分类：回归分析与线性模型代写

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Factorial Designs

Posted on 2023年4月18日2023年4月18日 by statistics-lab

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回归分析是一种强大的统计方法，允许你检查两个或多个感兴趣的变量之间的关系。虽然有许多类型的回归分析，但它们的核心都是考察一个或多个自变量对因变量的影响。

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统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Factorial Designs

Factorial designs are a special case of the $k$ way Anova designs of Chapter 6 , and these designs use factorial crossing to compare the effects (main effects, pairwise interactions, $\ldots$, k-fold interaction) of the $k$ factors. If $A_1, \ldots, A_k$ are the factors with $l_i$ levels for $i=1, \ldots, k$ then there are $l_1 l_2 \cdots l_k$ treatments where each treatment uses exactly one level from each factor. The sample size $n=m \prod_{i=1}^k l_i \geq m 2^k$. Hence the sample size grows exponentially fast with $k$. Often the number of replications $m=1$.

Definition 8.1. An experiment has $n$ runs where a run is used to measure a response. A run is a treatment $=$ a combination of $k$ levels. So each run uses exactly one level from each of the $k$ factors.

Often each run is expensive, for example, in industry and medicine. A goal is to improve the product in terms of higher quality or lower cost. Often the subject matter experts can think of many factors that might improve the product. The number of runs $n$ is minimized by taking $l_i=2$ for $i=1, \ldots, k$.
Definition 8.2. A $2^k$ factorial design is a $k$ way Anova design where each factor has two levels: low $=-1$ and high $=1$. The design uses $n=m 2^k$ runs. Often the number of replications $m=1$. Then the sample size $n=2^k$.

A $2^k$ factorial design is used to screen potentially useful factors. Usually at least $k=3$ factors are used, and then $2^3=8$ runs are needed. Often the units are time slots, and each time slot is randomly assigned to a run $=$ treatment. The subject matter experts should choose the two levels. For example, a quantitative variable such as temperature might be set at $80^{\circ} \mathrm{F}$ coded as -1 and $100^{\circ} \mathrm{F}$ coded as 1 , while a qualitative variable such as type of catalyst might have catalyst $\mathrm{A}$ coded as -1 and catalyst B coded as 1 .
Improving a process is a sequential, iterative process. Often high values of the response are desirable (e.g. yield), but often low values of the response are desirable (e.g. number of defects). Industrial experiments have a budget. The initial experiment may suggest additional factors that were omitted, suggest new sets of two levels, and suggest that many initial factors were not important or that the factor is important, but the level of the factor is not. (For example, one factor could be a catalyst with chemical yield as the response. It is possible that both levels of the catalyst produce about the same yield, but the yield would be 0 if the catalyst was not used. Then the catalyst is an important factor, but the yield did not depend on the level of catalyst used in the experiment.)

Suppose $k=5$ and $A, B, C, D$, and $E$ are factors. Assume high response is desired and high levels of $A$ and $C$ correspond to high response where $A$ is qualitative (e.g. 2 brands) and $C$ is quantitative but set at two levels (e.g. temperature at 80 and $100^{\circ} \mathrm{F}$ ). Then the next stage may use an experiment with factor $A$ at its high level and at a new level (e.g. a new brand) and $C$ at the highest level from the previous experiment and at a higher level determined by subject matter experts (e.g. at 100 and $120^{\circ} \mathrm{F}$ ).

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Fractional Factorial Designs

Factorial designs are expensive since $n=m 2^k$ when there are $k$ factors and $m$ replications. A fractional factorial design uses $n=m 2^{k-f}$ where $f$ is defined below, and so costs much less. Such designs can be useful when the higher order interactions are not significant.

Definition 8.10. A $2_R^{k-f}$ fractional factorial design has $k$ factors and takes $m 2^{k-f}$ runs where the number of replications $m$ is usually 1 . The design is an orthogonal design and each factor has two levels low $=-1$ and high $=$ 1. $R$ is the resolution of the design.

Definition 8.11. A main effect or $q$ factor interaction is confounded or aliased with another effect if it is not possible to distinguish between the two effects.

Remark 8.2. A $2_R^{k-f}$ design has no $q$ factor interaction (or main effect for $q=1$ ) confounded with any other effect consisting of less than $R-q$ factors. So a $2_{I I I}^{k-f}$ design has $R=3$ and main effects are confounded with 2 factor interactions. In a $2_{I V}^{k-f}$ design, $R=4$ and main effects are not confounded with 2 factor interactions but 2 factor interactions are confounded with other 2 factor interactions. In a $2_V^{k-f}$ design, $R=5$ and main effects and 2 factor interactions are only confounded with 4 and 3 way or higher interactions respectively. The $R=4$ and $R=5$ designs are good because the 3 way and higher interactions are rarely significant, but these designs are more expensive than the $\mathrm{R}=3$ designs.

In a $2_R^{k-f}$ design, each effect is confounded or aliased with $2^{f-1}$ other effects. Thus the $M$ th main effect is really an estimate of the $M$ th main effect plus $2^{f-1}$ other effects. If $R \geq 3$ and none of the two factor interactions are significant, then the $M$ th main effect is typically a useful estimator of the population $M$ th main effect.

Rule of thumb 8.8. Main effects tend to be larger than $q$ factor interaction effects, and the lower order interaction effects tend to be larger than the higher order interaction effects. So two way interaction effects tend to be larger than three way interaction effects.

线性回归代写

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Factorial Designs

因子设计是 $k$ 第 6 章的 Anova 设计方法，这些设计使用因子交叉来比较效果（主要效果、成对交互作用、 $\ldots, \mathrm{k}$-fold interaction) 的 $k$ 因素。如果 $A_1, \ldots, A_k$ 是因素与 $l_i$ 水平 $i=1, \ldots, k$ 然后有 $l_1 l_2 \cdots l_k$ 处理，其中每个处理仅使用每个因素的一个水平。样本量 $n=m \prod_{i=1}^k l_i \geq m 2^k$. 因此，样本量呈指数级快速增长 $k$. 经常重复的次数 $m=1$.
定义 8.1。一个实验有 $n$ 运行，其中运行用于测量响应。跑步是一种治疗＝的组合 $k$ 水平。所以每次运行只使用每个级别中的一个级别 $k$ 因素。
通常每次运行都很昂贵，例如在工业和医学领域。目标是在更高质量或更低成本方面改进产品。通常，主题专家可以想到许多可能改进产品的因素。运行次数 $n$ 通过采取最小化 $l_i=2$ 为了 $i=1, \ldots, k$.
定义 8.2。A $2^k$ 析因设计是 $k$ 方式方差分析设计，其中每个因素有两个水平：低 $=-1$ 和高 $=1$. 设计采用 $n=m 2^k$ 运行。经常重复的次数 $m=1$. 那么样本量 $n=2^k$.
$\mathrm{A} 2^k$ 析因设计用于筞选潜在有用的因素。通常至少 $k=3$ 使用因素，然后 $2^3=8$ 需要运行。通常单位是时隙，每个时隙随机分配到一个运行=治疗。主题专家应选择这两个级别。例如，温度等定量变量可能设置为 $80^{\circ} \mathrm{F}$ 编码为 -1 和 $100^{\circ} \mathrm{F}$ 编码为 1 ，而催化剂类型等定性变量可能有催化剂 $A$ 编码为-1，催化剂 $B$ 编码为 1 。
改进过程是一个连续的、迭代的过程。通常需要较高的响应值 (例如产量)，但通常需要较低的响应值 (例如缺陷数) 。工业实验有预算。初始实验可能会提示被遗漏的其他因素，建议新的两个水平集，并表明许多初始因素不重要或该因素很重要，但该因素的水平并不重要。（例如，一个因素可能是一种以化学产率作为响应的催化剂。两种水平的催化剂可能产生大致相同的产率，但如果不使用该催化剂，产率将为 0。那么该催化剂是一种重要因素，但产率并不取决于实验中使用的催化剂水平。)
认为 $k=5$ 和 $A, B, C, D$ ，和 $E$ 是因素。假设需要高响应并且高水平 $A$ 和 $C$ 对应于高响应，其中 $A$ 是定性的 (例如 2 个品牌) 并且 $C$ 是定量的，但设置为两个水平 (例如温度在 80 和 $100^{\circ} \mathrm{F}$ ). 那么下一阶段可能会使用一个带有因子的实验 $A$ 在高水平和新水平 (例如新品牌) 和 $C$ 在先前实验的最高级别和由主题专家确定的更高级别（例如，在 100 和 $120^{\circ} \mathrm{F}$ ).

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Fractional Factorial Designs

因子设计是昆贵的，因为 $n=m 2^k$ 当有 $k$ 因素和 $m$ 复制。部分因子设计使用 $n=m 2^{k-f}$ 在哪里 $f$ 定义如下，因此成本要低得多。当高阶交互不重要时，此类设计可能很有用。设计，每个因素都有两个低水平 $=-1$ 和高 $=1 . R$ 是设计的分辨率。
定义 8.11。主效应或 $q$ 如果无法区分两种效应，则因子交互作用与另一种效应混淆或混洧。
备注 8.2。 $\mathrm{A} 2_R^{k-f}$ 设计没有 $q$ 因素相互作用 (或主要影响 $q=1$ ) 与由小于 $R-q$ 因素。所以一个 $2_{I I I}^{k-f}$ 设计有 $R=3$ 主效应与 2 因子交互作用混楕。在一个 $2_{I V}^{k-f}$ 设计， $R=4$ 并且主效应不与 2 因子交互作用混淆，但 2 因子交互作用与其他 2 因子交互作用混㪯。在一个 $2_V^{k-f}$ 设计， $R=5$ 主效应和 2 因子交互作用仅分别与 4 和 3 向或更高交互作用混淆。这 $R=4$ 和 $R=5$ 设计很好，因为 3 向和更高的交互作用很少很重要，但这些设计比 $R=3$ 设计。
在一个 $2_R^{k-f}$ 设计，每个效果都混淆或别名 $2^{f-1}$ 其他影响。就这样 $M$ 主效应实际上是对 $M$ 第 th 主效应加上 $2^{f-1}$ 其他影响。如果 $R \geq 3$ 并且两个因素的交互作用都不显着，那么 $M$ 主效应通常是总体的有用估计量 $M$ th 主要影响。
经验法则 8.8。主效应往往大于 $q$ 因素交互作用，低阶交互作用往往大于高阶交互作用。因此，双向交互效应往往大于三向交互效应。

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随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

随着AI的大潮到来，Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比，Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用，因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”，也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多，跨学科范围广，所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题，StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。

多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
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SPSS代写	计量经济学代写
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EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Blocking with the K Way Anova Design

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统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Blocking with the K Way Anova Design

Blocking is used to reduce the MSE so that inference such as tests and confidence intervals are more precise. Below is a partial ANOVA table for a $k$ way Anova design with one block where the degrees of freedom are left blank. For $A$, use $H_0: \mu_{10 \cdots 0}=\cdots=\mu_{l_1 0 \cdots 0}$. The other main effects have similar null hypotheses. For interaction, use $H_0$ : no interaction.

These models get complex rapidly as $k$ and the number of levels $l_i$ increase. As $k$ increases, there are a large number of models to consider. For experiments, usually the 3 way and higher order interactions are not significant. Hence a full model that includes the blocks, all $k$ main effects, and all $\left(\begin{array}{c}k \ 2\end{array}\right)$ two way interactions is a useful starting point for response, residual, and transformation plots. The higher order interactions can be treated as potential terms and checked for significance. As a rule of thumb, significant interactions tend to involve significant main effects.

The following example has one block and 3 factors. Hence there are 3 two way interactions and 1 three way interaction.

