分类: 流形学习代写

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|SCl 7314

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流形学习是机器学习的一个流行且快速发展的子领域,它基于一个假设,即一个人的观察数据位于嵌入高维空间的低维流形上。本文介绍了流形学习的数学观点,深入探讨了核学习、谱图理论和微分几何的交叉点。重点放在图和流形之间的显著相互作用上,这构成了流形正则化技术的广泛使用的基础。

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  • Statistical Computing 统计计算
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  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|SCl 7314

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Curves and Geodesics

If the Riemannian manifold $(\mathcal{M}, g)$ is connected, it is a metric space with an induced topology that coincides with the underlying manifold topology. We can, therefore, define a function $d^{\mathcal{M}}$ on $\mathcal{M}$ that calculates distances between points on $\mathcal{M}$ and determines its structure.

Let $\mathbf{p}, \mathbf{q} \in \mathcal{M}$ be any two points on the Riemannian manifold $\mathcal{M}$. We first define the length of a (one-dimensional) curve in $\mathcal{M}$ that joins $\mathbf{p}$ to $\mathbf{q}$, and then the length of the shortest such curve.

A curve in $\mathcal{M}$ is defined as a smooth mapping from an open interval $\Lambda$ (which may have infinite length) in $\Re$ into $\mathcal{M}$. The point $\lambda \in \Lambda$ forms a parametrization of the curve. Let $c(\lambda)=\left(c_{1}(\lambda), \cdots, c_{d}(\lambda)\right)^{\top}$ be a curve in $\Re^{d}$ parametrized by $\lambda \in \Lambda \subseteq \Re$. If we take the coordinate functions, $\left{c_{h}(\lambda)\right}$, of $c(\lambda)$ to be as smooth as needed (usually, $\mathcal{C}^{\infty}$, functions that have any number of continuous derivatives), then we say that $c$ is a smooth curve. If $c(\lambda+\alpha)=c(\lambda)$ for all $\lambda, \lambda+\alpha \in \Lambda$, the curve $c$ is said to be closed. The velocity (or tangent) vector at the point $\lambda$ is given by
$$
c^{\prime}(\lambda)=\left(c_{1}^{\prime}(\lambda), \cdots, c_{d}^{\prime}(\lambda)\right)^{\tau},
$$
where $c_{j}^{\prime}(\lambda)=d c_{j}(\lambda) / d \lambda$, and the “speed” of the curve is
$$
\left|c^{\prime}(\lambda)\right|=\left{\sum_{j=1}^{d}\left[c_{j}^{\prime}(\lambda)\right]^{2}\right}^{1 / 2}
$$
Distance on a smooth curve $c$ is given by arc-length, which is measured from a fixed point $\lambda_{0}$ on that curve. Usually, the fixed point is taken to be the origin, $\lambda_{0}=0$, defined to be one of the two endpoints of the data. More generally, the arc-length $L(c)$ along the curve $c(\lambda)$ from point $\lambda_{0}$ to point $\lambda_{1}$ is defined as
$$
L(c)=\int_{\lambda_{0}}^{\lambda_{1}}\left|c^{\prime}(\lambda)\right| d \lambda .
$$

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Linear Manifold Learning

Most statistical theory and applications that deal with the problem of dimensionality reduction are focused on linear dimensionality reduction and, by extension, linear manifold learning. A linear manifold can be visualized as a line, a plane, or a hyperplane, depending upon the number of dimensions involved. Data are observed in some high-dimensional space and it is usually assumed that a lower-dimensional linear manifold would be the most appropriate summary of the relationship between the variables. Although data tend not to live on a linear manifold, we view the problem as having two kinds of motivations. The first such motivation is to assume that the data live close to a linear manifold, the distance off the manifold determined by a random error (or noise) component. A second way of thinking about linear manifold learning is that a linear manifold is really a simple linear approximation to a more complicated type of nonlinear manifold that would probably be a better fit to the data. In both scenarios, the intrinsic dimensionality of the linear manifold is taken to be much smaller than the dimensionality of the data.

Identifying a linear manifold embedded in a higher-dimensional space is closely related to the classical statistics problem of linear dimensionality reduction. The recommended way of accomplishing linear dimensionality reduction is to create a reduced set of linear transformations of the input variables. Linear transformations are projection methods, and so the problem is to derive a sequence of low-dimensional projections of the input data that possess some type of optimal properties.

There are many techniques that can be used for either linear dimensionality reduction or linear manifold learning. In this chapter, we describe only two linear methods, namely, principal component analysis and multidimensional scaling. The earliest projection method was principal component analysis (dating back to 1933), and this technique has become the most popular dimensionality-reducing technique in use today. A related method is that of multidimensional scaling (dating back to 1952), which has a very different motivation. An adaptation of multidimensional scaling provided the core element of the IsOMAP algorithm for nonlinear manifold learning.

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流形学习代写

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Curves and Geodesics

如果黎曼流形 $(\mathcal{M}, g)$ 是连通的,它是一个度量空间,其诱导拓扑与底层流形拓扑一致。因此,我们可以定义一 个函数 $d^{\mathcal{M}}$ 上 $\mathcal{M}$ 计算点之间的距离 $\mathcal{M}$ 并确定其结构。
让 $\mathbf{p}, \mathbf{q} \in \mathcal{M}$ 是黎曼流形上的任意两点 $\mathcal{M}$. 我们首先定义一条 (一维) 曲线的长度 $\mathcal{M}$ 加入 $\mathbf{p}$ 至 $\mathbf{q}$, 然后是最短的 这种曲线的长度。
中的一条曲线 $\mathcal{M}$ 定义为开区间的平滑映射 $\Lambda$ (可能有无限长) 在 $\Re$ 进入 $\mathcal{M}$. 重点 $\lambda \in \Lambda$ 形成曲线的参数化。让 $c(\lambda)=\left(c_{1}(\lambda), \cdots, c_{d}(\lambda)\right)^{\top}$ 成为曲线 $\Re^{d}$ 参数化 $\lambda \in \Lambda \subseteq \Re$. 如果我们取坐标函数,
lleft{c_{h}(Nambda)\right },的 $c(\lambda)$ 尽可能平滑(通常, $\mathcal{C}^{\infty}$ ,具有任意数量的连续导数的函数),那么我们说 $c$ 是 一条平滑曲线。如果 $c(\lambda+\alpha)=c(\lambda)$ 对所有人 $\lambda, \lambda+\alpha \in \Lambda$, 曲线 $c$ 据说是关闭的。该点的速度 (或切线) 矢 量 $\lambda$ 是 (谁) 给的
$$
c^{\prime}(\lambda)=\left(c_{1}^{\prime}(\lambda), \cdots, c_{d}^{\prime}(\lambda)\right)^{\tau}
$$
在哪里 $c_{j}^{\prime}(\lambda)=d c_{j}(\lambda) / d \lambda$ ,曲线的“速度”为
平滑曲线上的距离 $c$ 由弧长给出,从一个固定点测量 $\lambda_{0}$ 在那条曲线上。通常,以不动点为原点, $\lambda_{0}=0$ ,定义为 数据的两个端点之一。更一般地,弧长 $L(c)$ 沿着曲线 $c(\lambda)$ 从点 $\lambda_{0}$ 指向 $\lambda_{1}$ 定义为
$$
L(c)=\int_{\lambda_{0}}^{\lambda_{1}}\left|c^{\prime}(\lambda)\right| d \lambda .
$$

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Linear Manifold Learning

大多数处理降维问题的统计理论和应用都集中在线性降维上,并通过扩展,线性流形学习。线性流形可以可视化为线、平面或超平面,具体取决于所涉及的维数。数据是在一些高维空间中观察到的,通常假设低维线性流形是变量之间关系的最合适的总结。尽管数据往往不存在于线性流形上,但我们认为这个问题有两种动机。第一个这样的动机是假设数据靠近线性流形,流形的距离由随机误差(或噪声)分量确定。关于线性流形学习的第二种思考方式是,线性流形实际上是对更复杂类型的非线性流形的简单线性近似,可能更适合数据。在这两种情况下,线性流形的内在维度都被认为远小于数据的维度。

识别嵌入在高维空间中的线性流形与线性降维的经典统计问题密切相关。完成线性降维的推荐方法是创建一组输入变量的简化线性变换。线性变换是投影方法,因此问题是推导出具有某种最佳属性的输入数据的一系列低维投影。

有许多技术可用于线性降维或线性流形学习。在本章中,我们只描述了两种线性方法,即主成分分析和多维缩放。最早的投影方法是主成分分析(可追溯到 1933 年),该技术已成为当今最流行的降维技术。一种相关的方法是多维缩放(可追溯到 1952 年),其动机非常不同。多维缩放的适应为非线性流形学习提供了 IsOMAP 算法的核心元素。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
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SQL代写各种数据建模与可视化代写

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|INFS6077

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流形学习是机器学习的一个流行且快速发展的子领域,它基于一个假设,即一个人的观察数据位于嵌入高维空间的低维流形上。本文介绍了流形学习的数学观点,深入探讨了核学习、谱图理论和微分几何的交叉点。重点放在图和流形之间的显著相互作用上,这构成了流形正则化技术的广泛使用的基础。

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  • Advanced Probability Theory 高等概率论
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机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Topological Spaces

Topological spaces were introduced by Maurice Fréchet (1906) (in the form of metric spaces), and the idea was developed and extended over the next few decades. Amongst those who contributed significantly to the subject was Felix Hausdorff, who in 1914 coined the phrase “topological space” using Johann Benedict Listing’s German word Topologie introduced in $1847 .$

A topological space $\mathcal{X}$ is a nonempty collection of subsets of $\mathcal{X}$ which contains the empty set, the space itself, and arbitrary unions and finite intersections of those sets. A topological space is often denoted by $(\mathcal{X}, \mathcal{T})$, where $\mathcal{T}$ represents the topology associated with $\mathcal{X}$. The elements of $\mathcal{T}$ are called the open sets of $\mathcal{X}$, and a set is closed if its complement is open. Topological spaces can also be characterized through the concept of neighborhood. If $\mathbf{x}$ is a point in a topological space $\mathcal{X}$, its neighborhood is a set that contains an open set that contains $\mathbf{x}$.
Let $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$ be two topological spaces, and let $U \subset \mathcal{X}$ and $V \subset \mathcal{Y}$ be open subsets. Consider the family of all cartesian products of the form $U \times V$. The topology formed from these products of open subsets is called the product topology for $\mathcal{X} \times \mathcal{Y}$. If $W \subset \mathcal{X} \times \mathcal{Y}$, then $W$ is open relative to the product topology iff for each point $(x, y) \in \mathcal{X} \times \mathcal{Y}$ there are open neighborhoods, $U$ of $x$ and $V$ of $y$, such that $U \times V \subset W$. For example, the usual topology for $d$-dimensional Euclidean space $\Re^{d}$ consists of all open sets of points in $\Re^{d}$, and this topology is equivalent to the product topology for the product of $d$ copies of $\Re$.

One of the core elements of manifold learning involves the idea of “embedding” one topological space inside another. Loosely speaking, the space $\mathcal{X}$ is said to be embedded in the space $\mathcal{Y}$ if the topological properties of $\mathcal{Y}$ when restricted to $\mathcal{X}$ are identical to the topological properties of $\mathcal{X}$. To be more specific, we state the following definitions. A function $g: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$ is said to be continuous if the inverse image of an open set in $\mathcal{Y}$ is an open set in $\mathcal{X}$. If $g$ is a bijective (i.e., one-to-one and onto) function such that $g$ and its inverse $g^{-1}$ are continuous, then $g$ is said to be a homeomorphism. Two topological spaces $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$ are said to be homeomorphic (or topologically equivalent) if there exists a homeomorphism from one space onto the other. A topological space $\mathcal{X}$ is said to be embedded in a topological space $\mathcal{Y}$ if $\mathcal{X}$ is homeomorphic to a subspace of $\mathcal{Y}$.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Riemannian Manifolds

In the entire theory of topological manifolds, there is no mention of the use of calculus. However, in a prototypical application of a “manifold,” calculus enters in the form of a “smooth” (or differentiable) manifold $\mathcal{M}$, also known as a Riemannian manifold; it is usually defined in differential geometry as a submanifold of some ambient (or surrounding) Euclidean space, where the concepts of length, curvature, and angle are preserved, and where smoothness relates to differentiability. The word manifold (in German, Mannigfaltigkeit) was coined in an “intuitive” way and without any precise definition by Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) in his 1851 doctoral dissertation (Riemann, 1851; Dieudonné, 2009); in 1854, Riemann introduced in his famous Habilitations lecture the idea of a topological manifold on which one could carry out differential and integral calculus.

A topological manifold $\mathcal{M}$ is called a smooth (or differentiable) manifold if $\mathcal{M}$ is continuously differentiable to any order. All smooth manifolds are topological manifolds, but the reverse is not necessarily true. (Note: Authors often differ on the precise definition of a “smooth” manifold.)

We now define the analogue of a homeomorphism for a differentiable manifold. Consider two open sets, $U \in \Re^{r}$ and $V \in \Re^{s}$, and let $g: U \rightarrow V$ so that for $\mathbf{x} \in U$ and $\mathbf{y} \in V, g(\mathbf{x})=$ y. If the function $g$ has finite first-order partial derivatives, $\partial y_{j} / \partial x_{i}$, for all $i=1,2, \ldots, r$, and all $j=1,2, \ldots, s$, then $g$ is said to be a smooth (or differentiable) mapping on $U$. We also say that $g$ is a $\mathcal{C}^{1}$-function on $U$ if all the first-order partial derivatives are continuous. More generally, if $g$ has continuous higher-order partial derivatives, $\partial^{k_{1}+\cdots+k_{r}} y_{j} / \partial x_{1}^{k_{1}} \cdots \partial x_{r}^{k_{r}}$, for all $j=1,2, \ldots, s$ and all nonnegative integers $k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{r}$ such that $k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{r} \leq r$, then we say that $g$ is a $\mathcal{C}^{\top}$-function, $r=1,2, \ldots$. If $g$ is a $\mathcal{C}^{r}$-function for all $r \geq 1$, then we say that $g$ is a $\mathcal{C}^{\infty}$-function.

If $g$ is a homeomorphism from an open set $U$ to an open set $V$, then it is said to be a $\mathcal{C}^{r}$-diffeomorphism if $g$ and its inverse $g^{-1}$ are both $\mathcal{C}^{r}$-functions. A $\mathcal{C}^{\infty}$-diffeomorphism is simply referred to as a diffeomorphism. We say that $U$ and $V$ are diffeomorphic if there exists a diffeomorphism between them. These definitions extend in a straightforward way to manifolds. For example, if $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$ are both smooth manifolds, the function $g: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$ is a diffeomorphism if it is a homeomorphism from $\mathcal{X}$ to $\mathcal{Y}$ and both $g$ and $g^{-1}$ are smooth. Furthermore, $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$ are diffeomorphic if there exists a diffeomorphism between them, in which case, $\mathcal{X}$ and $\mathcal{Y}$ are essentially indistinguishable from each other.

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流形学习代写

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Topological Spaces

Maurice Fréchet (1906) 引入了拓扑空间(以度量空间的形式),这个想法在接下来的几十年中得到发展和扩 展。对这个主题做出重大贡献的人中有 Felix Hausdorff,他在 1914 年使用 Johann Benedict Listing 的德语单词 Topologie 创造了“拓扑空间”一词。1847.
拓扑空间 $\mathcal{X}$ 是子集的非空集合 $\mathcal{X}$ 它包含空集、空间本身以及这些集合的任意并集和有限交集。拓扑空间通常表示 为 $(\mathcal{X}, \mathcal{T})$ ,在哪里 $\mathcal{T}$ 表示与相关的拓扑 $\mathcal{X}$. 的元素 $\mathcal{T}$ 被称为开集 $\mathcal{X}$ ,如果它的补集是开集,则它是闭集。拓扑空 间也可以通过邻域的概念来表征。如果 $\mathbf{x}$ 是拓扑空间中的一个点 $\mathcal{X}$ ,它的邻域是一个包含一个开集的集合,其中 包含 $\mathbf{x}$.
让 $\mathcal{X}$ 和 $\mathcal{Y}$ 是两个拓扑空间,令 $U \subset \mathcal{X}$ 和 $V \subset \mathcal{Y}$ 是开放子集。考虑以下形式的所有笛卡尔积的族 $U \times V$. 由这些 开放子集的乘积形成的拓扑称为乘积拓扑 $\mathcal{X} \times \mathcal{Y}$. 如果 $W \subset \mathcal{X} \times \mathcal{Y}$ ,然后 $W$ 对于每个点相对于产品拓扑是开 放的 $(x, y) \in \mathcal{X} \times \mathcal{Y}$ 有开放的社区, $U$ 的 $x$ 和 $V$ 的 $y$ ,这样 $U \times V \subset W$. 例如,通常的拓扑 $d$ 维欧几里得空间 $\Re^{d}$ 由所有开集的点组成 $\Re^{d}$, 这个拓扑等价于 的乘积的乘积拓扑 $d$ 的副本 $\Re$.
流形学习的核心要素之一涉及将一个拓扑空间“嵌入“另一个拓扑空间的想法。说白了就是空间 $\mathcal{X}$ 据说嵌入空间 $\mathcal{Y}$ 如果拓扑性质Y)当限制在 $\mathcal{X}$ 与拓扑性质相同 $\mathcal{X}$. 更具体地说,我们陈述以下定义。一个函数 $g: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$ 如果一个 开集的逆像在 $\mathcal{Y}$ 是一个开集 $\mathcal{X}$. 如果 $g$ 是一个双射(即,一对一和上)函数,使得 $g$ 和它的逆 $g^{-1}$ 是连续的,那么 $g$ 据说是同胚。两个拓扑空间 $\mathcal{X}$ 和 $\mathcal{Y}$ 如果存在从一个空间到另一个空间的同胚,则称其是同胚的(或拓扑等价 的)。拓扑空间 $\mathcal{X}$ 据说嵌入在拓扑空间中 $\mathcal{Y}$ 如果 $\mathcal{X}$ 同胚于一个子空间 $\mathcal{Y}$.

