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波动率模型应该能够预测波动率。几乎所有波动率模型的金融用途都需要对未来收益的各个方面进行预测。通常情况下，波动率模型被用来预测收益的绝对幅度，但它也可以用来预测定量，或者，事实上，预测整个密度。

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Infinitesimal Generators and Associated Martingales

For simplicity we first consider a time-homogeneous diffusion process $\left(X_t\right)$ that solves the stochastic differential equation
$$
d X_t=\mu\left(X_t\right) d t+\sigma\left(X_t\right) d W_t .
$$
Let $g$ be a twice continuously differentiable function of the variable $x$ with bounded derivatives, and define the differential operator $\mathcal{L}$ acting on $g$ according to
$$
\mathcal{L}{\mathcal{G}}(x)-\frac{1}{2} \sigma^2(x) g^{\prime \prime}(x)+\mu(x) g^{\prime}(x) . $$ In terms of $\mathcal{L}$, Itô’s formula (1.16) gives $$ d g\left(X_t\right)=\mathcal{L} g\left(X_t\right) d t+g^{\prime}\left(X_t\right) \sigma\left(X_t\right) d W_t, $$ which shows that $$ M_t=g\left(X_t\right)-\int_0^t \mathcal{L} g\left(X_s\right) d s $$ defines a martingale. Consequently, if $X_0=x$, we obtain $$ \mathbb{E}\left{g\left(X_t\right)\right}=g(x)+\mathbb{E}\left{\int_0^t \mathcal{L} g\left(X_s\right) d s\right} . $$ Under the assumptions made on the coefficients $\mu$ and $\sigma$ and on the function $g$, the Lebesgue dominated convergence theorem is applicable and gives $$ \begin{aligned} \left.\frac{d}{d t} \mathbb{E}\left{g\left(X_t\right)\right}\right|{t=0} & =\lim {t \downarrow 0} \frac{\mathbb{E}\left{g\left(X_t\right)\right}-g(x)}{t} \ & =\lim {t \downarrow 0} \mathbb{E}\left{\frac{1}{t} \int_0^t \mathcal{L} g\left(X_s\right) d s\right}=\mathcal{L} g(x) .
\end{aligned}
$$
The differential operator $\mathcal{L}$ given by (1.61) is called the infinitesimal generator of the Markov process $\left(X_t\right)$.

金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Application to the Black-Scholes Partial Differential Equation

In the previous section we assumed the existence, uniqueness, and regularity of the solution of the partial differential equation (1.66) in order to apply Itô’s formula.. A sufficient condition for this is that the coefficients $\mu$ and $\sigma$ are regular enough and that the operator $\mathcal{L}_t$ is uniformly elliptic, meaning (in this one-dimensional situation) that there exists a positive constant $A$ such that
$$
\sigma^2(t, x) \geq A>0 \quad \text { for every } t \geq 0 \text { and } x \in \mathcal{D},
$$
so that the diffusion coefficient $\sigma^2(t, x)$ cannot become too small. Here $\mathcal{D}$ is the domain of the process $\left(X_t\right)$, which may be natural (e.g., $\mathcal{D}={x>0}$ for the geometric Brownian motion) or imposed externally from other modeling considerations.

When $\mu(t, x)=r x$ and $\sigma(t, x)=\sigma x$ in (1.66), we have the Black-Scholes partial differential equation (1.35) on the domain ${x>0}$. The ellipticity condition (1.68) is clearly not satisfied, since the diffusion coefficient $\sigma^2 x^2$ goes to zero as the state variable approaches zero. We get around this difficulty here (and also in more general situations) with the change of variable $P(t, x)=u(t, y=\log x)$, so that equation (1.35) becomes
$$
\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\left(r-\frac{1}{2} \sigma^2\right) \frac{\partial u}{\partial y}-r u=0
$$
to be solved for $0 \leq t \leq T, y \in \mathbb{R}$, and with the final condition $u(T, y)=h\left(e^y\right)$. The operator
$$
\mathcal{L}=\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2}{\partial y^2}+\left(r-\frac{1}{2} \sigma^2\right) \frac{\partial}{\partial y}
$$
is the infinitesimal generator of the (nonstandard) Brownian motion
$$
Y_t=\left(r-\frac{1}{2} \sigma^2\right) t+\sigma W_t^{\star},
$$
where $\left(W_t^{\star}\right)$ is a standard Brownian motion under $P^{\star}$. We use here the same notation as in the equivalent martingale measure context, but the only important fact is that $W^$ is a standard Brownian motion with respect to the probability used to compute the expectation in the Feynman-Kac formula (1.67). Applying this formula to $Y_t$ yields $$ u(t, y)=\mathbb{E}^\left{e^{-r(T-t)} h\left(e^{y+\left(r-\sigma^2 / 2\right)(T-t)+\sigma\left(W_T^-W_t^\right)} \mid Y_t=y\right}\right.
$$ which is indeed the same as (1.57) by undoing the change of variable $e^y=x$.

