分类: 有限元方法代写

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|EG3001

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有限元法是一种系统的方法,将无限维函数空间中的函数首先转换为有限维函数空间中的函数,最后转换为用数值方法可以处理的普通向量。

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数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|EG3001

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Principal stresses and directions

Infinitely many planes can pass through a given point in a continuum, such as the plane that gives rise to the tetrahedron shown in Fig. 2.3. The normal and shear traction components $\sigma_{n n}$ and $\sigma_{n t}$ will vary according to the orientation of the cutting-plane. It is reasonable to assume that among these planes, there is one on which the shear tractions vanish, i.e., $\sigma_{n t}=0$. This plane is called the principal plane, and its orientation is called the principal orientation $\vec{n}{p}$. The normal component of the traction $\sigma{n n}$ acting on the principle plane has the magnitude $\lambda$ and it is named the principal stress.

The traction acting on the principal plane can be expressed by a simple vector argument and by using Eq. (2.17a) as follows:
$$
\begin{aligned}
&\vec{T}{n{p}}=\lambda \vec{n}{p} \ &\vec{T}{n_{p}}=[\sigma]^{T}\left{n_{p}\right}
\end{aligned}
$$
By combining these two relationships, we find,
$$
\begin{aligned}
\lambda\left(n_{p_{x}} \hat{i}+n_{p_{y}} \hat{j}+n_{p_{z}} \hat{k}\right)=& {\left[\left(\sigma_{x x} n_{p_{x}}+\tau_{y x} n_{p_{y}}+\tau_{z x} n_{p_{z}}\right) \hat{i}+\left(\tau_{x y} n_{p_{x}}+\sigma_{y y} n_{p_{y}}+\tau_{y y} n_{p_{z}}\right) \hat{j}\right.} \
&\left.+\left(\tau_{x z} n_{p_{x}}+\tau_{y z} n_{p_{y}}+\sigma_{z z} n_{p_{z}}\right) \hat{k}\right]
\end{aligned}
$$
The following system of equations can be obtained for the unknown vector components of the normal vector of the principle plane from this relationship,
$$
\begin{aligned}
\left(\sigma_{x x} n_{p_{x}}+\tau_{y x} n_{p_{y}}+\tau_{z x} n_{p_{z}}\right) &=\lambda n_{p_{x}} \
\left(\tau_{x y} n_{p_{x}}+\sigma_{y y} n_{p_{y}}+\tau_{z y} n_{p_{z}}\right.&=\lambda n_{p_{y}} \
\left(\tau_{x z} n_{p_{x}}+\tau_{y z} n_{p_{y}}+\sigma_{z z} n_{p_{z}}\right) &=\lambda n_{p_{z}}
\end{aligned}
$$
This equation can be represented in matrix form as follows:
$$
\left[\begin{array}{ccc}
\left(\sigma_{x x}-\lambda\right) & \tau_{y x} & \tau_{z x} \
\tau_{x y} & \left(\sigma_{y y}-\lambda\right) & \tau_{z y} \
\tau_{x z} & \tau_{y z} & \left(\sigma_{z z}-\lambda\right)
\end{array}\right]\left{\begin{array}{l}
n_{p_{x}} \
n_{p_{y}} \
n_{p_{z}}
\end{array}\right}=0
$$
or,
$$
([\sigma]-\lambda[I])\left{n_{p}\right}=0
$$
where $[I]$ is the identity matrix. This relationship represents the equilibrium of the principal stress $\lambda$ acting on the principal plane $\vec{n}_{p}$.

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Deformation and strain

When subjected to external forces, an internal material point located, for example, at position $P$ before the loading, moves to point $P^{\prime}$ as depicted in two dimensions (a two-dimensional solid) in Fig. 2.6. The position of all material points in this solid domain are referred to a fixed Cartesian reference frame, and the position of point $P^{\prime}$ is found as follows (Fig. 2.6):
$$
\vec{r}{p^{\prime}}=\vec{r}{p}+\vec{u}
$$
where $\vec{u}$ is the deformation vector. For a general deformation in threedimensional space, the deformation vector is represented as follows:
$$
\vec{u}=u_{x} \hat{i}+u_{y} \hat{j}+u_{z} \hat{k}
$$
where $u_{x}, u_{y}$, and $u_{z}$ are the projections of $\vec{u}$ onto the $x, y$, and $z$ axes, respectively.

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|EG3001

有限元方法代考

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Principal stresses and directions

无限多的平面可以通过连续体中的给定点,例如产生图 $2.3$ 所示四面体的平面。法向和剪切牵引分量 $\sigma_{n n}$ 和 $\sigma_{n t}$ 将 根据切割平面的方向而变化。可以合理地假设,在这些平面中,存在一个剪切力消失的平面,即 $\sigma_{n t}=0$. 该平面 称为主平面,其方位称为主方位 $\vec{n} p$. 牵引的法向分量 $\sigma n n$ 作用在主平面上的大小 $\lambda$ 并命名为主应力。
作用在主平面上的牵引力可以用一个简单的向量参数和使用方程来表示。(2.17a) 如下:
通过结合这两种关系,我们发现,
$$
\lambda\left(n_{p_{x}} \hat{i}+n_{p_{y}} \hat{j}+n_{p_{z}} \hat{k}\right)=\left[\left(\sigma_{x x} n_{p_{x}}+\tau_{y x} n_{p_{y}}+\tau_{z x} n_{p_{z}}\right) \hat{i}+\left(\tau_{x y} n_{p_{x}}+\sigma_{y y} n_{p_{y}}+\tau_{y y} n_{p_{z}}\right) \hat{j} \quad+\left(\tau_{x z} r\right.\right.
$$
由该关系可以得到主平面法向量的末知向量分量的方程组如下:
$$
\left(\sigma_{x x} n_{p_{x}}+\tau_{y x} n_{p_{y}}+\tau_{z x} n_{p_{z}}\right)=\lambda n_{p_{x}}\left(\tau_{x y} n_{p_{x}}+\sigma_{y y} n_{p_{y}}+\tau_{z y} n_{p_{z}} \quad=\lambda n_{p_{y}}\left(\tau_{x z} n_{p_{x}}+\tau_{y z} n_{p_{y}}+\sigma_{z z} n_{p_{z}}\right.\right.
$$
这个方程可以用矩阵形式表示如下:
或者,
在哪里 $[I]$ 是单位矩阵。这种关系代表主应力的平衡 $\lambda$ 作用于主平面 $\vec{n}_{p}$.