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在拓扑流形的整个理论中,没有提到微积分的使用。然而,在“流形”的原型应用中,微积分以“平滑” (或可微分) 流形的形式出现 $\mathcal{M}$ ,也称为黎曼流形;它通常在微分几何中定义为一些周围 (或周围) 欧几里得空间的子流形, 其中保留了长度、曲率和角度的概念,并且平滑度与可微性相关。Georg Friedrich Bernhard Riemann (18261866) 在他 1851 年的博士论文 (Riemann, 1851; Dieudonné, 2009) 中以“直观”的方式创造了流形这个词 (德 语,Mannigfaltigkeit),没有任何精确的定义;1854 年,黎曼在他著名的 Habilitations 演讲中介绍了拓扑流形 的概念,人们可以在该流形上进行微分和积分。
拓扑流形 $\mathcal{M}$ 称为光滑(或可微) 流形,如果 $\mathcal{M}$ 连续可微分到任意阶。所有光滑流形都是拓扑流形,但反过来不 一定正确。(注:作者经常对“平滑”流形的精确定义存在分歧。)
我们现在为可微流形定义同胚的类比。考虑两个开集, $U \in \Re^{r}$ 和 $V \in \Re^{s}$ ,然后让 $g: U \rightarrow V$ 所以对于 $\mathbf{x} \in U$ 和 $\mathbf{y} \in V, g(\mathbf{x})=$ 是的。如果函数 $g$ 具有有限的一阶偏导数, $\partial y_{j} / \partial x_{i}$ ,对所有人 $i=1,2, \ldots, r$ ,和 所有 $j=1,2, \ldots, s$ ,然后 $g$ 据说是一个平滑的 (或可微的) 映射 $U$. 我们也说 $g$ 是一个 $\mathcal{C}^{1}$ – 功能开启 $U$ 如果所有 一阶偏导数都是连续的。更一般地说,如果 $g$ 具有连续的高阶偏导数, $\partial^{k_{1}+\cdots+k_{r}} y_{j} / \partial x_{1}^{k_{1}} \cdots \partial x_{r}^{k_{r}}$ ,对所有人 $j=1,2, \ldots, s$ 和所有非负整数 $k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{r}$ 这样 $k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{r} \leq r$ ,那么我们说 $g$ 是一个 $\mathcal{C}^{\top}$-功能,
如果 $g$ 是开集的同胚 $U$ 对开集 $V$ ,则称其为 $\mathcal{C}^{r}$-微分同胚如果 $g$ 和它的逆 $g^{-1}$ 都是 $\mathcal{C}^{r}$-功能。一个 $-$ 溦分同胚简称 为微分同胚。我们说 $U$ 和 $V$ 如果它们之间存在微分同胚,则它们是微分同胚的。这些定义以直接的方式扩展到流 形。例如,如果 $\mathcal{X}$ 和 $\mathcal{Y}$ 都是光滑流形,函数 $g: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{Y}$ 如果它是同胚,则它是微分同胚 $\mathcal{X}$ 至 $\mathcal{Y}$ 和两者 $g$ 和 $g^{-1}$ 光 滑。此外, $\mathcal{X}$ 和 $\mathcal{Y}$ 如果它们之间存在微分同胚,则它们是微分同胚的,在这种情况下, $\mathcal{X}$ 和 $\mathcal{Y}$ 本质上是无法区分 的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
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EXCEL代写深度学习代写
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机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|EECS 559a

如果你也在 怎样代写流形学习manifold data learning这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

流形学习是机器学习的一个流行且快速发展的子领域,它基于一个假设,即一个人的观察数据位于嵌入高维空间的低维流形上。本文介绍了流形学习的数学观点,深入探讨了核学习、谱图理论和微分几何的交叉点。重点放在图和流形之间的显著相互作用上,这构成了流形正则化技术的广泛使用的基础。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写流形学习manifold data learning方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写流形学习manifold data learning代写方面经验极为丰富,各种代写流形学习manifold data learning相关的作业也就用不着说。

我们提供的流形学习manifold data learning及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

  • Statistical Inference 统计推断
  • Statistical Computing 统计计算
  • Advanced Probability Theory 高等概率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|EECS 559a

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Spectral Embedding Methods for Manifold Learning

Manifold learning encompasses much of the disciplines of geometry, computation, and statistics, and has become an important research topic in data mining and statistical learning. The simplest description of manifold learning is that it is a class of algorithms for recovering a low-dimensional manifold embedded in a high-dimensional ambient space. Major breakthroughs on methods for recovering low-dimensional nonlinear embeddings of highdimensional data (Tenenbaum, de Silva, and Langford, 2000; Roweis and Saul, 2000) led to the construction of a number of other algorithms for carrying out nonlinear manifold learning and its close relative, nonlinear dimensionality reduction. The primary tool of all embedding algorithms is the set of eigenvectors associated with the top few or bottom few eigenvalues of an appropriate random matrix. We refer to these algorithms as spectral embedding methods. Spectral embedding methods are designed to recover linear or nonlinear manifolds, usually in high-dimensional spaces.

Linear methods, which have long been considered part-and-parcel of the statistician’s toolbox, include PRINCIPAL COMPONENT ANALYSIS (PCA) and MULTIDIMENSIONAL SCALING (MDS). PCA has been used successfully in many different disciplines and applications. In computer vision, for example, PCA is used to study abstract notions of shape, appearance, and motion to help solve problems in facial and object recognition, surveillance, person tracking, security, and image compression where data are of high dimensionality (Turk and Pentland, 1991; De la Torre and Black, 2001). In astronomy, where very large digital sky surveys have become the norm, PCA has been used to analyze and classify stellar spectra, carry out morphological and spectral classification of galaxies and quasars, and analyze images of supernova remnants (Steiner, Menezes, Ricci, and Oliveira, 2009). In bioinformatics, PCA has been used to study high-dimensional data generated by genome-wide, gene-expression experiments on a variety of tissue sources, where scatterplots of the top principal components in such studies often show specific classes of genes that are expressed by different clusters of distinctive biological characteristics (Yeung and Ruzzo, 2001; ZhengBradley, Rung, Parkinson, and Brazma, 2010). PCA has also been used to select an optimal subset of single nucleotide polymorphisms (SNPs) (Lin and Altman, 2004). PCA is also used to derive approximations to more complicated nonlinear subspaces, including problems involving data interpolation, compression, denoising, and visualization.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Spaces and Manifolds

Manifold learning involves concepts from general topology and differential geometry. Good introductions to topological spaces include Kelley (1955), Willard (1970), Bourbaki (1989), Mendelson (1990), Steen (1995), James (1999), and several of these have since been reprinted. Books on differential geometry include Spivak (1965), Kreyszig (1991), Kühnel (2000), Lee (2002), and Pressley (2010).

Manifolds generalize the notions of curves and surfaces in two and three dimensions to higher dimensions. Before we give a formal description of a manifold, it will be helpful to visualize the notion of a manifold. Imagine an ant at a picnic, where there are all sorts of items from cups to doughnuts. The ant crawls all over the picnic items, but because of its tiny size, the ant sees everything on a very small scale as flat and featureless. Similarly, a human, looking around at the immediate vicinity, would not see the curvature of the earth. A manifold (also referred to as a topological manifold) can be thought of in similar terms, as a topological space that locally looks flat and featureless and behaves like Euclidean space. Unlike a metric space, a topological space has no concept of distance. In this Section, we review specific definitions and ideas from topology and differential geometry that enable us to provide a useful definition of a manifold.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|EECS 559a

流形学习代写

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Spectral Embedding Methods for Manifold Learning

流形学习涵盖了几何、计算和统计学的大部分学科,已成为数据挖掘和统计学习的重要研究课题。流形学习最简单的描述是它是一类用于恢复嵌入在高维环境空间中的低维流形的算法。恢复高维数据的低维非线性嵌入方法的重大突破(Tenenbaum、de Silva 和 Langford,2000;Roweis 和 Saul,2000)导致构建了许多其他用于执行非线性流形学习的算法及其关闭相对的,非线性的降维。所有嵌入算法的主要工具是与适当随机矩阵的顶部几个或底部几个特征值相关联的特征向量集。我们将这些算法称为谱嵌入方法。谱嵌入方法旨在恢复线性或非线性流形,通常在高维空间中。

长期以来,线性方法一直被认为是统计学家工具箱的重要组成部分,包括主成分分析 (PCA) 和多维缩放 (MDS)。PCA 已成功用于许多不同的学科和应用。例如,在计算机视觉中,PCA 用于研究形状、外观和运动的抽象概念,以帮助解决面部和物体识别、监视、人员跟踪、安全和图像压缩中的高维数据问题(Turk 和彭特兰,1991 年;德拉托雷和布莱克,2001 年)。在天文学中,超大型数字巡天已成为常态,PCA 已被用于分析和分类恒星光谱,对星系和类星体进行形态和光谱分类,以及分析超新星遗迹的图像(Steiner、Menezes、Ricci 和奥利维拉,2009)。在生物信息学中,PCA 已被用于研究由对各种组织来源的全基因组基因表达实验产生的高维数据,其中此类研究中主要主要成分的散点图通常显示特定类别的基因,这些基因由不同的具有独特生物学特征的集群(Yeung 和 Ruzzo,2001;ZhengBradley、Rung、Parkinson 和 Brazma,2010)。PCA 还被用于选择单核苷酸多态性 (SNP) 的最佳子集 (Lin and Altman, 2004)。PCA 还用于推导更复杂的非线性子空间的近似值,包括涉及数据插值、压缩、去噪和可视化的问题。对各种组织来源的基因表达实验,其中此类研究中主要主要成分的散点图通常显示特定类别的基因,这些基因由不同的独特生物学特征簇表达(Yeung 和 Ruzzo,2001;ZhengBradley,Rung,Parkinson,和布拉兹马,2010)。PCA 还被用于选择单核苷酸多态性 (SNP) 的最佳子集 (Lin and Altman, 2004)。PCA 还用于推导更复杂的非线性子空间的近似值,包括涉及数据插值、压缩、去噪和可视化的问题。对各种组织来源的基因表达实验,其中此类研究中主要主要成分的散点图通常显示特定类别的基因,这些基因由不同的独特生物学特征簇表达(Yeung 和 Ruzzo,2001;ZhengBradley,Rung,Parkinson,和布拉兹马,2010)。PCA 还被用于选择单核苷酸多态性 (SNP) 的最佳子集 (Lin and Altman, 2004)。PCA 还用于推导更复杂的非线性子空间的近似值,包括涉及数据插值、压缩、去噪和可视化的问题。帕金森和布拉兹马,2010)。PCA 还被用于选择单核苷酸多态性 (SNP) 的最佳子集 (Lin and Altman, 2004)。PCA 还用于推导更复杂的非线性子空间的近似值,包括涉及数据插值、压缩、去噪和可视化的问题。帕金森和布拉兹马,2010)。PCA 还被用于选择单核苷酸多态性 (SNP) 的最佳子集 (Lin and Altman, 2004)。PCA 还用于推导更复杂的非线性子空间的近似值,包括涉及数据插值、压缩、去噪和可视化的问题。

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Spaces and Manifolds

流形学习涉及来自一般拓扑和微分几何的概念。对拓扑空间的良好介绍包括 Kelley (1955)、Willard (1970)、Bourbaki (1989)、Mendelson (1990)、Steen (1995)、James (1999),其中一些已被重印。有关微分几何的书籍包括 Spivak (1965)、Kreyszig (1991)、Kühnel (2000)、Lee (2002) 和 Pressley (2010)。

流形将二维和三维曲线和曲面的概念推广到更高维度。在我们正式描述流形之前,可视化流形的概念会很有帮助。想象一只蚂蚁在野餐,那里有各种各样的物品,从杯子到甜甜圈。蚂蚁在野餐物品上爬来爬去,但由于它的体积很小,蚂蚁在非常小的尺度上看到的一切都是平坦的、毫无特色的。同样,一个人环顾四周,看不到地球的曲率。流形(也称为拓扑流形)可以用类似的术语来理解,即局部看起来平坦且无特征的拓扑空间,其行为类似于欧几里得空间。与度量空间不同,拓扑空间没有距离的概念。

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考 请认准statistics-lab™

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
EXCEL代写深度学习代写
SQL代写各种数据建模与可视化代写

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Preserving the Estimated Density

如果你也在 怎样代写流形学习manifold data learning这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

流形学习是机器学习的一个流行且快速发展的子领域,它基于一个假设,即一个人的观察数据位于嵌入高维空间的低维流形上。本文介绍了流形学习的数学观点,深入探讨了核学习、谱图理论和微分几何的交叉点。重点放在图和流形之间的显著相互作用上,这构成了流形正则化技术的广泛使用的基础。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写流形学习manifold data learning方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写流形学习manifold data learning代写方面经验极为丰富,各种代写流形学习manifold data learning相关的作业也就用不着说。

我们提供的流形学习manifold data learning及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

  • Statistical Inference 统计推断
  • Statistical Computing 统计计算
  • Advanced Probability Theory 高等概率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
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机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Preserving the Estimated Density

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|The Optimization

Now that we have a method to estimate the density on a submanifold of $\mathbb{R}^{D}$, we can proceed to define an algorithm for density preserving maps. ${ }^{9}$ Suppose we are given a sample $X=\left{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right}$ of $m$ data points $x_{i} \in \mathbb{R}^{D}$ that live on a $d$-dimensional submanifold $M$ of $\mathbb{R}^{D}$. We first proceed to estimate the density at each one of the points, by using a slightly generalized version of the submanifold estimator that has variable bandwidths. Denoting the bandwidth for a given evaluation point $x_{j}$ and a reference (data) point $x_{i}$ by $h_{i j}$, the generalized, variable bandwidth estimator at $x_{j}$ is, ${ }^{10}$
$$
\hat{f_{j}}=\hat{f}\left(x_{j}\right)=\frac{1}{m} \sum_{i} \frac{1}{h_{i j}^{d}} K_{d}\left(\frac{\left|x_{j}-x_{i}\right|_{D}}{h_{i j}}\right) .
$$
Variable bandwidth methods allow the estimator to adapt to the inhomogeneities in the data. Various approaches exist for picking the bandwidths $h_{i j}$ as functions of the query (evaluation) point $x_{j}$ and/or the reference point $x_{i}[25]$. Here, we focus on the $k$ th-nearest neighbor approach for evaluation points, i.e., we take $h_{i j}$ to depend only on the evaluation point $x_{j}$, and we let $h_{i j}=h_{j}=$ the distance of the $k$ th nearest data (reference) point to the evaluation point $x_{j}$. Here, $k$ is a free parameter that needs to be picked by the user. However, instead of tuning it by hand, one can use a leave-one-out cross-validation score [25] such as the log-likelihood score for the density estimate to pick the best value. This is done by estimating the log-likelihood of each data point by using the leave-one-out version

of the density estimate $(3.7)$ for a range of $k$ values, and picking the $k$ that gives the highest log-likelihood.

Now, given the estimates $\hat{f}{j}=\hat{f}\left(x{j}\right)$ of the submanifold density at the $D$-dimensional data points $x_{j}$, we want to find a $d$-dimensional representation $X^{\prime}=\left{x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{m}^{\prime}\right}$, $x_{i}^{\prime} \in \mathbb{R}^{d}$ such that the new estimates $\hat{f}{i}^{\prime}$ at the points $x{i}^{\prime} \in \mathbb{R}^{d}$ agree with the original density estimates, i.e.,
$$
\hat{f}{i}^{\prime}=\hat{f}{i}, \quad i=1, \ldots, m .
$$
For this purpose, one can attempt, for example, to minimize the mean squared deviation of $\hat{f}{i}^{\prime}$ from $\hat{f}{i}$ as a function of the $x_{i}^{\prime}$ s, but such an approach would result in a non-convex optimization problem with many local minima. We formulate an alternative approach involving semidefinite programming, for the special case of the Epanechnikov kernel [25], which is known to be asymptotically optimal for density estimation, and is convenient for formulating a convex optimization problem for the matrix of inner products (the Gram matrix, or the kernel matrix) of the low dimensional data set $X^{\prime}$.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|The Optimization

The Epanechnikov kernel. The Epanechnikov kernel $k_{e}$ in $d$ dimensions is defined as,
$$
k_{e}\left(\left|x_{i}-x_{j}\right|\right)=\left{\begin{array}{cc}
N_{e}\left(1-\left|x_{i}-x_{j}\right|^{2}\right), & 0 \leq\left|x_{i}-x_{j}\right| \leq 1 \
0, & 1 \leq\left|x_{i}-x_{j}\right|
\end{array}\right.
$$
where $N_{e}$ is the normalization constant that ensures $\int_{\mathbb{R}{d}} k{e}\left(\left|x-x^{\prime}\right|\right) d^{d} x^{\prime}=1$. We will assume that the kernel used in the estimates $\hat{f}{i}$ and $\hat{f}{i}^{\prime}$ of the density via (3.7) is the Epanechnikov kernel. Owing to its quadratic form (3.9), this kernel facilitates the formulation of a convex optimization problem. Instead of seeking the dimensionally reduced version $X^{\prime}=\left{x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}\right}$ of the data set directly, we will first aim to obtain the kernel matrix $K_{i j}=x_{i}^{\prime} \cdot x_{j}^{\prime}$ for the low-dimensional data points. This is a common approach in the manifold learning literature, where one obtains the low-dimensional data points themselves from the $K_{i j}$ via a singular value decomposition.