波动率模型代考

金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Infinitesimal Generators and Associated Martingales

为简单起见，我们首先考虑时间均匀扩散过程 $\left(X_t\right)$ 求解随机微分方程
$$
d X_t=\mu\left(X_t\right) d t+\sigma\left(X_t\right) d W_t .
$$
让 $g$ 是变量的二次连续可微函数 $x$ 有界导数，并定义微分算子 $\mathcal{L}$ 作用于 $g$ 根据
$$
\mathcal{L} \mathcal{G}(x)-\frac{1}{2} \sigma^2(x) g^{\prime \prime}(x)+\mu(x) g^{\prime}(x)
$$
按照 $\mathcal{L}$ ， Itô 的公式 (1.16) 给出
$$
d g\left(X_t\right)=\mathcal{L} g\left(X_t\right) d t+g^{\prime}\left(X_t\right) \sigma\left(X_t\right) d W_t
$$
这表明
$$
M_t=g\left(X_t\right)-\int_0^t \mathcal{L} g\left(X_s\right) d s
$$
定义一个鞅。因此，如果 $X_0=x$ ，我们获得
根据对系数所做的假设 $\mu$ 和 $\sigma$ 和功能 $g$, 勒贝格支配的收佥定理适用并给出
微分算子 $\mathcal{L}$ 由 (1.61) 给出的称为马尔可夫过程的无穷小生成器 $\left(X_t\right)$.

金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Application to the Black-Scholes Partial Differential Equation

在上一节中，我们假设偏微分方程 (1.66) 的解的存在性、唯一性和正则性，以便应用 Itô 的公式。其充分 条件是系数 $\mu$ 和 $\sigma$ 足够规则，并且操作员 $\mathcal{L}_t$ 是均匀椭圆的，意味着（在这种一维情况下）存在一个正常数 $A$ 这样
$$
\sigma^2(t, x) \geq A>0 \quad \text { for every } t \geq 0 \text { and } x \in \mathcal{D},
$$
使得扩散系数 $\sigma^2(t, x)$ 不能变得太小。这里 $\mathcal{D}$ 是过程的域 $\left(X_t\right)$ ，这可能是自然的（例如， $\mathcal{D}=x>0$ 对 于几何布朗运动) 或从其他建模考虑因素外部施加。
什么时候 $\mu(t, x)=r x$ 和 $\sigma(t, x)=\sigma x$ 在 (1.66) 中，我们在域上有Black-Scholes 偏微分方程 (1.35) $x>0$. 显然不满足椭圆率条件 (1.68)，因为扩散系数 $\sigma^2 x^2$ 当状态变量接近零时变为零。我们在这里 (以 及在更一般的情况下) 通过变量的改变来解决这个困难 $P(t, x)=u(t, y=\log x)$, 所以等式 (1.35) 变成
$$
\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\left(r-\frac{1}{2} \sigma^2\right) \frac{\partial u}{\partial y}-r u=0
$$
待解决 $0 \leq t \leq T, y \in \mathbb{R}$, 以及最终条件 $u(T, y)=h\left(e^y\right)$. 运营商
$$
\mathcal{L}=\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2}{\partial y^2}+\left(r-\frac{1}{2} \sigma^2\right) \frac{\partial}{\partial y}
$$
是 (非标准) 布朗运动的无穷小发生器
$$
Y_t=\left(r-\frac{1}{2} \sigma^2\right) t+\sigma W_t^{\star},
$$
在哪里 $\left(W_t^{\star}\right)$ 是一个标准的布朗运动 $P^{\star}$. 我们在这里使用与等价鞅测度上下文中相同的符号，但唯一重要 的事实是^是关于用于计算 Feynman-Kac 公式 (1.67) 中的期望的概率的标准布朗运动。将此公式应用于 $Y_t$ 产量
通过撤消变量的更改，这确实与 (1.57) 相同 $e^y=x$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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波动率模型应该能够预测波动率。几乎所有波动率模型的金融用途都需要对未来收益的各个方面进行预测。通常情况下，波动率模型被用来预测收益的绝对幅度，但它也可以用来预测定量，或者，事实上，预测整个密度。