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Deformation and strain

当受到外力时,内部材料点位于,例如,位置 $P$ 加载前,移动到点 $P^{\prime}$ 如图 $2.6$ 中的二维 (二维实体) 所示。该实体 域中所有质点的位置均以固定的笛卡尔坐标系为参考,点的位置为 $P^{\prime}$ 发现如下(图 2.6) :
$$
\vec{r} p^{\prime}=\vec{r} p+\vec{u}
$$
在哪里 $\vec{u}$ 是变形向量。对于三维空间中的一般变形,变形向量表示如下:
$$
\vec{u}=u_{x} \hat{i}+u_{y} \hat{j}+u_{z} \hat{k}
$$
在哪里 $u_{x}, u_{y}$ ,和 $u_{z}$ 是的预测 $\vec{u}$ 到 $x, y$ ,和 $z$ 轴,分别。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
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STATA代写机器学习/统计学习代写
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EVIEWS代写时间序列分析代写
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数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Stress transformations

The state of stress of the point $P^{\prime}$ is expressed by the stress tensor in the global, Cartesian, coordinates $(x, y, z)$ by Eq. (2.5). However, the choice of this coordinate system and the small volume $(d V=d x . d y . d z)$ is arbitrary. We would like to be able to transform the stress state between different orientations.
In order to develop these transformations, we consider an oblique crosssection of the hexahedron by a plane of arbitrary, but known orientation. This results in the tetrahedral volume on one side of the plane as shown in Fig. 2.3. The traction components $\vec{T}{x}, \vec{T}{y}, \vec{T}{z}$, and $\vec{T}{n}$, acting on the small triangular areas $\Delta A_{x}, \Delta A_{y}, \Delta A_{z}$ and $\Delta A_{n}$, respectively, must be in static equilibrium in order to keep the continuum whole. Let us look into the arbitrary plane in more detail before we state this equilibrium condition.

The orientation of the plane is identified by its outward unit normal $\vec{n}$, as shown in the figure. The unit normal is defined as follows:
$$
\vec{n}=n_{x} \hat{i}+n_{y} \hat{j}+n_{z} \hat{k}
$$
in Cartesian coordinate system. In vector notation, the unit normal is expressed as follows:
$$
{n}=\left{\begin{array}{lll}
n_{x} & n_{y} & n_{z}
\end{array}\right}^{T}
$$
The components $n_{x}, n_{y}$, and $n_{z}$ are the direction cosines of $\vec{n}$ with respect to the $(x, y, z)$ axes, and have the property,
$$
n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}=1
$$

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Normal and shear components of tractions

Traction $\vec{T}{n}$ on an oblique plane $\vec{n}$ can be expressed by using the normal and shear components on the plane as follows: $$ \vec{T}{n}=\sigma_{n n} \cdot \vec{n}+\sigma_{n t} \cdot \vec{t}
$$
where the normal and tangential traction components are $\sigma_{n n}$ and $\sigma_{n t}$, respectively. These components can be found as follows:
$$
\sigma_{n n}=\vec{T}{n} \cdot \vec{n} \quad \text { and } \quad \sigma{n t}=\vec{T}{n} \cdot \vec{t} $$ where $\vec{t}$ is a unit vector in the oblique the plane, which has the unit normal $\vec{n}$. The vector $\vec{t}$ has following components expressed in the global Cartesian system, $$ \vec{t}=t{x} \hat{i}+t_{y} \hat{j}+t_{z} \hat{k} \quad \text { or } \quad{t}=\left{\begin{array}{lll}
t_{x} & t_{y} & t_{z}
\end{array}\right}^{T}
$$
The normal component of the traction $\vec{T}{n}$ is found by using Eqs. (2.16) and (2.20) as follows: $$ \begin{aligned} \sigma{n n}=& \vec{T}{n} \cdot \vec{n}=\left([\sigma]^{T} \cdot{n}\right) \cdot{n} \ =& {\left[\left(\sigma{x x} n_{x}+\tau_{y x} n_{y}+\tau_{z x} n_{z}\right) \hat{i}+\left(\tau_{x y} n_{x}+\sigma_{y y} n_{y}+\tau_{z y} n_{z}\right) \hat{j}\right.} \
&\left.+\left(\tau_{x z} n_{x}+\tau_{y z} n_{y}+\sigma_{z z} n_{z}\right) \hat{k}\right] \cdot\left(n_{x} \hat{i}+n_{y} \hat{j}+n_{z} \hat{k}\right)
\end{aligned}
$$
or, after rearranging,
$$
\begin{aligned}
\sigma_{n n}=&\left(\sigma_{x x} n_{x}+\tau_{y x} n_{y}+\tau_{z x} n_{z}\right) n_{x}+\left(\tau_{x y} n_{x}+\sigma_{y y} n_{y}+\tau_{z y} n_{z}\right) n_{y} \
&+\left(\tau_{x z} n_{x}+\tau_{y z} n_{y}+\sigma_{z z} n_{z}\right) n_{z}
\end{aligned}
$$
Similarly, the tangential component of the traction $\vec{T}{n}$ is found as follows: $$ \begin{aligned} \sigma{n t}=&\left(\sigma_{x x} n_{x}+\tau_{y x} n_{y}+\tau_{z x} n_{z}\right) t_{x}+\left(\tau_{x y} n_{x}+\sigma_{y y} n_{y}+\tau_{z y} n_{z}\right) t_{y} \
&+\left(\tau_{x z} n_{x}+\tau_{y z} n_{y}+\sigma_{z z} n_{z}\right) t_{z}
\end{aligned}
$$
In fact, Eqs. (2.22) and (2.23) can be used to transform the stresses to any orientation $\vec{n}$ and $\vec{t}$.

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有限元方法代考

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Stress transformations

点的应力状态 $P^{\prime}$ 由全局、笛卡尔、坐标中的应力张量表示 $(x, y, z)$ 由等式。(2.5)。但是这个坐标系的选择和体积小 $(d V=d x . d y . d z)$ 是任意的。我们希望能够在不同方向之间转换应力状态。
为了发展这些变换,我们考虑了六面体的斜截面,该平面具有任意但已知方向的平面。这导致平面一侧的四面体体 积如图 $2.3$ 所示。牵引组件 $\vec{T} x, \vec{T} y, \vec{T} z$ ,和 $\vec{T} n$ ,作用于小三角形区域 $\Delta A_{x}, \Delta A_{y}, \Delta A_{z}$ 和 $\Delta A_{n}$ ,分别必须处 于静态平衡,以保持连续体的整体。在我们陈述这个平衡条件之前,让我们更详细地研究一下任意平面。
平面的方向由其向外的单位法线确定 $\vec{n}$ ,如图所示。单位法线定义如下:
$$
\vec{n}=n_{x} \hat{i}+n_{y} \hat{j}+n_{z} \hat{k}
$$
在笛卡尔坐标系中。在矢量符号中,单位法线表示如下:
${n}=|$ left $\left{\right.$ begin ${a r r a y}{| l}_{-}{x} \& n_{-}{y} \& n_{-}{z} \backslash$ lend ${a r r a y} \backslash r_{i g h t} \wedge \wedge{T}$
组件 $n_{x}, n_{y}$ ,和 $n_{z}$ 是方向余弦 $\vec{n}$ 相对于该 $(x, y, z)$ 轴,并具有属性,
$$
n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}=1
$$