Example 7.4. Snedecor and Cochran (1967, pp. 361-364) describe a block design (2 levels) with three factors: food supplements Lysine (4 levels), Methionine (3 levels), and Protein (2 levels). Male pigs were fed the supplements in a $4 \times 3 \times 2$ factorial arrangement and the response was average daily weight gain. The ANOVA table is shown on the following page. The model could be described as $Y_{i j k l}=\mu_{i j k l}+e_{i j k l}$ for $i=1,2,3,4 ; j=1,2,3 ; k=1,2$; and $l=1,2$ where $i, j, k$ are for $\mathrm{L}, \mathrm{M}, \mathrm{P}$ and $l$ is for block. Note that $\mu_{i 000}$ is the mean corresponding to the $i$ th level of $\mathrm{L}$.
a) There were 24 pigs in each block. How were they assigned to the $24=$ $4 \times 3 \times 2$ runs (a run is an L,M,P combination forming a pig diet)?
b) Was blocking useful?
c) Perform a 4 step test for the significant main effect.
d) Which, if any, of the interactions were significant?
Solution: a) Randomly.
b) Yes, $0.0379<0.05$.
c) $H_0: \mu_{0010}=\mu_{0020} H_A:$ not $H_0$
$F_P=19.47$
pval $=0.0002$
Reject $H_0$, the mean weight gain depends on the protein level.
d) None.

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Latin Square Designs

Latin square designs have a lot of structure. The design contains a row block factor, a column block factor, and a treatment factor, each with $a$ levels. The two blocking factors, and the treatment factor are crossed, but it is assumed that there is no interaction. A capital letter is used for each of the $a$ treatment levels. So $a=3$ uses A, B, C while $a=4$ uses A, B, C, D.

Definition 7.5. In an $a \times a$ Latin square, each letter appears exactly once in each row and in each column. A standard Latin square has letters written in alphabetical order in the first row and in the first column.

Five Latin squares are shown below. The first, third, and fifth are standard. If $a=5$, there are 56 standard Latin squares.
$\begin{array}{lllllllllllll}\text { A B C } & \text { A B C } & \text { A B C D } & \text { A B C D E } & \text { A B C D E } \ \text { B C A } & \text { C A B } & \text { B A D C } & \text { E A B C D } & \text { B A E C D } \ \text { C A B } & \text { B C A } & \text { C D A B } & \text { D E A B C } & \text { C D A A E B } \ & & & \text { D C B A } & \text { C D E A B } & \text { D E B A C } \ & & & & & \text { B C D E A } & \text { E C D B A }\end{array}$
Definition 7.6. The model for the Latin square design is
$$
Y_{i j k}=\mu+\tau_i+\beta_j+\gamma_k+e_{i j k}
$$
where $\tau_i$ is the $i$ th treatment effect, $\beta_j$ is the $j$ th row block effect, $\gamma_k$ is the $k$ th column block effect with $i, j$, and $k=1, \ldots, a$. The errors $e_{i j k}$ are iid with 0 mean and constant variance $\sigma^2$. The $i$ th treatment mean $\mu_i=\mu+\tau_i$.
Shown below is an ANOVA table for the Latin square model given in symbols. Sometimes “Error” is replaced by “Residual,” or “Within Groups.” Sometimes rblocks and cblocks are replaced by the names of the blocking factors. Sometimes “p-value” is replaced by “P,” “Pr(>F),” or “PR $>$ F.”

线性回归代写

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Blocking with the K Way Anova Design

分块用于降低 MSE，从而使测试和置信区间等推理更加精确。下面是一个部分方差分析表 $k$ 方法 Anova 设计一个块，其中自由度留空。为了 $A$ ，使用 $H_0: \mu_{10} \cdots 0=\cdots=\mu_{l_1 0 \cdots 0}$. 其他主效应具有类似的原假设。对于交互，使用 $H_0$ : 没有互动。
这些模型迅速变得复杂，因为 $k$ 和级别数 $l_i$ 增加。作为 $k$ 增加，有大量模型需要考虑。对于实验，通常 3 次和更高阶交互作用并不显着。因此，一个完整的模型包括块，所有 $k$ 主效应和所有 $(k 2)$ 双向交互是响应图、残差图和变换图的有用起点。可以将高阶交互视为潜在项并检查其重要性。根据经验，显着的交互作用往往涉及显着的主效应。
以下示例具有 1 个区组和 3 个因子。因此，有 3 个双向交互和 1 个三向交互。
示例 7.4。Snedecor 和 Cochran（1967 年，第 361-364 页) 描述了一个包含三个因素的区组设计（2个水平）：食品补充剂赖氨酸 (4个水平) 、甲硫氨酸（3 个水平）和蛋白质（2个水平）。公猪在 $4 \times 3 \times 2$ 阶乘排列，响应是平均每日体重增加。方差分析表显示在下一页。该模型可以描述为 $Y_{i j k l}=\mu_{i j k l}+e_{i j k l}$ 为了 $i=1,2,3,4 ; j=1,2,3 ; k=1,2$; 和 $l=1,2$ 在哪里 $i, j, k$ 是给 $\mathrm{L}, \mathrm{M}, \mathrm{P}$ 和 $l$ 是块。注意 $\mu_{i 000}$ 是对应于 $i$ 第级L.
a) 每个街区有 24 头猪。他们是如何被分配到 $24=4 \times 3 \times 2$ 运行（运行是形成猪饮食的 $L 、 M 、 P$ 组合) ?
b) 阻止有用吗?
c) 对显着的主效应进行 4 步检验。
d) 如果有的话，哪些相互作用是重要的?
解决方案： a) 随机。
b) 是的， $0.0379<0.05$.
C) $H_0: \mu_{0010}=\mu_{0020} H_A$ :不是 $H_0$
$F_P=19.47$
$\mathrm{pval}=0.0002$
拒绝 $H_0$ ，平均体重增加取决于蛋白质水平。
d) 无。

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Latin Square Designs

拉丁方设计有很多结构。该设计包含一个行块因子、一个列块因子和一个处理因子，每个因子都有 $a$ 水平。两个区组因子和处理因子交叉，但假定没有交互作用。大写字母用于每个 $a$ 治疗水平。所以 $a=3$ 使用 A、B、C而 $a=4$ 使用 A、B、C、D。
定义 7.5。在一个 $a \times a$ 拉丁方，每个字母在每一行和每一列中只出现一次。一个标准的拉丁方块在第一行和第一列中按字母顺序书写字母。
五个拉丁方块如下所示。第一、第三和第五个是标准的。如果 $a=5$ ，有 56 个标准拉丁方。
A B C A BC ABCD ABCDE ABCDE BCA C A B B A DC 定义 7.6。拉丁方设计的模型是
$$
Y_{i j k}=\mu+\tau_i+\beta_j+\gamma_k+e_{i j k}
$$
在哪里 $\tau_i$ 是个 $i$ 治疗效果， $\beta_j$ 是个 $j$ 第 th 行块效应， $\gamma_k$ 是个 $k$ 第 th 列块效果与 $i, j$ ，和 $k=1, \ldots, a$. 错误 $e_{i j k}$ 具有 0 均值和恒定方差的 $\mathrm{iid} \sigma^2$. 这 $i$ 治疗均值 $\mu_i=\mu+\tau_i$.
下面显示的是以符号给出的拉丁方模型的方差分析表。有时“错误”被“残差”或“组内”代替。有时 rblocks 和 cblocks 被区组因子的名称代替。有时” $p$ 值”被” $P “$ “Pr $(>F)$ “或”PR $>F_{\text {。” }}$ “

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随机过程代考

贝叶斯方法代考

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
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统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Variable Selection

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统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Variable Selection

Variable selection, also called subset or model selection, is the search for a subset of predictor variables that can be deleted without important loss of information. A model for variable selection in multiple linear regression can be described by
$$
Y=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}+e=\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}+e=\boldsymbol{x}_S^T \boldsymbol{\beta}_S+\boldsymbol{x}_E^T \boldsymbol{\beta}_E+e=\boldsymbol{x}_S^T \boldsymbol{\beta}_S+e
$$
where $e$ is an error, $Y$ is the response variable, $\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{x}_S^T, \boldsymbol{x}_E^T\right)^T$ is a $p \times 1$ vector of predictors, $\boldsymbol{x}_S$ is a $k_S \times 1$ vector, and $\boldsymbol{x}_E$ is a $\left(p-k_S\right) \times 1$ vector. Given that $\boldsymbol{x}_S$ is in the model, $\boldsymbol{\beta}_E=\mathbf{0}$ and $E$ denotes the subset of terms that can be eliminated given that the subset $S$ is in the model.

Since $S$ is unknown, candidate subsets will be examined. Let $x_I$ be the vector of $k$ terms from a candidate subset indexed by $I$, and let $\boldsymbol{x}_O$ be the vector of the remaining predictors (out of the candidate submodel). Then
$$
Y=\boldsymbol{x}_I^T \boldsymbol{\beta}_I+\boldsymbol{x}_O^T \boldsymbol{\beta}_O+e .
$$
Definition 3.7. The model $Y=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}+e$ that uses all of the predictors is called the full model. A model $Y=\boldsymbol{x}_I^T \boldsymbol{\beta}_I+e$ that only uses a subset $\boldsymbol{x}_I$ of the predictors is called a submodel. The full model is always a submodel. The sufficient predictor (SP) is the linear combination of the predictor variables used in the model. Hence the full model has $S P=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}$ and the submodel has $S P=\boldsymbol{x}_I^T \boldsymbol{\beta}_I$.

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Bootstrapping Variable Selection

The bootstrap will be described and then applied to variable selection. Suppose there is data $\boldsymbol{w}_1, \ldots, \boldsymbol{w}_n$ collected from a distribution with cdf $F$ into an $n \times p$ matrix $\boldsymbol{W}$. The empirical distribution, with cdf $F_n$, gives each observed data case $\boldsymbol{w}_i$ probability $1 / n$. Let the statistic $T_n=t(\boldsymbol{W})=t\left(F_n\right)$ be computed from the data. Suppose the statistic estimates $\boldsymbol{\mu}=t(F)$. Let $t\left(\boldsymbol{W}^\right)=t\left(F_n^\right)=T_n^*$ indicate that $t$ was computed from an iid sample from the empirical distribution $F_n$ : a sample of size $n$ was drawn with replacement from the observed sample $\boldsymbol{w}_1, \ldots, \boldsymbol{w}_n$.

Some notation is needed to give the Olive (2013a) prediction region used to bootstrap a hypothesis test. Suppose $\boldsymbol{w}1, \ldots, \boldsymbol{w}_n$ are iid $p \times 1$ random vectors with mean $\boldsymbol{\mu}$ and nonsingular covariance matrix $\boldsymbol{\Sigma}{\boldsymbol{w}}$. Let a future test observation $\boldsymbol{w}f$ be independent of the $\boldsymbol{w}_i$ but from the same distribution. Let $(\overline{\boldsymbol{w}}, \boldsymbol{S})$ be the sample mean and sample covariance matrix where $$ \overline{\boldsymbol{w}}=\frac{1}{n} \sum{i=1}^n \boldsymbol{w}i \text { and } \boldsymbol{S}=\boldsymbol{S}{\boldsymbol{w}}=\frac{1}{\mathrm{n}-1} \sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\left(\boldsymbol{w}{\mathrm{i}}-\overline{\boldsymbol{w}}\right)\left(\boldsymbol{w}{\mathrm{i}}-\overline{\boldsymbol{w}}\right)^{\mathrm{T}}
$$
Then the $i$ th squared sample Mahalanobis distance is the scalar
$$
D_{\boldsymbol{w}}^2=D_{\boldsymbol{w}}^2(\overline{\boldsymbol{w}}, \boldsymbol{S})=(\boldsymbol{w}-\overline{\boldsymbol{w}})^T \boldsymbol{S}^{-1}(\boldsymbol{w}-\overline{\boldsymbol{w}})
$$
Let $D_i^2=D_{\boldsymbol{w}i}^2$ for each observation $\boldsymbol{w}_i$. Let $D{(c)}$ be the $c$ th order statistic of $D_1, \ldots, D_n$. Consider the hyperellipsoid
$$
\mathcal{A}n=\left{\boldsymbol{w}: D{\boldsymbol{w}}^2(\overline{\boldsymbol{w}}, \boldsymbol{S}) \leq D_{(c)}^2\right}=\left{\boldsymbol{w}: D_{\boldsymbol{w}}(\overline{\boldsymbol{w}}, \boldsymbol{S}) \leq D_{(c)}\right}
$$
If $n$ is large, we can use $c=k_n=\lceil n(1-\delta)\rceil$. If $n$ is not large, using $c=$ $U_n$ where $U_n$ decreases to $k_n$, can improve small sample performance. Olive (2013a) showed that $(3.10)$ is a large sample $100(1-\delta) \%$ prediction region for a large class of distributions, although regions with smaller volumes may exist. Note that the result follows since if $\boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{w}$ and $\boldsymbol{S}$ are nonsingular, then the Mahalanobis distance is a continuous function of $(\overline{\boldsymbol{w}}, \boldsymbol{S})$. Let $D=D(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{w})$. Then $D_i \stackrel{D}{\rightarrow} D$ and $D_i^2 \stackrel{D}{\rightarrow} D^2$. Hence the sample percentiles of the $D_i$ are consistent estimators of the population percentiles of $D$ at continuity points of the cumulative distribution function (cdf) of $D$. Prediction region (3.10) estimates the highest density region for a large class of elliptically contoured distributions. Some of the above terms appear in Chapter 10.

