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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Intuition and Main Results

Consider first the training error $E_{\text {train }}$ defined in (5.3). Since
$$
\operatorname{tr} \mathbf{Y} \mathbf{Q}^2(\gamma) \mathbf{Y}^{\boldsymbol{\top}}=-\frac{\partial}{\partial \gamma} \operatorname{tr} \mathbf{Y} \mathbf{Q}(\gamma) \mathbf{Y}^{\top},
$$
a deterministic equivalent for the resolvent $\mathbf{Q}(\gamma)$ is sufficient to acceess the asymptotic behavior of $E_{\text {train }}$.
With a linear activation $\sigma(t)=t$, the resolvent of interest
$$
\mathbf{Q}(\gamma)=\left(\frac{1}{n} \sigma(\mathbf{W X})^{\top} \sigma(\mathbf{W} \mathbf{X})+\gamma \mathbf{I}n\right)^{-1} $$ is the same as in Theorem 2.6. In a sense, the evaluation of $\mathbf{Q}(\gamma)$ (and subsequently $\left.E{\text {train }}\right)$ calls for an extension of Theorem $2.6$ to handle the case of nonlinear activations. Recall now that the main ingredients to derive a deterministic equivalent for (the linear case) $\mathbf{Q}=\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{W}^{\top} \mathbf{W} \mathbf{X} / n+\gamma \mathbf{I}n\right)^{-1}$ are (i) $\mathbf{X}^{\top} \mathbf{W}^{\top}$ has i.i.d. columns and (ii) its $i$ th column $\left[\mathbf{W}^{\top}\right]_i$ has i.i.d. (or linearly dependent) entries so that the key Lemma $2.11$ applies. These hold, in the linear case, due to the i.i.d. property of the entries of $\mathbf{W}$. However, while for Item (i), the nonlinear $\Sigma^{\top}=\sigma(\mathbf{W X})^{\top}$ still has i.i.d. columns, and for Item (ii), its $i$ th column $\sigma\left(\left[\mathbf{X}^{\top} \mathbf{W}^{\top}\right]{. i}\right)$ no longer has i.i.d. or linearly dependent entries. Therefore, the main technical difficulty here is to obtain a nonlinear version of the trace lemma, Lemma 2.11. That is, we expect that the concentration of quadratic forms around their expectation remains valid despite the application of the entry-wise nonlinear $\sigma$. This naturally falls into the concentration of measure theory discussed in Section $2.7$ and is given by the following lemma.

Lemma 5.1 (Concentration of nonlinear quadratic form, Louart et al. [2018, Lemma 1]). For $\mathbf{w} \sim \mathcal{N}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_p\right)$, 1-Lipschitz $\sigma(\cdot)$, and $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}, \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{p \times n}$ such that $|\mathbf{A}| \leq 1$ and $|\mathbf{X}|$ bounded with respect to $p, n$, then,
$$
\mathbb{P}\left(\left|\frac{1}{n} \sigma\left(\mathbf{w}^{\top} \mathbf{X}\right) \mathbf{A} \sigma\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{w}\right)-\frac{1}{n} \operatorname{tr} \mathbf{A} \mathbf{K}\right|>t\right) \leq C e^{-c n \min \left(t, t^2\right)}
$$ for some $C, c>0, p / n \in(0, \infty)$ with ${ }^2$
$$
\mathbf{K} \equiv \mathbf{K}{\mathbf{X X}} \equiv \mathbb{E}{\mathbf{w} \sim \mathcal{N}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_p\right)}\left[\sigma\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{w}\right) \sigma\left(\mathbf{w}^{\boldsymbol{\top}} \mathbf{X}\right)\right] \in \mathbb{R}^{n \times n}
$$

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Consequences for Learning with Large Neural Networks

To validate the asymptotic analysis in Theorem $5.1$ and Corollary $5.1$ on real-world data, Figures $5.2$ and $5.3$ compare the empirical MSEs with their limiting behavior predicted in Corollary 5.1, for a random network of $N=512$ neurons and various types of Lipschitz and non-Lipschitz activations $\sigma(\cdot)$, respectively. The regressor $\boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}^p$ maps the vectorized images from the Fashion-MNIST dataset (classes 1 and 2) [Xiao et al., 2017] to their corresponding uni-dimensional ( $d=1$ ) output labels $\mathbf{Y}{1 i}, \hat{\mathbf{Y}}{1 j} \in$ ${\pm 1}$. For $n, p, N$ of order a few hundreds (so not very large when compared to typical modern neural network dimensions), a close match between theory and practice is observed for the Lipschitz activations in Figure 5.2. The precision is less accurate but still quite good for the case of non-Lipschitz activations in Figure 5.3, which, we recall, are formally not supported by the theorem statement – here for $\sigma(t)=1-t^2 / 2$, $\sigma(t)=1_{t>0}$, and $\sigma(t)=\operatorname{sign}(t)$. For all activations, the deviation from theory is more acute for small values of regularization $\gamma$.