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牵引力 $\vec{T} n$ 在斜面上 $\vec{n}$ 可以用平面上的法向分量和剪切分量表示如下:
$$
\vec{T} n=\sigma_{n n} \cdot \vec{n}+\sigma_{n t} \cdot \vec{t}
$$
其中法向和切向牵引分量是 $\sigma_{n n}$ 和 $\sigma_{n t}$ ,分别。这些组件如下所示:
$$
\sigma_{n n}=\vec{T} n \cdot \vec{n} \quad \text { and } \quad \sigma n t=\vec{T} n \cdot \vec{t}
$$
在哪里 $\vec{t}$ 是斜平面上的单位向量,具有单位法线 $\vec{n}$. 向量 $\vec{t}$ 具有以下在全局笛卡尔系统中表示的组件,
㸻引的法向分量 $\vec{T} n$ 是通过使用方程式找到的。(2.16) 和 (2.20) 如下:
$$
\sigma n n=\vec{T} n \cdot \vec{n}=\left([\sigma]^{T} \cdot n\right) \cdot n=\quad\left[\left(\sigma x x n_{x}+\tau_{y x} n_{y}+\tau_{z x} n_{z}\right) \hat{i}+\left(\tau_{x y} n_{x}+\sigma_{y y} n_{y}+\tau_{z y} n_{z}\right) \hat{j}+\left(\tau_{x z}\right.\right.
$$
或者,重新排列后,
$$
\sigma_{n n}=\left(\sigma_{x x} n_{x}+\tau_{y x} n_{y}+\tau_{z x} n_{z}\right) n_{x}+\left(\tau_{x y} n_{x}+\sigma_{y y} n_{y}+\tau_{z y} n_{z}\right) n_{y} \quad+\left(\tau_{x z} n_{x}+\tau_{y z} n_{y}+\sigma_{z z} n_{z}\right) n_{z}
$$
同样,牵引力的切向分量 $\vec{T} n$ 发现如下:
$$
\sigma n t=\left(\sigma_{x x} n_{x}+\tau_{y x} n_{y}+\tau_{z x} n_{z}\right) t_{x}+\left(\tau_{x y} n_{x}+\sigma_{y y} n_{y}+\tau_{z y} n_{z}\right) t_{y} \quad+\left(\tau_{x z} n_{x}+\tau_{y z} n_{y}+\sigma_{z z} n_{z}\right) t_{z}
$$
事实上,方程式。(2.22) 和 (2.23) 可用于将应力转换为任何方向 $\vec{n}$ 和 $\vec{t}$.

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Solution methods

In this work, modeling refers to mathematical formulation of a physical process. This requires background in the related subjects, certain mathematical tools, and experimental observations. In Chapter 2, we present the formulation of models for deformation of elastic solids and transfer and storage of thermal energy in solids and fluids. Solution of the mathematical model can be a challenging task and forms the general background of this work. Analytical solutions which can be expressed as relatively straight forward relationships between the dependent and independent variables exist only for a relatively small number of situations where the geometry and the physical nature of the problem can be simplified. Numerical methods are used otherwise. Among the numerical solution methods for solving PDEs are the finite difference, variational, and finite element methods.

The finite difference method (FDM) is implemented on the differential form of the BVP. The derivative operators of the PDE are approximated by finite difference operators. The solution domain is discretized in to a grid, and the unknowns are the values of the dependent variable at the nodes. The discretized version of the PDE is evaluated at each grid point. This results in a set of algebraic equations which can be represented in matrix form,
$$
[K]{D}={R}
$$
where $[K]$ is the stiffness matrix representing the discretized form of the partial derivatives, ${D}$ is the vector of unknown nodal values of the dependent variable, and ${R}$ is the loading vector representing the external effects. The boundary conditions often require specialized treatment of the finite difference operators and modify the $[K]$ matrix. The FDM is effective over relatively simple shapes such as rectangular and cylindrical domains in two-dimensional problems and parallelepiped or spherical domains in three-dimensional problems.

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Mathematical modeling of physical systems

The goal of this chapter is to give brief descriptions to modeling of deformation of linear elastic solids and thermal energy transfer and storage in physical systems. More detailed discussion of these topics can be found in the specialized references provided at the end of this chapter. Our goal is to demonstrate how to obtain mathematical models (representations) of physical systems by using the fundamental laws of physics. Thus, we will show that deformation of elastic solids can be describéd by using Newton’s laws of motion. This will reesult in equations of motion represented as partial differential equations. Vibration of a long and slender bar (Section 2.1), deflection of a general deformable body (Section 2.2), and deflection of beams (Section 2.3) constitute examples of such systems. The principle of conservation of energy will be used to describe effects of heat transfer in a continuum (Section 2.4).

When a deformable body is subjected to external effects such as external forces and/or imposed displacements on its boundary, its shape will change and internal forces will develop throughout its volume. The level of deformation for given external effects depends on the material of the deformable body. In this section, the equations of motion for small deflections of linear, elastic materials are presented. In particular, we are interested in small deformations of linear, elastic solids. To this end, following are discussed: $i$ ) concepts of external and internal forces and the concept of stress, ii) elastic deformations and the concept of small strain, iii) linear elastic constitutive relations, iv) balance laws, and $v$ ) total potential energy of a deformable body.

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|JEE350

有限元方法代考

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Solution methods

在这项工作中,建模是指物理过程的数学公式。这需要相关学科的背景、某些数学工具和实验观察。在第 2 章中, 我们介绍了弹性固体变形以及固体和流体中热能传递和存储的模型的制定。数学模型的求解可能是一项具有挑战性 的任务,并构成了这项工作的一般背景。可以表示为因变量和自变量之间相对直截了当的关系的解析解仅存在于可 以简化问题的几何和物理性质的相对少数情况。否则使用数值方法。求解 PDE 的数值求解方法包括有限差分法、 变分法、
有限差分法 (FDM) 是在 BVP 的微分形式上实现的。PDE 的导数算子由有限差分算子逼近。解决方案域被离散化为 网格,末知数是节点处因变量的值。在每个网格点评估 PDE 的离散版本。这导致了一组代数方程,可以用矩阵形 式表示,
$$
[K] D=R
$$
在哪里 $[K]$ 是表示偏导数的离散形式的刚度矩阵, $D$ 是因变量的末知节点值的向量,并且 $R$ 是表示外部效应的加载 向量。边界条件通常需要对有限差分算子进行专门处理并修改 $[K]$ 矩阵。FDM 对相对简单的形状有效,例如二维问 题中的矩形和圆柱形域以及三维问题中的平行六面体或球形域。

