月度归档： 2023 年 7 月

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|ECON255

Posted on 2023年7月31日2023年8月25日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写金融计量经济学Financial Econometrics 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。金融计量经济学Financial Econometrics是基于统计方法的发展来估计经济关系，检验经济理论，评估和实施政府和商业政策。

金融计量经济学Financial Econometrics最常见的应用是预测利率、通货膨胀率和国内生产总值等重要的宏观经济变量。虽然对经济指标的预测是非常明显的，而且经常被广泛发表，但计量经济学方法可以用于与宏观经济预测无关的经济领域。例如，我们将研究政治竞选支出对投票结果的影响。我们将在教育领域考虑学校开支对学生表现的影响。此外，我们将学习如何使用计量经济学方法来预测经济时间序列。

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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|MECHANICS OF OLS

In this section, we cover some algebraic properties of the fitted OLS regression line. Perhaps the best way to think about these properties is to realize that they are features of OLS for a particular sample of data. They can be contrasted with the statistical properties of OLS, which requires deriving features of the sampling distributions of the estimators. We will discuss statistical properties in Section 2.5.

Several of the algebraic properties we are going to derive will appear mundane. Nevertheless, having a grasp of these properties helps us to figure out what happens to the OLS estimates and related statistics when the data are manipulated in certain ways, such as when the measurement units of the dependent and independent variables change.

Fitted Values and Residuals
We assume that the intercept and slope estimates, $\hat{\beta}_0$ and $\hat{\beta}_1$, have been obtained for the given sample of data. Given $\hat{\beta}_0$ and $\hat{\beta}_1$, we can obtain the fitted value $\hat{y}_i$ for each observation. [This is given by equation (2.20).] By definition, each fitted value of $\hat{y}_i$ is on the OLS regression line. The OLS residual associated with observation $i, \hat{u}_i$, is the difference between $y_i$ and its fitted value, as given in equation (2.21). If $\hat{u}_i$ is positive, the line underpredicts $y_i$; if $\hat{u}_i$ is negative, the line overpredicts $y_i$. The ideal case for observation $i$ is when $\hat{u}_i=0$, but in most cases every residual is not equal to zero. In other words, none of the data points must actually lie on the OLS line.

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Algebraic Properties of OLS Statistics

There are several useful algebraic properties of OLS estimates and their associated statistics. We now cover the three most important of these.
(1) The sum, and therefore the sample average of the OLS residuals, is zero.
Mathematically,
$$
\sum_{i=1}^n \hat{u}i=0 . $$ (2.30) This property needs no proof; it follows immediately from the OLS first order condition (2.14), when we remember that the residuals are defined by $\hat{u}_i=y_i-\hat{\beta}_0-\hat{\beta}_1 x_i$. In other words, the OLS estimates $\hat{\beta}_0$ and $\hat{\beta}_1$ are chosen to make the residuals add up to zero (for any data set). This says nothing about the residual for any particular observation $i$. (2) The sample covariance between the regressors and the OLS residuals is zero. This follows from the first order condition (2.15), which can be written in terms of the residuals as $$ \sum{i=1}^n x_i \hat{u}_i=0 .
$$
The sample average of the OLS residuals is zero, so the left hand side of (2.31) is proportional to the sample covariance between $x_i$ and $\hat{u}_i$.
(3) The point $(\bar{x}, \bar{y})$ is always on the OLS regression line. In other words, if we take equation (2.23) and plug in $\bar{x}$ for $x$, then the predicted value is $\bar{y}$. This is exactly what equation (2.16) shows us.

计量经济学代考

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|MECHANICS OF OLS

在本节中，我们将介绍拟合OLS回归线的一些代数性质。也许考虑这些属性的最好方法是认识到它们是特定数据样本的OLS特征。它们可以与OLS的统计特性进行对比，OLS需要推导估计量抽样分布的特征。我们将在2.5节讨论统计属性。

我们将要推导的一些代数性质看起来很普通。然而，掌握这些属性有助于我们弄清楚当数据以某种方式被操纵时，例如当因变量和自变量的测量单位发生变化时，OLS估计和相关统计数据会发生什么变化。

拟合值和残差
我们假设已获得给定数据样本的截距和斜率估计$\hat{\beta}_0$和$\hat{\beta}_1$。给定$\hat{\beta}_0$和$\hat{\beta}_1$，我们可以得到每个观测值的拟合值$\hat{y}_i$。这由式(2.20)给出。根据定义，$\hat{y}_i$的每个拟合值都在OLS回归线上。与观测值$i, \hat{u}_i$相关的OLS残差是$y_i$与其拟合值之间的差，如式(2.21)所示。如果$\hat{u}_i$是正数，这条线低估了$y_i$;如果$\hat{u}_i$为负，则该线对$y_i$的预测过高。观察$i$的理想情况是$\hat{u}_i=0$，但在大多数情况下，每个残差都不等于零。换句话说，没有一个数据点必须位于OLS线上。

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Algebraic Properties of OLS Statistics

OLS估计及其相关统计有几个有用的代数性质。我们现在讨论其中最重要的三个。
(1) OLS残差的和为零，因此OLS残差的样本平均值为零。
数学上，
$$
\sum_{i=1}^n \hat{u}i=0 . $$(2.30)该财产无需证明;当我们记得残差由$\hat{u}_i=y_i-\hat{\beta}_0-\hat{\beta}_1 x_i$定义时，它立即从OLS一阶条件(2.14)中得出。换句话说，选择OLS估计值$\hat{\beta}_0$和$\hat{\beta}_1$使残差相加为零(对于任何数据集)。这并没有说明任何特定观测值的残差$i$。(2)回归量与OLS残差之间的样本协方差为零。这是由一阶条件(2.15)得出的，它可以用残差的形式写成$$ \sum{i=1}^n x_i \hat{u}_i=0 .
$$
OLS残差的样本平均值为零，因此(2.31)的左侧与$x_i$和$\hat{u}_i$之间的样本协方差成正比。
(3)点$(\bar{x}, \bar{y})$始终在OLS回归线上。换句话说，如果我们采用公式(2.23)并将$\bar{x}$代入$x$，那么预测值就是$\bar{y}$。这正是式(2.16)告诉我们的。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|ECMT1020

Posted on 2023年7月31日2023年8月25日 by statistics-lab

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Domestic and Global Productivity

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Time Series Data

A time series data set consists of observations on a variable or several variables over time. Examples of time series data include stock prices, money supply, consumer price index, gross domestic product, annual homicide rates, and automobile sales figures. Because past events can influence future events and lags in behavior are prevalent in the social sciences, time is an important dimension in a time series data set. Unlike the arrangement of cross-sectional data, the chronological ordering of observations in a time series conveys potentially important information.

A key feature of time series data that makes it more difficult to analyze than crosssectional data is the fact that economic observations can rarely, if ever, be assumed to be independent across time. Most economic and other time series are related, often strongly related, to their recent histories. For example, knowing something about the gross domestic product from last quarter tells us quite a bit about the likely range of the GDP during this quarter, since GDP tends to remain fairly stable from one quarter to the next. While most econometric procedures can be used with both cross-sectional and time series data, more needs to be done in specifying econometric models for time series data before standard econometric methods can be justified. In addition, modifications and embellishments to standard econometric techniques have been developed to account for and exploit the dependent nature of economic time series and to address other issues, such as the fact that some economic variables tend to display clear trends over time.

Another feature of time series data that can require special attention is the data frequency at which the data are collected. In economics, the most common frequencies are daily, weekly, monthly, quarterly, and annually. Stock prices are recorded at daily intervals (excluding Saturday and Sunday). The money supply in the U.S. economy is reported weekly. Many macroeconomic series are tabulated monthly, including inflation and employment rates. Other macro series are recorded less frequently, such as every three months (every quarter). Gross domestic product is an important example of a quarterly series. Other time series, such as infant mortality rates for states in the United States, are available only on an annual basis.

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Pooled Cross Sections

Some data sets have both cross-sectional and time series features. For example, suppose that two cross-sectional household surveys are taken in the United States, one in 1985 and one in 1990. In 1985, a random sample of households is surveyed for variables such as income, savings, family size, and so on. In 1990, a new random sample of households is taken using the same survey questions. In order to increase our sample size, we can form a pooled cross section by combining the two years. Because random samples are taken in each year, it would be a fluke if the same household appeared in the sample during both years. (The size of the sample is usually very small compared with the number of households in the United States.) This important factor distinguishes a pooled cross section from a panel data set.

Pooling cross sections from different years is often an effective way of analyzing the effects of a new government policy. The idea is to collect data from the years before and after a key policy change. As an example, consider the following data set on housing prices taken in 1993 and 1995, when there was a reduction in property taxes in 1994. Suppose we have data on 250 houses for 1993 and on 270 houses for 1995 . One way to store such a data set is given in Table 1.4.

Observations 1 through 250 correspond to the houses sold in 1993, and observations 251 through 520 correspond to the 270 houses sold in 1995 . While the order in which we store the data turns out not to be crucial, keeping track of the year for each observation is usually very important. This is why we enter year as a separate variable.
A pooled cross section is analyzed much like a standard cross section, except that we often need to account for secular differences in the variables across the time. In fact, in addition to increasing the sample size, the point of a pooled cross-sectional analysis is often to see how a key relationship has changed over time.