Figures $5.2$ and $5.3$ confirm that while the training error is a monotonically increasing function of the regularization parameter $\gamma$, there always exists an optimal value for $\gamma$ which minimizes the test error. In particular, the theoretical formulas derived in Corollary $5.1$ allow for a (data-dependent) fast offline tuning of the hyperparameter $\gamma$ of the network, in the setting where $n, p, N$ are not too small and comparable. In terms of activation functions (those listed here), we observe that, on the Fashion-MNIST dataset, the ReLU nonlinearity $\sigma(t)=\max (t, 0)$ is optimal and achieves the minimum test error, while the quadratic activation $\sigma(t)=1-t^2 / 2$ is the worst and produces much higher training and test errors compared to others. This observation will be theoretically explained through a deeper analysis of the corresponding kernel matrix $\mathbf{K}$, as performed in Section 5.1.2. Lastly, although not immediate at first sight, the training and test error curves of $\sigma(t)=1_{t>0}$ and $\sigma(t)=\operatorname{sign}(t)$ are indeed the same, up to a shift in $\gamma$, as a consequence of the fact that $\operatorname{sign}(t)=2 \cdot 1_{t>0}-1$.

机器学习代考

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Intuition and Main Results

首先考虑训练误差 $E_{\text {train }}$ 在 (5.3) 中定义。自从
$$
\operatorname{tr} \mathbf{Y} \mathbf{Q}^2(\gamma) \mathbf{Y}^{\top}=-\frac{\partial}{\partial \gamma} \operatorname{tr} \mathbf{Y} \mathbf{Q}(\gamma) \mathbf{Y}^{\top}
$$
解决方案的确定性等价物 $\mathbf{Q}(\gamma)$ 足以访问的渐近行为 $E_{\text {train }}$.
线性激活 $\sigma(t)=t$ ，感兴趣的溶剂
$$
\mathbf{Q}(\gamma)=\left(\frac{1}{n} \sigma(\mathbf{W X})^{\top} \sigma(\mathbf{W X})+\gamma \mathbf{I} n\right)^{-1}
$$
与定理 $2.6$ 相同。从某种意义上说，评价 $\mathbf{Q}(\gamma)$ (随后 $E \operatorname{train}$ )要求扩展定理 $2.6$ 处理非线性激活的情 况。现在回想一下，推导出 (线性情况) 的确定性等价物的主要成分
$\mathbf{Q}=\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{W}^{\top} \mathbf{W X} / n+\gamma \mathbf{I} n\right)^{-1}$ 是我) $\mathbf{X}^{\top} \mathbf{W}^{\top}$ 有 iid 列和 (ii) 它的 $i$ 第 列 $\left[\mathbf{W}^{\top}\right]_i$ 具有独立同分布 (或线性相关) 条目，因此密钥引理 $2.11$ 适用。在线性情况下，由于条目的 iid 属性，这些成立 W. 然 而，对于项目 (i)，非线性 $\Sigma^{\top}=\sigma(\mathbf{W X})^{\top}$ 仍然有 iid 列，对于项目 (ii)，其 $i$ 第列 $\sigma\left(\left[\mathbf{X}^{\top} \mathbf{W}^{\top}\right] . i\right)$ 不 再具有 iid 或线性相关条目。因此，这里的主要技术难点是获得非线性版本的迹引理，引理 2.11。也就是 说，我们预计尽管应用了逐项非线性 $\sigma$. 这自然落入第 节讨论的测度论的集中 $2.7$ 并由以下引理给出。
引理 $5.1$ (非线性二次型的集中，Louart 等人 [2018，引理 1])。为了 $\mathbf{w} \sim \mathcal{N}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_p\right)$, 1-利普㹷茨 $\sigma(\cdot)$ ，和 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}, \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{p \times n}$ 这样 $|\mathbf{A}| \leq 1$ 和 $|\mathbf{X}|$ 有界于 $p, n$ ，然后，
$$
\mathbb{P}\left(\left|\frac{1}{n} \sigma\left(\mathbf{w}^{\top} \mathbf{X}\right) \mathbf{A} \sigma\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{w}\right)-\frac{1}{n} \operatorname{tr} \mathbf{A K}\right|>t\right) \leq C e^{-c n \min \left(t, t^2\right)}
$$
对于一些 $C, c>0, p / n \in(0, \infty)$ 和 $^2$
$$
\mathbf{K} \equiv \mathbf{K X X} \equiv \mathbb{E} \mathbf{w} \sim \mathcal{N}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_p\right)\left[\sigma\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{w}\right) \sigma\left(\mathbf{w}^{\top} \mathbf{X}\right)\right] \in \mathbb{R}^{n \times n}
$$

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Consequences for Learning with Large Neural Networks

