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物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Symmetrization and occupancy of single-particle states

Particle statistics, or state occupancy, for bosons and for fermions arise from the rules for wave function symmetrization. The purpose of this section is to show that the symmetrization factor defined above from the normalization of the symmetrized wave function, equation (2.13), is exactly the correct weight factor that is required to replace an arbitrary sum over occupied states by a sum over all states whether the particles be bosons or fermions. This is one example of the utility of the symmetrization factor. Two other advantages are that it generalizes the occupancy rules to multi-particle states, and to overlapping states (i.e., those with nonorthogonal wave functions).

The usual texts on quantum mechanics treat the subject of wave function symmetrization by invoking quantum states that comprise single, identical particle, states (Messiah 1961, Merzbacher 1970, Pathria 1972). Indeed the familiar concept that an arbitrary number of bosons, but at most one fermion, can occupy the same state is predicated upon, and only makes sense, if the state referred to is a singleparticle state. Since the present basis consists of wave packets, whose states are single-particle, we need to show that the symmetrization factor is related to these usual rules of particle occupancy. In section 3.3, the analysis is generalized to systems in which the concept of occupancy is inapplicable because the relevant states are not single-particle.

The position-momentum states are discrete so that $\Gamma_{j}$ is equivalent to $\ell_{j}$; it is the single-particle state occupied by particle $j$. The state of the system is $\boldsymbol{\Gamma}=\left{\mathbf{\Gamma}{1}, \mathbf{\Gamma}{2}, \ldots, \mathbf{\Gamma}{N}\right}$, which is equivalently $\ell=\left{\ell{1}, \ell_{2}, \ldots, \ell_{N}\right}$. We may order the possible single-particle states $a=1,2, \ldots, A$, and say equivalently that particle $j$ is in the state $\ell_{j}$, or else that it is in the $a$ th state, with $a=a\left(\ell_{j}\right)$. Let $m_{a}(\ell)=\sum_{j} \delta_{a\left(\ell_{j}\right), a}$ be the number of particles in the single-particle state $a$ when the system is in state $\ell$. We may regard $m_{a}$ as a component of the $A$-dimensional vector $\mathbf{m}(\ell)$, which tells the occupancy numbers of the possible single-particle states when the system is in the labeled particle state $\ell$. Clearly there is a many to one mapping from the system state $\ell$ to the occupancy state $\mathbf{m}$, since the latter doesn’t distinguish which particle or particles are in the given single-particle state.

A function of the state of the system may be written $f(\ell)$, or as $f(\mathbf{m})$, the latter being short-hand for the more precise $f_{\mathrm{s}}(\mathbf{m}(\ell))=f(\ell)$. Since the particles are identical, and since the labels are arbitrary, either description should suffice, provided that the rules are properly accounted for.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Partition function

We consider a canonical equilibrium system, where the subsystem has number of particles $N$ and volume $V$, and the reservoir has temperature $T$. Instead of the latter we usually exhibit the inverse temperature, $\beta \equiv 1 / k_{\mathrm{B}} T$, where $k_{\mathrm{B}}$ is Boltzmann’s constant. The partition function is (Messiah 1961, Merzbacher 1970)
$$
Z^{\pm}(N, V, T)=\mathrm{TR}^{\prime} e^{-\beta \hat{H}} .
$$
This is derived in chapter 12, and it is used in chapter 7 as the starting point for a formally exact transformation of quantum statistical mechanics to classical phase space, valid in all regions of the phase diagram. Here that transformation is performed using wave packets, and it is strictly valid only in the classical limit.
The prime on the trace in the above formula is quite important as it signifies that only allowed quantum states should be included, and that these should be distinct and each counted once only. Messiah (1961, chapter XIV, sections 6 and 7) makes a similar point that the trace should be performed on a restricted subspace containing only allowed distinct states. The symmetrized wave function normalization factor given by him in the case of one-particle, orthogonal states is equivalent to the symmetrization factor given here, at least for the same case.

Unfortunately not all workers avert to the need to restrict the trace. Pathria (1972, equation (9.6.2)), gives the partition function as the Boltzmann weighted sum over energy states, with the implication being that these are all states (the issue of distinct states is not raised), but no symmetrization correction is exhibited.

As mentioned in the previous section it is usually most convenient to invoke an unrestricted sum, together with a weight factor that is zero for forbidden states and in inverse proportion to the number of times an allowed distinct state is counted. It was shown that the symmetrization factor had these properties.

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Symmetrization and occupancy of single-particle states

玻色子和费米子的粒子统计或状态占有率源于波函数对称化的规则。本节的目的是表明，上面从对称波函数的归 一化 (方程 (2.13) ) 定义的对称因子正是正确的权重因子，它需要用所有状态的总和来替换占用状态的任意总 和。说明粒子是玻色子还是费米子。这是使用对称因子的一个例子。另外两个优点是它将占用规则推广到多粒子 状态和重豎状态（即具有非正交波函数的状态）。
通常关于量子力学的教科书通过调用包含单个相同粒子状态的量子态来处理波函数对称化的主题 (Messiah 1961、Merzbacher 1970、Pathria 1972）。事实上，任意数量的玻色子，但最多一个费米子，可以占据相同的 状态这一熟悉的概念是基于并且仅在所指的状态是单粒子状态时才有意义。由于目前的基础由波包组成，其状态 是单粒子，我们需要证明对称因子与这些通常的粒子占据规则有关。在 $3.3$ 节中，分析被推广到占用概念不适用 的系统，因为相关状态不是单粒子。
位置动量状态是离散的，因此 $\Gamma_{j}$ 相当于 $\ell_{j}$; 它是粒子所占据的单粒子状态 $j$. 系统状态为 个粒子 $j$ 处于状态 $\ell_{j}$ ，否则它在 $a$ 状态，与 $a=a\left(\ell_{j}\right)$. 让 $m_{a}(\ell)=\sum_{j} \delta_{a\left(\ell_{j}\right), a}$ 是单粒子状态的粒子数 $a$ 当系统处 于状态时 $\ell$. 我们可以认为 $m_{a}$ 作为一个组成部分 $A$ 维向量 $\mathbf{m}(\ell)$ ，它告诉系统处于标记粒子状态时可能的单粒子状 态的占用数 $\ell$. 显然，系统状态存在多对一映射 $\ell$ 到占用状态 $\mathbf{m}$ ，因为后者不区分哪个或哪些粒子处于给定的单粒 子状态。
系统状态的函数可以写成 $f(\ell)$ ，或作为 $f(\mathbf{m})$, 后者是更精确的简写 $f_{\mathrm{s}}(\mathbf{m}(\ell))=f(\ell)$. 由于粒子是相同的，并且 由于标签是任意的，只要适当地考虑了规则，任何一种描述都应该足够了。

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Partition function

我们考虑一个典型的平衡系统，其中子系统具有多个粒子 $N$ 和音量 $V$ ，水库有温度 $T$. 而不是后者，我们通常展示 逆温度， $\beta \equiv 1 / k_{\mathrm{B}} T$ ，在哪里 $k_{\mathrm{B}}$ 是玻尔兹曼常数。配分函数为 (Messiah 1961，Merzbacher 1970)
$$
Z^{\pm}(N, V, T)=\mathrm{TR}^{\prime} e^{-\beta \hat{H}}
$$
这是在第 12 章中得出的，并在第 7 章中用作将量子统计力学形式精确地转换为经典相空间的起点，在相图的所 有区域都有效。这里使用波包进行转换，并且仅在经典限制中严格有效。
上式中迹线上的素数非常重要，因为它表示只应包括允许的量子态，并且这些量子态应该是不同的并且每个只计 算一次。Messiah（1961 年，第 XIV 章，第 6 和 7 节）提出了类似的观点，即应该在仅包含允许的不同状态的受 限子空间上执行跟踪。他在单粒子、正交状态的情况下给出的对称波函数归一化因子等价于这里给出的对称化因 子，至少对于相同的情况。
不幸的是，并非所有工作人员都避免需要限制跟踪。Pathria (1972， equation (9.6.2)) 给出了作为能量状态的玻尔 兹曼加权和的配分函数，暗示这些都是状态（没有提出不同状态的问题)，但没有对称化校正展出。
如上一节所述，调用不受限制的总和通常最方便，加上权重因子对于禁止状态为零，并且与计算允许的不同状态 的次数成反比。结果表明，对称因子具有这些性质。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Wave packet symmetrization and overlap

