物理代写|核物理代写nuclear physics代考|PHY471
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核物理学是研究原子核及其成分和相互作用的物理学领域,此外还研究其他形式的核物质。核物理学不应与原子物理学相混淆,后者研究原子的整体,包括其电子。
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物理代写|核物理代写nuclear physics代考|Mirror Nuclides and Charge Independence
Two nuclides that are related by the interchange of protons and neutrons are called “mirror nuclides” (or sometimes “mirror nuclei”). If we examine two mirror nuclides, we find that their binding energies are almost the same.
In fact, the only term in the semi-empirical mass formula that is not invariant under $Z \leftrightarrow(A-Z)$ is the Coulomb term in (3.7) discussed in Chap. 3. The difference between the binding energies of two mirror nuclides is the difference in the Coulomb term, given by
$$
\Delta B_{\text {mirror }} \equiv B(A, Z)-B(A, A-Z)=-a_C A^{2 / 3}(2 Z-A) .
$$
This difference is very small in comparison with the total value of the binding energy since inside a nucleus electromagnetic forces are much weaker than the strong internucleon forces (strong interactions). Therefore, mirror nuclides have very similar binding energies despite the extra Coulomb energy for nuclides with more protons.
Not only are the binding energies (and therefore the ground-state energies) very similar for mirror nuclides, but so too are the energies of their excited states. As an example, let us look at Fig. $11.1$ that presents the energy levels for mirror nuclides ${ }_3^7 \mathrm{Li}$ and ${ }_4^7 \mathrm{Be}$, where we see that for all the states the energies are very close, with the ${ }_4^7 \mathrm{Be}$ states being slightly higher because it has one more proton than ${ }_3^7 \mathrm{Li}$.
All this suggests that whereas the electromagnetic interactions clearly distinguish between protons and neutrons, the strong interactions, responsible for nuclear binding, are charge independent.
Now let us look at a pair of mirror nuclides whose proton number and neutron number differ by two, together with the isobar between them. The example we take is ${ }_2^6 \mathrm{He}$ and ${ }_4^6 \mathrm{Be}$, which are mirror nuclides. Each of these has a closed shell of two protons and a closed shell of two neutrons. The unclosed shell consists of two neutrons for ${ }_2^6 \mathrm{He}$ and two protons for ${ }_4^6 \mathrm{Be}$. The nuclide “between” is ${ }_3^6 \mathrm{Li}$, which has one proton and one neutron in the outer shell.
Using only the principle of charge independence of the strong interactions, we would have expected all three nuclides to display the same energy-level structure. We see from Fig. 11.2 that although there are states in ${ }_3^6 \mathrm{Li}$ that are close in energy to the states of the mirror nuclides ${ }_2^6 \mathrm{He}$ and ${ }_2^4 \mathrm{Be}$, there are also states in ${ }_3^6 \mathrm{Li}$ that have no equivalent in the two mirror nuclides. This difference can be understood from the Pauli exclusion principle. In the case of ${ }_2^6 \mathrm{He}$ or ${ }_2^4 \mathrm{Be}$ two protons or alternatively two neutrons in the ground state in the outer shell cannot have the same spin state. The only possible spin state for them is the configuration with antiparallel spins, whereas for ${ }_3^6 \mathrm{Li}$, in which the nucleons in the outer shell are not identical, the Pauli principle does not apply and there are extra states in which the neutron and proton are in the same spin state, i.e. the configuration with parallel spins.
Further exploration allows us to conclude that nuclear forces are charge independent between any two nucleons ( $p p, n n$ or $n p)$ that are in the same spin and parity state. In other words, the neutron and proton are identical particles from the “point of view” of nuclear force, provided the Pauli exclusion principle is respected, as required.
物理代写|核物理代写nuclear physics代考|Isospin
This strong-interaction feature of the proton and neutron can be described with a formal (mathematical), but useful quantum property. This property is the “isotopic spin vector” and the corresponding quantum number is “isotopic spin” or “isospin”. As we will see later, the concept of isospin plays an important role not only in Nuclear Physics but also in Particle Physics.
