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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Ramifications of the central limit theorem

Posted on 2023年5月18日2023年5月18日 by statistics-lab

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概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一套公理来表达它。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Ramifications of the central limit theorem

As an illustration of a general method of extending the central limit theorem to certain classes of dependent r.v.’s, we prove the following result. Further elaboration along the same lines is possible, but the basic idea, attributed to $S$. Bernstein, consists always in separating into blocks and neglecting small ones.
Let $\left{X_n, n \geq 1\right}$ be a sequence of r.v.’s; let $\mathscr{F}n$ be the Borel field generated by $\left{X_k, 1 \leq k \leq n\right}$, and $\mathscr{F}_n^{\prime}$ that by $\left{X_k, n{n+m}^{\prime}$ are independent. When $m=0$, this reduces to independence.
Theorem 7.3.1. Suppose that $\left{X_n\right}$ is a sequence of $m$-dependent, uniformly bounded r.v.’s such that
$$
\frac{\sigma\left(S_n\right)}{n^{1 / 3}} \rightarrow+\infty
$$
as $n \rightarrow \infty$. Then $\left[S_n-\varepsilon\left(S_n\right)\right] / \sigma\left(S_n\right)$ converges in dist. to $\Phi$.
PROOF. Let the uniform bound be $M$. Without loss of generality we may suppose that $\varepsilon\left(X_n\right)=0$ for each $n$. For an integer $k \geq 1$ let $n_j=[j n / k]$, $0 \leq j \leq k$, and put for large values of $n$ :
$$
\begin{aligned}
& Y_j=X_{n_j+1}+X_{n_j+2}+\cdots+X_{n_j+1-m}, \
& Z_j=X_{n_{j+1}-m+1}+X_{n_{j+1}-m+2}+\cdots+X_{n_{j+1}} .
\end{aligned}
$$
We have then
$$
S_n=\sum_{j=0}^{k-1} Y_j+\sum_{j=0}^{k-1} Z_j=S_n^{\prime}+S_n^{\prime \prime}, \text { say }
$$

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Error estimation

Questions of convergence lead inevitably to the question of the “speed” of convergence – in other words, to an investigation of the difference between the approximating expression and its limit. Specifically, if a sequence of d.f.’s $F_n$ converge to the unit normal d.f. $\Phi$, as in the central limit theorem, what can one say about the “remainder term” $F_n(x)-\Phi(x)$ ? An adequate estimate of this term is necessary in many mathematical applications, as well as for numerical computation. Under Liapounov’s condition there is a neat “order bound” due to Berry and Esseen, who improved upon Liapounov’s older result, as follows.

Theorem 7.4.1. Under the hypotheses of Theorem 7.1.2, there is a universal constant $A_0$ such that
$$
\sup _x\left|F_n(x)-\Phi(x)\right| \leq A_0 \Gamma_n
$$
where $F_n$ is the d.f. of $S_n$.

In the case of a single sequence of independent and identically distributed r.v.’s $\left{X_j, j \geq 1\right}$ with mean 0 , variance $\sigma^2$, and third absolute moment $\gamma<\infty$, the right side of (1) reduces to
$$
A_0 \frac{n \gamma}{\left(n \sigma^2\right)^{3 / 2}}=\frac{A_0 \gamma}{\sigma^3} \frac{1}{n^{1 / 2}} \text {. }
$$
H. Cramér and P. L. Hsu have shown that under somewhat stronger conditions, one may even obtain an asymptotic expansion of the form:
$$
F_n(x)=\Phi(x)+\frac{H_1(x)}{n^{1 / 2}}+\frac{H_2(x)}{n}+\frac{H_3(x)}{n^{3 / 2}}+\cdots,
$$
where the $H$ ‘s are explicit functions involving the Hermite polynomials. We shall not go into this, as the basic method of obtaining such an expansion is similar to the proof of the preceding theorem, although considerable technical complications arise. For this and other variants of the problem see Cramér [10], Gnedenko and Kolmogorov [12], and Hsu’s paper cited at the end of this chaptcr.

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Ramifications of the central limit theorem

作为一种将中心极限定理推广到某些相依rv类的一般方法的例证。，我们证明了以下结果。沿着同样的思路进一步阐述是可能的，但基本的想法，归因于$S$。伯恩斯坦(Bernstein)的观点在于，总是把事情分成几个部分，而忽略小的部分。
设$\left{X_n, n \geq 1\right}$为rv的序列;设$\mathscr{F}n$为$\left{X_k, 1 \leq k \leq n\right}$生成的Borel字段，$\left{X_k, n{n+m}^{\prime}$生成的$\mathscr{F}n^{\prime}$为独立字段。当$m=0$出现时，这就变成了独立。定理7.3.1。假设$\left{X_n\right}$是一个与$m$相关、一致有界的rv序列。是这样的 $$ \frac{\sigma\left(S_n\right)}{n^{1 / 3}} \rightarrow+\infty $$ 如$n \rightarrow \infty$。然后$\left[S_n-\varepsilon\left(S_n\right)\right] / \sigma\left(S_n\right)$在区域内收敛到$\Phi$。证明。让统一的界限是$M$。在不失一般性的前提下，我们可以假设$\varepsilon\left(X_n\right)=0$对于每个$n$。对于整数$k \geq 1$, let $n_j=[j n / k]$, $0 \leq j \leq k$，对于较大的$n$值，put: $$ \begin{aligned} & Y_j=X{n_j+1}+X_{n_j+2}+\cdots+X_{n_j+1-m}, \
& Z_j=X_{n_{j+1}-m+1}+X_{n_{j+1}-m+2}+\cdots+X_{n_{j+1}} .
\end{aligned}
$$
我们有
$$
S_n=\sum_{j=0}^{k-1} Y_j+\sum_{j=0}^{k-1} Z_j=S_n^{\prime}+S_n^{\prime \prime}, \text { say }
$$

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Error estimation

收敛问题不可避免地导致了收敛“速度”的问题——换句话说，导致了对近似表达式与其极限之间差异的研究。具体来说，如果d.f。的$F_n$收敛于单位法向d.f. $\Phi$，在中心极限定理中，对于“余数项”$F_n(x)-\Phi(x)$我们能说些什么呢?在许多数学应用和数值计算中，对这一项的适当估计是必要的。在Liapounov的条件下，由于Berry和Esseen改进了Liapounov的旧结果，有一个整洁的“序界”，如下所示。

定理7.4.1。在定理7.1.2的假设下，存在一个普适常数$A_0$，使得
$$
\sup _x\left|F_n(x)-\Phi(x)\right| \leq A_0 \Gamma_n
$$
其中$F_n$是$S_n$的d.f.。

对于一个独立且同分布的rv序列。s $\left{X_j, j \geq 1\right}$，均值为0，方差为$\sigma^2$，第三绝对矩为$\gamma<\infty$，则(1)的右侧约为 $$ A_0 \frac{n \gamma}{\left(n \sigma^2\right)^{3 / 2}}=\frac{A_0 \gamma}{\sigma^3} \frac{1}{n^{1 / 2}} \text {. } $$ H. cram和P. L. Hsu已经证明，在较强的条件下，人们甚至可以得到形式的渐近展开式:
$$
F_n(x)=\Phi(x)+\frac{H_1(x)}{n^{1 / 2}}+\frac{H_2(x)}{n}+\frac{H_3(x)}{n^{3 / 2}}+\cdots,
$$
其中$H$是包含埃尔米特多项式的显式函数。我们将不深入讨论这个问题，因为获得这种展开的基本方法与前面定理的证明类似，尽管会出现相当复杂的技术问题。关于这个问题和其他变体，请参见cram [10]， Gnedenko和Kolmogorov[12]，以及本章末尾引用的Hsu的论文。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Strong law of large numbers

Posted on 2023年5月6日2023年5月6日 by statistics-lab

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概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一套公理来表达它。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Strong law of large numbers

To return to the strong law of large numbers, the link is furnished by the following lemma on “summability”.

Kronecker’s lemma. Let $\left{x_k\right}$ be a sequence of real numbers, $\left{a_k\right}$ a sequence of numbers $>0$ and $\uparrow \infty$. Then
$$
\sum_n \frac{x_n}{a_n}<\text { converges } \Rightarrow \frac{1}{a_n} \sum_{j=1}^n x_j \rightarrow 0 .
$$
PROOF. For $1 \leq n \leq \infty$ let
$$
b_n=\sum_{j=1}^n \frac{x_j}{a_j} .
$$

If we also write $a_0=0, b_0=0$, we have
$$
x_n=a_n\left(b_n-b_{n-1}\right)
$$
and
$$
\frac{1}{a_n} \sum_{j=1}^n x_j=\frac{1}{a_n} \sum_{j=1}^n a_j\left(b_j-b_{j-1}\right)=b_n-\frac{1}{a_n} \sum_{j=0}^{n-1} b_j\left(a_{j+1}-a_j\right)
$$
(Abel’s method of partial summation). Since $a_{j+1}-a_j \geq 0$,
$$
\frac{1}{a_n} \sum_{j=0}^{n-1}\left(a_{j+1}-a_j\right)=1
$$
and $b_n \rightarrow b_{\infty}$, we have
$$
\frac{1}{a_n} \sum_{j=1}^n x_j \rightarrow b_{\infty}-b_{\infty}=0 .
$$

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Applications

The law of large numbers has numerous applications in all parts of probability theory and in other related fields such as combinatorial analysis and statistics. We shall illustrate this by two examples involving certain important new concepts.