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Mathematical modeling of physical systems

本章的目的是简要描述线弹性固体的变形建模以及物理系统中的热能传递和存储。有关这些主题的更详细讨论,请参见本章末尾提供的专业参考资料。我们的目标是演示如何通过使用物理基本定律来获得物理系统的数学模型(表示)。因此,我们将证明弹性固体的变形可以用牛顿运动定律来描述。这将导致运动方程表示为偏微分方程。细长杆的振动(第 2.1 节)、一般可变形体的偏转(第 2.2 节)和梁的偏转(第 2.3 节)构成了此类系统的示例。

当可变形物体受到外部影响,例如外力和/或在其边界上施加位移时,其形状将发生变化,并且内力将在其整个体积中产生。给定外部效应的变形程度取决于可变形体的材料。在本节中,介绍了线性弹性材料小变形的运动方程。特别是,我们对线性弹性固体的小变形感兴趣。为此,讨论以下内容:一世) 外力和内力的概念和应力的概念,ii) 弹性变形和小应变的概念,iii) 线弹性本构关系,iv) 平衡定律,以及在) 可变形物体的总势能。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Find2022

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有限元法是一种系统的方法,将无限维函数空间中的函数首先转换为有限维函数空间中的函数,最后转换为用数值方法可以处理的普通向量。

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数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Find2022

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Boundary and initial value problems

Consider a system with dependent variables $u, v$, and $w$ defined over a domain $\Omega$, which itself occupies a subsection of space (Fig. 1.1). In general, each variable can take different values at different points in the domain and these values can also vary in time. Spatial position of a point $P$ in the domain $\Omega$ can be identified with respect to a spatial reference system (e.g., $(x, y, z)$ ). If the position of point $P$ also varies in time, the position of point $P$ is said to be time dependent. Thus, for example, if $u$ is a function of space and time $u=u(x, y, z, t)$. In these notes, we will consider boundary value problems (BVPs) and initial value problems that are formulated by using PDEs. A very general representation of such a problem can be given as follows:
$$
\mathcal{L}(u, v, w)=f \text { in } \Omega, \text { for } 0 \leq t \leq \tau
$$
where $\mathcal{L}(\cdot)$ is a differential operator of independent spatial variables $x, y, z$ and time $t, f=f(x, y, z, t)$ is typically a function that represents the internal effects that act on the system, and $\tau$ is the duration of interest.

The dependent variables interact with the outside of the domain $\Omega$ through the boundary $\Gamma$ of the domain, and typically experience changes as a result of the external effects that are imposed on the boundary. These external effects are known as the boundary conditions which depend on the physics of the problem.

The Dirichlet boundary condition represents a prescribed value for a dependent variable,
$$
u=u_{b}(t) \text { on } \Gamma_{E}
$$
Here the variable $u$ of the solution domain is prescribed to $u_{b}$ on a segment of the boundary $\Gamma_{E}$. In general, this prescribed variable can be a function of time $t$. The Dirichlet boundary condition is also known as the essential boundary condition.
The von Neumann boundary condition typically describes the external effects that cause a change in the system. Such effects include external forces, heat flow, etc. As we will demonstrate later in the notes, the von Neumann boundary conditions are typically represented as follows:
$$
\mathcal{B}(u, v, w)=g(t) \text { on } \Gamma_{N}
$$
where $\mathcal{B}(\cdot)$ is another differential operator, $g$ is a given function, and $\Gamma_{N}$ represents the segment of the boundary over which the von Neumann boundary condition is applied. The von Neumann boundary condition, also known as the natural boundary condition or the nonessential boundary condition, can also vary in time.

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Boundary value problems

In some problems, only the steady state of the dependent variables is of interest and the temporal variation is neglected (or negligible). Thus, for example, $u$ becomes only a function of the spatial dimensions $u=u(x, y, z)$. A steady state boundary value problem can be formulated by dropping the time dependence as follows:
$$
\mathcal{L}(u, v, w)=f \text { in } \Omega
$$
where for a boundary value problem $\mathcal{L}(\cdot)$ is a differential operator of the independent spatial variables $(x, y, z)$ and $f=f(x, y, z)$. A steady state boundary value problem is also subject to the Dirichlet and/or von Neumann conditions on the boundary of the domain.
Example 1.1 Equation of motion of a solid bar
a) Derive the equation of motion of an elastic bar in terms of its deflection $u(x, t)$. Initially, assume that the bar has a variable cross-sectional area $A(x)$ and that it is subjected to distributed axial load $q(x, t)$ and a concentrated force $F$ at its free end as shown in Fig. 1.2. Also assume small deflections, linear elastic material behavior with constant elastic modulus $E$, and constant mass density $\rho$.
b) Obtain the steady state solution for the case of constant cross-section and zero distributed force.

Solution 1.1a: The solution domain $\Omega$ for this problem spans $0<x<L$. The boundaries $\Gamma$ of the solution domain are located at $x=0$ and $x=L$. Internal forces develop in the bar in response to external loading. The internal normal force $N(x)$ at the cross-section $x$ can be defined as follows:
$$
N(x)=\bar{\sigma}(x) A(x)
$$
where the average normal stress $\bar{\sigma}$ is defined as follows:
$$
\bar{\sigma}(x)=\frac{1}{A(x)} \int_{A(x)} \sigma d A
$$
and where $\sigma$ is the internal normal stress, $A$ is the cross-sectional area of the bar.

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Find2022

有限元方法代考

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Boundary and initial value problems