A fundamental axiom of quantum mechanics is that the wave function must be either fully symmetric (bosons) or fully anti-symmetric (fermions) with respect to interchange of identical particles (Messiah 1961, Merzbacher 1970). For the present wave packets, the symmetrized form is

$$
\begin{aligned}
\zeta_{\Gamma}^{\pm}(\mathbf{r}) & \equiv \frac{1}{\sqrt{N ! \chi_{\Gamma}^{\pm}}} \sum_{\hat{\mathrm{P}}}(\pm 1)^{p} \zeta_{\Gamma}(\hat{\mathrm{P}} \mathbf{r}) \
& \equiv \frac{1}{\sqrt{N ! \chi_{\Gamma}^{\pm}}} \sum_{\hat{\mathrm{P}}}(\pm 1)^{p} \zeta_{\hat{\mathrm{P}} \mathrm{\Gamma}}(\mathbf{r}) .
\end{aligned}
$$
The meaning of particle permutation can be seen from the fact that a vector is an ordered set. In the present case the first element of the vector of coordinates, or of the vector of position-momentum labels, is associated with the first particle, the second element with the second particle, etc. Hence the particle permutator $\hat{\mathrm{P}}$ can be applied to one vector relative to the other.

In the above expression for the symmetrized wave packet, the sum is over all $N$ ! permutations of the $N$ particles. Recall that we sometimes write the combined position and momentum labels as $\boldsymbol{\Gamma} \equiv{\mathbf{q}, \mathbf{p}}$. Here and below $p(\hat{\mathrm{P}})$ is the number of pair transpositions that comprise the permutation operator $\hat{\mathrm{P}}$ (or simply their parity). The plus sign is for bosons and the minus sign is for fermions.

By inspection one sees that the symmetrized wave functions show the mandated behavior for bosons and fermions under particle interchange,
$$
\zeta_{\Gamma}^{\pm}(\hat{P} \mathbf{r})=(\pm 1)^{p} \zeta_{\Gamma}^{\pm}(\mathbf{r}) .
$$

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考| Pair transposition

Before exploring the general properties of the symmetrization factor, it may be worth illustrating the nature of particle permutations with a simple example.

Because the wave function is the product of individual particle wave packets, it is simplest to focus on a single pair transposition, since all permutations can be decomposed into consecutive pair transpositions. Let $\hat{P}{j k}$ transpose particles $j$ and $k$, so that $$ \begin{aligned} \zeta{\Gamma}\left(\hat{\mathbf{P}}{j k} \mathbf{r}\right) &=\zeta{\Gamma_{1} \ldots \Gamma_{j} \ldots \Gamma_{k} \ldots}\left(\mathbf{r}{1} \ldots \mathbf{r}{k} \ldots \mathbf{r}{j \ldots} \ldots\right) \ &=\zeta{\Gamma_{1}}^{(1)}\left(\mathbf{r}{1}\right) \ldots \zeta{\Gamma_{j}}^{(1)}\left(\mathbf{r}{k}\right) \ldots \zeta{\mathbf{r}{k}}^{(1)}\left(\mathbf{r}{j}\right) \ldots
\end{aligned}
$$
The so-called dimer symmetrization or overlap factor consists of the inner product of the original and the transposed wave function,
$\chi_{j k}^{\pm,(2)} \equiv \pm\left\langle\zeta_{\boldsymbol{\Gamma}}\left(\hat{\mathbf{P}}{j k} \mathbf{r}\right) \mid \zeta{\boldsymbol{\Gamma}}(\mathbf{r})\right\rangle$
$=\pm\left\langle\zeta_{\Gamma_{j}}^{(1)}\left(\mathbf{r}{k}\right) \zeta{\mathbf{\Gamma}{k}}^{(1)}\left(\mathbf{r}{j}\right) \mid \zeta_{\Gamma_{j}}^{(1)}\left(\mathbf{r}{j}\right) \zeta{\mathbf{r}{k}}^{(1)}\left(\mathbf{r}{k}\right)\right\rangle$
$=\pm\left|\left\langle\zeta_{\Gamma_{j}}^{(1)} \mid \zeta_{\Gamma_{k}}^{(1)}\right\rangle\right|^{2}$
$=\frac{\pm 1}{\left(2 \pi \xi^{2}\right)^{3}} \mid \int \mathrm{d} \mathbf{r}{j} e^{-\left(\mathbf{r}{j}-\mathbf{q}{k}\right)^{2} / 4 \xi^{2}} e^{\mathbf{p}{k}-\left(\mathbf{r} /-\mathbf{q}{k}\right) / / \mathrm{in}}$ $\times\left. e^{-\left(\mathbf{r}{j}-\mathbf{q}{j}\right)^{2} / 4 \xi^{2}} e^{-\mathbf{p}{j}-\left(\mathbf{r}{j}-\mathbf{q}{j}\right) / i^{\prime}}\right|^{2}$
$=\pm \exp \left{\frac{-1}{4 \xi^{2}}\left(\mathbf{q}{k}-\mathbf{q}{j}\right)^{2}-\frac{\xi^{2}}{\hbar^{2}}\left(\mathbf{p}{k}-\mathbf{p}{j}\right)^{2}\right} .$
The second equality follows because the unpermuted single-particle wave packets are normalized and so their respective inner product each gives a factor of unity. The third equality follows because what remains in the product of two integrals over the dummy variables $\mathbf{r}{j}$ and $\mathbf{r}{k}$, respectively, and these integrals are the complex conjugate of each other. The final equality shows that for the general wave packet the dimer overlap factor is evidently an un-normalized Gaussian in position and momentum that ties the two particles together.

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Wave packet symmetrization and overlap

量子力学的一个基本公理是，对于相同粒子的交换，波函数必须是完全对称的（玻色子) 或完全反对 称的 (费米子) (Messiah 1961，Merzbacher 1970）。对于目前的波包，对称形式是
$$
\zeta_{\Gamma}^{\pm}(\mathbf{r}) \equiv \frac{1}{\sqrt{N ! \chi_{\Gamma}^{\pm}}} \sum_{\hat{\mathrm{P}}}(\pm 1)^{p} \zeta_{\Gamma}(\hat{\mathrm{P}} \mathbf{r}) \equiv \frac{1}{\sqrt{N ! \chi_{\Gamma}^{\pm}}} \sum_{\hat{\mathrm{P}}}(\pm 1)^{p} \zeta_{\hat{\mathrm{P}}}(\mathbf{r}) .
$$
从向量是有序集合这一事实可以看出粒子置换的意义。在本例中，坐标向量或位置动量标签向量的第 一个元素与第一个粒子相关联，第二个元素与第二个粒子相关联，等等。因此，粒子置换器P可以应 用于相对于另一个向量的一个向量。
在对称波包的上述表达式中，总和超过了所有 $N !$ 的排列 $N$ 粒子。回想一下，我们有时将组合的位置 和动量标签写为 $\boldsymbol{\Gamma} \equiv \mathbf{q}, \mathbf{p} \cdot$ 这里和下面 $p(\hat{\mathrm{P}})$ 是组成置换算子的对换位的数量 $\hat{\mathrm{P}}$ (或只是他们的平 价）。加号代表玻色子，减号代表费米子。
通过检查可以看出，对称波函数显示了粒子交换下玻色子和费米子的强制行为，
$$
\zeta_{\Gamma}^{\pm}(\hat{P} \mathbf{r})=(\pm 1)^{p} \zeta_{\Gamma}^{\pm}(\mathbf{r}) .
$$