We next formulate the DPM optimization problem using the Epanechnikov kernel, and comment on the motivation behind it. As in the case of distance-based manifold learning methods, there will likely be various approaches to density-preserving dimensional reduction, some computationally more efficient than the one discussed here. We hope the discussions in this chapter will stimulate further research in this area.

Given the estimated densities $\hat{f}{i}$, we seek a symmetric, positive semidefinite inner product matrix $K{i j}=x_{i}^{\prime} \cdot x_{j}^{\prime}$ that results in $d$-dimensional density estimates that agree with $\hat{f}_{i}$. In order to deal with the non-uniqueness problem mentioned during our discussion of densitypreserving maps between manifolds (which likely carries over to the discrete setting), we need to pick a suitable objective function to maximize. We choose the objective function to be the same as that of Maximum Variance Unfolding (MVU) [29], namely, $\operatorname{trace}(K)$. After getting rid of translations by constraining the center of mass of the dimensionally reduced data points to the origin, maximizing the objective function trace $(K)$ becomes equivalent to maximizing the sum of the squared distances between the data points [29].

While the objective function for DPM is the same as that of MVU, the constraints of the former will be weaker. Instead of preserving the distances between $k$-nearest neighbors, the DPM optimization defined below preserves the total contribution of the original $k$-nearest neighbors to the density estimate at the data points. As opposed to MVU, this allows for local stretches of the data set, and results in optimal kernel matrices $K$ that can be faithfully represented by a smaller number of dimensions than the intrinsic dimensionality suggested by MVU. For instance, while MVU is capable of unrolling data on the Swiss roll onto a flat plane, it is impossible to lay data from a spherical cap onto the plane while keeping the distances to the $k$ th nearest neighbors fixed. ${ }^{11}$ Thus, the constraints of the optimization in MVU are too stringent to give an inner product matrix $K$ of rank 2, when the original data is on an intrinsically curved surface in $\mathbb{R}^{3}$. We will see below that the looser constraints of DPM allow it to do a better job in capturing the intrinsic dimensionality of a curved surface.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Summary

In this chapter, we discussed density preserving maps, a density-based alternative to distancebased methods of manifold learning. This method aims to perform dimensionality reduction on large-dimensional data sets in a way that preservs their density. By using a classical result due to Moser, we proved that density preserving maps to $\mathbb{R}^{d}$ exist even for data on intrinsically curved $d$-dimensional submanifolds of $\mathbb{R}^{D}$ that are globally, or topologically “simple.” Since the underlying probability density function is arguably one of the most fundamental statistical quantities pertaining to a data set, a method that preserves densities while performing dimensionality reduction is guaranteed to preserve much valuable structure in the data. While distance-preserving approaches distort data on intrinsically curved spaces in various ways, density preserving maps guarantee that certain fundamental statistical information is conserved.

We reviewed a method of estimating the density on a submanifold of Euclidean space. This method was a slightly modified version of the classical method of kernel density estimation, with the additional property that the convergence rate was determined by the intrinsic dimensionality of the data, instead of the full dimensionality of the Euclidean space the data was embedded in. We made a further modification on this estimator to allow for variable “bandwidths,” and used it with a specific kernel function to set up a semidefinite optimization problem for a proof-of-concept approach to density preserving maps. The objective function used was identical to the one in Maximum Variance Unfolding [29], but the constraints were significantly weaker than the distance-preserving constraints in MVU. By testing the methods on two relatively small, synthetic data sets, we experimentally confirmed the theoretical expectations and showed that density preserving maps are better in detecting and reducing to the intrinsic dimensionality of the data than some of the commonly used distance-based approaches that also work by first estimating a kernel matrix.
While the initial formulation presented in this chapter is not yet scalable to large data sets, we hope our discussion will motivate our readers to pursue the idea of density preserving maps further, and explore alternative, superior formulations. One possible approach to speeding up the computation is to use fast semidefinite programming techniques [4].

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Preserving the Estimated Density

流形学习代写

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|The Optimization

现在我们有了一种方法来估计子流形上的密度RD,我们可以继续定义密度保持图的算法。9假设我们有一个样本X=\left{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right}X=\left{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right}的米数据点X一世∈RD生活在d维子流形米的RD. 我们首先通过使用具有可变带宽的子流形估计器的稍微概括的版本来估计每个点的密度。表示给定评估点的带宽Xj和一个参考(数据)点X一世经过H一世j,广义的可变带宽估计器Xj是,10
Fj^=F^(Xj)=1米∑一世1H一世jdķd(|Xj−X一世|DH一世j).
可变带宽方法允许估计器适应数据中的不均匀性。存在多种选择带宽的方法H一世j作为查询(评估)点的函数Xj和/或参考点X一世[25]. 在这里,我们专注于ķ评估点的th最近邻方法,即我们取H一世j仅取决于评估点Xj,我们让H一世j=Hj=的距离ķ距离评估点最近的数据(参考)点Xj. 这里,ķ是一个需要用户选择的自由参数。但是,可以使用留一法交叉验证分数 [25](例如密度估计的对数似然分数)来选择最佳值,而不是手动调整它。这是通过使用留一法估计每个数据点的对数似然来完成的

的密度估计(3.7)对于一系列ķ值,并选择ķ这给出了最高的对数似然。

现在,鉴于估计F^j=F^(Xj)的子流形密度D维数据点Xj,我们想找到一个d维表示X^{\prime}=\left{x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{m}^{\prime}\right}X^{\prime}=\left{x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{m}^{\prime}\right}, X一世′∈Rd这样新的估计F^一世′在点X一世′∈Rd与原始密度估计一致,即
F^一世′=F^一世,一世=1,…,米.
为此,可以尝试,例如,最小化F^一世′从F^一世作为一个函数X一世′s,但这种方法会导致具有许多局部最小值的非凸优化问题。我们制定了一种涉及半定规划的替代方法,用于 Epanechnikov 核 [25] 的特殊情况,已知它对于密度估计是渐近最优的,并且便于制定内积矩阵的凸优化问题(Gram低维数据集的矩阵或核矩阵)X′.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|The Optimization

Epanechnikov 内核。Epanechnikov 内核ķ和在d维度定义为
$$
k_{e}\left(\left|x_{i}-x_{j}\right|\right)=\left{ñ和(1−|X一世−Xj|2),0≤|X一世−Xj|≤1 0,1≤|X一世−Xj|\对。
$$
在哪里ñ和是确保 $\int_{\mathbb{R} {d}} k {e}\left(\left|xx^{\prime}\right|\right) d^{d} x^{\素数}=1.在和在一世ll一种ss在米和吨H一种吨吨H和ķ和rn和l在s和d一世n吨H和和s吨一世米一种吨和s\帽子{f} {i}一种nd\hat{f} {i}^{\素数}这F吨H和d和ns一世吨是在一世一种(3.7)一世s吨H和和p一种n和CHn一世ķ这在ķ和rn和l.这在一世nG吨这一世吨sq在一种dr一种吨一世CF这r米(3.9),吨H一世sķ和rn和lF一种C一世l一世吨一种吨和s吨H和F这r米在l一种吨一世这n这F一种C这n在和X这p吨一世米一世和一种吨一世这npr这bl和米.一世ns吨和一种d这Fs和和ķ一世nG吨H和d一世米和ns一世这n一种ll是r和d在C和d在和rs一世这nX^{\prime}=\left{x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}\right}这F吨H和d一种吨一种s和吨d一世r和C吨l是,在和在一世llF一世rs吨一种一世米吨这这b吨一种一世n吨H和ķ和rn和l米一种吨r一世XK_{ij}=x_{i}^{\prime} \cdot x_{j}^{\prime}F这r吨H和l这在−d一世米和ns一世这n一种ld一种吨一种p这一世n吨s.吨H一世s一世s一种C这米米这n一种ppr这一种CH一世n吨H和米一种n一世F这ldl和一种rn一世nGl一世吨和r一种吨在r和,在H和r和这n和这b吨一种一世ns吨H和l这在−d一世米和ns一世这n一种ld一种吨一种p这一世n吨s吨H和米s和l在和sFr这米吨H和K_{ij}$ 通过奇异值分解。

接下来,我们使用 Epanechnikov 内核制定 DPM 优化问题,并评论其背后的动机。与基于距离的流形学习方法一样,可能会有各种方法来保持密度降维,其中一些方法在计算上比这里讨论的方法更有效。我们希望本章的讨论将激发该领域的进一步研究。

给定估计的密度F^一世,我们寻求一个对称的半正定内积矩阵ķ一世j=X一世′⋅Xj′这导致d维密度估计符合F^一世. 为了处理我们在讨论流形之间的密度保持映射时提到的非唯一性问题(这可能会延续到离散设置),我们需要选择一个合适的目标函数来最大化。我们选择的目标函数与最大方差展开(MVU)[29]的目标函数相同,即痕迹⁡(ķ). 通过将降维数据点的质心约束到原点来消除平移后,最大化目标函数轨迹(ķ)变得等效于最大化数据点之间的平方距离之和 [29]。

虽然 DPM 的目标函数与 MVU 的目标函数相同,但前者的约束会更弱。而不是保留之间的距离ķ-最近邻,下面定义的 DPM 优化保留原始的总贡献ķ- 数据点处密度估计的最近邻。与 MVU 不同,这允许数据集的局部延伸,并产生最佳内核矩阵ķ可以用比 MVU 建议的固有维度更少的维度来忠实地表示。例如,虽然 MVU 能够将瑞士卷上的数据展开到平面上,但不可能将球冠上的数据放在平面上,同时保持与球冠的距离。ķth 最近的邻居固定。11因此,MVU 中优化的约束过于严格,无法给出内积矩阵ķ等级 2,当原始数据在一个固有曲面上时R3. 我们将在下面看到,DPM 更宽松的约束使其能够更好地捕捉曲面的内在维度。

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Summary

在本章中,我们讨论了密度保持图,这是一种基于密度的流形学习方法的基于距离的替代方法。该方法旨在以保持其密度的方式对大维数据集执行降维。通过使用 Moser 的经典结果,我们证明了密度保持映射到Rd甚至对于内在弯曲的数据也存在d的维子流形RD全局或拓扑“简单”的。由于潜在的概率密度函数可以说是与数据集有关的最基本的统计量之一,因此在执行降维的同时保留密度的方法可以保证在数据中保留许多有价值的结构。虽然距离保持方法以各种方式扭曲了内在弯曲空间上的数据,但密度保持图保证了某些基本统计信息的保存。

我们回顾了一种估计欧几里得空间子流形上的密度的方法。该方法是经典核密度估计方法的略微修改版本,具有收敛速度由数据的固有维度决定的附加属性,而不是数据嵌入的欧几里得空间的全维度。我们对此估计器进行了进一步修改以允许可变“带宽”,并将其与特定的核函数一起使用,为密度保持图的概念验证方法设置半定优化问题。使用的目标函数与最大方差展开 [29] 中的目标函数相同,但约束明显弱于 MVU 中的距离保持约束。通过对两种比较少的方法进行测试,
虽然本章介绍的初始公式还不能扩展到大型数据集,但我们希望我们的讨论能够激发我们的读者进一步追求密度保持图的想法,并探索替代的、优越的公式。加速计算的一种可能方法是使用快速半定编程技术[4]。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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流形学习是机器学习的一个流行且快速发展的子领域,它基于一个假设,即一个人的观察数据位于嵌入高维空间的低维流形上。本文介绍了流形学习的数学观点,深入探讨了核学习、谱图理论和微分几何的交叉点。重点放在图和流形之间的显著相互作用上,这构成了流形正则化技术的广泛使用的基础。

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机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考| Density Estimation on Submanifolds

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Introduction

Kernel density estimation (KDE) [21] is one of the most popular methods of estimating the underlying probability density function (PDF) of a data set. Roughly speaking, KDE consists of having the data points contribute to the estimate at a given point according to their distances from that point – closer the point, the bigger the contribution. More precisely, in the simplest multi-dimensional KDE [5], the estimate $\hat{f}{m}\left(\mathbf{y}{0}\right)$ of a PDF $f\left(\mathbf{y}{0}\right)$ at a point $\mathbf{y}{0} \in \mathbb{R}^{D}$ is given in terms of a sample $\left{\mathbf{y}{1}, \ldots, \mathbf{y}{m}\right}$ as,
$$
\hat{f}{m}\left(\mathbf{y}{0}\right)=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{h_{m}^{D}} K\left(\frac{\left|\mathbf{y}{i}-\mathbf{y}{0}\right|}{h_{m}}\right),
$$
where $h_{m}>0$, the bandwidth, is chosen to approach to zero in a suitable manner as the number $m$ of data points increases, and $K:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty)$ is a kernel function that satisfies certain properties such as boundedness. Various theorems exist on the different types and rates of convergence of the estimator to the correct result. The earliest result on the pointwise convergence rate in the multivariable case seems to be given in [5], where it is stated that under certain conditions for $f$ and $K$, assuming $h_{m} \rightarrow 0$ and $m h_{m}^{D} \rightarrow \infty$ as $m \rightarrow \infty$, the mean squared error in the estimate $\hat{f}\left(\mathbf{y}{0}\right)$ of the density at a point goes to zero with the rate, $$ \operatorname{MSE}\left[\hat{f}{m}\left(\mathbf{y}{0}\right)\right]=\mathrm{E}\left[\left(\hat{f}{m}\left(\mathbf{y}{0}\right)-f\left(\mathbf{y}{0}\right)\right)^{2}\right]=O\left(h_{m}^{4}+\frac{1}{m h_{m}^{D}}\right)
$$
as $m \rightarrow \infty$. If $h_{m}$ is chosen to be proportional to $m^{-1 /(D+4)}$, one gets,
$$
\operatorname{MSE}\left[\hat{f}{m}(p)\right]=O\left(\frac{1}{m^{4 /(D+4)}}\right), $$ as $m \rightarrow \infty$. The two conditions $h{m} \rightarrow 0$ and $m h_{m}^{D} \rightarrow \infty$ ensure that, as the number of data points increases, the density estimate at a point is determined by the values of the density in a smaller and smaller region around that point, but the number of data points contributing to the estimate (which is roughly proportional to the volume of a region of size $h_{m}$ ) grows unboundedly, respectively.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Motivation for the Submanifold Estimator

We would like to estimate the values of a PDF that lives on an (unknown) $d$-dimensional Riemannian submanifold $M$ of $\mathbb{R}^{D}$, where $d<D$. Usually, $D$-dimensional KDE does not work for such a distribution. This can be intuitively understood by considering a distribution on a line in the plane: 1-dimensional KDE performed on the line (with a bandwidth $h_{m}$ satisfying the asymptotics given above) would converge to the correct density on the line, but 2-dimensional KDE, differing from the former only by a normalization factor that blows up as the bandwidth $h_{m} \rightarrow 0$ (compare (3.1) for the cases $D=2$ and $D=1$ ), diverges. This behavior is due to the fact that, similar to a “delta function” distribution on $\mathbb{R}$, the $D$-dimensional density of a distribution on a $d$-dimensional submanifold of $\mathbb{R}^{D}$ is, strictly speaking, undefined – the density is zero outside the submanifold, and in order to have proper normalization, it has to be infinite on the submanifold. More formally, the $D$ dimensional probability measure for a $d$-dimensional PDF supported on $M$ is not absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure on $\mathbb{R}^{D}$, and does not have a probability

density function on $\mathbb{R}^{D}$. If one attempts to use $D$-dimensional KDE for data drawn from such a probability measure, the estimator will “attempt to converge” to a singular PDF; one that is infinite on $M$, zero outside.

For a distribution with support on a line in the plane, we can resort to 1-dimensional KDE to get the correct density on the line, but how could one estimate the density on an unknown, possibly curved submanifold of dimension $d<D$ ? Essentially the same approach works: even for data that lives on an unknown, curved $d$-dimensional submanifold of $\mathbb{R}^{D}$, it suffices to use the $d$-dimensional kernel density estimator with the Euclidean distance on $\mathbb{R}^{D}$ to get a consistent estimator of the submanifold density. Furthermore, the convergence rate of this estimator can be bounded as in (3.3), with $D$ being replaced by $d$, the intrinsic dimension of the submanifold. [20]

The intuition behind this approach is based on three facts: 1) For small bandwidths, the main contribution to the density estimate at a point comes from data points that are nearby; 2) For small distances, a $d$-dimensional Riemannian manifold “looks like” $\mathbb{R}^{d}$, and densities in $\mathbb{R}^{d}$ should be estimated by a $d$-dimensional kernel, instead of a $D$-dimensional one; and 3) For points of $M$ that are close to each other, the intrinsic distances as measured on $M$ are close to Euclidean distances as measured in the surrounding $\mathbb{R}^{D}$. Thus, as the number of data points increases and the bandwidth is taken to be smaller and smaller, estimating the density by using a kernel normalized for $d$ dimensions and distances as measured in $\mathbb{R}^{D}$ should give a result closer and closer to the correct value.