计量经济学代考

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Time Series Data

时间序列数据集由一个或几个变量在一段时间内的观测结果组成。时间序列数据的例子包括股票价格、货币供应、消费者价格指数、国内生产总值、年度凶杀率和汽车销售数据。由于过去的事件可以影响未来的事件，并且行为滞后在社会科学中很普遍，因此时间是时间序列数据集中的一个重要维度。与横断面数据的排列不同，时间序列中观测的时间顺序传达了潜在的重要信息。

时间序列数据比横断面数据更难分析的一个关键特征是，经济观察很少(如果有的话)被认为是独立的。大多数经济和其他时间序列都与它们最近的历史相关，通常是密切相关的。例如，了解上个季度的国内生产总值(GDP)可以让我们对本季度GDP的可能范围有相当大的了解，因为GDP从一个季度到下一个季度往往保持相当稳定。虽然大多数计量经济学程序既可以用于横截面数据，也可以用于时间序列数据，但在证明标准计量经济学方法的合理性之前，还需要为时间序列数据指定更多的计量经济学模型。此外，对标准计量经济学技术进行了修改和修饰，以说明和利用经济时间序列的依赖性质，并解决其他问题，例如一些经济变量倾向于随着时间的推移显示明显趋势的事实。

时间序列数据的另一个需要特别注意的特征是收集数据的数据频率。在经济学中，最常见的频率是每日、每周、每月、每季度和每年。股票价格每隔一天记录一次(星期六和星期日除外)。美国经济中的货币供应量每周报告一次。许多宏观经济序列是按月编制的，包括通货膨胀率和就业率。其他宏观系列的记录频率较低，例如每三个月(每季度)记录一次。国内生产总值是季度序列的一个重要例子。其他时间序列，如美国各州的婴儿死亡率，只能按年提供。

经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Pooled Cross Sections

一些数据集同时具有横截面和时间序列特征。例如，假设在美国进行了两次横断面家庭调查，一次在1985年，一次在1990年。1985年，对随机抽样的家庭进行了收入、储蓄、家庭规模等变量的调查。1990年，使用相同的调查问题对家庭进行了新的随机抽样。为了增加我们的样本量，我们可以将这两年结合起来形成一个汇总的横截面。因为每年都是随机抽取样本，所以如果同一户人家在两年中都出现在样本中，那将是一个侥幸。(与美国的家庭数量相比，样本的规模通常很小。)这个重要因素将汇集的横截面与面板数据集区分开来。

汇总不同年份的数据通常是分析政府新政策效果的有效方法。这个想法是收集关键政策变化前后几年的数据。例如，请考虑下列1993年和1995年的房价数据集，1994年财产税有所减少。假设我们有1993年250所房屋和1995年270所房屋的数据。表1.4给出了存储这种数据集的一种方法。

观测值1到250对应1993年售出的房屋，观测值251到520对应1995年售出的270套房屋。虽然我们存储数据的顺序不是至关重要的，但跟踪每次观测的年份通常是非常重要的。这就是我们将year作为单独变量输入的原因。
汇总横截面的分析与标准横截面的分析非常相似，除了我们经常需要考虑变量在时间上的长期差异。事实上，除了增加样本量之外，汇集横断面分析的要点通常是查看关键关系如何随时间变化。

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

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统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|MAST90125

Posted on 2023年7月28日2024年1月7日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写贝叶斯分析Bayesian Analysis 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。贝叶斯分析Bayesian Analysis是一种统计范式，它使用概率陈述来回答关于未知参数的研究问题。

贝叶斯分析Bayesian Analysis的独特特征包括能够将先验信息纳入分析，将可信区间直观地解释为固定范围，其中参数已知属于预先指定的概率，以及将实际概率分配给任何感兴趣的假设的能力。贝叶斯推断使用后验分布来形成模型参数的各种总结，包括点估计，如后验均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计的后验分布的概率陈述。

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统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|MAST90125

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Posterior predictive distribution for a future observation

The posterior predictive distribution for a future observation, $\tilde{y}$, can be written as a mixture, $p(\tilde{y} \mid y)=\iint p\left(\tilde{y} \mid \mu, \sigma^2, y\right) p\left(\mu, \sigma^2 \mid y\right) d \mu d \sigma^2$. The first of the two factors in the integral is just the normal distribution for the future observation given the values of $\left(\mu, \sigma^2\right)$, and does not depend on $y$ at all. To draw from the posterior predictive distribution, first draw $\mu, \sigma^2$ from their joint posterior distribution and then simulate $\tilde{y} \sim \mathrm{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$.

In fact, the posterior predictive distribution of $\tilde{y}$ is a $t$ distribution with location $\bar{y}$, scale $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1 / 2} s$, and $n-1$ degrees of freedom. This analytic form is obtained using the same techniques as in the derivation of the posterior distribution of $\mu$. Specifically, the distribution can be obtained by integrating out the parameters $\mu, \sigma^2$ according to their joint posterior distribution. We can identify the result more easily by noticing that the factorization $p\left(\tilde{y} \mid \sigma^2, y\right)=\int p\left(\tilde{y} \mid \mu, \sigma^2, y\right) p\left(\mu \mid \sigma^2, y\right) d \mu$ leads to $p\left(\tilde{y} \mid \sigma^2, y\right)=\mathrm{N}\left(\tilde{y} \mid \bar{y},\left(1+\frac{1}{n}\right) \sigma^2\right)$, which is the same, up to a changed scale factor, as the distribution of $\mu \mid \sigma^2, y$.
Example. Estimating the speed of light
Simon Newcomb set up an experiment in 1882 to measure the speed of light. Newcomb measured the amount of time required for light to travel a distance of 7442 meters. A histogram of Newcomb’s 66 measurements is shown in Figure 3.1. There are two unusually low measurements and then a cluster of measurements that are approximately symmetrically distributed. We (inappropriately) apply the normal model, assuming that all 66 measurements are independent draws from a normal distribution with mean $\mu$ and variance $\sigma^2$. The main substantive goal is posterior inference for $\mu$. The outlying measurements do not fit the normal model; we discuss Bayesian methods for measuring the lack of fit for these data in Section 6.3. The mean of the 66 measurements is $\bar{y}=26.2$, and the sample standard deviation is $s=10.8$. Assuming the noninformative prior distribution $p\left(\mu, \sigma^2\right) \propto\left(\sigma^2\right)^{-1}$, a $95 \%$ central posterior interval for $\mu$ is obtained from the $t_{65}$ marginal posterior distribution of $\mu$ as $\bar{y} \pm 1.997 \mathrm{~s} / \sqrt{66}=[23.6,28.8]$. The posterior interval can also be obtained by simulation. Following the factorization of the posterior distribution given by (3.5) and (3.3), we first draw a random value of $\sigma^2 \sim \operatorname{Inv}-\chi^2\left(65, s^2\right)$ as $65 s^2$ divided by a random draw from the $\chi_{65}^2$ distribution (see Appendix A). Then given this value of $\sigma^2$, we draw $\mu$ from its conditional posterior distribution, $\mathrm{N}\left(26.2, \sigma^2 / 66\right)$. Based on 1000 simulated values of $\left(\mu, \sigma^2\right)$, we estimate the posterior median of $\mu$ to be 26.2 and a $95 \%$ central posterior interval for $\mu$ to be $[23.6,28.9]$, close to the analytically calculated interval.
Incidentally, based on the currently accepted value of the speed of light, the ‘true value’ for $\mu$ in Newcomb’s experiment is 33.0, which falls outside our $95 \%$ interval. This reinforces the fact that posterior inferences are only as good as the model and the experiment that produced the data.

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Normal data with a conjugate prior distribution

A first step toward a more general model is to assume a conjugate prior distribution for the two-parameter univariate normal sampling model in place of the noninformative prior distribution just considered. The form of the likelihood displayed in (3.2) and the subsequent discussion shows that the conjugate prior density must also have the product form $p\left(\sigma^2\right) p\left(\mu \mid \sigma^2\right)$, where the marginal distribution of $\sigma^2$ is scaled inverse- $\chi^2$ and the conditional distribution of $\mu$ given $\sigma^2$ is normal (so that marginally $\mu$ has a $t$ distribution). A convenient parameterization is given by the following specification:
$$
\begin{aligned}
\mu \mid \sigma^2 & \sim \mathrm{N}\left(\mu_0, \sigma^2 / \kappa_0\right) \
\sigma^2 & \sim \operatorname{Inv}-\chi^2\left(\nu_0, \sigma_0^2\right),
\end{aligned}
$$
which corresponds to the joint prior density
$$
p\left(\mu, \sigma^2\right) \propto \sigma^{-1}\left(\sigma^2\right)^{-\left(\nu_0 / 2+1\right)} \exp \left(-\frac{1}{2 \sigma^2}\left[\nu_0 \sigma_0^2+\kappa_0\left(\mu_0-\mu\right)^2\right]\right) .
$$
We label this the N-Inv- $\chi^2\left(\mu_0, \sigma_0^2 / \kappa_0 ; \nu_0, \sigma_0^2\right)$ density; its four parameters can be identified as the location and scale of $\mu$ and the degrees of freedom and scale of $\sigma^2$, respectively.