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考| Pair transposition

在探索对称因子的一般性质之前，可能值得用一个简单的例子来说明粒子排列的性质。
因为波函数是单个粒子波包的乘积，所以最简单的方法是关注单对换位，因为所有排列都可以分解为 连续的对换位。让 $\hat{P} j k$ 转置粒子 $j$ 和 $k$ ，以便
$$
\zeta \Gamma\left(\hat{\mathbf{P}}{j k \mathbf{r}}\right)=\zeta \Gamma{1} \ldots \Gamma_{j} \ldots \Gamma_{k} \ldots(\mathbf{r} 1 \ldots \mathbf{r} k \ldots \mathbf{r} j \ldots \ldots)=\zeta \Gamma_{1}^{(1)}(\mathbf{r} 1) \ldots \zeta \Gamma_{j}^{(1)}(\mathbf{r} k)^{\prime}
$$
所谓二聚体对称或重坚因子由原始波函数和转置波函数的内积组成，
$\chi_{j k}^{\pm,(2)} \equiv \pm\left\langle\zeta_{\boldsymbol{\Gamma}}(\hat{\mathbf{P}} j k \mathbf{r}) \mid \zeta \boldsymbol{\Gamma}(\mathbf{r})\right\rangle$
$=\pm\left\langle\zeta_{\Gamma_{j}}^{(1)}(\mathbf{r} k) \zeta \mathbf{\Gamma} k^{(1)}(\mathbf{r} j) \mid \zeta_{\Gamma_{j}}^{(1)}(\mathbf{r} j) \zeta \mathbf{r} k^{(1)}(\mathbf{r} k)\right\rangle$
$=\pm\left|\left\langle\zeta_{\Gamma_{j}}^{(1)} \mid \zeta_{\Gamma_{k}}^{(1)}\right\rangle\right|^{2}$
$=\frac{\pm 1}{\left(2 \pi \xi^{2}\right)^{3}}\left|\int \mathrm{d} \mathbf{r} j e^{-(\mathbf{r} j-\mathbf{q} k)^{2} / 4 \xi^{2}} e^{\mathbf{p} k-(\mathbf{r} /-\mathbf{q} k) / / \mathrm{in}} \times e^{-(\mathbf{r} j-\mathbf{q} j)^{2} / 4 \xi^{2}} e^{-\mathbf{p} j-(\mathbf{r} j-\mathbf{q} j) / i^{t}}\right|^{2}$
第二个等式是因为末置换的单粒子波包被归一化，因此它们各自的内积都给出了一个统一因子。第三
个等式紧随其后，因为在虚拟变量上的两个积分的乘积中剩下的是什么 $\mathrm{r} j$ 和 $\mathrm{r} k$ ，分别，并且这些积分
是彼此的复共轭。最后的等式表明，对于一般波包，二聚体重疍因子显然是将两个粒子联系在一起的
位置和动量的非归一化高斯。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Wave packets as eigenfunctions in the classical limit

The primary goal here is to show how to get from the quantum picture to classical statistical mechanics, which is of course formulated in the classical phase space of the particles’ positions and momenta. To this end we use wave packets because they are localized simultaneously in position and momentum. Some care must be taken with using these as a basis, as there are issues with their orthogonality and completeness. Also the meaning of simultaneous localization must be reconciled with the Heisenberg uncertainty principle.

Consider a system consisting of $N$ particles in three dimensions, with position representation coordinates $\mathbf{r}=\left{\mathbf{r}{1}, \mathbf{r}{2}, \ldots, \mathbf{r}{N}\right}, \mathbf{r}{j}=\left{r_{j x}, r_{j y}, r_{j z}\right}, j=1,2, \ldots, N$. Define analogous vectors for the position label $\mathbf{q}$, and the momentum label $\mathbf{p}$. It will sometimes be convenient to write the combined labels as $\mathbf{\Gamma} \equiv{\mathbf{q}, \mathbf{p}}$. The representation coordinates $\mathbf{r}$ belong to the real continuum. The labels are discretized, for example $q_{j \alpha}=\ell_{\mathrm{q}, j \alpha} \Delta_{\mathrm{q}}$ and $p_{j a}=\ell_{\mathrm{p}, j \alpha} \Delta_{\mathrm{p}}$, with the $\ell_{\mathrm{q}}$ and $\ell_{\mathrm{p}}$ being integers. Below $\Gamma$ and $\ell$ are used interchangeably to label the system state. The meaning of position and momentum labels emerges from the following analysis.

At this stage we do not need to be more precise about the grid spacing or the system size. Messiah (1961, chapter V, section 11) insists that in order for the momentum operator to be Hermitian periodic boundary conditions must be imposed on all wave functions, and discrete momentum eigenvalues must have spacing $\Delta_{\mathrm{p}}=2 \pi \hbar / L$ where $I$. is the system edge length. This is true if the wave function does not go to zero at the boundaries. In any case, here we do not explicitly use this (but we consistently do so in later chapters), but instead observe that for a macroscopic system, $L \rightarrow \infty$, the present grid spacing could be made an integer multiple of this.

Spin could be included in the set of commuting dynamical variables, with $\mathbf{x}{j}=\left{\mathbf{r}{j}, \sigma_{j}\right}$, where $\sigma_{j} \in{-S,-S+1, \ldots, S}$ is the $z$-component of the spin of particle j. See Messiah (1961, section 14.1), or Merzbacher (1970, section 20.5), or section $6.4$ below. However, we do not include spin in the present analysis.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考| Eigenfunctions

The probability amplitude in the position representation is
$$
\zeta_{\mathrm{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r})^{*} \zeta_{\mathrm{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r})=\frac{1}{C^{2}} e^{-(\mathbf{r}-\mathbf{q})(\mathbf{r}-\mathbf{q}) / 2 \xi^{2}} .
$$
This is a Gaussian of width $\xi$ (per particle, per direction), peaked at the position label $\mathbf{q}$. Similarly in the momentum representation, the probability amplitude has width $\hbar / 2 \xi$ and is peaked at the momentum label p. To within an error of these magnitudes, the minimum uncertainty wave function is approximately a simultaneous eigenfunction of the position and momentum operators,
$$
\hat{\mathbf{q}} \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r})=\mathbf{r} \zeta_{\mathbf{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r}) \approx \mathbf{q} \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r}),
$$
and
$$
\hat{\mathbf{p}} \zeta_{\mathrm{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r})=\left[\frac{\mathrm{i} \hbar}{2 \xi^{2}}(\mathbf{r}-\mathbf{q})+\mathbf{p}\right] \zeta_{\mathrm{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r}) \approx \mathbf{p} \zeta_{\mathrm{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r}) .
$$
(Recall that the momentum operator is $\hat{\mathbf{p}}=-i \hbar \nabla_{\mathbf{r}}$.) Since the probability amplitude is sharply peaked about ${\mathbf{q}, \mathbf{p}}$, the approximation in these is to neglect contributions $\mathcal{O}(\xi)$ and $\mathcal{O}(\hbar / 2 \xi)$, respectively.