验证定理中的渐近分析5.1和推论 $5.1$ 关于真实世界的数据，数字 $5.2$ 和 $5.3$ 对于一个随机网络，将经验 MSE 与推论 $5.1$ 中预测的限制行为进行比较 $N=512$ 神经元和各种类型的 Lipschitz 和非 Lipschitz 激活 $\sigma(\cdot)$ ，分别。回归者 $\beta \in \mathbb{R}^p$ 将来自 Fashion-MNIST 数据集（第 1 类和第 2 类） [Xiao et al.，2017] 的矢 量化图像映射到它们相应的单维 $(d=1$ ) 输出标签 $\mathbf{Y} 1 i, \hat{\mathbf{Y}} 1 j \in \pm 1$. 为了 $n, p, N$ 数百个数量级 (因此 与典型的现代神经网络维度相比不是很大)，在图 $5.2$ 中观察到 Lipschitz 激活的理论与实践之间的紧密 匹配。精度不太准确，但对于图 $5.3$ 中非 Lipschitz 激活的情况仍然相当不错，我们记得，定理陈述正式 不支持这种情况一一这里是为了 $\sigma(t)=1-t^2 / 2 ， \sigma(t)=1_{t>0}$ ，和 $\sigma(t)=\operatorname{sign}(t)$. 对于所有激活， 正则化的小值与理论的偏差更为严重 $\gamma$.
数字 $5.2$ 和 $5.3$ 确认虽然训练误差是正则化参数的单调递增函数 $\gamma$ ，总是存在一个最优值 $\gamma$ 从而最小化测试误 差。特别是推论中推导出的理论公式5.1允许对超参数进行 (依赖于数据的) 快速离线调整 $\gamma$ 网络的设置 $n, p, N$ 不是太小且具有可比性。就激活函数（此处列出的那些) 而言，我们观察到，在 Fashion-MNIST 数据集上， $\operatorname{ReLU}$ 非线性 $\sigma(t)=\max (t, 0)$ 是最优的并达到最小测试误差，而二次激活 $\sigma(t)=1-t^2 / 2$ 是最差的，与其他人相比会产生更高的训练和测试错误。将通过对相应核矩阵的更深 入分析从理论上解释这一观察结果 $\mathbf{K}$ ，如第 5.1.2 节中所述。最后，虽然乍一看不是立即的，但训练和测试误差曲线 $\sigma(t)=1_{t>0}$ 和 $\sigma(t)=\operatorname{sign}(t)$ 确实是一样的，直到一个转变 $\gamma$ ，由于这样的事实 $\operatorname{sign}(t)=2 \cdot 1_{t>0}-1$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Random Neural Networks

Although much less popular than modern deep neural networks, neural networks with random fixed weights are simpler to analyze. Such networks have frequently arisen in the past decades as an appropriate solution to handle the possibly restricted number of training data, to reduce the computational and memory complexity and, from another viewpoint, can be seen as efficient random feature extractors. These neural networks in fact find their roots in Rosenblatt’s perceptron [Rosenblatt, 1958] and have then been many times revisited, rediscovered, and analyzed in a number of works, both in their feedforward [Schmidt et al., 1992] and recurrent [Gelenbe, 1993] versions. The simplest modern versions of these random networks are the so-called extreme learning machine [Huang et al., 2012] for the feedforward case, which one may seem as a mere linear regression method on nonlinear random features, and the echo state network [Jaeger, 2001] for the recurrent case. Also see Scardapane and Wang [2017] for a more exhaustive overview of randomness in neural networks.

It is also to be noted that deep neural networks are initialized at random and that random operations (such as random node deletions or voluntarily not-learning a large proportion of randomly initialized neural network weights, that is, random dropout) are common and efficient in neural network learning [Srivastava et al., 2014, Frankle and Carbin, 2019]. We may also point the recent endeavor toward neural network “learning without backpropagation,” which, inspired by biological neural networks (which naturally do not operate backpropagation learning), proposes learning mechanisms with fixed random backward weights and asymmetric forward learning procedures [Lillicrap et al., 2016, Nøkland, 2016, Baldi et al., 2018, Frenkel et al., 2019, Han et al., 2019]. As such, the study of random neural network structures may be instrumental to future improved understanding and designs of advanced neural network structures.

As shall be seen subsequently, the simple models of random neural networks are to a large extent connected to kernel matrices. More specifically, the classification or regression performance at the output of these random neural networks are functionals of random matrices that fall into the wide class of kernel random matrices, yet of a slightly different form than those studied in Section 4. Perhaps more surprisingly, this connection still exists for deep neural networks which are (i) randomly initialized and (ii) then trained with gradient descent, via the so-called neural tangent kernel [Jacot et al., 2018] by considering the “infinitely many neurons” limit, that is, the limit where the network widths of all layers go to infinity simultaneously. This close connection between neural networks and kernels has triggered a renewed interest for the theoretical investigation of deep neural networks from various perspectives including optimization [Du et al., 2019, Chizat et al., 2019], generalization [Allen-Zhu et al., 2019, Arora et al., 2019a, Bietti and Mairal, 2019], and learning dynamics [Lee et al., 2020, Advani et al., 2020, Liao and Couillet, 2018a]. These works shed new light on our theoretical understanding of deep neural network models and specifically demonstrate the significance of studying simple networks with random weights and their associated kernels to assess the intrinsic mechanisms of more elaborate and practical deep networks.

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Regression with Random Neural Networks

Throughout this section, we consider a feedforward single-hidden-layer neural network, as illustrated in Figure $5.1$ (displayed, for notational convenience, from right to left). A similar class of single-hidden-layer neural network models, however with a recurrent structure, will be discussed later in Section 5.3.