线性回归代写

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Variable Selection

变量选择，也称为子集或模型选择，是搜索可以删除而不会丢失重要信息的预测变量的子集。多元线性回归中的变量选择模型可以描述为
$$
Y=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}+e=\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}+e=\boldsymbol{x}_S^T \boldsymbol{\beta}_S+\boldsymbol{x}_E^T \boldsymbol{\beta}_E+e=\boldsymbol{x}_S^T \boldsymbol{\beta}_S+e
$$
在哪里 $e$ 是一个错误， $Y$ 是响应变量， $\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{x}_S^T, \boldsymbol{x}_E^T\right)^T$ 是一个 $p \times 1$ 预测变量的向量， $\boldsymbol{x}_S$ 是一个 $k_S \times 1$ 矢量，和 $\boldsymbol{x}_E$ 是一个 $\left(p-k_S\right) \times 1$ 向量。鉴于 $\boldsymbol{x}_S$ 在模型中， $\boldsymbol{\beta}_E=\mathbf{0}$ 和 $E$ 表示在给定子集的情况下可以消除的项的子集 $S$ 在模型中。
自从 $S$ 末知，将检查候选子集。让 $x_I$ 是向量 $k$ 来自由索引的候选子集的术语 $I ，$ 然后让 $x_O$ 是剩余预测变量的向量（来自候选子模型）。然后
$$
Y=\boldsymbol{x}_I^T \boldsymbol{\beta}_I+\boldsymbol{x}_O^T \boldsymbol{\beta}_O+e
$$
定义 3.7。该模型 $Y=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}+e$ 使用所有预测变量的模型称为完整模型。一个模型 $Y=\boldsymbol{x}_I^T \boldsymbol{\beta}_I+e$ 只使用一个子集 $\boldsymbol{x}_I$ 的预测变量称为子模型。完整模型始终是子模型。充分预测变量 (SP) 是模型中使用的预测变量的线性组合。因此完整模型有 $S P=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}$ 子模型有 $S P=\boldsymbol{x}_I^T \boldsymbol{\beta}_I$.

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Bootstrapping Variable Selection

引导程序将被描述，然后应用于变量选择。假设有数据 $\boldsymbol{w}1, \ldots, \boldsymbol{w}_n$ 使用 cdf 从分布中收集 $F$ 进入一个 $n \times p$ 矩阵 $\boldsymbol{W}$. 经验分布， $\mathrm{cdf} F_n$ ，给出每个观察到的数据案例 $\boldsymbol{w}_i$ 可能性 $1 / n$. 让统计 $T_n=t(\boldsymbol{W})=t\left(F_n\right)$ 从数据中计算出来。假设统计估计 $\boldsymbol{\mu}=t(F)$. 令 $\$ t \backslash \backslash e f t(\backslash b o l d s y m b o \mid{\mathrm{W}} \wedge$ |right) $=t 1$ left $\left(F{-} n^{\wedge} \backslash r i g h t\right)=T_{-} n^{\wedge *}$ indicatethat 吨
wascomputed fromaniidsamplefromtheempiricaldistribution $\mathrm{F}{-} \mathrm{n}$ : asampleofsizen lboldsymbol ${w} _n \$$ 需要一些符号来给出用于引导假设检验的 Olive (2013a) 预测区域。认为 $\boldsymbol{w} 1, \ldots, \boldsymbol{w}_n$ 是同龄人 $p \times 1$ 具有均值的随机向量 $\boldsymbol{\mu}$ 和非奇异协方差矩阵 $\boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{w}$. 让末来的测试观察 $\boldsymbol{w} f$ 独立于 $\boldsymbol{w}_i$ 但来自相同的分布。让 $(\overline{\boldsymbol{w}}, \boldsymbol{S})$ 是样本均值和样本协方差矩阵，其中 $$ \overline{\boldsymbol{w}}=\frac{1}{n} \sum i=1^n \boldsymbol{w} i \text { and } \boldsymbol{S}=\boldsymbol{S} \boldsymbol{w}=\frac{1}{\mathrm{n}-1} \sum{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}(\boldsymbol{w} \mathrm{i}-\overline{\boldsymbol{w}})(\boldsymbol{w} \mathrm{i}-\overline{\boldsymbol{w}})^{\mathrm{T}}
$$
然后 $i$ th 平方样本马氏距离是标量
$$
D_{\boldsymbol{w}}^2=D_{\boldsymbol{w}}^2(\overline{\boldsymbol{w}}, \boldsymbol{S})=(\boldsymbol{w}-\overline{\boldsymbol{w}})^T \boldsymbol{S}^{-1}(\boldsymbol{w}-\overline{\boldsymbol{w}})
$$
让 $D_i^2=D_{w i}^2$ 对于每个观察 $\boldsymbol{w}_i$. 让 $D(c)$ 成为 $c$ 的阶次统计量 $D_1, \ldots, D_n$. 考虑超椭圆体
如果 $n$ 很大，我们可以用 $c=k_n=\lceil n(1-\delta)\rceil$. 如果 $n$ 不大，用 $c=U_n$ 在哪里 $U_n$ 减少到 $k_n$ ，可以提高小样本性能。Olive (2013a) 表明 $(3.10)$ 是大样本 $100(1-\delta) \%$ 大类分布的预测区域，尽管可能存在体积较小的区域。请注意，结果如下，因为如果 $\boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{w}$ 和 $\boldsymbol{S}$ 是非奇异的，则马氏距离是以下的连续函数 $(\overline{\boldsymbol{w}}, \boldsymbol{S})$. 让 $D=D(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{w})$. 然后 $D_i \stackrel{D}{\rightarrow} D$ 和 $D_i^2 \stackrel{D}{\rightarrow} D^2$. 因此，样本百分位数 $D_i$ 是人口百分位数的一致估计量 $D$ 在㽧积分布函数 (cdf) 的连续点处 $D$. 预测区域 (3.10) 估计一大类椭圆轮廓分布的最高密度区域。上面的一些术语出现在第 10 章中。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Graphical Methods for Response Transformations

Posted on 2023年4月14日2023年4月14日 by statistics-lab

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统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Graphical Methods for Response Transformations

If the ratio of largest to smallest value of $y$ is substantial, we usually begin by looking at $\log y$.
Mosteller and Tukey (1977, p. 91)
The applicability of the multiple linear regression model can be expanded by allowing response transformations. An important class of response transformation models adds an additional unknown transformation parameter $\lambda_o$, such that
$$
Y_i=t_{\lambda_o}\left(Z_i\right) \equiv Z_i^{\left(\lambda_o\right)}=E\left(Y_i \mid \boldsymbol{x}i\right)+e_i=\boldsymbol{x}_i^T \boldsymbol{\beta}+e_i . $$ If $\lambda_o$ was known, then $Y_i=t{\lambda_o}\left(Z_i\right)$ would follow a multiple linear regression model with $p$ predictors including the constant. Here, $\boldsymbol{\beta}$ is a $p \times 1$ vector of unknown coefficients depending on $\lambda_o, \boldsymbol{x}$ is a $p \times 1$ vector of predictors that are assumed to be measured with negligible error, and the errors $e_i$ are assumed to be iid with zero mean.

Definition 3.2. Assume that all of the values of the “response” $Z_i$ are positive. A power transformation has the form $Y=t_\lambda(Z)=Z^\lambda$ for $\lambda \neq 0$ and $Y=t_0(Z)=\log (Z)$ for $\lambda=0$ where
$$
\lambda \in \Lambda_L={-1,-1 / 2,-1 / 3,0,1 / 3,1 / 2,1}
$$

Definition 3.3. Assume that all of the values of the “response” $Z_i$ are positive. Then the modified power transformation family
$$
t_\lambda\left(Z_i\right) \equiv Z_i^{(\lambda)}=\frac{Z_i^\lambda-1}{\lambda}
$$
for $\lambda \neq 0$ and $Z_i^{(0)}=\log \left(Z_i\right)$. Generally $\lambda \in \Lambda$ where $\Lambda$ is some interval such as $[-1,1]$ or a coarse subset such as $\Lambda_L$. This family is a special case of the response transformations considered by Tukey (1957).

A graphical method for response transformations refits the model using the same fitting method: changing only the “response” from $Z$ to $t_\lambda(Z)$. Compute the “fitted values” $\hat{W}i$ using $W_i=t\lambda\left(Z_i\right)$ as the “response.” Then a transformation plot of $\hat{W}i$ versus $W_i$ is made for each of the seven values of $\lambda \in \Lambda_L$ with the identity line added as a visual aid. Vertical deviations from the identity line are the “residuals” $r_i=W_i-\hat{W}_i$. Then a candidate response transformation $Y=t{\lambda^*}(Z)$ is reasonable if the plotted points follow the identity line in a roughly evenly populated band if the unimodal MLR model is reasonable for $Y=W$ and $\boldsymbol{x}$. See Definition 2.6. Curvature from the identity line suggests that the candidate response transformation is inappropriate.

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Main Effects, Interactions, and Indicators

Section 1.4 explains interactions, factors, and indicator variables in an abstract setting when $Y \Perp \boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}$ where $\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}$ is the sufficient predictor (SP). MLR is such a model. The Section 1.4 interpretations given in terms of the SP can be given in terms of $E(Y \mid \boldsymbol{x})$ for MLR since $E(Y \mid \boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}=S P$ for MLR.

Definition 3.5. Suppose that the explanatory variables have the form $x_2, \ldots, x_k, x_{j j}=x_j^2, x_{i j}=x_i x_j, x_{234}=x_2 x_3 x_4$, et cetera. Then the variables $x_2, \ldots, x_k$ are main effects. A product of two or more different main effects is an interaction. A variable such as $x_2^2$ or $x_7^3$ is a power. An $x_2 x_3$ interaction will sometimes also be denoted as $x_2: x_3$ or $x_2 * x_3$.

Definition 3.6. A factor $W$ is a qualitative random variable. Suppose $W$ has $c$ categories $a_1, \ldots, a_c$. Then the factor is incorporated into the MLR model by using $c-1$ indicator variables $x_{W j}=1$ if $W=a_j$ and $x_{W j}=0$ otherwise, where one of the levels $a_j$ is omitted, e.g. use $j=1, \ldots, c-1$. Each indicator variable has 1 degree of freedom. Hence the degrees of freedom of the $c-1$ indicator variables associated with the factor is $c-1$.

Rule of thumb 3.3. Suppose that the MLR model contains at least one power or interaction. Then the corresponding main effects that make up the powers and interactions should also be in the MLR model.

Rule of thumb 3.3 suggests that if $x_3^2$ and $x_2 x_7 x_9$ are in the MLR model, then $x_2, x_3, x_7$, and $x_9$ should also be in the MLR model. A quick way to check whether a term like $x_3^2$ is needed in the model is to fit the main effects models and then make a scatterplot matrix of the predictors and the residuals, where the residuals $r$ are on the top row. Then the top row shows plots of $x_k$ versus $r$, and if a plot is parabolic, then $x_k^2$ should be added to the model. Potential predictors $w_j$ could also be added to the scatterplot matrix. If the plot of $w_j$ versus $r$ shows a positive or negative linear trend, add $w_j$ to the model. If the plot is quadratic, add $w_j$ and $w_j^2$ to the model. This technique is for quantitative variables $x_k$ and $w_j$.

