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拓扑学是数学的一个分支，有时被称为 “橡胶板几何”，在这个分支中，如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此，同时不允许撕开或粘在一起的部分，则被认为是等效的。

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Electromagnetic fields

In the $1860 \mathrm{~s}$, the Scottish physicist James Clerk Maxwell gathered together all that was known at the time about electricity and magnetism and showed that it all followed from a small set of equations now known as the Maxwell equations. In modern vector notation and SI units, the differential form of these laws is given by
$$
\begin{gathered}
\nabla \cdot \boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}, \quad \nabla \cdot \boldsymbol{B}=0 \
\nabla \times \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}, \quad \nabla \times \boldsymbol{B}=\mu_{0}\left(J+\epsilon_{0} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}\right)
\end{gathered}
$$
The electric and magnetic fields can be computed from the scalar potential $\phi(r, t)$ and the vector potential $A(\boldsymbol{r}, t)$,
$$
\boldsymbol{B}=\nabla \times \boldsymbol{A} \quad \text { and } \quad \boldsymbol{E}=-\nabla \phi-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{d t} .
$$
The potentials $\phi$ and $\boldsymbol{A}$ are not entirely well-defined: for any function $f(\boldsymbol{r}, t)$, the gauge transformations
$$
A \rightarrow A+\nabla f \quad \text { and } \quad \phi \rightarrow \phi-\frac{\partial f}{\partial t}
$$
leave $\boldsymbol{E}$ and $\boldsymbol{B}$ unchanged, along with all other physically measurable quantities. This ambiguity in the potentials is sometimes useful, since it can often be utilized to put them into a form that simplifies a given problem. However, it also introduces conceptual difficulties and raises the question of whether the potentials are physically ‘real’ in the same way the directly measurable $\boldsymbol{E}$ and $\boldsymbol{B}$ fields are. We will see later that the gauge invariance in fact has geometric and topological meaning.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Electromagnetic potentials and gauge invariance

Returning to the gauge potential $A_{\mu}$ defined above, the effect of the electromagnetic field acting on a particle of charge $q$ may be introduced via the minimal coupling principle, replacing the free-particle four momentum $p_{\mu}=-i \hbar \partial / \partial x_{\mu}$ by the canonical momentum
$$
p_{\mu}=-i \hbar\left(\partial / \partial x_{\mu}\right)+q A_{\mu}
$$
Here we are using relativistic four-vector notation, where $\mu=0$ corresponds to the time-like component and $\mu=1,2,3$ are the space-like components:
$$
\begin{gathered}
A_{\mu}={\phi, \boldsymbol{A}} \
\partial_{\mu}=\frac{\partial}{\partial x_{\mu}}=\left{\frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right} \
p_{\mu}={E, \boldsymbol{p}} .
\end{gathered}
$$

The Schrödinger equation is then of the form
$$
\left(\frac{1}{2 m}(i \hbar \nabla+q A)^{2}+q \phi\right) \psi(\boldsymbol{x}, t)=i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x, t)
$$
Note that the transition to the canonical momentum may also be viewed as starting from the field-free Schrödinger equation,
$$
\frac{\hbar^{2}}{2 m} V^{2} \psi(x, t)=i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x, t),
$$
and replacing the ordinary derivatives $\partial_{\mu} \equiv \partial / \partial x_{\mu}(\mu=0,1,2,3)$ by the covariant derivatives
$$
D_{\mu}=\partial_{\mu}+\frac{i q}{\hbar} A_{\mu}
$$