Given input data $\mathbf{X}=\left[\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_n\right] \in \mathbb{R}^{p \times n}$, we denote $\Sigma \equiv \sigma(\mathbf{W} \mathbf{X}) \in \mathbb{R}^{N \times n}$ the output of the first layer comprising $N$ neurons. This output arises from the premultiplication of $\mathbf{X}$ by some random weight matrix $\mathbf{W} \in \mathbb{R}^{N \times p}$ with i.i.d. (say standard Gaussian) entries and the entry-wise application of the nonlinear activation function $\sigma: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. As such, the columns $\sigma\left(\mathbf{W x}_i\right)$ of $\Sigma$ can be seen as random nonlinear features of $\mathbf{x}_i$. The second layer weight $\boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}^{N \times d}$ is then learned to adapt the feature matrix $\Sigma$ to some associated target $\mathbf{Y}=\left[\mathbf{y}_1, \ldots, \mathbf{y}_n\right] \in \mathbb{R}^{d \times n}$, for instance, by minimizing the Frobenius norm $\left|\mathbf{Y}-\boldsymbol{\beta}^{\top} \Sigma\right|_F^2$.

Remark 5.1 (Random neural networks, random feature maps and random kernels). The columns of $\Sigma$ may be seen as the output of the $\mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^N$ random feature map $\phi: \mathbf{x}i \mapsto \sigma\left(\mathbf{W} \mathbf{x}_i\right)$ for some given $\mathbf{W} \in \mathbb{R}^{N \times p}$. In Rahimi and Recht [2008], it is shown that, for every nonnegative definite “shift-invariant” kernel of the form $(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \mapsto f\left(|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^2\right)$, there exist appropriate choices for $\sigma$ and the law of the entries of $\mathbf{W}$ so that as the number of neurons or random features $N \rightarrow \infty$, $$ \sigma\left(\mathbf{W} \mathbf{x}_i\right)^{\top} \sigma\left(\mathbf{W} \mathbf{x}_j\right) \stackrel{\text { a.s. }}{\longrightarrow} f\left(\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2\right) . $$ As such, for large enough $N$ (that in general must scale with $n, p$ ), the bivariate function $(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \mapsto \sigma(\mathbf{W} \mathbf{x})^{\top} \sigma(\mathbf{W y})$ approximates a kernel function of the type $f\left(|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^2\right)$ studied in Chapter 4. This result is then generalized, in subsequent works, to a larger family of kernels including inner-product kernels [Kar and Karnick, 2012], additive homogeneous kernels [Vedaldi and Zisserman, 2012], etc. Another, possibly more marginal, connection with the previous sections is that $\sigma\left(\mathbf{w}^{\top} \mathbf{x}\right)$ can be interpreted as a “properly scaling” inner-product kernel function applied to the “data” pair $\mathbf{w}, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^p$. This technically induces another strong relation between the study of kernels and that of neural networks. Again, similar to the concentration of (Euclidean) distance extensively explored in this chapter, the entry-wise convergence in (5.1) does not imply convergence in the operator norm sense, which, as we shall see, leads directly to the so-called “double descent” test curve in random feature/neural network models. If the network output weight matrix $\boldsymbol{\beta}$ is designed to minimize the regularized MSE $L(\boldsymbol{\beta})=\frac{1}{n} \sum{i=1}^n\left|\mathbf{y}_i-\boldsymbol{\beta}^{\top} \sigma\left(\mathbf{W x}_i\right)\right|^2+\gamma|\boldsymbol{\beta}|_F^2$, for some regularization parameter $\gamma>0$, then $\beta$ takes the explicit form of a ridge-regressor ${ }^1$
$$
\beta \equiv \frac{1}{n} \Sigma\left(\frac{1}{n} \Sigma^{\top} \Sigma+\gamma \mathbf{I}_n\right)^{-1} \mathbf{Y}^{\top},
$$
which follows from differentiating $L(\boldsymbol{\beta})$ with respect to $\boldsymbol{\beta}$ to obtain $0=\gamma \boldsymbol{\beta}+$ $\frac{1}{n} \Sigma\left(\Sigma^{\top} \boldsymbol{\beta}-\mathbf{Y}^{\top}\right)$ so that $\left(\frac{1}{n} \Sigma \Sigma^{\top}+\gamma \mathbf{I}_N\right) \boldsymbol{\beta}=\frac{1}{n} \Sigma \mathbf{Y}^{\top}$ which, along with $\left(\frac{1}{n} \Sigma \Sigma^{\top}+\right.$ $\left.\gamma \mathbf{I}_N\right)^{-1} \Sigma=\Sigma\left(\frac{1}{n} \Sigma^{\top} \Sigma+\gamma \mathbf{I}_n\right)^{-1}$ for $\gamma>0$, gives the result.