The first deals with so-called “empiric distributions” in sampling theory. Let $\left{X_n, n \geq 1\right}$ be a sequence of independent, identically distributed r.v.’s with the common d.f. $F$. This is sometimes referred to as the “underlying” or “theoretical distribution” and is regarded as “unknown” in statistical lingo. For each $\omega$, the values $X_n(\omega)$ are called “samples” or “observed values”, and the idca is to get some information on $F$ by looking at the samples. For each $n$, and each $\omega \in \Omega$, let the $n$ real numbers $\left{X_j(\omega), 1 \leq j \leq n\right}$ be arranged in increasing order as
$$
Y_{n 1}(\omega) \leq Y_{n 2}(\omega) \leq \cdots \leq Y_{n n}(\omega)
$$
Now define a discrete d.f. $F_n(\cdot, \omega)$ as follows:
$$
\begin{array}{ll}
F_n(x, \omega)=0, & \text { if } x<Y_{n 1}(\omega), \
F_n(x, \omega)=\frac{k}{n}, & \text { if } Y_{n k}(\omega) \leq x<Y_{n \cdot k+1}(\omega), 1 \leq k \leq n-1 . \
F_n(x, \omega)=1, & \text { if } x \geq Y_{n n}(\omega) .
\end{array}
$$

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Strong law of large numbers

回到强大数定律，下面关于“可和性”的引理提供了这种联系。

克罗内克引理。设$\left{x_k\right}$为实数序列，$\left{a_k\right}$为数字序列$>0$和$\uparrow \infty$。然后
$$
\sum_n \frac{x_n}{a_n}<\text { converges } \Rightarrow \frac{1}{a_n} \sum_{j=1}^n x_j \rightarrow 0 .
$$
证明。对于$1 \leq n \leq \infty$，让
$$
b_n=\sum_{j=1}^n \frac{x_j}{a_j} .
$$

如果我们也写$a_0=0, b_0=0$，我们有
$$
x_n=a_n\left(b_n-b_{n-1}\right)
$$
和
$$
\frac{1}{a_n} \sum_{j=1}^n x_j=\frac{1}{a_n} \sum_{j=1}^n a_j\left(b_j-b_{j-1}\right)=b_n-\frac{1}{a_n} \sum_{j=0}^{n-1} b_j\left(a_{j+1}-a_j\right)
$$
(阿贝尔部分求和法)。自$a_{j+1}-a_j \geq 0$以来，
$$
\frac{1}{a_n} \sum_{j=0}^{n-1}\left(a_{j+1}-a_j\right)=1
$$
$b_n \rightarrow b_{\infty}$，我们有
$$
\frac{1}{a_n} \sum_{j=1}^n x_j \rightarrow b_{\infty}-b_{\infty}=0 .
$$

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Applications

大数定律在概率论的各个部分以及其他相关领域，如组合分析和统计中都有大量的应用。我们将用两个涉及某些重要新概念的例子来说明这一点。

第一部分处理抽样理论中所谓的“经验分布”。设$\left{X_n, n \geq 1\right}$为独立的、同分布的r.v.序列。的共同d.f. $F$。这有时被称为“潜在”或“理论分布”，在统计学术语中被视为“未知”。对于每个$\omega$，值$X_n(\omega)$被称为“样本”或“观察值”，而idca是通过查看样本来获取有关$F$的一些信息。对于每个$n$和每个$\omega \in \Omega$，将$n$实数$\left{X_j(\omega), 1 \leq j \leq n\right}$按递增顺序排列为
$$
Y_{n 1}(\omega) \leq Y_{n 2}(\omega) \leq \cdots \leq Y_{n n}(\omega)
$$
现在定义离散d.f. $F_n(\cdot, \omega)$如下:
$$
\begin{array}{ll}
F_n(x, \omega)=0, & \text { if } x<Y_{n 1}(\omega), \
F_n(x, \omega)=\frac{k}{n}, & \text { if } Y_{n k}(\omega) \leq x<Y_{n \cdot k+1}(\omega), 1 \leq k \leq n-1 . \
F_n(x, \omega)=1, & \text { if } x \geq Y_{n n}(\omega) .
\end{array}
$$

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Continuation

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如果你也在怎样代写概率论Probability theory这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一套公理来表达它。

我们提供的概率论Probability theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Continuation

We proceed to discuss another kind of criterion, which is becoming ever more popular in measure theory as well as functional analysis. This has to do with classes of continuous functions on $\mathscr{R}^1$.
$C_K=$ the class of continuous functions $f$ each vanishing outside a compact set $K(f)$
$C_0=$ the class of continuous functions $f$ such that
$$
\lim _{|x| \rightarrow \infty} f(x)=0
$$
$C_B=$ the class of bounded continuous functions;
$C=$ the class of continuous functions.
We have $C_K \subset C_0 \subset C_B \subset C$. It is well known that $C_0$ is the closure of $C_K$ with respect to uniform convergence.

An arbitrary function $f$ defined on an arbitrary space is said to have support in a subset $S$ of the space iff it vanishes outside $S$. Thus if $f \in C_K$, then it has support in a certain compact set, hence also in a certain compact interval. A step function on a finite or infinite interval $(a, b)$ is one with support in it such that $f(x)=c_j$ for $x \in\left(a_j, a_{j+1}\right)$ for $1 \leq j \leq \ell$, where $\ell$ is finite, $a=a_1<\cdots<a_{\ell}=b$, and the $c_j$ ‘s are arbitrary real numbers. It will be called $D$-valued iff all the $a_j$ ‘s and $c_j$ ‘s belong to a given set $D$. When the interval $(a, b)$ is $\Re^1, f$ is called just a step function. Note that the values of $f$ at the points $a_j$ are left unspecified to allow for flexibility; frequently they are defined by right or left continuity. The following lemma is basic.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Approximation Lemma

Approximation Lemma. Suppose that $f \in C_K$ has support in the compact interval $[a, b]$. Given any dense subset $A$ of $\mathscr{R}^1$ and $\epsilon>0$, there exists an $A$-valued step function $f_\epsilon$ on $(a, b)$ such that
$$
\sup {x \in \mathscr{R}^1}\left|f(x)-f\epsilon(x)\right| \leq \epsilon
$$
If $f \in C_0$, the same is true if $(a, b)$ is replaced by $\mathscr{R}^1$.
This lemma becomes obvious as soon as its geometric meaning is grasped. In fact, for any $f$ in $C_K$, one may even require that either $f_\epsilon \leq f$ or $f_\epsilon \geq f$.

The problem is then that of the approximation of the graph of a plane curve by inscribed or circumscribed polygons, as treated in elementary calculus. But let us remark that the lemma is also a particular case of the Stone-Weierstrass theorem (see, e.g., Rudin [2]) and should be so verified by the reader. Such a sledgehammer approach has its merit, as other kinds of approximation soon to be needed can also be subsumed under the same theorem. Indeed, the discussion in this section is meant in part to introduce some modern terminology to the relevant applications in probability theory. We can now state the following alternative criterion for vague convergence.

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Continuation

我们接着讨论另一类判据，它在测度理论和泛函分析中越来越流行。这与$\mathscr{R}^1$上的连续函数类有关。
$C_K=$连续函数的类$f$每个函数在紧集合外消失$K(f)$
$C_0=$连续函数的类$f$满足
$$
\lim _{|x| \rightarrow \infty} f(x)=0
$$
$C_B=$有界连续函数类;
$C=$连续函数的类。
我们有$C_K \subset C_0 \subset C_B \subset C$。众所周知，$C_0$是$C_K$关于一致收敛的闭包。

定义在任意空间上的任意函数$f$，如果它在$S$之外消失，则在该空间的子集$S$中具有支持。因此，如果$f \in C_K$，则它在某紧集上有支持，因此在某紧区间上也有支持。在有限或无限区间$(a, b)$上的阶跃函数是这样一种支持:$f(x)=c_j$对于$x \in\left(a_j, a_{j+1}\right)$对于$1 \leq j \leq \ell$，其中$\ell$是有限的，$a=a_1<\cdots<a_{\ell}=b$，并且$c_j$是任意实数。如果所有的$a_j$和$c_j$都属于一个给定的集合$D$，那么它将被称为$D$ -value。当区间$(a, b)$为$\Re^1, f$时，它被称为阶跃函数。请注意，$f$在$a_j$处的值未指定，以允许灵活性;它们通常被定义为右连续性或左连续性。下面的引理是基本的。

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Approximation Lemma

近似引理。假设$f \in C_K$在压缩区间$[a, b]$中有支持。给定$\mathscr{R}^1$和$\epsilon>0$的任意密集子集$A$，在$(a, b)$上存在一个$A$值阶跃函数$f_\epsilon$，使得
$$
\sup {x \in \mathscr{R}^1}\left|f(x)-f\epsilon(x)\right| \leq \epsilon
$$
如果是$f \in C_0$，那么将$(a, b)$替换为$\mathscr{R}^1$也是如此。
一旦掌握了它的几何意义，这个引理就变得显而易见了。事实上，对于$C_K$中的任何$f$，甚至可以要求$f_\epsilon \leq f$或$f_\epsilon \geq f$。

那么问题就是用内切多边形或外切多边形近似平面曲线的图形，就像初等微积分中处理的那样。但是我们要注意，引理也是Stone-Weierstrass定理的一个特例(参见Rudin[2])，应该由读者来验证。这种大锤式的方法有它的优点，因为很快需要的其他种类的近似也可以包含在同一定理下。事实上，本节的讨论部分是为了向概率论中的相关应用介绍一些现代术语。我们现在可以陈述以下模糊收敛的备选准则。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Probability measures and their distribution functions

Posted on 2023年5月6日2023年5月6日 by statistics-lab

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概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一套公理来表达它。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Probability measures and their distribution functions

Let $\Omega$ be a space, $\mathscr{F}$ a B.F. of subsets of $\Omega$. A probability measure $\mathscr{P}(\cdot)$ on $\mathscr{F}$ is a numerically valued set function with domain $\mathscr{F}$, satisfying the following axioms:
(i) $\forall E \in \mathscr{F}: \mathscr{P}(E) \geq 0$.
(ii) If $\left{E_j\right}$ is a countable collection of (pairwise) disjoint sets in $\bar{F}$, then
$$
\mathscr{P}\left(\bigcup_j E_j\right)=\sum_j \mathscr{P}\left(E_j\right) .
$$
(iii) $\mathscr{P}(\Omega)=1$.
The abbreviation “p.m.” will be used for “probability measure”.
These axioms imply the following consequences, where all sets are members of $\mathscr{F}$.
(iv) $\mathscr{P}(E) \leq 1$.
(v) $\mathscr{P}(\varnothing)=0$.
(vi) $\mathscr{P}\left(E^c\right)=1-\mathscr{P}(E)$.
(vii) $\mathscr{P}(E \cup F)+\mathscr{P}(E \cap F)=\mathscr{P}(E)+\mathscr{P}(F)$.
(viii) $E \subset F \Rightarrow \mathscr{P}(E)=\mathscr{P}(F)-\mathscr{P}(F \backslash E) \leq \mathscr{P}(F)$.
(ix) Monotone property. $E_n \uparrow E$ or $E_n \downarrow E \Rightarrow \mathscr{P}\left(E_n\right) \rightarrow \mathscr{P}(E)$.
(x) Boole’s inequality. $\mathscr{P}\left(\bigcup_j E_j\right) \leq \sum_j \mathscr{P}\left(E_j\right)$.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|General definitions

real line, $\mathscr{B}^=[-\infty,+\infty]$ the extended real line, $\mathscr{B}^1=$ the Euclidean Borel field on $\mathscr{R}^1, \mathscr{B}^=$ the extended Borel field. A set in $\mathscr{B}^*$ is just a set in $\mathscr{B}$ possibly enlarged by one or both points $\pm \infty$.