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Electromagnetic fields

在里面 $1860 \mathrm{~s}$, 苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦 (James Clerk Maxwell) 收集了当时已知的关于电和磁的所 有知识，并表明这一切都来自现在称为麦克斯韦方程的一小组方程。在现代矢量符号和 SI 单位中，这些定律的微 分形式由下式给出
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}, \quad \nabla \cdot \boldsymbol{B}=0 \nabla \times \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}, \quad \nabla \times \boldsymbol{B}=\mu_{0}\left(J+\epsilon_{0} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}\right)
$$
可以从标量势计算电场和磁场 $\phi(r, t)$ 和矢量势 $A(r, t)$,
$$
\boldsymbol{B}=\nabla \times \boldsymbol{A} \quad \text { and } \quad \boldsymbol{E}=-\nabla \phi-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{d t} .
$$
潜力 $\phi$ 和 $\boldsymbol{A}$ 不是完全定义好的: 对于任何函数 $f(\boldsymbol{r}, t)$, 规范变换
$$
A \rightarrow A+\nabla f \quad \text { and } \quad \phi \rightarrow \phi-\frac{\partial f}{\partial t}
$$
离开 $\boldsymbol{E}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 不变，以及所有其他物理上可测量的量。势中的这种模糊性有时很有用，因为它通常可以用来将它们 放入简化给定问题的形式中。然而，它也引入了概念上的困难，并提出了潜在的物理“真实”的问题，就像直接测量 的一样。 $\boldsymbol{E}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 领域是。稍后我们将看到规范不变性实际上具有几何和拓扑意义。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Electromagnetic potentials and gauge invariance

回到规范电位 $A_{\mu}$ 如上所述，电磁场作用于带电粒子的效应 $q$ 可以通过最小耦合原理引入，代替自由粒子四动量 $p_{\mu}=-i \hbar \partial / \partial x_{\mu}$ 由规范动量
$$
p_{\mu}=-i \hbar\left(\partial / \partial x_{\mu}\right)+q A_{\mu}
$$
这里我们使用相对论的四向量符号，其中 $\mu=0$ 对应于类时间分量和 $\mu=1,2,3$ 是类空间组件:
薛定谔方程则为
$$
\left(\frac{1}{2 m}(i \hbar \nabla+q A)^{2}+q \phi\right) \psi(\boldsymbol{x}, t)=i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x, t)
$$
请注意，向规范动量的转变也可以看作是从无场薛定谔方程开始的，
$$
\frac{\hbar^{2}}{2 m} V^{2} \psi(x, t)=i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x, t),
$$
并替换普通衍生品 $\partial_{\mu} \equiv \partial / \partial x_{\mu}(\mu=0,1,2,3)$ 由协变导数
$$
D_{\mu}=\partial_{\mu}+\frac{i q}{\hbar} A_{\mu}
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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拓扑学是数学的一个分支，有时被称为 “橡胶板几何”，在这个分支中，如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此，同时不允许撕开或粘在一起的部分，则被认为是等效的。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Aharanov–Bohm effect

A second demonstration of the importance of topology in physics came with the Aharonov-Bohm effect [8]. Consider a charged particle moving in the vicinity of a current carrying solenoid. There is a magnetic field $\boldsymbol{B} \neq 0$ inside the solenoid, but the field vanishes outside. The vector potential, $\boldsymbol{A}$, however is nonzero everywhere, inside and out. Prior to the rise of the Aharonov-Bohm effect, it was believed that the field $\boldsymbol{B}$ was the physically important variable and that $\boldsymbol{A}$ was simply a mathematical convenience of no physical significance. However, Aharonov and Bohm showed that when the particle circles the solenoid in a closed loop $\mathcal{C}$, staying entirely in the $\boldsymbol{B}=0$ region, there is nevertheless a phase shift given by
$$
\Delta \phi=\frac{e}{\hbar c} \int_{\mathcal{C}} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) \cdot d \boldsymbol{l}=\frac{e}{\hbar c} \int_{\mathcal{S}} \boldsymbol{B} \cdot d \boldsymbol{s},
$$
and that this shift is an integer multiple of $2 \pi$. The existence of the Aharonov-Bohm effect was verified in an experiment by Chambers in 1960 [9].

The solenoid contains a singularity in the vector potential. One can therefore view the solenoid as a hole in the space of allowed field configurations. The quantization arises from the topological fact that curves in $A$-space that enclose the solenoid are non-contractible. The integer $n$ here counts the number of times the loop encloses the singularity: it is a winding number. This winding number characterizes the distinct homotopy classes (see chapters 3 and 5) of the field. The Aharanov-Bohm phase accumulated as the electron circles the solenoid is an example of the geometric Berry phase to be discussed in chapter 9 .