We will next give the formal definition of the estimator motivated by these considerations, and state the theorem on its asymptotics. As in the original work of Parzen [21], the pointwise consistence of the estimator can be proven by using a bias-variance decomposition. The asymptotic unbiasedness of the estimator follows from the fact that as the bandwidth converges to zero, the kernel function becomes a “delta function.” Using this fact, it is possible to show that with an appropriate choice for the vanishing rate of the bandwidth, the variance also vanishes asymptotically, completing the proof of the pointwise consistency of the estimator.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Statement of the Theorem

Let $(M, \mathbf{g})$ be a $d$-dimensional, embedded, complete, compact Riemannian submanifold of $\mathbb{R}^{D}(d0 .^{7}$ Let $d(p, q)=d_{p}(q)$ be the length of a length-minimizing geodesic in $M$ between $p, q \in M$, and let $u(p, q)=u_{p}(q)$ be the geodesic distance between $p$ and $q$ as measured in $\mathbb{R}^{D}$ (thus, $u(p, q)$ is simply the Euclidean distance between $p$ and $q$ in $\left.\mathbb{R}^{D}\right)$. Note that $u(p, q) \leq d(p, q)$. We will denote the Riemannian volume measure on $M$ by $V$, and the volume form by $d V .^{8}$
Theorem 3.3.1 Let $f: M \rightarrow[0, \infty)$ be a probability density function defined on $M$ (so that the related probability measure is $f V)$, and $K:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty)$ be a continuous function that vanishes outside $[0,1)$, is differentiable with a bounded derivative in $[0,1)$, and satisfies the normalization condition, $\int_{|\mathbf{z}| \leq 1} K(|\mathbf{z}|) d^{d} \mathbf{z}=1$. Assume $f$ is differentiable to second order in a neighborhood of $p \in M$, and for a sample $q_{1}, \ldots, q_{m}$ of size $m$ drawn from the

density $f$, define an estimator $\hat{f}{m}(p)$ of $f(p)$ as, $$ \hat{f}{m}(p)=\frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} \frac{1}{h_{m}^{d}} K\left(\frac{u_{p}\left(q_{j}\right)}{h_{m}}\right)
$$
where $h_{m}>0$. If $h_{m}$ satisfies $\lim {m \rightarrow \infty} h{m}=0$ and $\lim {m \rightarrow \infty} m h{m}^{d}=\infty$, then, there exist non-negative numbers $m_{}, C_{b}$, and $C_{V}$ such that for all $m>m_{}$ the mean squared error of the estimator (3.4) satisfies,
$$
\operatorname{MSE}\left[\hat{f}{m}(p)\right]=\mathrm{E}\left[\left(\hat{f}{m}(p)-f(p)\right)^{2}\right]<C_{b} h_{m}^{4}+\frac{C_{V}}{m h_{m}^{d}}
$$
If $h_{m}$ is chosen to be proportional to $m^{-1 /(d+4)}$, this gives,
$$
\mathrm{E}\left[\left(f_{m}(p)-f(p)\right)^{2}\right]=O\left(\frac{1}{m^{4 /(d+4)}}\right)
$$
as $m \rightarrow \infty$.
Thus, the bound on the convergence rate of the submanifold density estimator is as in (3.2), (3.3), with the dimensionality $D$ replaced by the intrinsic dimension $d$ of $M$. As mentioned above, the proof of this theorem follows from two lemmas on the convergence rates of the bias and the variance; the $h_{m}^{4}$ term in the bound corresponds to the bias, and the $1 / m h_{m}^{d}$ term corresponds to the variance; see $[20]$ for details. This approach to submanifold density estimation was previously mentioned in [11], and the thesis [10] contains the details, although in a more technical and general approach than the elementary one followed in [20].

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流形学习代写

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Introduction

核密度估计 (KDE) [21] 是估计数据集的潜在概率密度函数 (PDF) 的最流行的方法之一。粗略地说,KDE 包括让数据点根据它们与该点的距离对给定点的估计做出贡献——越接近该点,贡献越大。更准确地说,在最简单的多维 KDE [5] 中,估计F^米(是0)PDF 的F(是0)在某一点是0∈RD以样本的形式给出\left{\mathbf{y}{1}, \ldots, \mathbf{y}{m}\right}\left{\mathbf{y}{1}, \ldots, \mathbf{y}{m}\right}作为,
F^米(是0)=1米∑一世=1米1H米Dķ(|是一世−是0|H米),
在哪里H米>0,带宽,被选择为以适当的方式接近零作为数字米数据点的增加,并且ķ:[0,∞)→[0,∞)是满足某些属性(例如有界性)的核函数。关于估计器对正确结果的不同类型和收敛速度,存在各种定理。关于多变量情况下逐点收敛速度的最早结果似乎在 [5] 中给出,其中指出在某些条件下F和ķ, 假设H米→0和米H米D→∞作为米→∞, 估计中的均方误差F^(是0)一个点的密度随速率变为零,MSE⁡[F^米(是0)]=和[(F^米(是0)−F(是0))2]=这(H米4+1米H米D)
作为米→∞. 如果H米选择成正比于米−1/(D+4),一个得到,
MSE⁡[F^米(p)]=这(1米4/(D+4)),作为米→∞. 两个条件H米→0和米H米D→∞确保随着数据点数量的增加,一个点的密度估计值由该点周围越来越小的区域中的密度值决定,但对估计值有贡献的数据点数量(大致成正比)到一个大小区域的体积H米) 分别无限增长。

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Motivation for the Submanifold Estimator

我们想估计位于(未知)上的 PDF 的值d维黎曼子流形米的RD, 在哪里d<D. 通常,D维 KDE 不适用于这样的分布。这可以通过考虑平面中一条线上的分布来直观地理解:在线上执行的一维 KDE(具有带宽H米满足上面给出的渐近线)将收敛到线上的正确密度,但是二维 KDE,与前者的区别仅在于随着带宽爆炸的归一化因子H米→0(比较(3.1)的情况D=2和D=1),发散。这种行为是由于这样一个事实,类似于“三角函数”分布R, 这D-a 上分布的维密度d维子流形RD严格来说,是未定义的——密度在子流形之外为零,并且为了进行适当的归一化,它在子流形上必须是无限的。更正式地说,D维概率测度d支持的三维PDF米就 Lebesgue 测度而言不是绝对连续的RD, 并且没有概率

密度函数RD. 如果尝试使用D从这种概率度量中提取的数据的维 KDE,估计器将“尝试收敛”为奇异 PDF;一个无限的米, 外为零。

对于平面中一条线上的支持分布,我们可以求助于一维 KDE 来获得线上的正确密度,但是如何估计未知的、可能是弯曲的维度子流形上的密度d<D? 本质上相同的方法有效:即使对于存在于未知、弯曲的数据d维子流形RD, 使用就足够了d具有欧几里得距离的维核密度估计器RD得到子流形密度的一致估计。此外,该估计器的收敛速度可以如 (3.3) 中的那样有界,其中D被取代d,子流形的内在维度。[20]

这种方法背后的直觉基于三个事实:1)对于小带宽,对一个点的密度估计的主要贡献来自附近的数据点;2) 对于小距离,ad维黎曼流形“看起来像”Rd, 和密度Rd应该由一个估计d维内核,而不是D-维一;和 3) 对于点米彼此接近的,所测量的内在距离米接近在周围测量的欧几里得距离RD. 因此,随着数据点数量的增加和带宽越来越小,通过使用归一化的内核来估计密度d测量的尺寸和距离RD应该给出越来越接近正确值的结果。

接下来我们将给出由这些考虑引起的估计量的正式定义,并在其渐近性上陈述定理。与 Parzen [21] 的原始工作一样,估计器的逐点一致性可以通过使用偏差-方差分解来证明。估计器的渐近无偏性源于这样一个事实,即随着带宽收敛到零,核函数变为“delta 函数”。利用这一事实,可以证明,有了适当的选择带宽速率,该方差也渐近地消失,完成估计器的点一致性的证明。

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Statement of the Theorem

让(米,G)做一个d维的、嵌入的、完整的、紧致的黎曼子流形RD(d0.7让d(p,q)=dp(q)是长度最小的测地线的长度米之间p,q∈米, 然后让在(p,q)=在p(q)是之间的测地线距离p和q如测量RD(因此,在(p,q)只是之间的欧几里得距离p和q在RD). 注意在(p,q)≤d(p,q). 我们将在米经过在, 体积形式为d在.8
定理 3.3.1 令F:米→[0,∞)是一个概率密度函数,定义在米(因此相关的概率测度是F在), 和ķ:[0,∞)→[0,∞)是一个在外部消失的连续函数[0,1), 可与有界导数微分[0,1),并且满足归一化条件,∫|和|≤1ķ(|和|)dd和=1. 认为F在邻域中可微分到二阶p∈米,对于一个样本q1,…,q米大小的米取自

密度F, 定义一个估计器F^米(p)的F(p)作为,F^米(p)=1米∑j=1米1H米dķ(在p(qj)H米)
在哪里H米>0. 如果H米满足林米→∞H米=0和林米→∞米H米d=∞, 则存在非负数米,Cb, 和C在这样对于所有人米>米估计器 (3.4) 的均方误差满足,
MSE⁡[F^米(p)]=和[(F^米(p)−F(p))2]<CbH米4+C在米H米d
如果H米选择成正比于米−1/(d+4),这给出了,
和[(F米(p)−F(p))2]=这(1米4/(d+4))
作为米→∞.
因此,子流形密度估计器的收敛速度的界限如(3.2),(3.3),具有维数D被内在维度取代d的米. 如上所述,这个定理的证明来自关于偏差和方差收敛速度的两个引理;这H米4边界中的项对应于偏差,并且1/米H米d项对应于方差;看[20]详情。这种子流形密度估计的方法之前在[11]中提到过,论文[10]包含了细节,尽管它比[20]中的基本方法更技术和更通用。

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有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|The Existence of Density Preserving Maps

如果你也在 怎样代写流形学习manifold data learning这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

流形学习是机器学习的一个流行且快速发展的子领域,它基于一个假设,即一个人的观察数据位于嵌入高维空间的低维流形上。本文介绍了流形学习的数学观点,深入探讨了核学习、谱图理论和微分几何的交叉点。重点放在图和流形之间的显著相互作用上,这构成了流形正则化技术的广泛使用的基础。

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机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|The Existence of Density Preserving Maps

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Moser’s Theorem

Riemannian manifolds. We begin by restricting our attention to data subspaces which are Riemannian submanifolds of $\mathbb{R}^{D}$. Riemannian manifolds provide a generalization of the notion of a smooth surface in $\mathbb{R}^{3}$ to higher dimensions. As first clarified by Gauss in the two-dimensional case and by Riemann in the general case, it turns out that intrinsic features of the geometry of a surface, such as the lengths of its curves or intrinsic distances between its points, etc., can be given in terms of the so-called metric tensor ${ }^{2} \mathrm{~g}$, without referring to the particular way the the surface is embedded in $\mathbb{R}^{3}$. A space whose geometry is defined in terms of a metric tensor is called a Riemannian manifold (for a rigorous definition, see, e.g., $[12,16,2])$.

The Gauss/Riemann result mentioned above states that if the intrinsic curvature of a Riemannian manifold $\left(M, \mathbf{g}_{M}\right)$ is not zero in an open set $U \in M$, it is not possible to find

a map from $M$ into $\mathbb{R}^{d}$ that preserves the distances between the points of $U$. Thus, there exists a local obstruction, namely, the curvature, to the existence of distance-preserving maps. It turns out that no such local obstruction exists for volume-preserving maps. The only invariant is a global one, namely, the total volume. ${ }^{3}$ This is the content of Moser’s theorem on volume-preserving maps, which we state next.

Theorem 3.2.1 (Moser [18]) Let $\left(M, \mathbf{g}{M}\right)$ and $\left(N, \mathbf{g}{N}\right)$ be two closed, connected, orientable, $d$-dimensional differentiable manifolds that are diffeomorphic to each other. Let $\tau_{M}$ and $\tau_{N}$ be volume forms, i.e., nowhere vanishing $d$-forms on these manifolds, satisfying $\int_{M} \tau_{M}=$ $\int_{N} \tau_{N}$. Then, there exists a diffeomorphism $\phi: M \rightarrow N$ such that $\tau_{M}=\phi^{*} \tau_{N}$, i.e., the volume form on $M$ is the same as the pull-back of the volume form on $N$ by $\phi .^{4}$

The meaning of this result is that, if two manifolds with the same “global shape” (i.e., two manifolds that are diffeomorphic) have the same total volume, one can find a map between them that preserves the volume locally. The surfaces of a mug and a torus are the classical examples used for describing global, topological equivalence. Although these objects have the same “global shape” (topology/smooth structure) their intrinsic, local geometries are different. Moser’s theorem states that if their total surface areas are the same, one can find a map between them that preserves the areas locally, as well, i.e., a map that sends all small regions on one surface to regions in the other surface in a way that preserves the areas.

Using this theorem, we now show that it is possible to find density-preserving maps between Riemannian manifolds that have the same total volume. This is due to the fact that if local volumes are preserved under a map, the density of a distribution will also be preserved.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Dimensional Reduction

These results were formulated in terms of so-called closed manifolds, i.e., compact manifolds without boundary. The practical dimensionality reduction problem we would like to address, on the other hand, involves starting with a $d$-dimensional data submanifold $M$ of $\mathbb{R}^{D}$ (where $d<D)$, and dimensionally reducing to $\mathbb{R}^{d}$. In order to be able to do this diffeomorphically, $M$ must be diffeomorphic to a subspace of $\mathbb{R}^{d}$, which is not generally the case for closed manifolds. For instance, although we can find a diffeomorphism from a hemisphere (a manifold with boundary, not a closed manifold) into the plane, we cannot find one from the unit sphere (a closed manifold) into the plane. This is a constraint on all dimensional reduction algorithms that preserve the global topology of the data space, not just density preserving maps. Any algorithm that aims to avoid “tearing” or “folding” the data subspace during the reduction will fail on problems like reducing a sphere to $\mathbb{R}^{2.5}$

Thus, in order to show that density preserving maps into $\mathbb{R}^{d}$ exist for a useful class of $d$-dimensional data manifolds, we have to make sure that the conclusion of Moser’s theorem and our corollary work for certain manifolds with boundary, or for certain non-compact manifolds, as well. Fortunately, this is not so hard, at least for a simple class of manifolds that is enough to be useful. In proving his theorem for closed manifolds, Moser [18] first gives a proof for a single “coordinate patch” in such a manifold, which, basically, defines a compact manifold with boundary minus the boundary itself. Not all $d$-dimensional manifolds with boundary (minus their boundaries) can be given by atlases consisting of a single coordinate patch, but the ones that can be so given cover a wide range of curved Riemannian manifolds, including the hemisphere and the Swiss roll, possibly with punctures. In the following, we will assume that $M$ consists of a single coordinate patch.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Intuition on Non-Uniqueness

Note that the results above claim the existence of volume (or density) preserving maps, but not uniqueness. In fact, the space of volume-preserving maps is very large. An intuitive way to see this is to consider the flow of an incompressible fluid in $\mathbb{R}^{3}$. The fluid may cover the same region in space at two given times, but the fluid particles may have gone through significant shuffling. The map from the original configuration of the fluid to the final one is a volume preserving diffeomorphism, assuming the flow is smooth. The infinity of ways a fluid can move shows the infinity of ways of preserving volume.

Distance-preserving maps may also have some non-uniqueness, but this is parametrized by a finite-dimensional group, namely, the isometry group of the Riemannian manifold under consideration. ${ }^{6}$ The case of volume-preserving maps is much worse, the space of volumepreserving diffeomorphisms being infinite-dimensional. Since the aim of this chapter is to describe a manifold-learning method that preserves volumes/densities, we are faced with the following question: Given a data manifold with intrinsic dimension $d$ that is diffeomorphic to a subset of $\mathbb{R}^{d}$, which map, in the infinite-dimensional space of volume-preserving maps from this manifold to $\mathbb{R}^{d}$, is the “best”? In Section 3.4, we will describe an approach to this problem by setting up a specific optimization procedure. But first, let us describe a method for estimating densities on submanifolds.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|The Existence of Density Preserving Maps

流形学习代写

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Moser’s Theorem

黎曼流形。我们首先将注意力限制在数据子空间上,这些数据子空间是RD. 黎曼流形提供了光滑表面概念的一般化R3到更高的维度。正如高斯在二维情况下和黎曼在一般情况下首先阐明的那样,表面几何的内在特征,例如曲线的长度或点之间的内在距离等,可以用所谓的度量张量给出2 G, 没有提到表面嵌入的特定方式R3. 其几何由度量张量定义的空间称为黎曼流形(对于严格的定义,请参见,例如,[12,16,2]).