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尽管远不如现代深度神经网络流行，但具有随机固定权重的神经网络更易于分析。这种网络在过去几十年中频繁出现，作为处理可能有限数量的训练数据、降低计算和内存复杂性的适当解决方案，并且从另一个角度来看，可以将其视为高效的随机特征提取器。这些神经网络实际上在 Rosenblatt 的感知器 [Rosenblatt, 1958] 中找到了它们的根源，然后在许多作品中被多次重新审视、重新发现和分析，包括它们的前馈 [Schmidt et al., 1992] 和循环 [Gelenbe] , 1993] 版本。这些随机网络的最简单的现代版本是所谓的极限学习机 [H​​uang et al., 2012] 对于前馈情况，其中一个可能看起来只是非线性随机特征的线性回归方法，而回声状态网络 [Jaeger, 2001] 则用于重复出现的情况。另请参阅 Scardapane 和 Wang [2017]，以更详尽地概述神经网络中的随机性。

还需要注意的是，深度神经网络是随机初始化的，随机操作（例如随机节点删除或自愿不学习大部分随机初始化的神经网络权重，即随机丢失）在神经网络学习 [Srivastava 等人，2014 年，Frankle 和 Carbin，2019 年]。我们还可以指出最近对神经网络“无反向传播学习”的努力，它受生物神经网络（自然不进行反向传播学习）的启发，提出了具有固定随机反向权重和非对称正向学习程序的学习机制 [Lillicrap 等人., 2016, Nøkland, 2016, Baldi 等, 2018, Frenkel 等, 2019, Han 等, 2019]。像这样，

正如随后将看到的，随机神经网络的简单模型在很大程度上与内核矩阵相关联。更具体地说，这些随机神经网络输出的分类或回归性能是随机矩阵的函数，属于核随机矩阵的广泛类别，但与第 4 节中研究的形式略有不同。也许更令人惊讶的是，这个深层神经网络仍然存在连接，这些神经网络 (i) 随机初始化和 (ii) 然后通过所谓的神经正切核 [Jacot et al., 2018] 考虑“无限多个神经元”限制，使用梯度下降进行训练，即所有层的网络宽度同时趋于无穷大的极限。神经网络和内核之间的这种紧密联系引发了人们对从优化 [Du et al., 2019, Chizat et al., 2019]、泛化 [Allen-Zhu et al. , 2019, Arora 等人, 2019a, Bietti 和 Mairal, 2019]，以及学习动态 [Lee 等人, 2020, Advani 等人, 2020, Liao 和 Couillet, 2018a]。这些工作为我们对深度神经网络模型的理论理解提供了新的思路，并具体说明了研究具有随机权重的简单网络及其相关核的重要性，以评估更精细和实用的深度网络的内在机制。泛化 [Allen-Zhu et al., 2019, Arora et al., 2019a, Bietti and Mairal, 2019] 和学习动态 [Lee et al., 2020, Advani et al., 2020, Liao and Couillet, 2018a]。这些工作为我们对深度神经网络模型的理论理解提供了新的思路，并具体说明了研究具有随机权重的简单网络及其相关核的重要性，以评估更精细和实用的深度网络的内在机制。泛化 [Allen-Zhu et al., 2019, Arora et al., 2019a, Bietti and Mairal, 2019] 和学习动态 [Lee et al., 2020, Advani et al., 2020, Liao and Couillet, 2018a]。这些工作为我们对深度神经网络模型的理论理解提供了新的思路，并具体说明了研究具有随机权重的简单网络及其相关核的重要性，以评估更精细和实用的深度网络的内在机制。

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Regression with Random Neural Networks