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topology in optics

By the 1990s and 2000s, many of the topology-related structures previously found in other areas of physics began to come up in optics. For example, vortices and vortex lines, winding numbers and linking numbers, and even non-orientable Möbius strips have all made appearances in various areas of optics. Further, the Aharonov-Bohm effect is a special case of the geometric or Berry phase; the first known description of a geometric phase appeared in a study of polarization optics in the 1950s, although its significance was not widely recognized for decades.

All of these topics will be described in coming chapters. The range of optical phenomena in which topology plays a role has become large, so in a book of this size some of them will necessarily be treated only in the briefest of terms, but hopefully enough of a flavor will be given to interest the reader in pursuing a deeper study via the provided references.

As general references to the broader background material, we list a few useful texts here. Many excellent introductions to algebraic and differential topology may be found, including [10-15]. Numerous reviews covering applications of topology to gauge field theory, particle physics, and condensed matter physics also exist, which physicists and engineers may find more accessible; these include [16-20]. The history of topology and of its applications in physics are reviewed in [21] and [22], respectively.

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Aharanov–Bohm effect

Aharonov-Bohm 效应 [8] 再次证明了拓扑在物理学中的重要性。考虑在载流螺线管附近移动的带电粒子。有磁场 $\boldsymbol{B} \neq 0$ 在螺线管内，但场在外面消失。向量势， $\boldsymbol{A}$, 然而，无论从内部还是外部，它都是非零的。在阿哈罗诺夫玻姆效应兴起之前，人们认为场 $\boldsymbol{B}$ 是物理上重要的变量，并且 $\boldsymbol{A}$ 只是一种没有物理意义的数学便利。然而，

Aharonov 和 Bohm 表明，当粒子在闭合回路中环绕螺线管时 $\mathcal{C}{1}$ 完全停留在 $\boldsymbol{B}=0$ 区域，仍然存在由下式给出的 相移 $$ \Delta \phi=\frac{e}{\hbar c} \int{\mathcal{C}} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) \cdot d \boldsymbol{l}=\frac{e}{\hbar c} \int_{\mathcal{S}} \boldsymbol{B} \cdot d \boldsymbol{s}
$$
并且这个移位是的整数倍 $2 \pi .1960$ 年，钱伯斯在一项实验中验证了 Aharonov-Bohm 效应的存在 [9]。
螺线管在矢量势中包含一个奇点。因此，人们可以将螺线管视为允许的场配置空间中的一个孔。量化源于拓扑事 实，即曲线在 $A$ – 包围螺线管的空间是不可收缩的。整数 $n$ 这里计算循环包围奇点的次数：它是一个绕组数。这个 缠绕数表征了该领域不同的同伦类（见第 3 章和第 5 章) 。当电子绕螺线管旋转时男积的 Aharanov-Bohm 相是 第 9 章讨论的几何贝里相的一个例子。

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topology in optics

到 1990 年代和 2000 年代，以前在其他物理领域发现的许多与拓扑相关的结构开始出现在光学中。例如，漩涡和涡线、缠绕数和连接数，甚至不可定向的莫比乌斯带都出现在光学的各个领域。此外，Aharonov-Bohm 效应是几何或贝里相位的特例；几何相位的第一个已知描述出现在 1950 年代的偏振光学研究中，尽管其重要性几十年来并未得到广泛认可。

所有这些主题都将在接下来的章节中介绍。拓扑学在其中发挥作用的光学现象的范围已经变得很大，因此在一本如此大小的书中，其中一些必然只用最简短的术语来处理，但希望能给读者带来足够的味道以引起读者的兴趣通过提供的参考资料进行更深入的研究。

