}, \ldots, R_{r}\right}上的实仿射函数Rķ具有上面定义的属性大号H. 此外,根据我们之前看到的基础乙给了我们一个G- 不变测度dG,H上G/H,这允许修复规范

|X|大号2(G/H,F)=(∫G/H|X(G)|2dG,H(G))12,
为了X∈Hτ=大号2(G/H,F). 让在=在R,乙. 我们现在将构建一个 Zariski 开集在0的在以下所有对象都将在其上得到很好的定义。为了φ∈在0,我们将构造一个极化b(φ)在φ,马尔切夫基\mathscr{X}^{\prime}(\phi)=\left{X_{1}(\phi), \ldots, X_{l}(\phi)\right}\mathscr{X}^{\prime}(\phi)=\left{X_{1}(\phi), \ldots, X_{l}(\phi)\right}的G关系到b(φ), Jordan-Hölder 基D(φ)= \left{V_{1}(\phi), \ldots, V_{q}(\phi)\right}\left{V_{1}(\phi), \ldots, V_{q}(\phi)\right}的H∩b(φ),马尔切夫基\mathscr{Y}(\phi)=\left{Y_{1}(\phi), \ldots, Y_{m}(\phi)\right}\mathscr{Y}(\phi)=\left{Y_{1}(\phi), \ldots, Y_{m}(\phi)\right}的b(φ)关系到H∩b(φ)最后是一个基础\mathscr{U}(\phi)=\left{U_{1}(\phi), \ldots, U_{p}(\phi)\right}\mathscr{U}(\phi)=\left{U_{1}(\phi), \ldots, U_{p}(\phi)\right}的H关系到H∩b(φ). 这里的数字l,米,p不依赖φ∈在0. 此外,所有向量Xj(φ),在j(φ),是j(φ)和在j(φ)合理而平稳地变化φ∈在0.

向量(Xj(φ))) 将定义一个G- 不变测度G/乙(φ),因此空间的范数圆周率φ. 同样,向量(是j(φ))j确定乙(φ)- 不变测度乙(φ)/H∩乙(φ), 因此无穷小交织算子吨乙(φ),H和向量(在j(φ))j将确定措施H/H∩乙(φ). 上面提到的所有对象都将逐步以归纳方式构造。步s=0包括使用某些子代数、指数集和 Zariski 开集来定义基在. 我们还将在此阶段介绍工具,而对象将在中间步骤给出s∈0,…,暗淡⁡(G). 在(3.2.3)中,我们将详细解释从s至s+1并展示新构建的对象。最后,我们将证明该过程实际上会停止,在某些s0∈0,…,暗淡⁡(G),并且结果基础很方便。请注意,我们的构造仅取决于8,F和H.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Case of Exponential Solvable Groups

我们在本节中研究指数可解的李群G=经验⁡G其中诱导子群H=经验⁡H是正常的。我们仍然考虑单项表示τ=工业⁡HGχF, 在哪里χF表示一个字符H. 从一个好的子代数序列开始s=(一个一世)一世=0n路过H,我们确定一个仿射子空间在的ΓF和一个措施dλ上在这样

τ≃∫在⊕圆周率φdλ(φ),
在哪里圆周率φ是与φ. 我们接下来构造一个显式的酉交织算子,我们找到它的逆。这样的运营商的建设在经历以下步骤。我们从好的序列 5 开始,我们构造一个共指数基乙的H在G,我们得到我们的解体空间在用勒贝格测度dλ. 基础乙定义了一个不变的度量G/H,因此空间上的范数Hτ的τ. 我们接下来构建一个 Zariski 开集在0的在,并且对于每个φ∈在0Vergne极化b(φ)在φ相对于好序列5. 这些极化显然包含H. 然后我们确定所有φ∈在0共指数基础X(φ)的b(φ)在G,它修复了一个G不变的积极形式在G,乙(φ)在空间上ķ(G,乙(φ)):=和(G,乙(φ))就像在教派中一样。1.2.2。后者是连续数值函数的空间G, 紧支撑模乙(φ)=经验⁡(b(φ))并满足:

F(Gb)=Δ乙(φ),G(b)F(G)(G∈G,b∈乙(φ)),
然后我们在空间上有一个规范Hφ不可约表示的圆周率φ=工业乙(φ)Gχφ. 我们还构建了一个共指数基是(φ)至H在b(φ)然后是一个不变的度量d乙(φ),H上乙(φ)/H. 所有这些碱基不断变化φ∈在0并允许定义集合

H=∫在⊕Hφdλ(φ)的解体τ. 现在我们关联到每个平滑函数X上G带紧凑支撑模H满足广义协方差关系(1.2.2):

X(GH)=χF(H−1)ΔH,G1/2(H)X(G),(G∈G,H∈H)
并且对每个φ∈在0, 这C∞-向量

吨b(φ),HX(G)=∫乙(φ)/HX(Gb)χφ(b)Δ乙(φ),G−1/2(b)d乙(φ),H(b),G∈G
的Hφ. 接下来我们证明这个算子是可逆的。我们还将检查一些示例并描述大号2(G)对于指数可解的李群G.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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