DEFINITION OF A RANDOM VARIABLE. A real, extended-valued random variable is a function $X$ whose domain is a set $\Delta$ in $\mathscr{F}$ and whose range is contained in $\mathscr{R}^=[-\infty,+\infty]$ such that for each $B$ in $\mathcal{B}^$, we have
$$
{\omega: X(\omega) \in B} \in \Delta \cap \bar{K}
$$
where $\Delta \cap \bar{\pi}$ is the trace of $\bar{\pi}$ on $\Delta$. A complex-valued random variable is a function on a set $\Delta$ in $\bar{W}$ to the complex plane whose real and imaginary parts are both real, finite-valued random variables.

This definition in its generality is necessary for logical reasons in many applications, but for a discussion of basic properties we may suppose $\Delta=\Omega$ and that $X$ is real and finite-valued with probability one. This restricted meaning of a “random variable”, abbreviated as “r.v.”, will be understood in the book unless otherwise specified. The general case may be reduced to this one by considering the trace of $(\Omega, \bar{\pi}, \mathscr{P})$ on $\Delta$, or on the “domain of finiteness” $\Delta_0={\omega:|X(\omega)|<\infty}$, and taking real and imaginary parts.

Consider the “inverse mapping” $X^{-1}$ from $\mathscr{R}^1$ to $\Omega$, defined (as usual) as follows:
$$
\forall A \subset \mathscr{R}^1: X^{-1}(A)={\omega: X(\omega) \in A} .
$$

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Probability measures and their distribution functions

设$\Omega$是一个空间，$\mathscr{F}$是$\Omega$子集的B.F.。在$\mathscr{F}$上的概率测度$\mathscr{P}(\cdot)$是域为$\mathscr{F}$的数值集合函数，满足以下公理:
(i) $\forall E \in \mathscr{F}: \mathscr{P}(E) \geq 0$。
(ii)如果$\left{E_j\right}$是$\bar{F}$中(成对)不相交集合的可数集合，则
$$
\mathscr{P}\left(\bigcup_j E_j\right)=\sum_j \mathscr{P}\left(E_j\right) .
$$
(iii) $\mathscr{P}(\Omega)=1$。
缩写“p.m.”将用于“概率度量”。
这些公理暗示了以下结果，其中所有集合都是$\mathscr{F}$的成员。
(四)$\mathscr{P}(E) \leq 1$。
(v) $\mathscr{P}(\varnothing)=0$。
(vi) $\mathscr{P}\left(E^c\right)=1-\mathscr{P}(E)$。
(vii) $\mathscr{P}(E \cup F)+\mathscr{P}(E \cap F)=\mathscr{P}(E)+\mathscr{P}(F)$。
(viii) $E \subset F \Rightarrow \mathscr{P}(E)=\mathscr{P}(F)-\mathscr{P}(F \backslash E) \leq \mathscr{P}(F)$。
(ix)单调性。$E_n \uparrow E$或$E_n \downarrow E \Rightarrow \mathscr{P}\left(E_n\right) \rightarrow \mathscr{P}(E)$。
(x)布尔不等式。$\mathscr{P}\left(\bigcup_j E_j\right) \leq \sum_j \mathscr{P}\left(E_j\right)$。

数学代写|概率论代写Probability theory代考|General definitions

实数线，$\mathscr{B}^=[-\infty,+\infty]$扩展实数线，$\mathscr{B}^1=$上的欧几里得波雷尔场$\mathscr{R}^1, \mathscr{B}^=$扩展波雷尔场。$\mathscr{B}^*$中的一个集合就是$\mathscr{B}$中的一个集合，可能被一个点或两个点放大$\pm \infty$。

随机变量的定义。一个实的扩展值随机变量是一个函数$X$，它的域是$\mathscr{F}$中的集合$\Delta$，它的范围包含在$\mathscr{R}^=[-\infty,+\infty]$中，因此对于$\mathcal{B}^$中的每个$B$，我们有
$$
{\omega: X(\omega) \in B} \in \Delta \cap \bar{K}
$$
其中$\Delta \cap \bar{\pi}$是$\bar{\pi}$在$\Delta$上的轨迹。复值随机变量是在$\bar{W}$的复平面集合$\Delta$上的函数，其实部和虚部都是实的有限值随机变量。

在许多应用中，由于逻辑原因，这个广义的定义是必要的，但为了讨论基本性质，我们可以假设$\Delta=\Omega$和$X$是实数和有限值，概率为1。“随机变量”(简称为“r.v.”)的这种限定含义，除非另有说明，否则将在本书中理解。一般情况可以简化为这种情况，只要考虑$(\Omega, \bar{\pi}, \mathscr{P})$在$\Delta$上或在“有限域”$\Delta_0={\omega:|X(\omega)|<\infty}$上的轨迹，并取实部和虚部。

考虑从$\mathscr{R}^1$到$\Omega$的“反向映射”$X^{-1}$，定义如下:
$$
\forall A \subset \mathscr{R}^1: X^{-1}(A)={\omega: X(\omega) \in A} .
$$

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Characteristic Function

Posted on 2023年4月18日2023年4月18日 by statistics-lab

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概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一套公理来表达它。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Characteristic Function

In previous sections we analyzed distributions $J$ on a locally compact metric space $(S, d)$ in terms of their values $J g$ at basis functions $g$ in a partition of unity. In the special case where $(S, d)$ is the Euclidean space $R$, the basis functions can be replaced by the exponential functions $h_\lambda$, where $\lambda \in R$, where $h_\lambda(x) \equiv e^{i \lambda x}$ for each $x \in R$, and where $i \equiv \sqrt{-1}$. The result is characteristic functions, which are most useful in the study of distributions of r.r.v.’s.

The classical development of this tool, such as in [Chung 1968] or [Loeve 1960], is constructive, except for infrequent and nonessential appeals to the principle of infinite search. The bare essentials of this material are presented here for completeness and for ease of reference. The reader who is familiar with the topic and is comfortable with the notion that the classical treatment is constructive, or easily made so, can skip over this and the next section and come back only for reference.

We will be working with complex-valued measurable functions. Let $\mathbb{C}$ denote the complex plane equipped with the usual metric.

Definition 5.8.1. Complex-valued integrable function. Let $I$ be an integration on a locally compact metric space $(S, d)$, and let $(S, \Lambda, I)$ denote the completion of the integration space $(S, C(S), I)$. A function $X \equiv I U+i I V: S \rightarrow \mathbb{C}$ whose real part $U$ and imaginary part $V$ are measurable on $(S, \Lambda, I)$ is said to be measurable on $(S, \Lambda, I)$. If both $U, V$ are integrable, then $X$ is said to be integrable, with integral $I X \equiv I U+i I V$.

By separation into real and imaginary parts, the complex-valued functions immediately inherit the bulk of the theory of integration developed hitherto in this book for real-valued functions. One exception is the very basic inequality $|I X| \leq I|X|$ when $|X|$ is integrable. Its trivial proof in the case of real-valued integrable functions relies on the linear ordering of $R$, which is absent in $\mathbb{C}$. The next lemma gives a proof for complex-valued integrable functions.

Lemma 5.8.2. $|I X| \leq I|X|$ for complex-valued integrable function $X$. Use the notations in Definition 5.8.1. Let $X: S \rightarrow \mathbb{C}$ be an arbitrary complex-valued function. Then the function $X$ is measurable in the sense of Definition 5.8.1 iff it is measurable in the sense of Definition 5.8.1. In other words, the former is consistent with the latter. Moreover, if $X$ is measurable and if $|X| \in L$, then $X$ is integrable with $|I X| \leq I|X|$.

Proof. Write $X \equiv I U+i I V$, where $U, V$ are the real and imaginary parts of $X$, respectively.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Central Limit Theorem

Let $X_1, \ldots, X_n$ be independent r.r.v.’s with mean 0 and standard deviations $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$, respectively. Define $\sigma$ by $\sigma^2=\sigma_1^2+\cdots+\sigma_n^2$ and consider the distribution $F$ of the scaled sum $X=\left(X_1+\cdots+X_n\right) / \sigma$. By replacing $X_i$ with $X_i / \sigma$ we may assume that $\sigma=1$. The Central Limit Theorem says that if each individual summand $X_i$ is small relative to the sum $X$, then $F$ is close to the standard normal distribution $\Phi_{0,1}$.