Because the wave packet is an approximate simultaneous position and momentum eigenfunction, for any sufficiently slowly varying phase function one can write $\int(\hat{\mathbf{q}}, \hat{\mathbf{p}}) \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r}) \approx f(\mathbf{q}, \mathbf{p}) \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r})$. In particular, the wave packet is an approximate energy eigenfunction,
$$
\hat{H}(\mathbf{r}) \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r}) \equiv H(\hat{\mathbf{q}}, \hat{\mathbf{p}}) \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r}) \approx H(\mathbf{q}, \mathbf{p}) \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r}) .
$$
The eigenvalue is the classical Hamiltonian energy function of phase space, which is usually split into kinetic and potential energies,
$$
H(\mathbf{q}, \mathbf{p})=\mathcal{K}(\mathbf{p})+U(\mathbf{q}), \quad \mathcal{K}(\mathbf{p})=\frac{p^{2}}{2 m}=\frac{1}{2 m} \sum_{j, \alpha} p_{j \alpha}^{2} .
$$

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Wave packets as eigenfunctions in the classical limit

这里的主要目标是展示如何从量子图像到经典统计力学，这当然是在粒子位置和动量的经典相空间中制定的。为 此，我们使用波包，因为它们同时定位在位置和动量上。使用这些作为基础时必须小心谨慎，因为它们的正交性 和完整性存在问题。同时定位的含义也必须与海森堡测不准原理相协调。
考虑一个由以下组成的系统 $N$ 三个维度的粒子，具有位置表示坐标 . 为位置标签定义类似向量 $\mathbf{q}$, 和动量标签 $\mathbf{p}$. 有时将组合标签写为 $\boldsymbol{\Gamma} \equiv \mathbf{q}, \mathbf{p}$. 表示坐标 $\mathbf{r}$ 属于实相。标签是离散
的，例如 $q_{j \alpha}=\ell_{\mathrm{q}, j \alpha} \Delta_{\mathrm{q}}$ 和 $p_{j a}=\ell_{\mathrm{p}, j \alpha} \Delta_{\mathrm{p}}$, 与 $\ell_{\mathrm{q}}$ 和 $\ell_{\mathrm{p}}$ 是整数。以下 $\Gamma$ 和 $\ell$ 可以互换使用来标记系统状态。位置和 动量标签的含义来自以下分析。
在这个阶段，我们不需要更精确的网格间距或系统大小。Messiah（1961 年，第五章，第 11 节) 坚持认为，为 了使动量算子成为厄米特周期边界条件，必须对所有波函数施加周期性边界条件，并且离散动量特征值必须具有 间距 $\Delta_{\mathrm{p}}=2 \pi \hbar / L$ 在哪里 $I$. 是系统边长。如果波函数在边界处不为零，这是正确的。无论如何，这里我们没有 明确地使用它（但我们在后面的章节中一直这样做），而是观察到对于宏观系统， $L \rightarrow \infty$ ，现在的网格间距可 以是这个的整数倍。 $\sigma_{j} \in-S,-S+1, \ldots, S$ 是个 $z$-粒子 $\mathrm{j}$ 的自旋分量。见 Messiah (1961， section 14.1), or Merzbacher (1970， section 20.5), or section6.4以下。但是，我们在本分析中不包括自旋。

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考| Eigenfunctions

位置表示中的概率幅度为
$$
\zeta_{\mathrm{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r})^{*} \zeta_{\mathrm{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r})=\frac{1}{C^{2}} e^{-(\mathbf{r}-\mathbf{q})(\mathbf{r}-\mathbf{q}) / 2 \xi^{2}}
$$
这是宽度的高斯 $\xi$ (每个粒子，每个方向)，在位置标签处达到峰值q. 类似地，在动量表示中，概率幅具有宽度 $\hbar / 2 \xi$ 并且在动量标签 $\mathrm{p}$ 处达到峰值。在这些量级的误差范围内，最小不确定性波函数近似为位置和动量算子的同 时特征函数，
$$
\hat{\mathbf{q}} \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r})=\mathbf{r} \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r}) \approx \mathbf{q} \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r})
$$
和
$$
\hat{\mathbf{p}} \zeta_{\mathrm{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r})=\left[\frac{\mathrm{i} \hbar}{2 \xi^{2}}(\mathbf{r}-\mathbf{q})+\mathbf{p}\right] \zeta_{\mathrm{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r}) \approx \mathbf{p} \zeta_{\mathrm{q}, \mathrm{p}}(\mathbf{r})
$$
(回想一下，动量算子是 $\hat{\mathbf{p}}=-i \hbar \nabla_{\mathbf{r}}$.) 由于概率幅度在大约 $\mathbf{q}, \mathbf{p}$ ，其中的近似值是忽略贡献 $\mathcal{O}(\xi)$ 和 $\mathcal{O}(\hbar / 2 \xi)$ ，分别。
因为波包是一个近似的同时位置和动量特征函数，对于任何足够缓慢变化的相位函数，我们可以写出 $\int(\hat{\mathbf{q}}, \hat{\mathbf{p}}) \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r}) \approx f(\mathbf{q}, \mathbf{p}) \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r})$. 特别地，波包是一个近似的能量特征函数，
$$
\hat{H}(\mathbf{r}) \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r}) \equiv H(\hat{\mathbf{q}}, \hat{\mathbf{p}}) \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r}) \approx H(\mathbf{q}, \mathbf{p}) \zeta_{\mathbf{q}, \mathbf{p}}(\mathbf{r})
$$
特征值是相空间的经典哈密顿能量函数，通常分为动能和势能，
$$
H(\mathbf{q}, \mathbf{p})=\mathcal{K}(\mathbf{p})+U(\mathbf{q}), \quad \mathcal{K}(\mathbf{p})=\frac{p^{2}}{2 m}=\frac{1}{2 m} \sum_{j, \alpha} p_{j \alpha}^{2}
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
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如果你也在 怎样代写统计力学Statistical mechanics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

统计力学是一个数学框架，它将统计方法和概率理论应用于大型微观实体的集合。它不假设或假定任何自然法则，而是从这种集合体的行为来解释自然界的宏观行为。

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我们提供的统计力学Statistical mechanics及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

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物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|CHEMICAL PQTENTIAL AND OPEN SYSTEMS

Work is the energy to change the macroscopically observable, extensive properties of systems. What work is required to change the number of particles, $N$ ? Open systems allow the exchange of matter as well as energy with the environment. The first law for open systems is 48
$$
\mathrm{d} U=T \mathrm{~d} S-P \mathrm{~d} V+\mu \mathrm{d} N,
$$
where $\mu$ is the chemical potential -roughly the energy to add another particle of given chemical species to the system. ${ }^{49,50} \mathrm{We}$ can now answer the question posed at the end of Section $1.2$. We see from Eq. (1.21) that $U$ is a function of $S, V, N: U=U(S, V, N)$, and more generally $U=$ $U\left(S, X_{*}, N\right)$. Wc can thercforc identify the chemical potential as the dcrivative
$$
\mu \equiv\left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S, V},
$$ the change in internal energy upon adding a particle, holding $S, V$ fixed. ${ }^{51}$ The chemical potential is often. but not always. a negative quantity [3. p39]. We require $\mu \leq 0$ for bosons. whereas there is no restriction on the sign of $\mu$ for fermions (Section 5.5). Only if inter-particle interactions are sufficiently repulsive does $\mu$ become positive. The Fermi energy is an example; the repulsive interaction in that case is the requirement of the Pauli exclusion principle. We’ll examine the effects on $\mu$ of a hard-core, short-range repulsive inter-particle potential in Sections $6.4$ and 7.3.
It’s often better to write the first law in terms of entropy, ${ }^{52}$
$$
\mathrm{d} S=\frac{1}{T} \mathrm{~d} U-\frac{1}{T} \sum_{j} Y_{j} \mathrm{~d} X_{j}-\frac{\mu}{T} \mathrm{~d} N .
$$

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考| Mathematical interlude

Consider three variables connected through a functional relation, $f(x, y, z)=0$. Any two can be taken as independent, and each can be considered a function of the other two: $x=x(y, z)$, $z=z(x, y)$, or $y=y(x, z)$. Form the differential of $x$ in terms of the differentials of $y$ and $z$ :
$$
\mathrm{d} x=\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right){z} \mathrm{~d} y+\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right){y} \mathrm{~d} z .
$$
Now form the differential of $z$ in terms of $x$ and $y$,
$$
\mathrm{d} z=\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right){y} \mathrm{~d} x+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right){x} \mathrm{~d} y .
$$
Suhstitute d $z$ in Fq . (1.28) for that in Fr. (1.27). We find:
$$
0=\left[\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right){y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right){y}-1\right] \mathrm{d} x+\left[\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right){z}+\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right){y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right){x}\right] \mathrm{d} y . $$ For Eq. (1.29) to hold for arbitrary $\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y$, we have $$ 1=\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right){y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}
$$

$$
-1=\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right){z}\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right){x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y}
$$
Equation (1.30) is the reciprocity relation and Eq. (1.31) the cyclic relation. ${ }^{55}$