上面提到的高斯/黎曼结果表明,如果黎曼流形的本征曲率(米,G米)在开集中不为零在∈米, 找不到

一张地图米进入Rd保留点之间的距离在. 因此,保距图的存在存在一个局部障碍,即曲率。事实证明,保体地图不存在这样的局部障碍。唯一的不变量是全局变量,即总体积。3这就是 Moser 定理关于保体积映射的内容,我们接下来会说明。

定理 3.2.1 (Moser [18]) 令 $\left(M, \mathbf{g} {M}\right)一种nd\left(N, \mathbf{g} {N}\right)b和吨在这Cl这s和d,C这nn和C吨和d,这r一世和n吨一种bl和,d−d一世米和ns一世这n一种ld一世FF和r和n吨一世一种bl和米一种n一世F这lds吨H一种吨一种r和d一世FF和这米这rpH一世C吨这和一种CH这吨H和r.大号和吨\tau_ {M}一种nd\tau_{N}b和在这l在米和F这r米s,一世.和.,n这在H和r和在一种n一世sH一世nGd−F这r米s这n吨H和s和米一种n一世F这lds,s一种吨一世sF是一世nG\int_{M} \tau_{M}=\ int_ {N} \ tau_ {N}.吨H和n,吨H和r和和X一世s吨s一种d一世FF和这米这rpH一世s米\phi: M \rightarrow Ns在CH吨H一种吨\tau_{M}=\phi^{*} \tau_{N},一世.和.,吨H和在这l在米和F这r米这n米一世s吨H和s一种米和一种s吨H和p在ll−b一种Cķ这F吨H和在这l在米和F这r米这nñb是\phi .^{4}$

这个结果的意思是,如果两个具有相同“全局形状”的流形(即,两个微分同胚的流形)具有相同的总体积,则可以在它们之间找到一个局部保留体积的映射。杯子和圆环的表面是用于描述全局拓扑等价的经典例子。尽管这些对象具有相同的“全局形状”(拓扑/光滑结构),但它们内在的局部几何形状是不同的。Moser 定理指出,如果它们的总表面积相同,则可以在它们之间找到一个在局部保留区域的映射,即一张将一个表面上的所有小区域以某种方式发送到另一个表面上的区域的映射保留这些区域。

使用这个定理,我们现在表明可以在具有相同总体积的黎曼流形之间找到保持密度的映射。这是因为如果在地图下保留局部体积,则分布的密度也将保留。

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Dimensional Reduction

这些结果是用所谓的封闭流形表示的,即没有边界的紧凑流形。另一方面,我们想要解决的实际降维问题涉及从一个d维数据子流形米的RD(在哪里d<D), 并降维为Rd. 为了能够微分同胚地做到这一点,米必须微分同胚于子空间Rd,这通常不是封闭歧管的情况。例如,虽然我们可以找到从半球(有边界的流形,而不是封闭的流形)到平面的微分同胚,但我们找不到从单位球体(封闭的流形)到平面的微分同胚。这是对保留数据空间全局拓扑的所有降维算法的约束,而不仅仅是保留密度图。任何旨在避免在缩减过程中“撕裂”或“折叠”数据子空间的算法都会在诸如将球体缩减为R2.5

因此,为了表明密度保持映射到Rd存在一个有用的类别d维数据流形,我们必须确保 Moser 定理的结论和我们的推论适用于某些有边界的流形,或者某些非紧流形。幸运的是,这并不难,至少对于一个简单的流形类来说就足够有用了。在证明他的闭流形定理时,Moser [18] 首先给出了这样一个流形中单个“坐标补丁”的证明,它基本上定义了一个紧凑流形,其边界减去边界本身。不是全部d具有边界(减去它们的边界)的维流形可以通过由单个坐标块组成的图集给出,但是可以给出的图集涵盖了广泛的弯曲黎曼流形,包括半球和瑞士卷,可能带有穿孔. 下面,我们假设米由单个坐标补丁组成。

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Intuition on Non-Uniqueness

请注意,上述结果声称存在体积(或密度)保留图,但不是唯一性。事实上,保体贴图的空间非常大。看到这一点的一种直观方法是考虑不可压缩流体的流动R3. 流体可能在两个给定时间覆盖空间中的相同区域,但流体粒子可能已经经历了显着的改组。假设流动是平滑的,从流体的原始配置到最终配置的映射是一个保持体积的微分同胚。流体可以移动的无限方式显示了保持体积的无限方式。

距离保持映射也可能有一些非唯一性,但这是由一个有限维群参数化的,即所考虑的黎曼流形的等距群。6保体映射的情况更糟,保体微分同胚的空间是无限维的。由于本章的目的是描述一种保留体积/密度的流形学习方法,因此我们面临以下问题:给定具有内在维度的数据流形d微分同胚于Rd,它映射,在体积保持映射的无限维空间中,从这个流形到Rd, 是最好的”?在第 3.4 节中,我们将通过设置特定的优化程序来描述解决此问题的方法。但首先,让我们描述一种估计子流形上的密度的方法。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Laplacian Eigenmaps with Global Information

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机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|LEM Results

Figures $2.5-2.7$ show the results after using LEM for different values of $k$. As the value of $k$ increases from 1 to higher values we notice the spreading of the embedded data. The bottom subplot shows the nearest neighbor graph with $k=1$ as shown in Figure 2.7. The right plot shows the embedding of the graph. It is interesting to observe how the embedded data loses its local neighborhood information. The embedding practically happens along the second principal eigenvector (the first being Zero Vector). As the value of $k$ is increased to 2, we observe that embedding happens along the second and third principal axes. See Figure 2.7. For $k=1$ the graph is highly disconnected and for $k=2$ the graphs has much less isolated pieces of graphs. One interesting thing to observe is that as the connectivity of the graph increases the low-dimensional representation begins to preserve the local information.
The graph with $k=2$ and its embedding is shown in Figure 2.8. Increasing the neighborhood information to 2 neighbors is still not able to represent the continuity of the original manifold. Figure $2.7$ shows the graph with $k=3$ and its embedding. Increasing the neighborhood information to 3 neighbors better represents the continuity of the original manifold. Figure $2.5$ shows the graph with $k=5$ and its embedding. Increasing the neighborhood information to 5 neighbors better represents the continuity of the original manifold. Similar results are obtained by increasing the the number of neighbors, however, it should be noted that when the number of neighbors is very high then the graph starts to get influenced by ambient neigbhors.

We see similar results for the face images. The three plots in Figure $2.6$ show the embedding results obtained using LEM when the neighborhood graphs are created using $k=1, k=2$, and $k=5$. The top and the middle plot validate the limitation of LEM.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Bibliographical and Historical Remarks

Dimensionality reduction is an important research area in data analysis with an extensive research literature. Both linear and non-linear methods exist, and each category has both supervised and unsupervised versions. In this section we will briefly mention some of the salient works that have been proposed in the area of locally preserving manifold learning: see $[8]$ for a broader survey.

Lee and Seung [12] showed that many high dimensional data such as a series of related images, video frames, etc. lie on a much lower-dimensional manifold instead of being scattered throughout the feature space. This particular observation has motivated researchers to develop dimension reduction algorithms that try to learn an embedded manifold in a high-dimensional space.

ISOMAP [14] learns the manifold by exploring geodesic distances. In fact the algorithm tries to preserve the geometry of the data on the manifold by noting the points in the neighborhood of each point. The algorithm is defined as such:

  1. Form a neighborhood graph $G$ for the dataset, based, for instance, on the $K$ nearest neighbors of each point $x_{i}$ –
  2. For every pair of nodes in the graph, compute the shortest path, using Dijkstras algorithm, as an estimate of intrinsic distance on the data manifold. The weights of edges of the graphs are computed based on the Euclidean distance measure.
  3. Classical Multi-Dimensional Scaling algorithm is computed using these pairwise distances to find a lower dimensional embedding $y_{i}$.

Bernstein et al. [22] have described the convergence properties of the estimation procedure for the intrinsic distances. For large and dense data sets, computation of pairwise distances is time consuming, and moreover the calculation of eigenvalues can be computationally intensive for large data sets. Such constraints have motivated researchers to find simpler variations of the Isomap algorithm. One such algorithm uses subsampled data called landmarks. Firstly, it calculates Isomap for random points called landmarks and between those landmarks a simple triangulation algorithm is applied.

Locally Linear Embedding (LLE) is an unsupervised learning method based on global and local optimization [11]. It is is similar to Isomap in the sense that it generates a graphical representation of the data set. However, it is different from Isomap as it only attempts to preserve local structures of the data. Because of the locality property used in LLE, the algorithm allows for successful embedding of nonconvex manifolds. An important point to be noted is that LLE creates the local properties of a manifold using the linear combinations of $k$ nearest neighbors of the data $x_{i}$. LLE attempts to create a local regression like model and thereby tries to fit a hyperplane through the data point $x_{i}$. This appears to be reasonable for smooth manifolds where the nearest neighbors align themselves well in a linear space. For very non-smooth or noisy data sets, LLE does not perform well. It has been noted that LLE preserves the reconstruction weights in the space of lower dimensionality, as the reconstruction weights of a data point are invariant to linear transformational operations like translation, rotation, etc.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Arkadas Ozakin, Nikolaos Vasiloglou II, Alexander Gray

Much of the recent work in manifold learning and nonlinear dimensionality reduction focuses on distance-based methods, i.e., methods that aim to preserve the local or global (geodesic) distances between data points on a submanifold of Euclidean space. While this is a promising approach when the data manifold is known to have no intrinsic curvature (which is the case for common examples such as the “Swiss roll”), classical results in Riemannian geometry show that it is impossible to map a $d$-dimensional data manifold with intrinsic curvature into $\mathbb{R}^{d}$ in a manner that preserves distances. Consequently, distance-based methods of dimensionality reduction distort intrinsically curved data spaces, and they often do so in unpredictable ways. In this chapter, we discuss an alternative paradigm of manifold learning. We show that it is possible to perform nonlinear dimensionality reduction by preserving the underlying density of the data, for a much larger class of data manifolds than intrinsically flat ones, and demonstrate a proof-of-concept algorithm demonstrating the promise of this approach.

Visual inspection of data after dimensional reduction to two or three dimensions is among the most common uses of manifold learning and nonlinear dimensionality reduction. Typically, what is sought by the user’s eye in two or three-dimensional plots is clustering and other relationships in the data. Knowledge of the density, in principle, allows one to identify such basic structures as clusters and outliers, and even define nonparametric classifiers; the underlying density of a data set is arguably one of the most fundamental statistical objects that describe it. Thus, a method of dimensionality reduction that is guaranteed to preserve densities may well be preferable to methods that aim to preserve distances, but end up distorting them in uncontrolled ways.

Many of the manifold learning methods require the user to set a neighborhood radius $h$, or, for $k$-nearest neighbor approaches, a positive integer $k$, to be used in determining the neighborhood graph. Most of the time, there is no automatic way to pick the appropriate values of the tweak parameters $h$ and $k$, and one resorts to trial and error, looking for values that result in reasonable-looking plots. Kernel density estimation, one of the most popular and useful methods of estimating the underlying density of a data set, comes with a natural way to choose $h$ or $k$; it suggests to us to pick the value that maximizes a cross-validation score for the density estimate. While the usual kernel density estimation does not allow one to estimate the density of data on submanifolds of Euclidean space, a small modification

allows one to do so. This modification and its ramifications are discussed below in the context of density-preserving maps.

The chapter is organized as follows. In Section 3.2, using a theorem of Moser, we prove the existence of density preserving maps into $\mathbb{R}^{d}$ for a large class of $d$-dimensional manifolds, and give an intuitive discussion on the nonuniqueness of such maps. In Section 3.3, we describe a method for estimating the underlying density of a data set on a Riemannian submanifold of Euclidean space. We state the main result on the consistency of this submanifold density estimator, and give a bound on its convergence rate, showing that the latter is determined by the intrinsic dimensionality of the data instead of the full dimensionality of the feature space. This, incidentally, shows that the curse of dimensionality in the widely-used method of kernel density estimation is not as severe as is generally believed, if the method is properly modified for data on submanifolds. In Section 3.4, using a modified version of the estimator defined in Section 3.3, we describe a proof-of-concept algorithm for density preserving maps based on semidefinite programming, and give experimental results. Finally, in Sections $7.7$ and 3.6, we summarize the chapter and discuss relevant bibliography.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Laplacian Eigenmaps with Global Information

流形学习代写

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|LEM Results

数据2.5−2.7显示使用 LEM 处理不同值后的结果ķ. 作为价值ķ从 1 增加到更高的值,我们注意到嵌入数据的传播。底部子图显示最近邻图ķ=1如图 2.7 所示。右图显示了图形的嵌入。观察嵌入数据如何丢失其本地邻域信息是很有趣的。嵌入实际上沿着第二个主特征向量(第一个是零向量)发生。作为价值ķ增加到 2,我们观察到嵌入发生在第二和第三主轴上。请参见图 2.7。为了ķ=1该图高度不连贯,并且对于ķ=2这些图的孤立图块要少得多。要观察的一件有趣的事情是,随着图的连通性增加,低维表示开始保留局部信息。
该图与ķ=2其嵌入如图 2.8 所示。将邻域信息增加到 2 个邻居仍然无法表示原始流形的连续性。数字2.7显示图表ķ=3及其嵌入。将邻域信息增加到 3 个邻居更好地代表了原始流形的连续性。数字2.5显示图表ķ=5及其嵌入。将邻域信息增加到 5 个邻居更好地代表了原始流形的连续性。通过增加邻居的数量可以获得类似的结果,但是应该注意的是,当邻居的数量非常高时,图开始受到环境邻居的影响。

我们看到面部图像的类似结果。图中的三个地块2.6显示使用 LEM 创建邻域图时使用 LEM 获得的嵌入结果ķ=1,ķ=2, 和ķ=5. 上图和中图验证了 LEM 的局限性。

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Bibliographical and Historical Remarks

降维是数据分析中的一个重要研究领域,具有广泛的研究文献。线性和非线性方法都存在,每个类别都有监督和无监督版本。在本节中,我们将简要提及在局部保留流形学习领域提出的一些突出工作:参见[8]进行更广泛的调查。

Lee 和 Seung [12] 表明,许多高维数据(例如一系列相关图像、视频帧等)位于低得多的流形上,而不是分散在整个特征空间中。这一特殊观察促使研究人员开发降维算法,试图在高维空间中学习嵌入式流形。

ISOMAP [14] 通过探索测地距离来学习流形。事实上,该算法试图通过注意每个点附近的点来保留流形上数据的几何形状。算法定义如下:

  1. 形成邻域图G对于数据集,例如,基于ķ每个点的最近邻X一世 –
  2. 对于图中的每一对节点,使用 Dijkstras 算法计算最短路径,作为数据流形上内在距离的估计。图的边权重是根据欧几里得距离度量计算的。
  3. 使用这些成对距离计算经典的多维缩放算法以找到较低维的嵌入是一世.

伯恩斯坦等人。[22]已经描述了内在距离估计过程的收敛特性。对于大而密集的数据集,成对距离的计算非常耗时,而且对于大数据集,特征值的计算可能是计算密集型的。这种约束促使研究人员寻找 Isomap 算法的更简单的变体。一种这样的算法使用称为地标的二次采样数据。首先,它为称为界标的随机点计算 Isomap,并在这些界标之间应用简单的三角测量算法。

局部线性嵌入 (LLE) 是一种基于全局和局部优化的无监督学习方法 [11]。在生成数据集的图形表示方面,它类似于 Isomap。但是,它与 Isomap 不同,因为它仅尝试保留数据的局部结构。由于 LLE 中使用的局部性属性,该算法允许成功嵌入非凸流形。需要注意的重要一点是,LLE 使用以下的线性组合创建流形的局部属性ķ数据的最近邻X一世. LLE 尝试创建类似于模型的局部回归,从而尝试通过数据点拟合超平面X一世. 这对于最近的邻居在线性空间中很好地对齐的平滑流形来说似乎是合理的。对于非常不平滑或嘈杂的数据集,LLE 表现不佳。已经注意到,LLE 保留了低维空间中的重建权重,因为数据点的重建权重对于平移、旋转等线性变换操作是不变的。

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Arkadas Ozakin, Nikolaos Vasiloglou II, Alexander Gray

最近在流形学习和非线性降维方面的大部分工作都集中在基于距离的方法上,即旨在保持欧几里得空间子流形上数据点之间的局部或全局(测地线)距离的方法。当已知数据流形没有内在曲率时,这是一种很有前途的方法(常见的例子就是“瑞士卷”),黎曼几何中的经典结果表明,不可能映射一个d具有内在曲率的维数据流形Rd以保持距离的方式。因此,基于距离的降维方法扭曲了本质上弯曲的数据空间,并且它们通常以不可预测的方式这样做。在本章中,我们将讨论流形学习的另一种范式。我们展示了通过保留数据的基础密度来执行非线性降维是可能的,对于比本质上平坦的数据流形更大的数据流形类别,并演示了一种概念验证算法,证明了这种方法的前景。

降维到二维或三维后的数据视觉检查是流形学习和非线性降维的最常见用途之一。通常,用户在二维或三维图中寻找的是数据中的聚类和其他关系。原则上,对密度的了解可以让人们识别诸如簇和异常值之类的基本结构,甚至可以定义非参数分类器;数据集的潜在密度可以说是描述它的最基本的统计对象之一。因此,保证保持密度的降维方法可能比旨在保持距离但最终以不受控制的方式扭曲它们的方法更可取。

许多流形学习方法需要用户设置邻域半径H, 或者, 对于ķ-最近邻方法,一个正整数ķ,用于确定邻域图。大多数时候,没有自动方法来选择调整参数的适当值H和ķ,并且一个人诉诸试验和错误,寻找导致看起来合理的图的值。核密度估计是估计数据集底层密度的最流行和最有用的方法之一,它提供了一种自然的选择方式H或者ķ; 它建议我们选择最大化密度估计的交叉验证分数的值。虽然通常的核密度估计不允许人们估计欧几里得空间子流形上的数据密度,但一个小的修改

允许这样做。这种修改及其后果将在下面的密度保持地图的背景下讨论。

本章组织如下。在第 3.2 节中,使用 Moser 定理,我们证明了密度保持映射的存在Rd对于一大类d维流形,并直观地讨论此类映射的非唯一性。在 3.3 节中,我们描述了一种估计欧几里得空间的黎曼子流形上数据集的潜在密度的方法。我们陈述了这个子流形密度估计器一致性的主要结果,并给出了它的收敛速度的界限,表明后者是由数据的固有维度而不是特征空间的全维度决定的。顺便说一句,这表明,如果对子流形数据进行适当修改,则广泛使用的核密度估计方法中的维数灾难并不像通常认为的那么严重。在第 3.4 节中,使用第 3.3 节中定义的估计器的修改版本,我们描述了一种基于半定规划的密度保持图的概念验证算法,并给出了实验结果。最后,在部分7.73.6,我们总结本章并讨论相关参考书目。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Robust Laplacian Eigenmaps Using Global Information

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流形学习是机器学习的一个流行且快速发展的子领域,它基于一个假设,即一个人的观察数据位于嵌入高维空间的低维流形上。本文介绍了流形学习的数学观点,深入探讨了核学习、谱图理论和微分几何的交叉点。重点放在图和流形之间的显著相互作用上,这构成了流形正则化技术的广泛使用的基础。

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机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Robust Laplacian Eigenmaps Using Global Information

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Shounak Roychowdhury and Joydeep Ghosh

Dimensionality reduction is an important process that is often required to understand the data in a more tractable and humanly comprehensible way. This process has been extensively studied in terms of linear methods such as Principal Component Analysis (PCA), Independent Component Analysis (ICA), Factor Analysis etc. [8]. However, it has been noticed that many high dimensional data, such as a series of related images, lie on a manifold $[12]$ and are not scattered throughout the feature space.