考虑一个具有因变量的系统 $u, v$ ,和 $w$ 在域上定义 $\Omega$ ,它本身占据了一部分空间(图 1.1)。一般来说,每个变量 可以在域中的不同点取不同的值,这些值也可以随时间变化。点的空间位置 $P$ 在域中 $\Omega$ 可以相对于空间参考系统 (例如, $(x, y, z)$ ) 。如果点的位置 $P$ 也随时间变化,点的位置 $P$ 据说是时间依赖的。因此,例如,如果 $u$ 是空间 和时间的函数 $u=u(x, y, z, t)$. 在这些笔记中,我们将考虑使用 PDE 制定的边值问题 (BVP) 和初始值问题。可以 如下给出此类问题的非常一般的表示:
$$
\mathcal{L}(u, v, w)=f \text { in } \Omega, \text { for } 0 \leq t \leq \tau
$$
在哪里 $\mathcal{L}(\cdot)$ 是独立空间变量的微分算子 $x, y, z$ 和时间 $t, f=f(x, y, z, t)$ 通常是表示作用于系统的内部效应的函 数,并且 $\tau$ 是感兴趣的持续时间。
因变量与域外部交互 $\Omega$ 通过边界 $\Gamma$ 域,并且通常会由于施加在边界上的外部影响而经历变化。这些外部效应被称为 边界条件,它取决于问题的物理特性。
Dirichlet 边界条件表示因变量的规定值,
$$
u=u_{b}(t) \text { on } \Gamma_{E}
$$
这里的变量 $u$ 解决方案域的规定为 $u_{b}$ 在边界的一部分上 $\Gamma_{E}$. 一般来说,这个规定的变量可以是时间的函数 $t$. 狄利克 雷边界条件也称为本质边界条件。
冯诺依曼边界条件通常描述引起系统变化的外部效应。这种影响包括外力、热流等。正如我们将在后面的注释中演 示的那样,冯诺依曼边界条件通常表示如下:
$$
\mathcal{B}(u, v, w)=g(t) \text { on } \Gamma_{N}
$$
在哪里 $\mathcal{B}(\cdot)$ 是另一个微分算子, $g$ 是给定的函数,并且 $\Gamma_{N}$ 表示应用冯诺依曼边界条件的边界段。冯诺依曼边界条 件,也称为自然边界条件或非本质边界条件,也可以随时间变化。

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Boundary value problems

在某些问题中,仅对因变量的稳态感兴趣,而时间变化被忽略(或可忽略不计)。因此,例如, $u$ 仅成为空间维度 的函数 $u=u(x, y, z)$. 一个稳态边值问题可以通过去掉时间依赖性来表述如下:
$$
\mathcal{L}(u, v, w)=f \text { in } \Omega
$$
哪里是边值问题 $\mathcal{L}(\cdot)$ 是独立空间变量的微分算子 $(x, y, z)$ 和 $f=f(x, y, z)$. 稳态边值问题也受到域边界上的 Dirichlet 和/或 von Neumann 条件的影响。
示例 $1.1$ 实心杆
的运动方程 a) 根据其偏转推导弹性杆的运动方程 $u(x, t)$. 最初,假设钢筋具有可变的横截面积 $A(x)$ 并且它受到分 布的轴向载荷 $q(x, t)$ 和集中的力量 $F$ 在其自由端,如图 $1.2$ 所示。还假设具有恒定弹性模量的小变形、线弹性材料 行为 $E$, 和恒定的质量密度 $\rho$.
b) 获得恒定截面和零分布力情况下的稳态解。
解决方案 1.1a:解决方案域 $\Omega$ 对于这个问题跨越 $0<x<L$. 边界 $\Gamma$ 的解决方案域位于 $x=0$ 和 $x=L$. 响应外部 载荷,杆中会产生内力。内部法向力 $N(x)$ 在横截面 $x$ 可以定义如下:
$$
N(x)=\bar{\sigma}(x) A(x)
$$
其中平均法向应力 $\bar{\sigma}$ 定义如下:
$$
\bar{\sigma}(x)=\frac{1}{A(x)} \int_{A(x)} \sigma d A
$$
和在哪里 $\sigma$ 是内部法向应力, $A$ 是钢筋的横截面积。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|General remarks

From the material presented in Sections $1.2-1.4$ it is clear that one could entertain any of the methods of approximation listed in Section 1.2, spacetime coupled, or space-time decoupled approaches for obtaining numerical solutions of the IVPs.

In this book we only consider finite element method in conjunction with space-time coupled and space-time decoupled approaches for obtaining numerical solutions of the IVPs. The finite element method for both approaches has rigorous mathematical foundation, hence in this approach it is always possible to ascertain feasibility, stability, and accuracy of the resulting computational processes. Error estimation, error computation, convergence, and convergence rates are additional meritorious features of the finite element processes for IVPs compared to all other methods listed in Section 1.2.
In the following sections we present a brief description of space-time coupled and space-time decoupled finite element processes, their merits and shortcomings, time integration techniques for ODEs in time resulting from decoupling space and time, stability of computational processes, error estimation, error computation, and convergence.

Some additional topics related to linear structural and linear solid mechanics such as mode superposition techniques of obtaining time evolution are also discussed.

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Space-time coupled finite element method

In the initial value problem (1.1), the operator $A$ is a space-time differential operator. Thus, in order to address STFEM for totality of all IVPs in a problem- and application-independent fashion we must mathematically classify space-time differential operators appearing in all IVPs into groups. For these groups of space-time operators we can consider space-time methods of approximation such as space-time Galerkin method (STGM), space-time Petrov-Galerkin method (STPGM), space-time weighted residual method (STWRM), space-time Galerkin method with weak form (STGM/WF), spacetime least squares method or process (STLSM or STLSP), etc., thereby addressing totality of all IVPs. The space-time integral forms resulting from these space-time methods of approximation are necessary conditions.

By making a correspondence of these integral forms to the space-time calculus of variations we can determine which integral forms lead to unconditionally stable computational processes. The space-time integral forms that satisfy all elements of the space-time calculus of variations are termed space-time variationally consistent (STVC) integral forms. These integral forms result in unconditionally stable computational processes during the entire evolution. The integral forms in which one or more aspects of the space-time calculus of variations is not satisfied are termed space-time variationally inconsistent (STVIC) integral forms. In STVIC integral forms, unconditional stability of the computations is not always ensured.

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|ENGR7961

有限元方法代考

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|General remarks

来自章节中提供的材料1.2−1.4很明显,人们可以采用第 1.2 节中列出的任何近似方法,时空耦合或时空解耦方法来获得 IVP 的数值解。

在本书中,我们只考虑将有限元方法结合时空耦合和时空解耦方法来获得 IVP 的数值解。两种方法的有限元方法都有严格的数学基础,因此在这种方法中,始终可以确定所得计算过程的可行性、稳定性和准确性。与第 1.2 节中列出的所有其他方法相比,误差估计、误差计算、收敛和收敛速率是 IVP 有限元过程的额外优点。
在以下部分中,我们将简要描述时空耦合和时空解耦有限元过程,它们的优点和缺点,ODE 在时间上的时间积分技术,由空间和时间解耦产生,计算过程的稳定性,误差估计,误差计算和收敛。

还讨论了与线性结构和线性固体力学相关的一些附加主题,例如获得时间演化的模式叠加技术。

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Space-time coupled finite element method

在初值问题(1.1)中,算子一个是时空微分算子。因此,为了以独立于问题和应用程序的方式解决所有 IVP 的整体的 STFEM,我们必须在数学上将出现在所有 IVP 中的时空微分算子分类。对于这些时空算子组,我们可以考虑时空逼近方法,例如时空 Galerkin 方法 (STGM)、时空 Petrov-Galerkin 方法 (STPGM)、时空加权残差法 (STWRM)、空间弱形式的时间 Galerkin 方法(STGM/WF)、时空最小二乘法或过程(STLSM 或 STLSP)等,从而解决所有 IVP 的整体问题。由这些时空逼近方法得出的时空积分形式是必要条件。