The appearance of $\sigma^2$ in the conditional distribution of $\mu \mid \sigma^2$ means that $\mu$ and $\sigma^2$ are necessarily dependent in their joint conjugate prior density: for example, if $\sigma^2$ is large, then a high-variance prior distribution is induced on $\mu$. This dependence is notable, considering that conjugate prior distributions are used largely for convenience. Upon reflection, however, it often makes sense for the prior variance of the mean to be tied to $\sigma^2$, which is the sampling variance of the observation $y$. In this way, prior belief about $\mu$ is calibrated by the scale of measurement of $y$ and is equivalent to $\kappa_0$ prior measurements on this scale.

贝叶斯分析代考

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Posterior predictive distribution for a future observation

一个未来观测值$\tilde{y}$的后验预测分布可以写成一个混合物$p(\tilde{y} \mid y)=\iint p\left(\tilde{y} \mid \mu, \sigma^2, y\right) p\left(\mu, \sigma^2 \mid y\right) d \mu d \sigma^2$。积分中两个因子中的第一个是给定$\left(\mu, \sigma^2\right)$值的未来观测值的正态分布，完全不依赖于$y$。要从后验预测分布中提取，首先从它们的联合后验分布中提取$\mu, \sigma^2$，然后模拟$\tilde{y} \sim \mathrm{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$。

事实上，$\tilde{y}$的后验预测分布是一个$t$分布，其位置为$\bar{y}$，规模为$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1 / 2} s$，自由度为$n-1$。这种解析形式是使用与推导$\mu$后验分布相同的技术得到的。具体来说，可以根据参数$\mu, \sigma^2$的关节后验分布积分得到其分布。我们可以更容易地识别结果，注意到分解$p\left(\tilde{y} \mid \sigma^2, y\right)=\int p\left(\tilde{y} \mid \mu, \sigma^2, y\right) p\left(\mu \mid \sigma^2, y\right) d \mu$导致$p\left(\tilde{y} \mid \sigma^2, y\right)=\mathrm{N}\left(\tilde{y} \mid \bar{y},\left(1+\frac{1}{n}\right) \sigma^2\right)$，它与$\mu \mid \sigma^2, y$的分布相同，直到改变了比例因子。
示例:估计光速
西蒙·纽科姆在1882年建立了一个测量光速的实验。纽科姆测量了光传播7442米所需的时间。Newcomb的66次测量的直方图如图3.1所示。有两个异常低的测量值，然后是一组近似对称分布的测量值。我们(不恰当地)应用正态模型，假设所有66个测量值都是独立的，来自均值$\mu$和方差$\sigma^2$的正态分布。主要的实质性目标是$\mu$的后验推理。外围测量值不符合正态模型;我们将在第6.3节讨论贝叶斯方法来测量这些数据的拟合缺失。66次测量的平均值为$\bar{y}=26.2$，样本标准差为$s=10.8$。假设无信息先验分布$p\left(\mu, \sigma^2\right) \propto\left(\sigma^2\right)^{-1}$，由$\mu$的边际后验分布$t_{65}$得到$\mu$的中心后验区间$95 \%$为$\bar{y} \pm 1.997 \mathrm{~s} / \sqrt{66}=[23.6,28.8]$。后验区间也可以通过仿真得到。根据(3.5)和(3.3)给出的后验分布的因式分解，我们首先得出一个随机值$\sigma^2 \sim \operatorname{Inv}-\chi^2\left(65, s^2\right)$，即$65 s^2$除以$\chi_{65}^2$分布的随机值(见附录a)。然后给出这个值$\sigma^2$，我们从它的条件后验分布$\mathrm{N}\left(26.2, \sigma^2 / 66\right)$中得出$\mu$。基于$\left(\mu, \sigma^2\right)$的1000个模拟值，我们估计$\mu$的后验中位数为26.2,$\mu$的$95 \%$中央后验区间为$[23.6,28.9]$，接近解析计算的区间。
顺便说一句，根据目前公认的光速值，纽科姆实验中$\mu$的“真实值”是33.0，这超出了我们的$95 \%$区间。这强化了一个事实，即后验推断只与产生数据的模型和实验一样好。

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Normal data with a conjugate prior distribution

建立更一般模型的第一步是假设双参数单变量正态抽样模型的共轭先验分布取代刚才考虑的非信息先验分布。(3.2)中显示的似然形式和随后的讨论表明，共轭先验密度也必须具有乘积形式$p\left(\sigma^2\right) p\left(\mu \mid \sigma^2\right)$，其中$\sigma^2$的边际分布按比例为逆- $\chi^2$，并且$\mu$给定$\sigma^2$的条件分布为正态分布(因此边际$\mu$具有$t$分布)。下面的规范给出了一个方便的参数化:
$$
\begin{aligned}
\mu \mid \sigma^2 & \sim \mathrm{N}\left(\mu_0, \sigma^2 / \kappa_0\right) \
\sigma^2 & \sim \operatorname{Inv}-\chi^2\left(\nu_0, \sigma_0^2\right),
\end{aligned}
$$
哪个对应于关节先验密度
$$
p\left(\mu, \sigma^2\right) \propto \sigma^{-1}\left(\sigma^2\right)^{-\left(\nu_0 / 2+1\right)} \exp \left(-\frac{1}{2 \sigma^2}\left[\nu_0 \sigma_0^2+\kappa_0\left(\mu_0-\mu\right)^2\right]\right) .
$$
我们把它标记为N-Inv- $\chi^2\left(\mu_0, \sigma_0^2 / \kappa_0 ; \nu_0, \sigma_0^2\right)$密度;它的四个参数分别可以识别为$\mu$的位置和尺度以及$\sigma^2$的自由度和尺度。

$\sigma^2$在$\mu \mid \sigma^2$的条件分布中的出现意味着$\mu$和$\sigma^2$在它们的联合共轭先验密度上是必然依赖的:例如，如果$\sigma^2$很大，那么在$\mu$上就会产生一个高方差先验分布。考虑到共轭先验分布主要是为了方便而使用，这种依赖性是值得注意的。然而，经过反思，通常将均值的先验方差与$\sigma^2$联系起来是有意义的，这是观测值的抽样方差$y$。这样，关于$\mu$的先验信念是通过$y$的测量尺度来校准的，相当于$\kappa_0$在这个尺度上的先验测量。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|P-533

Posted on 2023年7月28日2023年8月25日 by statistics-lab

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Constructing a weakly informative prior distribution

One might argue that virtually all statistical models are weakly informative: a model always conveys some information, if only in its choice of inputs and the functional form of how they are combined, but it is not possible or perhaps even desirable to encode all of one’s prior beliefs about a subject into a set of probability distributions. With that in mind, we offer two principles for setting up weakly informative priors, going at the problem from two different directions:

Start with some version of a noninformative prior distribution and then add enough information so that inferences are constrained to be reasonable.
Start with a strong, highly informative prior and broaden it to account for uncertainty in one’s prior beliefs and in the applicability of any historically based prior distribution to new data.

Neither of these approaches is pure. In the first case, it can happen that the purportedly noninformative prior distribution used as a starting point is in fact too strong. For example, if a $\mathrm{U}(0,1)$ prior distribution is assigned to the probability of some rare disease, then in the presence of weak data the probability can be grossly overestimated (suppose $y=0$ incidences out of $n=100$ cases, and the true prevalence is known to be less than 1 in $10,000)$, and an appropriate weakly informative prior will be such that the posterior in this case will be concentrated in that low range. In the second case, a prior distribution that is believed to be strongly informative may in fact be too weak along some direction. This is not to say that priors should be made more precise whenever posterior inferences are vague; in many cases, our best strategy is simply to acknowledge whatever posterior uncertainty we have. But we should not feel constrained by default noninformative models when we have substantive prior knowledge available.

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Bibliographic note

A fascinating detailed account of the early development of the idea of ‘inverse probability’ (Bayesian inference) is provided in the book by Stigler (1986), on which our brief accounts of Bayes’ and Laplace’s solutions to the problem of estimating an unknown proportion are based. Bayes’ famous 1763 essay in the Philosophical Transactions of the Royal Society of London has been reprinted as Bayes (1763); see also Laplace $(1785,1810)$.

Introductory textbooks providing complementary discussions of the simple models covered in this chapter were listed at the end of Chapter 1. In particular, Box and Tiao (1973) provide a detailed treatment of Bayesian analysis with the normal model and also discuss highest posterior density regions in some detail. The theory of conjugate prior distributions was developed in detail by Raiffa and Schlaifer (1961). An interesting account of inference for prediction, which also includes extensive details of particular probability models and conjugate prior analyses, appears in Aitchison and Dunsmore (1975).

Liu et al. (2013) discuss how to efficiently compute highest posterior density intervals using simulations.