Belkin and Niyogi in [2] proposed Laplacian Eigenmaps (LEM), a method that approximates the Laplace-Beltrami Operator which is able to capture the properties of any Riemaniann manifold. The motivation of our work derives from our experimental observations that when the graph that used Laplacian Eigenmaps (LEM) [2] is not well-constructed (either it has lot of isolated vertices or there are islands of subgraphs) the data is difficult to interpret after a dimension reduction. This paper discusses how global information can be used in addition to local information in the framework of Laplacian Eigenmaps to address such situations. We make use of an interesting result by Costa and Hero that shows that Minimum Spanning Tree on a manifold can reveal its intrinsic dimension and entropy [4]. In other words, it implies that MSTs can capture the underlying global structure of the manifold if it exists. We use this finding to extend the dimension reduction technique using LEM to exploit both local and global information.

LEM depends on the Graph Laplacian matrix and so does our work. Fiedler initially proposed the Graph Laplacian matrix as a means to comprehend the notion of algebraic connectivity of a graph [6]. Merris has extensively discussed the wide variety of properties of the Laplacian matrix of a graph such as invariance, on various bounds and inequalities, extremal examples and constructions, etc., in his survey [10]. A broader role of the Laplacian matrix can be seen in Chung’s book on Spectral Graph Theory [3].

The second section touches on the Graph Laplacian matrix. The role of global information in manifold learning is then presented, followed by our proposed approach of augmenting LEM by including global information about the data. Experimental results confirm that global information can indeed help when the local information is limited for manifold learning.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Graph Laplacian

Let us consider a weighted graph $G=(V, E)$, where $V=V(G)=\left{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right}$ is the set of vertices (also called vertex set) and $E=E(G)=\left{e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right}$ is the set of edges (also called edge set). The weight $w$ function is defined as $w: V \times V \rightarrow \Re$ such that $w\left(v_{i}, v_{j}\right)=w\left(v_{j}, v_{i}\right)=w_{i j}$.
Definition 1: The Laplacian [6] of a graph without loops of multiple edges is defined as the following:
$$
L(G)= \begin{cases}d_{v_{i}} & \text { if } v_{i}=v_{j} \ -1 & \text { if } v_{i} \text { are } v_{j} \text { adjacent } \ 0 & \text { Otherwise }\end{cases}
$$
Fiedler [6] defined the Laplacian of a graph as a symmetric matrix for a regular graph, where $A$ is an adjacency matrix ( $A^{T}$ is the transpose of adjacency matrix), $I$ is the identity matrix, and $n$ is the degree of the regular graph:
$$
L(G)=n I-A .
$$
A definition by Chung (see [3]) – which is given below – generalizes the Laplacian by adding the weights on the edges of the graph. It can be viewed as Weighed Graph Laplacian. Simply, it is a difference between the diagonal matrix $D$ and $W$, the weighted adjacency matrix.
$$
L_{W}(G)=D-W,
$$
where the diagonal element in $D$ is defined as $d_{v_{i}}=\sum_{j=1}^{n} w\left(v_{i}, v_{j}\right)$.
Definition 2: The Laplacian of weighted graph (operator) is defined as the following:
$$
L_{w}(G)= \begin{cases}d_{v_{i}}-w\left(v_{i}, v_{j}\right) & \text { if } v_{i}=v_{j} \ -w\left(v_{i}, v_{j}\right) & \text { if } v_{i} \text { are } v_{j} \text { connected } \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
$$
$L_{w}(G)$ reduces to $L(G)$ when the edges have unit weights.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Global Information of Manifold

Global information has not been used in manifold learning since it is widely believed that global information may capture unnecessary data (like ambient data points) that should be avoided when dealing with manifolds.

However, some recent research results show that that it might be useful to to explore global information in a more constrained manner for manifold learning. Costa and Hero show that it is possible to use a Geodesic Minimum Spanning Tree (GMST) on the manifold to estimate the intrinsic dimension and intrinsic entropy of the manifold [4].

Costa and Hero showed in the following theorem that is possible to learn the intrinsic entropy and intrinsic dimension of a non-linear manifold by extending the BHH theorem [1], a well-known result in Geometric Probability.

Theorem: [Generalization of BHH Theorem to Embedded manifolds: [4]] Let $\mathcal{M}$ be a smooth compact $m$-dimensional manifold embedded in $\mathbb{R}^{d}$ through the diffeomorphism $\phi: \Omega \rightarrow \mathcal{M}$, and $\Omega \in \mathbb{R}^{d}$. Assume $2 \leq m \leq d$ and $0<\gamma<m$. Suppose that $Y_{1}, Y_{2}, \ldots$ are iid random vectors on $\mathcal{M}$ having a common density function $f$ with respect to a Lebesgue measure $\mu_{\mathcal{M}}$ on $\mathcal{M}$. Then the length functional $T_{\gamma}^{\mathbb{R}^{m}} \phi_{-1}\left(Y_{n}\right)$ of the MST spanning $\phi^{-1}\left(Y_{n}\right)$ satisfies the equation shown below in an almost sure sense:

$$
\lim {n \rightarrow \infty} \frac{T{\gamma}^{2^{m}} \phi_{-1}\left(Y_{n}\right)}{n \frac{(d-1)}{d}}=
$$
where $\alpha=(m-\gamma) / m$, and is always between $0<\alpha<1, J$ is the Jacobian, and $\beta_{m}$ is $a$ constant which depends on $m$.

Based on the above theorem we use MST on the entire data set as a source of global information. For more details see $[4]$, and more background information see [15] and [13].
The basic principle of GLEM is quite straightforward. The objective function that is to be minimized is given by the following (it is has the same flavor and notation used in [2]):
$$
\begin{aligned}
& \sum_{i, j}\left|\mathbf{y}^{(\mathbf{i})}-\mathbf{y}^{(\mathbf{j})}\right|_{2}^{2}\left(W_{i j}^{N N}+W_{i j}^{M S T}\right) \
=& \operatorname{tr}\left(\mathbf{Y}^{T} L\left(G_{N N}\right) \mathbf{Y}+\mathbf{Y}^{T} L\left(G_{M S T}\right) \mathbf{Y}\right) \
=& \operatorname{tr}\left(\mathbf{Y}^{T}\left(L\left(G_{N N}\right)+L\left(G_{M S T}\right)\right) \mathbf{Y}\right) \
=& \operatorname{tr}\left(\mathbf{Y}^{T} L(J) \mathbf{Y}\right) .
\end{aligned}
$$
where $\mathbf{y}^{(i)}=\left[y_{1}(i), \ldots, y_{m}(i)\right]^{T}$, and $m$ is the dimension of embedding. $W_{i j}^{N N}$ and $W_{i j}^{M S T}$ are weighted matrices of k-Nearest Neighbor graph and the MST graph respectively. In other words, we have
$$
\operatorname{argmin}{\mathbf{Y T} \mathbf{Y}=\mathbf{I}} \mathbf{Y}^{T} L \mathbf{Y} $$ such that $Y=\left[\mathbf{y}{\mathbf{1}}, \mathbf{y}{\mathbf{2}}, \ldots, \mathbf{y}{\mathbf{m}}\right]$ and $\mathbf{y}^{(\mathbf{i})}$ is the $m$-dimensional representation of $i^{\text {th }}$ vertex. The solutions to this optimization problem are the eigenvectors of the generalized eigenvalue problem
$$
L \mathbf{Y}=\Lambda D \mathbf{Y}
$$
The GLEM algorithm is described in Algorithm $1 .$

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流形学习代写

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Shounak Roychowdhury and Joydeep Ghosh

降维是一个重要的过程,通常需要以更易于处理和人类理解的方式理解数据。这个过程已经在线性方法方面得到了广泛的研究,如主成分分析(PCA)、独立成分分析(ICA)、因子分析等[8]。然而,已经注意到许多高维数据,例如一系列相关图像,位于流形上[12]并且不会分散在整个特征空间中。

Belkin 和 Niyogi 在 [2] 中提出了 Laplacian Eigenmaps (LEM),这是一种近似 Laplace-Beltrami 算子的方法,能够捕获任何黎曼流形的属性。我们工作的动机源于我们的实验观察,即当使用拉普拉斯特征图 (LEM) [2] 的图构造不完善(它有很多孤立的顶点或存在子图岛)时,数据很难解释降维后。本文讨论了如何在拉普拉斯特征图框架中使用全局信息和局部信息来解决这种情况。我们利用了 Costa 和 Hero 的一个有趣结果,该结果表明流形上的最小生成树可以揭示其内在维度和熵 [4]。换句话说,这意味着 MST 可以捕获流形的潜在全局结构(如果存在)。我们利用这一发现来扩展使用 LEM 的降维技术,以利用本地和全局信息。

LEM 依赖于图拉普拉斯矩阵,我们的工作也是如此。Fiedler 最初提出图拉普拉斯矩阵作为理解图的代数连通性概念的一种手段 [6]。Merris 在他的调查 [10] 中广泛讨论了图的拉普拉斯矩阵的各种属性,例如不变性、各种边界和不等式、极值示例和构造等。拉普拉斯矩阵的更广泛作用可以在 Chung 的关于谱图理论的书中看到 [3]。

第二部分涉及图拉普拉斯矩阵。然后介绍了全局信息在流形学习中的作用,然后是我们提出的通过包含有关数据的全局信息来增强 LEM 的方法。实验结果证实,当局部信息受限于流形学习时,全局信息确实可以提供帮助。

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Graph Laplacian

让我们考虑一个加权图G=(在,和), 在哪里V=V(G)=\left{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right}V=V(G)=\left{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right}是顶点集(也称为顶点集)和E=E(G)=\left{e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right}E=E(G)=\left{e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right}是边的集合(也称为边集)。重量在函数定义为在:在×在→ℜ这样在(在一世,在j)=在(在j,在一世)=在一世j.
定义 1:没有多重边环的图的拉普拉斯算子 [6] 定义如下:
大号(G)={d在一世 如果 在一世=在j −1 如果 在一世 是 在j 邻近的  0 除此以外 
Fiedler [6] 将图的拉普拉斯算子定义为正则图的对称矩阵,其中一种是一个邻接矩阵 (一种吨是邻接矩阵的转置),一世是单位矩阵,并且n是正则图的度数:
大号(G)=n一世−一种.
Chung 的定义(见 [3])——下面给出——通过在图的边缘上添加权重来概括拉普拉斯算子。它可以看作是加权图拉普拉斯算子。简单来说,就是对角矩阵的区别D和在,加权邻接矩阵。
大号在(G)=D−在,
其中对角线元素在D定义为d在一世=∑j=1n在(在一世,在j).
定义2:加权图(算子)的拉普拉斯算子定义如下:
大号在(G)={d在一世−在(在一世,在j) 如果 在一世=在j −在(在一世,在j) 如果 在一世 是 在j 连接的  0 除此以外。 
大号在(G)减少到大号(G)当边有单位权重时。

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Global Information of Manifold

全局信息尚未用于流形学习,因为人们普遍认为全局信息可能会捕获在处理流形时应避免的不必要数据(如环境数据点)。

然而,最近的一些研究结果表明,以更受约束的方式探索全局信息对于流形学习可能是有用的。Costa 和 Hero 表明,可以在流形上使用测地线最小生成树 (GMST) 来估计流形的内在维度和内在熵 [4]。

Costa 和 Hero 在以下定理中表明,可以通过扩展 BHH 定理 [1] 来学习非线性流形的内在熵和内在维数,这是几何概率中的一个众所周知的结果。

定理:[BHH 定理到嵌入流形的推广:[4]] 让米是一个光滑的紧凑米维流形嵌入Rd通过微分同胚φ:Ω→米, 和Ω∈Rd. 认为2≤米≤d和0<C<米. 假设是1,是2,…是 iid 随机向量米具有共同的密度函数F关于 Lebesgue 测度μ米在米. 那么长度泛函吨CR米φ−1(是n)MST 跨越的φ−1(是n)几乎可以肯定地满足下面显示的方程:林n→∞吨C2米φ−1(是n)n(d−1)d=
在哪里一种=(米−C)/米, 并且总是介于0<一种<1,Ĵ是雅可比行列式,并且b米是一种常数取决于米.

基于上述定理,我们在整个数据集上使用 MST 作为全局信息的来源。有关更多详细信息,请参阅[4],更多背景信息参见 [15] 和 [13]。
GLEM 的基本原理非常简单。要最小化的目标函数由以下给出(它与 [2] 中使用的风格和符号相同):
∑一世,j|是(一世)−是(j)|22(在一世jññ+在一世j米小号吨) =tr⁡(是吨大号(Gññ)是+是吨大号(G米小号吨)是) =tr⁡(是吨(大号(Gññ)+大号(G米小号吨))是) =tr⁡(是吨大号(Ĵ)是).
在哪里是(一世)=[是1(一世),…,是米(一世)]吨, 和米是嵌入的维度。在一世jññ和在一世j米小号吨分别是k-Nearest Neighbor图和MST图的加权矩阵。换句话说,我们有
精氨酸⁡是吨是=一世是吨大号是这样是=[是1,是2,…,是米]和是(一世)是个米-维表示一世th 顶点。这个优化问题的解是广义特征值问题的特征向量
大号是=ΛD是
GLEM 算法在算法中描述1.

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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流形学习是机器学习的一个流行且快速发展的子领域,它基于一个假设,即一个人的观察数据位于嵌入高维空间的低维流形上。本文介绍了流形学习的数学观点,深入探讨了核学习、谱图理论和微分几何的交叉点。重点放在图和流形之间的显著相互作用上,这构成了流形正则化技术的广泛使用的基础。

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The basic idea of Diffusion MaPs (Nadler, Lafon, Coifman, and Kevrekidis, 2005; Coifman and Lafon, 2006) uses a Markov chain constructed over a graph of the data points, followed by an eigenanalysis of the probability transition matrix of the Markov chain. As with the other algorithms in this Section, there are three steps in this algorithm, with the first and second steps the same as for Laplacian eigenmaps. Although a nearest-neighbor search (Step 1) was not explicitly considered in the above papers on diffusion maps as a means of constructing the graph (Step 2), a nearest-neighbor search is included in software packages for computing diffusion maps. For an example in astronomy of a diffusion map incorporating a nearest-neighbor search, see Freeman, Newman, Lee, Richards, and Schafer (2009).

  1. Nearest-Neighbor Search. Fix an integer $K$ or an $\epsilon>0$. Define a $K$-neighborhood $N_{i}^{K}$ or an $\epsilon$-neighborhood $N_{i}^{e}$ of the point $\mathbf{x}{i}$ as in Step 1 of Laplacian eigenmaps. In general, let $N{i}$ denote the neighborhood of $\mathbf{x}_{i}$.Pairwise Adjacency Matrix. The $n$ data points $\left{\mathbf{x}{i}\right}$ in $\Re^{r}$ can be regarded as a graph $\mathcal{G}=\mathcal{G}(\mathcal{V}, \mathcal{E})$ with the data points playing the role of vertices $\mathcal{V}=\left{\mathbf{x}{1}, \ldots, \mathbf{x}{n}\right}$, and the set of edges $\mathcal{E}$ are the connection strengths (or weights), $w\left(\mathbf{x}{i}, \mathbf{x}{j}\right)$, between pairs of adjacent vertices, $$ w{i j}=w\left(\mathbf{x}{i}, \mathbf{x}{j}\right)= \begin{cases}\exp \left{-\frac{\left|\mathbf{x}{i}-\mathbf{x}{i}\right|^{2}}{2 \sigma^{2}}\right}, & \text { if } \mathbf{x}{j} \in N{i} \ 0, & \text { otherwise. }\end{cases}
  2. $$
  3. This is a Gaussian kernel with width $\sigma$; however, other kernels may be used. Kernels such as (1.52) ensure that the closer two points are to each other, the larger the value of $w$. For convenience in exposition, we will suppress the fact that the elements of most of the matrices depend upon the value of $\sigma$. Then, $\mathbf{W}=\left(w_{i j}\right)$ is a pairwise adjacency matrix between the $n$ points. To make the matrix $\mathbf{W}$ even more sparse, values of its entries that are smaller than some given threshold (i.e., the points in question are far apart from each other) can be set to zero. The graph $\mathcal{G}$ with weight matrix W gives information on the local geometry of the data.
  4. Spectral embedding. Define $\mathbf{D}=\left(d_{i j}\right)$ to be a diagonal matrix formed from the matrix W by setting the diagonal elements, $d_{i i}=\sum_{j} w_{i j}$, to be the column sums of $\mathbf{W}$ and the off-diagonal elements to be zero. The $(n \times n)$ symmetric matrix $\mathbf{L}=\mathbf{D}-\mathbf{W}$ is the graph Laplacian for the graph $\mathcal{G}$. We are interested in the solutions of the generalized eigenequation, $\mathbf{L v}=\lambda \mathbf{D v}$, or, equivalently, of the matrix
  5. $$
  6. \mathbf{P}=\mathbf{D}^{-1 / 2} \mathbf{L} \mathbf{D}^{-1 / 2}=\mathbf{I}_{n}-\mathbf{D}^{-1 / 2} \mathbf{W} \mathbf{D}^{-1 / 2},
  7. $$
  8. which is the normalized graph Laplacian. The matrix $\mathbf{H}=e^{t \mathbf{P}}, t \geq 0$, is usually referred to as the heat kernel. By construction, $\mathbf{P}$ is a stochastic matrix with all row sums equal to one, and, thus, can be interpreted as defining a random walk on the graph $\mathcal{G}$.