线性回归代写

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如果最大值与最小值之比 $y$ 是实质性的，我们通常首先看 $\log y$.
Mosteller 和 Tukey (1977, p. 91)
可以通过允许响应转换来扩展多元线性回归模型的适用性。一类重要的响应转换模型增加了一个额外的末知转换参数 $\lambda_o$, 这样
$$
Y_i=t_{\lambda_o}\left(Z_i\right) \equiv Z_i^{\left(\lambda_o\right)}=E\left(Y_i \mid \boldsymbol{x} i\right)+e_i=\boldsymbol{x}i^T \boldsymbol{\beta}+e_i $$ 如果 $\lambda_o$ 众所周知，然后 $Y_i=t \lambda_o\left(Z_i\right)$ 将遵循多元线性回归模型 $p$ 预测变量包括常量。这里， $\beta$ 是一个 $p \times 1$ 末知系数的向量取决于 $\lambda_o, \boldsymbol{x}$ 是一个 $p \times 1$ 假定误差可忽略不计的预测变量向量，以及误差 $e_i$ 被假定为具有零均值的 iid。定义 3.2。假设响应”的所有值 $Z_i$ 是积极的。幂变换具有以下形式 $Y=t\lambda(Z)=Z^\lambda$ 为了 $\lambda \neq 0$ 和 $Y=t_0(Z)=\log (Z)$ 为了 $\lambda=0$ 在哪里
$$
\lambda \in \Lambda_L=-1,-1 / 2,-1 / 3,0,1 / 3,1 / 2,1
$$
定义 3.3。假设响应”的所有值 $Z_i$ 是积极的。再改装动力改造家族
$$
t_\lambda\left(Z_i\right) \equiv Z_i^{(\lambda)}=\frac{Z_i^\lambda-1}{\lambda}
$$
为了 $\lambda \neq 0$ 和 $Z_i^{(0)}=\log \left(Z_i\right)$. 一般来说 $\lambda \in \Lambda$ 在哪里 $\Lambda$ 是一些间隔，例如 $[-1,1]$ 或粗略的子集，例如 $\Lambda_L \cdot$ 该族是 Tukey (1957) 考虑的响应变换的特例。
响应转换的图形方法使用相同的拟合方法重新拟合模型：仅更改来自 $Z$ 到 $t_\lambda(Z)$. 计算“拟合值” $\hat{W} i$ 使用 $W_i=t \lambda\left(Z_i\right)$ 作为“回应”。然后是一个变换图 $\hat{W} i$ 相对 $W_i$ 是为每个的七个值 $\lambda \in \Lambda_L$ 添加标识线作为视觉辅助。与身份线的垂直偏差是”残差” $r_i=W_i-\hat{W}_i$. 然后是候选响应转换 $Y=t \lambda^*(Z)$ 如果单峰 MLR 模型对于 $Y=W$ 和 $\boldsymbol{x}$. 见定义 2.6。身份线的曲率表明候选响应转换不合适。

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(SP)。MLR就是这样一个模型。根据 SP 给出的第 1.4 节解释可以根据 $E(Y \mid \boldsymbol{x})$ 对于 MLR 因为 $E(Y \mid \boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}=S P$ 为国土资源部。
定义 3.5。假设解释变量具有以下形式 $x_2, \ldots, x_k, x_{j j}=x_j^2, x_{i j}=x_i x_j, x_{234}=x_2 x_3 x_4$ 等等。然后是变量 $x_2, \ldots, x_k$ 是主要影响。两个或多个不同主效应的乘积是交互作用。一个变量，例如 $x_2^2$ 或者 $x_7^3$ 是一种力量。一个 $x_2 x_3$ 相互作用有时也被表示为 $x_2: x_3$ 或者 $x_2 * x_3$.
定义 3.6。一个因素 $W$ 是定性随机变量。认为 $W$ 有 $c$ 类别 $a_1, \ldots, a_c$. 然后通过使用将该因子合并到 MLR 模型中 $c-1$ 指标变量 $x_{W j}=1$ 如果 $W=a_j$ 和 $x_{W j}=0$ 否则，其中一个级别 $a_j$ 被省略，例如使用 $j=1, \ldots, c-1$. 每个指示变量有 1 个自由度。因此，自由度 $c-1$ 与该因素相关的指标变量是 $c-1$.
经验法则 3.3。假设 MLR 模型至少包含一种幕或交互作用。那么对应的构成幕和交互作用的主效应也应该在MLR模型中。
经验法则 3.3 建议如果 $x_3^2$ 和 $x_2 x_7 x_9$ 在 MLR 模型中，那么 $x_2, x_3, x_7$ ，和 $x_9$ 也应该在 MLR 模型中。一种快速检查术语是否类似于 $x_3^2$ 模型中需要的是拟合主效应模型，然后制作预测变量和残差的散点图矩阵，其中残差 $r$ 在第一行。然后顶行显示的图 $x_k$ 相对 $r$ ，如果情节是抛物线的，那么 $x_k^2$ 应该添加到模型中。潜在的预测因素 $w_j$ 也可以添加到散点图矩阵。如果情节 $w_j$ 相对 $r$ 显示正或负的线性趋势，添加 $w_j$ 到模型。如果情节是二次的，添加 $w_j$ 和 $w_j^2$ 到模型。该技术适用于定量变量 $x_k$ 和 $w_j$.

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
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Posted on 2023年4月7日2023年4月7日 by statistics-lab

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统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Variable Selection

A standard problem in 1D regression is variable selection, also called subset or model selection. Assume that the 1D regression model uses a linear predictor
$$
Y \Perp \boldsymbol{x} \mid\left(\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}\right),
$$
that a constant $\alpha$ is always included, that $\boldsymbol{x}=\left(x_1, \ldots, x_{p-1}\right)^T$ are the $p-1$ nontrivial predictors, and that the $n \times p$ matrix $\boldsymbol{X}$ with $i$ th row $\left(1, \boldsymbol{x}_i^T\right)$ has full rank $p$. Then variable selection is a search for a subset of predictor variables that can be deleted without important loss of information.

To clarify ideas, assume that there exists a subset $S$ of predictor variables such that if $\boldsymbol{x}_S$ is in the 1D model, then none of the other predictors are needed in the model. Write $E$ for these (‘extraneous’) variables not in $S$, partitioning $\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{x}_S^T, \boldsymbol{x}_E^T\right)^T$. Then
$$
S P=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}=\alpha+\boldsymbol{\beta}_S^T \boldsymbol{x}_S+\boldsymbol{\beta}_E^T \boldsymbol{x}_E=\alpha+\boldsymbol{\beta}_S^T \boldsymbol{x}_S .
$$
The extraneous terms that can be eliminated given that the subset $S$ is in the model have zero coefficients: $\boldsymbol{\beta}_E=\mathbf{0}$.

Now suppose that $I$ is a candidate subset of predictors, that $S \subseteq I$ and that $O$ is the set of predictors not in $I$. Then
$$
S P=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}=\alpha+\boldsymbol{\beta}S^T \boldsymbol{x}_S=\alpha+\boldsymbol{\beta}_S^T \boldsymbol{x}_S+\boldsymbol{\beta}{(I / S)}^T \boldsymbol{x}{I / S}+\mathbf{0}^T \boldsymbol{x}_O=\alpha+\boldsymbol{\beta}_I^T \boldsymbol{x}_I, $$ where $\boldsymbol{x}{I / S}$ denotes the predictors in $I$ that are not in $S$. Since this is true regardless of the values of the predictors, $\boldsymbol{\beta}O=\mathbf{0}$ if $S \subseteq I$. Hence for any subset $I$ that includes all relevant predictors, the population correlation $$ \operatorname{corr}\left(\alpha+\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}{\mathrm{i}}, \alpha+\boldsymbol{\beta}{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}{\mathrm{I}, \mathrm{i}}\right)=1 .
$$

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Other Issues

The $1 \mathrm{D}$ regression models offer a unifying framework for many of the most used regression models. By writing the model in terms of the sufficient predictor $S P=h(\boldsymbol{x})$, many important topics valid for all 1D regression models can be explained compactly. For example, the previous section presented variable selection, and equation (1.14) can be used to motivate the test for whether the reduced model can be used instead of the full model. Similarly, the sufficient predictor can be used to unify the interpretation of coefficients and to explain models that contain interactions and factors.
Interpretation of Coefficients
One interpretation of the coefficients in a 1D model (1.11) is that $\beta_i$ is the rate of change in the SP associated with a unit increase in $x_i$ when all other predictor variables $x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_p$ are held fixed. Denote a model by $S P=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}=\alpha+\beta_1 x_1+\cdots+\beta_p x_p$. Then
$$
\beta_i=\frac{\partial S P}{\partial x_i} \text { for } \mathrm{i}=1, \ldots, \mathrm{p}
$$
Of course, holding all other variables fixed while changing $x_i$ may not be possible. For example, if $x_1=x, x_2=x^2$ and $S P=\alpha+\beta_1 x+\beta_2 x^2$, then $x_2$ cannot be held fixed when $x_1$ increases by one unit, but
$$
\frac{d S P}{d x}=\beta_1+2 \beta_2 x
$$
The interpretation of $\beta_i$ changes with the model in two ways. First, the interpretation changes as terms are added and deleted from the SP. Hence the interpretation of $\beta_1$ differs for models $S P=\alpha+\beta_1 x_1$ and $S P=\alpha+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2$. Secondly, the interpretation changes as the parametric or semiparametric form of the model changes. For multiple linear regression, $E(Y \mid S P)=S P$ and an increase in one unit of $x_i$ increases the conditional expectation by $\beta_i$. For binary logistic regression,
$$
E(Y \mid S P)=\rho(S P)=\frac{\exp (S P)}{1+\exp (S P)}
$$
and the change in the conditional expectation associated with a one unit increase in $x_i$ is more complex.

线性回归代写

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Variable Selection

一维回归中的一个标准问题是变量选择，也称为子集或模型选择。假设一维回归模型使用线性预测器
$$
Y \backslash \operatorname{Perp} \boldsymbol{x} \mid\left(\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}\right)
$$
那是一个常数 $\alpha$ 总是包括在内，即 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, \ldots, x_{p-1}\right)^T$ 是 $p-1$ 非平凡的预测因子，并且 $n \times p$ 矩阵 $\boldsymbol{X}$ 和 $i$ 扔 $\left(1, \boldsymbol{x}_i^T\right)$ 满级 $p$. 然后变量选择是搜索预测变量的一个子集，这些变量可以被删除而不会丟失重要的信息。
为了澄清想法，假设存在一个子集 $S$ 的预测变量，如果 $\boldsymbol{x}_S$ 在一维模型中，则模型中不需要任何其他预测变量。写 $E$ 对于这些 (“无关的”) 变量不在 $S$, 分区 $\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{x}_S^T, \boldsymbol{x}_E^T\right)^T$.然后
$$
S P=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}=\alpha+\boldsymbol{\beta}_S^T \boldsymbol{x}_S+\boldsymbol{\beta}_E^T \boldsymbol{x}_E=\alpha+\boldsymbol{\beta}_S^T \boldsymbol{x}_S
$$
给定子集可以消除的无关项 $S$ 在模型中具有零系数： $\beta_E=\mathbf{0}$.
现在假设 $I$ 是预测变量的候选子集，即 $S \subseteq I$ 然后 $O$ 是一组预测变量不在 $I$. 然后
$$
S P=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}=\alpha+\boldsymbol{\beta} S^T \boldsymbol{x}_S=\alpha+\boldsymbol{\beta}_S^T \boldsymbol{x}_S+\boldsymbol{\beta}(I / S)^T \boldsymbol{x} I / S+\mathbf{0}^T \boldsymbol{x}_O=\alpha+\boldsymbol{\beta}_I^T \boldsymbol{x}_I,
$$
在哪里 $\boldsymbol{x} I / S$ 表示预测变量 $I$ 不在 $S$. 由于无论预测变量的值如何，这都是正确的， $\beta O=0$ 如果 $S \subseteq I$. 因此对于任何子集 $I$ 包括所有相关预测因子，人口相关性
$$
\operatorname{corr}\left(\alpha+\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} \mathrm{i}, \alpha+\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} \mathrm{I}, \mathrm{i}\right)=1
$$