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|CHEMICAL PQTENTIAL AND OPEN SYSTEMS

功是改变系统宏观可观察的广泛性质的能量。改变粒子数需要做哪些功， $N$ ? 开放系统允许与环境交换物质和能 量。开放系统的第一定律是 48
$$
\mathrm{d} U=T \mathrm{~d} S-P \mathrm{~d} V+\mu \mathrm{d} N,
$$
在哪里 $\mu$ 是化学势 – 大致是将给定化学物质的另一个粒子添加到系统中的能量。 ${ }^{49,50} \mathrm{We}$ 现在可以回答部分末尾 提出的问题1.2. 我们从方程式中看到。(1.21) 那 $U$ 是一个函数 $S, V, N: U=U(S, V, N)$ ，更一般地说 $U=$ $U\left(S, X_{*}, N\right)$. Wc 可以强制将化学势识别为衍生物
$$
\mu \equiv\left(\frac{\partial U}{\partial N}\right){S, V}, $$ 添加粒子时内能的变化，保持 $S, V$ 固定的。 ${ }^{51}$ 化学势通常是。但不总是。负数 [3. 第 39 页]。我们需要 $\mu \leq 0$ 对 于玻色子。而对的符号没有限制 $\mu$ 对于费米子 (第 $5.5$ 节) 。只有当粒子间的相互作用足够排后时 $\mu$ 变得积极。费 米能量就是一个例子；这种情况下的排斥相互作用是泡利不相容原理的要求。我们将检查对 $\mu$ 截面中的硬核、短 程排斥粒子间势 $6.4$ 和 $7.3$ 。 用樀的形式写出第一定律通常会更好， ${ }^{52}$ $$ \mathrm{d} S=\frac{1}{T} \mathrm{~d} U-\frac{1}{T} \sum{j} Y_{j} \mathrm{~d} X_{j}-\frac{\mu}{T} \mathrm{~d} N .
$$

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考| Mathematical interlude

考虑通过函数关系连接的三个变量， $f(x, y, z)=0$. 任何两个都可以被认为是独立的，并且每个都可以被认为是 另外两个的函数: $x=x(y, z), z=z(x, y)$ ，或者 $y=y(x, z)$. 形成微分 $x$ 就差异而言 $y$ 和 $z$ :
$$
\mathrm{d} x=\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right) z \mathrm{~d} y+\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right) y \mathrm{~d} z .
$$
现在形成微分 $z$ 按照 $x$ 和 $y$ ，
$$
\mathrm{d} z=\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) y \mathrm{~d} x+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) x \mathrm{~d} y
$$
替代品 $z$ 在 $\mathrm{Fq}$ 中。(1.28) 在 $\mathrm{Fr}$ 。(1.27)。我们发现:
$$
0=\left[\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right) y\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) y-1\right] \mathrm{d} x+\left[\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right) z+\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right) y\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) x\right] \mathrm{d} y .
$$
对于方程。(1.29) 持有任意 $\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y$ ，我们有
$$
\begin{gathered}
1=\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right) y\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right){y} \ -1=\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right) z\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right) x\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right){y}
\end{gathered}
$$
方程 (1.30) 是互易关系，方程。(1.31) 循环关系。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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统计力学是一个数学框架，它将统计方法和概率理论应用于大型微观实体的集合。它不假设或假定任何自然法则，而是从这种集合体的行为来解释自然界的宏观行为。

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英国补考|统计力学代写Statistical mechanics代考|THERMODYNAMIC POTENTIALS

Equilibrium is specified by the values of state variables. Whether measured or postulated by the laws of thermodynamics, state variables are not independent of each other (peek ahead to Eq. (1.53)). Depending on the system, there may be variables that are not readily subject to experimental control and yet others that are. Legendre transformations (defined in Appendix C) provide a way of obtaining equivalent descriptions of the energy of a system known as thermodynamic potentials, which involve variables that may be easier to control.

Three Legendre transformations of $U(S, V)$ can be formed from the products of variables with the dimension of energy (when the number of particles is fixed): $T S$ and $P V$ (our old friends heat and work). ${ }^{40}$ They are:
$$
\begin{array}{ll}
F \equiv U-T S & \text { (Helmholtz free energy) } \
H \equiv U+P V & \text { (enthalpy) } \
G \equiv U-T S+P V=F+P V=H-T S . & \text { (Gibbs free energy) }
\end{array}
$$
The relationships amongst these functions are shown in Fig. 1.5. Their physical interpretation is
Figure 1.5: The four ways to say energy: Legendre transformations of the internal energy function (for fixed particles numbers).

英国补考|统计力学代写Statistical mechanics代考| FREE ENERGY AND DISSIPATED ENERGY

By rewriting (1.15), we have the inequality $-\mathrm{d} W \leq T \mathrm{~d} S-\mathrm{d} U$. For there to be work done by the system (counted as a negative quantity), we must have $\mathrm{d} U<T \mathrm{~d} S$, a generalization of $\Delta U=W_{\text {ad }}$ : $\Delta U<0$ if $W_{\text {ad }}<0$. The maximum value of $\mathrm{d} W$ (counted as a negative quantity) is therefore $|\mathrm{d} W|{\max }=T \mathrm{~d} S-\mathrm{d} U$. Undoing the minus sign, $\mathrm{d} W{\max }=\mathrm{d} U-T \mathrm{~d} S=[\mathrm{d} F]{T}$. The Helmholtz energy is the maximum obtainable work at constant $T: W{\max }-[\Delta F]_{T}$.

Thus, not all of the energy change $\Delta U$ is available for work if $\Delta S>0$, which is the origin of the term free energy: the amount of energy available for work. For this reason $F$ is called the work function. Enthalpy is the heat function, $[\Delta H]{P}=Q$, and the Helmholtz energy is the work function, $[\Delta F]{T}=W$. It’s straightforward to show that $[\Delta H]{P}+[\Delta F]{T}=\Delta U$.

The Gibbs energy also specifies a free energy. With $\mathrm{d} W=-P \mathrm{~d} V+\mathrm{d} W^{\prime}$, (1.15) implies $-\mathrm{d} W^{\prime} \leq T \mathrm{~d} S-(\mathrm{d} U+P \mathrm{~d} V)$. To obtain other work from the system, we must have that $T \mathrm{~d} S>$ $\mathrm{d} U+P \mathrm{~d} V$. The maximum value of $\mathrm{d} W^{\prime}$ (counted as a negative quantity) is therefore $\mathrm{d} W_{\max }^{\prime}=$ $\mathrm{d} U+P \mathrm{~d} V-T \mathrm{~d} S=[\mathrm{d} G]{T, P}$. The Gibbs energy is the maximum work obtainable from the system in a form other than $P \mathrm{~d} V$ work: $W{\max }^{\prime}=[\Delta G]_{T, P}$.