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• Statistical Inference 统计推断
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金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Risk-Neutral Pricing

We mentioned in Section 1.2.1 that, unless $\mu=r$, the expected value under the $s u b$ jective probability $\mathbb{P}$ of the discounted payoff of a derivative (1.23) would lead to an opportunity for arbitrage. This is closely related to the fact that the discounted price $\widetilde{X}_t=e^{-r t} X_t$ is not a martingale since, from (1.18),
$$
d \tilde{X}_t=(\mu-r) \tilde{X}_t d t+\sigma \tilde{X}_t d W_t,
$$
which contains a nonzero drift term if $\mu \neq r$.
The main result we want to build in this section is that there is a unique probability measure $\mathbb{P}^$ equivalent to $\mathbb{P}$ such that, under this probability, (i) the discounted price $\widetilde{X}_t$ is a martingale and (ii) the expected value under $\mathbb{P}^$ of the discounted payoff of a derivative gives its no-arbitrage price. Such a probability measure describing a risk-neutral world is called an equivalent martingale measure.

In order to find a probability measure under which the discounted price $\tilde{X}t$ is a martingale, we rewrite (1.43) in such a way that the drift term is “absorbed” into the martingale term: We set $$ d \widetilde{X}_t=\sigma \widetilde{X}_t\left[d W_t+\left(\frac{\mu-r}{\sigma}\right) d t\right] . $$ $$ \theta=\frac{\mu-r}{\sigma}, $$ called the market price of asset risk, and define $$ W_t^{\star}=W_t+\int_0^t \theta d s=W_t+\theta t, $$ so that $$ d \tilde{X}_t=\sigma \tilde{X}_t d W_t^{\star} . $$ Using the characterization (1.3), it is easy to check that the positive random variable $\xi_T^\theta$ defined by $$ \xi_T^\theta=\exp \left(-\theta W_T-\frac{1}{2} \theta^2 T\right) $$ has an expected value (with respect to $\mathbb{P}$ ) equal to 1 (the Cameron-Martin formula). More generally, it has a conditional expectation with respect to $\mathcal{F}_t$ given by $$ \mathbb{E}\left{\xi_T^\theta \mid \mathcal{F}_t\right}=\exp \left(-\theta W_t-\frac{1}{2} \theta^2 t\right)=\xi_t^\theta \quad \text { for } 0 \leq t \leq T, $$ which defines a martingale denoted by $\left(\xi_t^\theta\right){0 \leq t \leq T}$.
We now introduce the probability measure $\mathbb{P}^{\star}$. It is an equivalent measure to $\mathbb{P}$, meaning that it has the same null sets $\left(\mathbb{P}^*\right.$ and $\mathbb{P}$ agree on which events have zero probability); $\mathbb{P}^{\star}$ has the density $\xi_T^\theta$ with respect to $\mathbb{P}$,
$$
d \mathbb{P}^{\star}=\xi_T^\theta d \mathbb{P} .
$$

金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Risk-Neutral Expectations and Partial Differential Equations