One criterion, due to Lindberg and Feller, for the summands $X_k(k=1, \ldots, n)$ to be individually small relative to the sum, is for
$$
\theta(r) \equiv \sum_{k=1}^n\left(E 1_{\left|X_k\right|>r} X_k^2+E 1_{\left|X_k\right| \leq r}\left|X_k\right|^3\right)
$$
to be small for some $r \geq 0$.
Lemma 5.9.1. Lindberg-Feller bound. Suppose $r \geq 0$ is such that $\theta(r)<\frac{1}{8}$. Then $$ \sum_{k=1}^n \sigma_k^3 \leq \theta(r) $$ Proof. Consider each $k=1, \ldots, n$. Then, since $\theta(r)<\frac{1}{8}$ by hypothesis, we have $z \equiv E 1_{\left|X_k\right|>r} X_k^2<\frac{1}{8}$ and $a \equiv E 1_{\left|X_k\right| \leq r}\left|X_k\right|^3<\frac{1}{8}$. A consequence is that $\left(z+a^{2 / 3}\right)^{3 / 2} \leq z+a$, which can be seen by noting that the two sides are equal at $z=0$ and by comparing first derivatives relative to $z$ on $\left[0, \frac{1}{8}\right]$. Lyapunov’s inequality then implies that $$ \begin{aligned} \sigma_k^3 & =\left(E X_k^2 1_{\left(\left|X_k\right|>r\right)}+E X_k^2 1_{\left(\left|X_k\right| \leq r\right)}\right)^{3 / 2} \
& \leq\left(E X_k^2 1_{\left(\left|X_k\right|>r\right)}+\left(E\left|X_k\right|^3 1_{\left(\left|X_k\right| \leq r\right)}\right)^{2 / 3}\right)^{3 / 2} \
& \equiv\left(z+a^{2 / 3}\right)^{3 / 2} \leq z+a \equiv E X_k^2 1_{\left(\left|X_k\right|>r\right)}+E\left|X_k\right|^3 1_{\left(\left|X_k\right| \leq r\right)} .
\end{aligned}
$$
Summing over $k$, we obtain inequality 5.9.1.

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Characteristic Function

在前面的部分中，我们分析了分布 $J$ 在局部紧度量空间 $(S, d)$ 在他们的价值观方面 $J g$ 在基函数 $g$ 在统一的分区中。在特殊情况下 $(S, d)$ 是欧氏空间 $R$, 基函数可以用指数函数代替 $h_\lambda$ ，在哪里 $\lambda \in R$ ，在哪里 $h_\lambda(x) \equiv e^{i \lambda x}$ 每个 $x \in R$, 在哪里 $i \equiv \sqrt{-1}$. 结果是特征函数，它在 rrv 分布的研究中最有用。
该工具的经典开发，例如 [Chung 1968] 或 [Loeve 1960]，是建设性的，除了不经常和非必要地诉诸无限搜索原则。为了完整性和便于参考，此处提供了该材料的基本要点。熟悉该主题并且对经典处理具有建设性或易于实现这一概念感到满意的读者可以跳过本节和下一节，返回仅供参考。
我们将使用复值可测量函数。让 $\mathbb{C}$ 表示配备常用度量的复平面。
定义 5.8.1。复值可积函数。让 $I$ 是局部紧度量空间上的积分 $(S, d)$ ，然后让 $(S, \Lambda, I)$ 表示积分空间的完成 $(S, C(S), I)$.一个功能 $X \equiv I U+i I V: S \rightarrow \mathbb{C}$ 谁的真实部分 $U$ 和虚部 $V$ 是可衡量的 $(S, \Lambda, I)$ 据说是可测量的 $(S, \Lambda, I)$. 如果两者 $U, V$ 是可积的，那么 $X$ 据说是可积的，具有积分 $I X \equiv I U+i I V$.
通过分离成实部和虚部，复值函数立即继承了本书迄今为实值函数发展的大部分积分理论。一个例外是非常基本的不平等 $|I X| \leq I|X|$ 什么时候 $|X|$ 是可积的。它在实值可积函数情况下的简单证明依赖于线性排序 $R$, 在中不存在 $\mathbb{C}$. 下一个引理给出了复值可积函数的证明。
引理 5.8.2。 $|I X| \leq I|X|$ 对于复值可积函数 $X$. 使用定义 5.8.1 中的符号。让 $X: S \rightarrow \mathbb{C}$ 是一个任意的复值函数。然后是函数 $X$ 在定义 5.8.1 的意义上是可测量的当且仅当它在定义 5.8 .1 的意义上是可测量的。也就是说，前者与后者是一致的。此外，如果 $X$ 是可测量的，如果 $|X| \in L$ ，然后 $X$ 可积于 $|I X| \leq I|X|$
证明。写 $X \equiv I U+i I V$ ，在哪里 $U, V$ 是实部和虚部 $X$ ，分别。

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Central Limit Theorem

让 $X_1, \ldots, X_n$ 是具有均值 0 和标准差的独立 $\operatorname{rrv} \sigma_1, \ldots, \sigma_n$ ，分别。定义 $\sigma$ 经过 $\sigma^2=\sigma_1^2+\cdots+\sigma_n^2$ 并考虑分布 $F$ 比例总和 $X=\left(X_1+\cdots+X_n\right) / \sigma$. 通过更换 $X_i$ 和 $X_i / \sigma$ 我们可以假设 $\sigma=1$. 中心极限定理说如果每个单独的被加数 $X_i$ 相对于总和来说很小 $X$ ，然后 $F$ 接近于标准正态分布 $\Phi_{0,1}$.
一个标准，由于 Lindberg 和 Feller，用于被加数 $X_k(k=1, \ldots, n)$ 相对于总和个别较小，是为了
$$
\theta(r) \equiv \sum_{k=1}^n\left(E 1_{\left|X_k\right|>r} X_k^2+E 1_{\left|X_k\right| \leq r}\left|X_k\right|^3\right)
$$
对某些人来说很小 $r \geq 0$.
引理 5.9.1。林德伯格-费勒绑定。认为 $r \geq 0$ 是这样的 $\theta(r)<\frac{1}{8}$. 然后 $$ \sum_{k=1}^n \sigma_k^3 \leq \theta(r) $$ 证明。考虑每个 $k=1, \ldots, n$. 然后，因为 $\theta(r)<\frac{1}{8}$ 根据假设，我们有 $z \equiv E 1_{\left|X_k\right|>r} X_k^2<\frac{1}{8}$ 和 $a \equiv E 1_{\left|X_k\right| \leq r}\left|X_k\right|^3<\frac{1}{8}$. 一个后果是 $\left(z+a^{2 / 3}\right)^{3 / 2} \leq z+a$, 这可以通过注意到两侧在 $z=0$ 并通过比较一阶导数相对于 $z$ 在 $\left[0, \frac{1}{8}\right]$. 李亚普诺夫不等式意味着 $$ \sigma_k^3=\left(E X_k^2 1_{\left(\left|X_k\right|>r\right)}+E X_k^2 1_{\left(\left|X_k\right| \leq r\right)}\right)^{3 / 2} \leq\left(E X_k^2 1_{\left(\left|X_k\right|>r\right)}+\left(E\left|X_k\right|^3 1_{\left(\left|X_k\right| \leq r\right)}\right)^{2 / 3}\right)^{3 / 2}
$$
总结结束 $k$ ，我们得到不等式 5.9.1。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Independence and Conditional Expectation

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Independence and Conditional Expectation

The product space introduced in Definition 4.10.5 gives a model for compounding two independent experiments into one. This section introduces the notion of conditional expectations, which is a more general method of compounding probability spaces.

Definition 5.6.1. Independent set of r.v.’s. Let $(\Omega, L, E)$ be a probability space. A finite set $\left{X_1, \ldots, X_n\right}$ of r.v.’s where $X_i$ has values in a complete metric space $\left(S_i, d_i\right)$, for each $i=1, \ldots, n$, is said to be independent if
$$
E f_1\left(X_1\right) \ldots f_n\left(X_n\right)=E f_1\left(X_1\right) \ldots E f_n\left(X_n\right)
$$
for each $f_1 \in C_{u b}\left(S_1\right), \ldots, f_n \in C_{u b}\left(S_n\right)$. In that case, we will also simply say that $X_1, \ldots, X_n$ are independent r.v.’s. A sequence of events $A_1, \ldots, A_n$ is said to be independent if their indicators $1_{A(1)}, \ldots, 1_{A(n)}$ are independent r.r.v.’s.

An arbitrary set of r.v.’s is said to be independent if every finite subset is independent.

Proposition 5.6.2. Independent r.v.’s from product space. Let $F_1, \ldots, F_n$ be distributions on the locally compact metric spaces $\left(S_1, d_1\right), \ldots,\left(S_n, d_n\right)$, respectively. Let $(S, d) \equiv\left(S_1 \times \ldots, S_n, d_1 \otimes \ldots \otimes d_n\right)$ be the product metric space. Consider the product integration space
$$
(\Omega, L, E) \equiv\left(S, L, F_1 \otimes \cdots \otimes F_n\right) \equiv \bigotimes_{j=1}^n\left(S_j, L_j, F_j\right),
$$
where $\left(S_i, L_i, F_i\right)$ is the probability space that is the completion of $\left(S_i, C_{u b}\left(S_i\right), F_i\right)$, for each $i=1, \ldots, n$. Then the following conditions hold:

Let $i=1, \ldots, n$ be arbitrary. Define the coordinate r.v. $X_i: \Omega \rightarrow S_i$ by $X_i(\omega) \equiv \omega_i$ for each $\omega \equiv\left(\omega_1, \ldots, \omega_n\right) \in \Omega$. Then the r.v’s $X_1, \ldots, X_n$ are independent. Moreover, $X_i$ induces the distribution $F_i$ on $\left(S_i, d_i\right)$ for each $i=$ $1, \ldots, n$.
$F_1 \otimes \cdots \otimes F_n$ is a distribution on $(S, d)$. Specifically, it is the distribution $F$ induced on $(S, d)$ by the r.v. $X \equiv\left(X_1, \ldots, X_n\right)$.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Normal Distribution

The classical development of the topics in the remainder of this chapter is an exemplar of constructive mathematics. However, some tools in this development have been given many proofs – some constructive and others not. An example is the spectral theorem for symmetric matrices discussed in this section. For ease of reference, we therefore present some of these topics here, using only constructive proofs.
Recall some notations and basic theorems from matrix algebra.