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Other Issues

这 $1 \mathrm{D}$ 回归模型为许多最常用的回归模型提供了一个统一的框架。通过根据充分预测变量编写模型 $S P=h(\boldsymbol{x})$ ，许多对所有一维回归模型有效的重要主题都可以得到简洁的解释。例如，上一节介绍了变量选择，方程 (1.14) 可用于激励是否可以使用简化模型代替完整模型的测试。同样，充分预测变量可用于统一系数的解释并解释包含交互作用和因子的模型。
系数的解释
一维模型 (1.11) 中系数的一种解释是 $\beta_i$ 是与单位增加相关的 SP 的变化率 $x_i$ 当所有其他预测变量 $x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_p$ 被固定。表示一个模型 $S P=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}=\alpha+\beta_1 x_1+\cdots+\beta_p x_p$. 然后
$$
\beta_i=\frac{\partial S P}{\partial x_i} \text { for } \mathrm{i}=1, \ldots, \mathrm{p}
$$
当然，在更改时保持所有其他变量不变 $x_i$ 可能不可能。例如，如果 $x_1=x, x_2=x^2$ 和 $S P=\alpha+\beta_1 x+\beta_2 x^2$ ，然后 $x_2$ 不能保持固定时 $x_1$ 增加一个单位，但
$$
\frac{d S P}{d x}=\beta_1+2 \beta_2 x
$$
的解释 $\beta_i$ 以两种方式随模型变化。首先，解释会随着 SP 中术语的添加和删除而变化。因此解释 $\beta_1$ 因型号而异 $S P=\alpha+\beta_1 x_1$ 和 $S P=\alpha+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2$. 其次，解释随着模型的参数或半参数形式的变化而变化。对于多元线性回归， $E(Y \mid S P)=S P$ 并增加一个单位 $x_i$ 通过增加条件期望 $\beta_i$. 对于二元逻辑回归，
$$
E(Y \mid S P)=\rho(S P)=\frac{\exp (S P)}{1+\exp (S P)}
$$
以及与一个单位增加相关的条件期望的变化 $x_i$ 更复杂。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Some Regression Models

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统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Some Regression Models

In data analysis, an investigator is presented with a problem and data from some population. The population might be the collection of all possible outcomes from an experiment while the problem might be predicting a future value of the response variable $Y$ or summarizing the relationship between $Y$ and the $p \times 1$ vector of predictor variables $\boldsymbol{x}$. A statistical model is used to provide a useful approximation to some of the important underlying characteristics of the population which generated the data. Many of the most used models for 1D regression, defined below, are families of conditional distributions $Y \mid \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_o$ indexed by $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_o$. A 1 D regression model is a parametric model if the conditional distribution is completely specified except for a fixed finite number of parameters, otherwise, the $1 \mathrm{D}$ model is a semiparametric model. GLMs and GAMs, defined below, are covered in Chapter 13.

Definition 1.1. Regression investigates how the response variable $Y$ changes with the value of a $p \times 1$ vector $\boldsymbol{x}$ of predictors. Often this conditional distribution $Y \mid \boldsymbol{x}$ is described by a $1 D$ regression model, where $Y$ is conditionally independent of $\boldsymbol{x}$ given the sufficient predictor $S P=h(\boldsymbol{x})$, written
$$
Y \Perp \boldsymbol{x} \mid S P \text { or } \mathrm{Y} \Perp \boldsymbol{x} \mid \mathrm{h}(\boldsymbol{x}),
$$
where the real valued function $h: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}$. The estimated sufficient predictor $\mathrm{ESP}=\hat{h}(\boldsymbol{x})$. An important special case is a model with a linear predictor $h(\boldsymbol{x})=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}$ where ESP $=\hat{\alpha}+\hat{\boldsymbol{\beta}}^T \boldsymbol{x}$. This class of models includes the generalized linear model (GLM). Another important special case is a generalized additive model (GAM), where $Y$ is independent of $\boldsymbol{x}=\left(x_1, \ldots, x_p\right)^T$ given the additive predictor $A P=\alpha+\sum_{j=1}^p S_j\left(x_j\right)$ for some (usually unknown) functions $S_j$. The estimated additive predictor $\mathrm{EAP}=\mathrm{ESP}=\hat{\alpha}+\sum_{j=1}^p \hat{S}_j\left(x_j\right)$.

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Multiple Linear Regression

Suppose that the response variable $Y$ is quantitative and that at least one predictor variable $x_i$ is quantitative. Then the multiple linear regression (MLR) model is often a very useful model. For the MLR model,
$$
Y_i=\alpha+x_{i, 1} \beta_1+x_{i, 2} \beta_2+\cdots+x_{i, p} \beta_p+e_i=\alpha+\boldsymbol{x}_i^T \boldsymbol{\beta}+e_i=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}_i+e_i \text { (1.9) }
$$
for $i=1, \ldots, n$. Here $Y_i$ is the response variable, $\boldsymbol{x}_i$ is a $p \times 1$ vector of nontrivial predictors, $\alpha$ is an unknown constant, $\boldsymbol{\beta}$ is a $p \times 1$ vector of unknown coefficients, and $e_i$ is a random variable called the error.

The Gaussian or normal MLR model makes the additional assumption that the errors $e_i$ are iid $N\left(0, \sigma^2\right)$ random variables. This model can also be written as $Y=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}+e$ where $e \sim N\left(0, \sigma^2\right)$, or $Y \mid \boldsymbol{x} \sim N\left(\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}, \sigma^2\right)$, or $Y \mid \boldsymbol{x} \sim$ $N\left(S P, \sigma^2\right)$, or $Y \mid S P \sim N\left(S P, \sigma^2\right)$. The normal MLR model is a parametric model since, given $\boldsymbol{x}$, the family of conditional distributions is completely specified by the parameters $\alpha, \boldsymbol{\beta}$, and $\sigma^2$. Since $Y \mid S P \sim N\left(S P, \sigma^2\right)$, the conditional mean function $E(Y \mid S P) \equiv M(S P)=\mu(S P)=S P=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}$. The MLR model is discussed in detail in Chapters 2,3 , and 4.

A sufficient summary plot (SSP) of the sufficient predictor $S P=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}_i$ versus the response variable $Y_i$ with the mean function added as a visual aid can be useful for describing the multiple linear regression model. This plot can not be used for real data since $\alpha$ and $\boldsymbol{\beta}$ are unknown. To make Figure 1.1, the artificial data used $n=100$ cases with $k=5$ nontrivial predictors. The data used $\alpha=-1, \boldsymbol{\beta}=(1,2,3,0,0)^T, e_i \sim N(0,1)$ and $\boldsymbol{x}$ from a multivariate normal distribution $\boldsymbol{x} \sim N_5(\mathbf{0}, \boldsymbol{I})$.

In Figure 1.1, notice that the identity line with unit slope and zero intercept corresponds to the mean function since the identity line is the line $Y=S P=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}=\mu(S P)=E(Y \mid S P)$. The vertical deviation of $Y_i$ from the line is equal to $e_i=Y_i-\left(\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}_i\right)$. For a given value of $S P$, $Y_i \sim N\left(S P, \sigma^2\right)$. For the artificial data, $\sigma^2=1$. Hence if $S P=0$ then $Y_i \sim N(0,1)$, and if $S P=5$ then $Y_i \sim N(5,1)$. Imagine superimposing the $N\left(S P, \sigma^2\right)$ curve at various values of $S P$. If all of the curves were shown, then the plot would resemble a road through a tunnel. For the artificial data, each $Y_i$ is a sample of size 1 from the normal curve with mean $\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}_i$.

线性回归代写

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Some Regression Models

在数据分析中，向调查人员提出问题和来自某些人群的数据。总体可能是实验所有可能结果的集合，而问题可能是预测响应变量的末来值 $Y$ 或总结之间的关系 $Y$ 和 $p \times 1$ 预测变量向量 $\boldsymbol{x}$. 统计模型用于为生成数据的人群的一些重要基本特征提供有用的近似值。下面定义的许多最常用的一维回归模型都是条件分布族 $Y \mid \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}o$ 被索引 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_o$. 如果除了固定的有限数量的参数之外完全指定条件分布，则一维回归模型是参数模型，否则， $1 \mathrm{D}$ 模型是一个半参数模型。下面定义的 GLM 和 GAM 将在第 13 章中介绍。定义 1.1。回归研究响应变量如何 $Y$ 随 a 的值变化 $p \times 1$ 向量 $\boldsymbol{x}$ 的预测。通常这种条件分布 $Y \mid \boldsymbol{x}$ 被描述为 $1 D$ 回归模型，其中 $Y$ 有条件地独立于 $\boldsymbol{x}$ 给定足够的预测变量 $S P=h(\boldsymbol{x})$ ，写 $$ Y \backslash \operatorname{Perp} \boldsymbol{x} \mid S P \text { or } \mathrm{Y} \backslash \mathrm{Perp} \boldsymbol{x} \mid \mathrm{h}(\boldsymbol{x}) $$ 实值函数在哪里 $h: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}$. 估计足够的预测 $\mathrm{ESP}=\hat{h}(\boldsymbol{x})$. 一个重要的特例是具有线性预测器的模型 $h(\boldsymbol{x})=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}$ 在哪里ESP $=\hat{\alpha}+\hat{\boldsymbol{\beta}}^T \boldsymbol{x}$. 此类模型包括广义线性模型 (GLM)。另一个重要的特例是广义加法模型 (GAM)，其中 $Y$ 独立于 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, \ldots, x_p\right)^T$ 给定加法预测器 $A P=\alpha+\sum{j=1}^p S_j\left(x_j\right)$ 对于某些 (通常是末知的) 功能 $S_j$. 估计的附加预测器 $\mathrm{EAP}=\mathrm{ESP}=\hat{\alpha}+\sum_{j=1}^p \hat{S}_j\left(x_j\right.$ ).

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假设响应变量 $Y$ 是定量的，并且至少有一个预测变量 $x_i$ 是定量的。那么多元线性回归 (MLR) 模型往往是一个非常有用的模型。对于 MLR 模型，
$$
Y_i=\alpha+x_{i, 1} \beta_1+x_{i, 2} \beta_2+\cdots+x_{i, p} \beta_p+e_i=\alpha+\boldsymbol{x}_i^T \boldsymbol{\beta}+e_i=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}_i+e_i(1.9)
$$
为了 $i=1, \ldots, n$. 这里 $Y_i$ 是响应变量， $\boldsymbol{x}_i$ 是一个 $p \times 1$ 非平凡预测变量的向量， $\alpha$ 是末知常数， $\boldsymbol{\beta}$ 是一个 $p \times 1$ 末知系数向量，和 $e_i$ 是一个称为误差的随机变量。
高斯或正态 MLR 模型额外假设误差 $e_i$ 是同龄人 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 随机变量。这个模型也可以写成 $Y=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}+e$ 在哪里 $e \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ ，或者 $Y \mid \boldsymbol{x} \sim N\left(\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}, \sigma^2\right)$ ，或者 $Y \mid \boldsymbol{x} \sim$ $N\left(S P, \sigma^2\right)$ ，或者 $Y \mid S P \sim N\left(S P, \sigma^2\right)$. 正常的 MLR 模型是一个参数模型，因为给定 $\boldsymbol{x}$ ，条件分布族完全由参数指定 $\alpha, \boldsymbol{\beta}$ ，和 $\sigma^2$. 自从 $Y \mid S P \sim N\left(S P, \sigma^2\right)$, 条件均值函数 $E(Y \mid S P) \equiv M(S P)=\mu(S P)=S P=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}$. MLR 模型将在第 2、3 和 4 章中详细讨论。
充分预测变量的充分汇总图 (SSP) $S P=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}_i$ 与响应变量 $Y_i$ 添加均值函数作为视觉辅助可用于描述多元线性回归模型。该图不能用于真实数据，因为 $\alpha$ 和 $\beta$ 是末知的。为了制作图 1.1，使用了人工数据 $n=100$ 案件与 $k=5$ 非平凡的预测因子。使用的数据 $\alpha=-1, \boldsymbol{\beta}=(1,2,3,0,0)^T, e_i \sim N(0,1)$ 和 $\boldsymbol{x}$ 来自多元正态分布 $\boldsymbol{x} \sim N_5(\mathbf{0}, \boldsymbol{I})$.
在图 1.1 中，请注意具有单位斜率和零截距的恒等线对应于均值函数，因为恒等线是直线 $Y=S P=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}=\mu(S P)=E(Y \mid S P)$. 的垂直偏差 $Y_i$ 从线等于 $e_i=Y_i-\left(\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}_i\right)$. 对于给定的值 $S P ， Y_i \sim N\left(S P, \sigma^2\right)$. 对于人工数据， $\sigma^2=1$. 因此，如果 $S P=0$ 然后 $Y_i \sim N(0,1)$, 而如果 $S P=5$ 然后 $Y_i \sim N(5,1)$. 想象一下淔加 $N\left(S P, \sigma^2\right)$ 在各种值的曲线 $S P$. 如果显示所有曲线，则该图将类似于一条穿过隧道的道路。对于人工数据，每个 $Y_i$ 是来自均值为正态曲线的大小为 1 的样本 $\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}_i$.