In Section 1.4.4 we used the Markov property of the stock price $\left(X_t\right)$ and, in order to compute $X_T$ knowing that $X_t=x$ at time $t \leq T$, we solved the stochastic differential equation (1.2) between $t$ and $T$. This was a particular case of the general situation where $\left(X_t\right)$ is the unique solution of the stochastic differential equation (1.11). We denote by $\left(X_s^{t, x}\right){s \geq t}$ the solution of that equation, starting from $x$ at time $t$ : $$ X_s^{t, x}=x+\int_t^s \mu\left(u, X_u^{t, x}\right) d u+\int_t^s \sigma\left(u, X_u^{t, x}\right) d W_u, $$ and we assume enough regularity in the coefficients $\mu$ and $\sigma$ for $\left(X_s^{t, x}\right)$ to be jointly continuous in the three variables $(t, x, s)$. The flow property for deterministic differential equations can be extended to stochastic differential equations like (1.11); it says that, in order to compute the solution at time $s>t$ starting at time 0 from point $x$, one can use $$ x \longrightarrow X_t^{0, x} \longrightarrow X_s^{1, X_t^{0, x}}=X_s^{0, x} \quad(\mathbb{P} \text {-a.s.). } $$ In other words, one can solve the equation from 0 to $t$, starting from $x$, to obtain $X_t^{0, x}$. Then we solve the equation from $t$ to $s$, starting from $X_t^{0, x}$. This is the same as solving the equation from 0 to $s$, starting from $x$. The Markov property is a consequence and can be stated as follows: $$ \mathbb{E}\left{h\left(X_s\right) \mid \mathcal{F}_1\right}=\left.\mathbb{E}\left{h\left(X_s^{t \cdot x}\right)\right}\right|{x=X_1},
$$
which is what we have used with $s=T$ to derive (1.55). Observe that the discounting factor could be pulled out of the conditional expection since the interest rate is constant (not random). In the time-homogeneous case ( $\mu$ and $\sigma$ independent of time) we further have $$
\mathbb{E}\left{h\left(X_s^{t, X}\right)\right}=\mathbb{E}\left{h\left(X_{s-t}^{0, X}\right)\right},
$$
which could have been used with $s=T$ to derive (1.57) since $W_{T-t}^*$ is $\mathcal{N}(0, T-t)$ distributed.

波动率模型代考

金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Risk-Neutral Pricing

我们在 1.2.1 节中提到，除非 $\mu=r$ ，下的期望值 $s u b$ 主观概率 $\mathbb{P}$ 衍生品的贴现收益 (1.23) 将带来套利机 会。这与折扣价密切相关 $\widetilde{X}_t=e^{-r t} X_t$ 不是鞅，因为从 (1.18) 开始，
$$
d \tilde{X}_t=(\mu-r) \tilde{X}_t d t+\sigma \tilde{X}_t d W_t,
$$
其中包含一个非零漂移项如果 $\mu \neq r$.
我们要在本节中构建的主要结果是存在唯一的概率度量 $\backslash \mathrm{mathbb}{\mathrm{P}}^{\wedge}$ 相当于 $\mathbb{P}$ 这样，在这个概率下，(i) 折 扣价 $\widetilde{X}_t$ 是一个鞅，并且 (ii) 下的期望值 $\backslash m a t h b b{P} \wedge$ 傠生品的贴现收益给出了它的无套利价格。这种描述 风险中性世界的概率测度称为等价鞅测度。
为了找到折扣价格下的概率测度 $\tilde{X} t$ 是一个鞅，我们重写 (1.43) 使得漂移项被 吸收”到鞅项中：我们设置
$$
\begin{gathered}
d \widetilde{X}_t=\sigma \widetilde{X}_t\left[d W_t+\left(\frac{\mu-r}{\sigma}\right) d t\right] . \
\theta=\frac{\mu-r}{\sigma},
\end{gathered}
$$
称为资产风险的市场价格，定义
$$
W_t^{\star}=W_t+\int_0^t \theta d s=W_t+\theta t
$$
以便
$$
d \tilde{X}_t=\sigma \tilde{X}_t d W_t^{\star} .
$$
使用表征 (1.3)，很容易检查正随机变量 $\xi_T^\theta$ 被定义为
$$
\xi_T^\theta=\exp \left(-\theta W_T-\frac{1}{2} \theta^2 T\right)
$$
有一个期望值 (相对于 $\mathbb{P}$ ) 等于 1 (Cameron-Martin 公式)。更一般地，它对 $\mathcal{F}_t$ 由
它定义了一个鞅，表示为 $\left(\xi_t^\theta\right) 0 \leq t \leq T$.
我们现在引入概率度量 $\mathbb{P}^{\star}$. 这是一个等效的措施 $\mathbb{P}$ ，意味着它具有相同的空集 $\left(\mathbb{P}^*\right.$ 和 $\mathbb{P}$ 就哪些事件的概率为 零达成一致)； $\mathbb{P}^{\star}$ 有密度 $\xi_T^\theta$ 关于 $\mathbb{P}$ ，
$$
d \mathbb{P}^{\star}=\xi_T^\theta d \mathbb{P} .
$$