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Recall that, in certain situations, the convexity assumption for IsOMAP may be too restrictive. Instead, we may require that the manifold $\mathcal{M}$ be locally isometric to an open, connected subset of $\Re^{t}$. Popular examples include families of “articulated” images (i.e., translated or rotated images of the same object, possibly through time) that are found in a high-dimensional, digitized-image library (e.g., faces, pictures, handwritten numbers or letters). However, if the pixel elements of each 64 -pixel-by-64-pixel digitized image are represented as a 4,096 -dimensional vector in “pixel space,” it would be very difficult to show that the images really live on a low-dimensional manifold, especially if that image manifold is unknown.

We can model such images using a vector of smoothly varying articulation parameters $\boldsymbol{\theta} \in \boldsymbol{\Theta}$. For example, digitized images of a person’s face that are varied by pose and illumination can be parameterized by two pose parameters (expression [happy, sad, sleepy, surprised, wink] and glasses-no glasses) and a lighting direction (centerlight, leftlight, rightlight, normal); similarly, handwritten ” 2 “s appear to be parameterized essentially by two features, bottom loop and top arch (Tenenbaum, de Silva, and Langford, 2000; Roweis and Saul, 2000). To some extent, learning about an underlying image manifold depends upon whether the images are sufficiently scattered around the manifold and how good is the quality of digitization of each image?

HESSIAN EIGENMAPS (Donoho and Grimes, 2003b) were proposed for recovering manifolds of high-dimensional libraries of articulated images where the convexity assumption is often violated. Let $\Theta \subset \Re^{t}$ be the parameter space and suppose that $\phi: \Theta \rightarrow R^{r}$, where $t<r$. Assume $\mathcal{M}=\phi(\Theta)$ is a smooth manifold of articulated images. The isometry and convexity requirements of IsoMAP are replaced by the following weaker requirements:

  • Local Isometry: $\phi$ is a locally isometric embedding of $\Theta$ into $\Re^{r}$. For any point $\mathbf{x}^{\prime}$ in a sufficiently small neighborhood around each point $x$ on the manifold $\mathcal{M}$, the geodesic distance equals the Euclidean distance between their corresponding parameter points $\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\theta}^{\prime} \in \Theta ;$ that is,
    $$
    d^{M}\left(\mathbf{x}, \mathbf{x}^{\prime}\right)=\left|\theta-\theta^{\prime}\right|_{\Theta+}
    $$
    where $\mathbf{x}=\phi(\boldsymbol{\theta})$ and $\mathbf{x}^{\prime}=\phi\left(\boldsymbol{\theta}^{\prime}\right)$
  • Connectedness: The parameter space $\theta$ is an open, connected subset of $\Omega^{t}$.
    The goal is to recover the parameter vector $\boldsymbol{\theta}$ (up to a rigid motion).

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Nonlinear PCA

Another way of dealing with nonlinear manifold learning is to construct nonlinear versions of linear manifold learning techniques. We have already seen how Isomap provides a nonlinear generalization of MDS. How can we generalize PCA to the nonlinear case? In this Section,

we briefly describe the basic ideas behind POLYNOMIAL PCA, PRINCIPAL CuRVES AND SURFACES, MULTILAYER AUTOASSOCIATIVE NEURAL NETWORKS, and KerneL PCA.
Polynomial PCA
There have been several different attempts to generalize PCA to data living on or near nonlinear manifolds of a lower-dimensional space than input space. The first such idea was to add to the set of $r$ input variables quadratic, cubic, or higher-degree polynomial transformations of those input variables, and then apply linear PCA. The result is POLYNOMIAL PCA (Gnanadesikan and Wilk, 1969), whose embedding coordinates are the eigenvectors corresponding to the smallest few eigenvalues of the expanded covariance matrix.

In the original study of polynomial PCA, the method was illustrated with a quadratic transformation of bivariate input variables. In this scenario, $\left(X_{1}, X_{2}\right)$ expands to become $\left(X_{1}, X_{2}, X_{1}^{2}, X_{2}^{2}, X_{1} X_{2}\right)$. This formulation is feasible, but for larger problems, the possibilities become more complicated. First, the variables in the expanded set will not be scaled in a uniform manner, so that standardization will be necessary, and second, the number of variables in the expanded set will increase rapidly with large $r$, which will lead to bigger computational problems. Gnanadesikan and Wilk’s article, however, gave rise to a variety of attempts to define a more general nonlinear version of PCA.
Principal Curves and Surfaces
The next attempt at creating a nonlinear PCA was PRINCIPAL CURVES AND SURFACES (Hastie, 1984; Hastie and Stuetzle, 1989). A principal curve is a smooth one-dimensional curve that passes through the “middle” of the data, and a principal surface (or principal manifold) is a generalization of a principal curve to a smooth two- or higher-dimensional manifold. So, we can visualize principal curves and surfaces as defining a nonlinear manifold in higher-dimensional input space.

Let $\mathbf{x} \in \Re^{r}$ be a data point and let $\mathbf{f}(\lambda)$ be a curve, $\lambda \in \Lambda$; see Section $1.2 .4$ for definitions. Project $\mathbf{x}$ to a point on $\mathbf{f}(\lambda)$ that is closest in Euclidean distance to $\mathbf{x}$. Define the projection index
$$
\lambda_{\mathbf{f}}(\mathbf{x})=\sup {\lambda}\left{\lambda:|\mathbf{x}-\mathbf{f}(\lambda)|=\inf {\mu}|\mathbf{x}-\mathbf{f}(\mu)|\right}
$$

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流形学习代写

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Diffusion Maps 的基本思想(Nadler、Lafon、Coifman 和 Kevrekidis,2005 年;Coifman 和 Lafon,2006 年)使用在数据点图上构建的马尔可夫链,然后对马尔可夫链的概率转移矩阵进行特征分析. 与本节中的其他算法一样,该算法有三个步骤,第一步和第二步与拉普拉斯特征图相同。尽管在上述关于扩散图的论文中没有明确考虑最近邻搜索(步骤 1)作为构建图的一种手段(步骤 2),但最近邻搜索包含在用于计算扩散图的软件包中。有关包含最近邻搜索的扩散图的天文学示例,请参见 Freeman、Newman、Lee、Richards 和 Schafer (2009)。

  1. 最近邻搜索。修复一个整数ķ或一个ε>0. 定义一个ķ-邻里ñ一世ķ或一个ε-邻里ñ一世和点的X一世如拉普拉斯特征图的第 1 步。一般来说,让ñ一世表示邻域X一世.成对邻接矩阵。这n数据点\left{\mathbf{x}{i}\right}\left{\mathbf{x}{i}\right}在ℜr可以看成图G=G(在,和)数据点扮演顶点的角色\mathcal{V}=\left{\mathbf{x}{1}, \ldots, \mathbf{x}{n}\right}\mathcal{V}=\left{\mathbf{x}{1}, \ldots, \mathbf{x}{n}\right}, 和边的集合和是连接强度(或权重),在(X一世,Xj),在相邻顶点对之间,$$ w{ij}=w\left(\mathbf{x}{i}, \mathbf{x}{j}\right)=\begin{cases}\exp \left{-\frac{\left|\mathbf{x}{i}-\mathbf{x}{i}\right|^{2}}{2 \sigma^{2} }\right}, & \text { if } \mathbf{x}{j} \in N{i} \ 0, & \text { 否则。}\结束{案例}\begin{cases}\exp \left{-\frac{\left|\mathbf{x}{i}-\mathbf{x}{i}\right|^{2}}{2 \sigma^{2} }\right}, & \text { if } \mathbf{x}{j} \in N{i} \ 0, & \text { 否则。}\结束{案例}
  2. $$
  3. 这是一个具有宽度的高斯核σ; 但是,可以使用其他内核。(1.52)等内核保证两点距离越近,值越大在. 为方便说明,我们将隐藏大多数矩阵的元素取决于σ. 然后,在=(在一世j)是之间的成对邻接矩阵n点。制作矩阵在甚至更稀疏,其条目的值小于某个给定阈值(即,所讨论的点彼此相距很远)可以设置为零。图表G权重矩阵 W 给出了数据的局部几何信息。
  4. 光谱嵌入。定义D=(d一世j)是通过设置对角元素由矩阵 W 形成的对角矩阵,d一世一世=∑j在一世j, 为的列总和在和非对角线元素为零。这(n×n)对称矩阵大号=D−在是图的拉普拉斯算子G. 我们对广义特征方程的解感兴趣,大号在=λD在, 或者, 等价的, 矩阵
  5. $$
  6. \mathbf{P}=\mathbf{D}^{-1 / 2} \mathbf{L} \mathbf{D}^{-1 / 2}=\mathbf{I}_{n}-\mathbf{D }^{-1 / 2} \mathbf{W} \mathbf{D}^{-1 / 2},
  7. $$
  8. 这是归一化图拉普拉斯算子。矩阵H=和吨磷,吨≥0, 通常称为热核。通过施工,磷是一个随机矩阵,所有行和都等于 1,因此可以解释为在图上定义随机游走G.

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回想一下,在某些情况下,IsOMAP 的凸性假设可能过于严格。相反,我们可能要求流形米局部等距到一个开放的、连通的子集ℜ吨. 流行的例子包括在高维数字化图像库(例如,面孔、图片、手写数字或字母)中找到的“铰接”图像系列(即,同一对象的翻译或旋转图像,可能随着时间的推移) . 但是,如果每个 64 像素×64 像素的数字化图像的像素元素在“像素空间”中表示为 4,096 维向量,那么很难证明这些图像真的存在于低维空间中。流形,特别是如果该图像流形是未知的。

我们可以使用平滑变化的关节参数向量对此类图像进行建模θ∈θ. 例如,可以通过两个姿势参数(表情 [快乐、悲伤、困倦、惊讶、眨眼] 和不戴眼镜)和照明方向(中心光、左光, 右光, 正常); 类似地,手写的“2”似乎基本上由两个特征参数化,底部环和顶部拱(Tenenbaum、de Silva 和 Langford,2000;Roweis 和 Saul,2000)。在某种程度上,了解底层图像流形取决于图像是否充分分散在流形周围以及每个图像的数字化质量有多好?

HESSIAN EIGENMAPS (Donoho and Grimes, 2003b) 被提出用于恢复经常违反凸性假设的铰接图像的高维库的流形。让θ⊂ℜ吨是参数空间并假设φ:θ→Rr, 在哪里吨<r. 认为米=φ(θ)是铰接图像的平滑流形。IsoMAP 的等距和凸度要求被以下较弱的要求取代:

  • 局部等距:φ是一个局部等距嵌入θ进入ℜr. 对于任何一点X′在每个点周围足够小的邻域中X在歧管上米,测地线距离等于它们对应的参数点之间的欧几里得距离θ,θ′∈θ;那是,
    d米(X,X′)=|θ−θ′|θ+
    在哪里X=φ(θ)和X′=φ(θ′)
  • 连通性:参数空间θ是一个开放的、连通的子集Ω吨.
    目标是恢复参数向量θ(直到刚性运动)。

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处理非线性流形学习的另一种方法是构建线性流形学习技术的非线性版本。我们已经看到 Isomap 如何提供 MDS 的非线性泛化。我们如何将 PCA 推广到非线性情况?在这个部分,

我们简要描述了多项式 PCA、主曲线和曲面、多层自关联神经网络和内核 PCA 背后的基本思想。
多项式 PCA
有几种不同的尝试将 PCA 推广到生活在比输入空间低维空间的非线性流形上或附近的数据。第一个这样的想法是添加到集合r输入变量对这些输入变量进行二次、三次或更高次多项式变换,然后应用线性 PCA。结果是 POLYNOMIAL PCA (Gnanadesikan and Wilk, 1969),其嵌入坐标是对应于扩展协方差矩阵的最小几个特征值的特征向量。

在多项式 PCA 的原始研究中,该方法通过二元输入变量的二次变换来说明。在这种情况下,(X1,X2)展开成为(X1,X2,X12,X22,X1X2). 这个公式是可行的,但是对于更大的问题,可能性变得更加复杂。首先,扩展集中的变量不会以统一的方式缩放,因此需要标准化,其次,扩展集中的变量数量会随着较大的r,这将导致更大的计算问题。然而,Gnanadesikan 和 Wilk 的文章引发了各种尝试来定义更一般的非线性 PCA 版本。
主曲线和曲面
创建非线性 PCA 的下一个尝试是主曲线和曲面(Hastie,1984;Hastie 和 Stuetzle,1989)。主曲线是通过数据“中间”的平滑一维曲线,主曲面(或主流形)是主曲线向平滑二维或更高维流形的推广。因此,我们可以将主曲线和曲面可视化为在高维输入空间中定义非线性流形。

让X∈ℜr是一个数据点,让F(λ)成为曲线,λ∈Λ; 见部分1.2.4用于定义。项目X到一点F(λ)在欧几里得距离上最接近X. 定义投影索引
\lambda_{\mathbf{f}}(\mathbf{x})=\sup {\lambda}\left{\lambda:|\mathbf{x}-\mathbf{f}(\lambda)|=\inf { \mu}|\mathbf{x}-\mathbf{f}(\mu)|\right}

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

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MATLAB代写

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机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Nonlinear Manifold Learning

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流形学习是机器学习的一个流行且快速发展的子领域,它基于一个假设,即一个人的观察数据位于嵌入高维空间的低维流形上。本文介绍了流形学习的数学观点,深入探讨了核学习、谱图理论和微分几何的交叉点。重点放在图和流形之间的显著相互作用上,这构成了流形正则化技术的广泛使用的基础。

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Principal Component Analysis explained visually
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Nonlinear Manifold Learning

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Nonlinear Manifold Learning

We next discuss some algorithmic techniques that proved to be innovative in the study of nonlinear manifold learning: ISOMAP, LOCAL LINEAR EMBEDDING, LAPLACIAN EIGENMAPS, DIFFUSION MAPS, HESSIAN EIGENMAPS, and the many different versions of NONLINEAR PCA. The goal of each of these algorithms is to recover the full low-dimensional

representation of an unknown nonlinear manifold, $\mathcal{M}$, embedded in some high-dimensional space, where it is important to retain the neighborhood structure of $\mathcal{M}$. When $\mathcal{M}$ is highly nonlinear, such as the S-shaped manifold in the left panel of Figure $1.1$, these algorithms outperform the usual linear techniques. The nonlinear manifold-learning methods emphasize simplicity and avoid optimization problems that could produce local minima.

Assume that we have a finite random sample of data points, $\left{\mathbf{y}{i}\right}$, from a smooth $t$ dimensional manifold $\mathcal{M}$ with metric given by the geodesic distance $d^{\mathcal{M}} ;$ see Section $1.2 .4$. These points are then nonlinearly embedded by a smooth map $\psi$ into high-dimensional input space $\mathcal{X}=\Re^{r}(t \ll r)$ with Euclidean metric $|$. $| \mathcal{X}$. This embedding provides us with the input data $\left{\mathbf{x}{i}\right}$. For example, in the right panel of Figure $1.1$, we randomly generated 20,000 three-dimensional points to lie uniformly on the surface of the two-dimensional Sshaped curve displayed in the left panel. Thus, $\psi: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{X}$ is the embedding map, and a point on the manifold, $\mathbf{y} \in \mathcal{M}$, can be expressed as $\mathbf{y}=\phi(\mathbf{x}), \mathbf{x} \in \mathcal{X}$, where $\phi=\psi^{-1}$. The goal is to recover $\mathcal{M}$ and find an implicit representation of the map $\psi$ (and, hence, recover the $\left.\left{\mathbf{y}{i}\right}\right)$, given only the input data points $\left{\mathbf{x}{i}\right}$ in $\mathcal{X}$.

Each algorithm computes $t^{\prime}$-dimensional estimates, $\left{\widehat{\mathbf{y}}{i}\right}$, of the $t$-dimensional manifold data, $\left{\mathbf{y}{i}\right}$, for some $t^{\prime}$. Such a reconstruction is deemed to be successful if $t^{\prime}=t$, the true (unknown) dimensionality of $\mathcal{M}$. In practice, $t^{\prime}$ will most likely be too large. Because we require a low-dimensional solution, we retain only the first two or three of the coordinate vectors and plot the corresponding elements of those vectors against each other to yield $n$ points in two- or three-dimensional space. For all practical purposes, such a display is usually sufficient to identify the underlying manifold.