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统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|STA4210

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统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|STA4210

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|The MLR Model

Definition 2.1. The response variable is the variable that you want to predict. The predictor variables are the variables used to predict the response variable.

Notation. In this text the response variable will usually be denoted by $Y$ and the $p$ predictor variables will often be denoted by $x_1, \ldots, x_p$. The response variable is also called the dependent variable while the predictor variables are also called independent variables, explanatory variables, carriers, or covariates. Often the predictor variables will be collected in a vector $\boldsymbol{x}$. Then $\boldsymbol{x}^T$ is the transpose of $\boldsymbol{x}$.

Definition 2.2. Regression is the study of the conditional distribution $Y \mid \boldsymbol{x}$ of the response variable $Y$ given the vector of predictors $\boldsymbol{x}=$ $\left(x_1, \ldots, x_p\right)^T$.

Definition 2.3. A quantitative variable takes on numerical values while a qualitative variable takes on categorical values.

Example 2.1. Archeologists and crime scene investigators sometimes want to predict the height of a person from partial skeletal remains. A model for prediction can be built from nearly complete skeletons or from living humans, depending on the population of interest (e.g., ancient Egyptians or modern US citizens). The response variable $Y$ is height and the predictor variables might be $x_1 \equiv 1, x_2=$ femur length, and $x_3=u$ lna length.

The heights of individuals with $x_2=200 \mathrm{~mm}$ and $x_3=140 \mathrm{~mm}$ should be shorter on average than the heights of individuals with $x_2=500 \mathrm{~mm}$ and $x_3=350 \mathrm{~mm}$. In this example $Y, x_2$, and $x_3$ are quantitative variables. If $x_4=$ gender is a predictor variable, then gender (coded as male $=1$ and female $=0$ ) is qualitative.

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Checking Goodness of Fit

It is crucial to realize that an MLR model is not necessarily a useful model for the data, even if the data set consists of a response variable and several predictor variables. For example, a nonlinear regression model or a much more complicated model may be needed. Chapters 1 and 13 describe several alternative models. Let $p$ be the number of predictors and $n$ the number of cases. Assume that $n \geq 5 p$, then plots can be used to check whether the MLR model is useful for studying the data. This technique is known as checking the goodness of fit of the MLR model.

Notation. Plots will be used to simplify regression analysis, and in this text a plot of $W$ versus $Z$ uses $W$ on the horizontal axis and $Z$ on the vertical axis.

Definition 2.10. A scatterplot of $X$ versus $Y$ is a plot of $X$ versus $Y$ and is used to visualize the conditional distribution $Y \mid X$ of $Y$ given $X$.

Definition 2.11. A response plot is a plot of a variable $w_i$ versus $Y_i$. Typically $w_i$ is a linear combination of the predictors: $w_i=\boldsymbol{x}_i^T \boldsymbol{\eta}$ where $\boldsymbol{\eta}$ is a known $p \times 1$ vector. The most commonly used response plot is a plot of the fitted values $\widehat{Y}_i$ versus the response $Y_i$.

Proposition 2.1. Suppose that the regression estimator $\boldsymbol{b}$ of $\boldsymbol{\beta}$ is used to find the residuals $r_i \equiv r_i(\boldsymbol{b})$ and the fitted values $\widehat{Y}_i \equiv \widehat{Y}_i(\boldsymbol{b})=\boldsymbol{x}_i^T \boldsymbol{b}$. Then in the response plot of $\widehat{Y}_i$ versus $Y_i$, the vertical deviations from the identity line (that has unit slope and zero intercept) are the residuals $r_i(b)$.

Proof. The identity line in the response plot is $Y=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{b}$. Hence the vertical deviation is $Y_i-\boldsymbol{x}_i^T \boldsymbol{b}=r_i(\boldsymbol{b})$.

Definition 2.12. A residual plot is a plot of a variable $w_i$ versus the residuals $r_i$. The most commonly used residual plot is a plot of $\hat{Y}_i$ versus $r_i$.
Notation: For MLR, “the residual plot” will often mean the residual plot of $\hat{Y}_i$ versus $r_i$, and “the response plot” will often mean the plot of $\hat{Y}_i$ versus $Y_i$.

If the unimodal MLR model as estimated by least squares is useful, then in the response plot the plotted points should scatter about the identity line while in the residual plot of $\hat{Y}$ versus $r$ the plotted points should scatter about the $r=0$ line (the horizontal axis) with no other pattern. Figures 1.2 and 1.3 show what a response plot and residual plot look like for an artificial MLR data set where the MLR regression relationship is rather strong in that the sample correlation $\operatorname{corr}(\hat{Y}, Y)$ is near 1. Figure 1.4 shows a response plot where the response $Y$ is independent of the nontrivial predictors in the model. Here $\operatorname{corr}(\hat{Y}, Y)$ is near 0 but the points still scatter about the identity line. When the MLR relationship is very weak, the response plot will look like the residual plot.

线性回归代写

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|The MLR Model

定义 2.1。响应变量是您要预测的变量。预测变量是用于预测响应变量的变量。
符号。在本文中，响应变量通常表示为 $Y$ 和 $p$ 预测变量通常表示为 $x_1, \ldots, x_p$. 响应变量也称为因变量，而预测变量也称为自变量、解释变量、载体或协变量。通常预测变量将收集在一个向量中 $\boldsymbol{x}$. 然后 $\boldsymbol{x}^T$ 是转置 $\boldsymbol{x}$.
定义 2.2。回归是对条件分布的研究 $Y \mid \boldsymbol{x}$ 响应变量 $Y$ 给定预测变量向量 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, \ldots, x_p\right)^T$.
定义 2.3。定量变量采用数值，而定性变量采用分类值。
示例 2.1。考古学家和犯罪现场调查员有时想根据部分骨骼遗骸来预测一个人的身高。根据感兴趣的人群 (例如，古埃及人或现代美国公民)，可以从几乎完整的骨骼或活人中构建预测模型。响应变量 $Y$ 是高度，预测变量可能是 $x_1 \equiv 1, x_2=$ 股骨长度，和 $x_3=u$ Ina长度。
个人的身高 $x_2=200 \mathrm{~mm}$ 和 $x_3=140 \mathrm{~mm}$ 平均身高应该比有 $x_2=500 \mathrm{~mm}$ 和 $x_3=350 \mathrm{~mm}$. 在这个例子中 $Y, x_2$ ，和 $x_3$ 是定量变量。如果 $x_4=$ 性别是预测变量，然后性别 (编码为男性 $=1$ 和女性 $=0$ ) 是定性的。

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Checking Goodness of Fit

重要的是要认识到 MLR 模型不一定是对数据有用的模型，即使数据集由一个响应变量和几个预测变量组成。例如，可能需要非线性回归模型或更复杂的模型。第 1 章和第 13 章描述了几种替代模型。让 $p$ 是预测变量的数量和 $n$ 案件的数量。假使，假设 $n \geq 5 p$ ，然后可以使用图来检查 MLR 模型是否对研究数据有用。这种技术称为检查 MLR 模型的拟合优度。
符号。绘图将用于简化回归分析，在本文中的绘图 $W$ 相对 $Z$ 使用 $W$ 在水平轴上和 $Z$ 在垂直轴上。
定义 2.10。的散点图 $X$ 相对 $Y$ 是一个情节 $X$ 相对 $Y$ 并用于可视化条件分布 $Y \mid X$ 的 $Y$ 给予 $X$.
定义 2.11。响应图是变量图 $w_i$ 相对 $Y_i$. 通常 $w_i$ 是预测变量的线性组合: $w_i=\boldsymbol{x}_i^T \boldsymbol{\eta}$ 在哪里 $\boldsymbol{\eta}$ 是一个已知的 $p \times 1$ 向量。最常用的响应图是拟合值图 $\widehat{Y}_i$ 与响应 $Y_i$.
提案 2.1。假设回归估计 $\boldsymbol{b}$ 的 $\boldsymbol{\beta}$ 用于查找残差 $r_i \equiv r_i(\boldsymbol{b})$ 和拟合值 $\widehat{Y}_i \equiv \widehat{Y}_i(\boldsymbol{b})=\boldsymbol{x}_i^T \boldsymbol{b}$. 然后在响应图中 $\widehat{Y}_i$ 相对 $Y_i$ ，与标识线 (具有单位斜率和零截距) 的垂直偏差是残差 $r_i(b)$.
证明。响应图中的身份线是 $Y=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{b}$. 因此垂直偏差是 $Y_i-\boldsymbol{x}_i^T \boldsymbol{b}=r_i(\boldsymbol{b})$.
定义 2.12。残差图是变量图 $w_i$ 与残差 $r_i$. 最常用的残差图是 $\hat{Y}_i$ 相对 $r_i$.
如果通过最小二乘法估计的单峰 MLR 模型是有用的，那么在响应图中，标绘点应该散布在标识线上，而在残差图中 $\hat{Y}$ 相对 $r$ 绘制的点应该散布在 $r=0$ 没有其他图案的线（水平轴）。图 1.2 和 1.3 显示了人工 MLR 数据集的响应图和残差图的样子，其中 MLR 回归关系相当强，因为样本相关性 $\operatorname{corr}(\hat{Y}, Y)$ 接近 1 。图 1.4 显示了一个响应图，其中响应 $Y$ 独立于模型中的非平凡预测变量。这里 $\operatorname{corr}(\hat{Y}, Y)$ 接近 0 ，但点仍然散布在标识线上。当 MLR 关系非常弱时，响应图看起来像残差图。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|STAT2220

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Some Regression Models

In data analysis, an investigator is presented with a problem and data from some population. The population might be the collection of all possible outcomes from an experiment while the problem might be predicting a future value of the response variable $Y$ or summarizing the relationship between $Y$ and the $p \times 1$ vector of predictor variables $\boldsymbol{x}$. A statistical model is used to provide a useful approximation to some of the important underlying characteristics of the population which generated the data. Many of the most used models for 1D regression, defined below, are families of conditional distributions $Y \mid \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_o$ indexed by $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_o$. A 1D regression model is a parametric model if the conditional distribution is completely specified except for a fixed finite number of parameters, otherwise, the $1 \mathrm{D}$ model is a semiparametric model. GLMs and GAMs, defined below, are covered in Chapter 13.

Notation: In this text, a plot of $x$ versus $Y$ will have $x$ on the horizontal axis, and $Y$ on the vertical axis.

Plots are extremely important for regression. When $p=1, x$ is both a sufficient predictor and an estimated sufficient predictor. So a plot of $x$ versus $Y$ is both a sufficient summary plot and a response plot. Usually the SP is unknown, so only the response plot can be made. The response plot will be extremely useful for checking the goodness of fit of the $1 \mathrm{D}$ regression model.
Definition 1.2. A sufficient summary plot is a plot of the SP versus $Y$. An estimated sufficient summary plot (ESSP) or response plot is a plot of the ESP versus $Y$.