统计力学代考

英国补考|统计力学代写Statistical mechanics代考|THERMODYNAMIC POTENTIALS

平衡由状态变量的值指定。无论是通过热力学定律测量还是假设，状态变量都不是相互独立的 (先看方程 (1.53））。根据系统的不同，可能存在不易受实验控制的变量，而其他变量则受实验控制。勒让德变换（在附 录 C中定义）提供了一种获得系统能量的等效描述的方法，称为热力学势，其中涉及可能更容易控制的变量。
三个勒让德变换 $U(S, V)$ 可以由具有能量维数的变量的乘积形成 (当粒子数固定时) : $T S$ 和 $P V$ (我们的老朋 友热和工作) ${ }^{40}$ 他们是:
$F \equiv U-T S \quad$ (Helmholtz free energy) $H \equiv U+P V \quad$ (enthalpy) $G \equiv U-T S+P V=F+$
这些函数之间的关系如图 $1.5$ 所示。他们的物理解释是
图 1.5：四种表示能量的方式：内能函数的勒让德变换（对于固定粒子数）。

英国补考|统计力学代写Statistical mechanics代考| FREE ENERGY AND DISSIPATED ENERGY

通过重写 (1.15)，我们有不等式 $-\mathrm{d} W \leq T \mathrm{~d} S-\mathrm{d} U$. 对于系统完成的工作（计为负数) ，我们必须有 $\mathrm{d} U0$ ，这是术语自由能的起源: 可用于工作的能量。为此原 因 $F$ 称为功函数。焓是热函数， $[\Delta H] P=Q$ ，亥姆霍兹能量是功函数， $[\Delta F] T=W$. 很容易证明 $[\Delta H] P+[\Delta F] T=\Delta U$
吉布斯能量也指定了自由能。和 $\mathrm{d} W=-P \mathrm{~d} V+\mathrm{d} W^{\prime}$ ，(1.15) 意味着 $-\mathrm{d} W^{\prime} \leq T \mathrm{~d} S-(\mathrm{d} U+P \mathrm{~d} V)$. 要从系统中获得其他工作，我们必须有 $T \mathrm{~d} S>\mathrm{d} U+P \mathrm{~d} V$. 的最大值 $\mathrm{d} W^{\prime}$ (计为负数) 因此是 $\mathrm{d} W_{\max }^{\prime}=$ $\mathrm{d} U+P \mathrm{~d} V-T \mathrm{~d} S=[\mathrm{d} G] T, P$. 吉布斯能量是从系统以除以下形式获得的最大功 $P$ d $V$ 工作:
$W \max ^{\prime}=[\Delta G]_{T, P}$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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如果你也在 怎样代写统计力学Statistical mechanics这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

统计力学是一个数学框架，它将统计方法和概率理论应用于大型微观实体的集合。它不假设或假定任何自然法则，而是从这种集合体的行为来解释自然界的宏观行为。

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物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|INTERNAL ENERGY: WORK AND HEAT

In the performance of adiabatic work $W_{\text {ad }}$-work on adiabatically isolated systems-it’s found that transitions $i \rightarrow f$ produced between reproducible equilibrium states ${ }^{8}(i, f)$ depend only on the amount of work and not on how it’s performed. Regardless of how the proportions of the types of work are varied, the same total amount of adiabatic work results in the same transition $i \rightarrow f$. This discovery is of fundamental importance. If the transition $i \rightarrow f$ produced by adiabatic work is independent of the means by which it’s brought about, it can depend only on the initial and final states $(i, f)$. That implies the existence of a physical quantity associated with equilibrium states that “couples” to adiabatic work, the internal energy $U$, such that ${ }^{9}$
$$
\Delta U=U_{f}-U_{i}=W_{\text {ad } .} .
$$
Internal energy is a state variable-one that depends only on the state of equilibrium of the system and not on how the system was prepared in that state. Adiabatic work done on a system increases its internal energy and is taken as a positive quantity. Adiabatic work done by a system (somewhere in the environment a weight is higher, a spring is compressed) is accompanied by a decrease in internal energy, and is taken as a negative quantity. Changes in internal energy come at the expense of adiabatic work done on or by a system. Equation (1.1) expresses conservation of energy: If we don’t let heat escape, work performed on the system is stored in its internal energy, energy that can be recovered by letting the system do adiabatic work on the environment. We’ll say that internal energy is the storehouse of adiabatic work.

Now, let work $W$ be performed under nonadiabatic conditions. It’s found, for the same transition $i \rightarrow f$ produced by $W_{\text {ad }}$, that $W \neq \Delta U$. The energy of mechanical work is not conserved in systems with diathermic boundaries. Energy conservation is one of the sacred principles of physics, and we don’t want to let go of it. The principle can be restored by recognizing different forms of energy. ${ }^{10}$ The heat transferred to or from the system, $Q$, is the difference in work
$$
Q \equiv \Delta U-W
$$
that effects the same change in state of systems with the two types of boundaries, $Q=W_{\text {ad }}-W$. If it takes more work $W$ to produce the same change of state as that under adiabatic conditions, $Q<0$ : heat leaves the system by flowing through the boundary; $Q>0$ corresponds to heat entering the system. ${ }^{11}$ Equation (1.2) is the first law of thermodynamics. One might think it applies to closed systems only, based on how we’ve formulated it. It applies to open systems when we introduce another kind of work-chemical work – the energy required to change the amount of matter in the system (see Section 1.6). The point here is that the nature of the boundaries allows us to classify different types of energy.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考| IRREVERSIBILITY, DISORGANIZATION

Entropy-discovered through an analysis of the second law of thermodynamics-is an unexpected yet significant development. ${ }^{17}$ The Clausius inequality is a consequence of the second law:[3, p33]
$$
\oint \frac{\mathrm{d} Q}{T} \leq 0,
$$
where the integral is over all steps of a cyclic process (one that returns a system to its initial state), $T$ is the absolute temperature 18 at which heat transfer $₫ Q$ occurs, and where equality in (1.6) holds for reversible heat transfers, ${ }^{19}$
$$
\oint \frac{(\mathrm{d} Q){\mathrm{rev}}}{T}=0 . $$ Differentials of state variables are exact. ${ }^{20}$ Exact differentials $\mathrm{d} g$ have the property that $\oint{C} \mathrm{~d} g=$ 0 for any integration path ${ }^{21} C$. We infer from Eq. (1.7) the existence of a state variable, entropy, the differential of which is ${ }^{22}$
$$
\mathrm{d} S \equiv(\mathbb{\pi} Q){\mathrm{rev}} / T . $$ The quantity $T^{-1}$ is the integrating factor ${ }^{23}$ for $(\mathrm{dQ}){\text {rev }}$. As a state variable, entropy is defined only in equilibrium. Changes in entropy between equilibrium states $(A, B)$ are found by integrating its differential, Eq. (1.8),
$$
S(B)-S(A)=\int_{A}^{B}(\mathrm{~d} Q)_{\mathrm{rev}} / T
$$ for any path connecting $A$ and $B$, such that heat transfers occur reversibly at all stages. ${ }^{24}$

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|INTERNAL ENERGY: WORK AND HEAT

在绝热工作中的表现 $W_{\mathrm{ad}}$ – 研究绝热隔离系统 – 发现过渡 $i \rightarrow f$ 在可重现的平衡状态之间产生 ${ }^{8}(i, f)$ 仅取决于工 作量，而不取决于其执行方式。无论工种的比例如何变化，相同的绝热工作总量导致相同的转变 $i \rightarrow f$. 这一发 现具有根本性的重要性。如果过渡 $i \rightarrow f$ 绝热功的产生与产生它的方式无关，它只能取决于初始状态和最终状态 $(i, f)$. 这意味着存在与平衡状态相关的物理量，该物理量“耦合”到绝热功，内部能量 $U$ ，这样 ${ }^{9}$
$$
\Delta U=U_{f}-U_{i}=W_{\mathrm{ad} . .} .
$$
内能是一个状态变量，它仅取决于系统的平衡状态，而不取决于系统在该状态下的准备方式。对系统所做的绝热 功会增加其内部能量并被视为正数。系统所做的绝热功 (在环境中重量较高的地方，弹簧被压缩) 伴随着内部能 量的减少，并被视为负量。内部能量的变化是以系统上或系统完成的绝热工作为代价的。等式 (1.1) 表示能量守 恒: 如果我们不让热量逸出，系统所做的功将存储在其内部能量中，这些能量可以通过让系统对环境进行绝热工 作来回收。我们会说内能是绝热功的仓库。
现在，让工作 $W$ 在非绝热条件下进行。找到了，对于同一个过渡 $i \rightarrow f$ 由。。。生产 $W_{\mathrm{ad}}$ ，那 $W \neq \Delta U$. 在 具有透热边界的系统中，机械功的能量不守恒。能量守恒是物理学的神圣原则之一，我们不想放过它。这个原理 可以通过识别不同形式的能量来恢复。 ${ }^{10}$ 传入或传出系统的热量， $Q$ ，是工作的差异
$$
Q \equiv \Delta U-W
$$
这会影响具有两种类型边界的系统状态的相同变化， $Q=W_{\mathrm{ad}}-W$. 如果需要更多的工作 $W$ 产生与绝热条件 下相同的状态变化， $Q<0$ : 热量通过边界流出系统； $Q>0$ 对应于进入系统的热量。 ${ }^{11}$ 方程 (1.2) 是热力学 第一定律。有人可能会认为它仅适用于封闭系统，基于我们如何制定它。当我们引入另一种化学功一一改变系统 中物质数量所需的能量时，它适用于开放系统 (见第 $1.6$ 节) 。这里的重点是边界的性质使我们能够对不同类型 的能量进行分类。