在本节中，我们考虑前馈单隐藏层神经网络，如图所示 $5.1$ (为了标记方便，从右到左显示)。稍后将在 第 $5.3$ 节中讨论一类类似的单隐藏层神经网络模型，但具有递归结构。
给定输入数据 $\mathbf{X}=\left[\mathbf{x}1, \ldots, \mathbf{x}_n\right] \in \mathbb{R}^{p \times n}$ ，我们表示 $\Sigma \equiv \sigma(\mathbf{W X}) \in \mathbb{R}^{N \times n}$ 第一层的输出包括 $N$ 神 经元。此输出来自预乘 $\mathbf{X}$ 通过一些随机权重矩阵 $\mathbf{W} \in \mathbb{R}^{N \times p}$ 具有 iid (比如标准高斯) 条目和非线性激 活函数的条目式应用 $\sigma: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. 因此，列 $\sigma\left(\mathbf{W} \mathbf{x}_i\right)$ 的 $\Sigma$ 可以看作是的随机非线性特征 $\mathbf{x}_i$. 第二层重量 化 Frobenius 范数 $\left|\mathbf{Y}-\boldsymbol{\beta}^{\top} \Sigma\right|_F^2$. 备注 $5.1$ (随机神经网络、随机特征图和随机内核)。列的 $\Sigma$ 可以看作是的输出 $\mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^N$ 随机特征图 $\phi: \mathbf{x} i \mapsto \sigma\left(\mathbf{W} \mathbf{x}_i\right)$ 对于一些给定的 $\mathbf{W} \in \mathbb{R}^{N \times p}$. 在 Rahimi 和 Recht [2008] 中，表明对于以下形式的 每个非负定”移位不变”内核 $(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \mapsto f\left(|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^2\right)$ ，存在适当的选择 $\sigma$ 和条目的法律 $\mathbf{W}$ 这样作为神经 元或随机特征的数量 $N \rightarrow \infty$ ， $$ \sigma\left(\mathbf{W} \mathbf{x}_i\right)^{\top} \sigma\left(\mathbf{W} \mathbf{x}_j\right) \stackrel{\text { a.s. }}{\longrightarrow} f\left(\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2\right) . $$ 因此，对于足够大的 $N$ (通常必须与 $n, p$ )，双变量函数 $(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \mapsto \sigma(\mathbf{W} \mathbf{x})^{\top} \sigma(\mathbf{W y})$ 逼近该类型的核函 数 $f\left(|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^2\right)$ 在第 4 章中进行了研究。然后在随后的工作中将这一结果推广到更大的内核系列，包括 内积内核 [Kar 和 Karnick，2012 年]、加性均质内核 [Vedaldi 和Zisserman，2012 年] 等。另一个，可 能更边缘的，与前面部分的联系是 $\sigma\left(\mathbf{w}^{\top} \mathbf{x}\right)$ 可以解释为应用于“数据”对的“适当缩放”的内积核函数 $\mathbf{w}, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^p$. 这在技术上引发了内核研究与神经网络研究之间的另一种密切关系。同样，类似于本章广泛 探讨的 (欧几里得) 距离的集中，（5.1) 中的逐项收敛并不意味看算子范数意义上的收敛，正如我们将 看到的，这直接导致所谓的随机特征/神经网络模型中的“双下降”测试曲线。如果网络输出权重矩阵 $\beta$ 旨在 最小化正则化 $\operatorname{MSE} L(\boldsymbol{\beta})=\frac{1}{n} \sum i=1^n\left|\mathbf{y}_i-\boldsymbol{\beta}^{\top} \sigma\left(\mathbf{W} \mathbf{x}_i\right)\right|^2+\gamma|\boldsymbol{\beta}|{F^{\prime}}^2$, 对于一些正则化参数 $\gamma>0$ ，然后 $\beta$ 采用岭回归量的显式形式 ${ }^1$
$$
\beta \equiv \frac{1}{n} \Sigma\left(\frac{1}{n} \Sigma^{\top} \Sigma+\gamma \mathbf{I}_n\right)^{-1} \mathbf{Y}^{\top},
$$
由微分得出 $L(\boldsymbol{\beta})$ 关于 $\boldsymbol{\beta}$ 获得 $0=\gamma \boldsymbol{\beta}+\frac{1}{n} \Sigma\left(\Sigma^{\top} \boldsymbol{\beta}-\mathbf{Y}^{\top}\right)$ 以便 $\left(\frac{1}{n} \Sigma \Sigma^{\top}+\gamma \mathbf{I}_N\right) \boldsymbol{\beta}=\frac{1}{n} \Sigma \mathbf{Y}^{\top}$ 其 中，连同 $\left(\frac{1}{n} \Sigma \Sigma^{\top}+\gamma \mathbf{I}_N\right)^{-1} \Sigma=\Sigma\left(\frac{1}{n} \Sigma^{\top} \Sigma+\gamma \mathbf{I}_n\right)^{-1}$ 为了 $\gamma>0$, 给出结果。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Concluding Remarks

Before the present chapter, the first part of the book was mostly concerned with the sample covariance matrix model $\mathbf{X} \mathbf{X}^{\top} / n$ (and more marginally with the Wigner model $\mathbf{X} / \sqrt{n}$ for symmetric $\mathbf{X}$ ), where the columns of $\mathbf{X}$ are independent and the entries of each column are independent or linearly dependent. Historically, this model and its numerous variations (with a variance profile, with right-side correlation, summed up to other independent matrices of the same form, etc.) have covered most of the mathematical and applied interest of the first two decades (since the early nineties) of intense random matrix advances. The main drivers for these early developments were statistics, signal processing, and wireless communications. The present chapter leaped much further in considering now random matrix models with possibly highly correlated entries, with a specific focus on kernel matrices. When (moderately) largedimensional data are considered, the intuition and theoretical understanding of kernel matrices in small-dimensional setting being no longer accurate, random matrix theory provides accurate (and asymptotically exact) performance assessment along with the possibility to largely improve the performance of kernel-based machine learning methods. This, in effect, creates a small revolution in our understanding of machine learning on realistic large datasets.

A first important finding of the analysis of large-dimensional kernel statistics reported here is the ubiquitous character of the Marčenko-Pastur and the semi-circular laws. As a matter of fact, all random matrix models studied in this chapter, and in particular the kernel regimes $f\left(\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j / p\right)$ (which concentrate around $f(0)$ ) and $f\left(\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j / \sqrt{p}\right.$ ) (which tends to $f(\mathcal{N}(0,1))$ ), have a limiting eigenvalue distribution akin to a combination of the two laws. This combination may vary from case to case (compare for instance the results of Practical Lecture 3 to Theorem 4.4), but is often parametrized in a such way that the Marčenko-Pastur and semicircle laws appear as limiting cases (in the context of Practical Lecture 3, they correspond to the limiting cases of dense versus sparse kernels, and in Theorem $4.4$ to the limiting cases of linear versus “purely” nonlinear kernels).