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Multiple Linear Regression

线性回归代写

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Some Regression Models

在数据分析中，向调查人员提出问题和来自某些人群的数据。总体可能是实验所有可能结果的集合，而问题可能是预测响应变量的末来值 $Y$ 或总结之间的关系 $Y$ 和 $p \times 1$ 预测变量向量 $\boldsymbol{x}$. 统计模型用于为生成数据的人群的一些重要基本特征提供有用的近似值。下面定义的许多最常用的一维回归模型都是条件分布族 $Y \mid \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}o$ 被索引 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_o$. 如果除了固定的有限数量的参数之外完全指定条件分布，则一维回归模型是参数模型，否则， $1 \mathrm{D}$ 模型是一个半参数模型。下面定义的 GLM 和 GAM 将在第 13 章中介绍。定义 1.1。回归研究响应变量如何 $Y$ 随 a 的值变化 $p \times 1$ 向量 $\boldsymbol{x}$ 的预测。通常这种条件分布 $Y \mid \boldsymbol{x}$ 被描述为 $1 D$ 回归模型，其中 $Y$ 有条件地独立于 $\boldsymbol{x}$ 给定足够的预测变量 $S P=h(\boldsymbol{x})$ ，写 $$ \boldsymbol{P} \operatorname{Perp} \boldsymbol{x} \mid S P \text { or } \mathrm{Y} \backslash \mathrm{Perp} \boldsymbol{x} \mid \mathrm{h}(\boldsymbol{x}) $$ 实值函数在哪里 $h: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}$. 估计足够的预测 $\mathrm{ESP}=\hat{h}(\boldsymbol{x})$. 一个重要的特例是具有线性预测器的模型 $h(\boldsymbol{x})=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}$ 在哪里ESP $=\hat{\alpha}+\hat{\boldsymbol{\beta}}^T \boldsymbol{x}$. 此类模型包括广义线性模型 (GLM)。另一个重要的特例是广义加法模型 (GAM)，其中 $Y$ 独立于 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, \ldots, x_p\right)^T$ 给定加法预测器 $A P=\alpha+\sum{j=1}^p S_j\left(x_j\right)$ 对于某些 (通常是末知的) 功能 $S_j$. 估计的附加预测器 $\mathrm{EAP}=\mathrm{ESP}=\hat{\alpha}+\sum_{j=1}^p \hat{S}_j\left(x_j\right.$ ).
符号：在本文中，一个情节 $x$ 相对 $Y$ 会有 $x$ 在水平轴上，和 $Y$ 在垂直轴上。
图对于回归非常重要。什么时候 $p=1, x$ 既是充分预测变量又是估计的充分预测变量。所以一个情节 $x$ 相对 $Y$ 既是充分汇总图又是响应图。通常 SP 是末知的，因此只能制作响应图。响应图对于检查拟合优度非常有用1D回归模型。
定义 1.2。足够的摘要图是 SP 与 $Y$. 估计充分汇总图 (ESSP) 或响应图是 ESP 与 $Y$.

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Multiple Linear Regression

假设响应变量 $Y$ 是定量的，并且至少有一个预测变量 $x_i$ 是定量的。那么多元线性回归 (MLR) 模型往往是一个非常有用的模型。对于 MLR 模型，
$$
Y_i=\alpha+x_{i, 1} \beta_1+x_{i, 2} \beta_2+\cdots+x_{i, p} \beta_p+e_i=\alpha+\boldsymbol{x}_i^T \boldsymbol{\beta}+e_i=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}_i+e_i(1.9)
$$
为了 $i=1, \ldots, n$. 这里 $Y_i$ 是响应变量， $\boldsymbol{x}_i$ 是一个 $p \times 1$ 非平凡预测变量的向量， $\alpha$ 是末知常数， $\boldsymbol{\beta}$ 是一个 $p \times 1$ 末知系数向量，和 $e_i$ 是一个称为误差的随机变量。
高斯或正态 MLR 模型额外假设误差 $e_i$ 是同龄人 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 随机变量。这个模型也可以写成 $Y=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}+e$ 在哪里 $e \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ ，或者 $Y \mid \boldsymbol{x} \sim N\left(\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}, \sigma^2\right)$ ，或者 $Y \mid \boldsymbol{x} \sim$ $N\left(S P, \sigma^2\right)$ ，或者 $Y \mid S P \sim N\left(S P, \sigma^2\right)$. 正常的 MLR 模型是一个参数模型，因为给定 $\boldsymbol{x}$, 条件分布族完全由参数指定 $\alpha, \beta$ ，和 $\sigma^2$. 自从 $Y \mid S P \sim N\left(S P, \sigma^2\right)$ ，条件均值函数 $E(Y \mid S P) \equiv M(S P)=\mu(S P)=S P=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}$. MLR 模型将在第 2、3 和4 章中详细讨论。
充分预测变量的充分汇总图 (SSP) $S P=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}_i$ 与响应变量 $Y_i$ 添加均值函数作为视觉辅助可用于描述多元线性回归模型。该图不能用于真实数据，因为 $\alpha$ 和 $\boldsymbol{\beta}$ 是末知的。为了制作图 1.1，使用了人工数据 $n=100$ 案件与 $k=5$ 非平凡的预测因子。使用的数据 $\alpha=-1, \beta=(1,2,3,0,0)^T, e_i \sim N(0,1)$ 和 $\boldsymbol{x}$ 来自多元正态分布 $\boldsymbol{x} \sim N_5(\mathbf{0}, \boldsymbol{I})$.
在图 1.1 中，请注意具有单位斜率和雭截距的恒等线对应于均值函数，因为恒等线是直线 $Y=S P=\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}=\mu(S P)=E(Y \mid S P)$. 的垂直偏差 $Y_i$ 从线等于 $e_i=Y_i-\left(\alpha+\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}_i\right)$. 对于给定的值 $S P, Y_i \sim N\left(S P, \sigma^2\right)$. 对于人工数据， $\sigma^2=1$. 因此，如果 $S P=0$ 然后 $Y_i \sim N(0,1)$ ，而如果 $S P=5$ 然后 $Y_i \sim N(5,1)$. 想象一下叠加 $N\left(S P, \sigma^2\right)$ 在各种值的曲线 $S P$. 如果显示所有曲线，则该图将类似于一条穿过隧道的道路。对于人工数据，每个 $Y_i$ 是来自均值为正态曲线的大小为 1 的样本 $\alpha+\beta^T \boldsymbol{x}_i$

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|STAT2220

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统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|STAT2220

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Be mindful of the proper interpretation based

As stated above, the coefficient estimate should be interpreted as a comparison to the reference group. You can set up the dummy variables to give the reference group that you want.

Consider an alternative specification for education, using the highest degree earned. For the sake of simplicity, let’s use some nice easy numbers and a sample of just people who have at least a high-school degree. A “college degree” refers to having a 4-year college degree as one’s highest degree, while a “graduate degree” involves having a Master’s, Doctoral, or professional degree. Figure 3.1 shows the notional average incomes for each group, plus the average for the first two categories combined, which is weighted towards the “High school” average because a larger share of the sample has just a high-school diploma. ( $\$ 50,000$ would be the average if the sample of high-school-degree people is twice the size of the sample of college-degree people.)

The estimated income premium for a graduate degree depends on what the reference group is. Estimating a model just with a dummy variable for having a graduate degree produces the following equation (with other variables such as the AFQT score excluded for simplicity):
$$
(\widehat{\text { income }})_i=50,000+40,000 \times(\text { graduate degree })_i
$$
Note that the intercept $(\$ 50,000)$ is the average income for the first two groups. The $\$ 40,000$ estimate is the difference between those with a graduate degree and all others. Thus, without assigning those with just a high-school degree to a separate category, they are counted in the reference group along with those with a college degree. This is an important point: For a categorization, any group not having a value of one for a dummy variable in the categorization is part of the reference group. Adding a variable for “having one’s highest degree being a college degree” would make the reference group the one group not part of one of the categories included, which is comprised of those with just a high-school diploma:

The intercept is now the “High school” average. The $\$ 50,000$ is the difference, in Figure 3.1, between the $\$ 90,000$ (for those with a graduate degree) and the $\$ 40,000$ for those with just a high-school diploma. It follows that the $\$ 30,000$ coefficient estimate is the difference between the $\$ 70,000$ (for those with a college degree being the highest degree earned) and the $\$ 40,000$.

An alternative setup could use “has a college degree” rather than “highest degree is a college degree,” which gives the regression equation:
$$
(\widehat{\text { income }})_i=40,000+30,000 \times(\text { college degree or more })_i+20,000 \times(\text { graduate degree })_i
$$
This is the same as (3.3) except that the coefficient estimate of $\$ 20,000$ on the graduate degree is now relative to those with a college degree $(\$ 90,000-\$ 70,000)$. This is because those with a graduate degree (all of whom have a college degree also) have the $\$ 30,000$ for the college degree contributing to the predicted value, so the coefficient estimate on graduate degree is now what is over and above those with a college degree.

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Combining variables for interaction effects

In the research on how divorce affects children, the conventional wisdom is that divorce is harmful to children, but you have a theory that divorce would not be as bad and may actually help children if it gets them away from a dysfunctional situation with high levels of conflict. How can you examine whether divorce effects on children are different for those in such families?

One option is to estimate separate models for families with a high level (H) vs. a low level (L) of conflict. Let’s set up the model as follows. Consider a sample of children whose parents were married, as of say, 2010, and we observe them again in 2014, with some of the children having experienced a parental divorce in those four years. The models would be the exact same for the two groups, but with different subscripts for the variable names and coefficient estimates:
High-level of conflict families: $\quad Y_{i H}=X_{i H} \beta_{1 H}+\beta_{2 H} D_{i H}+\varepsilon_{i H}$
Low-level of conflict families: $\quad Y_{i L}=X_{i L} \beta_{1 L}+\beta_{2 L} D_{i L}+\varepsilon_{i L}$
where:

” $H$ ” and “L” subscripts refer to the families with “high” and “low” levels of conflict, respectively
$Y$ is the outcome for child $i$, measured as the change in test score from 2010 to 2014
$X$ is a set of control variables
$D$ is an indicator (dummy variable) for having one’s parents divorce between 2010 and 2014.
The test to examine whether children from high-conflict families have different effects of divorce from that for children from low-conflict families would be a comparison of the coefficient estimates, $\hat{\beta}{2 \mathrm{H}}$ and $\hat{\beta}{2 \mathrm{~L}}$. The expectation would be that $\hat{\beta}{2 \mathrm{H}}$ would be less negative than $\hat{\beta}{2 \mathrm{~L}}$ (or even positive) that is, any adverse effects of the divorce may be lower or non-existent for children from high-conflict families, and the divorce effects may even be positive.

An alternative method is to use interaction effects, which would involve combining all children, from both high- and low-conflict families, into one model, as follows:
$$
Y_i=X_i \beta_1+\beta_2 D_i+\beta_3 H_i+\beta_4\left(D_i \times H_i\right)+\varepsilon_i
$$

回归分析代写

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Be mindful of the proper interpretation based

如上所述，系数估计应解释为与参考组的比较。您可以设置虚拟变量以提供所需的参考组。
考虑另一种教育规范，使用获得的最高学位。为了简单起见，让我们使用一些简单易懂的数字和至少具有高中学历的人作为样本。”大专”是指拥有 4 年制大学学位作为最高学历，“研究生”是指拥有硕士、博士或专业学位。图 3.1 显示了每组的名义平均收入，加上前两个类别的平均收入总和，它被加权到“高中”平均水平，因为更大比例的样本只有高中文凭。 $(\$ 50,000$ 如果高中学历人群的样本是大学学历人群样本的两倍，则为平均值。)
研究生学位的估计收入溢价取决于参照组是什么。仅使用具有研究生学位的虚拟变量来估计模型会产生以下等式 (为简单起见，排除了其他变量，例如 AFQT 分数）：
$$
(\text { income })_i=50,000+40,000 \times(\text { graduate degree })_i
$$
注意拦截 $(\$ 50,000)$ 是前两组的平均收入。这 $\$ 40,000$ 估计是具有研究生学位的人与所有其他人之间的差异。因此，如果不将那些只有高中学历的人分到一个单独的类别中，他们就会与那些拥有大学学历的人一起被算在参照组中。这是重要的一点：对于分类，分类中虚拟变量的值不为 1 的任何组都是参考组的一部分。为“最高学位是大学学位”添加一个变量将使参考组成为不属于所包含类别之一的一组，该类别由仅具有高中文凭的人组成:
拦截现在是“高中”平均水平。这 $\$ 50,000$ 是图 3.1 中的差异 $\$ 90,000$ (对于具有研究生学位的人) 和 $\$ 40,000$ 对于那些只有高中文凭的人。由此可见 $\$ 30,000$ 系数估计是 $\$ 70,000$ (对于那些拥有大学学位的人来说是获得的最高学位) 和 $\$ 40,000$.
另一种设置可以使用“拥有大学学位”而不是“最高学位是大学学位”，它给出了回归方程:
$(\widehat{\text { income }})_i=40,000+30,000 \times(\text { college degree or more })_i+20,000 \times(\text { graduate degree })_i$
这与 (3.3) 相同，只是系数估计为 $\$ 20,000$ 研究生学位现在是相对于拥有大学学位的人而言 $(\$ 90,000-\$ 70,000)$. 这是因为那些拥有研究生学位的人 (他们都拥有大学学位) 拥有 $\$ 30,000$ 大专学历对预测值的贡献，所以研究生学历的系数估计值现在已经超过了大专学历。