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考| IRREVERSIBILITY, DISORGANIZATION

熵一一通过对热力学第二定律的分析发现一一是一个出乎意料但意义重大的发展。 ${ }^{17}$ 克劳修斯不等式是第二定律 的结果: [3, p33]
$$
\oint \frac{\mathrm{d} Q}{T} \leq 0
$$
其中积分是循环过程的所有步骤（将系统返回到其初始状态的过程）， $T$ 是传热的绝对温度 18 đ $Q$ 发生，并且 （1.6）中的等式适用于可逆热传递，19
$$
\oint \frac{(\mathrm{d} Q) \mathrm{rev}}{T}=0 .
$$
状态变量的微分是精确的。 ${ }^{20}$ 精确的差异 $\mathrm{d} g$ 拥有的财产 $\oint C \mathrm{~d} g=0$ 表示任何集成路径 ${ }^{21} C$. 我们从方程式推断。 (1.7) 状态变量樀的存在，其微分为 22
$$
\mathrm{d} S \equiv(\pi Q) \mathrm{rev} / T .
$$
数量 $T^{-1}$ 是积分因子 ${ }^{23}$ 为了 $(\mathrm{dQ}) \mathrm{rev}$. 作为状态变量，樀仅在平衡时定义。平衡状态之间的樀变化 $(A, B)$ 通过 积分其微分，方程找到。(1.8),
$$
S(B)-S(A)=\int_{A}^{B}(\mathrm{~d} Q)_{\mathrm{rev}} / T
$$
对于任何连接的路径 $A$ 和 $B$ ，使得热传递在所有阶段都可逆地发生。 ${ }^{24}$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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统计力学是一个数学框架，它将统计方法和概率理论应用于大型微观实体的集合。它不假设或假定任何自然法则，而是从这种集合体的行为来解释自然界的宏观行为。

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物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Convexity

The convexity of the internal energy function is an important property directly related to the stability of thermodynamic equilibrium. In this chapter we derive some properties of convex functions which will enable us to develop the theory of thermodynamics further. We state the theorems in general but give proofs for the one-dimensional case only. Proofs in the general $k$-dimensional case can be found in appendix C. In any case, the proofs are not essential for understanding the subsequent theory though the definitions, concepts, and theorems are.
We start with a definition.
If $g: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R} \cup{+\infty}$ is a function which can take the value $+\infty$ then one defines its essential domain by
$$
D(g)=\left{\vec{x} \in \mathbb{R}^{k} \mid g(\vec{x})<+\infty\right} .
$$
Theorem 7.1 A convex function $g: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R} \cup{+\infty}$ is continuous at every interior point of its essential domain.

Proof. It is clear that the essential domain of $g$ is convex. We give the proof of the theorem in one dimension, so that $D(g)=I$ is an interval. Without loss of generality we may assume that $I$ is an open interval. We shall prove that for all $x_{0} \in I, g\left(x_{0}\right) \leqslant \liminf {x \rightarrow x{0}} g(x)$ and $g\left(x_{0}\right) \geqslant \limsup {x \rightarrow x{0}} g(x)$.
To prove that $g\left(x_{0}\right) \leqslant \liminf {x \rightarrow x{0}} g(x)$, suppose to the contrary that $g\left(x_{0}\right)>\liminf {x \rightarrow x{0}} g(x)$. If there were to exist $x_{1}<x_{0}<x_{2}$ such that $g\left(x_{1}\right)<g\left(x_{0}\right)$ and $g\left(x_{2}\right)<g\left(x_{0}\right)$ then
$$
g\left(x_{0}\right) \leqslant \frac{x_{2}-x_{0}}{x_{2}-x_{1}} g\left(x_{1}\right)+\frac{x_{0}-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} g\left(x_{2}\right)<g\left(x_{0}\right)
$$
which is a contradiction. We conclude that $g(x) \geqslant g\left(x_{0}\right)$, either for all $x \geqslant x_{0}$ or for all $x \leqslant x_{0}$. Both cases are similar. We consider only the first. We may assumẻ that therrê êxists a sęuuencê $\left{\bar{x}{n}\right}$ such that $x{n} \sim_{n} x_{0}$ and $g\left(x_{n}\right) \rightarrow$

$\liminf {x \rightarrow x{0}}[g(x)]x_{0}$ we have (see figure $7.1)$
$$
g\left(x_{0}\right) \leqslant \frac{\tilde{x}-x_{0}}{\tilde{x} \quad x_{n}} g\left(x_{n}\right)+\frac{x_{0}-x_{n}}{\tilde{x} \quad x_{n}} g(\tilde{x}) .
$$
As $x_{n} \rightarrow x_{0}$ the right hand side tends to $\liminf {x \rightarrow x{0}} g(x)$ which contradicts the assumption.

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Thermodynamic Potentials

After the preliminaries about convex functions in chapter 7 , we can now define the free energy density $f(v, T)$ as minus the Legendre transform of $u(s, v)$ with respect to the variable $s$ :
$$
f(v, T)=-\sup {s}{T s-u(s, v)} . $$ It is easy to see that the function $u(s, v)$ is convex so that we can use theorem $7.2$ to invert the Legendre transform and write $$ u(s, v)=\sup {T}{T s+f(v, T)} .
$$
Note that we can also write
$$
f(v, T)=\inf {u}{u-T s(u, v)} $$ that is, $-(1 / T) f(v, T)$ is the Legendre transform of $-s(u, v)$. Inverting this relation we obtain $$ s(u, v)=\inf {T>0} \frac{1}{T}{u-f(v, T)} .
$$
The free energy density is an important quantity in thermodynamics because in many experimental situations it is easier to control the temperature than the internal energy. Note that the supremum in (8.1) is attained at the value of $s$ satisfying (6.8) so that it is legitimate to denote the variable $T$ in the free energy density as the temperature. We can therefore write
$$
f(v, T)=u(s(v, T), v)-T s(v, T),
$$
where $s(v, T)$ is defined as the solution of (6.8). Alternatively,
$$
f(v, T)=u(v, T)-T s(u(v, T), v)
$$

where $u(v, T)$ is the solution of
$$
\frac{1}{T}=\left(\frac{\partial s}{\partial u}\right){v} $$ Differentiating (8.5) w.r.t. to $v$ we obtain, using equations (6.8) and $(6.9)$, $$ \left(\frac{\partial f}{\partial v}\right){T}(v, T)=\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right){s}(s(v, T), v)=-p(v, T) $$ Similarly we have $$ \left(\frac{\partial f}{\partial T}\right){v}=-s(v, T)
$$
so that we can write
$$
\mathrm{d} f=-p \mathrm{~d} v-s \mathrm{~d} T
$$
Note that this implies in particular that for an isothermal process from an equilibrium state $\alpha$ to an equilibrium state $\beta$, the work done per particle $w$ equals
$$
w=f(\beta)-f(\alpha)
$$
Thus, the free energy plays a role similar to the potential energy in mechanics: given the work done in an isothermal process, (8.11) determines the new equilibrium state.