金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Risk-Neutral Expectations and Partial Differential Equations

在 1.4.4 节中，我们使用了股票价格的马尔可夫属性 $\left(X_t\right)$ 并且，为了计算 $X_T$ 知道 $X_t=x$ 在时间 $t \leq T$ ，我们求解了之间的随机微分方程 (1.2) $t$ 和 $T$. 这是一般情况下的一个特例 $\left(X_t\right)$ 是随机微分方程 (1.11) 的唯一解。我们用 $\left(X_s^{t, x}\right) s \geq t$ 该方程的解，从 $x$ 在时间 $t$ :
$$
X_s^{t, x}=x+\int_t^s \mu\left(u, X_u^{t, x}\right) d u+\int_t^s \sigma\left(u, X_u^{t, x}\right) d W_u,
$$
我们假设系数有足够的规律性 $\mu$ 和 $\sigma$ 为了 $\left(X_s^{t, x}\right)$ 在三个变量中是联合连续的 $(t, x, s)$. 确定性微分方程的 流动性可以扩展到随机微分方程，如 (1.11)；它说，为了及时计算解决方案 $s>t$ 从时间 0 开始 $x$ ，可以使 用
$$
x \longrightarrow X_t^{0, x} \longrightarrow X_s^{1, X_t^{0, x}}=X_s^{0, x} \quad(\mathbb{P} \text {-a.s. }) .
$$
从 0 到 $s$ ，从…开始 $x$. 马尔可夫属性是一个结果，可以表述如下:
这是我们用过的 $s=T$ 导出 (1.55)。观察到贴现因子可以从条件预期中提取出来，因为利率是恒定的（不 是随机的）。在时间齐次的情况下 ( $\mu$ 和 $\sigma$ 独立于时间）我们进一步有
Imathbb ${E} \backslash$ eft $\left{h \backslash l\right.$ eft $\left(X_{-} s^{\wedge}{t, X} \backslash\right.$ ight $\left.) \backslash r i g h t\right}=\backslash m a t h b b{E} \backslash l$ eft $\left{h \backslash l\right.$ eft $\left(X_{-}{\right.$st $} \wedge{0, X} \backslash$ ight $) \backslash$ 正确的 $}$ ，
可以与 $s=T$ 导出 (1.57) 因为 $W_{T-t}^*$ 是 $\mathcal{N}(0, T-t)$ 分散式。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Replicating Strategies

The Black-Scholes analysis of a European-style derivative yields an explicit trading strategy in the underlying risky asset and riskless bond whose terminal payoff is equal to the payoff $h\left(X_T\right)$ of the derivative at maturity, no matter what path the stock price takes. Thus, selling the derivative and holding a dynamically adjusted portfolio according to this strategy “covers” an investor against all risk of eventual loss, because a loss incurred at the final time from one part of this portfolio will be exactly compensated by a gain in the other part. This replicating strat$e g y$, as it is known, therefore provides an insurance policy against the risk of being short the derivative. It is called a dynamic hedging strategy since it involves continuous trading, where to hedge means to eliminate risk. The essential step in the Black-Scholes methodology is the construction of this replicating strategy and arguing, based on no arbitrage, that the value of the replicating portfolio at time $t$ is the fair price of the derivative. We develop this argument in the following sections.