Noninformative and reference prior distributions have been studied by many researchers. Jeffreys (1961) and Hartigan (1964) discuss invariance principles for noninformative prior distributions. Chapter 1 of Box and Tiao (1973) presents a straightforward and practically oriented discussion, a brief but detailed survey is given by Berger (1985), and the article by Bernardo (1979) is accompanied by a wide-ranging discussion. Bernardo and Smith (1994) give an extensive treatment of this topic along with many other matters relevant to the construction of prior distributions. Barnard (1985) discusses the relation between pivotal quantities and noninformative Bayesian inference. Kass and Wasserman (1996) provide a review of many approaches for establishing noninformative prior densities based on Jeffreys’ rule, and they also discuss the problems that may arise from uncritical use of purportedly noninformative prior specifications. Dawid, Stone, and Zidek (1973) discuss some difficulties that can arise with noninformative prior distributions; also see Jaynes (1980).

贝叶斯分析代考

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Constructing a weakly informative prior distribution

有人可能会争辩说，实际上所有的统计模型都是弱信息性的:一个模型总是传达一些信息，如果只是在输入的选择和它们如何组合的功能形式中，但是将一个人对一个主题的所有先验信念编码成一组概率分布是不可能的，甚至是不可取的。考虑到这一点，我们提供了建立弱信息先验的两个原则，从两个不同的方向来解决问题:

从非信息性先验分布的某个版本开始，然后添加足够的信息，这样推理就会被限制在合理的范围内。

从一个强大的、信息丰富的先验开始，并将其扩展到一个人的先验信念中的不确定性，以及任何基于历史的先验分布对新数据的适用性。

这两种方法都不是纯粹的。在第一种情况下，作为起点的所谓无信息先验分布实际上过于强大。例如，如果将一个$\ mathm {U}(0,1)$先验分布分配给某些罕见疾病的概率，那么在存在弱数据的情况下，概率可能会被严重高估(假设$y=0$发病率在$n=100$病例中，并且已知真实患病率小于1 / 10,000 $)$，并且适当的弱信息先验将使得这种情况下的后验将集中在那个低范围内。在第二种情况下，被认为信息量很强的先验分布实际上可能在某些方向上太弱。这并不是说，当后验推理模糊不清时，先验就应该更精确;在很多情况下，我们最好的策略就是承认我们所拥有的后验不确定性。但是，当我们有实质性的先验知识可用时，我们不应该被默认的非信息模型所约束。

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Bibliographic note

Stigler(1986)的书中提供了“逆概率”(贝叶斯推理)概念早期发展的迷人详细描述，我们对贝叶斯和拉普拉斯估计未知比例问题的解决方案的简要说明是基于此的。贝叶斯1763年在《伦敦皇家学会哲学会刊》上发表的著名文章已被重印为贝叶斯(1763);另见拉普拉斯$(1785,1810)$。

提供本章所涵盖的简单模型的补充讨论的介绍性教科书在第1章末尾列出。特别是Box和Tiao(1973)用正态模型对贝叶斯分析进行了详细的处理，并对最高后验密度区域进行了详细的讨论。共轭先验分布理论是由Raiffa和Schlaifer(1961)详细发展起来的。在Aitchison和Dunsmore(1975)中，有一个关于预测推理的有趣描述，其中还包括特定概率模型和共轭先验分析的广泛细节。

Liu等人(2013)讨论了如何使用模拟有效地计算最高后验密度间隔。

非信息先验分布和参考先验分布已经被许多研究者研究过。Jeffreys(1961)和Hartigan(1964)讨论了非信息性先验分布的不变性原则。Box and Tiao(1973)的第一章提出了一个直截了当的和实际导向的讨论，Berger(1985)给出了一个简短但详细的调查，Bernardo(1979)的文章伴随着一个广泛的讨论。Bernardo和Smith(1994)对这一主题以及与先验分布的构建相关的许多其他问题进行了广泛的处理。Barnard(1985)讨论了关键量和非信息贝叶斯推理之间的关系。Kass和Wasserman(1996)对基于Jeffreys规则建立非信息先验密度的许多方法进行了回顾，他们还讨论了不加批判地使用所谓的非信息先验规范可能产生的问题。david, Stone和Zidek(1973)讨论了非信息性先验分布可能出现的一些困难;参见Jaynes(1980)。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|STAT3303

Posted on 2023年7月28日2023年8月25日 by statistics-lab

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Other standard single-parameter models

Recall that, in general, the posterior density, $p(\theta \mid y)$, has no closed-form expression; the normalizing constant, $p(y)$, is often especially difficult to compute due to the integral (1.3). Much formal Bayesian analysis concentrates on situations where closed forms are available; such models are sometimes unrealistic, but their analysis often provides a useful starting point when it comes to constructing more realistic models.

The standard distributions – binomial, normal, Poisson, and exponential – have natural derivations from simple probability models. As we have already discussed, the binomial distribution is motivated from counting exchangeable outcomes, and the normal distribution applies to a random variable that is the sum of many exchangeable or independent terms. We will also have occasion to apply the normal distribution to the logarithm of allpositive data, which would naturally apply to observations that are modeled as the product of many independent multiplicative factors. The Poisson and exponential distributions arise as the number of counts and the waiting times, respectively, for events modeled as occurring exchangeably in all time intervals; that is, independently in time, with a constant rate of occurrence. We will generally construct realistic probability models for more complicated outcomes by combinations of these basic distributions. For example, in Section 22.2, we model the reaction times of schizophrenic patients in a psychological experiment as a binomial mixture of normal distributions on the logarithmic scale.

Each of these standard models has an associated family of conjugate prior distributions, which we discuss in turn.

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Normal distribution with known mean but unknown variance

The normal model with known mean $\theta$ and unknown variance is an important example, not necessarily for its direct applied value, but as a building block for more complicated, useful models, most immediately the normal distribution with unknown mean and variance, which we cover in Section 3.2. In addition, the normal distribution with known mean but unknown variance provides an introductory example of the estimation of a scale parameter.
For $p\left(y \mid \theta, \sigma^2\right)=\mathrm{N}\left(y \mid \theta, \sigma^2\right)$, with $\theta$ known and $\sigma^2$ unknown, the likelihood for a vector $y$ of $n$ independent and identically distributed observations is
$$
\begin{aligned}
p\left(y \mid \sigma^2\right) & \propto \sigma^{-n} \exp \left(-\frac{1}{2 \sigma^2} \sum_{i=1}^n\left(y_i-\theta\right)^2\right) \
& =\left(\sigma^2\right)^{-n / 2} \exp \left(-\frac{n}{2 \sigma^2} v\right) .
\end{aligned}
$$
The sufficient statistic is
$$
v=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(y_i-\theta\right)^2 .
$$
The corresponding conjugate prior density is the inverse-gamma,
$$
p\left(\sigma^2\right) \propto\left(\sigma^2\right)^{-(\alpha+1)} e^{-\beta / \sigma^2},
$$
which has hyperparameters $(\alpha, \beta)$. A convenient parameterization is as a scaled inverse- $\chi^2$ distribution with scale $\sigma_0^2$ and $\nu_0$ degrees of freedom (see Appendix A); that is, the prior distribution of $\sigma^2$ is taken to be the distribution of $\sigma_0^2 \nu_0 / X$, where $X$ is a $\chi_{\nu_0}^2$ random variable. We use the convenient but nonstandard notation, $\sigma^2 \sim \operatorname{Inv}-\chi^2\left(\nu_0, \sigma_0^2\right)$.

贝叶斯分析代考

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Other standard single-parameter models

回想一下，一般来说，后密度$p(\theta \mid y)$没有封闭形式的表达式;归一化常数$p(y)$，由于积分(1.3)，通常特别难以计算。许多正式的贝叶斯分析集中在封闭形式可用的情况下;这样的模型有时是不现实的，但是当涉及到构建更现实的模型时，它们的分析通常提供了一个有用的起点。

标准分布——二项分布、正态分布、泊松分布和指数分布——可以从简单的概率模型中自然推导出来。正如我们已经讨论过的，二项分布的动机是计数可交换的结果，而正态分布适用于一个随机变量，它是许多可交换或独立项的总和。我们还将有机会将正态分布应用于所有正数据的对数，这自然适用于作为许多独立乘法因子的乘积建模的观测结果。泊松分布和指数分布分别随着计数数和等待时间的增加而出现，对于在所有时间间隔内交替发生的事件进行建模;也就是说，独立于时间，以恒定的发生速率。通过这些基本分布的组合，我们通常会为更复杂的结果构建现实的概率模型。例如，在第22.2节中，我们将心理实验中精神分裂症患者的反应时间建模为对数尺度上正态分布的二项混合。

每个标准模型都有一个相关的共轭先验分布族，我们将依次讨论。

统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|Normal distribution with known mean but unknown variance