For an arbitrary sequence $\bar{\mu} \equiv\left(\mu_1, \ldots, \mu_n\right) \in R^n$, we will abuse notations and let $\bar{\mu}$ denote also the column vector
$$
\bar{\mu} \equiv\left(\mu_1, \ldots, \mu_n\right) \equiv\left[\begin{array}{c}
\mu_1 \
\cdot \
\cdot \
\cdot \
\mu_n
\end{array}\right]
$$
Thus $\bar{\mu}^T=\left[\mu_1, \ldots, \mu_n\right]$. A $1 \times 1$ matrix is identified with its only entry. Hence, if $\bar{\mu} \in R^n$, then
$$
|\mu| \equiv|\bar{\mu}| \equiv \sqrt{\bar{\mu}^T \bar{\mu}}=\sqrt{\sum_{i=1}^n \mu_i^2} .
$$
We will let $I_n$ denote the $n \times n$ diagonal matrix $\operatorname{diag}(1, \ldots, 1)$. When the dimension $n$ is understood, we write simply $I \equiv I_n$. Likewise, we will write 0 for any matrix whose entries are all equal to the real number 0 , with dimensions understood from the context.

The determinant of an $n \times n$ matrix $\theta$ is denoted by $\operatorname{det} \theta$. The $n$ complex roots $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ of the polynomial $\operatorname{det}(\theta-\lambda I)$ of degree $n$ are called the eigenvalues of $\theta$. Then $\operatorname{det} \theta=\lambda_1 \ldots \lambda_n$. Let $j=1, \ldots, n$ be arbitrary. Then there exists a nonzero column vector $x_j$, whose elements are in general complex, such that $\theta x_j=\lambda_j x_j$. The vector $x_j$ is called an eigenvector for the eigenvalue $\lambda_j$. If $\theta$ is real and symmetric, then the $n$ eigenvalues $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ are real.

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Independence and Conditional Expectation

定义 4.10.5 中引入的乘积空间给出了将两个独立实验合二为一的模型。本节介绍条件期望的概念，这是一种更通用的复合概率空间方法。
定义 5.6.1。独立的房车。让 $(\Omega, L, E)$ 成为一个概率空间。有限集 $\$ \eft $\left{X _1, \backslash d o t s, X _n \backslash r i g h t\right}$ 房车的位置 $X_i$ 在完备度量空间中有值 $\left(S_i, d_i\right)$ ，对于每个 $i=1, \ldots, n_r$ 据说是独立的如果
$$
E f_1\left(X_1\right) \ldots f_n\left(X_n\right)=E f_1\left(X_1\right) \ldots E f_n\left(X_n\right)
$$
每个 $f_1 \in C_{u b}\left(S_1\right), \ldots, f_n \in C_{u b}\left(S_n\right)$. 在那种情况下，我们也将简单地说 $X_1, \ldots, X_n$ 是独立的房车。一系列事件 $A_1, \ldots, A_n$ 据说是独立的，如果他们的指标 $1_{A(1)}, \ldots, 1_{A(n)}$ 是独立的rv。
如果每个有限子集都是独立的，则称任意一组 $r v$ 是独立的。
提案 5.6.2。来自产品空间的独立房车。让 $F_1, \ldots, F_n$ 是局部紧度量空间上的分布 $\left(S_1, d_1\right), \ldots,\left(S_n, d_n\right)$ ，分别。让 $(S, d) \equiv\left(S_1 \times \ldots, S_n, d_1 \otimes \ldots \otimes d_n\right)$ 是乘积度量空间。考虑产品集成空间
$$
(\Omega, L, E) \equiv\left(S, L, F_1 \otimes \cdots \otimes F_n\right) \equiv \bigotimes_{j=1}^n\left(S_j, L_j, F_j\right),
$$
在哪里 $\left(S_i, L_i, F_i\right)$ 是完成的概率空间 $\left(S_i, C_{u b}\left(S_i\right), F_i\right)$ ，对于每个 $i=1, \ldots, n$. 那么以下条件成立:

让 $i=1, \ldots, n$ 是任意的。定义坐标 $r v X_i: \Omega \rightarrow S_i$ 经过 $X_i(\omega) \equiv \omega_i$ 每个 $\omega \equiv\left(\omega_1, \ldots, \omega_n\right) \in \Omega$. 然后房车 $X_1, \ldots, X_n$ 是独立的。而且， $X_i$ 诱导分布 $F_i$ 在 $\left(S_i, d_i\right)$ 每个 $i=1, \ldots, n$.
$F_1 \otimes \cdots \otimes F_n$ 是一个分布 $(S, d)$. 具体来说就是分布 $F$ 请发 $(S, d)$ 由房车 $X \equiv\left(X_1, \ldots, X_n\right)$.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Normal Distribution

本章其余部分的主题的经典发展是构造性数学的一个范例。但是，此开发中的某些工具已获得许多证明一一一些是建设性的，而另一些则不是。一个例子是本节讨论的对称矩阵的谱定理。因此，为了便于参考，我们仅使用建设性证据在此处介绍其中一些主题。回忆一下矩阵代数中的一些符号和基本定理。
对于任意序列 $\bar{\mu} \equiv\left(\mu_1, \ldots, \mu_n\right) \in R^n$ ，我们将滥用符号并让 $\bar{\mu}$ 也表示列向量
$$
\bar{\mu} \equiv\left(\mu_1, \ldots, \mu_n\right) \equiv\left[\mu_1 \cdot . \cdot \mu_n\right]
$$
因此 $\bar{\mu}^T=\left[\mu_1, \ldots, \mu_n\right] . \mathrm{A} 1 \times 1$ 矩阵以其唯一条目标识。因此，如果 $\bar{\mu} \in R^n$ ，然后
$$
|\mu| \equiv|\bar{\mu}| \equiv \sqrt{\bar{\mu}^T \bar{\mu}}=\sqrt{\sum_{i=1}^n \mu_i^2} .
$$
我们会让 $I_n$ 表示 $n \times n$ 对角矩阵 $\operatorname{diag}(1, \ldots, 1)$. 当维度 $n$ 明白了，我们简单地写 $I \equiv I_n$. 同样，我们将为所有条目都等于实数 0 的任何矩阵写 0 ，其维度从上下文中理解。
的决定因素 $n \times n$ 矩阵 $\theta$ 表示为 $\operatorname{det} \theta$. 这 $n$ 复根 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 多项式的 $\operatorname{det}(\theta-\lambda I)$ 学位 $n$ 被称为特征值 $\theta$. 然后 $\operatorname{det} \theta=\lambda_1 \ldots \lambda_n$. 让 $j=1, \ldots, n$ 是任意的。则存在非零列向量 $x_j$ ，其元素通常是复杂的，这样 $\theta x_j=\lambda_j x_j$. 载体 $x_j$ 被称为特征值的特征向量 $\lambda_j$. 如果 $\theta$ 是实数且对称，则 $n$ 特征值 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 是真实的。

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Notations and Conventions

Posted on 2023年4月7日2023年4月7日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写概率论Probability theory这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一套公理来表达它。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Notations and Conventions

Unless otherwise indicated, $N, Q$, and $R$ will denote the set of integers, the set of rational numbers in the decimal or binary system, and the set of real numbers, respectively. We will also write ${1,2, \ldots}$ for the set of positive integers. The set $R$ is equipped with the Euclidean metric $d \equiv d_{\text {ecld }}$. Suppose $a, b, a_i \in R$ for $i=m, m+1, \ldots$ for some $m \in N$. We will write $\lim {i \rightarrow \infty} a_i$ for the limit of the sequence $a_m, a{m+1}, \ldots$ if it exists, without explicitly referring to $m$. We will write $a \vee b, a \wedge b, a_{+}$, and $a_{-}$for $\max (a, b), \min (a, b), a \vee 0$, and $a \wedge 0$, respectively. The sum $\sum_{i=m}^n a_i \equiv a_m+\cdots+a_n$ is understood to be 0 if $n{n \rightarrow \infty} \sum{i=m}^n a_i$. In other words, unless otherwise specified, convergence of a series of real numbers means absolute convergence. Regarding real numbers, we quote Lemma 2.18 from [Bishop and Bridges 1985], which will be used, extensively and without further comments, in the present book. Limited proof by contradiction of an inequality of real numbers. Let $x, y$ be real numbers such that the assumption $x>y$ implies a contradiction. Then $x \leq y$. This lemma remains valid if the relations $>$ and $\leq$ are replaced by $<$ and $\geq$, respectively.

We note, however, that if the relations $>$ and $\leq$ are replaced by $\geq$ and $<$, respectively, then the lemma would not have a constructive proof. Roughly speaking, the reason is that a constructive proof of $x0$ such that $y-x>\varepsilon$, which is more than a proof of $x \leq y$; the latter requires only a proof that $x>y$ is impossible and does not require the calculation of anything. The reader should ponder on the subtle but important difference.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Set, Operation, and Function

Set. In general, a set is a collection of objects equipped with an equality relation. To define a set is to specify how to construct an element of the set, and how to prove that two elements are equal. A set is also called a family.

A member $\omega$ in the collection $\Omega$ is called an element of the latter, or, in symbols, $\omega \in \Omega$.

The usual set-theoretic notations are used. Let two subsets $A$ and $B$ of a set $\Omega$ be given. We will write $A \cup B$ for the union, and $A \cap B$ or $A B$ for the intersection. We write $A \subset B$ if each member $\omega$ of $A$ is a member of $B$. We write $A \supset B$ for $B \subset A$. The set-theoretic complement of a subset $A$ of the set $\Omega$ is defined as the set ${\omega \in \Omega: \omega \in A$ implies a contradiction $}$. We write $\omega \notin A$ if $\omega \in A$ implies a contradiction.

Nonempty set. A set $\Omega$ is said to be nonempty if we can construct some element $\omega \in \Omega$.

Empty set. A set $\Omega$ is said to be empty if it is impossible to construct an element $\omega \in \Omega$. We will let $\phi$ denote an empty set.

Operation. Suppose $A, B$ are sets. A finite, step-by-step, method $X$ that produces an element $X(x) \in B$ given any $x \in A$ is called an operation from $A$ to $B$. The element $X(x)$ need not be unique. Two different applications of the operation $X$ with the same input element $x$ can produce different outputs. An example of an operation is $[\cdot]_1$, which assigns to each $a \in R$ an integer $[a]_1 \in$ $(a, a+2)$. This operation is a substitute of the classical operation [·] and will be used frequently in the present work.