通过将这些积分形式与时空变分演算进行对应,我们可以确定哪些积分形式会导致无条件稳定的计算过程。满足时空变分法所有元素的时空积分形式称为时空变分一致 (STVC) 积分形式。这些积分形式在整个演化过程中产生了无条件稳定的计算过程。不满足时空变分法的一个或多个方面的积分形式称为时空变分不一致 (STVIC) 积分形式。在 STVIC 积分形式中,并不总是保证计算的无条件稳定性。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
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数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|MECH ENG 4118

如果你也在 怎样代写有限元方法Finite Element Method这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

有限元法是一种系统的方法,将无限维函数空间中的函数首先转换为有限维函数空间中的函数,最后转换为用数值方法可以处理的普通向量。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写有限元方法Finite Element Method方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写有限元方法Finite Element Method代写方面经验极为丰富,各种代写有限元方法Finite Element Method相关的作业也就用不着说。

我们提供的有限元方法Finite Element Method及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

  • Statistical Inference 统计推断
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  • Advanced Probability Theory 高等概率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|MECH ENG 4118

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Space-time coupled methods using space-time

In space-time coupled methods for the whole space-time domain $\bar{\Omega}{x t}=$ $[0, L] \times[0, \tau]$, the computations can be intense and sometimes prohibitive if the final time $\tau$ is large. This problem can be easily overcome by using space-time strip or slab for an increment of time $\Delta t$ and then time-marching to obtain the entire evolution. Consider the space-time domain $$ \bar{\Omega}{x t}=\Omega_{x t} \cup \Gamma ; \quad \Gamma=\bigcup_{i=1}^{4} \Gamma_{i}
$$
shown in Fig. 1.3. For an increment of time $\Delta t$, that is for $0 \leq t \leq \Delta t$, consider the first space-time strip $\bar{\Omega}{x t}^{(1)}=[0, L] \times[0, \Delta t]$. If we are only interested in the evolution up to time $t=\Delta t$ and not beyond $t=\Delta t$, then the evolution in the space-time domain $[0, L] \times[\Delta t, \tau]$ has not taken place yet, hence does not influence the evolution for $\bar{\Omega}{x t}^{(1)}, t \in[0, \Delta t]$. We also note that for $\bar{\Omega}{x t}^{(1)}$, the boundary at $t=\Delta t$ is open boundary that is similar to the open boundary at $t=\tau$ for the whole space-time domain. We remark that BCs and ICs for $\bar{\Omega}{x t}$ and $\bar{\Omega}{x t}^{(1)}$ are identical in the sense of those that are known and those that are not known. For $\bar{\Omega}{x t}^{(2)}$, the second space-time strip, the BCs are the same as for $\bar{\Omega}{x t}^{(1)}$ but the ICs at $t=\Delta t$ are obtained from the computed evolution for $\bar{\Omega}{x t}^{(1)}$ at $t=\Delta t$. Now, with the known ICs at $t=\Delta t$, the second space-time strip $\bar{\Omega}{x t}^{(2)}$ is exactly similar to the first space-time strip $\bar{\Omega}{x t}^{(1)}$ in terms of BCs, ICs, and open boundary. For $\bar{\Omega}{x t}^{(1)}$, $t=\Delta t$ is open boundary whereas for $\bar{\Omega}{x t}^{(2)}, t=2 \Delta t$ is open boundary. Both open boundaries are at final values of time for the corresponding space-time strips.

In this process the evolution is computed for the first space-time strip $\bar{\Omega}{x t}^{(1)}=[0, L] \times[0, \Delta t]$ and refinements are carried out (in discretization and $p$ levels in the sense of finite element processes) until the evolution for $\bar{\Omega}{x t}^{(1)}$ is a converged solution. Using this converged solution for $\bar{\Omega}{x t}^{(1)}$, ICs are extracted at $t=\Delta t$ for $\bar{\Omega}{x t}^{(2)}$ and a converged evolution is computed for the second space-time strip $\bar{\Omega}_{x t}^{(2)}$. This process is continued until $t=\tau$ is reached.

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Space-time decoupled or quasi methods

In space-time decoupled or quasi methods the solution $\phi=\phi(x, t)$ is assumed not to have simultaneous dependence on space coordinate $x$ and time $t$. Referring to the IVP (1.1) in spatial coordinate $x\left(\right.$ i.e. $\left.\mathbb{R}^{1}\right)$ and time $t$, the solution $\phi(x, t)$ is expressed as the product of two functions $g(x)$ and $h(t):$
$$
\phi(x, t)=g(x) h(t)
$$
where $g(x)$ is a known function that satisfies differentiability, continuity, and the completeness requirements (and others) as dictated by (1.1). We substitute (1.3) in (1.1) and obtain
$$
A(g(x) h(t))-f(x, t)=0 \quad \forall x, t \in \Omega_{x t}
$$
Integrating (1.4) over $\bar{\Omega}{x}=[0, L]$ while assuming $h(t)$ and its time derivatives to be constant for an instant of time, we can write $$ \int{\Omega_{x}}(A(g(x) h(t))-f(x, t)) d x=0
$$
Since $g(x)$ is known, the definite integral in (1.5) can be evaluated, thereby eliminating $g(x)$, its spatial derivatives (due to operator $A$ ), and more specifically spatial coordinate $x$ altogether. Hence, (1.5) reduces to
$$
A h(t)-\underset{\sim}{f}(t)=0 \quad \forall t \in(0, \tau)
$$
in which $A$ is a time differential operator and $f$ is only a function of time. In other words, (1.6) is an ordinary differential equation in time which can now be integrated using explicit or implicit time integration methods or finite element method in time to obtain $h(t) \forall t \in[0, \tau]$. Using this calculated $h(t)$ in (1.3), we now have the solution $\phi(x, t)$ :
$$
\phi(x, t)=g(x) h(t) \quad \forall x, t \in \bar{\Omega}_{x t}=[0, L] \times[0, \tau]
$$

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|MECH ENG 4118

有限元方法代考

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Space-time coupled methods using space-time