具有已知均值$\theta$和未知方差的正态模型是一个重要的例子，不一定是因为它的直接应用价值，而是作为更复杂，有用的模型的组成部分，最直接的是具有未知均值和方差的正态分布，我们将在3.2节中介绍。此外，均值已知但方差未知的正态分布提供了一个尺度参数估计的入门示例。
对于$p\left(y \mid \theta, \sigma^2\right)=\mathrm{N}\left(y \mid \theta, \sigma^2\right)$, $\theta$已知，$\sigma^2$未知，则$n$独立且分布相同的观测值的向量$y$的可能性为
$$
\begin{aligned}
p\left(y \mid \sigma^2\right) & \propto \sigma^{-n} \exp \left(-\frac{1}{2 \sigma^2} \sum_{i=1}^n\left(y_i-\theta\right)^2\right) \
& =\left(\sigma^2\right)^{-n / 2} \exp \left(-\frac{n}{2 \sigma^2} v\right) .
\end{aligned}
$$
充分统计量为
$$
v=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(y_i-\theta\right)^2 .
$$
对应的共轭先验密度是逆，
$$
p\left(\sigma^2\right) \propto\left(\sigma^2\right)^{-(\alpha+1)} e^{-\beta / \sigma^2},
$$
它有超参数$(\alpha, \beta)$。一种方便的参数化是一个尺度逆- $\chi^2$分布，其尺度为$\sigma_0^2$和$\nu_0$自由度(见附录A);即取$\sigma^2$的先验分布为$\sigma_0^2 \nu_0 / X$的分布，其中$X$为一个$\chi_{\nu_0}^2$随机变量。我们使用方便但不标准的符号$\sigma^2 \sim \operatorname{Inv}-\chi^2\left(\nu_0, \sigma_0^2\right)$。

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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|MATH611

Posted on 2023年7月28日2023年8月25日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写现代代数Modern Algebra 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。现代代数Modern Algebra就像数学的其他分支一样——只有从最基本的思想和例子中仔细地推导才能掌握。但这需要时间，而且有些目标在你实现之前是不明确的。

现代代数Modern Algebra这门学科的思想和方法几乎渗透到现代数学的每一个部分。此外，没有一门学科更适合培养处理抽象概念的能力，即理解和处理问题或学科的基本要素。这包括阅读数学的能力，提出正确的问题，解决问题，运用演绎推理，以及写出正确、切中要害、清晰的数学。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写现代代数Modern Algebra方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写现代代数Modern Algebra代写方面经验极为丰富，各种代写现代代数Modern Algebra相关的作业也就用不着说。

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Quotient Group

If $H$ is a normal subgroup of $G$, the group $G / H$ that consists of the cosets of $H$ in $G$ is called the quotient group or factor group of $G$ by $H$.

If the group $G$ is abelian, then so is the quotient group $G / H$. Let $a$ and $b$ be elements of $G$, then
$$
\begin{aligned}
a H b H & =a b H & & \text { since } H \text { is normal } \
& =b a H & & \text { since } G \text { is abelian } \
& =b H a H & & \text { since } H \text { is normal }
\end{aligned}
$$
and $G / H$ is abelian.
Suppose the group $G$ has finite order $n$ and the normal subgroup $H$ has order $m$. Then by Lagrange’s Theorem, we have
$$
|G|=|H| \cdot|G / H|
$$
or
$$
n=m \cdot|G / H|,
$$
and the order of the quotient group is $|G / H|=n / m$.
Example 1 Let $G$ be the octic group as given in Example 3 of Section 4.5:
$$
D_4=\left{e, \alpha, \alpha^2, \alpha^3, \beta, \gamma, \Delta, \theta\right} .
$$
It can be readily verified that $H=\left{e, \gamma, \theta, \alpha^2\right}$ is a normal subgroup of $D_4$. The distinct cosets of $\mathrm{H}$ in $\mathrm{D}_4$ are
$$
H=e H=\gamma H=\theta H=\alpha^2 H=\left{e, \gamma, \theta, \alpha^2\right}
$$
and
$$
\alpha H=\alpha^3 H=\beta H=\Delta H=\left{\alpha, \alpha^3, \beta, \Delta\right} .
$$
Thus $D_4 / H={H, \alpha H}$, and a multiplication table for $D_4 / H$ is as follows.

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Quotient Group => Homomorphic Image

Let $G$ be a group, and let $H$ be a normal subgroup of $G$. The mapping $\phi: G \rightarrow G / H$ defined by
$$
\phi(a)=a H
$$
is an epimorphism from $G$ to $G / H$.
Proof The rule $\phi(a)=a H$ clearly defines a mapping from $G$ to $G / H$. For any $a$ and $b$ in $G$,
$$
\begin{aligned}
\phi(a) \cdot \phi(b) & =(a H)(b H) \
& =a b H \quad \text { since } H \text { is normal in } G \
& =\phi(a b) .
\end{aligned}
$$
Thus $\phi$ is a homomorphism. Every element of $G / H$ is a coset of $H$ in $G$ that has the form $a H$ for some $a$ in $G$. For any such $a$, we have $\phi(a)=a H$. Therefore, $\phi$ is an epimorphism.
Example 2 Consider the octic group
$$
D_4=\left{e, \alpha, \alpha^2, \alpha^3, \beta, \gamma, \Delta, \theta\right}
$$
and its normal subgroup
$$
H=\left{e, \gamma, \theta, \alpha^2\right} .
$$
We saw in Example 1 that $D_4 / H={H, \alpha H}$. Theorem 4.25 assures us that the mapping $\phi: D_4 \rightarrow D_4 / H$ defined by
$$
\phi(a)=a H
$$
is an epimorphism. The values of $\phi$ are given in this case by
$$
\begin{gathered}
\phi(e)=\phi(\gamma)=\phi(\theta)=\phi\left(\alpha^2\right)=H \
\phi(\alpha)=\phi\left(\alpha^3\right)=\phi(\beta)=\phi(\Delta)=\alpha H .
\end{gathered}
$$

现代代数代考

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Quotient Group

如果$H$是$G$的正常子组，则由$G$中$H$的余集组成的组$G / H$被$H$称为$G$的商组或因子组。

如果群$G$是阿贝尔，那么商群$G / H$也是阿贝尔。那么，让$a$和$b$成为$G$的元素
$$
\begin{aligned}
a H b H & =a b H & & \text { since } H \text { is normal } \
& =b a H & & \text { since } G \text { is abelian } \
& =b H a H & & \text { since } H \text { is normal }
\end{aligned}
$$
$G / H$是阿贝尔的。
假设群$G$有有限阶$n$，正规子群$H$有阶$m$。根据拉格朗日定理，我们有
$$
|G|=|H| \cdot|G / H|
$$
或
$$
n=m \cdot|G / H|,
$$
商群的阶是$|G / H|=n / m$。
设$G$为第4.5节例3中给出的octic组:
$$
D_4=\left{e, \alpha, \alpha^2, \alpha^3, \beta, \gamma, \Delta, \theta\right} .
$$
可以很容易地验证$H=\left{e, \gamma, \theta, \alpha^2\right}$是$D_4$的正常子组。$\mathrm{D}_4$中$\mathrm{H}$的不同的集是
$$
H=e H=\gamma H=\theta H=\alpha^2 H=\left{e, \gamma, \theta, \alpha^2\right}
$$
和
$$
\alpha H=\alpha^3 H=\beta H=\Delta H=\left{\alpha, \alpha^3, \beta, \Delta\right} .
$$
因此是$D_4 / H={H, \alpha H}$，下面是$D_4 / H$的乘法表。

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Quotient Group => Homomorphic Image

设$G$为一个组，设$H$为$G$的正常子组。定义的映射$\phi: G \rightarrow G / H$
$$
\phi(a)=a H
$$
是从$G$到$G / H$的表属关系。
证明规则$\phi(a)=a H$明确定义了$G$到$G / H$的映射关系。有关$G$中的$a$和$b$，
$$
\begin{aligned}
\phi(a) \cdot \phi(b) & =(a H)(b H) \
& =a b H \quad \text { since } H \text { is normal in } G \
& =\phi(a b) .
\end{aligned}
$$
因此$\phi$是一个同态。$G / H$的每个元素都是$G$中的$H$的协集，对于$G$中的某些$a$具有$a H$的形式。对于任何这样的$a$，我们有$\phi(a)=a H$。因此，$\phi$是一个外胚。
例2考虑octic组
$$
D_4=\left{e, \alpha, \alpha^2, \alpha^3, \beta, \gamma, \Delta, \theta\right}
$$
和它的正规子群
$$
H=\left{e, \gamma, \theta, \alpha^2\right} .
$$
我们在例1中看到$D_4 / H={H, \alpha H}$。定理4.25保证由。定义的映射$\phi: D_4 \rightarrow D_4 / H$
$$
\phi(a)=a H
$$
是一个外属词。在本例中，$\phi$的值由
$$
\begin{gathered}
\phi(e)=\phi(\gamma)=\phi(\theta)=\phi\left(\alpha^2\right)=H \
\phi(\alpha)=\phi\left(\alpha^3\right)=\phi(\beta)=\phi(\Delta)=\alpha H .
\end{gathered}
$$

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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|MATH3230

Posted on 2023年7月28日2023年8月25日 by statistics-lab

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Left Coset Partition

Let $H$ be a subgroup of the group $G$. The distinct left cosets of $H$ in $G$ form a partition of $G$; that is, they separate the elements of $G$ into mutually disjoint subsets.

Proof It is sufficient to show that any two left cosets of $H$ that are not disjoint must be the same left coset.