Function. Suppose $\Omega, \Omega^{\prime}$ are sets. Suppose $X$ is an operation that, for each $\omega$ in some nonempty subset $A$ of $\Omega$, constructs a unique member $X(\omega)$ in $\Omega^{\prime}$. Then the operation $X$ is called a function from $\Omega$ to $\Omega^{\prime}$, or simply a function on $\Omega$. The subset $A$ is called the domain of $X$. We then write $X: \Omega \rightarrow \Omega^{\prime}$, and write $\operatorname{domain}(X)$ for the set $A$. Thus a function $X$ is an operation that has the additional property that if $\omega_1=\omega_2$ in $\operatorname{domain}(X)$, then $X\left(\omega_1\right)=X\left(\omega_2\right)$ in $\Omega^{\prime}$. To specify a function $X$, we need to specify its domain as well as the operation that produces the image $X(\omega)$ from each given member $\omega$ of $\operatorname{domain}(X)$.

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Notations and Conventions

除非另有说明， $N, Q$ ，和 $R$ 将分别表示整数集、十进制或二进制系统中的有理数集和实数集。我们也会写 $1,2, \ldots$ 对于正整数集。镸装 $R$ 配备了欧几里得度量 $d \equiv d_{\text {ecld }}$. 认为 $a, b, a_i \in R$ 为了
$i=m, m+1, \ldots$. 对于一些 $m \in N$. 我们会写 $\lim i \rightarrow \infty a_i$ 对于序列的极限 $a_m, a m+1, \ldots$ 如果它
存在，没有明确提及 $m$. 我们会写 $a \vee b, a \wedge b, a_{+}$，和 $a_{-}$为了 $\max (a, b), \min (a, b), a \vee 0$ ，和 $a \wedge 0$ ，分别。总和 $\sum_{i=m}^n a_i \equiv a_m+\cdots+a_n$ 被理解为 0 如果 $n n \rightarrow \infty \sum i=m^n a_i$. 也就是说，除非另有说明，实数级数收敛是指绝对收敛。关于实数，我们引用了 [Bishop and Bridges 1985] 中的引理 2.18，本书将广泛使用且不加评论。实数不等式的矛盾的有限证明。让 $x, y$ 是实数使得假设 $x>y$ 暗示矛盾。然后 $x \leq y$. 如果关系 $>$ 和 $\leq$ 被替换为 $<$ 和 $\geq$ ，分别。然而，我们注意到，如果关系 $>$ 和 $\leq$ 被替换为 $\geq$ 和 $<$ ，那么引理就没有建设性的证明。粗略地说，原因是 $x 0$ 这样 $y-x>\varepsilon ＼mathrm{~ ，这不仅仅是证明 ~} x \leq y$; 后者只需要证明 $x>y$ 是不可能的，不需要计算任何东西。读者应该思考细微但重要的区别。

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Set, Operation, and Function

放通常，集合是具有相等关系的对象的集合。定义集合就是指定如何构造集合中的元素，以及如何证明两个元素相等。一组也称为一个家庭。
成员 $\omega$ 在收藏中 $\Omega$ 被称为后者的一个元素，或者用符号表示， $\omega \in \Omega$.
使用通常的集合论符号。让两个子集 $A$ 和 $B$ 一套 $\Omega$ 被给予。我们会写 $A \cup B$ 为工会，和 $A \cap B$ 或者 $A B$ 对于十字路口。我们写 $A \subset B$ 如果每个成员 $\omega$ 的 $A$ 是的成员 $B$. 我们写 $A \supset B$ 为了B $\subset A$. 子集的集合论补集 $A$ 集合的 $\Omega$ 被定义为集合 $\omega \in \Omega: \omega \in A$ \$impliesacontradiction $\$$. 我们写 $\omega \notin A$ 如果 $\omega \in A$ 暗示矛盾。
非空集。一套 $\Omega$ 如果我们可以构造一些元素，则称其为非空 $\omega \in \Omega$.
空集。一套 $\Omega$ 如果不可能构造元素，则称其为空 $\omega \in \Omega$. 我们会让 $\phi$ 表示空集。
手术。认为 $A, B$ 是套。一种有限的、循序渐进的方法 $X$ 产生一个元素 $X(x) \in B$ 给定任何 $x \in A$ 被称为操作 $A$ 到 $B$. 元素 $X(x)$ 不必是唯一的。操作的两种不同应用 $X$ 使用相同的输入元素 $x$ 可以产生不同的输出。一个操作的例子是 $[\cdot]_1$ ，它分配给每个 $a \in R$ 一个整数 $[a]_1 \in(a, a+2)$. 此操作是经典操作 $[\cdot]$ 的替代，将在当前工作中频䉂使用。
功能。认为 $\Omega, \Omega^{\prime}$ 是镸。认为 $X$ 是一个操作，对于每个 $\omega$ 在某个非空子集中 $A$ 的 $\Omega$, 构造一个独特的成员 $X(\omega)$ 在 $\Omega^{\prime}$. 然后操作 $X$ 被称为一个函数 $\Omega$ 到 $\Omega^{\prime}$ ，或者只是一个函数 $\Omega$. 子集 $A$ 被称为域 $X$. 然后我们写 $X: \Omega \rightarrow \Omega^{\prime}$ ，和写domain $(X)$ 对于集合 $A$. 因此一个函数 $X$ 是具有附加属性的操作，如果 $\omega_1=\omega_2$ 在domain $(X)$ ，然后 $X\left(\omega_1\right)=X\left(\omega_2\right)$ 在 $\Omega^{\prime}$. 指定函数 $X$ ，我们需要指定它的域以及生成图像的操作 $X(\omega)$ 来自每个给定的成员 $\omega$ 的domain $(X)$.

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Natural Numbers

Posted on 2023年4月7日2023年4月7日 by statistics-lab

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概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一套公理来表达它。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Calculation and Theorem

An algorithm or a calculation means any finite, step-by-step procedure. A mathematical object is defined when we specify the calculations that need to be done to produce this object. We say that we have proved a theorem if we have provided a step-by-step method that translates the calculations doable in the hypothesis to a calculation in the conclusion of the theorem. The statement of the theorem is merely a summary of the algorithm contained in the proof.

Although we do not, for good reasons, write mathematical proofs in a computer language, the reader would do well to compare constructive mathematics to the development of a large computer software library, with successive objects and library functions being built from previous ones, each with a guarantee to finish in a finite number of steps.

There is a trivial form of proof by contradiction that is valid and useful in constructive mathematics. Suppose we have already proved that one of two given alternatives, $A$ and $B$, must hold, meaning that we have given a finite method, that, when unfolded, gives either a proof for $A$ or a proof for $B$. Suppose subsequently we also prove that $A$ is impossible. Then we can conclude that we have a proof of $B$; we need only exercise said finite method, and see that the resulting proof is for $B$.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Recognizing Nonconstructive Theorems

Consider the simple theorem “if $a$ is a real number, then $a \leq 0$ or $0<a$,” which may be called the principle of excluded middle for real numbers. We can see that this theorem implies the principle of infinite search by the following argument. Let $(x){i=1,2, \ldots .}$ be any given sequence of 0 -or-1 integers. Define the real number $a=\sum{i=1}^{\infty} x_i 2^{-i}$. If $a \leq 0$, then all members of the given sequence are equal to 0 ; if $0<a$, then some member is equal to 1 . Thus the theorem implies the principle of infinite search, and therefore cannot have a constructive proof.

Consequently, any theorem that implies this limited principle of excluded middle cannot have a constructive proof. This observation provides a quick test to recognize certain theorems as nonconstructive. Then it raises the interesting task of examining the theorem for constructivization of a part or the whole, or the task of finding a constructive substitute of the theorem that will serve all future purposes in its stead.

For the aforementioned principle of excluded middle of real numbers, an adequate constructive substitute is the theorem “if $a$ is a real number, then, for arbitrarily small $\varepsilon>0$, we have $a<\varepsilon$ or $0<a$.” Heuristically, this is a recognition that a general real number $a$ can be computed with arbitrarily small, but nonzero, error.

We assume that the reader of this book has familiarity with calculus, real analysis, and metric spaces, as well as some rudimentary knowledge of complex analysis. These materials are presented in the first chapters of [Bishop and Bridges 1985]. We will also quote results from typical undergraduate courses in calculus or linear algebra, with the minimal constructivization wherever needed.

We assume also that the reader has had an introductory course in probability theory at the level of [Feller I 1971] or [Ross 2003]. The reader should have no difficulty in switching back and forth between constructive mathematics and classical mathematics, or at least no more than in switching back and forth between classical mathematics and computer programming. Indeed, the reader is urged to read, concurrently with this book if not before delving into it, the many classical texts in probability.

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Calculation and Theorem

算法或计算是指任何有限的、逐步的过程。当我们指定生成该对象需要进行的计算时，就定义了一个数学对象。如果我们提供了一种逐步的方法，将假设中可行的计算转化为定理结论中的计算，我们就说我们已经证明了一个定理。定理的陈述仅仅是证明中包含的算法的总结。

尽管出于充分的理由，我们不使用计算机语言编写数学证明，但读者最好将构造性数学与大型计算机软件库的开发进行比较，其中连续的对象和库函数是从以前的对象和库函数构建的，每个对象和库函数都有保证在有限的步骤中完成。

有一种简单的反证法形式在构造数学中是有效和有用的。假设我们已经证明了两个给定的备选方案之一，A和乙，必须成立，这意味着我们已经给出了一个有限的方法，当展开时，给出了一个证明A或证明乙. 假设随后我们也证明A是不可能的。然后我们可以得出结论，我们有一个证明乙; 我们只需要使用上述的有限方法，就可以看到得到的证明是乙.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Recognizing Nonconstructive Theorems

考虑简单的定理“如果 $a$ 是实数，那么 $a \leq 0$ 或者 $00$ ，我们有 $a<\varepsilon$ 或者 $0<a^{\prime \prime}$ 启发式地，这是对一般实数的认识 $a$ 可以用任意小但非零的误差计算。
我们假设本书的读者熟悉微积分、实分析和度量空间，以及一些复分析的基本知识。这些材料在 [Bishop and Bridges 1985] 的第一章中介绍。我们还将引用典型的微积分或线性代数本科课程的结果，并在需要时进行最少的构造化。
我们还假设读者已经学习了 [Feller I 1971] 或 [Ross 2003] 水平的概率论入门课程。读者在构造数学和经典数学之间来回切换应该没有困难，或者至少不超过在经典数学和计算机编程之间来回切换。事实上，强烈建议读者阅读本书，如果不是在深入研究本书之前，还要阅读许多关于概率的经典文本。

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|POPH90148

Posted on 2023年3月13日2023年3月13日 by statistics-lab

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概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一套公理来表达它。

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Statistical Inference 统计推断
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Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|概率论代写Probability theory代考|POPH90148

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Addition and Multiplication Rules

There are two helpful rules for counting, phrased in terms of “jobs” which are to be done.