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Practical Course Material

In this section, Practical Lecture 3 (that evaluates the spectral behavior of uniformly sparsified kernels) related to the present Chapter 4 is discussed, where we shall see, as for $\alpha-\beta$ and properly scaling kernels in Sections $4.2 .4$ and $4.3$ that, depending on the “level of sparsity,” a combination of Marčenko-Pastur and semicircle laws is observed.
Practical Lecture Material 3 (Complexity-performance trade-off in spectral clustering with sparse kernel, Zarrouk et al. [2020]). In this exercise, we study the spectrum of a “punctured” version $\mathbf{K}=\mathbf{B} \odot\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} / p\right.$ ) (with the Hadamard product $[\mathbf{A} \odot \mathbf{B}]{i j}=[\mathbf{A}]{i j}[\mathbf{B}]{i j}$ of the linear kernel $\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} / p$, with data matrix $\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{p \times n}$ and a symmetric random mask-matrix $\mathbf{B} \in{0,1}^{n \times n}$ having independent $[\mathbf{B}]{i j} \sim \operatorname{Bern}(\boldsymbol{\epsilon})$ entries for $i \neq j$ (up to symmetry) and $[\mathbf{B}]_{i i}=b \in{0,1}$ fixed, in the limit $p, n \rightarrow \infty$ with $p / n \rightarrow c \in(0, \infty)$. This matrix mimics the computation of only a proportion $\epsilon \in(0,1)$ of the entries of $\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} / n$, and its impact on spectral clustering. Letting $\mathbf{X}=\left[\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_n\right]$ with $\mathbf{x}_i$ independently and uniformly drawn from the following symmetric two-class Gaussian mixture
$$
\mathcal{C}_1: \mathbf{x}_i \sim \mathcal{N}\left(-\boldsymbol{\mu}, \mathbf{I}_p\right), \quad \mathcal{C}_2: \mathbf{x}_i \sim \mathcal{N}\left(+\boldsymbol{\mu}, \mathbf{I}_p\right)
$$
for $\boldsymbol{\mu} \in \mathbb{R}^p$ such that $|\boldsymbol{\mu}|=O(1)$ with respect to $n, p$, we wish to study the effect of a uniform “zeroing out” of the entries of $\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X}$ on the presence of an isolated spike in the spectrum of $\mathbf{K}$, and thus on the spectral clustering performance.

We will study the spectrum of $\mathbf{K}$ using Stein’s lemma and the Gaussian method discussed in Section 2.2.2. Let $\mathbf{Z}=\left[\mathbf{z}1, \ldots, \mathbf{z}_n\right] \in \mathbb{R}^{p \times n}$ for $\mathbf{z}_i=\mathbf{x}_i-(-1)^a \boldsymbol{\mu} \sim \mathcal{N}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_p\right)$ with $\mathbf{x}_i \in \mathcal{C}_a$ and $\mathbf{M}=\mu \mathbf{j}^{\top}$ with $\mathbf{j}=\left[-\mathbf{1}{n / 2}, \mathbf{1}_{n / 2}\right]^{\top} \in \mathbb{R}^n$ so that $\mathbf{X}=\mathbf{M}+\mathbf{Z}$. First show that, for $\mathbf{Q} \equiv \mathbf{Q}(z)=\left(\mathbf{K}-z \mathbf{I}_n\right)^{-1}$,
$$
\begin{aligned}
\mathbf{Q}= & -\frac{1}{z} \mathbf{I}_n+\frac{1}{z}\left(\frac{\mathbf{Z}^{\boldsymbol{}} \mathbf{Z}}{p} \odot \mathbf{B}\right) \mathbf{Q}+\frac{1}{z}\left(\frac{\mathbf{Z}^{\boldsymbol{T}} \mathbf{M}}{p} \odot \mathbf{B}\right) \mathbf{Q} \
& +\frac{1}{z}\left(\frac{\mathbf{M}^{\boldsymbol{\top}} \mathbf{Z}}{p} \odot \mathbf{B}\right) \mathbf{Q}+\frac{1}{z}\left(\frac{\mathbf{M}^{\boldsymbol{T}} \mathbf{M}}{p} \odot \mathbf{B}\right) \mathbf{Q} .
\end{aligned}
$$
To proceed, we need to go slightly beyond the study of these four terms.

机器学习代考

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Concluding Remarks

在本章之前，本书的第一部分主要关注样本协方差矩阵模型 $\mathbf{X} \mathbf{X}^{\top} / n$ (以及更边缘的 Wigner 模型 $\mathbf{X} / \sqrt{n}$ 对于对称 $\mathbf{X}$ ), 其中列 $\mathbf{X}$ 是独立的，每列的条目是独立的或线性相关的。从历史上看，这个模型及 其众多变体 (具有方差曲线、右侧相关、总结为相同形式的其他独立矩阵等) 已经涵盖了头二十年的大部 分数学和应用兴趣 (自九十年代初期) 的强烈随机矩阵进步。这些早期发展的主要驱动力是统计、信号处 理和无线通信。本章更进一步地考虑了现在可能具有高度相关条目的随机矩阵模型，并特别关注核矩阵。 当考虑 (适度) 大维数据时，对小维设置中核矩阵的直觉和理论理解不再准确，随机矩阵理论提供了准确 (和渐近精确) 的性能评估，并有可能大大提高基于内核的机器学习方法的性能。实际上，这在我们对现 实大型数据集上的机器学习的理解方面产生了一场小革命。
此处报告的大维核统计分析的第一个重要发现是 Marčenko-Pastur 和半圆定律的普遍特征。事实上，本 章研究的所有随机矩阵模型，尤其是内核状态 $f\left(\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j / p\right)$ (集中在 $\left.f(0)\right)$ 和 $f\left(\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j / \sqrt{p}\right.$ ) (倾向 于 $f(\mathcal{N}(0,1))$ ), 具有类似于这两个定律的组合的特征值极限分布。这种组合可能因情况而异 (例如比较 实践讲座 3 与定理 $4.4$ 的结果) ，但通常以 Marčenko-Pastur 和半圆定律作为极限情况出现的方式进行 参数化（在实践讲座的上下文中3，它们对应于密集核与稀疏核的极限情况，并且在定理中 $4.4$ 线性与”纯” 非线性内核的极限情况）。