Suppose $a H$ and $b H$ have at least one element in common-say, $z \in a H \cap b H$. Then $z=a h_1$ for some $h_1 \in H$, and $z=b h_2$ for some $h_2 \in H$. This means that $a h_1=b h_2$ and $a=b h_2 h_1^{-1}$. We have that $h_2 h_1^{-1}$ is in $H$ since $H$ is a subgroup, so $a=b h_3$ where $h_3=h_2 h_1^{-1} \in H$. Now, for every $h \in H$,
$$
\begin{aligned}
a h & =b h_3 h \
& =b h_4
\end{aligned}
$$
where $h_4=h_3 \cdot h$ is in $H$. That is, $a h \in b H$ for all $h \in H$. This proves that $a H \subseteq b H$. A similar argument shows that $b H \subseteq a H$, and thus $a H=b H$.

The distinct right cosets of a subgroup $H$ of a group $G$ also form a partition of $G$. That is, Lemma 4.13 can be restated in terms of right cosets (see Exercise 13).
Example 4 Consider again the subgroup
$$
K={(1),(1,2)}
$$
of
$$
G=S_3={(1),(1,2,3),(1,3,2),(1,2),(1,3),(2,3)} .
$$
In Example 3 of this section, we saw that
$$
(1,2,3) K={(1,2,3),(1,3)} .
$$
Since $(1,3)$ is in this left coset, it follows from Lemma 4.13 that
$$
(1,3) K=(1,2,3) K={(1,2,3),(1,3)} .
$$
Straightforward computations show that
$$
(1) K=(1,2) K={(1),(1,2)}=K
$$
and
$$
(2,3) K=(1,3,2) K={(1,3,2),(2,3)} .
$$
Thus the distinct left cosets of $K$ in $G$ are given by
$$
K,(1,2,3) K,(1,3,2) K
$$
and a partition of $G$ is
$$
G=K \cup(1,2,3) K \cup(1,3,2) K \text {. }
$$

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Normal Subgroup

Let $H$ be a subgroup of $G$. Then $H$ is a normal (or invariant) subgroup of $G$ if $x H=H x$ for all $x \in G$.

Note that the condition $x H=H x$ is an equality of sets, and it does not require that $x h=h x$ for all $h$ in $H$.
Example 1 Let
$$
H=A_3={(1),(1,2,3),(1,3,2)}=\langle(1,2,3)\rangle
$$
and
$$
G=S_3={(1),(1,2,3),(1,3,2),(1,2),(1,3),(2,3)} .
$$
For $x=(1,2)$ we have
$$
\begin{aligned}
x H & ={(1,2)(1),(1,2)(1,2,3),(1,2)(1,3,2)} \
& ={(1,2),(2,3),(1,3)}
\end{aligned}
$$
and
$$
\begin{aligned}
H x & ={(1)(1,2),(1,2,3)(1,2),(1,3,2)(1,2)} \
& ={(1,2),(1,3),(2,3)} .
\end{aligned}
$$
We have $x H=H x$, but $x h \neq h x$ when $h=(1,2,3) \in H$. Similar computations show that
$$
\begin{aligned}
(1) H=(1,2,3) H=(1,3,2) H & ={(1),(1,2,3),(1,3,2)}=H \
H(1)=H(1,2,3)=H(1,3,2) & ={(1),(1,2,3),(1,3,2)}=H \
(1,2) H=(1,3) H=(2,3) H & ={(1,2),(1,3),(2,3)} \
H(1,2)=H(1,3)=H(2,3) & ={(1,2),(1,3),(2,3)} .
\end{aligned}
$$
Thus $H$ is a normal subgroup of $G$. Additionally, we note that $G$ can be expressed as
$$
G=H \cup(1,2) H .
$$

现代代数代考

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Left Coset Partition

设$H$为组$G$的子组。$G$中$H$的不同左余集形成了$G$的一个分区;也就是说，它们将$G$的元素分离为互不相交的子集。

证明$H$的任意两个不相交的左余集必定是相同的左余集。

假设$a H$和$b H$至少有一个共同的元素，比如$z \in a H \cap b H$。然后$z=a h_1$表示一些$h_1 \in H$, $z=b h_2$表示一些$h_2 \in H$。这意味着$a h_1=b h_2$和$a=b h_2 h_1^{-1}$。我们知道$h_2 h_1^{-1}$在$H$中，因为$H$是子组，所以$a=b h_3$在$h_3=h_2 h_1^{-1} \in H$中。对于每个$h \in H$，
$$
\begin{aligned}
a h & =b h_3 h \
& =b h_4
\end{aligned}
$$
$h_4=h_3 \cdot h$在$H$中。也就是说，所有$h \in H$都是$a h \in b H$。这证明了$a H \subseteq b H$。类似的论点表明$b H \subseteq a H$，因此$a H=b H$。

群$G$的子群$H$的不同的右余集也形成了$G$的一个分区。也就是说，引理4.13可以用右集来重述(参见练习13)。
再次考虑子组
$$
K={(1),(1,2)}
$$
的
$$
G=S_3={(1),(1,2,3),(1,3,2),(1,2),(1,3),(2,3)} .
$$
在本节的示例3中，我们看到了这一点
$$
(1,2,3) K={(1,2,3),(1,3)} .
$$
因为$(1,3)$在这个左余集，从引理4.13可以得出
$$
(1,3) K=(1,2,3) K={(1,2,3),(1,3)} .
$$
简单的计算表明了这一点
$$
(1) K=(1,2) K={(1),(1,2)}=K
$$
和
$$
(2,3) K=(1,3,2) K={(1,3,2),(2,3)} .
$$
因此，$G$中$K$的不同左余集由式给出
$$
K,(1,2,3) K,(1,3,2) K
$$
$G$的分区是
$$
G=K \cup(1,2,3) K \cup(1,3,2) K \text {. }
$$

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Normal Subgroup

设$H$为$G$的子组。那么$H$是$G$的正常(或不变)子组，如果$x H=H x$适用于所有$x \in G$。

注意，条件$x H=H x$是集合的等式，它不要求$H$中的所有$h$都是$x h=h x$。
例1
$$
H=A_3={(1),(1,2,3),(1,3,2)}=\langle(1,2,3)\rangle
$$
和
$$
G=S_3={(1),(1,2,3),(1,3,2),(1,2),(1,3),(2,3)} .
$$
对于$x=(1,2)$我们有
$$
\begin{aligned}
x H & ={(1,2)(1),(1,2)(1,2,3),(1,2)(1,3,2)} \
& ={(1,2),(2,3),(1,3)}
\end{aligned}
$$
和
$$
\begin{aligned}
H x & ={(1)(1,2),(1,2,3)(1,2),(1,3,2)(1,2)} \
& ={(1,2),(1,3),(2,3)} .
\end{aligned}
$$
我们有$x H=H x$，但$x h \neq h x$当$h=(1,2,3) \in H$。类似的计算表明
$$
\begin{aligned}
(1) H=(1,2,3) H=(1,3,2) H & ={(1),(1,2,3),(1,3,2)}=H \
H(1)=H(1,2,3)=H(1,3,2) & ={(1),(1,2,3),(1,3,2)}=H \
(1,2) H=(1,3) H=(2,3) H & ={(1,2),(1,3),(2,3)} \
H(1,2)=H(1,3)=H(2,3) & ={(1,2),(1,3),(2,3)} .
\end{aligned}
$$
因此$H$是$G$的正常子组。另外，我们注意到$G$可以表示为
$$
G=H \cup(1,2) H .
$$

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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|MATH612

Posted on 2023年7月28日2023年8月25日 by statistics-lab

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Finite Permutation Groups

An appreciation of the importance of permutation groups must be based to some extent on a knowledge of their structures. The basic facts about finite permutation groups are presented in this section, and their importance is revealed in the next two sections.
Suppose $A$ is a finite set of $n$ elements-say,
$$
A=\left{a_1, a_2, \ldots, a_n\right} .
$$
Any permutation $f$ on $A$ is determined by the choices for the $n$ values
$$
f\left(a_1\right), f\left(a_2\right), \ldots, f\left(a_n\right) .
$$
In assigning these values, there are $n$ choices for $f\left(a_1\right)$, then $n-1$ choices of $f\left(a_2\right)$, then $n-2$ choices of $f\left(a_3\right)$, and so on. Thus, there are $n(n-1) \cdots(2)(1)=n$ ! different ways in which $f$ can be defined, and $\mathcal{S}(A)$ has $n$ ! elements. Each element $f$ in $\mathcal{S}(A)$ can be represented by a matrix (rectangular array) in which the image of $a_i$ is written under $a_i$ :
$$
f=\left[\begin{array}{cccc}
a_1 & a_2 & \cdots & a_n \
f\left(a_1\right) & f\left(a_2\right) & \cdots & f\left(a_n\right)
\end{array}\right] .
$$
Each permutation $f$ on $A$ can be made to correspond to a permutation $f^{\prime}$ on $B=$ ${1,2, \ldots, n}$ by replacing $a_k$ with $k$ for $k=1,2, \ldots, n$ :
$$
f^{\prime}=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 2 & \cdots & n \
f^{\prime}(1) & f^{\prime}(2) & \cdots & f^{\prime}(n)
\end{array}\right] .
$$

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Products of Transpositions

If a certain permutation $f$ is expressed as a product of $p$ transpositions and also as a product of $q$ transpositions, then either $p$ and $q$ are both even or $p$ and $q$ are both odd.
$$
\begin{aligned}
& (u \wedge v) \
\Rightarrow & (r \vee s)
\end{aligned} \quad \text { Proof Suppose } \quad f=t_1 t_2 \cdots t_p \text { and } f=t_1^{\prime} t_2^{\prime} \cdots t_q^{\prime}
$$
where each $t_i$ and each $t_j^{\prime}$ are transpositions. With the first factorization, the result of applying $f$ to
$$
P=\prod_{i<j}^n\left(x_i-x_j\right)
$$
can be obtained by successive application of the transpositions $t_p, t_{p-1}, \ldots, t_2, t_1$. By Lemma 4.4, each $t_i$ changes the sign of $P$, so
$$
f(P)=(-1)^p P .
$$
Repeating this same line of reasoning with the second factorization, we obtain
$$
f(P)=(-1)^q P .
$$
This means that
$$
(-1)^p P=(-1)^q P,
$$
and consequently,
$$
(-1)^p=(-1)^q .
$$
Therefore, either $p$ or $q$ are both even or $p$ and $q$ are both odd.