We consider a European-style derivative with payoff $h\left(X_T\right)$, a function of the underlying asset price at maturity time $T$. Assume that the stock price $\left(X_t\right)$ follows the geometric Brownian motion model (1.20), a solution of the stochastic differential equation (1.2). A trading strategy is a pair $\left(a_t, b_t\right)$ of adapted processes specifying the number of units held at time $t$ of the underlying asset and the riskless bond, respectively. We suppose that $\mathbb{E}\left{\int_0^T\left(a_t\right)^2 d t\right}$ and $\int_0^T\left|b_t\right| d t$ are finite so that the stochastic integral involving $\left(a_t\right)$ and the usual integral involving $\left(b_t\right)$ are well-defined.

Assuming, as in (1.1), that the price of the bond at time $t$ is $\beta_t=e^{r t}$, the value at time $t$ of this portfolio is $a_t X_t+b_t e^{\prime t}$. It will replicate the derivative at maturity if its value at time $T$ is almost surely equal to the payoff:
$$
a_T X_T+b_T e^{r T}=h\left(X_T\right) .
$$
In addition, this portfolio is to be self-financing, meaning that the variations of its value are due only to the variations of the market – that is, the variations of the stock and bond prices. No further funds are required after the initial investment,yields an instant profit with no exposure to future loss, since the terminal payoff of the trading strategy is equal to the payoff of the derivative.

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As in Section 1.3.1, a portfolio comprises $a_i$ units of stock and $b_t$ in bonds; we denote by $V_t$ its value at time $t$ :
$$
V_t=a_t X_t+b_t e^{r t} .
$$
The self-financing property (1.28), namely $d V_t=a_t d X_t+r b_t e^{r t} d t$, implies that the discounted value of the portfolio, $\widetilde{V}_t=e^{-r t} V_t$, is a martingale under the risk-neutral probability $\mathbb{P}^{\star}$. This important property of self-financing portfolios is cbtained as follows:
$$
\begin{aligned}
d \tilde{V}_t & =-r e^{-r t} V_t d t+e^{-r t} d V_t \
& =-r e^{-r t}\left(a_t X_t+b_t e^{r t}\right) d t-e^{-r t}\left(a_t d X_t+r b_t e^{r t} d t\right) \
& =-r e^{-r t} a_t X_t d t+e^{-r t} a_t d X_t \
& =a_t d\left(e^{-r t} X_t\right) \
& =a_t d \tilde{X}_t \
& =\sigma a_t \widetilde{X}_t d W_t^{\star} \quad(\text { by }(1.46)),
\end{aligned}
$$
which shows that $\left(\tilde{V}_t\right)$ is a martingale under $\mathbb{P}^{\star}$ as a stochastic integral with respect to the Brownian motion $\left(W_t^*\right)$. Indeed, the same computation shows that if a portfolio satisfies $d \tilde{V}_t=a_t d \widetilde{X}_t$ then it is self-financing.

A simple calculation demonstrates the connection between martingales and no arbitrage. Suppose that $\left(a_t, b_t\right)_{0 \leq t \leq T}$ is a self-financing arbitrage strategy; that is,
$$
V_T \geq e^{r T} V_0 \quad(I P \text {-a.s. }),
$$
with
$$
\mathbb{P}\left{V_T>e^{r T} V_0\right}>0,
$$
so that the strategy never makes less than money in the bank and there is some chance of making more. But
$$
\mathbb{E}^\left{V_T\right}=e^{r T} V_0 $$ by the martingale property, so (1.51) and (1.52) cannot hold. This is because $\mathbb{P}$ and $\mathbb{P}^$ are equivalent and so (1.51) and (1.52) also hold with $\mathbb{P}$ replaced by $\mathbb{P}^{\star}$.