Let us consider the analogy between spin and isospin. If we have two electrons with $z$-component of spin set to $s_z=+\frac{1}{2}$ and $s_z=-\frac{1}{2}$ (in units of $\hbar$ ), then we can distinguish them by applying a (non-uniform) magnetic field in the $z$-direction – the electrons will move in opposite directions. ${ }^1$ But in the absence of this external field these two spin orientations cannot be distinguished and we are used to thinking of these as two states of the same particle.
Similarly, if we could “switch off” electromagnetic interactions, we would not be able to distinguish between a proton and a neutron. As far as the strong interactions are concerned these are just two states of the same particle – a nucleon. One can therefore think of an imagined (internal) space in which the nucleon has an isospin, which is mathematically analogous to spin. The isospin vector is a vector in this internal space, known as “isospace”. This vector is an abstract object, in contrast with angular momentum in real space. Isospin has a quantum description that is mathematically identical to the description of angular momentum, except that isospin is a dimensionless quantity, which is not associated with any type of angular momentum. The proton and neutron are now considered to be the same particle i.e. a nucleon with different values of the third component of isospin.
Since this third component can take two possible values, we assign $I_3=+\frac{1}{2}$ for the proton and $I_3=-\frac{1}{2}$ for the neutron. The nucleon therefore has isospin $I=\frac{1}{2}$, in the same way that the electron has spin $s=\frac{1}{2}$, with two possible values of the third component. As far as the strong interactions are concerned this just represents two possible quantum states of the same particle. If there were no electromagnetic interactions, these particles would be totally indistinguishable in all their properties – mass, spins, etc.
In analogy with conservation of angular momentum, isospin is conserved in any transition mediated by the strong interactions. This is an example of the symmetry that is called “isotopic invariance” or just “isospin invariance”. Inside the nucleus the strong forces between nucleons do not distinguish between particles with different third components of isospin and would lead to identical energy levels, but there are electromagnetic interactions that break this symmetry and lead to small differences in the energy levels of mirror nuclides. In this respect isotopic invariance is an approximate symmetry.
核物理代写
物理代写|核物理代写nuclear physics代考|Mirror Nuclides and Charge Independence
通过质子和中子的交换而相关的两个核素称为”镜像核素”(有时也称为“镜像核”)。如果我们检查两个镜 像核素,我们会发现它们的结合能几乎相同。
事实上,半经验质量公式中唯一在以下条件下不不变的项 $Z \leftrightarrow(A-Z)$ 是第 1 章讨论的 (3.7) 中的库 仓项。3. 两个镜像核素的结合能之间的差异是库仑项的差异,由下式给出
$$
\Delta B_{\text {mirror }} \equiv B(A, Z)-B(A, A-Z)=-a_C A^{2 / 3}(2 Z-A) .
$$
与结合能的总值相比,这种差异非常小,因为原子核内部的电磁力比强核子间力(强相互作用) 弱得 多。因此,尽管具有更多质子的核素具有额外的库仑能量,但镜像核素具有非常相似的结合能。 不仅镜像核素的结合能 (以及基态能量) 非常相似,而且它们的激发态能量也非常相似。作为例子,让 我们看一下图。11.1表示镜像核素的能级 ${ }_3^7 \mathrm{Li}$ 和 ${ }_4^7 \mathrm{Be}$ ,我们看到所有状态的能量都非常接近,其中 ${ }_4^7 \mathrm{Be}$ 状态略高,因为它的质子比 ${ }_3^7 \mathrm{Li}$.