现代代数代考

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Finite Permutation Groups

对置换群重要性的认识必须在一定程度上基于对其结构的了解。有限置换群的基本事实将在本节中介绍，它们的重要性将在接下来的两节中揭示。
假设 $A$ 一个有限的集合是 $n$ 元素，比如说，
$$
A=\left{a_1, a_2, \ldots, a_n\right} .
$$
任意排列 $f$ 在 $A$ 是由选择来决定的 $n$ 价值
$$
f\left(a_1\right), f\left(a_2\right), \ldots, f\left(a_n\right) .
$$
在赋值时，有 $n$ 选择 $f\left(a_1\right)$那么， $n-1$ 选择 $f\left(a_2\right)$那么， $n-2$ 选择 $f\left(a_3\right)$等等。因此，有 $n(n-1) \cdots(2)(1)=n$ ！不同的方式 $f$ 可以定义，并且 $\mathcal{S}(A)$ 有 $n$ ！元素。每个元素 $f$ 在 $\mathcal{S}(A)$ 可以用一个矩阵(矩形数组)来表示其中的图像吗 $a_i$ 写在 $a_i$ ：
$$
f=\left[\begin{array}{cccc}
a_1 & a_2 & \cdots & a_n \
f\left(a_1\right) & f\left(a_2\right) & \cdots & f\left(a_n\right)
\end{array}\right] .
$$
每种排列 $f$ 在 $A$ 能与排列相对应吗 $f^{\prime}$ 在 $B=$ ${1,2, \ldots, n}$ 通过替换 $a_k$ 有 $k$ 为了 $k=1,2, \ldots, n$ ：
$$
f^{\prime}=\left[\begin{array}{cccc}
1 & 2 & \cdots & n \
f^{\prime}(1) & f^{\prime}(2) & \cdots & f^{\prime}(n)
\end{array}\right] .
$$

数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Products of Transpositions

如果某个排列$f$表示为$p$调换的乘积和$q$调换的乘积，则$p$和$q$都是偶数，或者$p$和$q$都是奇数。
$$
\begin{aligned}
& (u \wedge v) \
\Rightarrow & (r \vee s)
\end{aligned} \quad \text { Proof Suppose } \quad f=t_1 t_2 \cdots t_p \text { and } f=t_1^{\prime} t_2^{\prime} \cdots t_q^{\prime}
$$
其中每个$t_i$和$t_j^{\prime}$都是换位。对于第一次因式分解，将$f$应用于
$$
P=\prod_{i<j}^n\left(x_i-x_j\right)
$$
可以通过连续应用换位得到$t_p, t_{p-1}, \ldots, t_2, t_1$。根据引理4.4，每个$t_i$都会改变$P$的符号，所以
$$
f(P)=(-1)^p P .
$$
对第二次因式分解重复同样的推理，我们得到
$$
f(P)=(-1)^q P .
$$
这意味着
$$
(-1)^p P=(-1)^q P,
$$
因此，
$$
(-1)^p=(-1)^q .
$$
因此，$p$和$q$都是偶数，或者$p$和$q$都是奇数。

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微观经济学代写

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

微积分代写

计量经济学代写

MATLAB代写

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数学代写|微积分代写Calculus代写|MTH-211

Posted on 2023年7月28日2023年8月25日 by statistics-lab

如果你也在怎样代写微积分Calculus 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。微积分Calculus 基本上就是非常高级的代数和几何。从某种意义上说，它甚至不是一门新学科——它采用代数和几何的普通规则，并对它们进行调整，以便它们可以用于更复杂的问题。(当然，问题在于，从另一种意义上说，这是一门新的、更困难的学科。)

微积分Calculus数学之所以有效，是因为曲线在局部是直的;换句话说，它们在微观层面上是直的。地球是圆的，但对我们来说，它看起来是平的，因为与地球的大小相比，我们在微观层面上。微积分之所以有用，是因为当你放大曲线，曲线变直时，你可以用正则代数和几何来处理它们。这种放大过程是通过极限数学来实现的。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写微积分Calculus方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写微积分Calculus代写方面经验极为丰富，各种代写微积分Calculus相关的作业也就用不着说。

数学代写|微积分代写Calculus代写|Trigonometric Substitutions

Trigonometric substitutions occur when we replace the variable of integration by a trigonometric function. The most common substitutions are $x=a \tan \theta, x=a \sin \theta$, and $x=a \sec \theta$. These substitutions are effective in transforming integrals involving $\sqrt{a^2+x^2}, \sqrt{a^2-x^2}$, and $\sqrt{x^2-a^2}$ into integrals we can evaluate directly since they come from the reference right triangles in Figure 8.2.

With $x=a \tan \theta$,
$$
a^2+x^2=a^2+a^2 \tan ^2 \theta=a^2\left(1+\tan ^2 \theta\right)=a^2 \sec ^2 \theta .
$$
With $x=a \sin \theta$,
$$
a^2-x^2=a^2-a^2 \sin ^2 \theta=a^2\left(1-\sin ^2 \theta\right)=a^2 \cos ^2 \theta .
$$
With $x=a \sec \theta$,
$$
x^2-a^2=a^2 \sec ^2 \theta-a^2=a^2\left(\sec ^2 \theta-1\right)=a^2 \tan ^2 \theta .
$$
We want any substitution we use in an integration to be reversible so that we can change back to the original variable afterward. For example, if $x=a \tan \theta$, we want to be able to set $\theta=\tan ^{-1}(x / a)$ after the integration takes place. If $x=a \sin \theta$, we want to be able to set $\theta=\sin ^{-1}(x / a)$ when we’re done, and similarly for $x=a \sec \theta$.

As we know from Section 7.6, the functions in these substitutions have inverses only for selected values of $\theta$ (Figure 8.3). For reversibility,
$$
\begin{aligned}
& x=a \tan \theta \text { requires } \theta=\tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \text { with }-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}, \
& x=a \sin \theta \text { requires } \theta=\sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \text { with }-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, \
& x=a \sec \theta \text { requires } \theta=\sec ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \text { with }\left{\begin{array}{l}
0 \leq \theta<\frac{\pi}{2} \text { if } \frac{x}{a} \geq 1, \
\frac{\pi}{2}<\theta \leq \pi \text { if } \frac{x}{a} \leq-1 .
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

数学代写|微积分代写Calculus代写|Integration of Rational Functions by Partial Fractions

This section shows how to express a rational function (a quotient of polynomials) as a sum of simpler fractions, called partial fractions, which are easily integrated. For instance, the rational function $(5 x-3) /\left(x^2-2 x-3\right)$ can be rewritten as
$$
\frac{5 x-3}{x^2-2 x-3}=\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-3} \text {. }
$$
You can verify this equation algebraically by placing the fractions on the right side over a common denominator $(x+1)(x-3)$. The skill acquired in writing rational functions as such a sum is useful in other settings as well (for instance, when using certain transform methods to solve differential equations). To integrate the rational function $(5 x-3) /\left(x^2-2 x-3\right)$ on the left side of our previous expression, we simply sum the integrals of the fractions on the right side:
$$
\begin{aligned}
\int \frac{5 x-3}{(x+1)(x-3)} d x & =\int \frac{2}{x+1} d x+\int \frac{3}{x-3} d x \
& =2 \ln |x+1|+3 \ln |x-3|+C .
\end{aligned}
$$
The method for rewriting rational functions as a sum of simpler fractions is called the method of partial fractions. In the case of the preceding example, it consists of finding constants $A$ and $B$ such that
$$
\frac{5 x-3}{x^2-2 x-3}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-3} .
$$
(Pretend for a moment that we do not know that $A=2$ and $B=3$ will work.) We call the fractions $A /(x+1)$ and $B /(x-3)$ partial fractions because their denominators are only part of the original denominator $x^2-2 x-3$. We call $A$ and $B$ undetermined coefficients until suitable values for them have been found.