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Practical Course Material

在本节中，将讨论与当前第 4 章相关的实践讲座 3 (评估均匀稀疏核的光谱行为)，我们将在其中看到， 至于 $\alpha-\beta$ 并在部分中适当缩放内核 $4.2 .4$ 和 $4.3$ 也就是说，根据“稀疏程度”，观察到 Marčenko-Pastur 和半圆定律的组合。
实用讲座材料 3 (Complexity-performance trade-off in spectral clustering with sparse kernel， Zarrouk 等人 [2020])。在本练习中，我们研究了“打孔”版本的频谱 $\mathbf{K}=\mathbf{B} \odot\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} / p\right)$ (与阿达玛产 品 $[\mathbf{A} \odot \mathbf{B}] i j=[\mathbf{A}] i j[\mathbf{B}] i j$ 线性内核 $\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} / p$ ，有数据矩阵 $\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{p \times n}$ 和一个对称的随机掩码矩阵 $\mathbf{B} \in 0,1^{n \times n}$ 有独立的 $[\mathbf{B}] i j \sim \operatorname{Bern}(\boldsymbol{\epsilon})$ 条目 $i \neq j$ (直到对称) 和 $[\mathbf{B}]{i i}=b \in 0,1$ 固定的，在极限 $p, n \rightarrow \infty$ 和 $p / n \rightarrow c \in(0, \infty)$. 该矩阵模拟仅计算一个比例 $\epsilon \in(0,1)$ 条目的 $\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} / n$ ，及其对谱 聚类的影响。出租 $\mathbf{X}=\left[\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_n\right]$ 和 $\mathbf{x}_i$ 从以下对称二类高斯混合中独立均匀地抽取 $$ \mathcal{C}_1: \mathbf{x}_i \sim \mathcal{N}\left(-\boldsymbol{\mu}, \mathbf{I}_p\right), \quad \mathcal{C}_2: \mathbf{x}_i \sim \mathcal{N}\left(+\boldsymbol{\mu}, \mathbf{I}_p\right) $$ 为了 $\boldsymbol{\mu} \in \mathbb{R}^p$ 这样 $|\boldsymbol{\mu}|=O(1)$ 关于 $n, p$ ，我们布望研究统一”归零”条目的效果 $\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X}{\text {在频谱中存在孤立 }}$ 的尖峰K，从而影响谱聚类性能。
我们将研究频谱K使用 Stein 引理和 $2.2 .2$ 节中讨论的高斯方法。让 $\mathbf{Z}=\left[\mathbf{z} 1, \ldots, \mathbf{z}n\right] \in \mathbb{R}^{p \times n}$ 为了 $\mathbf{z}_i=\mathbf{x}_i-(-1)^a \boldsymbol{\mu} \sim \mathcal{N}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_p\right)$ 和 $\mathbf{x}_i \in \mathcal{C}_a$ 和 $\mathbf{M}=\mu \mathbf{j}^{\top}$ 和 $\mathbf{j}=\left[-\mathbf{1} n / 2, \mathbf{1}{n / 2}\right]^{\top} \in \mathbb{R}^n$ 以便 $\mathbf{X}=\mathbf{M}+\mathbf{Z}$. 首先表明，对于 $\mathbf{Q} \equiv \mathbf{Q}(z)=\left(\mathbf{K}-z \mathbf{I}_n\right)^{-1}$ ，
$$
\mathbf{Q}=-\frac{1}{z} \mathbf{I}_n+\frac{1}{z}\left(\frac{\mathbf{Z Z}}{p} \odot \mathbf{B}\right) \mathbf{Q}+\frac{1}{z}\left(\frac{\mathbf{Z}^T \mathbf{M}}{p} \odot \mathbf{B}\right) \mathbf{Q} \quad+\frac{1}{z}\left(\frac{\mathbf{M}^{\top} \mathbf{Z}}{p} \odot \mathbf{B}\right) \mathbf{Q}+\frac{1}{z}\left(\frac{\mathbf{M}^T}{p}\right.
$$
为了继续，我们需要略微超出对这四个术语的研究。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写	问卷设计与分析代写
PYTHON代写	回归分析与线性模型代写
MATLAB代写	方差分析与试验设计代写
STATA代写	机器学习/统计学习代写
SPSS代写	计量经济学代写
EVIEWS代写	时间序列分析代写
EXCEL代写	深度学习代写
SQL代写	各种数据建模与可视化代写