The Addition Rule: Suppose we can do job 1 in $p$ ways and job 2 in $q$ wavs. Then we can do either job I OR job 2 (but not both), in $p+q$ ways. instructor can pick one student to answer a question. If there are 5 vowels and 20 consonants on a list and I must pick one letter, this can be done in $5+20 \text { ways. }$
The Multiplication Rule: Suppose we can do job I in p ways and, for each of these ways. we can do job 2 in $q$ ways. Then we can do both job I AND job 2 in $p \times q$ ways.

For example, if there are 5 vowels and 20 consonants and I must choose one consonant followed by one vowel for a two-letter word, this can be done in $20 \times 5$ ways (there are 100 such words). To ride a bike, you must have the chain on both a front sprocket and a rear sprocket. For a 21 speed bike there are 3 ways to select the front sprocket and 7 ways to select the rear sprocket, which gives $3 \times 7=21$ such combinations.

This interpretation of “OR” as addition and “AND” as multiplication evident in the addition and multiplication rules above will occur throughout probability, so it is helpful to make this association in your mind. Of course questions do not always have an AND or an OR in them and you may have to play around with re-wording the question to discover implied AND’s or OR’s.

Example: Suppose we pick 2 numbers from digits 1, 2, 3, 4, 5 with replacement. (Note: “with replacement” means that after the first number is picked it is “replaced” in the set of numbers, so it could be picked again as the second number.) Assume a uniform distribution on the sample space, that is, assume that every pair of numbers has the same probability. Let us find the probability that one number is even. This can be reworded as: “The first number is even AND the second is odd (this can be done in $2 \times 3$ ways) OR the first is odd AND the second is even (done in $3 \times 2$ ways).” Since these are connected with the word OR, we combine them using the addition rule to calculate that there are $(2 \times 3)+(3 \times 2)=12$ ways for this event to occur. Since the first number can be chosen in 5 ways AND the second in 5 ways, $S$ contains $5 \times 5=25$ points and since each point has the same probability, they all have probability $\frac{1}{25}$. Therefore
$$
P \text { (one number is even })=\frac{12}{25}
$$
When objects are selected and replaced after each draw, the addition and multiplication rules are generally sufficient to find probabilities. When objects are drawn without being replaced, some special rules may simplify the solution.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Counting Subsets or Combinations

In some problems, the outcomes in the sample space are subsets of a fixed size. Here we look at counting such subsets. Again, it is useful to write a short list of the subsets you are counting.

Example: Suppose we randomly select a subset of three digits from the set ${0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$ so that the sample space is
$$
S={{1,9,3},{0,1,3},{0,1,4}, \ldots, 8,9}}
$$
All the digits in each outcome are unique, that is, we do not consider ${1,1,2}$ to be a subset of $S$. Also, the order of the elements in a subset is not relevant. This is true in general for sets; the subsets ${1,2,3}$ and ${3,1,2}$ are the same. To count the number of outcomes in $S$, we use what we have learned about counting arrangements. Suppose there are $m$ such subsets. Using the elements of any subset of size 3 , we can form 3 ! arrangements of length 3 . For example, the subset ${1,2,3}$ generates the $3 !=6$ arrangements $123,132,213,231,312,321$ and any other subset generates a different $3 !$ arrangements so that the total number of arrangements of 3 digits taken without replacement from the set ${0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$ is $3 ! \times m$. But we know the total number of arrangements is $10^{(3)}$ so $3 ! \times m=10^{(3)}$. Solving we get
$$
m=\frac{10^{(3)}}{3 !}=120
$$
Number of subsets of size $k$ : We use the combinatorial symbol $\left(\begin{array}{l}n \ k\end{array}\right)$ (” $n$ choose $k$ “) to denote the number of subsets of size $k$ that can be selected from a set of $n$ objects. By an argument similar to that above, if $m$ denotes the number of subsets of size $k$ that can be selected from $n$ things, then $m \times k !=n^{(k)}$ and so we have
$$
m=\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right)=\frac{n^{(k)}}{k !}
$$
In the example above we selected the subset at random so each of the $\left(\begin{array}{c}10 \ 3\end{array}\right)=120$ subsets has the same probability $\frac{1}{120}$. We now find the probability of the following events:
$A$ : the digit 1 is included in the selected subset
$B$ : all the digits in the selected subset are even
$C$ : at least one of the digits in the selected subset is less than or equal to 5
To count the outcomes in event $A$, we must have 1 in the subset and we can select the other two elements from the remaining 9 digits in $\left(\begin{array}{l}9 \ 2\end{array}\right)$ ways. And so
$$
P(A)=\frac{\left(\begin{array}{c}
9 \
2
\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}
10 \
3
\end{array}\right)}=\frac{9^{(2)} / 2 !}{10^{(3)} / 3 !}=\frac{3}{10}
$$

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Addition and Multiplication Rules

有两个有用的计数规则，用要完成的“工作”来表述。

加法规则：假设我们可以在 $p$ 方法和工作 $2 q$ 波浪。然后我们可以做工作 $\mid$ 或工作 2 （但不能同时做），在 $p+q$ 方法。讲师可以挑选一名学生回答问题。如果列表中有 5 个元音字母和 20 个辅音字母，我必须选择一个字母，这可以用 $\$ 5+20 \backslash$ Itext ${$ 方式完成。 $} \$$
乘法规则：假设我们可以用 $p$ 种方式完成工作 $I$ ，并且对于其中的每一种方式。我们可以做工作 $2 q$ 方法。然后我们可以同时完成工作 I 和工作 $2 p \times q$ 方法。
例如，如果有 5 个元音和 20 个辅音，我必须选择一个辅音后跟一个元音来表示一个两个字母的单词，这可以在 $20 \times 5$ 方式 (有 100 个这样的词) 。要骑自行车，您必须在前链轮和后链轮上都安装链条。对于 21 速自行车，有 3 种方式选择前链轮和 7 种方式选择后链轮，这给出了 $3 \times 7=21$ 这样的组合。
在上述加法和乘法规则中，将“或”解释为加法，将“与”解释为乘法，这种解释在整个概率过程中都会出现，因此在您的脑海中形成这种联想是有帮助的。当然，问题中并不总是包含 AND 或 OR，您可能不得不尝试重新措辞问题以发现隐含的 AND 或 $O R$ 。
示例：假设我们从数字 1、2、3、4、5 中选择 2 个数字并进行替换。（注： “with replacement”是指第一个数被选出后，它在数集中被“替换”，所以它可以作为第二个数再次被选出。）假设在样本空间上均匀分布，即假设每对数字都有相同的概率。让我们找出一个数是偶数的概率。这可以改写为：“第一个数字是偶数，第二个是奇数（这可以在 $2 \times 3$ 方式）或第一个是奇数，第二个是偶数（完成 $3 \times 2$ 方法)。”由于这些与单词OR相关联，因此我们使用加法规则将它们组合在一起以计算出有 $(2 \times 3)+(3 \times 2)=12$ 此事件发生的方式。由于第一个数字有 5 种选择方式，第二个有 5 种选择方式， $S$ 包含 $5 \times 5=25$ 点，因为每个点都有相同的概率，所以它们都有概率 $\frac{1}{25}$. 因此 $\$ \$$
$P \backslash \operatorname{text}{($ 一个数是偶数 $})=\backslash \operatorname{frac}{12} 25}$ $\$ \$$
在每次抽取后选择和替换对象时，加法和乘法规则通常足以找到概率。在不替换对象的情况下绘制对象时，一些特殊规则可能会简化解决方案。

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Counting Subsets or Combinations

在某些问题中，样本空间中的结果是固定大小的子集。在这里，我们着眼于对此类子集进行计数。同样，写下您正在计数的子集的简短列表很有用。
示例：假设我们从集合中随机选择三个数字的子集 $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 使得样本空间为
$$
\mathrm{S}={{1,9,3},{0,1,3},{0,1,4}, \backslash \text { Idots, } 8,9}}
$$
每个结果中的所有数字都是唯一的，也就是说，我们不考虑 $1,1,2$ 成为一个子集 $S$. 此外，子集中元素的顺序无关紧要。对于集合来说，这通常是正确的；子集 $1,2,3$ 和 $3,1,2$ 是相同的。计算结果的数量 $S$ ，我们使用我们学到的关于计数安排的知识。假设有 $m$ 这样的子集。使用大小为 3 的任何子集的元素，我们可以形成 $3 !$ 长度的安排 3 . 例如，子集 $1,2,3$ 生成 $3 !=6$ 安排 $123,132,213,231,312,321$ 和任何其他子集生成一个不同的 3 !安排，使 3 位数字的安排总数从集合中取出而无需替换 $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 是 $3 ! \times m$. 但是我们知道总的排列数是 $10^{(3)}$ 所以 $3 ! \times m=10^{(3)}$. 解决我们得到
$$
m=\frac{10^{(3)}}{3 !}=120
$$
大小的子集数 $k$ : 我们使用组合符号 $(n k)$ (” $n$ 选择 $k^{\prime \prime}$ ) 表示大小的子集数 $k$ 可以从一组中选择 $n$ 对象。通过与上述类似的论证，如果 $m$ 表示大小的子集数 $k$ 可以从中选择 $n$ 事情，那么 $m \times k !=n^{(k)}$ 所以我们有
$$
m=(n k)=\frac{n^{(k)}}{k !}
$$
在上面的示例中，我们随机选择了子集，因此每个 $(103)=120$ 子集具有相同的概率 $\frac{1}{120}$. 我们现在找到以下事件的概率:
$A$ : 数字 1 包含在所选子集中
$B$ : 所选子集中的所有数字都是偶数
$C$ : 所选子集中至少有一位数字小于或等于 5
来统计事件的结果 $A$ ，我们必须在子集中有 1 并且我们可以从中的剩余 9 位中选择其他两个元素 $(92)$ 方法。所以
$$
P(A)=\frac{(92)}{(103)}=\frac{9^{(2)} / 2 !}{10^{(3)} / 3 !}=\frac{3}{10}
$$