在整个时空域的时空耦合方法中 $\bar{\Omega} x t=[0, L] \times[0, \tau]$ ,如果最后一次计算可能会很激烈,有时甚至令人望而却 步 $\tau$ 很大。这个问题可以很容易地通过使用时空带或平板来克服时间增量 $\Delta t$ 然后通过时间推进获得整个进化过 程。考虑时空域
$$
\bar{\Omega} x t=\Omega_{x t} \cup \Gamma ; \quad \Gamma=\bigcup_{i=1}^{4} \Gamma_{i}
$$
如图 $1.3$ 所示。对于时间增量 $\Delta t$, 那是为了 $0 \leq t \leq \Delta t$, 考虑第一个时空带 $\bar{\Omega} x t^{(1)}=[0, L] \times[0, \Delta t]$. 如果我 们只对时代的进化感兴趣 $t=\Delta t$ 并且不超过 $t=\Delta t$, 那么时空域的演化 $[0, L] \times[\Delta t, \tau]$ 还没有发生,因此不影 响进化 $\bar{\Omega} x t^{(1)}, t \in[0, \Delta t]$. 我们还注意到,对于 $\bar{\Omega} x t^{(1)}$ ,边界在 $t=\Delta t$ 是类似于开放边界的开放边界 $t=\tau$ 对 于整个时空域。我们注意到 $B C s$ 和 ICS 用于 $\bar{\Omega} x t$ 和 $\bar{\Omega} x t^{(1)}$ 在已知和末知的意义上是相同的。为了 $\bar{\Omega} x t^{(2)}$ ,第二 个时空带, $\mathrm{BC}$ 与 $\bar{\Omega} x t^{(1)}$ 但 $\mid$ 在 $t=\Delta t$ 从计算的进化中获得 $\bar{\Omega} x t^{(1)}$ 在 $t=\Delta t$. 现在,使用已知的 IC $t=\Delta t$ ,第 二个时空带 $\bar{\Omega} x t^{(2)}$ 与第一条时空条一模一样 $\bar{\Omega} x t^{(1)}$ 在 $B C 、 I C$ 和开放边界方面。为了 $\bar{\Omega} x t^{(1)}, t=\Delta t$ 是开放边 界,而对于 $\bar{\Omega} x t^{(2)}, t=2 \Delta t$ 是开放边界。对于相应的时空带,两个开放边界都处于最终时间值。
在这个过程中,计算第一个时空带的演化 $\bar{\Omega} x t^{(1)}=[0, L] \times[0, \Delta t]$ 并进行细化(离散化和 $p$ 有限元过程意义上 的水平) 直到进化 $\bar{\Omega} x t^{(1)}$ 是一个收敛的解决方案。使用此融合解决方案 $\bar{\Omega} x t^{(1)}$ ,IC 被提取在 $t=\Delta t$ 为了 $\bar{\Omega} x t^{(2)}$ 并计算第二个时空带的收敛演化 $\bar{\Omega}_{x t}^{(2)}$. 这个过程一直持续到 $t=\tau$ 到达了。

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Space-time decoupled or quasi methods

在时空解耦或准方法中,解决方案 $\phi=\phi(x, t)$ 假定不同时依赖空间坐标 $x$ 和时间 $t$. 参考空间坐标中的IVP
$(1.1)$ $x\left(\mathbb{E} \mathbb{R}^{1}\right)$ 和时间 $t$ ,解决方案 $\phi(x, t)$ 表示为两个函数的乘积 $g(x)$ 和 $h(t)$ :
$$
\phi(x, t)=g(x) h(t)
$$
在哪里 $g(x)$ 是一个已知函数,它满足由 (1.1) 规定的可微性、连续性和完整性要求 (和其他要求) 。我们将 (1.3) 代入 (1.1) 并得到
$$
A(g(x) h(t))-f(x, t)=0 \quad \forall x, t \in \Omega_{x t}
$$
积分 (1.4) $\bar{\Omega} x=[0, L]$ 假设 $h(t)$ 并且它的时间导数在一瞬间是恒定的,我们可以写
$$
\int \Omega_{x}(A(g(x) h(t))-f(x, t)) d x=0
$$
自从 $g(x)$ 已知,可以计算 (1.5) 中的定积分,从而消除 $g(x)$ ,它的空间导数(由于算子 $A$ ),更具体地说是空间 坐标 $x$ 共。因此,(1.5) 简化为
$$
A h(t)-\underset{\sim}{f}(t)=0 \quad \forall t \in(0, \tau)
$$
其中 $A$ 是一个时间微分算子并且 $f$ 只是时间的函数。换句话说,(1.6) 是时间上的常微分方程,现在可以使用显式 或隐式时间积分方法或时间有限元方法积分得到 $h(t) \forall t \in[0, \tau]$. 使用这个计算 $h(t)$ 在 (1.3) 中,我们现在有了 解决方案 $\phi(x, t)$ :
$$
\phi(x, t)=g(x) h(t) \quad \forall x, t \in \bar{\Omega}_{x t}=[0, L] \times[0, \tau]
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
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数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Find 2022

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有限元法是一种系统的方法,将无限维函数空间中的函数首先转换为有限维函数空间中的函数,最后转换为用数值方法可以处理的普通向量。

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  • Statistical Inference 统计推断
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数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Find 2022

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|General overview

The physical processes encountered in all branches of sciences and engineering can be classified into two major categories: time-dependent processes and stationary processes. Time-dependent processes describe evolutions in which quantities of interest change with time. If the quantities of interest cease to change in an evolution then the evolution is said to have reached a stationary state. Not all evolutions have stationary states. The evolutions without a stationary state are often referred to as unsteady processes. Stationary processes are those in which the quantities of interest do not depend upon time. For a stationary process to be valid or viable, it must correspond to the stationary state of an evolution. Every process in nature is an evolution. Nonetheless it is sometimes convenient to consider their stationary state. In this book we only consider non-stationary processes, i.e. evolutions that may have a stationary state or may be unsteady.

A mathematical description of most stationary processes in sciences and engineering often leads to a system of ordinary or partial differential equations. These mathematical descriptions of the stationary processes are referred to as boundary value problems (BVPs). Since stationary processes are independent of time, the partial differential equations describing their behavior only involve dependent variables and space coordinates as independent variables. On the other hand, mathematical descriptions of evolutions lead to partial differential equations in dependent variables, space coordinates, and time and are referred to as initial value problems (IVPs).

In case of simple physical systems, the mathematical descriptions of IVPs may be simple enough to permit analytical solutions. However, most physical systems of interest may be quite complicated and their mathematical description (IVPs) may be complex enough not to permit analytical solutions. In such cases, two alternatives are possible. In the first case, one could undertake simplifications of the mathematical descriptions to a point that analytical solutions are possible. In this approach, the simplified forms may not be descriptive of the actual behavior and sometimes this simplification may not be possible at all. In the second alternative, we abandon the possibility of theoretical solutions altogether as viable means of solving complex practical problems involving IVPs and instead we resort to numerical meth-ods for obtaining numerical solutions of IVPs. The finite element method (FEM) is one such method of solving IVPs numerically and constitutes the subject matter of this book. Before we delve deeper into the FEM for IVPs, it is perhaps fitting to discuss a little about the broader classes of available methods for obtaining numerical solutions of IVPs.

