数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|MATHS7104
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数值分析是数学的一个分支,使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法,这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。
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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Forward Mode
Forward mode is the simplest approach for automatic differentiation, both conceptually and in practice. This idea is sometimes implemented as dual numbers in programming languages that allow overloaded arithmetic operations and functions. A dual number is a pair $x=(x . v, x . d)$ where $x . v$ represents the value of the number, and $x . d$ its derivative with respect to some single parameter, say $d x / d s$. Ordinary numbers are treated as constants, and so are represented as $(v, 0)$ where $v$ is the number.
Operations on dual numbers $x$ and $y$ can be described as
$$
\begin{aligned}
x+y & =(x \cdot v+y \cdot v, x \cdot d+y \cdot d) \
x-y & =(x \cdot v-y \cdot v, x \cdot d-y \cdot d) \
x \cdot y & =(x \cdot v \cdot y \cdot v, x \cdot v \cdot y \cdot d+x \cdot d \cdot y \cdot v) \
x / y & =\left(x \cdot v / y \cdot v,(x \cdot d \cdot y \cdot v-x \cdot v \cdot y \cdot d) /(y \cdot v)^2\right) \
f(x) & =\left(f(x \cdot v), f^{\prime}(x \cdot v) \cdot x \cdot d\right)
\end{aligned}
$$
This can be extended to handle higher order derivatives, such as triple numbers $x=$ $(x . v, x . d, x . c)$ where $x . d=d x / d s$ and $x . c=d^2 x / d s^2$. Then for triple numbers, for example, the arithmetic rules include
$$
\begin{aligned}
& x \cdot y=(x \cdot v \cdot y \cdot v, x \cdot v \cdot y \cdot d+x \cdot d \cdot y \cdot v, x \cdot v \cdot y \cdot c+2 x \cdot d \cdot y \cdot d+x \cdot c \cdot y \cdot v) \
& f(x)=\left(f(x \cdot v), f^{\prime}(x \cdot v) \cdot x \cdot d, f^{\prime}(x \cdot v) x \cdot c+f^{\prime \prime}(x \cdot v)(x \cdot d)^2\right)
\end{aligned}
$$
The derivatives computed would be exact if the underlying arithmetic were exact. Thus the only errors in the computed derivatives are due to roundoff error. This does not guarantee accurate results, but they rarely fail.
Forward mode automatic differentiation is suitable where there is one, or a small number, of independent variables with respect to which we wish to computed derivatives. If we wish to compute gradients for many inputs, we need a different method.
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Reverse Mode
The reverse mode of automatic differentiation is best suited to compute gradients of a single output function with respect to many inputs. The basic idea has been rediscovered multiple times that we know of, but the modern approach can be traced back at least to Seppo Linnainmaa in his PhD thesis that was later published [163]. For this, we need to conceptually flatten the execution of a piece of code so that it is written as a “straight-line code” with branches and loops removed. For example, the loop
should be written as it is executed:
$$
\begin{aligned}
& x_1 \leftarrow f\left(x_0\right) \
& x_2 \leftarrow f\left(x_1\right) \
& x_3 \leftarrow f\left(x_2\right) \
& x_4 \leftarrow f\left(x_3\right)
\end{aligned}
$$
The index $j$ in $x_j$ indicates a potentially new value for the variable ” $x$ ” for each pass through the body of the loop.
In reverse mode automatic differentiation, this execution path and the values of variables along this path must be saved, at least at strategically important points of the execution of the original code. This can be represented in a computational graph of the execution of the code. Note that in the computational graph, each variable must only be assigned a value once. If a value of a variable is over-written, then we create a new variable for the computational graph, as shown in the example of the loop above.
The code
$$
\begin{aligned}
& u \leftarrow r \cdot s \
& v \leftarrow r^s \
& x \leftarrow \varphi(u, v) \
& y \leftarrow x \cdot r
\end{aligned}
$$
can be represented by the computational graph in Figure 5.5.2.
We compute the partial derivatives $\partial y / \partial z$ for $z$ each of the variables in the computational graph as we go back through the computational graph.
数值分析代考
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Forward Mode
前向模式是最简单的自动微分方法,无论是在概念上还是在实践中。这个想法有时在允许重载算术运算和 函数的编程语言中实现为双数。双数是一对 $x=(x . v, x . d)$ 在哪里 $x . v$ 表示数字的值,并且 $x . d$ 它关于 某个单一参数的导数,比如说 $d x / d s$. 普通数被视为常数,因此表示为 $(v, 0)$ 在哪里 $v$ 是数字。 双数运算 $x$ 和 $y$ 可以描述为
$$
x+y=(x \cdot v+y \cdot v, x \cdot d+y \cdot d) x-y \quad=(x \cdot v-y \cdot v, x \cdot d-y \cdot d) x \cdot y=(x \cdot v \cdot y \cdot v
$$
这可以扩展到处理高阶导数,例如三重数 $x=(x . v, x . d, x . c)$ 在哪里 $x . d=d x / d s$ 和 $x . c=d^2 x / d s^2$. 那么对于三重数,例如,算术规则包括
$$
x \cdot y=(x \cdot v \cdot y \cdot v, x \cdot v \cdot y \cdot d+x \cdot d \cdot y \cdot v, x \cdot v \cdot y \cdot c+2 x \cdot d \cdot y \cdot d+x \cdot c \cdot y \cdot v) \quad f(x)
$$
如果基础算法是精确的,则计算出的导数将是精确的。因此,计算出的导数中唯一的误差是由于舍入误差 造成的。这并不能保证准确的结果,但它们很少会失败。
正向模式自动微分适用于我们希望计算导数的一个或少量自变量的情况。如果我们㹷望为许多输入计算梯 度,我们需要一种不同的方法。
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Reverse Mode
自动微分的反向模式最适合计算单个输出函数相对于多个输入的梯度。据我们所知,基本思想已被多次重 新发现,但现代方法至少可以追溯到 Seppo Linnainmaa 在其后来发表的博士论文中 [163]。为此,我们 需要在概念上将一段代码的执行扁平化,使其写成去除了分支和循环的“直线代码”。例如,循环 应该在执行时写成:
$$
x_1 \leftarrow f\left(x_0\right) \quad x_2 \leftarrow f\left(x_1\right) x_3 \leftarrow f\left(x_2\right) \quad x_4 \leftarrow f\left(x_3\right)
$$
指标 $j$ 在 $x_j$ 指示变量的潜在新值” $x$ ” 每次通过循环体。
在逆向模式自动微分中,这条执行路径和沿着这条路径的变量值必须被保存,至少在原始代码执行的战略 要点。这可以在代码执行的计算图中表示。请注意,在计算图中,每个变量只能被赋值一次。如果变量的 值被覆盖,那么我们为计算图创建一个新变量,如上面的循环示例所示。 代码
$$
u \leftarrow r \cdot s \quad v \leftarrow r^s x \leftarrow \varphi(u, v) \quad y \leftarrow x \cdot r
$$
可以用图 5.5.2 中的计算图来表示。
我们计算偏导数 $\partial y / \partial z$ 为了 $z$ 当我们返回计算图时,计算图中的每个变量。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。
有限元方法代写
有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。