波动率模型代考

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欧式衍生品的 Black-Scholes 分析得出了一个明确的风险资产和无风险债券的交易策略，其最终收益等于 收益 $h\left(X_T\right)$ 到期时的衍生品，无论股票价格采取何种路径。因此，根据该策略出售衍生品并持有动态调 整的投资组合”覆盖”了投资者最终损失的所有风险，因为在最后时间从该投资组合的一部分中产生的损失 将被另一部分的收益恰好补偿另一部分。这种复制战略egy，众所周知，因此提供了针对做空衍生品风险 的保险单。它被称为动态对冲策略，因为它涉及连续交易，其中对冲意味着消除风险。Black-Scholes 方 法的基本步衼是构建这种复制策略，并在无套利的基础上论证复制投资组合的价值在时间 $t$ 是衍生品的公平 价格。我们在以下各节中展开这一论点。
我们考虑具有收益的欧式衍生品 $h\left(X_T\right)$ ，到期时标的资产价格的函数 $T$. 假设股价 $\left(X_t\right)$ 遵循几何布朗运动 模型 (1.20)，随机微分方程 (1.2) 的解。交易策略是一对 $\left(a_t, b_t\right)$ 指定时间持有的单位数量的适应过程 $t$ 分别 的，因此涉及的随机积分 $\left(a_t\right)$ 和通常涉及的积分 $\left(b_t\right)$ 定义明确。
假设，如 (1.1) 中，债券的价格在时间 $t$ 是 $\beta_t=e^{r t}$ ，时间值 $t$ 这个投资组合是 $a_t X_t+b_t e^{\prime t}$. 如果其当时的 价值，它将在到期时复制衍生品 $T$ 几乎肯定等于收益:
$$
a_T X_T+b_T e^{r T}=h\left(X_T\right) .
$$
此外，该投资组合是自筹资金的，这意味看其价值的变化仅取决于市场的变化一一即股票和债券价格的变 化。初始投资后不需要进一步的资金，产生即时利润，没有末来损失的风险，因为交易策略的最终收益等 于衍生品的收益。

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如第 $1.3 .1$ 节所述，投资组合包括 $a_i$ 库存单位和 $b_t$ 债券；我们表示 $V_t$ 它当时的价值 $t$ :
$$
V_t=a_t X_t+b_t e^{r t} .
$$
自筹资金财产 (1.28) ，即 $d V_t=a_t d X_t+r b_t e^{r t} d t$ ，意味着投资组合的贴现值， $\widetilde{V}t=e^{-r t} V_t$ ，是风 险中性概率下的鞅 $\mathbb{P}^{\star}$. 自筹资金组合的这一重要性质如下: $$ d \tilde{V}_t=-r e^{-r t} V_t d t+e^{-r t} d V_t \quad=-r e^{-r t}\left(a_t X_t+b_t e^{r t}\right) d t-e^{-r t}\left(a_t d X_t+r b_t e^{r t} d t\right) $$ 这表明 $\left(\tilde{V}_t\right)$ 是一个鞅 $\mathbb{P}^{\star}$ 作为关于布朗运动的随机积分 $\left(W_t^*\right)$. 事实上，同样的计算表明，如果投资组合满 足 $d \tilde{V}_t=a_t d \widetilde{X}_t$ 然后是自筹资金。 一个简单的计算证明了鞅与无套利之间的联系。假设 $\left(a_t, b_t\right){0 \leq t \leq T}$ 是一种自筹资金的套利策略；那是，
$$
V_T \geq e^{r T} V_0 \quad(I P \text {-a.s. }),
$$
和
Imathbb ${P} \backslash l$ eft $\left{V_{-} T>e^{\wedge}{r \mathrm{~T}} V_{-} \backslash \backslash\right.$ ight $}>0$,
因此该策略赚取的钱永远不会少于银行里的钱，而且还有赚更多钱的机会。但
Imathbb{E $}^{\wedge} \backslash l$ eft $\left{V_{-} T \backslash r i g h t\right}=e \wedge{r ~ T} \vee_{-} 0$
由鞅性质，所以 (1.51) 和 (1.52) 不能成立。这是因为 $\mathbb{P}$ 和 \mathbb ${P} \wedge$ 是等价的，所以 (1.51) 和 (1.52) 也 成立 $\mathbb{P}$ 取而代之 $\mathbb{P}^{\star}$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。