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Space-time coupled methods of approximation

We note that since $\phi=\phi(x, t)$, the solution exhibits simultaneous dependence on spatial coordinates $x$ and time $t$. This feature is intrinsic in the mathematical description (1.1) of the physics.

Thus, the most rational approach to undertake for the solution of (1.1) (approximate or otherwise) is to preserve simultaneous dependence of $\phi$ on $x$ and $t$. Such methods are known as space-time coupled methods. Broadly speaking, in such methods time $t$ is treated as another independent variable in addition to spatial coordinates. Fig. $1.1$ shows space-time domain $\bar{\Omega}{x t}=$ $\Omega{x t} \cup \Gamma ; \Gamma=\cup_{i=1}^{4} \Gamma_{i}$ with closed boundary $\Gamma$. For the sake of discussion, as an example we could have a boundary condition $(\mathrm{BC})$ at $x=0 \forall t \in[0, \tau]$, boundary $\Gamma_{1}$, as well as at $x=L \forall t \in[0, \tau]$, boundary $\Gamma_{2}$, and an initial condition $(\mathrm{IC})$ at $t=0 \forall x \in[0, L]$, boundary $\Gamma_{3}$. Boundary $\Gamma_{4}$ at final value of time $t=\tau$ is open, i.e. at this boundary only the evolution (the solution of (1.1) subjected to these $\mathrm{BCs}$ and $\mathrm{IC})$, will yield the function $\phi(x, \tau)$ and its spatial and time derivatives.

When the initial value problem contains two spatial coordinates, we have space-time slab $\bar{\Omega}{x t}$ shown in Fig. $1.2$ in which $$ \Omega{x t}=\left(0, L_{1}\right) \times\left(0, L_{2}\right) \times(0, \tau)
$$
is a prism. In this case $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}, \Gamma_{3}$, and $\Gamma_{4}$ are faces of the prism (surfaces). For illustration, the possible choices of BCs and ICs could be: BCs on $\Gamma_{1}=$ $A D D_{1} A_{1}$ and $\Gamma_{2}=B C C_{1} B_{1}$, IC on $\Gamma_{3}=A B C D$, and $\Gamma_{4}=A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ is the open boundary. This concept of space-time slab can be extended for three spatial dimensions and time. Using space-time domain shown in Fig. $1.1$ or $1.2$ and treating time as another independent variable, we could consider the following methods of approximation.

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Find 2022

有限元方法代考

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|General overview

在科学和工程的所有分支中遇到的物理过程可以分为两大类:时间相关过程和平稳过程。时间相关过程描述了兴趣数量随时间变化的演变。如果感兴趣的数量在演化中停止变化,则称演化已达到静止状态。并非所有演化都有静止状态。没有稳态的演化通常被称为非稳态过程。平稳过程是那些感兴趣的数量不依赖于时间的过程。为了使平稳过程有效或可行,它必须对应于演化的平稳状态。自然界中的每一个过程都是一种进化。尽管如此,有时考虑它们的静止状态是很方便的。

对科学和工程中大多数平稳过程的数学描述通常会导致一个常微分方程或偏微分方程系统。这些平稳过程的数学描述被称为边界值问题(BVP)。由于平稳过程与时间无关,因此描述其行为的偏微分方程仅涉及因变量和空间坐标作为自变量。另一方面,演化的数学描述导致因变量、空间坐标和时间的偏微分方程,被称为初始值问题 (IVP)。

在简单物理系统的情况下,IVP 的数学描述可能足够简单以允许解析解。然而,大多数感兴趣的物理系统可能非常复杂,并且它们的数学描述 (IVP) 可能复杂到不允许解析解。在这种情况下,有两种选择是可能的。在第一种情况下,人们可以对数学描述进行简化,使解析解成为可能。在这种方法中,简化形式可能无法描述实际行为,有时这种简化可能根本不可能。在第二种选择中,我们完全放弃了将理论解作为解决涉及 IVP 的复杂实际问题的可行方法的可能性,而是采用数值方法来获得 IVP 的数值解。有限元法 (FEM) 就是这样一种数值求解 IVP 的方法,它构成了本书的主题。在我们深入研究 IVP 的 FEM 之前,可能适合讨论一下获得 IVP 数值解的更广泛的可用方法类别。

数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Space-time coupled methods of approximation

我们注意到,由于 $\phi=\phi(x, t)$, 该解决方案表现出同时依赖于空间坐标 $x$ 和时间 $t$. 这个特征在物理学的数学描述 (1.1) 中是固有的。
因此,解决 (1.1) 的最合理的方法 (近似或其他) 是保持同时依赖 $\phi$ 上 $x$ 和 $t$. 这种方法被称为时空耦合方法。从广 义上讲,在这种方法中,时间 $t$ 被视为除空间坐标之外的另一个自变量。如图。1.1显示时空域 $\bar{\Omega} x t=$ $\Omega x t \cup \Gamma ; \Gamma=\cup_{i=1}^{4} \Gamma_{i}$ 有封闭边界 $\Gamma$. 为了讨论,作为一个例子,我们可以有一个边界条件 $(\mathrm{BC})$ 在
$x=0 \forall t \in[0, \tau]$ ,边界 $\Gamma_{1}$ ,以及在 $x=L \forall t \in[0, \tau]$, 边界 $\Gamma_{2}$ ,和一个初始条件 (IC)在 $t=0 \forall x \in[0, L]$ ,边 界 $\Gamma_{3}$. 边界 $\Gamma_{4}$ 在最终时间值 $t=\tau$ 是开放的,即在这个边界上只有演化 ( (1.1) 的解受到这些BCs和IC),将产 生函数 $\phi(x, \tau)$ 及其空间和时间导数。
当初值问题包含两个空间坐标时,我们有时空平板 $\bar{\Omega} x t$ 如图所示。 $1.2$ 其中
$$
\Omega x t=\left(0, L_{1}\right) \times\left(0, L_{2}\right) \times(0, \tau)
$$
是棱镜。在这种情况下 $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}, \Gamma_{3}$ ,和 $\Gamma_{4}$ 是棱镜的面 (表面)。举例来说,BCs 和 ICs 的可能选择可能是: BCs on $\Gamma_{1}=A D D_{1} A_{1}$ 和 $\Gamma_{2}=B C C_{1} B_{1}$ ,图标 $\Gamma_{3}=A B C D$ ,和 $\Gamma_{4}=A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是开放边界。这种时空 平板的概念可以扩展到三个空间维度和时间。使用如图所示的时空域。1.1或者 $1.2$ 并将时间视为另一个自变量, 我们可以考虑以下近似方法。

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