微积分代考

数学代写|微积分代写Calculus代写|Trigonometric Substitutions

三角函数替换是指用三角函数替换积分变量。最常见的替换是$x=a \tan \theta, x=a \sin \theta$和$x=a \sec \theta$。这些替换在将涉及$\sqrt{a^2+x^2}, \sqrt{a^2-x^2}$和$\sqrt{x^2-a^2}$的积分转换为我们可以直接计算的积分时是有效的，因为它们来自图8.2中的参考直角三角形。

通过$x=a \tan \theta$，
$$
a^2+x^2=a^2+a^2 \tan ^2 \theta=a^2\left(1+\tan ^2 \theta\right)=a^2 \sec ^2 \theta .
$$
通过$x=a \sin \theta$，
$$
a^2-x^2=a^2-a^2 \sin ^2 \theta=a^2\left(1-\sin ^2 \theta\right)=a^2 \cos ^2 \theta .
$$
通过$x=a \sec \theta$，
$$
x^2-a^2=a^2 \sec ^2 \theta-a^2=a^2\left(\sec ^2 \theta-1\right)=a^2 \tan ^2 \theta .
$$
我们希望我们在积分中使用的任何替换都是可逆的，这样我们就可以在之后把它换回原来的变量。例如，如果是$x=a \tan \theta$，我们希望能够在集成发生后设置$\theta=\tan ^{-1}(x / a)$。对于$x=a \sin \theta$，我们希望在完成后能够设置$\theta=\sin ^{-1}(x / a)$，对于$x=a \sec \theta$也是如此。

正如我们在7.6节中所知道的，这些替换中的函数只对$\theta$的选定值有逆(图8.3)。对于可逆性，
$$
\begin{aligned}
& x=a \tan \theta \text { requires } \theta=\tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \text { with }-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}, \
& x=a \sin \theta \text { requires } \theta=\sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \text { with }-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, \
& x=a \sec \theta \text { requires } \theta=\sec ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \text { with }\left{\begin{array}{l}
0 \leq \theta<\frac{\pi}{2} \text { if } \frac{x}{a} \geq 1, \
\frac{\pi}{2}<\theta \leq \pi \text { if } \frac{x}{a} \leq-1 .
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

数学代写|微积分代写Calculus代写|Integration of Rational Functions by Partial Fractions

本节展示如何将有理函数(多项式的商)表示为易于积分的简单分数(称为部分分数)的和。例如，有理函数$(5 x-3) /\left(x^2-2 x-3\right)$可以重写为
$$
\frac{5 x-3}{x^2-2 x-3}=\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-3} \text {. }
$$
你可以用代数方法验证这个等式，把分数放在右边的公分母$(x+1)(x-3)$上。将有理函数写成这样的和的技巧在其他情况下也很有用(例如，当使用某些变换方法来解微分方程时)。要对前面表达式左边的有理函数$(5 x-3) /\left(x^2-2 x-3\right)$积分，我们只需对右边分数的积分求和:
$$
\begin{aligned}
\int \frac{5 x-3}{(x+1)(x-3)} d x & =\int \frac{2}{x+1} d x+\int \frac{3}{x-3} d x \
& =2 \ln |x+1|+3 \ln |x-3|+C .
\end{aligned}
$$
把有理函数写成简单分数和的方法叫做部分分数法。在前面的例子中，它包括查找常量$A$和$B$，以便
$$
\frac{5 x-3}{x^2-2 x-3}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-3} .
$$
(暂时假设我们不知道$A=2$和$B=3$会正常工作。)我们称分数为$A /(x+1)$和$B /(x-3)$部分分数因为它们的分母只是原分母$x^2-2 x-3$的一部分。我们称$A$和$B$为待定系数，直到找到适合它们的值。

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数学代写|微积分代写Calculus代写|MTH251

Posted on 2023年7月28日2023年8月25日 by statistics-lab

数学代写|微积分代写Calculus代写|Inverse Hyperbolic Functions

The inverses of the six basic hyperbolic functions are very useful in integration . Since $d(\sinh x) / d x=\cosh x>0$, the hyperbolic sine is an increasing function of $x$. We denote its inverse by
$$
y=\sinh ^{-1} x .
$$
For every value of $x$ in the interval $-\infty<x<\infty$, the value of $y=\sinh ^{-1} x$ is the number whose hyperbolic sine is $x$. The graphs of $y=\sinh x$ and $y=\sinh ^{-1} x$ are shown in Figure 7.32a.

The function $y=\cosh x$ is not one-to-one because its graph in Table 7.5 does not pass the horizontal line test. The restricted function $y=\cosh x, x \geq 0$, however, is oneto-one and therefore has an inverse, denoted by
$$
y=\cosh ^{-1} x .
$$

For every value of $x \geq 1, y=\cosh ^{-1} x$ is the number in the interval $0 \leq y<\infty$ whose hyperbolic cosine is $x$. The graphs of $y=\cosh x, x \geq 0$, and $y=\cosh ^{-1} x$ are shown in Figure 7.32b.

Like $y=\cosh x$, the function $y=\operatorname{sech} x=1 / \cosh x$ fails to be one-to-one, but its restriction to nonnegative values of $x$ does have an inverse, denoted by
$$
y=\operatorname{sech}^{-1} x .
$$
For every value of $x$ in the interval $(0,1], y=\operatorname{sech}^{-1} x$ is the nonnegative number whose hyperbolic secant is $x$. The graphs of $y=\operatorname{sech} x, x \geq 0$, and $y=\operatorname{sech}^{-1} x$ are shown in Figure 7.32c.

The hyperbolic tangent, cotangent, and cosecant are one-to-one on their domains and therefore have inverses, denoted by
$$
y=\tanh ^{-1} x, \quad y=\operatorname{coth}^{-1} x, \quad y=\operatorname{csch}^{-1} x .
$$
These functions are graphed in Figure 7.33.

数学代写|微积分代写Calculus代写|Useful Identities

We use the identities in Table 7.9 to calculate the values of $\operatorname{sech}^{-1} x, \operatorname{csch}^{-1} x$, and $\operatorname{coth}^{-1} x$ on calculators that give only $\cosh ^{-1} x, \sinh ^{-1} x$, and $\tanh ^{-1} x$. These identities are direct consequences of the definitions. For example, if $0<x \leq 1$, then
$$
\operatorname{sech}\left(\cosh ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\frac{1}{\cosh \left(\cosh ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)}=\frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)}=x .
$$
We also know that $\operatorname{sech}\left(\operatorname{sech}^{-1} x\right)=x$, so because the hyperbolic secant is one-to-one on $(0,1]$, we have
$$
\cosh ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\operatorname{sech}^{-1} x
$$

微积分代考

数学代写|微积分代写Calculus代写|Inverse Hyperbolic Functions

六个基本双曲函数的逆在积分中非常有用。由于$d(\sinh x) / d x=\cosh x>0$，双曲正弦函数是$x$的递增函数。我们用
$$
y=\sinh ^{-1} x .
$$
对于区间$-\infty<x<\infty$中每个$x$的值，$y=\sinh ^{-1} x$的值是双曲正弦值为$x$的数。$y=\sinh x$和$y=\sinh ^{-1} x$的曲线图如图7.32a所示。

函数$y=\cosh x$不是一对一的，因为它在表7.5中的图形没有通过水平线检验。然而，受限函数$y=\cosh x, x \geq 0$是一对一的，因此有一个逆，表示为
$$
y=\cosh ^{-1} x .
$$

对于$x \geq 1, y=\cosh ^{-1} x$的每个值，表示在$0 \leq y<\infty$区间内的双曲余弦值为$x$的数。$y=\cosh x, x \geq 0$和$y=\cosh ^{-1} x$的曲线图如图7.32b所示。

像$y=\cosh x$一样，函数$y=\operatorname{sech} x=1 / \cosh x$不是一对一的，但是它对$x$的非负值的限制确实有一个逆，表示为
$$
y=\operatorname{sech}^{-1} x .
$$
对于区间内$x$的每一个值$(0,1], y=\operatorname{sech}^{-1} x$都是其双曲正割为$x$的非负数。$y=\operatorname{sech} x, x \geq 0$和$y=\operatorname{sech}^{-1} x$的图形如图7.32c所示。

双曲正切，余切和余割在它们的定义域上是一对一的，因此有逆，表示为
$$
y=\tanh ^{-1} x, \quad y=\operatorname{coth}^{-1} x, \quad y=\operatorname{csch}^{-1} x .
$$
这些函数如图7.33所示。

数学代写|微积分代写Calculus代写|Useful Identities

我们使用表7.9中的恒等式在只给出$\cosh ^{-1} x, \sinh ^{-1} x$和$\tanh ^{-1} x$的计算器上计算$\operatorname{sech}^{-1} x, \operatorname{csch}^{-1} x$和$\operatorname{coth}^{-1} x$的值。这些恒等式是定义的直接结果。例如，如果$0<x \leq 1$，则
$$
\operatorname{sech}\left(\cosh ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\frac{1}{\cosh \left(\cosh ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)}=\frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)}=x .
$$
我们还知道$\operatorname{sech}\left(\operatorname{sech}^{-1} x\right)=x$，因为双曲正割在$(0,1]$上是一对一的，我们有
$$
\cosh ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\operatorname{sech}^{-1} x
$$

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