作为对更广泛背景材料的一般参考，我们在这里列出了一些有用的文本。可以找到许多关于代数和微分拓扑的优秀介绍，包括 [10-15]。还存在许多涵盖拓扑在规范场论、粒子物理学和凝聚态物理学中的应用的评论，物理学家和工程师可能会发现这些评论更容易获得；其中包括 [16-20]。[21] 和 [22] 分别回顾了拓扑的历史及其在物理学中的应用。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topology and physics

Although earlier moments, such as Euler’s use of graph theory to investigate the Konigsberg bridges problem (1736) could be singled out as the beginning of the study of topology, the subject only really became an important area of mathematics with the work of Poincare in the $1880 \mathrm{~s}$ and $1890 \mathrm{~s}$. While investigating the properties of solutions to differential equations, and especially problems in celestial mechanics, he was led to the study of smooth mappings between surfaces, to fixed points, singularities of vector fields, and other topics that would now be considered topological. He went on to give the first definitions of homotopy and homology and to lay the foundations of modern algebraic topology. Poincaré’s topological studies of solutions to differential equations as curves on manifolds was continued in the early 20 th century by Birkhoff and others, with the results eventually being systematically applied to mechanical systems by Kolmogorov, Arnold, and Moser. Simultaneously, other branches of the subject, such as differential topology and combinatorial topology began expanding, leading to a number of fixcd point theorems and to the clarification of useful concepts such as compactness, connectedness, and dimension.

Aspects of topology, then known as analysis situs or geometria situs, had made appearances in physics before this, of course. For example, Gauss’ law and Ampère’s law in electrodynamics are both topological in nature: they involve line or surface integrals that remain invariant under continuous deformations of the underlying curve or surface; in modern terminology, we would say that these integrals (the electric and magnetic fluxes) are topological invariants. In fact, integer linking numbers (chapter 5) made their first appearance in a study by Gauss of Ampère’s law.
Similarly, in fluid mechanics the study of vortices has a long history. Then, starting in the 1860s, Peter Tait and William Thomson (Lord Kelvin) tried to model atoms as knotted vortex lines in the ether. The motivations included the fact that the multiplicity of different atoms could be explained by the variety of different ways a vortex line could be knotted, and the fact that the stability of atoms could be attributed to the inability to untie a knot without cutting it open; in other words, atomic stability follows from topological stability of the knots. Different spectral lines could also be explained by different vibrational modes of the structure. The work of Tait and Kelvin led to knot theory becoming a major branch of topology, but after the idea of a space-filling ether was abandoned, knots disappeared from physics for almost a century, until they re-emerged in superstring theory and statistical mechanics, and then in other areas like optics.

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Dirac monopoles

Although never seen experimentally, the possibility of isolated magnetic charges or monopoles has long been studied theoretically, starting with the work of Paul Dirac in the 1930 s [2]. In analogy to electric charges, a point-like magnetic monopole should produce a magnetic field (in SI units)
$$
\boldsymbol{B}=\frac{\mu_{0} g}{4 \pi r^{2}} \hat{r}=-\nabla V(r),
$$
where $g$ is the magnetic charge and $V=\mu_{0} g / 4 \pi r$ is the magnetic scalar potential. Because of the identity
$$
\nabla^{2}\left(\frac{1}{r}\right)=-4 \pi \delta^{(3)}(\boldsymbol{r}),
$$
the magnetic analog of Gauss’ law is
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{B}=g \mu_{0} \delta^{(3)}(\boldsymbol{r})
$$
where $\delta^{(3)}(\boldsymbol{r})$ is the three-dimensional Dirac delta function and the magnetic charge density is $\rho_{m}(\boldsymbol{r})=g \delta^{(3)}(\boldsymbol{r})$.