In some cases it is convenient to work in terms of the variables $s$ and $p$. We then take a Legendre transform with respect to $v$ and define the enthalpy $h(s, p)$ by
$$
h(s, p)=\inf _{v}{p v+u(s, v)}
$$
It is easy to prove that
$$
\mathrm{d} h=\delta q+v \mathrm{~d} p
$$

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Phase Transitions

Consider again the $p-V$ diagram for a general fluid given as figure 1 in the introduction. In the region under the broken curve, liquid and vapour (gas at temperatures below $T_{c}$ is usually called vapour) coexist. As the volume is increased in this region the pressure remains constant and liquid vaporizes (figure 9.1).

It follows that the pressure at which liquid and vapour coexist is a function of the temperature alone. If the temperature of the liquid is raised while keeping the pressure above the liquid constant, it will no longer be in equilibrium and will evaporate. If we want to keep it in equilibrium, we must increase the pressure. The equilibrium pressure is therefore an increasing function of the temperature. The graph of this function is the line of coexistence of liquid and vapour shown in figure $9.2$. Above this line, only liquid exists in equilibrium while below the curve only vapour exists in equilibrium. This argument also shows that by lowering the pressure above a liquid its boiling point decreases. This is an important method for obtaining low temperatures (refrigeration). For example, by pumping away the vapour above liquid helium-3 $\left({ }^{3} \mathrm{He}\right.$ ) (a rare isotope of helium), one can reduce the temperature by an order of magnitude, from approximately $3 \mathrm{~K}$ to $0.3 \mathrm{~K}$.

Another look at the $p-V$ diagram shows that the coexistence curve must end at a maximum temperature $T_{c}$ called the critical temperature. This point of the coexistence curve $p_{e q}(T)$ corresponds to one single point $\left(p_{c}, V_{c}\right)$ in the $p-V$ diagram, the critical point. At this point remarkable things happen: the so called critical phenomena. For example, the isothermal compressibility $\kappa_{T}$ (see equation (4.14)) diverges at the critical point. Also the specific heat $c_{V}$ diverges. This means that the free energy is not twice differentiable at the critical point. One therefore speaks of a second-order phase transition. The degree of divergence can be expressed in terms of critical exponents. It turns out that $\kappa_{T}$ and $c_{V}$ behave near the critical point asymptotically as
$$
\kappa_{T} \sim \mathcal{K}\left|’ I^{\prime}-H_{c}^{\prime}\right|^{-\gamma}
$$

统计力学代考

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Convexity

内能函数的凸性是直接关系到热力学平衡稳定性的重要性质。在本章中，我们推导出凸函数的一些性质，这将使我们能够进一步发展热力学理论。我们一般地陈述这些定理，但只给出一维情况的证明。一般证明ķ维情况可以在附录C中找到。无论如何，尽管定义、概念和定理是理解后续理论的必要证明，但证明并不是必不可少的。
我们从一个定义开始。
如果G:Rķ→R∪+∞是一个可以取值的函数+∞然后定义它的基本域

D(g)=\left{\vec{x} \in \mathbb{R}^{k} \mid g(\vec{x})<+\infty\right} 。D(g)=\left{\vec{x} \in \mathbb{R}^{k} \mid g(\vec{x})<+\infty\right} 。
定理 7.1 一个凸函数G:Rķ→R∪+∞在其本质域的每个内部点上是连续的。

证明。很明显，基本领域G是凸的。我们在一维上给出定理的证明，所以D(G)=我是一个区间。不失一般性，我们可以假设我是一个开区间。我们将证明对所有人X0∈我,G(X0)⩽林信息X→X0G(X)和G(X0)⩾林汤X→X0G(X).
为了证明G(X0)⩽林信息X→X0G(X), 假设相反G(X0)>林信息X→X0G(X). 如果存在X1<X0<X2这样G(X1)<G(X0)和G(X2)<G(X0)然后

G(X0)⩽X2−X0X2−X1G(X1)+X0−X1X2−X1G(X2)<G(X0)
这是一个矛盾。我们得出结论G(X)⩾G(X0), 要么对所有人X⩾X0或为所有人X⩽X0. 两种情况都是相似的。我们只考虑第一个。我们可以假设 therrê ê 存在一个 sęuuencê\left{\bar{x}{n}\right}\left{\bar{x}{n}\right}这样Xn∼nX0和G(Xn)→

林信息X→X0[G(X)]X0我们有（见图7.1)

G(X0)⩽X~−X0X~XnG(Xn)+X0−XnX~XnG(X~).
作为Xn→X0右手边倾向于林信息X→X0G(X)这与假设相矛盾。

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Thermodynamic Potentials

在第 7 章中关于凸函数的初步介绍之后，我们现在可以定义自由能密度了。F(在,吨)减去勒让德变换在(s,在)关于变量s :

F(在,吨)=−支持s吨s−在(s,在).很容易看出函数在(s,在)是凸的，所以我们可以使用定理7.2反转勒让德变换并写入

在(s,在)=支持吨吨s+F(在,吨).
注意我们也可以写

F(在,吨)=信息在在−吨s(在,在)那是，−(1/吨)F(在,吨)是勒让德变换−s(在,在). 反转这个关系，我们得到

s(在,在)=信息吨>01吨在−F(在,吨).
自由能密度是热力学中的一个重要量，因为在许多实验情况下，控制温度比控制内能更容易。请注意，（8.1）中的上确界是在以下值处获得的s满足（6.8），因此表示变量是合法的吨在自由能密度中作为温度。因此我们可以写

F(在,吨)=在(s(在,吨),在)−吨s(在,吨),
在哪里s(在,吨)定义为 (6.8) 的解。或者，

F(在,吨)=在(在,吨)−吨s(在(在,吨),在)

在哪里在(在,吨)是解决方案

1吨=(∂s∂在)在将 (8.5) 微分到在我们得到，使用方程（6.8）和(6.9),

(∂F∂在)吨(在,吨)=(∂在∂在)s(s(在,吨),在)=−p(在,吨)同样我们有

(∂F∂吨)在=−s(在,吨)
这样我们就可以写

dF=−p d在−s d吨
请注意，这尤其意味着对于从平衡状态开始的等温过程一个达到平衡状态b, 每个粒子所做的功在等于

在=F(b)−F(一个)
因此，自由能在力学中起着类似于势能的作用：给定在等温过程中所做的功，(8.11) 决定了新的平衡状态。

在某些情况下，根据变量工作很方便s和p. 然后我们对以下内容进行勒让德变换在并定义焓H(s,p)经过

H(s,p)=信息在p在+在(s,在)
很容易证明

dH=dq+在 dp

物理代写|统计力学代写Statistical mechanics代考|Phase Transitions

再次考虑p−在介绍中图 1 给出的一般流体图。在折断曲线下的区域，液体和蒸汽（温度低于吨C通常称为蒸汽）共存。随着该区域的体积增加，压力保持恒定，液体蒸发（图 9.1）。

由此可见，液体和蒸汽共存的压力是​​单独温度的函数。如果在保持液体上方压力恒定的情况下提高液体温度，它将不再处于平衡状态并会蒸发。如果我们想保持平衡，我们必须增加压力。因此，平衡压力是温度的增函数。该函数的图形是如图所示的液体和蒸汽共存线9.2. 在这条线之上，只有液体处于平衡状态，而在曲线之下，只有蒸汽处于平衡状态。这一论点还表明，通过降低液体以上的压力，其沸点会降低。这是获得低温（冷藏）的重要方法。例如，通过抽走液态氦 3 上方的蒸汽(3H和)（氦的一种稀有同位素），可以将温度降低一个数量级，从大约3 ķ至0.3 ķ.

再看看p−在图显示共存曲线必须在最高温度结束吨C称为临界温度。共存曲线的这一点p和q(吨)对应一个点(pC,在C)在里面p−在图，关键点。在这一点上发生了非凡的事情：所谓的临界现象。例如，等温可压缩性ķ吨（见方程（4.14））在临界点发散。还有比热C在分歧。这意味着自由能在临界点不是两次可微的。因此有人谈到二阶相变。分歧程度可以用临界指数来表示。事实证明ķ吨和C在在临界点附近表现得渐近为

ķ吨∼ķ|′我′−HC′|−C

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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