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

时间序列分析代写

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|STAT4061

Posted on 2023年3月13日2023年3月13日 by statistics-lab

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概率论是与概率有关的数学分支。虽然有几种不同的概率解释，但概率论以严格的数学方式处理这一概念，通过一套公理来表达它。

我们提供的概率论Probability theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Sample Spaces and Probability

Consider some phenomenon or process which is repeatable, at least in theory, and suppose that certain events or outcomes $A_1, A_2, A_3, \ldots$ are defined. We will often term the phenomenon or process an “experiment” and refer to a single repetition of the experiment as a “trial”. The probability of an event $A$, denoted $P(A)$, is a number between 0 and 1 . For probability to be a useful mathematical concept, it should possess some other properties. For example, if our “experiment” consists of tossing a coin with two sides, Head and Tail, then we might wish to consider the two events $A_1=$ “Head turns up” and $A_2=$ “Tail turns up”. It does not make much sense to allow $P\left(A_1\right)=0.6$ and $P\left(A_2\right)=0.6$, so that $P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)>1$. (Why is this so? Is there a fundamental reason or have we simply adopted 1 as a convenient scale?) To avoid this sort of thing we begin with the following definition.

Definition 1 A sample space $S$ is a set of distinct outcomes for an experiment or process, with the property that in a single trial. one and only one of these outcomes occurs.

The outcomes that make up the sample space may sometimes be called “sample points” or just “points” on occasion. A sample space is defined as part of the probability model in a given setting but it is not necessarily uniquely defined, as the following example shows.
Example: Roll a six-sided die, and define the events
$$
a_i=\text { there are } i \text { pips on the top face, for } i=1,2, \ldots, 6
$$
Then we could take the sample space as $S=\left{a_1, a_2, \ldots, a_6\right}$. (Note we use the curly brackets ” ${\ldots}$ ” to indicate the elements of a set). Instead of using this definition of the sample space we could instead define the events
$E$ : the event that there are an even number of pips on the top face
$Q$ : the event that there are an odd number of pips on the top face and take $S={E, O}$. Both sample spaces satisfy the definition. Which one we use depends on what we wanted to use the probability model for. If we expect never to have to consider events like “there are less than three pips on the top face” then the space $S={E, O}$ will suffice, but in most cases, if possible, we choose sample points that are the smallest possible or “indivisible”. Thus the first sample space is likely preferred in this example.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|SAMPLE SPACES AND PROBABILITY

Definition 4 The probability $P(A)$ of an event $A$ is the sum of the probabilities for all the simple events that make up $A$ or $P(A)=\sum_{a \in A} P(a)$.

For example, the probability of the compound event $A=\left{a_1, a_2, a_3\right}$ is $P\left(a_1\right)+P\left(a_2\right)+P\left(a_3\right)$. Probability theory does not say what numbers to assign to the simple events for a given application, only those properties guaranteeing mathematical consistency. In an actual application of a probability model, we try to specify numerical values of the probabilities that are more or less consistent with the frequencies of events when the experiment is repeated. In other words we try to specify probabilities that are consistent with the real world. There is nothing mathematically wrong with a probability model for a toss of a coin that specifies that the probability of heads is zero, except that it likely won’t agree with the frequencies we obtain when the experiment is repeated.

Example: Suppose a six-sided die is rolled, and let the sample space be $S={1,2, \ldots, 6}$, where $i$ represents the simple event that there are $i$ pips on the top face, $i=1,2, \ldots, 6$. If the die is an ordinary one, (a fair die) we would likely define probabilities as
$$
P(i)=\frac{1}{6} \text { for } i=1,2, \ldots, 6
$$
because if the die were tossed repeatedly by a fair roller (as in some games or gambling situations) then each number would occur close to $\frac{1}{6}$ of the time. However, if the die were weighted in some way, or if the roller were able to manipulate the die so that outcome 1 is more likely, these numerical values would not be so useful. To have a useful mathematical model, some degree of compromise or approximation is usually required. Is it likely that the die or the roller are perfectly “fair”? Given (2.1), if we wish to consider some compound event, the probability is easily obtained. For example, if $A=$ “there are an even number of pips on the top face” then because $A={2,4,6}$ we get $P(A)=P(2)+P(4)+P(6)=\frac{1}{2}$.
We now consider some additional examples, starting with some simple problems involving cards, coins and dice. Once again, to calculate probability for discrete sample spaces, we usually approach a given problem using three steps:
(1) Specify a sample space $S$.
(2) Assign a probability distribution to the simple events in $S$.
(3) For any compound event $A$, find $P(A)$ by adding the probabilities of all the simple events that make up $A$.

概率论代考

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Sample Spaces and Probability

考虑一些至少在理论上可重复的现象或过程，并假设某些事件或结果 $A_1, A_2, A_3, \ldots$ 被定义。我们通常将现象或过程称为“实验”，并将实验的单次重复称为 “试验”。事件的概率 $A$, 表示 $P(A)$ ，是介于 0 和 1 之间的数字。概率要成为一个有用的数学概念，它还应该具备一些其他属性。例如，如果我们的“实验”包, 括抛硬币的正面和反面，那么我们可能希望考虑这两个事件 $A_1=$ “抬头”和 $A_2=$ “尾巴出现”。允许没有多大意义 $P\left(A_1\right)=0.6$ 和 $P\left(A_2\right)=0.6$ ，以便 $P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)>1$. (为什么会这样? 有根本原因还是我们只是采用 1 作为方便的标度?）为了避免这种情况，我们从以下定义开始。
定义 1 样本空间 $S$ 是实验或过程的一组不同结果，具有单次试验中的属性。这些结果中只有一个会发生。
构成样本空间的结果有时可称为“样本点”或有时简称为“点”。样本空间被定义为给定设置中概率模型的一部分，但不一定是唯一定义的，如以下示例所示。
示例：掷六面骰子并定义事件
$a_i=$ there are $i$ pips on the top face, for $i=1,2, \ldots, 6$
那么我们可以将样本空间作为 $\mathrm{S}=| \mathrm{eft}\left{a _1, a _2 、 \backslash d o t s, a _6 \backslash r i g h t\right}$. (注意我们使用大括号”…” 来表示集合的元素）。我们可以不使用样本空间的这个定义，而是定义事件
$\$ E:$ theeventthatthereareanevennumberofpipsonthetop face问
: theeventthatthereareanoddnumberofpipsonthetopfaceandtake $\mathrm{S}={\mathrm{E}, \mathrm{O}}$
. Bothsamplespacessatis fythede finition. Whichoneweusedependsonwhatwewantedt $\mathrm{S}={\mathrm{E}, O} \$$ 就足够了，但在大多数情况下，如果可能，我们会选择尽可能小或“不可分割”的样本点。因此，本例中可能首选第一个样本空间。

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定义 4 概率 $P(A)$ 事件的 $A$ 是构成所有简单事件的概率之和 $A$ 或者 $P(A)=\sum_{a \in A} P(a)$.
例如，复合事件的概率 $\mathrm{A}=$ left ${$ _ 1, a_2, a_3right $}$ 是 $P\left(a_1\right)+P\left(a_2\right)+P\left(a_3\right)$. 概率论并没有说明为给定应用程序的简单事件分配什么数字，只有那些保证数学一致性的属性。在概率模型的实际应用中，我们试图指定与重复实验时事件频率或多或少一致的概率数值。换句话说，我们试图指定与现实世界一致的概率。指定正面朝上的概率为零的抛硬币概率模型在数学上没有任何错误，只是它可能与我们在重复实验时获得的频率不一致。
例子: 假设郑出一个六面骰子，令样本空间为 $S=1,2, \ldots, 6$ ，在哪里 $i$ 表示存在的简单事件 $i$ 顶面上的点， $i=1,2, \ldots, 6$. 如果骰子是普通骰子 (公平骰子)，我们可能会将概率定义为
$$
P(i)=\frac{1}{6} \text { for } i=1,2, \ldots, 6
$$
因为如果骰子被公平的滚筒反复抛掷（如在某些游戏或赌傅情况下），那么每个数字都会接近 $\frac{1}{6}$ 的时间。然而，如果骰子以某种方式被加权，或者如果滚子能够操纵骰子使得结果 1 更有可能出现，那么这些数值就不会那么有用。要获得有用的数学模型，通常需要某种程度的折哀或近似。骰子或滚筒可能完全“公平”吗? 给定 (2.1)，如果我们想考虑一些复合事件，概率很容易获得。例如，如果 $A=“$ “顶面上有偶数个点”那么因为 $A=2,4,6$ 我们得到 $P(A)=P(2)+P(4)+P(6)=\frac{1}{2}$.
我们现在考虑一些额外的例子，从一些涉及纸牌、硬币和骰子的简单问题开始。再一次，为了计算离散样本空间的概率，我们通常使用三个步骙来处理给定的问题:
(1) 指定样本空间 $S$.
(2) 为中的简单事件分配概率分布 $S$.
(3) 对于任何复合事件 $A$ ，寻找 $P(A)$ 通过添加构成的所有简单事件的概率 $A$.

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