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Combining variables for interaction effects

在关于离婚如何影响孩子的研究中，传统观点认为离姽对孩子有害，但你有一个理论认为离㛰不会那么槽糕，如果让孩子摆脱高水平的功能失调情况，实际上可能对孩子有帮助。冲突。您如何检查离婚对这些家庭中的孩子的影响是否不同?
一种选择是为具有高水平 $(\mathrm{H})$ 与低水平 $(\mathrm{L})$ 冲突的家庭估计单独的模型。让我们按如下方式设置模型。考虑 2010 年父母结婚的孩子样本，我们在 2014 年再次观察他们，其中一些孩子在这四年中经历了父母离婚。两组的模型完全相同，但变量名称和系数估计的下标不同:
高水平冲突族: $\quad Y_{i H}=X_{i H} \beta_{1 H}+\beta_{2 H} D_{i H}+\varepsilon_{i H}$
低级冲突家庭: $\quad Y_{i L}=X_{i L} \beta_{1 L}+\beta_{2 L} D_{i L}+\varepsilon_{i L}$
在哪里:

” $H^{\prime \prime}$ 和“”下标分别指冲突程度“高”和“低”的家庭
$Y$ 是孩子的结果 $i$, 以 2010 年至 2014 年考试成绩的变化来衡量
$X$ 是一组控制变量
$D$ 是 2010 年至 2014 年间父母离婚的指标（虚拟变量）。
检查高冲突家庭的孩子与低冲突家庭的孩子离婚的影响是否不同的检验将是系数估计值的比较， $\hat{\beta} 2 \mathrm{H}$ 和 $\hat{\beta} 2 \mathrm{~L}$. 期望是 $\hat{\beta} 2 \mathrm{H}$ 会比负面的少 $\hat{\beta} 2 \mathrm{~L}$ (甚至是积极的) 也就是说，离婚对来自高冲突家庭的孩子的任何不利影响可能较低或不存在，离婚影响甚至可能是积极的。
另一种方法是使用交互效应，这涉及将来自高冲突家庭和低冲突家庭的所有儿童组合成一个模型，如下所示:
$$
Y_i=X_i \beta_1+\beta_2 D_i+\beta_3 H_i+\beta_4\left(D_i \times H_i\right)+\varepsilon_i
$$

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统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|STA321

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Sample organization

There are five main types of organization for a sample. They are as follows.

Cross-sectional data. This is the standard type of data that is used. It involves taking a sample of all subjects (an individual or, say, a state) at a given period of time.
Time-series data. This is based on one subject over many time periods. An example of this could be quarterly earnings per share for one company over time.
Panel data. This is a combination of cross-sectional and time-series data. It involves multiple subjects observed at two or more periods each.
Multiple cross-sectional-period data. This has multiple years (as with panel data), but the subjects are different each year.

Survival data. This is somewhat similar to panel data in that it involves multiple time periods for each person or subject, but the dependent variable is a variable that turns from 0 to 1 if some event occurs. For example, in an examination of what causes divorces, a couple will be in the data for each year of marriage until a divorce occurs or until the end of observation for the couple. If they get divorced, they are no longer in the sample of couples “at risk” for getting divorced.
A common problem with cross-sectional data is that there are many alternative stories that can contribute to a correlation beyond the causation. For example, if one were to examine how class size affects student achievement in K-12 (which we presume would be negative), then the mechanisms that could contribute to the empirical relationship would include, among others: (1) a true causal effect of class size on student achievement; (2) correlation due to common factors, such as the wealth of a school district; and (3) randomness creating incidental correlation by chance. If there were not adequate data to address the common factors, then the common factors, in this case, would likely contribute negatively to the association between class size and student achievement, perhaps overstating any causal effect. The contribution of incidental correlation towards the estimated effect could be positive or negative.

Having panel data on children or teachers would provide a more accurate estimate of the causal effect of class size. This allows a researcher to hold constant the child’s or teacher’s average test scores, allowing for an estimate of how children’s achievement with a certain class size compares to their achievement with different class sizes. Plus, this often reduces the role of incidental correlation.

A similar problem occurs with time-series data. For example, it would be very difficult to estimate the effects of tax rates on economic growth in a country. If we examined this for the 1990 s and 2000 s in the United States, we would observe much higher growth rates with higher tax rates, as real GDP growth was higher after the tax rates increased in 1993. In this case, there is likely an incidental correlation: the strong-economic growth generated by the internet boom occurred after President Clinton’s tax increases of 1993. It is doubtful that the higher tax rates caused the internet boom.
How can you address this?
You can’t … with national data. There is no way to address the incidental correlation!
However, having panel data of state-level tax rates and economic growth may provide more accurate estimates. Panel data generally has a major advantage in that it can hold constant the subject (the state in this case) and the time period. It would control for the national effects of the internet boom. Still, there could be problems, as it would not be random what states raised or lowered tax rates. This will be discussed in more detail in Chapters 6 and 8 .

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|How to use subscripts and when they are needed

So far, we have used a single subscript to identify the unit of observation, or what an observation represents (e.g., a single person). In Section 2.3.1, I had equation (2.1a) with subscripts and the equivalent (2.2) without subscripts, as follows:
$$
\begin{gathered}
Y_i=\beta_0+\beta_1 \times X_i+\varepsilon_i \
Y=\beta_0+\beta_1 \times X+\varepsilon
\end{gathered}
$$
There are some situations in which multiple subscripts will be needed (or at least recommended). First, subscripts would be recommended (though not essential) when there are observations over several periods, it would be useful to add a “time” subscript, usually $t$. (This would be a case in which it would be recommended to make it clear to the reader that the data are not just a snapshot in time.) Second, subscripts are needed when there is an aggregated variable used in the model that applies to multiple observations. For example, if the annual state unemployment rate (UR) were added to equation (2.1a), it would be:
$$
Y_{\text {isy }}=\beta_0+\beta_1 \times X_i+\beta_2 \times U R_{\text {sy }}+\varepsilon_{\text {isy }}
$$
This would say that the unemployment rate is measured at the state (s) and year (y) level, meaning that each state has its own value of $U R$ for each year. That $U R_{s y}$ would apply to all observations that were in state $s$ in year $\gamma$. Having the ” $i$ ” subscript on $Y$ tells us that that state-year unemployment rate would apply to many subjects being observed in state s and year $\gamma$. Having the $s$ and $\gamma$ subscripts on variable, $X$, would be optional if it did not change over time (such as a variable for race/ethnicity).
Third, subscripts are needed when fixed effects are used, but you will not need to worry about this until Chapter 8.

In my view, subscripts are unnecessary if dealing with just a single subscript. However, when multiple subscripts are warranted, then the subscripts become necessary to show in a regression equation.

回归分析代写

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Sample organization

样本有五种主要的组织类型。它们如下。

截面数据。这是使用的标准数据类型。它涉及在给定时间段内对所有主体（个人或国家）进行抽样。
时间序列数据。这是基于多个时间段的一个主题。这方面的一个例子可能是一家公司随时间推移的季度每股收益。
面板数据。这是横截面数据和时间序列数据的组合。它涉及多个对象，每个对象在两个或多个时期被观察到。
多个横截面周期数据。这有很多年（与面板数据一样），但每年的主题都不同。
生存数据。这有点类似于面板数据，因为它涉及每个人或主题的多个时间段，但因变量是一个变量，如果某个事件发生，它会从 0 变为 1。例如，在检查导致离婚的原因时，一对夫妇将在结婚的每一年的数据中，直到离婚发生或直到对这对夫妇的观察结束。如果他们离婚了，他们就不再属于“有离婚风险”的夫妻样本。
横截面数据的一个常见问题是，有许多替代故事可以促成超越因果关系的相关性。例如，如果要研究班级规模如何影响 K-12 学生的成绩（我们假设这会是负面的），那么可能有助于实证关系的机制将包括：(1) 真正的因果效应班级规模对学生成绩的影响；(2) 由于共同因素的相关性，例如学区的财富；(3) 随机性偶然产生偶然的相关性。如果没有足够的数据来说明共同因素，那么在这种情况下，共同因素可能会对班级规模和学生成绩之间的关联产生负面影响，可能会夸大任何因果关系。

拥有关于儿童或教师的面板数据可以更准确地估计班级规模的因果效应。这允许研究人员保持孩子或老师的平均考试成绩不变，从而可以估计孩子在特定班级规模下的成绩与他们在不同班级规模下的成绩相比如何。另外，这通常会降低偶然相关性的作用。

时间序列数据也会出现类似的问题。例如，很难估计税率对一个国家经济增长的影响。如果我们检查美国 1990 年代和 2000 年代的情况，我们会观察到更高的增长率和更高的税率，因为 1993 年税率提高后实际 GDP 增长率更高。在这种情况下，可能有附带相关性：互联网繁荣带来的强劲经济增长发生在克林顿总统 1993 年增税之后。较高的税率导致互联网繁荣值得怀疑。
你如何解决这个问题？
你不能……用国家数据。没有办法解决偶然的相关性！
然而，拥有州级税率和经济增长的面板数据可能会提供更准确的估计。面板数据通常有一个主要优势，因为它可以保持主题（在这种情况下为状态）和时间段不变。它将控制互联网繁荣对全国的影响。尽管如此，仍可能存在问题，因为各州提高或降低税率并不是随机的。这将在第 6 章和第 8 章中更详细地讨论。

统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|How to use subscripts and when they are needed

到目前为止，我们已经使用单个下标来标识观察单位，或者一个观察代表什么（例如，一个人）。在第
2.3.1 节中，我有带下标的方程 (2.1a) 和不带下标的等价方程 (2.2)，如下所示:
$$
Y_i=\beta_0+\beta_1 \times X_i+\varepsilon_i Y=\beta_0+\beta_1 \times X+\varepsilon
$$
在某些情况下需要（或至少推荐）使用多个下标。首先，建议使用下标（虽然不是必需的），当有多个时期的观察时，添加“时间”下标会很有用，通常t. (在这种情况下，建议让读者清楚地知道数据不仅仅是时间上的快照。）其次，当模型中使用适用于多个变量的聚合变量时，需要下标观察。例如，如果将年度州失业率 (UR) 添加到等式 (2.1a) 中，它将是:
$$
Y_{\text {isy }}=\beta_0+\beta_1 \times X_i+\beta_2 \times U R_{\text {sy }}+\varepsilon_{\text {isy }}
$$
这就是说失业率是在州 (s) 和年份 (y) 水平上衡量的，这意味着每个州都有自己的价值 $U R$ 每年。那 $U R_{s y}$ 将适用于处于状态的所有观察 $s$ 在一年 $\gamma$. 拥有 ${ }^{\prime \prime} i^{\prime \prime}$ 下标 $Y$ 告诉我们州年失业率将适用于州 $\mathrm{s}$ 和年中观察到的许多主题 $\gamma$. 有了 $s$ 和 $\gamma$ 变量下标， $X$ ，如果它不随时间变化 (例如种族/民族的变量)，则它将是可选的。
第三，使用固定效应时需要下标，但在第 8 章之前你不需要担心这个。
在我看来，如果只处理单个下标，则不需要下标。但是，当需要多个下标时，下标就必须显示在回归方程中。

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