所有这些都表明,虽然电磁相互作用清楚地区分了质子和中子,但负责核结合的强相互作用与电荷无 关。
现在让我们看一对质子数和中子数相差 2 的镜像核素,以及它们之间的等压线。我们举的例子是 ${ }_2^6 \mathrm{He}$ 和 ${ }_4^6 \mathrm{Be}$, 它们是镜像核素。它们中的每一个都有一个由两个质子组成的封闭壳层和一个由两个中子组成的封 闭壳层。末闭合的壳由两个中子组成 ${ }_2^6 \mathrm{He}$ 和两个质子 ${ }_4^6 \mathrm{Be}$. “之间”的核素是 ${ }_3^6 \mathrm{Li}$, 它的外壳有一个质子和一 个中子。
仅使用强相互作用的电荷独立性原理,我们可以预期所有三种核素都显示出相同的能级结构。我们从图 $11.2$ 中看到,虽然在 ${ }_3^6 \mathrm{Li}$ 能量接近镜像核素的状态 ${ }_2^6 \mathrm{He}$ 和 ${ }_2^4 \mathrm{Be}$, 也有状态在 ${ }_3^6 \mathrm{Li}$ 在两个镜像核素中没有等 效物。这种差异可以从泡利不相容原理来理解。如果是 ${ }_2^6 \mathrm{He}$ 或者 ${ }_2^4 \mathrm{Be}$ 外壳中处于基态的两个质子或两个 中子不能具有相同的自旋状态。它们唯一可能的自旋状态是具有反平行自旋的配置,而对于 ${ }_3^6 \mathrm{Li}$ ,其中外 壳中的核子不相同,泡利原理不适用,并且存在中子和质子处于相同自旋状态的额外状态,即具有平行 自旋的配置。
进一步的探索让我们得出结论,核力在任何两个核子之间是电荷独立的 $(p p, n n$ 或者 $n p)$ 处于相同的自 旋和奇偶状态。换句话说,从核力的“观点”来看,中子和质子是相同的粒子,前提是根据需要遵守泡利不 相容原理。
物理代写|核物理代写nuclear physics代考|Isospin
质子和中子的这种强相互作用特征可以用形式上(数学上)但有用的量子特性来描述。这个性质就是“同 位素自旋矢量”,对应的量子数就是“同位素自旋”或“isospin”。正如我们稍后将看到的,同位旋的概念不 仅在核物理学中而且在粒子物理学中都扮演着重要的角色。
让我们考虑自旋和同位旋之间的类比。如果我们有两个电子 $z$-自旋的分量设置为 $s_z=+\frac{1}{2}$ 和 $s_z=-\frac{1}{2}$ (单位为 $\hbar$ ),然后我们可以通过在 $z$-方向一一电子将朝相反的方向移动。 ${ }^1$ 但是在没有这个外部场的情况 下,这两个自旋方向无法区分,我们习惯于将它们视为同一粒子的两种状态。
同样,如果我们可以“关闭”电磁相互作用,我们将无法区分质子和中子。就强相互作用而言,这些只是同 一粒子(核子) 的两种状态。因此,人们可以想象一个想象的 (内部) 空间,其中核子具有同位旋,这 在数学上类似于自旋。同位旋矢量是该内部空间中的矢量,称为”等空间”。这个矢量是一个抽象对象,与 现实空间中的角动量形成对比。Isospin 的量子描述在数学上与角动量的描述相同,除了 isospin 是无量 纲量,与任何类型的角动量均无关。质子和中子现在被认为是同一个粒子,即
由于这第三个组件可以取两个可能的值,我们分配 $I_3=+\frac{1}{2}$ 对于质子和 $I_3=-\frac{1}{2}$ 对于中子。因此核子 具有同位旋 $I=\frac{1}{2}$, 就像电子自旋一样 $s=\frac{1}{2}$ ,具有第三个组件的两个可能值。就强相互作用而言,这 仅表示同一粒子的两种可能的量子态。如果没有电磁相互作用,这些粒子的所有属性(质量、自旋等) 将完全无法区分。
类似于角动量守恒,同位旋在任何由强相互作用介导的跃迁中都是守恒的。这是称为“同位素不变性”或简 称为“同位素不变性”的对称性的一个例子。在原子核内部,核子之间的强作用力不会区分具有不同同位旋 第三分量的粒子,并且会导致相同的能级,但是存在打破这种对称性的电磁相互作用并导致镜像核素能 级的微小差异。在这方面,同位素不变性是一种近似对称性。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。
有限元方法代写
有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
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