Recall that when a particle of momentum $\boldsymbol{p}$ propagates with displacement $\boldsymbol{r}$, the wavefunction picks up a phase factor,
$$
\psi \rightarrow \psi e^{i p \cdot r / \hbar}
$$
The phase of a single wavefunction at a given point has no physical relevance, but the phase difference between points is meaningful, since it is measurable through interference effects. When there is a field present, the minimal coupling procedure of electromagnetism leads (for a particle of charge $e$ ) to an effective shifting of the momentum,
$$
\boldsymbol{p} \rightarrow \boldsymbol{p}-{ }_{c}^{e} A .
$$

拓扑学代考

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topology and physics

虽然早期的时刻，例如欧拉使用图论来研究柯尼斯堡桥问题（1736 年）可以被单独列为拓扑研究的开端，但随着庞加莱的工作，该主题才真正成为数学的一个重要领域。1880 s和1890 s. 在研究微分方程解的性质，特别是天体力学问题时，他被引导研究曲面之间的平滑映射、到不动点、向量场的奇异性以及其他现在被认为是拓扑的主题。他接着给出了同伦和同调的第一个定义，并奠定了现代代数拓扑的基础。Poincaré 对作为流形曲线的微分方程解的拓扑研究在 20 世纪初由 Birkhoff 等人继续进行，其结果最终被 Kolmogorov、Arnold 和 Moser 系统地应用于机械系统。同时，该学科的其他分支，例如微分拓扑和组合拓扑开始扩展，

当然，在此之前，拓扑学的各个方面，当时被称为分析位点或几何位点，已经出现在物理学中。例如，电动力学中的高斯定律和安培定律本质上都是拓扑学的：它们涉及在基础曲线或曲面的连续变形下保持不变的线积分或曲面积分；在现代术语中，我们会说这些积分（电通量和磁通量）是拓扑不变量。事实上，整数连接数（第 5 章）首次出现在高斯安培定律的研究中。
同样，在流体力学中，涡旋的研究也有着悠久的历史。然后，从 1860 年代开始，Peter Tait 和 William Thomson（开尔文勋爵）试图将原子建模为以太中打结的涡线。动机包括这样一个事实，即不同原子的多样性可以通过涡旋线可以打结的各种不同方式来解释，以及原子的稳定性可以归因于不打结就无法解开结。换句话说，原子稳定性源于结的拓扑稳定性。不同的谱线也可以通过结构的不同振动模式来解释。Tait 和 Kelvin 的工作导致结理论成为拓扑学的一个主要分支，但是在空间填充以太的想法被放弃后，结从物理学中消失了近一个世纪，

数学代写|拓扑学代写Topology代考|Dirac monopoles

虽然从末在实验中看到过，但长期以来一直在理论上研究孤立磁荷或单极子的可能性，从 Paul Dirac 在 1930 年 代的工作开始 [2]。与电荷类似，点状磁单极子应产生磁场 (以 SI 为单位)
$$
\boldsymbol{B}=\frac{\mu_{0} g}{4 \pi r^{2}} \hat{r}=-\nabla V(r),
$$
在哪里 $g$ 是磁荷和 $V=\mu_{0} g / 4 \pi r$ 是磁标量势。因为身份
$$
\nabla^{2}\left(\frac{1}{r}\right)=-4 \pi \delta^{(3)}(\boldsymbol{r}),
$$
高斯定律的磁类比是
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{B}=g \mu_{0} \delta^{(3)}(\boldsymbol{r})
$$
在哪里 $\delta^{(3)}(\boldsymbol{r})$ 是三维狄拉克 $\delta$ 函数，磁荷密度是 $\rho_{m}(\boldsymbol{r})=g \delta^{(3)}(\boldsymbol{r})$.
回想一下，当一个动量粒子 $\boldsymbol{p}$ 以位移传播 $\boldsymbol{r}$ ，波函数拾取一个相位因子，
$$
\psi \rightarrow \psi e^{i p \cdot r / \hbar}
$$
给定点的单个波函数的相位没有物理相关性，但点之间的相位差是有意义的，因为它可以通过干涉效应来测量。当 存在场时，电磁场的最小耦合过程会导致（对于带电粒子 $e$ ) 有效地转移动量，
$$
\boldsymbol{p} \rightarrow \boldsymbol{p}-{ }_{c}^{e} A .
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。