Most of the nonlinear manifold-learning algorithms that we discuss here are based upon different philosophies regarding how one should recover unknown nonlinear manifolds. However, they each consist of a three-step approach (except NONLINEAR PCA). The first and third steps are common to all algorithms: the first step incorporates neighborhood information at each data point to construct a weighted graph having the data points as vertices, and the third step is a spectral embedding step that involves an $(n \times n)$-eigenequation computation. The second step is specific to the algorithm, taking the weighted neighborhood graph and transforming it into suitable input for the spectral embedding step.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Isomap

The isometric feature mapping (or IsOMAP) algorithm (Tenenbaum, de Silva, and Langford, 2000 ) assumes that the smooth manifold $\mathcal{M}$ is a convex region of $\Re^{t}(t \ll r)$ and that the embedding $\psi: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{X}$ is an isometry. This assumption has two key ingredients:

  • Isometry: The geodesic distance is invariant under the map $\psi$. For any pair of points on the manifold, $\mathbf{y}, \mathbf{y}^{\prime} \in \mathcal{M}$, the geodesic distance between those points equals the Euclidean distance between their corresponding coordinates, $\mathbf{x}, \mathbf{x}^{\prime} \in \mathcal{X}$; i.e.,
    $$
    d^{\mathcal{M}}\left(\mathbf{y}, \mathbf{y}^{\prime}\right)=\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right|_{\mathcal{X}}
    $$
    where $\mathbf{y}=\phi(\mathbf{x})$ and $\mathbf{y}^{\prime}=\phi\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)$.
  • Convexity: The manifold $\mathcal{M}$ is a convex subset of $\Re^{t}$.
    IsomaP considers $\mathcal{M}$ to be a convex region possibly distorted in any of a number of ways (e.g., by folding or twisting). The so-called Swiss roll, ${ }^{2}$ which is a flat two-dimensional rectangular submanifold of $\Re^{3}$, is one such example; see Figure $1.2$. Empirical studies show that IsOMAP works well for intrinsically flat submanifolds of $\mathcal{X}=\Re^{r}$ that look like rolledup sheets of paper or “open” manifolds such as an open box or open cylinder. However, IsOMAP does not perform well if there are any holes in the roll, because this would violate the convexity assumption. The isometry assumption appears to be reasonable for certain types of situations, but, in many other instances, the convexity assumption may be too restrictive (Donoho and Grimes, 2003b).

IsomAP uses the isometry and convexity assumptions to form a nonlinear generalization of multidimensional scaling (MDS). Recall that MDS looks for a low-dimensional subspace in which to embed input data while preserving the Euclidean interpoint distances (see Section 1.3.2). Unfortunately, working with Euclidean distances in MDS when dealing with curved regions tends to give poor results. IsOMAP follows the general MDS philosophy by attempting to preserve the global geometric properties of the underlying nonlinear manifold, and it does this by approximating all pairwise geodesic distances (i.e., lengths of the shortest paths between two points) on the manifold. In this sense, IsOMAP provides a global approach to manifold learning.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Laplacian Eigenmaps

The Laplacian eigenmap algorithm (Belkin and Niyogi, 2002) also consists of three steps. The first and third steps of the Laplacian eigenmap algorithm are very similar to the first and third steps, respectively, of the LLE algorithm.

  1. Nearest-neighbor search. Fix an integer $K$ or an $\epsilon>0$. The neighborhoods of each data point are symmetrically defined: for a $K$-neighborhood $N_{i}^{K}$ of the point $\mathbf{x}{i}$, let $\mathbf{x}{j} \in N_{i}^{K}$ iff $\mathbf{x}{i} \in N{j}^{K}$; similarly, for an $\epsilon$-neighborhood $N_{i}^{\epsilon}$, let $\mathbf{x}{j} \in N{i}^{e}$ iff $\left|\mathbf{x}{i}-\mathbf{x}{j}\right|<\epsilon$, where the norm is Euclidean norm. In general, let $N_{i}$ denote the neighborhood of $\mathbf{x}_{i}$.
  2. Weighted adjacency matrix. Let $\mathbf{W}=\left(w_{i j}\right)$ be a symmetric $(n \times n)$ weighted adjacency matrix defined as follows:
    $$
    w_{i j}=w\left(\mathbf{x}{i}, \mathbf{x}{j}\right)= \begin{cases}\exp \left{-\frac{\left|\mathbf{x}{i}-\mathbf{x}{j}\right|^{2}}{2 \sigma^{2}}\right}, & \text { if } \mathbf{x}{j} \in N{i} \ 0, & \text { otherwise }\end{cases}
    $$

These weights are determined by the isotropic Gaussian kernel (also known as the heat kernel), with scale parameter $\sigma$. Denote the resulting weighted graph by $\mathcal{G}$. If $\mathcal{G}$ is not connected, apply step 3 to each connected subgraph.

  1. Spectral embedding. Let $\mathbf{D}=\left(d_{i j}\right)$ be an $(n \times n)$ diagonal matrix with diagonal elements $d_{i i}=\sum_{j \in N_{i}} w_{i j}=\left(\mathbf{W} 1_{n}\right){i}, i=1,2, \ldots, n$. The $(n \times n)$ symmetric matrix $\mathbf{L}=\mathbf{D}-\mathbf{W}$ is known as the graph Laplacian for the graph $\mathcal{G}$. Let $\mathbf{y}=\left(y{i}\right)$ be an $n$-vector. Then, $\mathbf{y}^{\tau} \mathbf{L} \mathbf{y}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_{i j}\left(y_{i}-y_{j}\right)^{2}$, so that $\mathbf{L}$ is nonnegative definite.

When data are uniformly sampled from a low-dimensional manifold $\mathcal{M}$ of $\Re^{r}$, the graph Laplacian $\mathbf{L}=\mathbf{L}{n, \sigma}$ (considered as a function of $n$ and $\sigma$ ) can be regarded as a discrete approximation to the continuous Laplace-Beltrami operator $\Delta{\mathcal{M}}$ defined on the manifold $\mathcal{M}$, and converges to $\Delta_{\mathcal{M}}$ as $\sigma \rightarrow 0$ and $n \rightarrow \infty$. Furthermore, when the data are sampled from an arbitrary probability distribution $P$ on the manifold $\mathcal{M}$, then, under certain conditions on $\mathcal{M}$ and $P$, the graph Laplacian converges to a weighted version of $\Delta_{\mathcal{M}}$ (Belkin and Niyogi, 2008).

The $(t \times n)$-matrix $\mathbf{Y}=\left(\mathbf{y}{1}, \cdots, \mathbf{y}{n}\right)$, which is used to embed the graph $\mathcal{G}$ into the low-dimensional space $\Re^{t}$, where $\mathbf{y}{i}$ yields the embedding coordinates of the $i$ th point, is determined by minimizing the objective function, $$ \sum{i} \sum_{j} w_{i j}\left|\mathbf{y}{i}-\mathbf{y}{j}\right|^{2}=\operatorname{tr}\left{\mathbf{Y L Y} \mathbf{Y}^{\tau}\right}
$$
In other words, we seek the solution,
$$
\widehat{\mathbf{Y}}=\arg \min {\mathbf{Y}: \mathbf{Y D \mathbf { Y } ^ { \top } = \mathbf { I } { t }}} \operatorname{tr}\left{\mathbf{Y L Y ^ { \top } }},\right.
$$
where we restrict $\mathbf{Y}$ such that $\mathbf{Y D Y} \mathbf{Y}^{\tau}=\mathbf{I}{t}$ to prevent a collapse onto a subspace of fewer than $t-1$ dimensions. The solution is given by the generalized eigenequation, $\mathbf{L v}=\lambda \mathbf{D v}$, or, equivalently, by finding the eigenvalues and eigenvectors of the matrix $\widehat{\mathbf{W}}=\mathbf{D}^{-1 / 2} \mathbf{W D} \mathbf{D}^{-1 / 2}$. The smallest eigenvalue, $\lambda{n}$, of $\widehat{\mathbf{W}}$ is zero. If we ignore the smallest eigenvalue (and its corresponding constant eigenvector $\mathbf{v}{n}=1{n}$ ), then the best embedding solution in $\Re^{t}$ is similar to that given by LLE; that is, the rows of $\widehat{\mathbf{Y}}$ are the eigenvectors,
$$
\widehat{\mathbf{Y}}=\left(\widehat{\mathbf{y}}{1}, \cdots, \widehat{\mathbf{y}}{n}\right)=\left(\mathbf{v}{n-1}, \cdots, \mathbf{v}{n-t}\right)^{\tau},
$$
corresponding to the next $t$ smallest eigenvalues, $\lambda_{n-1} \leq \cdots \leq \lambda_{n-t}$, of $\widehat{\mathbf{W}}$.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Nonlinear Manifold Learning

流形学习代写

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Nonlinear Manifold Learning

我们接下来讨论一些在非线性流形学习研究中被证明具有创新性的算法技术:ISOMAP、局部线性嵌入、拉普拉斯特征图、扩散图、黑森特征图以及许多不同版本的非线性 PCA。这些算法中的每一个的目标都是恢复完整的低维

未知非线性流形的表示,米,嵌入在一些高维空间中,其中保留邻域结构很重要米. 什么时候米是高度非线性的,例如图左面板中的 S 形流形1.1,这些算法优于通常的线性技术。非线性流形学习方法强调简单性并避免可能产生局部最小值的优化问题。

假设我们有一个有限的随机数据点样本,\left{\mathbf{y}{i}\right}\left{\mathbf{y}{i}\right},从平滑吨多维流形米由测地距离给出的度量d米;见部分1.2.4. 然后这些点被平滑的地图非线性嵌入ψ进入高维输入空间X=ℜr(吨≪r)欧几里得度量|. |X. 这种嵌入为我们提供了输入数据\left{\mathbf{x}{i}\right}\left{\mathbf{x}{i}\right}. 例如,在图的右侧面板中1.1,我们随机生成了 20,000 个三维点,均匀地分布在左侧面板中显示的二维 S 形曲线的表面上。因此,ψ:米→X是嵌入图,是流形上的一个点,是∈米, 可以表示为是=φ(X),X∈X, 在哪里φ=ψ−1. 目标是恢复米并找到地图的隐式表示ψ(因此,恢复\left.\left{\mathbf{y}{i}\right}\right)\left.\left{\mathbf{y}{i}\right}\right),仅给定输入数据点\left{\mathbf{x}{i}\right}\left{\mathbf{x}{i}\right}在X.

每个算法计算吨′维估计,\left{\widehat{\mathbf{y}}{i}\right}\left{\widehat{\mathbf{y}}{i}\right}, 的吨维流形数据,\left{\mathbf{y}{i}\right}\left{\mathbf{y}{i}\right}, 对于一些吨′. 这种重建被认为是成功的,如果吨′=吨, 的真实(未知)维度米. 在实践中,吨′很可能会太大。因为我们需要一个低维解,我们只保留前两个或三个坐标向量,并将这些向量的对应元素相互绘制以产生n二维或三维空间中的点。出于所有实际目的,这种显示通常足以识别下面的歧管。

我们在这里讨论的大多数非线性流形学习算法都基于关于如何恢复未知非线性流形的不同哲学。但是,它们每个都包含一个三步方法(NONLINEAR PCA 除外)。第一步和第三步对所有算法都是通用的:第一步结合每个数据点的邻域信息,构建以数据点为顶点的加权图,第三步是谱嵌入步骤,涉及(n×n)-特征方程计算。第二步是特定于算法的,采用加权邻域图并将其转换为适合谱嵌入步骤的输入。

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Isomap

等距特征映射(或 IsOMAP)算法(Tenenbaum、de Silva 和 Langford,2000 年)假设平滑流形米是一个凸区域ℜ吨(吨≪r)并且嵌入ψ:米→X是等距。这个假设有两个关键因素:

  • 等距:测地线距离在地图下是不变的ψ. 对于流形上的任意一对点,是,是′∈米,这些点之间的测地线距离等于它们对应坐标之间的欧几里得距离,X,X′∈X; IE,
    d米(是,是′)=|X−X′|X
    在哪里是=φ(X)和是′=φ(X′).
  • 凸性:流形米是一个凸子集ℜ吨.
    IsomaP 认为米成为可能以多种方式(例如,通过折叠或扭曲)中的任何一种方式扭曲的凸面区域。所谓的瑞士卷,2它是一个平面二维矩形子流形ℜ3, 就是这样一个例子;见图1.2. 实证研究表明,IsOMAP 适用于本质平坦的子流形X=ℜr看起来像卷起的纸或“打开”的歧管,例如打开的盒子或打开的圆柱体。但是,如果卷中有任何孔洞,IsOMAP 的性能就不会很好,因为这会违反凸性假设。对于某些类型的情况,等距假设似乎是合理的,但在许多其他情况下,凸性假设可能过于严格(Donoho 和 Grimes,2003b)。

IsomAP 使用等距和凸性假设来形成多维尺度 (MDS) 的非线性泛化。回想一下,MDS 寻找一个低维子空间,在其中嵌入输入数据,同时保留欧几里德点间距离(参见第 1.3.2 节)。不幸的是,在处理弯曲区域时,在 MDS 中使用欧几里德距离往往会产生较差的结果。IsOMAP 遵循一般 MDS 哲学,试图保留底层非线性流形的全局几何特性,它通过近似流形上的所有成对测地线距离(即两点之间的最短路径的长度)来做到这一点。从这个意义上说,IsOMAP 为流形学习提供了一种全局方法。

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Laplacian Eigenmaps

拉普拉斯特征图算法(Belkin 和 Niyogi,2002)也包括三个步骤。Laplacian eigenmap 算法的第一步和第三步分别与 LLE 算法的第一步和第三步非常相似。

  1. 最近邻搜索。修复一个整数ķ或一个ε>0. 每个数据点的邻域是对称定义的:对于ķ-邻里ñ一世ķ点的X一世, 让Xj∈ñ一世ķ当且当X一世∈ñjķ; 同样,对于一个ε-邻里ñ一世ε, 让Xj∈ñ一世和当且当|X一世−Xj|<ε,其中范数是欧几里得范数。一般来说,让ñ一世表示邻域X一世.
  2. 加权邻接矩阵。让在=(在一世j)是对称的(n×n)加权邻接矩阵定义如下:
    w_{i j}=w\left(\mathbf{x}{i}, \mathbf{x}{j}\right)= \begin{cases}\exp \left{-\frac{\left|\mathbf{ x}{i}-\mathbf{x}{j}\right|^{2}}{2 \sigma^{2}}\right}, & \text { if } \mathbf{x}{j} \在 N{i} \ 0, & \text { 否则 }\end{cases}w_{i j}=w\left(\mathbf{x}{i}, \mathbf{x}{j}\right)= \begin{cases}\exp \left{-\frac{\left|\mathbf{ x}{i}-\mathbf{x}{j}\right|^{2}}{2 \sigma^{2}}\right}, & \text { if } \mathbf{x}{j} \在 N{i} \ 0, & \text { 否则 }\end{cases}

这些权重由各向同性高斯核(也称为热核)确定,具有尺度参数σ. 将生成的加权图表示为G. 如果G未连接,将步骤 3 应用于每个连接的子图。

  1. 光谱嵌入。让D=(d一世j)豆(n×n)具有对角元素的对角矩阵d一世一世=∑j∈ñ一世在一世j=(在1n)一世,一世=1,2,…,n. 这(n×n)对称矩阵大号=D−在被称为图 Laplacian for the graphG. 让是=(是一世)豆n-向量。然后,是τ大号是=12∑一世=1n∑j=1n在一世j(是一世−是j)2, 以便大号是非负定的。

当数据从低维流形中均匀采样时米的ℜr, 图拉普拉斯算子大号=大号n,σ(被认为是n和σ) 可以看作是连续 Laplace-Beltrami 算子的离散近似Δ米在歧管上定义米, 并收敛到Δ米作为σ→0和n→∞. 此外,当从任意概率分布中采样数据时磷在歧管上米, 那么, 在特定条件下米和磷,图拉普拉斯收敛到加权版本Δ米(贝尔金和 Niyogi,2008 年)。

这(吨×n)-矩阵是=(是1,⋯,是n),用于嵌入图G进入低维空间ℜ吨, 在哪里是一世产生嵌入坐标一世第一点,通过最小化目标函数来确定,\sum{i} \sum_{j} w_{i j}\left|\mathbf{y}{i}-\mathbf{y}{j}\right|^{2}=\operatorname{tr}\left{ \mathbf{Y L Y} \mathbf{Y}^{\tau}\right}\sum{i} \sum_{j} w_{i j}\left|\mathbf{y}{i}-\mathbf{y}{j}\right|^{2}=\operatorname{tr}\left{ \mathbf{Y L Y} \mathbf{Y}^{\tau}\right}
换句话说,我们寻求解决方案,
\widehat{\mathbf{Y}}=\arg \min {\mathbf{Y}: \mathbf{Y D \mathbf { Y } ^ { \top } = \mathbf { I } { t }}} \operatorname{tr }\left{\mathbf{Y L Y ^ { \top } }},\right.\widehat{\mathbf{Y}}=\arg \min {\mathbf{Y}: \mathbf{Y D \mathbf { Y } ^ { \top } = \mathbf { I } { t }}} \operatorname{tr }\left{\mathbf{Y L Y ^ { \top } }},\right.
我们限制的地方是这样是D是是τ=一世吨以防止崩溃到小于的子空间吨−1方面。解由广义特征方程给出,大号在=λD在,或者,等价地,通过找到矩阵的特征值和特征向量在^=D−1/2在DD−1/2. 最小的特征值,λn, 的在^为零。如果我们忽略最小的特征值(及其对应的常数特征向量在n=1n),那么最好的嵌入解决方案ℜ吨与 LLE 给出的相似;也就是说,行是^是特征向量,
是^=(是^1,⋯,是^n)=(在n−1,⋯,在n−吨)τ,
对应下一个吨最小特征值,λn−1≤⋯≤λn−吨, 的在^.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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